TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat Sovelletun matematiikan erikoistyö. Ei-normaalisten tuottojakaumien mallintaminen

Transkriptio

1 TKNLLNN KOKKOULU Systeemanalyysn laboratoro Mat-.18 Sovelletun matematkan erkostyö -normaalsten tuottoakaumen mallntamnen Tmo Salmnen 581V soo, 1. Toukokuuta 7 1

2 Ssällysluettelo Ssällysluettelo... Johdanto... 3 roksmont kahdella normaalakaumalla... 3 Van huukkuuden älttely... Huukkuuden a vnouden älttely... 5 Jakauman muuntamnen vastaamaan ennustetta... 6 Korrelaatot... 8 Smulont... 1 Numeersa tuloksa... 1 Hgh Yeld lanat... 1 Jaann osakendeks Valtolanat... 1 Johtoäätökset Krallsuusvtteet... 15

3 Johdanto Modernssa ortfoloteorassa sotuskohteden logartmtuottoen odotetaan noudattavan normaalakaumaa. Hstora on kutenkn osottanut, että oletus e ole täysn akkansa tävä kaklla sotusluoklla. Tämän työn tarkotus on tutka hstoratuottoen kuvaamsta kahden normaalakauman yhdstelmällä, mkä mahdollstaa hstorallsen keskarvon a keskhaonnan lsäks hstorallsen huukkuuden a vnouden mallntamsen. Työssä tutktaan myös, mten kahden normaalakauman taaukseen vodaan sovttaa oma tuotto-odotus. Lsäks tutktaan mten sotuskohteden korrelaatot muuttuvat käytettäessä kahden normaalakauman yhdstelmää. Louks tehdään numeersa testeä er markknandeksehn menetelmän testaamseks. roksmont kahdella normaalakaumalla Käyttämällä kahta normaalakaumaa logartmtuottoen akauman aroksmontn vodaan alkueräsen akauman odotusarvon a keskhaonnan lsäks ältellä oko alkueräsen akauman huukkuutta (kurtoss ta sekä huukkuutta että vnoutta (skewness (Delaneds et al.. Huukkuus K a vnous S määrtellään satunnasmuuttuan X momentten avulla seuraavast: ( X K ( X 3 ( X S ( X 3 / Olkoon Z a Z normaalst akautuneta satunnasmuuttua odotusarvolla a a keskhaonnolla a. Satunnasmuuttua X, olla on halutut omnasuudet, määrtellään kahden akaumen a sekotuksena nn, että X:n arvo otetaan - akaumasta todennäkösyydellä a -akaumasta todennäkösyydellä 1-: X Z Z (,1, 3

4 mssä on tasaakautunut vällle [, 1] a ndkaattorfunkto määrtellään seuraavast: 1, C, kun C on tos muullon Van huukkuuden älttely Van huukkuutta (K älteltäessä akaumlla a on sama odotusarvo mutta erävät keskhaonnat. Satunnasmuuttuan X akauman momentt saadaan seuraavast (olettamalla, että akauman odotusarvo on : ( X ( X ( X ( X 3 3 (1 3(1 Keskhaonnat vodaan määrätä ykskästtesest ollan knntetyllä sekotussuhteella ( vaatmalla, että akauman huukkuus K X a keskhaonta X täsmäävät havantoanestosta laskettuhn lukuhn (K a. Seuraavassa on kutenkn yksnkertastamsen vuoks oletettu, että 1. K X X ( X ( X ( X 3 3(1 (1 (1 1 K atkasemalla yhtälöar saadaan: (1 K 1 ( / 3 Jotta vodaan varmstaa, että a, on sekotussuhteelta vaadttava 1 3/ K < < 1

5 hdon täyttyessä ätee myös ehdottavat, että valtaan mnmomalla suhdetta 1. Delaneds, Lagnado, a Tkhonov ( keskhaonnat saadaan lähelle yhtä. Mnmonnsta seuraava :n arvo on c, 1 c mssä /. Tällön akaumen c K 1 K 3 3 Tonen lähestymstaa etsä aremaa sekotussuhdetta on hakea se, olla havantoaneston a estmodun theysakauman välnen vrhenelösumma mnmotuu. Mnmont vodaan suorttaa käyttäen otan numeersta otmontmenetelmää. Huukkuuden a vnouden älttely Sekä huukkuutta (K että vnoutta (S älteltäessä akaumlla a on lsäks erävät odotusarvot ( a. Tällön X:n nelä ensmmästä momentta ovat: ( X (1 ( X ( X ( X (1 3(1 (1 3(1 ( (1 (1 Jakaumen keskhaonnat a odotusarvot vodaan määrätä ollan knntetyllä sekotussuhteella ( vaatmalla, että akauman huukkuuden a keskhaonnan lsäks myös odotusarvo a vnous täsmäävät alkueräsen akauman kanssa. Saadaan eälneaarnen yhtälöryhmä, onka ratkasua e voda esttää suletussa muodossa, oten ratkasu oudutaan etsmään numeersest. Parhaan sekotussuhteen hakemnen on toteutettu kultasen lekkauksen otmontmenetelmällä, mkä vaat oletuksen, että nelösumman ruu sekotussuhteesta lkman konveksst. mrsten testen erusteella tämä oletus tää akkansa. Kultasen lekkauksen menetelmää varten etstään ensn hakuväl laskemalla 5

6 nelösumma sekotussuhteen arvolla.5 ykskön välen välltä [.55,.95]. tsntävälks valtaan enn arvo ±.5. Jossan taauksssa havataan, että vrhenelösumma alkueräseen akaumaan verrattuna on suurem, kun myös alkueräsen akauman vnoutta ältellään. Koska äämääränä vodaan tää vrhenelösumman mnmonta, on syytä etsä okaselle akaumalle aras sovtus sekä huukkuutta että vnoutta a anoastaan huukkuutta älttelemällä. Nästä valtaan louks arem sen mukaan kum seuraa alkuerästä akaumaa tarkemmn vrhenelösummalla mtattuna. Jakauman muuntamnen vastaamaan ennustetta Smulonta varten on tosnaan tarkotuksenmukasta saada estmotu akauman odotusarvo vastaamaan ollan muulla tavalla hankttua ennustetta. Haluttu odotusarvo annetaan yleensä vuotusen artmeettsen tuoton odotusarvona, oten stä e voda srtää suoraan logartmsen tuoton akaumaan. Tavallsessa (yhden normaalakauman taauksessa sotuskohteen hnta (P noudattaa rosessa: d ln [ S( t ] υ dt d, (1 olle ätee (Luenberger 1998: ln[ S( t / S( ] υt ln[ S( t / S( ] t std ( a lognormaaln akauman eäsymmetrsyydestä ohtuen ( t / S( 1 ( υ e t S (3 Jos lähtöarvoks on annettu haluttu vuotunen tuoton odotusarvo r, saadaan vastaava logartmsen tuoton odotusarvo laskettua seuraavast: S(1 / S( υ ln 1 1 r e 1 [ r] 1 υ ( 6

7 Kahden akauman taauksessa akauman estmonnn älkeen mellä on akaumat a a nden odotusarvot, keskhaonnat a sekotussuhde. Näden yhtesakaumalla on tässä vaheessa o okea keskhaonta, oka ruu akaumen a keskhaontoen lsäks nden odotusarvoen erosta. Nän ollen muuttaessa akauma vastaamaan haluttua odotusarvoa, akaumen a odotusarvoen ero on dettävä vakona. Tosn sanoen on löydettävä sova lsäys, oka lsätään molemen akaumen odotusarvoon. Nän vodaan muuttaa yhtesakauman odotusarvoa täen sen keskhaonta vakona. Kahden akauman taauksessa sotuskohteen hnta noudattaa rosessa: [ S( t ] ( d t d ( d t d d ln (5 Logartmsen tuoton odotusarvo hetkellä t on akaumen a odotusarvoen sekotussuhteella anotettu odotusarvo: ln[ S( t / S( ] (1 Vastaavast tuoton odotusarvo on: S( t / S( (6 1 1 t( t ( e (1 e (7 Jos haluamme asettaa onkun vuotusen tuoton odotusarvon (r, akaumen a odotusarvohn on lsättävä okn luku : (1 / S( 1 ( 1 ( S 1 r e (1 e (8 Molemmsta eksonenttfunktosta vodaan erottaa termt e : e e 1 ( (1 e 1 ( 1 r (9 Nyt vodaan ratkasta halutun tuoton, sekotussuhteen sekä akaumen a odotusarvoen a keskhaontoen funktona: 1 r ln (1 1 1 ( ( e (1 e 7

8 Lsäämällä ss akaumen a odotusarvohn, saadaan yhtesakauma vastaamaan haluttua tuotto-odotusta r. Korrelaatot Monen sotuskohteen yhtesakaumaa estmotaessa on otettava huomoon myös sotuskohteden välset korrelaatot. Jos okaselle akaumalle arvotaan erkseen luku, onka mukaan satunnasluku otetaan oko akaumasta ta, kohteden välset korrelaatot enenevät huomattavast. Tällön yhtesakaumaa on mahdotonta saada noudattamaan suura alkueräsä korrelaatota. Jakaumen välstä korrelaatota vodaan kasvattaa kenotekosest käyttämällä samaa satunnaslukua kullekn sotuskohteelle. Tällön kahden sotuskohteen välnen kovaranss määräytyy seuraavast ( ( ( [ ( ] ( ( ( Z Z Z Z r r Merktään sotuskohteen akauman odotusarvon eroa sotuskohteen odotusarvoon a lasketaan kertolasku auk: Satunnasmuuttuat ovat rumattoma loulausekkeesta, oten ndkaattorfunkton odotusarvot vodaan erottaa muusta lausekkeesta: 8

9 ( ( ( ( nsmmästen odotusarvoen ssällä oleva tulo on ta 1 ruen satunnasluvusta. Nän ollen nden odotusarvot ovat todennäkösyyksä, että edellä manttu tulo on 1. Valtaan ndekst a nn, että. ( (1 ( ( ( ( Satunnasmuuttuat ovat (,1 normaalst akautuneta, oten nden odotusarvot ovat nolla muuten ats tlantessa, ossa a kerrotaan keskenään. Kysesen tulon odotusarvo on satunnasmuuttuen a välnen korrelaatokerron (merk. ρ. ( ( ( ρ ρ ρ (1 ( Vaatmalla että saatu lauseke on yhtä suur kun haluttu kovaranss vodaan korrelaatokerron ratkasta yhtälöstä: ρ (1 ( (1 ( Yllä saatn ratkastua yhtälö, onka avulla vodaan ratkasta satunnaslukuen generonnssa käytettävä korrelaato hstorallsen korrelaaton akaansaamseks. mrset testt kutenkn osottavat, että vakka menetelmä usemmssa taauksssa tom hyvn, saattaa se ossan taauksssa ohtaa yhtä suuremn korrelaatohn a/ta e-ostvsest defnttsn korrelaatomatrsehn. 9

10 Smulont Koska olemme aroksmoneet akauma normaalakauman yhdstelmllä, smulontn vodaan käyttää lkman samaa menetelmää kun tavallsesta normaalakaumasta smulotaessa (kts. esm. Law (. nsmmäseks tulee valta askeltuus t a haluttu smulontaskelten määrä sekä laskea muunnetun korrelaatomatrsn Choleskyn haotelma. Yks smulontaskel toteutetaan seuraavast: 1. Otetaan n satunnaslukua 1 n (,1 normaalakaumasta a yks satunnasluku (,1 tasaakaumasta. Muunnetaan :t noudattamaan laskettua korrelaatota: c 1 3. Lasketaan logartmset tuotot:, ln[ r ], os os Numeersa tuloksa Tässä kaaleessa tutktaan kahden normaalakauman sovttamsen tuomaa lsähyötyä er ndeksen kuukaustuottohn akana 1/1998-6/6. Tutkttavks ndekseks valtaan korkean luottorskn (hgh yeld lanat, aann osakendeks a valtonlanandeks. Hgh Yeld lanat Hgh yeld lanat ovat hyvä esmerkk taauksesta, ossa hstoratuottoen logartmt evät noudata normaalakaumaa. lla ylemmässä kuvassa on estetty kahden normaalakauman avulla estmotu akauma, todellnen akauma sekä normaalakauma. Kuvasta nähdään, että hstoraakauma e noudata normaalakaumaa, mutta kahden normaalakauman yhdstelmä seuraa hstoraakaumaa o erttän hyvn. lemassa kuvassa on estetty normaalakaumat a, osta yhtesakauma koostuu. Hstoraakauman huukkuus on saavutettu sekottamalla sovassa suhteessa levää a kaeaa normaalakaumaa. Kuten ylemmästä kuvasta nähdään, hstoraakauman vasen 1

11 häntä on selväst aksum kun okea häntä, mkä tekee akaumasta vnon. Haluttu vnous on saavutettu srtämällä leveän akauman ( odotusarvo vasemmalle än. Tässä taauksessa yhtesakaumassa on 57.5 % akaumaa a.5 % akaumaa el stmotu akauma Todellnen akauma Normaalakauma stmotu akauma Normaalakauma Normaalakauma kuva 1 - Hgh Yeld lanoen kk-tuotot 1/1998-6/6 Jaann osakendeks Hyvä esmerkk taauksesta, ossa kahta normaalakaumaa käyttämällä e saavuteta uurkaan lsäarvoa, on Jaann osakendeks. lla olevasta kuvasta nähdään, että logartmtuottoen hstoraakauma on lkman normaalnen a nän ollen myös estmotu yhtesakauma on lkman normaalnen. 11

12 1.5 1 stmotu akauma Todellnen akauma Normaalakauma stmotu akauma Normaalakauma Normaalakauma kuva - Jaann osakendeksn kk-tuotot 1/1998-6/6 Valtolanat Kolmantena esmerkknä ovat valtonlanat, oden logartmtuottoen hstoraakauma on selväst vno. Kuvasta 3 nähdään, että kahden normaalakauman yhtesakauma mukautuu selväst tavallsta normaalakaumaa aremmn vnoon hstoraakaumaan. 1

13 15 1 stmotu akauma Todellnen akauma Normaalakauma stmotu akauma Normaalakauma Normaalakauma kuva 3 - Valtonlanandeksn kk-tuotot 1/1998-6/6 Johtoäätökset Työssä tutkttn logartmtuottoakauman kuvaamsta kahdella normaalakaumalla. Näytettn, kunka kahdella normaalakaumalla vodaan ältellä oko alkueräsen akauman huukkuutta ta huukkuutta a vnoutta. Krallsuudessa on estetty myös muta menetelmä e-normaalsten akaumen kuvalemseen. smerkks Caro a Nelson (1997 esttelevät NOT (normal to anythng menetelmän, ossa sotuskohteen akaumaa kuvataan eksaktst sen hstoraakaumalla. Työssä näytettn myös taa, mten hstoraakaumaan sovtetulle kahden normaalakauman yhdstelmälle vodaan asettaa haluttu tuotto-odotus. Kahden akauman välsen korrelaaton sälyttämseks ohdettn kaava, olla ratkastaan satunnaslukuen generonnssa käytettävät korrelaatot. Todettn kutenkn, ette menetelmä on 13

14 sellasenaan vrheherkkä ollekn erkostaaukslle. Tarkem selvttämnen ätetään lsätutkmukslle. Louks tutkttn kahden akauman tomvuutta er ndeksen kuukaustuotolle. Todettn, että ossan taauksssa hstorallnen tuottoakauma noudattaa normaalakaumaa lähes täydellsest, kun taas ossan taauksssa huukkuuden a vnouden mallntamnen tuo selvän arannuksen hstoraakauman sovttamseen. 1

15 Krallsuusvtteet Delaneds,G., Lagnado,. a Tkhonov S. (: Monte Carlo Smulaton of Non- Normal Processes, dscusson aer, MKsk Caro, M.C. a Nelson L. (1997: Modelng and Generatng andom Vectors wth rbtrary Margnal Dstrbutons and Correlaton Matrx, workng aer Law,.M. a Kelton, W.D. ( Smulaton Modelng and nalyss, thrd edton, McGW-HLL, Sngaore Luenberger, D.G. (1998. nvestment Scence, Oxford unversty ress, New York 15