Reaalimaailman ympäristön heijastusmallien muodostaminen valokuvien avulla
|
|
- Armas Salminen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Reaalmaalman ympärstön heastusmallen muodostamnen valokuven avulla Vlle Paasmaa TKK, Sähkö- a tetolkenneteknkan koulutusohelma vpaasma@cc.hut.f Tvstelmä Tämän semnaartyön aheena on perehtyä menetelmään, onka avulla vodaan tuottaa heastusmallea obektelle valokuven perusteella. Menetelmän syötteenä on kohteen geometra sekä tunnetussa valastusolosuhtessa a kamerapstessä otettu pen oukko valokuva. Menetelmän käyttämä heastusmall perustuu yksnkertaseen muutaman parametrn malln a oletukseen, että mallnnettaven pntoen dffuust omnasuudet vovat muuttua pakan funktona, mutta e-dffuust omnasuudet pysyvät muuttumattomna. Malln avulla vodaan kohde renderödä perntesn menetelmn a valastukseen sekä geometraan vodaan tehdä melvaltasa muutoksa. 1 JOHDANTO Todellsten kohteden mallntamnen vrtuaalmaalmaks on yks tetokonegrafkan nopeast kasvavsta sovellusaluesta. Elokuvateollsuus käyttää flmauskohteden kuvapohasta mallntamsta esmerkks haluttaessa vahtaa kuvatun kohtauksen valastusolosuhteta ta lsätä kohtaukseen rekvsttaa a hahmoa. Arkktehtuurssa kuvapohasta mallntamsta vodaan käyttää esm. vsualsomaan rakennusta uusssa kuvakulmssa ta valastuksssa. Aemp tutkmus kuvapohasessa mallntamsessa on osottanut, että valokuven a geometrsen malln pohalta dffuusesta kohtesta alkuperästä vastaavalla valastuksella renderödyt kuvat ovat varsn fotorealstsa. Jos kutenkn halutaan muuttaa valastusta ta geometraa, vaat se valon a esneden nterakton laskemsta uudestaan a esneden heastusomnasuuksen tuntemsta. Esneden heastusomnasuuksa e kutenkaan valokuvsta suoraan ole helpost saatavlla. Heastusomnasuuksen estmonta on tutkttu laboratoro-olosuhtessa erlaslla mttausmenetelmllä, mutta koska materaalen heastusomnasuudet ovat tlan a aan mukaan muuttuva, ovat ennalta suortetut yksttäset mallnnokset melko epäkäytännöllsä. Käytännöllsempää on kyetä mallntamaan halutun kohteen kakken näkyven obekten heastusomnasuudet yhdellä kertaa, a meluten suhteellsen penellä määrällä valokuva. Tässä on kutenkn kaks ongelmaa: 1
2 1. Koska valokuva on van pen oukko, on kuvsta välttyvä nformaato lan nukka täysn ylesten kakssuuntasten heastusakaumafunktoden (BRDF, Bdrectonal Reflectance Dstrbuton Functon) tuottamseen. Ratkasu tähän ongelmaan on mallntaa heastusfunktot yksnkertaslla, muutaman parametrn mallella a akaa kohde herarksest osa-aluesn sten että okasen osa-alueen ssällä dffuust heastusomnasuudet vovat muuttua pakan funktona, mutta tarkastelusuunnasta rppuvat omnasuudet, kuten pnnan klto, pysyvät vakona. 2. Reaalmaalman kohteessa esneet heastuvat tosstaan a sks okasen esneen pnnan radanss on monmutkanen valonlähteden, kohteen geometran a muden esneden velä ratkasemattomen heastusomnasuuksen funkto. Algortm ratkasee tämän ongelman optmontprosesslla, onka okasella teraatolla saadaan uudet tarkemmat estmaatt radansselle. Papern (Yu et al., 1999) krottaat ovat antaneet menettelytavalle nmen Inverse Global Illumnaton. Kuva 1 esttää Inverse Global Illumnaton -algortmn yleskuvauksen. Algortmn syötteenä on kohteen tunnetussa valastusolosuhtessa otettu oukko valokuva, geometrnen mall a ostus, oka akaa kohteen e-dffuusen omnasuuksen mukaan yhtenäsn osa-aluesn. Ulostulona saadaan kohteen heastusomnasuudet, otka muodostuvat kohteen pntoen korkearesoluutossta albedo-kartosta (albedo tarkottaa dffuusheastussuhdetta) sekä spekulaarheastusomnasuukssta. Malln avulla vodaan kohde renderödä perntesn menetelmn kenotekosella valastuksella, lsäobektella a halutulla muutokslla geometraan. 2 ALGORITMIN TAUSTAA Heastusomnasuuksen mallntamsta penellä parametroukolla on tutkttu o pdemmän akaa, a usella er mallella a menetelmllä on päästy realstseen lopputulokseen. Vme vuoskymmenen tutkmuksssa on panostettu palon mallen muodostamseen mttaamalla a käyttämällä kuvantamslatteta. Algortmn yhtenä syötteenä olevan geometrsen malln tuottamseen on myös mona er tapoa. Kuva 1: Inverse Global Illumnaton -algortmn yhteys tavallseen renderöntn normaalessa valastusolosuhtessa (Global Illumnaton) (Yu et al., 1999). 2
3 Esmerkks laser-etäsyysmttaus mahdollstaa kohteen geometran hyvnkn tarkan mallntamsen. Inverse Global Illumnaton -algortmn kannalta on sama, mten geometrnen mall on tuotettu. Krottaat ovat valnneet geometrsen malln muodostamstavaks teknkan, oka on estelty Sggraph 1996 konferenssssa (Debevec et al., 1996). Syötteenä olevat kameralla otetut valokuvat ssältävät kuvantamsprosessn epälneaarsuuksen taka vrhettä. Tämän taka kuvat evät edusta okeaa radanssakaumaa, mutta algortm koraa ongelman käyttämällä Debevecn a Malkn kehttämää teknkkaa (Debevec a Malk, 1997). 3 KÄÄNTEISRADIOSITEETTI Radosteettn el valon srontaan perustuva renderönt on erttän korkealaatunen tapa laskea valon heastuksa mallssa (Sllon a Puech, 1994). Kakk valon heastumnen pnnosta otetaan huomoon. Usemmssa reaalmaalman pnnossa on sekä spekulaarsta että dffuusa heastavuutta a molempen heastusmallen muodostamnen ympärstössä, ossa on obekten kesknäsheastusta, on monmutkasta. Raotutaan ensn tarkastelemaan yksnkertastettua tapausta, ossa kakk pnnat ovat dffuusea. Tämä nk. Lambert-mall yksnkertastaa globaaln valastuksen ongelmaa huomattavast a mahdollstaa radostettmenetelmän soveltamsen (Sllon a Puech, 1994). Tässä tapauksessa tarkotetaan kääntesradosteetlla ss pntoen dffuusen heastusmallen muodostamsta, kun tedetään kohteen geometra, radanssakauma a valastusolosuhteet. Radosteettmenetelmässä kohteen pnnat aetaan aluesn sten, että kunkn alueen radosteett a dffuus heastusomnasuus on vako alueen ssällä. Jokaselle tällaselle alueelle pätee yhtälö: B = E + ρ B F, (1) mssä B on radosteett, E emsso, ρ albedo el dffuusheastussuhde a F on kohteen geometrasta rppuva muotokerron (engl. form-factor), oka kuvaa mkä osa alueesta lähtevästä valosta osuu pntaan. Radanssakauma saadaan ottamalla kohteesta valokuva a kästtelemällä ne Hgh Dynamc Range Image -teknkalla (Debevec a Malk, 1997). Yks kameran sant yhtä pntaa kohden rttää, koska Lambert-mallssa pntoen radanssakaumat pysyvät vakona kuvakulmasta rppumatta. Arvot B a E saadaan suoraan kuvsta, a arvot F saadaan geometrasta. Nällä tedolla saamme laskettua yksnkertasest osa-alueden albedot. ρ = B E ) /( B F ) (2) ( 3
4 4 PARAMETRISOITUJEN KAKSISUUNTAISTEN HEIJASTUSJAKAUMAFUNKTIODEN MUODOSTAMINEN Kakssuuntanen heastusakaumafunkto (BRDF, Bdrectonal Reflectance Dstrbuton Functon) kuvaa pnnasta heastuvan valon suuntarppuvan akautumsen. Se on määrtelty katselusuuntaan heastuvan valon a pnnan rradanssn suhteena. BRDF on ss nelän muuttuan funkto (katselu- a valastussuunten atsmuutt- a korkeuskulmat). Koska valokuvat ovat kaksulottesa, ne evät ylesest rtä BRDF:n määrttämseen. BRDF vodaan kutenkn approksmoda käyttämällä parametrsotua BRDF-malla. Aatellaan kuvan 2 mukasta yksnkertasta tapausta, ossa on yks yhtenäsen BRDF:n omaava pnta, ota valastaan tetystä suunnasta a kuvataan tunnetusta kamerapsteestä. Jokasella pnnan psteellä on oma valastus- a katselusuuntansa pakallaan olevaan valoon a kameraan nähden. Tätä sekkaa hyväks käyttäen vodaan muodostaa parametrsotu approksmaato BRDF-mallsta yhden valokuvan perusteella Jokanen pksel kuvassa ssältää pnnan vastaavan psteen P radanssn L kameran suuntaan. Koska tedämme myös kameraposton a tedämme rradanssn I psteessä P, BRDF vodaan mallntaa dffuusn a spekulaarn heastustermn summana okaselle psteelle P seuraavalla yhtälöllä: ρ π d L = ( + ρsk( α, Θ)) I, (3) mssä radanss L, rradanss I a Θ tunnetaan. Θ on valastus- a katselusuunnan atsmuutt- a korkeuskulmat ssältävä vektor. α on pnnan karheusvektor. K on funkto onka muuttuat ovat Θ a α. Rppuen stä onko pnta sotrooppnen va ansotrooppnen on α vastaavast yks- ta kolmekomponenttnen. Ratkastavks yhtälöstä (3) äävät parametrt ρ d, ρ s a α. Rppuen stä onko pnta sotrooppnen va e on ratkastavana 3-5 parametra. Kuva 2: Jokasella pnnan psteellä on oma valastus- a katselusuuntansa pakallaan olevaan valoon a kameraan nähden. Tätä sekkaa hyväks käyttäen vodaan muodostaa parametrsotu approksmaato BRDF -mallsta yhden valokuvan perusteella. (Yu et al., 1999) 4
5 Yhtälötä on saatavlla yhtä monta kun kuvassa on pkseletä. Ongelma on muodoltaan epälneaarnen optmontongelma, onka ratkasuna saadaan parhaat estmaatt parametrelle ρ d, ρ s a α. Jotta optmontongelma a parametren etsmnen suus mahdollsmman robustst, on kuvan ssällettävä alueta, ossa on vahva spekulaarheastus a alueta, ossa spekulaarheastus on hekko ta stä e ole ollenkaan. Jos vahva spekulaarheastus puuttuu kuvasta, e ole tarpeeks nformaatota spekulaaren parametren estmomseen a pnta vodaan anoastaan tulkta dffuusks. 5 PARAMETRISOIDUN BRDF:N MUODOSTAMINEN KESKINÄISVALAISTUSSA YMPÄRISTÖSSÄ Kun tedämme, mten kääntesradosteett lasketaan dffuusssa heastusmallssa, a mten parametrsotu BRDF muodostetaan spekulaarsessa heastusmallssa, vomme tarkastella ylesempää tapausta, ossa pnnosta heastuvat sekä valonlähteet että musta pnnosta heastuvat valonsäteet, a pnnolla on sekä dffuus- että spekulaarkomponentt. Tarkastellaan kuvan 3 mukasta kohteen osa-alueen pnnalla olevaa pstettä P. Stä kameran C v suuntaan heastuva valo on kakken sen kautta heastuven valolähteden sekä musta pnnosta shen heastuven valonsäteden summa. Yhtälö (3) ylestyy muotoon: L Cv P = E Cv P + ρ d L + P A F A ρs L P P A K Cv P A, (4) mssä L on radanss kameran C C v P v suuntaan psteessä P, E on emsso kameran C v P C v suuntaan psteessä P, a F on geometrasta rppuva muotokerron, oka kuvaa P A Kuva 3: Pnnasta A psteen P suuntaan heastuva spekulaarkomponentt on ersuur kun kameraa C kohden heastuva komponentt. (Yu et al., 1999) k 5
6 mkä osa alueesta A lähtevästä valosta lähtee koht pstettä P., L on radanss P A pnnasta A psteen P suuntaan a ρ s K CvP A on spekulaarheastuksen term ratkastuna pstessä P kameran C v kuvakulmasta sten että valolähteenä on alue A. Tehtävänä on älleen estmoda parametrt ρ s, ρ d a spekulaarnen karheusvektor α. E = 0 pstelle otka evät kuulu valonlähteeseen, L saadaan suoraan kameran C C v P C v P v radansskuvasta a radansst L vodaan estmoda teromalla. Kuvassa 3 pnnan P A A kameran C k suuntanen radanss L on yhtäsuur radanssn L kanssa van os C k A P A pnnalla A on van dffuus heastuskomponentt. Mussa tapauksssa anoastaan dffuust heastuskomponentt ovat yhtäsuuret a spekulaarset komponentt eroavat tosstaan. Tällasta tlannetta kuvaa yhtälö L P A = L + S, (5) Ck A Ck P A mssä SCk P A = S P A S Ck A on psteen P suuntaan olevan radanssn spekulaarkomponentn a Cksuuntaan olevan spekulaarkomponentn erotus. Tarvtsemme pnnan A BRDF:n erotuksen S C k P A laskemseen. Koska pnnan A BRDF on tuntematon, erotukset on estmotava teratvsen prosessn avulla. S C k P A Jokasesta kohteen pnnasta on oltava anakn yks radansskuva, ossa näkyy spekulaarheastuksen huppuvalokohta, otta pntoen parametrsotuen BRDF:en muodostamnen on mahdollsta. Jokanen näyttestyspste antaa yhtälön, oka on muotoa (4). Nästä yhtälöstä vomme muodostaa okaselle pnnalle panotetun penmmän nelösumman ongelman. Optmonnn akana on kerättävä rradanssa okasessa näyttestyspsteessä. Tämä vodaan tehdä tehokkaast akamalla okanen pnta herarksest osa-aluesn a lnkttää er näyttestyspsteet er tasolle herarkassa. Jokasesta osa-alueesta näyttestyspsteeseen on olemassa radanssarvo a okasen lnkkparn välllä on spekulaarkomponentten erotus S. 5.1 Inverse Global Illumnaton -algortm Ensn etstään kakk pnnolla olevat spekulaarheastuksen valosmmat kohdat käyttäen kuvan 4 mukasta algortma. Jokaselle kamerapostolle C Jokaselle polygonlle T Jokaselle valonlähteelle O Etstään T tason a suoran CO lekauspste P (ossa O on O:n kanssa symmetrnen T:n suhteen); Testataan onko P polygonn T ssällä; Testataan ette O:n a P:n välllä ole okkluusota; (okkluuso = tukkeuma, este ota valonsäde e läpäse) Testataan ette C:n a mkä tahansa P:n lähympärstön psteen välllä ole okkluusota; /* huppuvalokohta löyty os P läpäsee kakk testt */ Kuva 4: Algortm huppuvalokohten etsmseen. 6
7 Sen älkeen alustetaan herarksn lnkkehn lttyvät S arvot nollks. Ratkasemalla oukon epälneaarsa optmontongelma, saamme alustavan estmaatn BRDF:n parametresta okaselle pnnalle erkseen. Estmomalla saatua spekulaarheastuksen parametrea käytetään älleen alustamaan uudet S a L arvot seuraavaa P A terontkerrosta varten. Inverse Global Illumnaton -algortm on estetty pseudokoodna kuvassa Käytännön sekkoa Inverse Global Illumnaton -algortmn tomvuus vodaan parhaten todeta käytännön kokelulla, koska e ole formaala määrtelmää testaamaan sen konvergotumsta, ekä BRDF:n parametrsonnssa sallttua vrheraoa ole määrtelty. Sen saan vodaan epäformaalst määrttää käytännön sekkoa, otka on otettava huomoon: 1. Jokaselta pnnalta on pyrttävä saamaan kuvatuks spekulaarnen huppuvalokohta, oka aheutuu suoraan ostan valonlähteestä. Jos käytetään useta valonlähtetä on todennäkösempää, että päästään tähän tlanteeseen. Usean valonlähteen käyttämnen lsää myös dffuusn heastuskomponentn panoarvoa a tukee spekulaarkomponentten erotuksen S alustamsta nollaks ennen algortmn teraatovahetta. 2. Suunnattuen valonlähteden käyttämnen parantaa spekulaarkomponentten erottuvuutta dffuuskomponentesta. 1. Ets huppuvalokohdat. 2. Valtse oukko näyttestyspstetä huppuvalokohten sekä ssä- että ulkopuolelta. 3. Muodosta herarksa lnkkeä näyttestyspsteden a kohteen osa-alueden vällle a käytä säteenseurantaa okkluusoden havatsemseen. 4. Aseta okaselle alueelle yks radansskuva a yks radansskeskarvo kamerapostosta kuvattuna. 5. Alusta S nollaks kakssa herarksssa lnkessä Iter=1 to N Jokaselle herarkselle lnklle käytetään lnkn S arvoa pävttämään shen lttyvää radanssarvoa; Jokaselle pnnalle, optmodaan BRDF parametrt näyttestyspstestä saadulla Jokaselle herarkselle lnklle, estmodaan uus S käyttäen BRDF parametrea; datalla Kuva 5: Inverse Global Illumnaton -algortm. 7
8 6 DIFFUUSIHEIJASTUSSUHDEKARTTOJEN MUODOSTAMINEN Edellä on pntoa mallnnettu sten, että nden heastusomnasuudet pysyvät osaaluettan vakona. Spekulaarkomponentten osalta onkn meneteltävä nän, koska penestä määrästä kuva a kuvakulma e saada spekulaarssta omnasuukssta tetoa kun muutamalle pnnan psteelle. Sen saan dffuuskomponentn mall vodaan muuttaa pakan mukaan muuttuvaks dffuusheastussuhdekartaks. Pnnan psteen x heastussuhde vodaan määrttää kartan avulla seuraavast: ρ ( x) = πd( x) / I( x), (6) d mssä ρd (x) on dffuusheastussuhdekartta, D (x) dffuusradansskartta a I (x) on rradansskartta. Kohteessa olevan pnnan radansskartta vodaan lausua sen dffuus- a spekulaarradansskarttoen summana seuraavast: L ( x) = D( x) + S( x), (7) mssä S(x) on pnnan spekulaarradansskartta kamerasannsta katsottuna. Yhtälön (6) dffuusradansskartta D (x) saadaan ratkastua yhtälöstä (7) vähentämällä kuvasta saatavasta radansskartasta L(x) pkselettän spekulaarkomponentn arvo, käyttäen o ratkastua spekulaarheastusparametrea. Irradansskartta I (x) saadaan muodostettua, kun tedetään valonlähteet a geometrasta rppuvat muotokertomet F, otka kuvaavat mkä osa alueesta lähtevästä valosta osuu pntaan. 7 ALGORITMIN SOVELTAMINEN Yu, Debevec, Malk a Hawkns ovat testanneet algortmaan a dokumentoneet tuloksa tämän estyksen pohana olevassa paperssa (Yu et al., 1999). 7.1 Smulotu kohde Ensmmänen esmerkk on tehty soveltamalla algortma kuvan 6 yksnkertaseen smulotuun huoneeseen, ossa on kesknäsheastava valastusmall. Smulotua huonetta on oletettavast käytetty testssä sks että on votu kytkeä kuvantamsprosessn epälneaarsuus pos valokuvsta, a verrata algortmn lopputulosta smulodussa kuvassa käytettyhn okesn arvohn. Jokasella kuvan 6 pnnalla on monokromaattset dffuusa spekulaarheastuskomponentt, mutta okasella pnnalla on omat parametrnsa. 8
9 Kuva 6: Smulotu huone. (Yu et al., 1999) Kuus synteettstä valokuvaa otetaan kuuton keskeltä s.e. kukn pnta näkyy ana yhdessä kuvassa. Tonen kuuden kuvan oukko otetaan tarkentaen kunkn pnnan huppuvalokohtaan. Käyttämällä nätä 12 kuvaa, sekä valonlähteden ntensteetteä a santea algortmn syötteenä, on esmerkssä ratkastu BRDF parametrt. Alkuperäset a ratkastut parametrt on lstattu taulukossa 1. Taulukko 1. Alkuperästen a estmotuen parametren vertalu (Yu et al., 1999) Esmerkn aoaka SGI O2 180MHz työasemalla on non puol tunta. Estmodussa parametressä on kolme er vrhelähdettä. 1) BRDF:n mallntamsessa syntyy vrhettä, koska mall e kykene täysn realstsest kuvaamaan alkuperästä materaala. 2) Renderönnn yhteydessä syntyy vrhe, os esm. valon transportaato approksmodaan. 3) BRDF:n regeneronnssa syntyvä vrhe. 7.2 Reaalmaalman kohde Tosena esmerkknä oleva okea kohde on huone, oka on valastu kuvan 7b mukasest kolmella krkkaalla hehkulampulla. Kohteesta otetusta radansskuvsta on ratkastu kohteen geometra a valonlähteden pakat (kuva 7a). Nällä syöttellä algortm ratkasee 9
10 kuvan pnnolle BRDF:t kahdessa vaheessa. Vaheessa 1 ratkastaan parametrsodut BRDF:t spekulaarheastusten pohalta. Tosessa vaheessa ratkastaan dffuusheastussuhdekartat (dffuse albedo maps) ensmmäsen vaheen tuloksen avulla vähentämällä kuvsta spekulaarkomponentt. Aoaka kummallekn vaheelle on non 3 tunta Pentum II 300MHz PC:llä. Algortm tuottaa useasta er radansskuvasta (yks kuvassa 8a) valastusrppumattoman dffuusoheastussuhdekartan (kuva 8b) postamalla taulusta huppuvalastuskohdat. Kuva 9 näyttää kolmen er puollla huonetta olleen ulsteen dffuusoheastussuhdekartat. Vakka ulsteet olvat kuvassa er valastuksssa, näyttävät kartat slt hyvn samanlaslta. Kuvassa 10 on vertaltu alkuperäsä kuva (yllä) renderötyhn kuvn. Kuvassa 11 on renderöty panoraamakuva kohteesta alkuperäsessä valastuksessa. Kuvassa 12 on vastaava kuva uudella valastuksella a kuvassa 13 lsättynä vrtuaalslla obektella. Kuva 7a: Geometra (Yu et al., 1999) Kuva 7b: Valastus (Yu et al., 1999) Kuva 8a: Spekulaarhuppuvalokohta (Yu et al., 1999) Kuva 8b: Dffuusoheastussuhdekartta (Yu et al., 1999) 10
11 Kuva 9: Dffuusheastussuhdekarttoa (Yu et al., 1999) Kuva 10: Alkuperästen kuven (yllä) a renderötyen kuven (alla) vertalu (Yu et al., 1999) Kuva 11: Synteettnen renderönt alkuperäsellä valastuksella (Yu et al., 1999) 11
12 Kuva 12: Synteettnen renderönt uudella valastuksella (Yu et al., 1999) 8 LOPUKSI Kuva 13: Vrtuaalsa lsäobektea (Yu et al., 1999) Vakka algortmn tomntaa on vakea formaalst mtata, vakuttaa se tomvan varsn hyvn käytännön näytön perusteella. Algortm mahdollstaa reaalmaalman obekten vemsen vrtuaalmaalmaan, ossa ntä vodaan tarkastella halutusta kulmasta, ne vodaan valasta mten tahdotaan a nden geometraa vodaan muuttaa. Tulevasuuden suuntauksena on algortmn kehttämnen yhä vrhesetosemmaks geometrsen malln vrhelle. Geometrnen mall ols tarkotus kyetä tuottamaan esm. laser-skannerlla. Algortmn konvergotumsehtoen löytämnen on teoreettsest melenkntonen a haastava tulevasuuden ongelma. VIITTEET Debevec, P; Taylor, C; a Malk, J. Modelng and Renderng archtecture from photographs: A hybrd geometry- and mage based approach. Proceedngs of SIGGRAPH 1996, svut Debevec, P; a Malk, J. Recoverng Hgh Dynamc Range Radance Maps from Photographs. Proceedngs of SIGGRAPH 1997, svut Sllon, F. X; a Puech, C. 1994, Radosty and Global Illumnaton. Morgan Kaufman Publshers, San Francsco Yu, Y.; Debevec, P.; Malk, J.; Hawkns, T.; Inverse global llumnaton: recoverng reflectance models of real scenes from photographs. Proceedngs of SIGGRAPH 1999, svut
3.5 Generoivat funktiot ja momentit
3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä
Lisätiedot1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä
Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10
LisätiedotTchebycheff-menetelmä ja STEM
Tchebycheff-menetelmä ja STEM Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 1. Johdanto Tchebycheff- ja STEM-menetelmät ovat vuorovakuttesa menetelmä evät perustu arvofunkton käyttämseen pyrkvät shen, että vahtoehdot
Lisätiedot3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi
3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa
LisätiedotJaksolliset ja toistuvat suoritukset
Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e
LisätiedotMat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut
Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss
LisätiedotMarkov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)
J. Vrtamo Lkenneteora a lkenteenhallnta / Markov-prosesst 1 Markov-prosesst (Jatkuva-akaset Markov-ketut) Tarkastellaan (statonaarsa) Markov-prosessea, oden parametravaruus on atkuva (yleensä aka). Srtymät
LisätiedotPainotetun metriikan ja NBI menetelmä
Panotetun metrkan ja NBI menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät / 1 Estelmän ssältö Paretopsteden generont panotetussa metrkossa Panotettu L p -metrkka Panotettu L -metrkka el panotettu Tchebycheff -metrkka
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.
MS-A0205/MS-A0206 Dfferentaal- ja ntegraallaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Penmmän nelösumman menetelmä. Jarmo Malnen Matematkan ja systeemanalyysn latos 1 Aalto-ylopsto Kevät 2016 1 Perustuu Antt
LisätiedotMittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa
Mttausteknkan perusteet / luento 6 Mttausepävarmuus ja shen lttyvää termnologaa Mttausepävarmuus = mttaustulokseen lttyvä parametr, joka kuvaa mttaussuureen arvojen odotettua vahtelua Mttauksn lttyvä kästtetä
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematkkaan Informaatoteknologan tedekunta Jyväskylän ylopsto 4. luento 24.11.2017 Neuroverkon opettamnen - gradenttmenetelmä Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavote-parella
LisätiedotMonte Carlo -menetelmä
Monte Carlo -menetelmä Helumn perustlan elektron-elektron vuorovakutuksen laskemnen parametrsodulla yrteaaltofunktolla. Menetelmän käyttökohde Monen elektronn systeemen elektronkorrelaato oteuttamnen mulla
LisätiedotUuden eläkelaitoslain vaikutus allokaatiovalintaan
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemanalyysn laboratoro Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyö Uuden eläkelatoslan vakutus allokaatovalntaan Tmo Salmnen 58100V Espoo, 14. Toukokuuta 2007 Ssällysluettelo Johdanto...
LisätiedotFYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO
FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARSAATO Työssä tutktaan valoaallon tulotason suuntasen ja stä vastaan kohtsuoran komponentn hejastumsta lasn pnnasta. Havannosta lasketaan Brewstern lan perusteella lasn tatekerron
Lisätiedot6. Stokastiset prosessit (2)
Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 6 Markov-prosess Esmerkk Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta stokaststa prosessa X(t) oko tla-avaruudella
LisätiedotCOULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT
COUOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT SISÄTÖ: Coulombn voma Sähkökenttä Coulombn voman a sähkökentän laskemnen pstevaaukslle Jatkuvan vaauksen palottelemnen pstevaauksks
LisätiedotABTEKNILLINEN KORKEAKOULU
ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tetoverkkolaboratoro 6. Stokastset prosesst () Luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 5 6. Stokastset prosesst () Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst
LisätiedotTavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä
Tavotteet skaalaavan funkton lähestymstapa el referensspste menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 Estelmän ssältö Panotetun metrkan ongelmen havatsemnen Referensspste menetelmän dean esttely Referensspste
LisätiedotEpälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä (valmiin työn esittely)
Epälneaarsten penmmän nelösumman tehtäven ratkasemnen numeerslla optmontmenetelmllä valmn työn esttely Lar Pelkola 9.9.014 Ohjaaja/valvoja: Prof. Harr Ehtamo yön saa tallentaa ja julkstaa Aalto-ylopston
LisätiedotAutomaattinen 3D - mallinnus kalibroimattomilta kuvasekvensseiltä
Maa-57.270 Fotogrammetran, kuvatulknnan ja kaukokartotuksen semnaar Automaattnen 3D - mallnnus kalbromattomlta kuvasekvensseltä Terh Ahola 2005 Ssällysluettelo 1 Johdanto...2 2 Perusteoraa...2 2.1 Kohteen
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt
FYSP103 / 1 KAASUTUTKIMUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oppa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttauspöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-
LisätiedotKuluttajahintojen muutokset
Kuluttajahntojen muutokset Samu Kurr, ekonomst, rahapoltkka- ja tutkmusosasto Tutkmuksen tausta ja tavotteet Tavaroden ja palveluden hnnat evät muutu jatkuvast, vaan ovat ana jossan määrn jäykkä lyhyellä
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu
LisätiedotJäykän kappaleen liike
aananta 9.9.014 1/17 Jäykän kappaleen lke Tähän ast tarkasteltu massapstemekankkaa : m, r, v Okeast fyskaalset systeemt ovat äärellsen kokosa, esm. jäykät kappaleet r r j = c j =vako, j elastset kappaleet
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekankan jatkokurss Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalamp LUENTO 2 Alkuverryttelyä Vääntömomentt Oletus: Vomat tasossa, joka on kohtsuorassa pyörmsaksela vastaan. Oven kääntämseen tarvtaan er suurunen voma
LisätiedotER-kaaviot. Ohjelmien analysointi. Tilakaaviot. UML-kaaviot (luokkakaavio) Tietohakemisto. UML-kaaviot (sekvenssikaavio) Kirjasto
Ohelmen analsont Ohelmen kuvaamnen kaavolla ohelmen mmärtämnen kaavoden avulla kaavoden tuottamnen ohelmasta Erlasa kaavotppeä: ER-kaavot, tlakaavot, UML-kaavot tetohakemsto vuokaavot (tarkemmn) Vuoanals
LisätiedotTaustaa. Sekventiaalinen vaikutuskaavio. Päätöspuista ja vaikutuskaavioista. Esimerkki: Reaktoriongelma. Johdantoa sekventiaalikaavioon
Taustaa Sekventaalnen vakutuskaavo Sekventaalnen päätöskaavo on 1995 ovalun ja Olven esttämä menetelmä päätösongelmen mallntamseen, fomulontn ja atkasemseen. Päätöspuun omnasuukssta Hyvää: Esttää eksplsttsest
LisätiedotUsean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa
Usean muuttujan funktoden ntegraallaskentaa Pntantegraaln määrtelmä Yhden muuttujan tapaus (kertausta) Olkoon f() : [a, b] R jatkuva funkto Oletetaan tässä ksnkertasuuden vuoks, että f() Remann-ntegraal
LisätiedotLohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4
TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun
LisätiedotMittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio?
Mttausteknkan perusteet / luento 7 Mttausepävarmuus Mttausepävarmuus Mttaustulos e ole koskaan täysn oken Mttaustulos on arvo mtattavasta arvosta Mttaustuloksen ja mtattavan arvon ero on mttausvrhe Mkäl
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.4 Lneaarnen ohelmont 8..7 Luento 6 Duaaltehtävä (kra 4.-4.4) S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / Luentorunko Motvont Duaaltehtävä Duaalteoreemat Hekko duaalsuus Vahva duaalsuus Täydentyvyysehdot
LisätiedotYrityksen teoria ja sopimukset
Yrtyksen teora a sopmukset Mat-2.4142 Optmontopn semnaar Ilkka Leppänen 22.4.2008 Teemoa Yrtyksen teora: tee va osta? -kysymys Yrtys kannustnsysteemnä: ylenen mall Työsuhde vs. urakkasopmus -analyysä Perustuu
Lisätiedot1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0.
BM20A5800 - Funktot, lneaaralgebra, vektort Tentt, 26.0.206. (a) Krjota yhtälöryhmä x + 2x 3 = a 2x + x 2 + 5x 3 = b x x 2 + x 3 = c matrsmuodossa Ax = b ja ratkase x snä erkostapauksessa kun b = 0. Mllä
LisätiedotFDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA
FDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA Smo Hostkka VTT PL 1000, 02044 VTT Tvstelmä Fre Dynamcs Smulator (FDS) ohjelman vdes verso tuo mukanaan joukon muutoksa, jotka vakuttavat ohjelman käyttöön ja käytettävyyteen.
LisätiedotKollektiivinen korvausvastuu
Kollektvnen korvausvastuu Sar Ropponen 4.9.00 pävtetty 3..03 Ssällysluettelo JOHDANTO... KORVAUSVASTUUSEEN LIITTYVÄT KÄSITTEET VAHINKOVAKUUTUKSESSA... 3. MERKINNÄT... 3. VAHINGON SELVIÄMINEN JA KORVAUSVASTUU...
LisätiedotPainokerroin-, epsilon-rajoitusehtoja hybridimenetelmät
Panokerron-, epslon-rajotusehtoja hybrdmenetelmät Optmontopn semnaar - Kevät 000 / Estelmän ssältö Ylestä jälkkätespreferenssmenetelmstä Panokerronmenetelmä Epslon-rajotusehtomenetelmä Hybrdmenetelmä Esmerkkejä
Lisätiedot4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman
4. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7..008 Thomas Hackman 4. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 4. Tähtteteellsten
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt
FYSP103 / 1 KAASUTUTKIUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttausöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-
LisätiedotGalerkin in menetelmä
hum.9.3 Galerkn n menetelmä Galerknn menetelmän soveltamnen e ole rajottunut van ongelmn, jotka vodaan pukea sellaseen varaatomuotoon, joka on seurauksena funktonaaln mnmomsesta, kuten potentaalenergan
LisätiedotVERKKOJEN MITOITUKSESTA
J. Vrtamo 38.3141 Telelkenneteora / Verkon mtotus 1 VERKKOJEN MITOITUKSESTA 1. Prkytkentäset verkot Lnkken kapasteetten (johtoja/lnkk) määräämnen sten, että verkon kokonaskustannukset mnmotuvat, kun päästä-päähän
LisätiedotMittaustulosten käsittely
Mttaustulosten kästtely Vrhettä ja epävarmuutta lmasevat kästteet Tostokoe ja satunnasten vrheden tlastollnen kästtely. Mttaustulosten jakaumaa kuvaavat tunnusluvut. Normaaljakauma 7. Tostokoe ja suurmman
Lisätiedot3. Datan käsittely lyhyt katsaus
3. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento..0 Thomas Hackman HTTPK I, kevät 0, luento 3 3. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus
Lisätiedot3D-mallintaminen konvergenttikuvilta
Maa-57.270, Fotogammetan, kuvatulknnan ja kaukokatotuksen semnaa 3D-mallntamnen konvegenttkuvlta nna Evng, 58394J 2005 1 Ssällysluettelo Ssällysluettelo...2 1. Johdanto...3 2. Elasa tapoja kuvata kohdetta...3
LisätiedotEsitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos.
Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu /9. Ampltudmodulaato (AM) Spektranalysaattorlla mtattn 50 ohmn järjestelmässä ampltudmodulaattorn (AM) lähtöä, jollon havattn 3 mpulssa spektrssä taajuukslla
LisätiedotAB TEKNILLINEN KORKEAKOULU
B TEKNILLINEN KORKEKOULU Tetoverkkolaboratoro luento05.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 00 Ssältö eruskästteet Dskreett satunnasmuuttujat Dskreett jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnasmuuttujat
LisätiedotModerni portfolioteoria
Modern portfoloteora Helsngn Ylopsto Kansantalousteteen Kanddaatntutkelma 4.12.2006 Juho Kostanen (013297143) juho.kostanen@helsnk.f 2 1. Johdanto... 3 2. Sjotusmarkknat... 4 2.1. Osakemarkknat... 4 2.2.
Lisätiedot7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset.
7. Modult Vektoravaruudet ovat vahdannasa ryhmä, jossa on määrtelty jonkn kunnan skalaartomnta. Hyväksymällä kerronrakenteeks kunnan sjaan rengas saadaan rakenne nmeltä modul. Moduln käste on ss vektoravaruuden
LisätiedotPuupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö:
Puupntasen sandwchkattoelementn lujuuslaskelmat. Ssältö: Sandwch kattoelementn rakenne ja omnasuudet Laatan laskennan kulku Tulosten vertalua FEM-malln ja analyyttsen malln välllä. Elementn rakenne Puupntasa
LisätiedotEräs Vaikutuskaavioiden ratkaisumenetelmä
Mat-2.142 Optmontopn semnaar, s-99 28.9. 1999 Semnaarestelmän referaatt Joun Ikonen Lähde: Ross D. Schachter: Evaluatng nfluence dagrams, Operatons Research, Vol 34, No 6, 1986 Eräs Vakutuskaavoden ratkasumenetelmä
LisätiedotHASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta
HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten
LisätiedotKUVIEN LAADUN ANALYSOINTI
KUVIEN LAADUN ANALYSOINTI Lasse Makkonen 1.7.2003 Joensuun Ylopsto Tetojenkästtelytede Pro gradu tutkelma Tvstelmä Tutkelmassa luodaan katsaus krjallsuudessa esntyvn dgtaalsten kuven laadullsen analysonnn
LisätiedotEpätäydelliset sopimukset
Eätäydellset somukset Matt Rantanen 15.4.008 ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 16 Matt Rantanen Otmonton semnaar - Kevät 008 Estelmän ssältö Eätäydellset somukset ja omstusokeus alanén
LisätiedotJaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen
Tosakajärjestelmät Luento : Resurssen hallnta ja prorteett Tna Nklander Jaetut resursst Useat tapahtumat jakavat ohjelma-/lattesto-olota, jossa kesknänen possulkemnen on välttämätöntä. Ratkasuja: Ajonakanen
Lisätiedot1, x < 0 tai x > 2a.
PHYS-C020 Kvanttmekankka Laskuharotus 2, vkko 45 Tarkastellaan ptkn x-aksela lkkuvaa hukkasta, onka tlafunkto on (x, t) Ae x e!t, mssä A, a! ovat reaalsa a postvsa vakota a) Määrtä vako A sten, että tlafunkto
Lisätiedotr i m i v i = L i = vakio, (2)
4 TÖRMÄYKSET ILMATYYNYPÖYDÄLLÄ 41 Erstetyn systeemn sälymslat Kun kaks kappaletta törmää tosnsa ne vuorovakuttavat keskenään tetyn ajan Vuorovakutuksella tarkotetaan stä että kappaleet vahtavat keskenään
LisätiedotRaja-arvot. Osittaisderivaatat.
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat
LisätiedotPaperikoneiden tuotannonohjauksen optimointi ja tuotefokusointi
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Teknllsen fyskan koulutusohjelma ERIKOISTYÖ MAT-2.108 Sovelletun matematkan erkostyöt 22.4.2003 Paperkoneden tuotannonohjauksen optmont ja tuotefokusont Jyrk Maaranen 38012p 1 Ssällysluettelo
Lisätiedot4. A priori menetelmät
4. A pror menetelmät 4. Arvofunkto-menetelmä 4.2 Lekskografnen järjestämnen 4.3 Tavoteohjelmont Tom Bäckström Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 4. Arvofunkto-menetelmä Päätöksentekjä antaa eksplsttsen
LisätiedotYksikköoperaatiot ja teolliset prosessit
Ykskköoperaatot ja teollset prosesst 1 Ylestä... 2 2 Faasen välnen tasapano... 3 2.1 Neste/höyry-tasapano... 4 2.1.1 Puhtaan komponentn höyrynpane... 4 2.1.2 Ideaalnen seos... 5 2.1.3 Epädeaalnen nestefaas...
LisätiedotSähkökiukaan kivimassan vaikutus saunan energiankulutukseen
LAPPEENRANNAN ENILLINEN YLIOPISO eknllnen tedekunta LU Energa Sähkökukaan kvmassan vakutus saunan energankulutukseen Lappeenrannassa 3.6.009 Lass arvonen Lappeenrannan teknllnen ylopsto eknllnen tedekunta
Lisätiedot5. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman
5. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7.4.006 Thomas Hackman 5. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 5. Tähtteteellsten
LisätiedotRahastoonsiirtovelvoitteeseen, perustekorkoon ja vakuutusmaksukorkoon liittyvät laskentakaavat ja periaatteet
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 3..209 (7) Rahastoonsrtovelvotteeseen, perustekorkoon ja vakuutusmaksukorkoon lttyvät laskentakaavat ja peraatteet Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV 2. Täydennyskerron
LisätiedotTilastollisen fysiikan luennot
Tlastollsen fyskan luennot Tvstelmät luvuttan I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ Lämpö on systeemen mkroskooppsten osen satunnasta lkettä Lämpöenerga vrtaa kuumemmasta kappaleesta kylmempään Jos kaks kappaletta
Lisätiedoton määritelty tarkemmin kohdassa 2.3 ja pi kohdassa 2.2.
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 7.8.08 (7) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,
Lisätiedot5. Datan käsittely lyhyt katsaus
5. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 4..0 Thomas Hackman HTTPK I, kevät 0, luento 5 5. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus
Lisätiedot= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2
HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske
Lisätiedot= m B splini esitys. B splini esitys. Tasaiset B splinit
.2. spln estys ézer estyksen yksnkertasuus ja voma ovat ettämättä sen suoson salasuus. Kakesta huolmatta slläkn on rajotuksensa, jotka ovat yltettävssä splnejä käyttäen. Lsäämällä kontrollpstetä saadaan
LisätiedotValmistelut INSTALLATION INFORMATION
Valmstelut 1 Pergo-lamnaattlattan mukana tomtetaan kuvallset ohjeet. Alla olevssa tekstessä on seltykset kuvn. Ohjeet on jaettu kolmeen er osa-alueeseen, jotka ovat valmstelu, asennus ja svous. Suosttelemme,
LisätiedotSähkön- ja lämmöntuotannon kustannussimulointi ja herkkyysanalyysi
Sähkön- ja lämmöntuotannon kustannussmulont ja herkkyysanalyys Pekka Nettaanmäk Osmo Schroderus Jyväskylän ylopsto Tetoteknkan latos 2010 1 2 Tvstelmä Raportn tarkotuksena on esttää pelkstetyn matemaattsen
Lisätiedot13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit
68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta
LisätiedotAamukatsaus 13.02.2002
Indekst & korot New Yorkn päätöskursst, euroa Muutos-% Päätös Muutos-% Helsnk New York (NY/Hel) Dow Jones 9863.7-0.21% Noka 26.21 26.05-0.6% S&P 500 1107.5-0.40% Sonera 5.05 4.99-1.1% Nasdaq 1834.2-0.67%
LisätiedotKanoniset muunnokset
Kanonset muunnokset Koordnaatstomuunnokset Lagrangen formalsmssa pstemuunnoksa: Q = Q (q, t) nopeudet saadaan nästä dervomalla Kanonnen formalsm: p:t ja q:t samanarvosa 2n-ulottesen faasavaruuden muuttuja
LisätiedotKarttaprojektion vaikutus alueittaisten geometristen tunnuslukujen määritykseen: Mikko Hämäläinen 50823V Maa-123.530 Kartografian erikoistyö
Karttaprojekton vakutus aluettasten geometrsten tunnuslukujen määrtykseen: Mkko Hämälänen 50823V Maa-23.530 Kartografan erkostyö SISÄLLYSLUETTELO JOHDANTO... 4. TUTKIMUKSEN LÄHTÖKOHTA... 4.2 RAPORTISTA...
LisätiedotTietojen laskentahetki λ α per ,15 0,18 per ,15 0,18 per tai myöhempi 0,20 0,18
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 6.3.07 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,
LisätiedotGeneettiset algoritmit ja luonnossa tapahtuva mikroevoluutio
Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyöt Geneettset algortmt ja luonnossa tapahtuva mkroevoluuto 11.5.2005 Teknllnen korkeakoulu Systeemanalyysn laboratoro Oll Stenlund 47068f 1 Johdanto 3 2 Geneettset
LisätiedotS , FYSIIKKA III (ES), Syksy 2002, LH 4, Loppuviikko 39. Partitiofunktiota käyttäen keskiarvo voidaan kirjoittaa muotoon
S-11435, FYSIIKKA III (ES), Syksy 00, LH 4, Loppuvkko 39 LH4-1* Käyttän Maxwll-Boltzmann-jakauman parttofunktota määrtä a) nrgan nlön kskarvo (E ) skä b) nrgan nlöllnn kskpokkama kskarvosta l nrgan varanss,
LisätiedotHallin ilmiö. Laatija - Pasi Vähämartti. Vuosikurssi - IST4SE. Tekopäivä 2005-9-14 Palautuspäivä 2005-9-28
Jyväskylän Aattkorkeakoulu, IT-nsttuutt IIF00 Sovellettu fyskka, Syksy 005, 4.5 ETS Opettaja Pas epo alln lö Laatja - Pas Vähäartt Vuoskurss - IST4SE Tekopävä 005-9-4 Palautuspävä 005-9-8 8.9.005 /7 LABOATOIOTYÖ
Lisätiedot3.3 Hajontaluvuista. MAB5: Tunnusluvut
MAB5: Tunnusluvut 3.3 Hajontaluvusta Esmerkk 7 Seuraavat kolme kuvaa osottavat, että jakaumlla vo olla sama keskarvo ja stä huolmatta ne vovat olla avan erlaset. Kakken kolmen keskarvo on 78,0! Frekvenss
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.204 Tlastollsen analyysn perusteet, kevät 2007 5. luento: Tlastollnen rppuvuus ja korrelaato Ka Vrtanen Muuttujen välsten rppuvuuksen analysont Tlastollsssa analyysessä tutktaan usen muuttujen välsä
LisätiedotTyöllistääkö aktivointi?
Jyväskylän ylopsto Matemaatts-luonnonteteellnen tedekunta Työllstääkö aktvont? Vakuttavuusanalyys havannovassa tutkmuksessa Elna Kokkonen tlastoteteen pro gradu tutkelma 31. elokuuta 2007 Tlastoteteen
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.340 Lneaarnen ohjelmont 22..2007 Luento 0 Ssäpstemenetelmät ja kokonaslukuoptmont (krja 0.-0.4) Ssäpstemenetelmät luvut 8 ja 9, e tarvtse lukea Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / Luentorunko Sananen
LisätiedotIlmari Juva. Jalkapallo-ottelun lopputuloksen stokastinen mallintaminen
Ilmar Juva 45727R Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyö Jalkaallo-ottelun loutuloksen stokastnen mallntamnen 1 Johdanto Jalkaallo-ottelun loutuloksen mallntamsesta tlastollsn ja todennäkösyyslaskun
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.340 Lneaarnen ohjelmont 3.9.2007 Luento Johdanto (krja.-.4) S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / Luentorunko Hstoraa Lneaarnen optmonttehtävä
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Taloustieteiden tiedekunta
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Talousteteden tedekunta AIKA- IKÄ- JA KOHORTTIVAIKUTUKSET KOTITALOUKSIEN RAHOITUSVARALLISUUDEN RAKENTEISIIN SUOMESSA VUOSINA 1994 2004 Kansantaloustede Pro gradu -tutkelma Maalskuu
LisätiedotPyörimisliike. Haarto & Karhunen.
Pyörmslke Haarto & Karhunen www.turkuamk.f Pyörmslke Lttyy jäykän kappaleen pyörmseen akselnsa ympär Pyörmsenerga on pyörmsakseln A ympär pyörvän kappaleen osasten lke-energoden summa E r Ek mv mr mr www.turkuamk.f
LisätiedotAsennus- ja käyttöohjeet. Videoterminaali 2600..
Asennus- ja käyttöohjeet Vdeotermnaal 2600.. Ssällysluettelo Latekuvaus...3 Asennus...4 Lassuojuksen rrottamnen...5 Käyttö...5 Normaal puhekäyttö...6 Kutsun vastaanotto... 6 Puheen suunnan ohjaus... 7
LisätiedotMoraalinen uhkapeli: N:n agentin tapaus eli moraalinen uhkapeli tiimeissä
Moraalnen uhkapel: N:n agentn tapaus el moraalnen uhkapel tmessä Mat-2.4142 Optmontopn semnaar Ismo Räsänen 4.3.2008 S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn
Lisätiedotd L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ
TTKK/Fyskan latos FYS-1640 Klassnen mekankka syksy 2009 Laskuharjotus 5, 16102009 1 Ertysessä suhteellsuusteorassa Lagrangen funkto vodaan krjottaa muodossa v L = m 2 u t 1! ṙ 2 V (r) Osota, että tämä
LisätiedotSU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (5)
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0..06 (5) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,
LisätiedotTIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010
TIES592 Montavoteoptmont ja teollsten prosessen hallnta Ylassstentt Juss Hakanen juss.hakanen@jyu.f syksy 2010 Interaktvset menetelmät Idea: päätöksentekjää hyödynnetään aktvsest ratkasuprosessn akana
LisätiedotSähköstaattinen energia
ähköstaattnen enega Potentaalenegan a potentaaln suhde on samanlanen kun Coulomn voman a sähkökentän suhde: ähkökenttä vakuttaa vaattuun kappaleeseen nn, että se kokee Coulomn voman, mutta sähkökenttä
LisätiedotKansainvälisen konsernin verosuunnittelu ja tuloksenjärjestely
Kansanvälsen konsernn verosuunnttelu ja tuloksenjärjestely Kansantaloustede Pro gradu -tutkelma Talousteteden latos Tampereen ylopsto Toukokuu 2007 Pekka Kleemola TIIVISTELMÄ Tampereen ylopsto Talousteteden
LisätiedotTomita-tyylisistä yleistetyistä LR-jäsentäjistä. Jaakko Korpela
Tomta-tyylsstä ylestetystä LR-jäsentäjstä Jaakko Korpela Tampereen ylopsto Tetojenkästtelyteteden latos Tetojenkästtelyopp Pro gradu -tutkelma Marraskuu 2004 Tampereen ylopsto Tetojenkästtelyteteden latos
LisätiedotTEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat Sovelletun matematiikan erikoistyö. Ei-normaalisten tuottojakaumien mallintaminen
TKNLLNN KOKKOULU Systeemanalyysn laboratoro Mat-.18 Sovelletun matematkan erkostyö -normaalsten tuottoakaumen mallntamnen Tmo Salmnen 581V soo, 1. Toukokuuta 7 1 Ssällysluettelo Ssällysluettelo... Johdanto...
LisätiedotKokonaislukuoptimointi
Kokonaslukuotmont Robust dskreett otmont ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Ar-Pekka Perkkö ovelletun matematkan tutkasemnaar Kevät 28 sältö Robustn lneaarsen kokonasluku- sekä sekalukuotmontongelman
LisätiedotPPSS. Roolikäyttäytymisanalyysi 28.03.2011. Tämän raportin on tuottanut: MLP Modular Learning Processes Oy Äyritie 8 A FIN 01510 Vantaa info@mlp.
PP Roolkäyttäytymsanalyys Roolkäyttäytymsanalyys Rool: Krjanptäjä Asema: Laskentapäällkkö Organsaato: Mallyrtys Tekjä: Matt Vrtanen 8.0.0 Tämän raportn on tuottanut: MLP Modular Learnng Processes Oy Äyrte
LisätiedotSU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (6)
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 28.0.206 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV 2. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan
LisätiedotTyössä tutustutaan harmonisen mekaanisen värähdysliikkeen ominaisuuksiin seuraavissa
URUN AMMAIKORKEAKOULU YÖOHJE (7) FYSIIKAN LABORAORIO V.2 2.2 38E. MEKAANISEN VÄRÄHELYN UKIMINEN. yön tavote 2. eoraa yössä tutustutaan harmonsen mekaansen värähdyslkkeen omnasuuksn seuraavssa tapauksssa:
LisätiedotKuntoilijan juoksumalli
Rakenteden Mekankka Vol. 42, Nro 2, 2009, s. 61 74 Kuntoljan juoksumall Matt A Ranta ja Lala Hosa Tvstelmä. Urhelututkmuksen melenknnon kohteena ovat yleensä huppu-urheljat. Tuokon yksnkertastettu juoksumall
Lisätiedot