Interferometria. Jorma Harju Oskari Miettinen Lauri Haikala. Fysiikan laitos, Helsingin yliopisto

Transkriptio

1 Interferometria Jorma Harju Oskari Miettinen Lauri Haikala Fysiikan laitos, Helsingin yliopisto Syksy 2011, Periodi I, torstaisin 12-14, Physicum D211

2 Miksi interferometriaa? Tähtitieteellinen tutkimus hyötyy suuresta erotuskyvystä ja herkkyydestä Interferometria - havaintomenetelmä, jossa kahden tai useamman antennin tai peilin samasta lähteestä vastaanottamat signaalit yhdistetään koherentisti -s.o. säilytetään tieto vastaanotetun aallon amplitudista ja vaiheesta Erotuskyky: interferometrialla voidaan saavuttaa parempi kulmaerotuskyky kuin millään yksittäisellä teleskoopilla. θ λ/d λ/b (D peilin halkaisija, B peilien välimatka) Herkkyys: lisäämällä vastaanottavaa pinta-alaa voidaan havaita heikompia kohteita -radiointerferometrin herkkyys: S 1/ N (S on vuontiheys, N on antennien lukumäärä)

3 Ajankohtaisia suuria hankkeita VLT (näkyvä valo ja infrapuna) ALMA (alimillimetri, GHz) SKA (radio, 70 MHz -10 GHz)

4 ALMA: general info (1) Atacama Large Millimeter/submillimeter Array - imaging and spectroscopy at mm/submm wavelengths International collaboration of Europe, North America and East Asia (Japan and Taiwan) - in Europe funded by ESO Will be composed of 66 movable antennas, located on the Chajnantor plain in Chile, altitude 5000 m, latitude 23 Fifty 12 m antennas (Main Array), twelwe 7 m antennas and four 12 m total power antennas (Compact Array)

5 ALMA: general info (2) Nine frequency bands extending from 84 GHz to 950 GHz (λ = 3.6 mm 320 µm) Main Array: baselines B 150 m 16 km, angular resolution at 300 GHz: λ/b Receivers have 8 GHz bandwidths in two polarizations. The ALMA correlator can process 4 basebands 2GHz each. These can be placed anywhere in the 8 GHz band. the highest spectral resolution: 7.6 khz (7.6 m/s at 300 GHz) Polarization products: 1 (single), 2 (double) or 4 (full)

6 Present status see for the latest news & pictures Early Science starting with 16 antennas, receivers in bands 3, 6, 7, 9, baselines m Antennas: 18 at the high site, about 20 at the OSF assembly sites Correlator: 1st quadrant in use (supporting up to 16 antennas and 4 baseband pairs), 2nd quadrant soon available Array completion foreseen around mid 2013

7 ALMA at one glance

8 Sähkömagneettiset aallot 1 Maxwellin yhtälöistä seuraa homogeeniset aaltoyhtälöt sähkökentän voimakkuudelle E ja magneettivuon tiheydelle B tyhjiössä (ks. esim. Cronström & Lipas 1986): 2 E 1 c 2 2 E t 2 = 0 2 B 1 c 2 2 B t 2 = 0, missä c on valon nopeus tyhjiössä. Vektorin k suuntaan etenevä tasoaaltoyrite, esim. E( r, t) = E e i( k r ωt), toteuttaa em. aaltoyhtälöt ehdolla ω = kc, eli 2πν = 2π/λ c, ts. λν = c

9 Sähkömagneettiset aallot 2 Sijoittamalla E:n ja B:n tasoaaltoyritteet M. yhtälöihin voidaan lisäksi osoittaa, että E k, B k, E B, ja että B = 1/cE. ( E ja B kompleksisia) Eulerin kaava: e iφ = cos φ + i sin φ Sähkömagneettinen tasoaalto on sinimuotoista poikittaisvärähtelyä, jonka vaihe etenee valon nopeudella.

10 Interferenssi Kun kaksi aaltoa kohtaa, niiden aiheuttama häiriö on aaltojen vektorisumma (superpositioperiaate). Mikä tahansa aalto voidaan esittää tasoaaltojen superpositiona (Fourier- analyysin peruste). Kun kohtaavien aaltojen aallonpituudet ovat (lähestulkoon) samat, ne voivat vaihe-erosta riippuen joko vahvistaa tai vaimentaa toisiaan. Ilmiötä kutsutaan interferenssiksi. Interferenssin edellytyksenä on, että aaltojen vaihe-ero pysyy vaikiona (koherenssi).

11 Koherenssiaika Säteilylähde koostuu tyypillisesti suuresta joukosta atomeja tai molekyylejä, joiden energiatilojen väliset siirtymät lähettävät aaltojonoja. Tietyllä taajuudella havaitaan esim. seuraavanlainen jono: Aallon vaihe pysyy ennustettavana hetken, mutta hypähtää satunnaisesti aikojen τ 1, τ 2, jne. jälkeen Tyypillinen aaltojonon kesto τ: koherenssiaika.

12 Koherenssiaika Koherenssiaika τ: kuinka kauan aalto pysyy vaihevakaana ts. ennustettavana Koherenssimatka l τ : koherentin aaltojonon pituus l τ = cτ c ν = λ2 λ Esim. Na D-viiva l τ = 4.8 m, HI 21-cm: l τ = 3.4 Mpc! Todellisuudessa Doppler-leveminen hallitsee kapean viivan muotoa. Esim. kun T kin = 50 K, lämpöliikkeestä johtuva HI-viivan leveys on v = 1.5 km/s ( ν = 7.2 khz). Tästä laskettu koherenssiaika τ = 0.14 ms, eli l τ 42 km.

13 Osittainen koherenssi Pisteestä S lähtevä säteily saapuu pisteeseen P kahta tietä. Säteiden vaihe-ero pysyy vakiona ja ne siis interferoivat, jos matka-ero on pienempi kuin korehenssimatka l τ tai aikaero t < τ. Väliaineen tiheysvaihtelut (esim. ilmakehä) heikentävät koherenssia.

14 Sivuttaiskoherenssi Edellä tarkasteltiin koherenssia aallon etenemissuunnassa. Interferometrisissa mittauksissa ollaan kuitenkin lähinnä kiinnostuneita säteilyn koherenssista sivuttaissuunnassa (avaruuden eri pistessä sijaitsevilla teleskoppeilla), jota käytetään kirkkausjakauman selvittämiseen. Sivuttaiskoherenssi kuvaa säteilylähteen pistemäisyyttä.

15 Kaksoisrako (1) Rakoja valaisee kaukana oleva monokromaattinen pistelähde (rakoihin saapuu tasoaalto). Kaukana raoista olevalla varjostimella nähdään ripsukuvio (diffraktiokuvio), jonka muoto riippu rakojen leveyden (A) ja välimatkan (B) suhteesta aallonpituuteen (λ).

16 Kaksoisrako (2) Säteily saapuu vinosti rakoihin (15 vasemmalle optisesta akselista). Ripsukuvio siirtyy.

17 Kantavälin vaikutus Kun lähde ei olekaan pistemäinen ja kantaväli on tarpeeksi suuri, ripsukuvio heikkenee. λ/b = 5θ S λ/b = 2.5θ S

18 Vuontiheys varjostimella Kun oletetaan, että A B, ja että θ i on pieni, vuontiheys optisen akselin läheisyydessä saadaan kaavasta F(θ) 1 2 F max (1 + cos (2πB/λ(θ θ i ))). Eulerin kaavan avulla vuontiheys voidaan kirjoittaa muodossa F(θ) 1 { } 2 F max Re 1 + e i2πb/λ(θ θ i).

19 Visibiliteetti (1) Määrittelemällä V (B/λ) e i2πb/λθ i vuontiheyden kaava saadaan muotoon F(θ) = 1 { } 2 F max Re 1 + e i2πb/λθ V (B/λ) Suure V (B/λ) on lähteen visibiliteetti (fringe visibility, ripsunäkyvyys)..

20 Visibiliteetti (2) Pintalähteelle, jonka pintakirkkaus on I s (α) saadaan V (B/λ) = Is (α) e i2πb/λα dα Is (α) dα, missä α optisesta akselista mitattu kulma, ja integrointi ulotetaan lähteen yli. Suunnassa θ i sijaitsevan pistelähteen kirkkausjakauma voidaan delta-funktion avulla kirjoittaa I s (α) = F s δ(α θ i ).

21 Visibiliteetti (3) Visibiliteetti on kompleksinen suure, joka kertoo -miten hyvin ripsut näkyvät (amplitudi, pistelähteellä V = 1) -miten ripsukuvio on siirtynyt optiseen akseliin nähden (vaihe, pistelähteellä Φ = 2πB/λθ i ) Visibiliteetti riippuu lähteen kirkkausjakaumasta - se on verrannollinen kirkkausjakauman Fourier-muunnokseen. Youngin kaksoisrako on summaava interferometri, jossa ripsukuvio näkyy yksittäisen raon diffraktiokuvion päällä. Radioastronomiassa käytetään kertovaa interferometria.

22 Ripsunäkyvyys osittaisen koherenssin tapauksessa Michelsonin määrittelmän mukainen ripsunäkyvyys V, V = I max I min I max + I min laskee arvosta 1 nollaan kun t τ.

23 Kaksoisrako Kaksoisrako: korkeamman kertaluvut maksimit heikkenevät varjostimella, V = 1 m λ/λ

24 Sivuttaiskoherenssin leveys Sivuttaiskoherenssin leveys l s : kuinka kaukana sijaitsevissa pisteissä säteilylähteestä tulevat aallot interferoivat Kuvan tapauksessa kantaväli B = l s eli lähteen koko θ S = λ/b rad

25 Korrelaatioteleskooppi (1) Radiointerferometrian peruselementti on kaksi antennia, joiden signaalit kerrotaan keskenään. Korrelaatioteleskooppi mittaa signaalien U 1 (t) ja U 2 (t) (jännitteitä) tulon. Ks. Havaitseva II:n luennot

26 Korrelaatioteleskooppi (2) Ol. että signaalit U 1 (t) ja U 2 (t) sisältävät kohinan lisäksi toistensa kanssa korreloivat signaalit X(t) ja Y (t), s.e. niitä erottaa viiveen τ aiheuttama vaihe-ero. Tulon keskiarvo: signaalien X ja Y ristikorrelaatio (cross correlation), merkitään R XY (τ): R XY (τ) = 1 2 U x U y e i2πντ Kompleksilukuesitys helpottaa käsittelyä. Mitattava signaali on tämän reaaliosa.

27 Korrelaatioteleskooppi (3) Oletetaan, että signaalit X(t) ja Y (t) ovat peräisin pistelähteestä, jonka säteily saapuu antenneihin kulmassa θ i : B s τ g =B s/c s T _ 2 T 1 B Vahvistin V 2 V Jännite 1 kertoja τ i τ = B sin θ i c Integroiva piiri Visibiliteetti Korrelaattori Korrelaatioteleskoopin ulostulo U out (neliöllisen detektorin jälkeen) on verrannollinen antennin vastaanottamaan tehotiheyteen: U out A e F ν e i2πντ = A e F ν e i2πνb/c sin θ i

28 Pintamainen lähde Kuten kaksoisraon tapauksessa, ei-pistemäisen lähteen vaste saadaan integroimalla pintakirkkausjakauman yli: R XY (B/λ) = A e I ν (θ i ) e i2πb/λ sin θ i dθ i. kohde (2-ulotteinen tapaus tulee myöhemmin)

29 Ripsupysäytys (fringe stopping) B s τ g =B s/c s T _ 2 T 1 B Vahvistin V 2 Jännite kertoja V 1 τ i Integroiva piiri Korrelaattori Visibiliteetti Kun antennit seuraavat lähdettä, kannan projektio muuttuu Korrelaattorin vaste vaihtelee hillittömästi, koska B/λ on suuri luku. Vaihtelu saadaan rauhoittumaan, kun ensimmäisen antennin signaalia viivästetään määrällä τ i, joka vastaa täsmälleen geometrista viivettä τ g Tämän ns. ripsupysäytyksen jälkeen lähteen kirkkausjakauma dominoi korrelaattorin vastetta.

30 Ripsupysäytys (2) Ol. että antennit osoittavat suuntaan θ, ja että geometrinen viive τ g = B sin θ/c kompensoidaan instrumentaalisella viiveellä τ i = τ g. Suunnassa θ olevan pistelähteen signaalin amplitudi F ν, vaihe Φ = 0. Suunnassa θ + α olevan pistelähteen vaihe Φ 2πB/λ cos θ α, kun α 1 Korrelaattorin vaste: i2πb/λ cos θ α R XY = A e F ν e Huom. B cos θ on kannan projektio lähteestä katsottuna.

31 Kompleksinen korrelaattori Yllä kuvattu korrelaattori mittaa vain visibiliteetin reaaliosan: R XY,1 = Re ( V e iφ) = V cos Φ Imaginaariosa voidaan mitata lisäämällä toinen korrelaattori, jonka sisääntulevaan signaaliin tehdään π/2 vaihesiirto: R XY,2 = Re ( V e i(φ π/2)) = V sin Φ V = R R2 2 Φ = arctan R 2 R 1

32 Kuvaus Radiointerferometri koostuu yleensä useista antenneista Antenniparien ja kantojen lukumäärä: N(N-1)/2 Kantojen projektiot muuttuvat havainnon kuluessa Eräs tapa formuloida ylläoleva on katsoa tilannetta lähteestä käsin ja seurata, kun interferometri kiertyy sen alla Tästä seuraa (u, v)-tason käsite ja apertuurisynteesin tekniikka

33 Koordinaatisto Taivaannapa u: B/λ:n projektio kohteesta katsottuna dω itä-länsi -suuntaisella akselilla v: B/λ:n projektio pohjois-etelä -akselilla w: B/λ:n projektio lähteeseen osoittavalla akselilla (korjataan instrumentaalisella viivellä) Itä-länsi-suuntaiselle interferometrille s m I(l,m) l s 0 w v Bλ u u = B/λ cos H v = B/λ sin δ sin H, missä H on kohteen tuntikulma ja δ kohteen deklinaatio

34 Visibiliteetti ja kohteen kirkkausjakauma (1) Koordinaatit taivaalla vaihekeskipisteen suhteen: σ = xê x + yê y Kannan projektio lähteestä katsottuna: B/λ = uê x + vê y Viive: τ = B σ/c = λ(ux + vy)/c Vaihe: Φ = 2πντ = 2π(ux + vy) Korrelaatioteleskoopin vaihekorjattu vaste voidaan nyt kirjoittaa: R XY = A e (x, y)i ν (x, y)e i2π(ux+vy) dxdy, kohde missä A e (x, y) = A e P n (x, y) (antennin efektiivinen pinta-ala keilakuvio).

35 Visibiliteetti ja kohteen kirkkausjakauma (1) Määrittelemme visibiliteetille seuraavasti: V (u, v) = R XY /A e (jaetaan vaste A e :llä) Tällöin V (u, v) = kohde P n (x, y)i ν (x, y)e i2π(ux+vy) dxdy Näin määritelty visibiliteetti on tulon P n I ν kaksiulotteinen Fourier-muunnos

36 Esimerkki 3: Pistelähteen visibiliteetti Pistelähde sijaitsee rektaskensio-offsetilla α vaihekeskipisteestä. Itä-länsisuuntaisella interferometrilla mitattu visibiliteetti on V (u) = F ν e i2πu α i2πb/λ cos H α = F ν e missä H on kohteen tuntikulma. Siis: V = F ν, Φ = 2πB/λ cos H α

37 Esimerkki 4: Resolving out Kohde koostuu kahdesta yhtä vahvasta pistelähteestä, joiden rektaskensioerotus (radiaaneissa) on α. Havaitsemme kohdetta itä-länsisuuntaisella interferometrilla, niin että vaihekeskipisteeksi on valittu lännenpuoleinen. Visibiliteetti on tällöin V (u) = F ν (1 + e i2πu α ), missä u = B/λ cos H. Jos valitaan α = λ/(2b cos H), visibiliteetiksi saadaan V (u) = F ν (1 + e iπ ) = 0. Pintamaisen kohteen visibiliteetti voidaan ajatella koostuvan sen pinta-alkioiden visibiliteettien summasta. Jos havaitaan tasaista kohdetta, jonka koko θ S = λ/b, kutakin sen pinnalla olevaa pistettä vastaa toinen, jonka visibiliteetin vaihe eroaa π:llä ensimmäisestä. Tällainen lähde ei näy kertovalla interferometrilla.

38 Antennien paikat ja (u,v)-tason pisteet (1) Z Antennien paikat ilmoitetaan (X, Y, Z )- koordinaatistossa (ks. radiomoniste, luku 6.5) X (H = 0, δ = 0) ο ( δ= 90 ) (H = 6h, δ = 0) Y X-akseli osoittaa etelämeridiaaniin, Y -akseli osoittaa itään, ja Z -akseli osoittaa taivaan pohjoisnavan suuntaan. Yksikkönä on aallonpituus λ.

39 Antennien paikat ja (u,v)-tason pisteet (2) Radiomonisteessa johdetun kaavan (6.54) mukaan u v w = sin H cos H 0 sin δ cos H sin δ sin H cos δ cos δ cos H cos δ sin H sin δ X Y Z Itä-länsi-suuntaiselle kannalle X = 0,Y = B/λ, Z = 0

40 Apertuurisynteesin periaate 1. Mitataan antennien 1 and 2 signaalit U 1 (t) ja U 2 (t) 2. Määrätään tulon keskiarvo < U 1 (t)u 2 (t) > 3. Toistetaan sama suurelle joukolle eri kantoja B/λ = (u, v) (eli määrärätään V (u, v)) 4. Lasketaan kohteen kirkkausjakauma Fourier-muunnoksella: P n (x, y) I(x, y) = V (u, v)e i2π(ux+vy) dudv. (Keilakuvio P n tunnetaan, ja yhtälö voidaan jakaa sillä.)