1 Rationaaliluvuista; alkeet 1. 2 Rationaaliluvuista; Farey-jonot 4. 3 Dirichlet n ja Hurwitzin lauseet Ketjumurtoluvut 20

Transkriptio

1 Ketjumurtoluvut Sisältö Rationaaliluvuista; alkeet 2 Rationaaliluvuista; Farey-jonot 4 3 Dirichlet n ja Hurwitzin lauseet 4 Ketjumurtoluvut 20 5 Irrationaaliluvun parhaat rationaaliset approksimaatiot 37 6 Markovin spektri 50 7 Huonosti approksimoitavat ja kvadraattiset irrationaaliluvut 77 8 Pell in yhtälö 93 9 Liouvillen lause ja transkendenttiset luvut 5 0 Liouvillen lauseen parannuksia 3 Rationaalisen p-normin antama uljas uusi reaalilukujen maailma 36 2 Liisa ihmemaassa eli alkeisanalyysiä R p :ssä 53 3 Act locally, think globally 89

2 2

3 Johdanto Lukujärjestelmien kehitys alkoi luonnollisesti luonnollisista luvuista: opittiin käyttämään abstrakteja lukuja sen sijaan, että olisi laskettu käytännöllisesti tyyliin kaksi kalaa lisättynä kolmella kalalla on viisi kalaa. Tämän takana oli se nykyään itsestäänselvyydeltä tuntuva havainto, että samat laskusäännöt toimivat laskettiinpa sitten kaloilla tai kameleilla. Seuraava vaihe kehityksessä oli negatiivisten lukujen mukaanotto näin saatiin laskulait paremmin toimiviksi ja laskut käteviksi. Jakolaskun ja sitä kautta rationaalilukujen järjestelmän kehittäminen oli seuraava ja varsin merkittävä kehitysaskel. Kokonaislukuihin lisättiin siis myös murtoluvut. Jakolasku on kuitenkin varsin konkreettinen asia: leipä voidaan jakaa kolmeen osaan, ja jokainen ymmärtää, mistä on kyse. (Kameleitten kanssa saattaa tietysti tulla vähän ongelmia.) Rationaaliluvuilla laskettiin varsin pitkään ja luultiin, että käsillä on täydellinen lukujärjestelmä. Antiikin Kreikassa vaikuttanut pythagoralainen koulukunta törmäsi kuitenkin järkyttävään ongelmaan: -sivuisen neliön lävistäjä eli 2 ei olekaan luku! Tämä olikin todellinen ongelma ja pian tietysti löydettiin muitakin ei-lukuja. Harjoitustehtävä. Osoita, että 2 ei ole rationaaliluku. Konstruoi myös jokin toinen ei-luku eli irrationaaliluku. Tätä ei-lukujen olemassaolon ongelmaa ei osattu ratkaista kovin pian. Huomattiin, että rationaalilukuihin täytyy vielä lisätä joitakin lukuja, jotta lukujärjestelmästä tulisi toimiva. Näitä lisättäviä lukuja ruvettiin kutsumaan irrationaaliluvuiksi. Tämä nimitys kuvaa ehkä omalta osaltaan sitä asennetta, jolla niihin suhtauduttiin. Tässähän on kantasanana kreikankielen sana ratio, joka merkitsee järkeä. Kyse oli siis järjettömistä tai järjenvastaisista luvuista. Pitkään oli kuitenkin epäselvää, mitä nämä lisättävät irrationaaliluvut varsinaisesti olivat ja miten ne tarkkaan ottaen oikeastaan rationaalilukujen järjestelmään lisätään. Miten siis esimerkiksi lasketaan yhteen järjenvastaisia lukuja? Vasta 700-luvulla irrationaalilukujen määritelmä saatiin sille tasolle, että sitä voitiin pitää matemaattisesti tyydyttävänä. Tämän johdanto-osan loppuun on lisätty kappale, jossa tämä irrationaalilukujen konstruktio esitetään täsmällisesti. Esityksen voi näin aluksi sivuuttaa, mutta se kannattaa opiskella kurssin viimeistä lukua varten. Siellä tehdään vähän toisenlaisia irrationaalilukuja, jotka toimivat osittain samaan tapaan kuin tavalliset irrationaaliluvut, osittain taas eivät. Tämä etukäteisopiskelu on hyödyllistä siitä syystä, että ensinnäkin konstruktio on aika abstrakti, eikä varmasti avaudu ihan kertalukemalla. Nyt tässä johdanto-osan konstruktiossa tuloksena on kuitenkin aivan tavallinen, tuttu ja turvallinen R, mikä helpottaa kovasti ymmärtämistä. Kurssin lopussa oleva konstruktio on lähestulkoon identtinen, muttei kuitenkaan aivan sama. Tuloksena on kovasti toisennäköinen ja -tapainen R. Tämän eksoottisen joukon olei

4 muksen ja käyttäytymisen ymmärtää paljon helpommin, jos suoritettava konstruktio on entuudestaan periaatteessa tuttu. Irrationaalilukujen käyttöönoton jälkeen seuraava ongelma oli (ja on) laskennallinen: käytännön laskuissa oli käytettävä itse lukujen asemasta niiden likiarvoja, jotka ovat rationaalilukuja. Näin myös nykyään: kun laskimeen näppäilee vaikkapa luvun π, niin kone käyttää π:n sijasta sen jotain likiarvoa, joka on enemmän tai vähemmän tarkka koneesta riippuen. Laskujen kannalta on tietysti sitä parempi, mitä tarkempi likiarvo on. Yleisesti irrationaaliluvulle α tarvitaan siis mahdollisimman tarkka likiarvo p/q Q. Tämmöisen löytää tietenkin halutulla tarkkuudella, kun kasvattaa nimittäjää q. Jos tarvitaan esimerkiksi π:n likiarvo tarkkuudella 0 6, niin valitaan q = 0 6 ja jollakin alkeellisella haarukointimenetelmällä haetaan p N siten, että p q < π < p+ q, jolloin p/q on riittävän hyvä approksimaatio. Tämä on kuitenkin käytännössä toivottoman hidasta, jos q on iso. Tällöinhän myös p on iso ja laskut hankaloituvat huomattavasti. Entisaikaan kun koneita ei ollut tämä ongelma kärjistyi, kuten on helppo ymmärtää. Mutta ei tämä vaikeus ole nykyäänkään mihinkään poistunut, ainoastaan suuruusluokka on muuttunut. Koneen rajat tulevat aina jossakin vastaan. Esimerkiksi π:n likiarvon tarkkuudella 0 6 näkee suoraan laskimesta, mutta mikäpä mahtaa olla π:n likiarvo tarkkuudella ? Tässä katsannossa oli aika luonnollista, että matemaatikot ryhtyivät miettimään seuraavaa pulmaa. Olkoon α annettu irrationaaliluku. ) Esitä tehokas menetelmä, joka antaa rationaalisen likiarvon p/q α, jolle 2) nimittäjä q on mahdollisimman pieni. Tässä käsite mahdollisimman riippuu tietysti halutusta approksimointitarkkuudesta. Ongelmaan löytyi mainio ratkaisu. Onnistuttiin kehittämään algoritmi, joka tuottaa likiarvon p/q, jolle pätee α p q < q 2. () Tämä on merkittävää ensinnäkin siitä syystä, että algoritmi on erittäin tehokas, eikä mitään alkeellisia haarukointeja tarvita. Toisaalta merkittävää on myös se, että esimerkiksi tarkkuuteen 0 6 riittää q:n (ja p:n) suuruusluokka q = 0 3 eikä q = 0 6, kuten aikaisemmassa alkeellisessa esimerkissä oli tarpeen. Myös nykyaikaisille koneille on aivan eri asia käsitellä lukua 0 m kuin lukua 0 2m, kun liikutaan lähellä koneen suorituskyvyn rajoja. ii

5 Tarkkaavainen lukija voi huomauttaa tähän, että höh, mitäs tuo nyt on, kaava ():hän toimii sopivalle p, kun valitaan q =, eikä siinä mitään algoritmeja tarvita. Sitä paitsi saatu tarkkuus on huono. Tarkkaavainen lukija on aivan oikeassa. Vitsi onkin siinä, että tämä algoritmi ei tuota ainoastaan yhtä tällaista lukua p/q, vaan jonon lukuja p n /q n, missä q n siten, että kaikille n pätee α p n < q n qn 2. (2) Tämä onkin jo ihan eri kaliberin väite, sillä nyt ehdon q n nojalla voidaan aina haluttua tarkkuutta ajatellen valita riittävän iso (ja toisaalta tehokkuuskatsannossa riittävän pieni) q n. Lisäksi tämä jono on melkein yksikäsitteinen karkeasti sanottuna seuraavassa mielessä: Tullaan osoittamaan, että ainakin joka toinen tämän jonon termeistä p n /q n toteuttaa ehdon (2) terästetyn version α p n < q n 2qn 2. (3) Sanotaan, että tällöin p n /q n on α:n hyvä approksimaatio. Nyt käy niin, että jos jokin p/q toteuttaa ehdon α p q < 2q 2, eli p/q on myös α:n hyvä approksimaatio, niin välttämättä p/q = p n /q n jollekin n. Tämäkin tullaan todistamaan. Jos esimerkiksi luvulle π lähdetään laskemaan kyseistä jonoa, niin saadaan p 0 = 3 q 0, p = 22 q 7, p 2 = 333 q 2 06, p 3 = 355 q 3 3, p 4 = q , p 5 = q , p 6 = q , p 7 = q ,... Tässä on merkillepantavaa se, että yläapproksimaatio p3 3, jolla tarkkuus on luokkaa 3 2, on erittäin hyvä siinä mielessä, että tässä nimittäjän kasvattaminen ei yläapproksimaatiota paranna ennenkuin saavutaan maagiseen lukuun q 4 = 3302, jolloin tarkkuus dramaattisesti paranee luokkaan ; tosin approksimaatio on ala-approksimaatio. q 3 = 355 Tämä mainittu algoritmi perustuu ns. ketjumurtolukuihin ja on näiden luentojen kantava teema. Näissä luennoissa esitetään myös aika tarkkaa kyseisen algoritmin analyysiä ja esitetään hämmästyttävä yhteys ns. Diofantoksen ja Pell in yhtälöihin. Luentojen lopuksi esitetään vielä tapa konstruoida ns. transkendenttilukuja ja aivan lopuksi konstruoidaan kuten jo mainittiin varsin eksoottisia irrationaalilukuja, jonkalaisiin ei ihan kadulla törmää. Tässä tekstissä on esitetty aika vaikeiden lauseiden hyvin yksityiskohtaisia todistuksia. Nämä on usein paloiteltu pienempiin osiin, jotka on nimetty lemmoiksi. iii

6 Ensilukemalta lemmojen todistukset voi sivuuttaa ja keskittyä itse tuloksiin. Moniin lemmoihin tosin palataan uudestaan ja uudestaan, niin ettei niitä pidä aliarvioida. Asian ymmärtämistä auttaa niin kuin matematiikassa aina omakohtainen todistusten vääntäminen. Tätä varten monisteeseen on ripoteltu harjoitustehtäviä (yksi oli jo), joiden tekemistä suosittelen. Periaate näissä on yleensä se, että tehtävä ratkeaa sillä lauseella, joka on juuri tehtävän edellä. Tehtävien vaikeustaso vaihtelee erittäin helposta erittäin vaikeaan joukossa on jopa pari sellaista kysymystä, joihin vastausta ei tiedetä. Tässä on takana sellainen ajatus, että osa harjoitustehtävän suorittamista eli harjoittelua tai opettelua on oppia tunnistamaan ongelman vaikeustaso ennenkuin kaavamaisesti ryhtyy jotain laskemaan. Tulevaisuus näyttää, miten tämä idea käytännössä toimii. Laskuharjoituksissa käydään näiden tehtävien (ja muidenkin) ratkaisuja läpi, mutta oleellista on ainakin yrittää laskea itse. Tämä teksti perustuu suurelta osin teokseen Edward B. Burger: Exploring the number jungle: A journey into Diophantine analysis, STML 8, American Mathematical Society. Kuten tuosta nimestä näkyy, jo aiemmin mainitut Diofantoksen yhtälöt liittyvät asiaan hyvin läheisesti. Diofantos eli Aleksandriassa noin välisenä aikana. Tarkempia syntymä- tai kuolinaikoja ei ole tiedossa. Kuitenkin hänestä tiedetään(!) seuraavaa: God granted him to be a boy for the sixth part of his life, and adding a twelfth part to this, He clothed his cheeks with down. He lit him the light of wedlock after a seventh part, and five years after his marriage He granted him a son. Alas! late-born wretched child; after attaining the measure of half his father s life, chill Fate took him. After consoling his grief by this science of numbers for four years he ended his life. Harjoitustehtävä 2. Kuinka vanha Diofantos oli kuollessaan? Antoisia luku- ja erityisesti pohtimishetkiä! iv

7 Reaalilukujen konstruointi Tässä johdannon jälkimmäisessä luvussa esitetään kuten edellä luvattiin reaalilukujen konstruktio. Asia tulee varsinaisesti esille vasta kurssin loppupuolella, jossa esitetään vähän toisenlainen reaalilukuja tuottava konstruktio, jolla saadaan aikaan varsin eksoottinen reaalilukujen järjestelmä tai itse asiassa useita sellaisia. Asiaan kannattaa tutustua jo etukäteen, sillä jatkossa oletetaan tämä standardikonstruktio tunnetuksi. Analyysi :n kurssilla lähestytään reaalilukuja vähän toisin: siellä käytetään aksiomaattista esitystapaa, jossa reaalilukujen oletetaan toteuttavan ns. sup-aksiooman, joka sanoo, että jokaisella epätyhjällä ylhäältä rajoitetulla reaalilukujoukolla on pienin yläraja eli supremum. Tässä esityksessä suhtaudutaan asiaan konkreettisemmin: reaaliluvut suorastaan konstruoidaan, samoin niiden laskutoimitukset ja järjestysrelaatio. Sen jälkeen voidaan todistaa, että sup-aksiooma pätee. Tällä suhtautumistavalla on mm. se etu, että sen jälkeen voidaan tyhjentävästi vastata peruskysymykseen, joka kuuluu seuraavasti: Mikä on reaaliluku? Mikä reaaliluku muuten on? Mitä siis vastaisit maallikon esittämään tyhmään kysymykseen: Mikä se reaaliluku oikein on? Oletetaan tunnetuksi joukot N = {,2,3,...}, Z = {..., 2,,0,,2,...} ja Q = { m n m Z, n N} sekä niiden alkeislaskutoimitukset, järjestysrelaatio ja näiden perusominaisuudet. On kuitenkin huomattava, että nämäkin asiat periaatteessa vaativat omat määritelmänsä ja konstruktionsa asiaankuuluvine todistuksineen. Nämä asiat siis sivuutetaan tässä; kiinnostunut lukija voi löytää asiaan selvitystä joltakin algebran tai lukuteorian kurssilta, sopivasta oppikirjasta tai vaikkapa internetin sivuilta. Sanotaan, että joukon Q jono (q n ) on Cauchy-jono, mikäli kaikille q Q, q > 0 on olemassa n 0 N siten, että q n q m < q kun n,m n 0. Sanotaan edelleen, että Q:n Cauchy-jonot (q n ) ja (q n) ovat ekvivalentteja, jos näistä yhdistämällä saatu jono (r n ) = (q,q,q 2,q 2,q 3,q 3...) on Cauchy-jono. Täsmällisemmin sanottuna yhdistetty jono (r n ) määritellään asettamalla { q k kun n = 2k, k N r n = q k kun n = 2k, k N. Näin todella syntyy ekvivalenssirelaatio Q:n kaikkien Cauchy-jonojen joukkoon. Huomaa, että Cauchy-jonon määritelmä poikkeaa vähän analyysi :n vastaavasta määritelmästä. Siellähän luvun q Q paikalla on luku ǫ R. Nyt ei tietenkään voida tällaista epsilonia käyttää, koska koko R:ää ei vielä ole olemassakaan. v

8 Harjoitustehtävä 3. Osoita, että yllä kuvattu relaatio on ekvivalenssirelaatio Q:n kaikkien Cauchy-jonojen joukossa. Merkitään symbolilla [(q n )] Q:n Cauchy-jonon (q n ) määräämää ekvivalenssiluokkaa kyseisen ekvivalenssirelaation suhteen. Nyt ollaankin valmiita määrittelemään reaalilukujen joukko R. Asetetaan R = {[(q n )] (q n ) on Q:n Cauchy-jono}. Reaalilukujen joukko koostuu siis kaikista rationaalisten Cauchy-jonojen ekvivalenssiluokista. (Tämä on vastaus edellä esitettyyn maallikkokysymykseen, mutta maallikolla on tässä varmaan joitakin jatkokysymyksiä...) Kun tulkitaan jokainen Q:n alkio q vakiojonoksi (q) = (q n ), missä siis q n = q kaikille n, niin Q R. Huomaa, että kuvaus Q R, q [(q)] on hyvin määritelty injektio, joten tämä tulkinta on järkevä siinä mielessä, että eri Q:n alkiot ovat eri alkioita myös R:n alkioina, ts. eri rationaaliluvut ovat myös eri reaalilukuja. Harjoitustehtävä 4. Osoita, että kuvaus Q R, missä q [(q)] on todella hyvin määritelty injektio. Harjoitustehtävä 5. Olkoon q Q ja (q n ) joukon Q Cauchy-jono. Osoita, että [(q)] = [(q n )] R jos ja vain jos lim n q n = q. Huomaa, että tässä tehtävässä tarvitaan raja-arvon määritelmää. Se lienee tuttu, mutta varmuuden vuoksi: sanotaan, että lim n q n = q jos kaikille r Q, r > 0, on olemassa n 0 N siten, että kaikille n n 0 pätee q n q < r. Huomaa, että analyysi :n kurssilla tässä määritelmässä r:n paikalla on mielivaltainen reaaliluku ǫ > 0. Cauchy-jonon määritelmän yhteydessä edellä oli turvauduttava ǫ:n sijasta rationaalilukuun, koska reaalilukuja ei tuossa vaiheessa vielä ollut määritelty. Tässäkään ei voida mistään epsiloneista puhua, vaikka nyt reaaliluvut ovatkin jo olemassa, koska reaalilukujen järjestysrelaatio on määrittelemättä ei siis vielä tiedetä, mitä tarkoittaa a < b mielivaltaisille reaaliluvuille a ja b. Tämähän tiedetään (tai oletetaan tunnetuksi) vain rationaaliluvuille. Harjoitustehtävä 6. Miten muuten määritellään järjestysrelaatio Q:ssa? Mikä on siis määritelmä käsitteelle q < r rationaaliluvuille q ja r? Jos et muista vastausta suoralta kädeltä, niin ota selvää. Harjoitustehtävä 7. Olkoon (a n ) mielivaltainen (minkä tahansa joukon) jono. Sanotaan, että jono (b n ) on jonon (a n ) osajono, jos on olemassa aidosti kasvava kuvaus ϕ : N N siten, että b n = a ϕ(n) kaikille n N. Olkoon sitten (q n ) joukon Q Cauchy-jono ja (r n ) sen osajono. Osoita, että (r n ) on myös joukon Q Cauchy-jono ja että [(q n )] = [(r n )] R. Nyt kun joukko R on määritelty, voidaan ryhtyä määrittelemään R:n peruslaskutoimituksia. Nämä periytyvät Q:n vastaavista laskutoimituksista seuraavaan vi

9 tapaan. Olkoot α, β R. Nyt siis α ja β ovat Q:n Cauchy-jonojen ekvivalenssiluokkia, joten niille voidaan valita edustajat (q n ) ja (q n) siten, että α = [(q n )] ja β = [(q n)]. Koska rationaalilukujen yhteen- ja kertolasku tunnetaan, voidaan tämän jälkeen asettaa α + β = [(q n + q n)] α β = [(q n q n)]. ja Tässä pitää huomata muutamia seikkoja, jotta määritelmässä olisi mieltä. Ensinnäkin jonojen (q n + q n) ja (q n q n) pitäisi olla Cauchy-jonoja. Tämän näkee helposti summalle, eikä se tulollekaan kovin vaikeaa ole. Seuraavaksi pitää huomata, että määritelmät ovat riippumattomia valituista ekvivalenssiluokkien edustajista (q n ) ja (q n). Tämä tarkoittaa sitä, että jos valittaisiinkin alunperin α = [(r n )] ja β = [(r n)] jollekin toisille jonoille (r n ) ja (r n), niin lopputuloksen pitäisi olla sama, ts. pätisi [(q n + q n)] = [(r n + r n)] ja [(q n q n)] = [(r n r n)]. Tämänkin näkee helposti, minkä jälkeen R:n yhteen- ja kertolasku on hyvin ja asiallisesti määritelty. Harjoitustehtävä 8. Olkoot (q n ) ja (q n) rationaalisia Cauchy-jonoja. Osoita, että myös jonot (q n + q n) ja (q n q n) ovat rationaalisia Cauchy-jonoja. Harjoitustehtävä 9. Osoita, että reaalilukujen yhteen- ja kertolaskun määritelmät eivät riipu valituista ekvivalenssiluokkien edustajista. Seuraavaksi pitäisi osoittaa, että edellä määritellyt R:n laskutoimitukset toteuttavat kaikki tutut laskusäännöt kuten esimerkiksi α + β = β + α, α(β + γ) = αβ + αγ ja niin edelleen. (Huomaa, että tässä on tavanmukaisesti jätetty kertolaskun piste kirjoittamatta; näin menetellään jatkossakin, ellei sekaannuksen vaaraa ole.) Nämä ominaisuudet periytyvät suoraan Q:n vastaavista ominaisuuksista ja sisältyvät seuraavaan harjoitustehtävään. Harjoitustehtävä 0. Osoita, että joukko R varustettuna yllä konstruoiduilla yhteen- ja kertolaskulla on kunta, jonka nolla-alkio on 0 Q R ja ykkösalkio Q R. Tässä tarvitaan siis tulkintaa Q R, joka syntyy tehtävän 4. upotuskuvauksen q [(q)] kautta. Jos et muista (tai tiedä), mikä kunta on, ota selvää. Kunta on muuten englanniksi field. Kuntaominaisuuksien mukana R:ään syntyy myös vähennyslasku ja jakolasku, jotka nekin noudattavat Q:sta tuttuja laskulakeja. Seuraavaksi määritellään joukkoon R järjestysrelaatio. Muistutetaan mieliin, että Q:n järjestysrelaatio oletetaan tunnetuksi, ts. tiedetään, mitä tarkoittaa q q kun q,q Q, vrt. tehtävä 6. Nyt siis kerrotaan, mitä tarkoittaa α β kun α,β R. vii

10 Määritellään ensin positiiviset reaaliluvut. Olkoon α R mielivaltainen. Sanotaan, että α on positiivinen, merkitään α 0, jos α:lla on edustaja (q n ), [(q n )] = α siten, että q n 0 suurille n, ts. on olemassa n 0 N siten, että q n 0 kun n n 0. Olkoot sitten α,β R mielivaltaisia. Sanotaan, että α on suurempi tai yhtäsuuri kuin β, merkitään α β, jos α β on positiivinen eli pätee α β 0. Harjoitustehtävä. Olkoot α,β R. Osoita, että α β jos ja vain jos α:lla ja β:lla on edustajat (q n ) ja (q n), α = [(q n )], β = [(q n)] siten, että q n q n suurille n. Harjoitustehtävä 2. Olkoot q,q Q siten, että q q. Osoita, että q q myös reaaliluvuiksi tulkittuina eli tehtävän 6. upotuskuvaus säilyttää järjestyksen. Harjoitustehtävä 3. Olkoot α,β R siten, että α β. Voiko olla olemassa sellaisia edustajia (q n ) ja (q n) siten, että [(q n )] = α, [(q n)] = β ja q n q n kaikille n N? Selitä, miksi reaalilukujen järjestysrelaation määritelmää ei voi (tai paremminkin ei ole järkevää) asettaa näin: α β, jos reaalilukujen α ja β kaikille edustajille (q n ) ja (q n), joille [(q n )] = α ja [(q n)] = β pätee q n q n suurille n. Käytetään jatkossa seuraavia tuttuja merkintöjä: α β β α ja α < β β > α [β α ja α β]. Harjoitustehtävä 4. Olkoot α,β,γ R siten, että α β γ. Osoita, että tällöin α β ja α γ. Edellä määritelty reaalilukujen järjestysrelaatio toimii laskutoimitusten suhteen samaan tapaan kuin Q:n vastaava relaatio, kuten seuraavasta harjoitustehtävästä näkyy: viii

11 Harjoitustehtävä 5. Osoita, että kaikille α,β,γ R pätee α + β α + γ α + β > α + γ α β > 0 [αβ αγ ja α > 0] [αβ αγ ja α < 0] β γ β > γ α > β β γ β γ [α β ja α β] α = β 0 < α β 0 < β α. Seuraava tehtävä kertoo, että reaalilukujen järjestys on arkhimedinen tarkemmin sanottuna: Harjoitustehtävä 6. Olkoon α R, α > 0 mielivaltainen. Osoita, että on olemassa n N siten, että 0 < n < α < n. Merkitään jatkossa tavalliseen tapaan kaikille α,β R, α < β [α,β] = {γ R α γ β} ja ]α,β[ = {γ R α < γ < β}. Sanotaan, että joukko A R on tiheä, jos jokaisella välillä ]α,β[, α,β R, α < β on jokin joukon A alkio. Lause A Joukko Q R on tiheä. Todistus. Olkoot α,β R, α < β mielivaltaisia. Jos α < 0 < β, niin asia on selvä, sillä 0 Q. Voidaan siis olettaa, että α ja β ovat samanmerkkisiä. Riittää todistaa väite tapauksessa 0 α < β, sillä jos tämä tapaus on hoidettu ja α < β 0, niin harjoitustehtävän 5. nojalla 0 β < α, jolloin jo käsitellyn tapauksen nojalla on olemassa q ] β, α[ Q. Tällöin harjoitustehtävän 5. nojalla q ]α,β[ Q ja asia on selvä. Oletetaan siis, että 0 α < β. Harjoitustehtävän 5. nojalla β α > 0. Harjoitustehtävän 6. nojalla on olemassa q Q siten, että 0 < q < β α, jolloin ehdon α 0 ja harjoitustehtävän 5. nojalla q α < β α. Toisaalta harjoitustehtävien 5. ja 6. nojalla on olemassa n N siten, että nq > α. Valitaan nyt n 0 = min{n N nq > α}. Riittää osoittaa, että n 0 q ]α,β[ eli että α < n 0 q < β. Väite α < n 0 q seuraa suoraan n 0 :n valinnasta. Väitettä n 0 q < β varten tehdään antiteesi: n 0 q β. Tällöin harjoitustehtävän 5. nojalla n 0 q α β α. Ehdon q α < β α ja harjoitustehtävän 4. nojalla ei tällöin voi olla n 0 =, joten n 0 2 ja siten n 0 N. Lisäksi pätee (n 0 )q = n 0 q q i) β q ii) > β (β α) = α. () ix

12 Tässä epäyhtälö i) seuraa antiteesista ja harjoitustehtävästä 5. Epäyhtälö ii) seuraa luvun q valinnasta ja harjoitustehtävästä 5. Nyt ehdosta () saadaan harjoitustehtävän 4. mukaan ehto (n 0 )q > α, mikä on vastoin luvun n 0 valintaa, joten haluttu ristiriita on löytynyt ja lause A on todistettu. Joukon Q Cauchy-jono määriteltiin edellä. Aivan analogisesti voidaan määritellä myös joukon R Cauchy-jono. Tässä voi nyt siis käyttää analyysi :n kurssilta tuttua määritelmää, kunhan ensin sovitaan, mitä tarkoittaa reaaliluvun itseisarvo. Sehän määritellään tuttuun tapaan: { α kun α 0 α = α kun α < 0. Kolmioepäyhtälö on helppo osoittaa oikeaksi samaan tapaan kuin analyysi :ssä. Tarvitaan vielä reaalilukujonon suppenemisen käsite: Olkoon (x n ) reaalilukujono ja x R. Sanotaan, että x on jonon (x n ) raja-arvo tai että jono (x n ) suppenee kohti lukua x, merkitään x = lim n x n, jos kaikille ǫ R, ǫ > 0 on olemassa n ǫ N siten, että x n x < ǫ kun n n ǫ. Aivan samalla tavalla kuin analyysi :ssä voidaan todistaa, että rajankäynti suhtautuu yhteen- ja kertolaskuun luontevasti. Pätee näet seuraavaa: Jos x n x ja y n y, niin x n + y n x + y ja x n y n x y. Harjoitustehtävä 7. Olkoon α R ja valitaan α:n edustajaksi rationaalinen Cauchy-jono (q n ), jolloin siis α = [(q n )]. Osoita, että tällöin pätee α = lim n q n ja α = lim n q n. Nyt voidaan todistaa tärkeä tulos, joka on aivan oleellinen lähes kaikessa R:n analyysissä, esimerkiksi differentiaali- ja integraalilaskennassa: Lause B Joukko R on täydellinen, eli jokainen R:n Cauchy-jono suppenee kohti jotain R:n alkiota. Todistus. Olkoon (α n ) reaalinen Cauchy-jono. Valitaan jokaisen reaaliluvun α m, m N edustajaksi rationaalinen Cauchy-jono (q m n ). Harjoitustehtävän 7. nojalla kaikille m N pätee α m = lim n q m n. Tällöin kaikille m voidaan valita n m N siten, että q m n m α m < m. () Määritellään rationaalilukujono (r m ) asettamalla kaikille m N Osoitetaan, että (r m ) on Cauchy-jono. r m = q m n m. Olkoon tätä varten q > 0 mielivaltainen. Pitää osoittaa, että on olemassa x

13 m 0 N siten, että r k r m < q kun k,m m 0. Koska (α n ) on Cauchyjono, on olemassa m siten, että α m α k < q 3 kun m,k m. (2) Lisäksi tehtävän 6. nojalla on olemassa m 2 siten, että m < q 3 kun m m 2. (3) Valitaan nyt m 0 = max{m,m 2 } ja osoitetaan, että tämä on toimiva valinta. Näin on, sillä kun k,m m 0, niin saadaan r k r m i) = q k n k q m n m ii) q k n k α k + α k α m + α m q m n m iii) < k + q 3 + iv) < q m 3 + q 3 + q 3 = q. Tässä yhtälö i) seuraa jonon (r m ) määritelmästä ja epäyhtälö ii) saadaan kolmioepäyhtälöstä. Epäyhtälö iii) seuraa ehdoista () ja (2), sillä m,k m 0 m. Epäyhtälö iv) seuraa ehdosta (3), sillä m,k m 0 m 2. Nyt on siis nähty, että (r m ) on rationaalinen Cauchy-jono. Tällöin sen määräämä ekvivalenssiluokka on reaaliluku. Merkitään Riittää osoittaa, että α = [(r m )] R. lim α n = α. n Olkoon sitä varten ǫ R, ǫ > 0 mielivaltainen. Pitää osoittaa, että on olemassa n ǫ N siten, että α n α < ǫ kun n n ǫ eli [(q n m)] [(r m )] < ǫ kun n n ǫ [(q n m r m )] < ǫ kun n n ǫ. (4) Harjoitustehtävän 7. nojalla [(q n m r m )] = lim m q n m r m, joten ehto [(q n m r m )] ǫ/2 pätee, jos q n m r m < ǫ/2 suurille m. Siten ehto (4) pätee, jos löydetään n ǫ N ja jokaiselle n n ǫ jokin m n N siten, että eli q n m r m < ǫ 2 kun n n ǫ ja m m n. (5) Koska (α n ) on Cauchy-jono, on olemassa n ǫ siten, että α n α m < ǫ 6 kun n,m n ǫ. (6) xi

14 Tämä n ǫ kelpaa yllä ehdossa (5) peräänkuulutetuksi luvuksi, sillä jokaiselle n n ǫ löytyy m n N siten, että ehto (5) pätee. Tämä m n :n löytyminen pitää vielä todistaa. Kiinnitetään mielivaltainen n n ǫ, jolloin siis tehtävänä on löytää m n siten, että qm n r m < ǫ kun m m n. (7) 2 Koska r m = qn m m, niin ehdon () mukaan r m α m < /m kaikille m. Valitaan m N siten, että m < ǫ kun m m. (8) 6 Toisaalta α n = lim m qm, n joten on olemassa m 2 N siten, että α n q n m < ǫ 6 kun m m 2. (9) Valitaan nyt m n = max{n ǫ,m,m 2 } ja osoitetaan, että tämä on toimiva valinta eli että ehto (7) toimii tälle luvulle m n. Näin on, sillä kaikille m m n saadaan q n m r m q n m α n + α n α m + α m r m i) < ǫ 6 + ǫ 6 + ǫ 6 = ǫ 2. Tässä epäyhtälö i) seuraa ehdosta (9) (koska m m n m 2 ), ehdosta (6) (koska n,m n ǫ ) sekä ehdoista () ja (8) (koska m m n m ). Harjoitustehtävä 8. Osoita R:n täydellisyyden nojalla, että 2 on reaaliluku. Tarkemmin sanottuna: Osoita, että yhtälöllä x 2 = 2 on reaalinen (ja positiivinen) ratkaisu. Tämän tehtävän ratkaisusta voit olla ylpeä, sillä pythagoralaisetkaan eivät pystyneet siihen! Harjoitustehtävä 9. Todista R:n täydellisyyden nojalla, että geometrinen sarja n=0 an suppenee, kun a <. Mikä on tällöin sarjan summa? Tämän luvun alussa mainittiin reaalilukujen ns. sup-aksiooma, joka voidaan nyt todistaa lauseena. Määritellään ensin reaalilukujoukon A supremum: Olkoon A R. Sanotaan, että reaaliluku S on joukon A R supremum jos kaikille a A pätee a S ja jos jollekin luvulle S R pätee myös a S kaikille a A, niin S S. Tällöin merkitään S = supa. Suoraan tästä määritelmästä ja harjoitustehtävän 5. toiseksi viimeisestä kohdasta seuraa, että supremum on yksikäsitteinen, mikäli on ylipäätään olemassa. Samalla perusteella nähdään, että joukon A maksimi (mikäli on olemassa) on aina myös sen supremum. Käänteinen väite ei tietenkään päde, koska supremumin ei tarvitse kuulua kyseiseen joukkoon tämä ominaisuushan maksimilta aina vaaditaan. xii

15 Sanotaan, että joukko A R on ylhäältä rajoitettu, mikäli on olemassa x R siten, että a x kaikille a A. Lause C Olkoon A R epätyhjä ja ylhäältä rajoitettu. Tällöin on olemassa S = supa R. Todistus. Merkitään symbolilla M joukon A ylärajojen joukkoa, ts. M = {x R a x kaikille a A}. Jos on olemassa x M A, niin x on joukon A maksimi ja siten myös supremum ja asia on selvä. Voidaan siis olettaa, että M A =. Jos joukolla M on minimi m, niin supremumin määritelmän mukaisesti m = sup A, joten riittää osoittaa, että on olemassa m = min M. Koska A on oletuksen mukaan ylhäältä rajoitettu, M, joten voidaan valita jokin m 0 M. Konstruoidaan reaalilukujono (x n ) rekursiivisesti seuraavalla tavalla: Valitaan ensin x A mielivaltaisesti. Tämä on mahdollista, koska A. Huomaa, että koska m 0 M, niin x m 0 ja koska lisäksi M A =, niin x < m 0. Valitaan sitten x 2 = x + m 0 x. 2 Seuraavaksi valitaan x 3 näin: Jos x 2 / M, niin asetetaan x 3 = x 2 + m 0 x 2 2 jos x 2 M, niin asetetaan x 3 = x + x 2 x 2 = x 2 + x 2 x 2 = x 2 x 2 x. 2 Oletetaan sitten rekursiivisesti, että n 3 ja on valittu luvut x,...,x n R siten, että x A, x 2 = x + (m 0 x )/2 ja kun i {2,...,n } niin ja x i+ = x i + x i x i 2 x i+ = x i x i x i 2 Nyt määritellään rekursiivisesti jos x i / M, ja jos x i M. x n+ = x n + x n x n 2 x n+ = x n x n x n 2 jos x n / M, ja () jos x n M. Rekursioperiaatteen nojalla näin syntyy jono (x n ), jolle x A, x 2 = x +(m 0 x )/2 ja ehto () pätee kaikille n 2. xiii

16 Suoraan ehdosta () nähdään, että tällöin kaikille n 2 pätee x n+ x n = ± 2 (x n x n ), joten x n+ x n = 2 x n x n kaikille n 2. (2) Ehdosta (2) saadaan helposti induktiolla ehto x n+ x n = 2 n x 2 x kaikille n. (3) Koska konstruktion mukaan x 2 = x + (m 0 x )/2 ja x < m 0, niin ehto (3) tulee edelleen muotoon x n+ x n = 2 n (m 0 x ) kaikille n. (4) Kolmioepäyhtälöstä, ehdosta (4) ja geometrisen sarjan summakaavasta saadaan nyt kaikille m > n ehto m m x m x n = (x i+ x i ) m x i+ x i = 2 i (m 0 x ) = i=n m (m 0 x ) 2 i (m 0 x ) Silloin pätee i=n i=n i=n i=n 2 i = 2 n (m 0 x ) i=0 2 i = 2 n (m 0 x ). x m x n 2 k (m 0 x ) kaikille m,n N, k = min{m,n}. (5) Ehdon (5) nojalla nähdään nyt helposti, että (x n ) on Cauchy-jono: Jos ǫ > 0 on mielivaltainen, niin harjoitustehtävän 6. nojalla voidaan valita n 0 N siten, että 2 n0 (m 0 x ) < ǫ, jolloin kaikille m,n n 0 pätee ehdon (5) nojalla ja asia on selvä. x m x n < ǫ Tällöin lauseen B nojalla jono (x n ) suppenee; olkoon lim n x n = m R. Kuten todistuksen alussa huomattiin, niin riittää osoittaa, että joukolla M on minimi. Siispä todistus on valmis, jos osoitetaan, että m = min M. Minimin määritelmän mukaan pitää osoittaa, että m M ja toisaalta m on joukon M pienin alkio, ts. jos m M, niin välttämättä m m. Osoitetaan ensin, että m M. xiv

17 Tehdään antiteesi: m / M. Tällöin joukon M määritelmän mukaan m ei ole joukon A yläraja eli on olemassa a A siten, että m < a. Koska lim n x n = m, niin on olemassa n 0 siten, että x n m < a m kun n n 0. Tällöin x n < a kun n n 0. Koska a A, niin tällöin x n / M kun n n 0. Silloin joukko N = {n N x n M} on äärellinen, mahdollisesti jopa tyhjä. Tarkastellaan ensin tapausta N =. Silloin jonon (x n ) konstruktion perusteella x 2 = x + (m 0 x )/2 ja x n+ = x n + x n x n 2 Näistä ehdoista nähdään helpolla induktiolla, että x n = x + n k= Koska geometriselle sarjalle pätee 2 k (m 0 x ) = x + (m 0 x ) lim n n k= 2 k = k= kaikille n 2. n k= 2 k = 2 k kaikille n 2. (6) ja lim n x n = m, niin ehdon (6) perusteella (tässä tosin tarvitaan myös sitä tietoa, että R:n rajankäynti suhtautuu luontevasti laskutoimituksiin, kuten sivulla ix huomautettiin) saadaan yhtälö m = x + (m 0 x ) k= 2 k = x + (m 0 x ) = x + m 0 x = m 0. Nyt kuitenkin antiteesin nojalla m / M ja toisaalta valintansa nojalla m 0 M, joten on jouduttu mahdottomaan tilanteeseen kuten haluttinkin, koska kyseessä on epäsuora todistus. Näin on hoidettu tapaus N =. Tarkastellaan sitten tapausta N. Koska N on äärellinen, voidaan valita n = max N. Tällöin siis n N eli x n M ja x n / M kaikille n > n. Tehtyjen valintojen perusteella x A ja M A =, joten x / M. Silloin n eli n 2, jolloin n N. Tällöin jonon (x n ) konstruktion perusteella x n+ = x n + (x n x n )/2 ja x n+ = x n + x n x n 2 kaikille n n +. Näistä ehdoista nähdään helpolla induktiolla, että kaikille n n + pätee n n x n = x n + k= n n 2 k (x n x n ) = x n + (x n x n ) k= 2 k. xv

18 Tästä saadaan samalla tavalla kuin ehdosta (6) yllä, että m = x n + (x n x n ) k= 2 k = x n + (x n x n ) = x n. Tämä on myös mahdotonta, koska antiteesin nojalla m / M ja toisaalta x n M. Näin myös tapaus N on hoidettu ja on osoitettu, että m M. Pitää vielä osoittaa, että m on pienin joukon M alkio. Tehdään taas antiteesi: On olemassa m M siten, että m < m. Koska lim n x n = m, niin on olemassa n 0 siten, että x n m < m m kun n n 0. Tällöin x n > m kun n n 0. Koska m M, niin tällöin myös x n M kun n n 0. Silloin joukko N = {n N x n / M} on äärellinen. Koska x A ja M A =, on välttämättä x / M ja siten ainakin N. Siten N, joten voidaan valita n 2 = max N. Tällöin jonon (x n ) konstruktion perusteella x n+2 = x n+ x n+ x n kaikille n n 2. 2 Tästä ehdosta nähdään helpolla induktiolla, että kaikille n n pätee n n 2 x n = x n2+ k= n n 2 k (x 2 n 2+ x n2 ) = x n2+ (x n2+ x n2 ) Tästä saadaan samalla tavalla kuin ehdosta (6) yllä, että m = lim n x n = lim n ( x n2+ (x n2+ x n2 ) n n 2 k= ) 2 k = n n 2 x n2+ (x n2+ x n2 ) lim n 2 k = x n 2+ (x n2+ x n2 ) k= x n2+ (x n2+ x n2 ) = x n2. k= k= 2 k. 2 k = Tämä on myös mahdotonta, koska kuten edellä osoitettiin pätee m M, mutta x n2 / M, koska n 2 N. Tämä ristiriita osoittaa, että todellakin m = min M ja siten koko lause on todistettu. Harjoitustehtävä 20. Osoita sup-aksiooman nojalla, että 2 on reaaliluku. Vertaa tehtävään 8. xvi

19 Rationaaliluvuista; alkeet Harjoitustehtävä 2. Olkoon α R. Onko olemassa lukua n Z siten, että α n /2? Jos on, onko n välttämättä yksikäsitteinen? Jos ei yleisesti, mille luvuille α luku n on yksikäsitteinen? Mille luvuille α mainittu epäyhtälö voi olla aito? Milloin epäyhtälö on välttämättä yhtälö? Merkitään tässä luentomonisteessa symbolilla N aidosti positiivisten kokonaislukujen joukkoa (siis 0 ei ole N:n alkio eli luonnollinen luku). Tavanomaiseen tapaan symboli Z tarkoittaa kaikkien kokonaislukujen joukkoa, jolloin N Z. Oletetaan tunnetuksi myös joukot Q ja R, joille pätee N Z Q R. Reaalilukujen joukon R konstruktio esitettiin johdannossa. Kuten tunnettua, rationaalilukujen joukko Q voidaan esittää muodossa Q = { p q p Z, q N} R. Jatkossa puhuttaessa rationaaliluvusta p/q Q tarkoitetaan sitä, että p Z ja q N ellei muuta mainita tai jostakin tilapäisestä syystä q ole negatiivinen kokonaisluku. Sanotaan, että rationaaliluku p/q on supistetussa muodossa, jos luvuilla p ja q ei ole yhteisiä tekijöitä, lukuja ± lukuunottamatta. Esimerkiksi siis rationaaliluku r = 527/9 ei ole supistetussa muodossa, koska osoittajalla ja nimittäjällä on yhteinen tekijä 7. Kun supistetaan tämä tekijä pois saadaan sama luku supistetussa muodossa eli r = 3/7. On ilmeistä(?), että jokainen rationaaliluku voidaan esittää supistetussa muodossa ja kun vaaditaan, kuten yllä sovittiin, että nimittäjä on positiivinen, rationaaliluvun supistettu muoto on yksikäsitteinen. Harjoitustehtävä 22. Osoita, että rationaaliluvun supistettu muoto on yksikäsitteinen. Tämä ei sittenkään ole aivan triviaali tehtävä. Oletetaan tässä tunnetuksi jokaisen kokonaisluvun n ±,0 alkulukuhajoitelma: n voidaan yksikäsitteisesti esittää muodossa n = ±p k pk2 2 pkm m, missä m N, k,...,k m N ja luvut p < p 2 <... < p m ovat alkulukuja. Kuten johdannossa kerrottiin, erityisen kiinnostuksen kohteena tulevissa approksimoinneissa on rationaaliluvun nimittäjän suuruus. Sovitaan tätä varten, että rationaaliluvun taso on sen supistetun muodon nimittäjä. Siten esimerkiksi luvun 527/9 taso on 7. Olkoon N N. Merkitään Q N = { p q p Z, q N, q N} Q. Harjoitustehtävä 23. Osoita, että N N Q N = Q.

20 Harjoitustehtävä 24. Kuinka lähellä joukon Q N alkiot voivat olla toisiaan? Tarkemmin sanottuna määrää Varoitus: Vastaus ei ole /N. min{ r r 2 r,r 2 Q N }. Harjoitustehtävä 25. Sanotaan, että joukko A R on tiheä, jos jokaisella avoimella välillä I R on joukon A alkio. Joukko A R on diskreetti, jos kaikille a A on olemassa avoin väli I a R siten, että A I a = {a}. Onko Q N tiheä, diskreetti vai ei kumpaakaan? Lause. Olkoon α R ja N N. Tällöin on olemassa r Q N siten, että α r 2N. Todistus. Harjoitustehtävän 2. ensimmäisen kohdan ratkaisusta paljastuu, että on olemassa m Z siten, että αn m 2. Tällöin α m N 2N. Koska m N Q N, niin väite seuraa. Seuraus.2 Olkoon α R ja N N. Tällöin on olemassa rationaaliluku p/q Q siten, että p Z ja q N sekä α p q 2N. Todistus. Tämä seuraa välittömästi lauseesta. ja toisaalta joukon Q N määritelmästä. Seuraus.3 Olkoon α irrationaaliluku, ts. α R \ Q. Tällöin on olemassa äärettömän monta rationaalilukua p/q siten, että α p q < q. Todistus. Tehdään antiteesi: Tällaisia lukuja p/q on vain äärellinen määrä (tai ei yhtään). Koska α on irrationaalinen, se ei itse ole mikään näistä luvuista ja tällöin voidaan valita ǫ > 0 niin pieneksi, että välillä ]a ǫ,a + ǫ[ ei ole yhtään tällaista lukua p/q. Valitaan sitten N N niin suureksi, että /N < ǫ. Seurauksen.2 nojalla on olemassa on olemassa rationaaliluku p/q Q siten, että p Z ja q N sekä α p q 2N. 2

21 Koska q N, niin /N /q ja tällöin pätee ja toisaalta ehdon /N < ǫ nojalla pätee α p q 2N < q, () α p q 2N < N < ǫ, joten p ]a ǫ,a + ǫ[. (2) q Ehdot () ja (2) eivät voi kuitenkaan luvun ǫ valinnan nojalla olla yhtaikaa voimassa, joten antiteesi johtaa ristiriitaan ja on siten väärä. Näin väite on todistettu. Harjoitustehtävä 26. Osoita seurauksen.2 nojalla, että joukko Q R on tiheä. Harjoitustehtävä 27. Olkoon N N kiinteä. Mille luvuille α R seurauksen.2 epäyhtälöstä ei saada aitoa, vaan siinä on väkisinkin yhtälö? (Tällöin sanotaan, että seurauksen.2 arvio on tarkka, ts. sitä ei voi parantaa näille luvuille α.) Varoitus: tämä ei ole niin helppo kuin tehtävä 2. Mietipä esimerkiksi tilannetta N = 5 ja α = 3/0. Harjoitustehtävä 28. Osoita, että seurausta.3 voidaan parantaa sillä tavalla, että sen epäyhtälön oikea puoli voidaan kertoa ykköstä pienemmällä vakiolla, ts. on olemassa m R, 0 < m < siten, että kaikille irrationaalisille α on olemassa äärettömän monta rationaalilukua p/q, joille pätee α p q < m q. Mikä on pienin tällainen m vai onko sellaista olemassakaan? Varoitus: pienin m ei ole /2. Seuraus.3 ja harjoitustehtävä 28. kertovat, että irrationaalilukua voidaan approksimoida varsin hyvin matalatasoisilla rationaaliluvuilla, ts. löysästi sanottuna niin, että approksimoinnissa syntyvä virhe on kääntäen verrannollinen approksimoivan rationaaliluvun tasoon. Seuraava lause ja harjoitustehtävä 29. kertovat sen sijaan, että rationaalilukua p/q ei voida kovin hyvin approksimoida muilla rationaaliluvuilla, jotka ovat matalatasoisia; vähän tarkemmin sanottuna: jos approksimoinnissa syntyvä virhe on kääntäen verrannollinen approksimoivan rationaaliluvun tasoon, niin pian käykin niin, että virhe on nolla: Lause.4 Olkoot p/q ja s/t rationaalilukuja siten, että p q s t < qt. 3

22 Tällöin p/q = s/t. Todistus. Koska niin josta edelleen p q s t pt qs =, qt pt qs qt < qt, pt qs <. Koska pt qs N {0}, niin tämä on mahdollista vain, kun pt qs = 0 ja tällöin p q s pt qs = = 0, t qt joten väite seuraa. Harjoitustehtävä 29. Muotoile tarkasti ja todista seuraava väite: Jos p/q Q on kiinteä ja ǫ > 0 pieni sekä s/t Q, s/t p/q siten, että niin t on suuri. 0 < p q s t < ǫ, 2 Rationaaliluvuista; Farey-jonot Olkoon N N. Sanotaan, että kertalukua N oleva Farey-jono on (suuruusjärjestykseen järjestetty) joukko F N = { p q Q 0 p q, q N}. Oletetaan lisäksi aina, että Farey-jonon termit on esitetty supistetussa muodossa. Siten esimerkiksi F = { 0, }, F 2 = { 0, 2, }, F 3 = { 0, 3, 2, 2 3, }, F 4 = { 0, 4, 3, 2, 2 3, 3 4, }, F 5 = { 0, 5, 4, 3, 2 5, 2, 3 5, 2 3, 3 4, 4 5, } ja F 6 = { 0, 6, 5, 4, 3, 2 5, 2, 3 5, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6, }. 4

23 Jos A on äärellinen joukko, niin merkitään symbolilla (A) sen alkioiden lukumäärää. Siten esimerkiksi (F ) = 2, (F 2 ) = 3, (F 3 ) = 5, (F 4 ) = 7, (F 5 ) = ja (F 6 ) = 3. Harjoitustehtävä 30. Onko (F N ) aina alkuluku? Kaikille n N määritellään ϕ(n) = ({m N m n siten, että luvuilla m ja n ei ole yhteisiä tekijöitä}). Tässä noudatetaan sitä yleistä käytäntöä, jonka mukaan sanonta luvuilla m ja n ei ole yhteisiä tekijöitä tarkoittaa sitä, että niillä ei ole yhteisiä tekijöitä triviaaleja tekijöitä ± lukuunottamatta. Saman asian voi ilmaista myös sanomalla, että luvuilla m ja n ei ole yhteisiä alkulukutekijöitä. Sanotaan, että näin syntyvä kuvaus ϕ : N N on Eulerin ϕ-funktio. Ensimmäiset Eulerin ϕ-funktion arvot ovat ϕ() = ({}) = ϕ(2) = ({}) = ϕ(3) = ({,2}) = 2 ϕ(4) = ({,3}) = 2 ϕ(5) = ({,2,3,4}) = 4 ϕ(6) = ({,5}) = 2 ϕ(7) = ({,2,3,4,5,6}) = 6 ϕ(8) = ({,3,5,7}) = 4 ϕ(9) = ({,2,4,5,7,8}) = 6 ϕ(0) = ({,3,7,9}) = 4 ϕ() = ({,2,3,4,5,6,7,8,9,0}) = 0. Huomaa, että p on alkuluku jos ja vain jos ϕ(p) = ({,2,...,p }) = p. Lemma 2. Olkoon N N. Merkitään G N = { m N F N 0 < m N < sekä luvuilla m ja N ei ole yhteisiä tekijöitä} F N. Tällöin (G N ) = ϕ(n). Todistus. Selvästi suoraan joukon G N määritelmän mukaan G N = { m N F N m N sekä luvuilla m ja N ei ole yhteisiä tekijöitä} ja tällöin kuvaus f : {m N m N sekä luvuilla m ja N ei ole yhteisiä tekijöitä} G N, missä f(m) = m N 5

24 on bijektio, joten väite seuraa suoraan ϕ-funktion määritelmästä. Huomautus. Määritelmien mukaan joukossa G N, N 2 ovat ne joukon F N alkiot, jotka ovat uusia verrattuna joukkoon F N. Lemman 2. mukaan näitä uusia lukuja on siis ϕ(n) kappaletta. Näin joukon F N alkioiden lukumäärä on +ϕ()+ϕ(2)+...+ϕ(n). Siis: Jos Eulerin ϕ-funktion arvot ϕ(),...,ϕ(n) tunnetaan, niin Farey-jonon F N alkioiden lukumäärä saadaan helposti laskettua. Esimerkki. Joukon F 7 alkioiden lukumäärä on sivulla 5 esitettyjä ϕ-funktion arvoja käyttäen = 9. Muistutetaan vielä mieliin, että rationaaliluvusta p/q oletetaan aina ellei muuta ilmene, että p Z ja q N. Lemma 2.2 Olkoot p/q ja r/s rationaalilukuja siten, että p/q < r/s. Tällöin kaikille λ,µ N pätee p λp + µr < q λq + µs < r s. Todistus. Harjoitustehtävä. Lauseessa.4 oli tyypillinen rationaalilukuja p ja q koskeva tulos: Jos p q < ǫ jollekin riittävän pienelle ǫ, niin p = q. Yksinkertaisimmillaan tämä ilmiö näkyy kokonaisluvuille p ja q: Jos p q <, niin p = q. Pohjimmiltaan vastaavasta ilmiöstä on kyse seuraavassa (ja monessa muussakin jatkossa esiintyvässä) lemmassa, joka on (osittain) käänteinen tulos lemmalle 2.2: Lemma 2.3 Olkoot p/q ja r/s rationaalilukuja siten, että p/q < r/s ja ps rq =. Olkoon lisäksi a/b Q siten, että p/q < a/b < r/s. Tällöin on olemassa λ,µ N siten, että a = λp + µr ja b = λq + µs. Todistus. Koska p/q < a/b, niin pb < qa eli qa pb > 0, joten valinnalla µ = qa pb pätee µ N. Vastaavasti ehdosta a/b < r/s seuraa, että rb sa > 0, joten valinnalla λ = rb sa pätee λ N. Lisäksi pätee λp + µr = (rb sa)p + (qa pb)r = prb psa + qra prb = ( ps + qr)a i) = a ja λq + µs = (rb sa)q + (qa pb)s = qrb qsa + qsa psb = (qr ps)b i) = b, joten väite seuraa. Yllä on yhtälöissä i) käytetty oletusta ps rq =. 6

25 Lause 2.4 Olkoot p/q ja r/s rationaalilukuja siten, että p/q < r/s ja ps rq =. Tällöin jokaiselle a/b Q pätee p/q < a/b < r/s jos ja vain jos on olemassa λ,µ N siten, että a λp + µr = b λq + µs. Todistus. Väite seuraa suoraan lemmoista 2.2 ja 2.3. Harjoitustehtävä 3. Päteekö lause 2.4 ilman oletusta ps rq =? Lause 2.5 Olkoon N N ja p/q < r/s Farey-jonon F N kaksi peräkkäistä termiä. Tällöin pätee ps rq =. Esimerkki. F 6 = { 0, 6, 5, 4, 3, 2 5, 2, 3 5, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6, } ja tässä esimerkiksi kolmanneksi ja toiseksi viimeiselle termille saadaan = ja sama pätee muillekin peräkkäisille termeille, niinkuin näkyy. Todistus. Tehdään induktio N:n suhteen. Kun N =, väite pätee triviaalisti, sillä F = {0/,/}. Oletetaan sitten induktiivisesti, että väite pätee N:lle. Olkoot p/q ja r/s F N :n kaksi peräkkäistä termiä. Tällöin siis induktio-oletuksen nojalla ps rq =. Lisäksi välttämättä q + s N +. () Jos näet olisi q + s N, niin (p + r)/(q + s) F N ja toisaalta lemman 2.2 nojalla p q < p + r q + s < r s, mikä on mahdotonta, koska p/q ja r/s ovat F N :n peräkkäisiä termejä. Jos nyt a/b F N+ \ F N ja p/q < a/b < r/s, niin ensinnäkin b = N + ja toisaalta lemman 2.3 ja ehdon ps rq = nojalla on olemassa λ,µ N siten, että a = λp + µr ja b = λq + µs. Siten N + = b = λq + µs i) q + s ii) N +, missä epäyhtälö i) perustuu siihen, että λ,µ,q,s ja epäyhtälö ii) ehtoon (). Silloin on oltava λq+µs = q+s ja tämä on mahdollista vain kun λ = µ =. Silloin a = λp + µr = p + r ja b = λq + µs = q + s Näin on nähty, että, jos p/q ja r/s ovat F N :n kaksi peräkkäistä termiä sekä a/b F N+ \ F N ja p/q < a/b < r/s, niin välttämättä Erityisesti siis: a = p + r ja b = q + s jolloin a b = p + r q + s. (2) F N :n kahden peräkkäisen termin välissä (3) on korkeintaan yksi F N+ :n termi. 7

26 Palataan sitten varsinaisen induktioväitteen todistukseen. Olkoot siis p/q ja r/s F N+ :n kaksi peräkkäistä termiä. Jos ne ovat myös F N :n peräkkäiset termit, niin väite seuraa suoraan induktio-oletuksesta. Voidaan siis olettaa, että niistä ainakin toinen ei ole F N :n termi. Ehdon (3) nojalla tällöin välttämättä toinen on F N :n termi, koska muuten ne molemmat jäisivät kahden peräkkäisen F N :n termin väliin, mikä on siis mahdotonta. Oletetaan ensin, että p/q F N. Olkoon u/v seuraava F N :n termi, jolloin siis p/q < r/s < u/v. Ehdon (2) nojalla pätee r = p + u ja s = q + v. Lisäksi induktio-oletuksen nojalla pätee Tällöin pv qu =. ps rq = p(q + v) (p + u)q = pv qu =, joten induktioväite pätee ainakin siinä tapauksessa, että p/q F N. Jos näin ei ole, niin p/q F N+ \ F N ja r/s F N. Tässä tapauksessa valitaan r/s:ää edeltävä F N :n termi ja merkitään sitä taas u/v:llä. Nyt u/v < p/q < r/s, jolloin ehdon (2) nojalla p = u + r ja q = v + s. Lisäksi induktio-oletuksen mukaan Nyt saadaan us vr =. ps rq = (u + r)s r(v + s) = us rv =, joten induktioväite pätee tässäkin tapauksessa. Harjoitustehtävä 32. Päteekö lauseelle 2.5 käänteinen tulos: Jos 0 p/q < r/s siten, että ps rq =, niin ovatko p/q ja r/s välttämättä jonkun Farey-jonon peräkkäisiä termejä? Sanotaan, että kahden supistetussa muodossa olevan rationaaliluvun p/q ja r/s mediantti on rationaaliluku med( p q, r s ) = p + r q + s. Huomaa, että mediantti on siis väärä alakoululaisen tapa laskea murtolukuja yhteen. Lause 2.6 Olkoon N N ja a/b F N+ \ F N, missä F N+ ja F N ovat Fareyjonoja. Tällöin a/b on kahden peräkkäisen F N :n termin mediantti. 8

27 Todistus. Tämä näkyy suoraan lauseen 2.5 todistuksen ehdosta (2). Esimerkki. F 6 = { 0, 6, 5, 4, 3, 2 5, 2, 3 5, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6, } ja F 5 = { 0, 5, 4, 3, 2 5, 2, 3 5, 2 3, 3 4, 4 5, }. Tässä F 6 :n uudet termit ovat todellakin niitä ympäröivien F 5 :n termien mediantteja: 6 = = med(0, 5 ) ja 5 6 = = med(4 5, ). Harjoitustehtävä 33. Jos ps rq =, niin ovatko p/q ja r/s välttämättä supistetussa muodossa? Entä med(p/q,r/s)? Harjoitustehtävä 34. Jos 0 p/q < r/s siten, että ps rq =, niin ovatko p/q, med(p/q, r/s) ja r/s välttämättä jonkun Farey-jonon kolme peräkkäistä termiä? Vertaa harjoitustehtävään 32. Harjoitustehtävä 35. Mikä on Farey-jonon F 30 termiä 5/8 seuraava termi? Supistetussa muodossa olevaan rationaalilukuun p/q liittyvä Fordin ympyrä C(p,q) on tasossa R 2 oleva ympyrä, jonka keskipiste on (p/q,/2q 2 ) ja säde /2q 2. Huomaa, että Fordin ympyrä C(p,q) sivuaa aina reaaliakselia pisteessä p/q. Rationaaliluku p/q määrää yksikäsitteisesti vastaavan Fordin ympyrän keskipisteen ja säteen eli koko ympyrän, mitä varten tarvitaan oletusta siitä, että p/q on supistetussa muodossa, jolloin luku q on yksikäsitteisesti määrätty

28 Harjoitustehtävä 36. Piirrä huolellisesti ympyrät C(p,q) joukon F N termeille p/q, kun N =,2,3,... Mitä havaitset? Lause 2.7 Kahden eri Fordin ympyrän sisäpuolet eivät leikkaa toisiaan. Todistus. Olkoot m/n p/q. Riittää osoittaa, että ympyröiden C(m, n) ja C(p, q) keskipisteiden etäisyys on vähintään yhtä suuri kuin ympyrän säteiden summa, ts. että ( m n, 2n 2 ) (p q, 2q 2 ) 2n 2 + 2q 2. () eli että eli eli ( m n p q )2 + ( 2n 2 2q 2 )2 ( 2n 2 + 2q 2 )2 (2) ( mq np nq ) 2 n 2 q 2 (3) (mq np) 2 (4) ja näin on, koska m/n p/q ja siten kaavassa (4) oleva mq np on nollasta eroava kokonaisluku. Lause 2.8 Olkoot m/n ja p/q supistetussa muodossa olevia rationaalilukuja siten, että 0 m/n < p/q. Tällöin Fordin ympyrät C(m,n) ja C(p,q) sivuavat toisiaan jos ja vain jos m/n ja p/q ovat jonkun Farey-jonon peräkkäisiä termejä. Todistus. Olkoot ensin m/n ja p/q jonkun F N :n peräkkäisiä termejä. Ympyrät sivuavat, jos niiden keskipisteiden etäisyys on sama kuin säteiden summa. Tämä tarkoittaa sitä, että riittää osoittaa, että lauseen 2.7 todistuksen kohdassa () on yhtälö. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että kyseisen todistuksen kohdissa (2), (3) tai (4) on yhtälö. Kohdan (4) mukaan riittää siis osoittaa, että (mq np) 2 =. Näin on, sillä lauseen 2.5 mukaan mq np =. Oletetaan sitten, että kyseiset Fordin ympyrät sivuavat toisiaan. Lauseen 2.7 nojalla ne sivuavat toisiaan ulkopuolelta, jolloin keskipisteiden etäisyys on sama kuin säteiden summa. Tällöin lauseen 2.7 todistuksen kohdassa () on yhtälö. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että kyseisen todistuksen kohdissa (2), (3) ja (4) on yhtälö. Kohdan (4) mukaan mq np = ±. Koska m/n < p/q, niin mq < np, joten ei voi olla mq np = +. Siten on oltava mq np =. Tällöin harjoitustehtävän 32. ratkaisun nojalla m/n ja p/q ovat jonkun Farey-jonon peräkkäisiä termejä. Lause 2.9 Olkoot m/n ja p/q supistetussa muodossa olevia rationaalilukuja siten, että 0 m/n < p/q. Oletetaan, että Fordin ympyrät C(m,n) ja C(p,q) sivuavat toisiaan. Olkoon C kolmas ympyrä, joka sijaitsee ympyröiden C(m,n) 0

29 ja C(p, q) sekä reaaliakselin rajoittamassa rajoitetussa alueessa ja lisäksi sivuaa ympyröitä C(m,n) ja C(p,q) sekä reaaliakselia. Tällöin C = C(m + p,n + q). Huomautus. Vertaa sivun 9 kuvassa olevaan tilanteeseen. Todistus. Lauseen 2.8 nojalla m/n ja p/q ovat jonkun Farey-jonon peräkkäisiä termejä. Lauseen 2.5 nojalla mq np =, jolloin harjoitustehtävän 34. ratkaisun nojalla m/n, (m+p)/(n+q) ja p/q ovat jonkun Farey-jonon kolme peräkkäistä termiä. Tällöin lauseen 2.8 nojalla ympyrät C(m, n) ja C(m+p, n+q) sekä toisaalta C(p,q) ja C(m + p,n + q) sivuavat toisiaan. Suoraan Fordin ympyrän määritelmän nojalla on selvää, että jokainen Fordin ympyrä sivuaa reaaliakselia. Tällöin siis ympyrä C(m + p,n + q) sivuaa sekä ympyröitä C(m,n) ja C(p,q) että reaaliakselia. Ilmeisesti myös C(m + p,n + q) sijaitsee ympyröiden C(m, n) ja C(p, q) sekä reaaliakselin rajoittamassa rajoitetussa alueessa. Geometrisesti on selvää, että tällaisia ympyröitä voi olla vain yksi, joten on oltava C = C(m + p,n + q). Harjoitustehtävä 37. Päteekö lauseen 2.9 väite ilman oletusta C sijaitsee ympyröiden C(m, n) ja C(p, q) sekä reaaliakselin rajoittamassa rajoitetussa alueessa? Tarkastele asiaa geometrisesti. 3 Dirichlet n ja Hurwitzin lauseet Aloitetaan triviaalilla huomiolla: Oletetaan, että kaapissa on (vain) mustia ja valkoisia sukkia. Poimitaan niitä umpimähkään tavoitteena saada samanvärinen sukkapari. Montako sukkaa vähintään on poimittava? Vastaus on helppo: kolme riittää. Tämä sama asia vähän yleisemmin muotoiltuna on ns. kyyhkyslakkaperiaate (The Pigeonhole Principle): Lause 3. Oletetaan, että on olemassa N laatikkoa ja M esinettä sekä M > N. Jos nämä esineet laitetaan näihin laatikoihin millä tavalla tahansa, niin jossakin laatikossa on ainakin kaksi esinettä. Todistus. Tämän voi helposti todistaa joko epäsuorasti tai induktiolla N:n suhteen. Jätetään yksityiskohdat harjoitustehtäväksi. Huomautus. Äskeiseen sukanpoimintaesimerkkiin sovellettuna laatikot ovat (kuvitteellisia kaapin edessä olevia) sukkakasoja, joita on kaksi: mustat ja valkoiset. Esineet ovat tässä tietysti poimittavia sukkia, joita näihin kasoihin heitellään. Huomautus. Näennäisestä yksinkertaisuudestaan huolimatta kyyhkyslakkaperiaate on joissakin tilanteissa hämmästyttävän tehokas, ja sen avulla voi ratkaista yllättävän monipuolisia (ja vaikeita) ongelmia. Seuraava harjoitustehtävä on