Radiointerferometria. Plateau de Bure (millimetrialue) Very Large Telescope (näkyvä valo ja infrapuna)

Transkriptio

1 Radiointerferometria Plateau de Bure (millimetrialue) Very Large Telescope (näkyvä valo ja infrapuna)

2 Sähkömagneettiset aallot (1) Maxwellin yhtälöistä seuraa homogeeniset aaltoyhtälöt sähkökentän voimakkuudelle E ja magneettivuon tiheydelle B tyhjiössä (ks. esim. Cronström & Lipas 1986): 2 E 1 c 2 2 E t 2 = 0 2 B 1 c 2 2 B t 2 = 0, missä c on valon nopeus tyhjiössä. Vektorin k suuntaan etenevä tasoaaltoyrite, esim. E( r, t) = E e i( k r ωt), toteuttaa em. aaltoyhtälöt ehdolla ω = kc, eli 2πν = 2π/λ c, ts. λν = c

3 Sähkömagneettiset aallot (2) Sijoittamalla E:n ja B:n tasoaaltoyritteet M. yhtälöihin voidaan lisäksi osoittaa, että E k, B k, E B, ja että B = 1/cE. ( E ja B kompleksisia) Eulerin kaava: e iφ = cos φ + i sin φ Sähkömagneettinen tasoaalto on sinimuotoista poikittaisvärähtelyä, jonka vaihe etenee valon nopeudella.

4 Interferenssi Kun kaksi aaltoa kohtaa, niiden aiheuttama häiriö on aaltojen vektorisumma (superpositioperiaate). Mikä tahansa aalto voidaan esittää tasoaaltojen superpositiona (Fourier- analyysin peruste). Kun kohtaavien aaltojen aallonpituudet ovat (lähestulkoon) samat, ne voivat vaihe-erosta riippuen joko vahvistaa tai vaimentaa toisiaan. Ilmiötä kutsutaan interferenssiksi.

5 Michelsonin interferometri A.A. Michelson 1887 Tarkoituksena mitata Maan nopeus eetterin suhteen Johti Lorentz-muunnoksen keksimiseen Käytetään mm. yrityksissä havaita gravitaatioaaltoja

6 Kaksoisrako (1) Thomas Young 1802 Rakoja valaisee kaukana oleva monokromaattinen pistelähde (rakoihin saapuu tasoaalto). Kaukana raoista olevalla varjostimella nähdään ripsukuvio (diffraktiokuvio), jonka muoto riippu rakojen leveyden (A) ja välimatkan (B) suhteesta aallonpituuteen (λ).

7 Kaksoisrako (2) Fraunhoferin diffraktion ja kahden koherentin lähteen (sama aallonpituus, vakio vaihe-ero) interferenssin yhdistelmä Huygensin periaatteen mukaan raon jokainen piste on samanvaiheisten ns. diffraktioaaltojen lähde. Fraunhoferin diffraktion minimit asettuvat varjostimelle suuntiin θ, jotka määräytyvät kaavasta A sin θ = mλ, m 0. Näissä suunnissa jokaista raon pistettä vastaa toinen, niin että niistä lähtevien aaltojen vaiheet ovat vastakkaiset - ts. matkaero λ/2 tai sen pariton monikerta. Interferenssikuvion maksimit nähdään suunnissa θ, joille B sin θ = nλ. Näissä suunnissa rakojen matkaero varjostimella on nλ. (Ol., että θ 1 ja B etäisyys varjostimesta.)

8 Kaksoisrako (3) Säteily saapuu vinosti rakoihin (15 vasemmalle optisesta akselista). Ripsukuvio siirtyy.

9 Kantavälin vaikutus (1) Oletetaan, että lähde ei olekaan pistemäinen (θ S = 20 ). Katsotaan, mitä tapahtuu, kun rakojen väliä B muutetaan. λ/b = 5θ S λ/b = 2.5θ S

10 Kantavälin vaikutus (2) λ/b = 1.25θ S λ/b = θ S Kun λ/b vastaa kohteen läpimittaa, ripsukuvio häviää.

11 Laskentoa (1) Pistelähteen vuontiheys varjostimella missä ( ) sin α 2 F(θ) = F max cos 2 β, (1) α α = πa λ (sin θ sin θ i) (2) β = πb λ (sin θ sin θ i) (3) θ i = säteilyn tulokulma, A = raon läpimitta, B = rakojen väli

12 Laskentoa (2) Käyttämällä trigonometrian kaavaa cos 2 β = 1 2 (1 + cos 2β) saadaan F(θ) = 1 2 F max ( ) sin α 2 (1 + cos 2β) (4) Yksinkertaistuksia: -Tarkastellaan vuontiheyttä optisen akselin (θ = 0) läheisyydessä -Oletetaan lisäksi, että A B, ja että θ i on pieni. Tällöin α ( ) sin α 2 α 1 (5) sin θ sin θ i θ θ i (6)

13 Laskentoa (2) Sijoittamalla edellä olleet likiarvot cos 2β cos (2πB/λ(θ θ i )). Vuontiheydelle pienillä θ:n arvoilla saadaan siis F(θ, θ i ) 1 2 F max (1 + cos (2πB/λ(θ θ i ))). (7)

14 Vuontiheys optisella akselilla Optinen akseli θ = 0 F(0, θ i ) 1 2 F max (1 + cos (2πB/λθ i )). θ i 0 λ/4b λ/2b 3λ/4B λ/b Φ F(0, θ i)/f max maksimi minimi maksimi Kahden maksimin väli λ/b Lähteen kiertäessä taivaalla tähän kuluu aika t = λ B 24h 2π

15 Amplitudin ja vaiheen mittaus F(θ, θ i ) = 0.5F max (1 + cos (2πB/λ(θ θ i ))) Optinen akseli θ = 0: F(0, θ i ) = 0.5F max (1 + cos (2πB/λθ i )) Kulma θ = λ/4b: F(λ/4B, θ i ) = 0.5F max (1 + cos (π/2 2πB/λθ i )) (8) = 0.5F max (1 + sin (2πB/λθ i )) Mittaukset kulmilla θ = 0 ja θ = λ/4b antavat amplitudin F max ja vaiheen Φ = 2πB/λθ i

16 Visibiliteetti (1) Kaksoisrakoa suunnasta θ i valaisevan pistelähteen aikaansaaman ripsukuvion vuontiheys voidaan Eulerin kaavan avulla kirjoittaa muodossa Määrittelemällä F(θ) 1 { } 2 F max Re 1 + e i2πb/λ(θ θ i). (9) V (B/λ) e i2πb/λθ i (10) vuontiheyden kaava saadaan muotoon F(θ) = 1 { } 2 F max Re 1 + e i2πb/λθ V (B/λ) Suure V (B/λ) on lähteen visibiliteetti (fringe visibility, ripsunäkyvyys).. (11)

17 Visibiliteetti (2) Pintalähteelle, jonka pintakirkkaus on I s (α) saadaan V (B/λ) = Is (α) e i2πb/λα dα Is (α) dα, (12) missä α optisesta akselista mitattu kulma, ja integrointi ulotetaan lähteen yli. Suunnassa θ i sijaitsevan pistelähteen kirkkausjakauma voidaan delta-funktion avulla kirjoittaa I s (α) = F s δ(α θ i ). Sijoittamalla tämä kaavaan (11) visibiliteetti palautuu kaavassa (9) esitettyyn muotoon.

18 Esimerkki 1: Pistelähteen visibiliteetti Lähde sijaitsee kulmaoffsetilla α 0 optisesta akselista. Visibiliteetti yleisessä tapauksessa: Is (α) e i2πb/λα dα V (B/λ) =. Is (α) dα Lähteen kirkkausjakauma voidaan kirjoittaa I s (α) = F s δ(α α 0 ), missä F s on lähteen vuontiheys. Nimittäjässä oleva integraali on määritelmän mukaan lähteen vuontiheys F s. δ-funktion ominaisuuksien perusteella osoittajan integraalista tulee: F s δ(α α 0 )e i2πb/λα dα = F s e i2πb/λα 0, joten V (B/λ) = e i2πb/λα 0 = cos (2πB/λα 0 ) i sin (2πB/λα 0 )

19 Esimerkki 2: Kahden pistelähteen visibiliteetti Ensimmäinen lähde (vuontiheys F 1 ) on optisen akselin suunnassa (α = 0) ja toinen on suunnassa α 2 (vuontiheys F 2 ). Lähteen kirkkausjakauma voidaan kirjoittaa ja visibiliteetiksi saadaan I s (α) = F 1 δ(α) + F 2 δ(α α 2 ) V (B/λ) = F 1 + F 2 e i2πb/λα 2 F 1 + F 2 = F 1 + F 2 (cos (2πB/λα 2 ) i sin (2πB/λα 2 )) F 1 + F 2 Reaali- ja imaginaariosat erikseen: V (B/λ) = F 1 + F 2 cos (2πB/λα 2 ) F 1 + F 2 i F 2 sin (2πB/λα 2 ) F 1 + F 2

20 Visibiliteetti (3) Visibiliteetti on kompleksinen suure, joka kertoo -miten hyvin ripsut näkyvät (amplitudi, pistelähteellä V = 1) -miten ripsukuvio on siirtynyt optiseen akseliin nähden (vaihe, pistelähteellä Φ = 2πB/λθ i ) Visibiliteetti riippuu lähteen kirkkausjakaumasta - se on verrannollinen kirkkausjakauman Fourier-muunnokseen. Youngin kaksoisrako on summaava interferometri, jossa ripsukuvio näkyy yksittäisen raon diffraktiokuvion päällä. Radioastronomiassa käytetään kertovaa interferometria.

21 Korrelaatioteleskooppi (1) Korrelaatioteleskooppi mittaa signaalien U 1 (t) ja U 2 (t) (jännitteitä) tulon. Signaaliin U 2 (t) aiheutetaan syklisesti toistuva π:n vaihesiirto. Neliöllisessä detektorissa muodostuu samaan tahtiin (U 1 + U 2 ) 2 ja (U 1 U 2 ) 2. Vaihtamalla erotussignaalin merkki ennen integrointia ulostulossa mitataan aikakeskiarvo < (U 1 + U 2 ) 2 (U 1 U 2 ) 2 >= 4 < U 1 U 2 >.

22 Korrelaatioteleskooppi (2) Oletetaan, että U 1 (t) ja U 2 (t) sisältävät kohinan lisäksi toistensa kanssa korreloivat signaalit X(t) ja Y (t), ja että X(t) = U x e i2πνt Y (t) = U y e i2πν(t τ). (13) (Signaalit ovat sinimuotoisia, ja niitä erottaa viiveen τ aiheuttama vaihe-ero.) Signaalien tulon aikakeskiarvo: < U 1 (t)u 2 (t) >=< X(t)Y (t) > (korreloimattomien signaalien tulon aikakeskiarvo on nolla). Fysikaaliset signaalit < Re {X(t)} Re {Y (t)} > = 1 2 Re {U x U y e i2πντ } (14) = 1 2 U x U y cos(2πντ + ψ) (15).

23 Korrelaatioteleskooppi (3) Tulon keskiarvo: signaalien X ja Y ristikorrelaatio (cross correlation), merkitään R XY (τ). Yleensä käytetään kompleksilukuesitystä: R XY (τ) = 1 2 U x U y e i2πντ (16) Mitattava signaali on tämän reaaliosa. Oletetaan, että signaalit X(t) ja Y (t) ovat peräisin pistelähteestä, jonka säteily saapuu antenneihin kulmassa θ i : B s τ g =B s/c s T _ 2 T 1 B Vahvistin τ = B sin θ i c (17) V 2 Jännite kertoja Integroiva piiri Visibiliteetti V 1 τ i Korrelaattori

24 Korrelaatioteleskooppi (4) Korrelaatioteleskoopin ulostulo: U out = 4 < U 1 U 2 >= 2U 2 X e i2πνb/c sin θ i. U 2 on verrannollinen antennin vastaanottamaan tehotiheyteen: U 2 A e F ν, joten U out A e F ν e i2πνb/c sin θ i. (18) Oikea puoli muistuttaa aiemmin johtamaamme pistelähteen visibiliteettiä (ν/c = 1/λ).

25 Pintamainen lähde Kuten kaksoisraon tapauksessa, ei-pistemäisen lähteen vaste saadaan integroimalla pintakirkkausjakauman yli: R XY (B/λ) = A e I ν (θ i ) e i2πb/λ sin θ i dθ i. (19) kohde (2-ulotteinen tapaus tulee myöhemmin)

26 Ripsupysäytys (fringe stopping) B s τ g =B s/c s T _ 2 T 1 B Vahvistin V 2 Jännite kertoja V 1 τ i Integroiva piiri Korrelaattori Visibiliteetti Kun antennit seuraavat lähdettä, kannan projektio muuttuu Korrelaattorin vaste vaihtelee hillittömästi, koska B/λ on suuri luku. Vaihtelu saadaan rauhoittumaan, kun ensimmäisen antennin signaalia viivästetään määrällä τ i, joka vastaa täsmälleen geometrista viivettä τ g Tämän ns. ripsupysäytyksen jälkeen lähteen kirkkausjakauma dominoi korrelaattorin vastetta.

27 Ripsupysäytys (2) Ol. että antennit osoittavat suuntaan θ, ja että geometrinen viive τ g = B sin θ/c kompensoidaan instrumentaalisella viiveellä τ i = τ g. Suunnassa θ olevan pistelähteen signaalin amplitudi F ν, vaihe Φ = 0. Suunnassa θ + α olevan pistelähteen vaihe Φ = 2π B/λ[sin(θ + α) sin θ] = 2π B/λ[sin θ cos α + cos θ sin α sin θ] 2πB/λ cos θ α, kun α 1 (cos α 1, sin α α).

28 Ripsupysäytys (3) Korrelaattorin vaste offsetilla α olevalle pistelähteelle on siis i2πb/λ cos θ α R XY = A e F ν e Huom. B cos θ on kannan projektio lähteestä katsottuna. Yllä kuvattu korrelaattori mittaa vain visibiliteetin reaaliosan: R XY,1 = Re ( V e iφ) = V cos Φ Imaginaariosa voidaan mitata lisäämällä toinen korrelaattori, jonka sisääntulevaan signaaliin tehdään π/2 vaihesiirto: R 2 XY,2 = Re ( V e i(φ π/2)) = V sin Φ V = R R2 2 Φ = arctan R 2 R 1

29 Kuvaus Radiointerferometri koostuu yleensä useista antenneista Antenniparien ja kantojen lukumäärä: N(N-1)/2 Kantojen projektiot muuttuvat havainnon kuluessa Eräs tapa formuloida ylläoleva on katsoa tilannetta lähteestä käsin ja seurata, kun interferometri kiertyy sen alla Tästä seuraa (u, v)-tason käsite ja apertuurisynteesin tekniikka

30 Koordinaatisto Taivaannapa u: B/λ:n projektio kohteesta katsottuna dω itä-länsi -suuntaisella akselilla v: B/λ:n projektio pohjois-etelä -akselilla w: B/λ:n projektio lähteeseen osoittavalla akselilla (korjataan instrumentaalisella viivellä) Itä-länsi-suuntaiselle interferometrille s m I(l,m) l s 0 w v Bλ u u = B/λ cos H v = B/λ sin δ sin H, missä H on kohteen tuntikulma ja δ kohteen deklinaatio

31 Visibiliteetti ja kohteen kirkkausjakauma (1) Koordinaatit taivaalla vaihekeskipisteen suhteen: σ = xê x + yê y Kannan projektio lähteestä katsottuna: B/λ = uê x + vê y Viive: τ = B σ/c = λ(ux + vy)/c Vaihe: Φ = 2πντ = 2π(ux + vy) Korrelaatioteleskoopin vaihekorjattu vaste voidaan nyt kirjoittaa: R XY = A e (x, y)i ν (x, y)e i2π(ux+vy) dxdy, kohde missä A e (x, y) = A e P n (x, y) (antennin efektiivinen pinta-ala keilakuvio).

32 Visibiliteetti ja kohteen kirkkausjakauma (1) Määrittelemme visibiliteetille seuraavasti: V (u, v) = R XY /A e (jaetaan vaste A e :llä) Tällöin V (u, v) = kohde P n (x, y)i ν (x, y)e i2π(ux+vy) dxdy Näin määritelty visibiliteetti on tulon P n I ν kaksiulotteinen Fourier-muunnos

33 Esimerkki 3: Pistelähteen visibiliteetti Pistelähde sijaitsee rektaskensio-offsetilla α vaihekeskipisteestä. Itä-länsisuuntaisella interferometrilla mitattu visibiliteetti on V (u) = F ν e i2πu α i2πb/λ cos H α = F ν e missä H on kohteen tuntikulma. Siis: V = F ν, Φ = 2πB/λ cos H α

34 Esimerkki 4: Resolving out Kohde koostuu kahdesta yhtä vahvasta pistelähteestä, joiden rektaskensioerotus (radiaaneissa) on α. Havaitsemme kohdetta itä-länsisuuntaisella interferometrilla, niin että vaihekeskipisteeksi on valittu lännenpuoleinen. Visibiliteetti on tällöin V (u) = F ν (1 + e i2πu α ), missä u = B/λ cos H. Jos valitaan α = λ/(2b cos H), visibiliteetiksi saadaan V (u) = F ν (1 + e iπ ) = 0. Pintamaisen kohteen visibiliteetti voidaan ajatella koostuvan sen pinta-alkioiden visibiliteettien summasta. Jos havaitaan tasaista kohdetta, jonka koko θ S = λ/b, kutakin sen pinnalla olevaa pistettä vastaa toinen, jonka visibiliteetin vaihe eroaa π:llä ensimmäisestä. Tällainen lähde ei näy kertovalla interferometrilla.

35 Antennien paikat ja (u,v)-tason pisteet (1) Z Antennien paikat ilmoitetaan (X, Y, Z )- koordinaatistossa (ks. radiomoniste, luku 6.5) X (H = 0, δ = 0) ο ( δ= 90 ) (H = 6h, δ = 0) Y X-akseli osoittaa etelämeridiaaniin, Y -akseli osoittaa itään, ja Z -akseli osoittaa taivaan pohjoisnavan suuntaan. Yksikkönä on aallonpituus λ.

36 Antennien paikat ja (u,v)-tason pisteet (2) Radiomonisteessa johdetun kaavan (6.54) mukaan u v w = sin H cos H 0 sin δ cos H sin δ sin H cos δ cos δ cos H cos δ sin H sin δ X Y Z Itä-länsi-suuntaiselle kannalle X = 0,Y = B/λ, Z = 0

37 Apertuurisynteesin periaate 1. Mitataan antennien 1 and 2 signaalit U 1 (t) ja U 2 (t) 2. Määrätään tulon keskiarvo < U 1 (t)u 2 (t) > 3. Toistetaan sama suurelle joukolle eri kantoja B/λ = (u, v) (eli määrärätään V (u, v)) 4. Lasketaan kohteen kirkkausjakauma Fourier-muunnoksella: P n (x, y) I(x, y) = V (u, v)e i2π(ux+vy) dudv. (Keilakuvio P n tunnetaan, ja yhtälö voidaan jakaa sillä.)

38 Apertuurisynteesi käytännössä (1) V (u, v) on kompleksiluku: V = V e iφ Koska P n I ν on reaalinen V ( u, v) = V (u, v) (V on hermiittinen - antennien järjestyksellä ei ole väliä) V (u, v) tunnetaan vain rajoitetetussa alueessa ja diskreetille joukolle (u, v) tason pisteitä. Tämän takia emme voi laskea käänteismuunnosta + I(x, y) = V (u, v)e i2π(ux+vy) dudv Määrittelemällä näytteenottofunktion g(u, v) siten, että g 0 vain niissä pisteissä (u k, v k ) joissa V on mitattu, tulo gv on määritelty koko (u, v) tasossa.

39 Apertuurisynteesi käytännössä (2) Tulolle gv voidaan laskea Fourier-käänteismuunnos: I D = + g(u, v)v (u, v)e i2π(ux+vy) dudv Funktiota I D (x, y) kutsutaan lähteen raakakuvaksi (dirty image) Fourier-muunnoksen konvoluutioteoreeman mukaan raakakuva on todellisen kuvan I(x, y) ja synteettisen keilan P syn konvoluutio: missä P syn I D = I(x, y) P syn, + g(u, v)e i2π(ux+vy) dudv

40 Apertuurisynteesi käytännössä (3) Näyttenottofunktio g(u, v) voidaan kirjoittaa δ-funktion avulla: g(u, v) = ΣN 1 k=0 w kδ(u u k, v v k ) Σ N 1 k=0 w k Normituksesta g(u, v)dudv = 1 seuraa P syn (0, 0) = 1 Synteettisen pääkeilan puoliarvoleveys x 1/u max, y 1/v max Sivukeilat ulottuvat koko taivaan yli Painokertoimet w k vaikuttavat synteettisen keilan muotoon ja sivukeilojen voimakkuuteen Luonnollinen painotus: w k = 1/σk 2 (σ on rms-kohina), Tasainen painotus: w k = 1/ρ(u k, v k ) (ρ on uv-pisteiden tiheys)

41 Esimerkki 5 uv-peitto Kohde: pistelähteet ( α, δ) = (0, 0 ) ja (10, 10 ), δ = 80 Mittaus H = 2 h +2 h Antennit: 0,90,170,210,225 m itä-länsi-suunnassa Kannat: B=15, 40, 55, 80, 90, 120, 135, 170, 210 ja 225m Aallonpituus λ = 1cm Raakakuva Synteettinen keila Puhdistettu kuva

42 Esimerkki 6 uv-peitto Esimerkin 5 lähdettä mitattu 12 h: H = 6 +6 Kuva puhdistettu Högbomin CLEAN-algoritmilla: kuvasta etsitään pistemäisiä komponetteja, ja vähennetään kunkin kohdalta synteettinen keila. Lopuksi pistelähteet konvoloidaan pääkeilaa vastaavalla Gaussin funktiolla. Raakakuva Synteettinen keila Puhdistettu kuva

43 Esimerkki 7 Kohde: gaussinen kaasupilvi, puoliarvoleveys 10, ( α, δ) = (0, 0 ), lähettää spektriviivasäteilyä, kokonaisvuo 1 Jy viivan huipussa Mittaus meridiaanissa H 0 h Antennit: 0,90,150,400 m itä-länsi-suunnassa Aallonpituus λ = 1.3cm Kannat: B=90, 150, 60, 400, 310, 250 m λ/b 29, 17, 43, 7, 8 ja 10 spektrit eri kannoilla

44 Puuttuva informaatio Epätäydellinen uv-tason peitto: Keskusaukko : pintamaisen lähteen kokonaisvuontiheys jää mittaamatta, V (0, 0) = kohde I(x, y)dxdy Suurimmat kuvattavissa olevat rakenteet: α < 1/u min, δ < 1/v min Erotuskyky: α 1/u max, δ 1/v max uv-tason aukot vaikuttavat sivukeiloihin

45 Koherenssi Aallot tuottavat vakaana pysyvän interferenssisignaalin (esim. ripsukuvion), jos niiden keskinäinen vaihe-ero ei muutu Koherenssi: aallon kyky saada aikaan interferenssi Ajallinen koherenssi - aalto toistaa itseään Ideaalitapaus: monokromaattinen säteily Avaruudellinen koherenssi - eri paikoissa mitatut vaihe-erot ennustettavissa Ideaalitapaus: pistelähde

46 Aaltojen superpositio Samantaajuisten harmonisten (sinimuotoisten) aaltojen superpositio tuottaa harmonisen aallon, vaikka niillä olisi eri vaiheet ja amplitudit. Eritaajuisten harmonisten aaltojen summa on jaksollinen mutta anharmoninen. Jaksollinen funktio f (t), jonka periodi on T (siis f (t + T ) = f (t)) voidaan esittää Fourier-sarjan avulla: f (t) = Σ + n= c n e in2πν 0t, missä kertoimet c n saadaan integraalista c n = 1 T t0 +T t 0 f (t) e in2πν 0t dt

47 Fourier-integraali Ei-periodinenkin funktio voidaan tulkita periodiseksi rajalla T. Tämän perusteella ei-periodisella funktiolla f (t) on kehitelmä missä f (t) = g(ν) = + + g(ν) e i2πνt dν, f (t) e i2πνt dt, Funktiot f (t) ja g(ν) muodostavat Fourier-muunnosparin. Periodisen funktion spektri koostuu joukosta disktreettejä taajuuksia (Fourier-sarja), kun taas ei-periodisen funktion spektri on jatkuva (Fourier-muunnos).

48 Viivaemission spektri (1) Atomin tai molekyylin spontaania emissiota voidaan kuvata vaimevan dipolivärähtelijän lähettämänä säteilynä. Sähkökenttä voidaan kirjoittaa E(t) = 0, kun t < 0 Ae t/τ e i2πν0t, kun t 0 τ on aika, jona värähtely vaimenee e:nteen osaan. Einsteinin spontaanin emission kerroin A ul = 1/τ.

49 Viivaemission spektri (2) Säteilyn energiaspektri saadaan Fourier-muunnoksen neliöstä. Viivan puoliarvoleveys ν = 1 = A ul πτ 0 π (Vertaa Heisenbergin epätarkkuusperiaate: E t h/2π.)

50 Luonnollinen leveneminen Ns. luonnollisessa levenemisessä ν 1/τ, τ ylemmän tilan elinikä. Esim. Na D-viiva (5890 Å): τ = 16ns, ν = 20 MHz HI 21-cm viiva τ = s 10 7 v, ν = Hz Säteilylähde koostuu suuresta joukosta atomeja tai molekyylejä, joiden energiatilojen väliset siirtymät lähettävät aaltojonoja.

51 Koherenssiaika (1) Tietyllä taajuudella havaitaan esim. seuraavanlainen jono: Aallon vaihe pysyy ennustettavana hetken, mutta hypähtää satunnaisesti aikojen τ 1, τ 2, jne. jälkeen Tyypillinen aaltojonon kesto τ: koherenssiaika.

52 Koherenssiaika (2) Koherenssiaika τ: kuinka kauan aalto pysyy vaihevakaana ts. ennustettavana Koherenssimatka l τ : koherentin aaltojonon pituus l τ = cτ c ν = λ2 λ Esim. Na D-viiva l τ = 4.8 m, HI 21-cm: l τ = 3.4 Mpc! Todellisuudessa Doppler-leveminen hallitsee kapean viivan muotoa. Esim. kun T kin = 50 K, lämpöliikkeestä johtuva HI-viivan leveys on v = 1.5 km/s ( ν = 7.2 khz). Tästä laskettu koherenssiaika τ = 0.14 ms, eli l τ 42 km.

53 Osittainen koherenssi Pisteestä S lähtevä säteily saapuu pisteeseen P kahta tietä. Säteiden vaihe-ero pysyy vakiona ja ne siis interferoivat, jos matka-ero on pienempi kuin korehenssimatka l τ tai aikaero t < τ.

54 Ripsunäkyvyys osittaisen koherenssin tapauksessa Michelsonin määrittelmän mukainen ripsunäkyvyys V, V = I max I min I max + I min laskee arvosta 1 nollaan kun t τ.

55 Kaksoisrako Kaksoisrako: korkeamman kertaluvut maksimit heikkenevät varjostimella, V = 1 m λ/λ (vaikka raot olisivat äärimmäisen kapeita)

56 Sivuttaiskoherenssi Edellä tarkasteltiin koherenssia aallon etenemissuunnassa. Interferometrisissa mittauksissa ollaan kuitenkin lähinnä kiinnostuneita säteilyn koherenssista sivuttaissuunnassa (avaruuden eri pistessä sijaitsevilla teleskoppeilla), jota käytetään kirkkausjakauman selvittämiseen. Sivuttaiskoherenssi kuvaa säteilylähteen pistemäisyyttä.

57 Sivuttaiskoherenssin leveys Sivuttaiskoherenssin leveys l s : kuinka kaukana sijaitsevissa pisteissä säteilylähteestä tulevat aallot interferoivat Kuvan tapauksessa kantaväli B = l s eli lähteen koko θ S = λ/b rad.