Mikko Lemmetty Aerosolikokojakauman bayesilainen inversio Diplomityö

Transkriptio

1 Mkko Lemmetty Aerosolkokojakauman bayeslanen nverso Dplomtyö AIHE HYVÄKSYTTY SÄHKÖTEKNIIKAN OSASTONEUVOSTON KOKOUKSESSA Tarkastajat: Prof. Jorma Kesknen FT Arto Voutlanen

2 Alkusanat Tämä työ on tehty Tampereen teknllsen ylopston Fyskan latoksen Aerosolfyskan laboratorossa pääosn kesän 2004 akana. Haluan esttää lämpmät ktoksen työn ohjaajalle, professor Jorma Keskselle saamastan ohjauksesta ja kannustuksesta. FT Arto Voutlanen Kuopon ylopston sovelletun fyskan latokselta ansatsee suuret ktokset asantuntevsta neuvostaan sekä kärsvällsyydestään. Ktän myös TkT Marko Marjamäkeä ja huonetoveretan, dplom-nsnöörejä Antt Rostedta ja Top Rönkköä hyvästä seurasta ja neuvosta. Aerosolfyskan laboratoron koko työyhtesölle kuuluu ktos hyvästä ja avomesta lmaprstä, jossa on ollut lo työskennellä. Olen syväst ktollnen vanhemmllen ja veljellen Joukolle hedän mnulle opskeluakanan antamasta vankkumattomasta tuesta. Psara, sadehelm pskunen, tpaht helmaan meren aavojen nous lmaan tomunhven sattumalta ja maahan vapua taas täyty sen. (Khajam 966, 36) Tampereella Mkko Lemmetty Kunnkaankatu 34 A Tampere mkko.lemmetty@tut.f

3 Ssällysluettelo Tvstelmä 4 Abstract 5 Merknnät 6 Lyhenteet 9 Johdanto 0 2 Inverso-ongelmssa käytetyt menetelmät 4 2. Suora lähestymstapa Sngulaararvohajotelma Sngulaararvojen omnasuudet ja käyttö Ylestetty sngulaararvohajotelma Äärarvoarvomenetelmä Tkhonov-regularsaato Ylenen Tkhonov-regularsaato Regularsaaton kästtetä Epälneaarsuus Statstset nversomenetelmät Bayeslasen menetelmän käyttö Markovn ketjut Latnalanen hyperkuuto 36 3 Kakshuppusen aerosoljakauman nverso Jakaumat Sähkönen alpanempaktor Bayesn kaavan sovellus Elpn Alkuarvaus 49 4 Kokeellnen tutkmus 5 4. Elpn vrtakohna Smulaatot Inverso smulodulla datalla Kokeellset mttaukset 60 5 Johtopäätöksä tulokssta Useden mttausten hyödyntämsen vakutus Vrran ja kerneln vrheet Keskarvo- va monvrtamenetelmä? Tulevasuuden kehtyssuunta 7 6 Krjallsuutta 73

4 Tvstelmä TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Sähköteknkan koulutusohjelma Fyskan latos Lemmetty, Mkko: Aerosolkokojakauman bayeslanen nverso Dplomtyö, 77 s. Tarkastajat: Prof. Jorma Kesknen FT Arto Voutlanen Rahottaja: Teknologan edstämskeskus Sähköteknkan osasto Syyskuu 2004 Tässä dplomtyössä tutkttn usella mttauskerrolla kerätyn nversodatan käyttöä bayeslasessa nversomenetelmässä. Jos mttalate mttaa jakaumaa, joka pysyy useden mttausten ajan vakona, on hyödyllstä käyttää usesta mttaukssta saatua dataa nversoongelman ratkasuun. Kehtetty algortm, joka akasemmsta mulle kaskad-mpaktorelle tehdystä vastaavsta algortmesta poketen on täysn automaattnen, sovttaa kakshuppusen lognormaaljakauman sähkösen alpanempaktor Elpn mttausdataan. Algortmn perusverso, keskarvomenetelmä, käyttää ssäänmenonaan mttaustulosten keskarvoa ja vahtoehtonen verso, monvrtamenetelmä, käyttää suoraan kakka saatavlla oleva mttaustuloksa. Algortmen tomntaa testattn smulaatolla ja kokeellslla mttaukslla tutken mttausvrheen ja käytettyjen mttauskertojen vakutusta. Molemmat algortmt selvytyvät perustehtävästään hyvn ja ovat käyttökelposa. Mahdollset algortmen epäonnstumset ovat selkeäst havattavssa. Smulaatoden perusteella ols odotettavssa, että molempen menetelmen tehokkuus rppus käytettyjen mttauskertojen määrästä, ja nversovrheen mnm saavutettasn vdellä kymmenellä mttauksella. Tätä e kutenkaan havattu kokeellsssa mttauksssa. Todennäköset syyt eroon ovat huonost tunnetut Elpn mttaus- ja vastefunktoden vrheet. Keskarvomenetelmä ja monvrtamenetelmä tomvat lkman yhtä tehokkaast, mutta nopeampana nästä kahdesta keskarvomenetelmä on suosteltavamp. Kutenkn molemmat menetelmät ovat tomva ja nden antamat tulokset vovat olla hyvänä apuna pyrttäessä ymmärtämään aerosoljakauman omnasuuksa. 4

5 Abstract TAMPERE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Degree program n electrcal engneerng Insttute of Physcs Lemmetty, Mkko: Bayesan nverson of an aerosol sze dstrbuton Master of Scence thess, 77 pages Examners: Prof. Jorma Kesknen Ph.D. Arto Voutlanen Fundng: Natonal Technology Agency of Fnland Department of Electrcal Engneerng September 2004 In case of a devce measurng a dstrbuton whch remans constant durng several measurements t may be advantageous to make use of data from more than one measurement n the soluton of an nverson problem. An algorthm fttng aerosol measurement data from the Electrc Low-Pressure Impactor (ELPI) to a bmodal log-normal sze dstrbuton was constructed. Unlke the correspondng algorthms developed so far the new algorthm s fully automatc and does not need human help for the guess of ntal values. The basc verson of the algorthm, the average method, employs the mean of the current measurements. The alternatve multple currents method utlzes all avalable measurement data drectly. The performance of both algorthms was tested wth smulatons and expermental measurements focusng on the effect of measurement error and the number of ndvdual measurements used n the nverson. Both algorthms are practcable and can be used for the nverson of ELPI measurement data. The stuatons where the algorthms fal are easly dstngushable. On the bass of the smulatons, t was expected that the effectveness of both methods ncreases wth the number of current measurements employed n the nverson. The methods reach ther optmal effectveness n the smulatons wth four ten measurements employed but the phenomenon s not perceved n the expermental part of the study. Ths s probably due to the error of the response functons and to a wrong estmate of the ELPI measurement error. The multple currents method and the average method are almost equal n effcency but, beng faster, the average method s recommended. Anyhow, both methods are workable and the results gven by them can be a useful ad n the pursut to understand the propertes of an aerosol sze dstrbuton. 5

6 Merknnät, s Joukko {,,s} ( θ dp p,θ ) ( ) ( θ, A) p θ, θ :n muunnos srryttäessä perusmuotoseen Tkhonovregularsaatoon Eukldnen norm vektorelle, matrselle max Ax x= da < > Odotusarvo guess Alkuarvausalgortmn arvo suureelle 0 Nollavektor ta matrs A Matrs, kun halutaan krjottaa ylesest. A Jokn V θ :n alue a Parametr ernässsä jakaumssa ja hylkäysnäytteenotossa A + A:n pseudonverss A - A:n kääntesmatrs arg Argumentt b Ylesessä ongelmassa Ax = b b Parametr ernässsä jakaumssa C Hyväksyttäven ratkasujen joukko c m Massaptosuus cond( ) Matrsn kunto corr(, ) Korrelaato D Luottamusparametr d D, dx D 2 d a d g d m d mn d p Dervaatta (x:n suhteen) Tosen dervaatan approksmova matrs Aerodynaamnen läpmtta Geometrnen keskkoko Sähkönen lkkuvuuskoko Huppujen välnen rajapste alkuarvausalgortmssa Hukkaskoko E( ) Odotusarvo E Asteen keräystehokkuus f Mtattavan jakauman f dskretsont f Mtattava jakauma f ) f f * f 0 f guess f Lnearsodun ongelman mnm Tunnettu a pror ratkasu Alkuarvaus Newton-Rhapson menetelmässä Alkuarvausalgortmssa käytettävä arvo lukumääräptosuudelle. Vektorn f :s komponentt 6

7 7 f k (z) Jakauma hukkaskoon momentn k suhteen f m Massajakauma f norm Normalsotu funkto f opt Optmaalnen ratkasu f result Inverson tuloksena saatu arvo f:lle f λ Regularsotu ratkasu regularsontparametrn arvolla λ Äärarvomenetelmässä tutkttava funkto, joka mnmodaan ja g maksmodaan. Voutlasen menetelmässä mnmotava funkto. G(λ) Ylestetyssä rstnvahvstuksessa mnmotava funkto h(f) Mnmotava funkto lnearsotaessa nverso-ongelmaa h(θ) Melvaltanen θ:n funkto (bayeslasssa menetelmssä) I Elpn kanaven vrrosta muodostettu vektor I, I n n n n ykskkömatrs I Vrheetön mttaustulos, jos jakauma on θ. I Elpn :s mttaustulos J K Vastefunkton K Jordann matrs K Vastematrs k Matrsn [A T, L T ] T aste K # Regularsotu nverss k Mttalatteen :nnen asteen vastefunkto L Ylesessä kästtelyssä otetaan matrsn [A T, L T ] T ylestetty sngulaararvohajotelma L + K Matrsn L ylestetty K-panottenen nverss L L T L = V(y-y true ) L 2 Svurajotematrs lg Brggsn logartm M Markovn ketjun psteden lukumäärä, massaptosuus (Sekottumsvaaraa e ole.) mn Mnmarvo n Lukumääräjakauma, mttalatteen kanaven lukumäärä (Sekottumsvaaraa e ole.) n(d p ) Hukkasen keskmääränen varausluku. N Lukumääräptosuus, nversossa käytettäven mttausten lukumäärä (Sekottumsvaaraa e ole.) p(y f) Todennäkösyys mtata y, kun f on syöte P(θ, A) Transtokernel + P( θ Todennäkösyys, että θ A θ ) kuuluu joukkoon A, kun edellnen ketjun jäsen on θ p 0 Optmaalsen ratkasun todennäkösyys P 0 (θ) θ:n a pror -todennäkösyysjakauma P L (y θ) Todennäkösyys, että parametrn ollessa θ mtataan y P(d p ) Varaajan läpäseven hukkasten osuus P post (θ y) Mttauksen jälkeen saatava θ:n todennäkösyys Q Kvasoptmaalsuusperaatteessa mnmotava funkto. Q Tlavuusvrta q(θ *, θ Ehdotusten todennäkösyysjakauma Markovn ketjua ) laskettaessa R Inversovrhe r Matrsn A nolla-avaruuden dmenso

8 8 rank( ) Matrsn aste r eff Tehollnen numeernen aste R n Normalsotu nversovrhe R n m n m reaalmatrsen joukko r ε Numeernen aste (σ pokkeaa vähntään ε:n verran nollasta) s mn{m, p} tr( ) Jälk u Tasasest jakautunut satunnasmuuttuja hylkäysnäytteenotossa U, Σ, V, M, X Sngulaararvohajotelman ja ylestetyn sngulaararvohajotelman er matrst V Parametrn x saamen arvojen joukko V( ) Varanssmatrs var( ) Muuttujan varanss w Wolfenbargern ja Senfeldn ylesen svurajotteen panokerron :nnelle dervaatalle V θ Parametrn θ fyskaalsest mahdollsten arvojen avaruus x Mtattava parametr, lg d p (Sekottumsvaaraa e ole.) y Mttalatteen ulostulo y true Todellnen mttaustulos z Melvaltanen mttalatteen tomnnalle omnanen suure z Vektor, joka ssältää suureen z mtatut kokoluokat α Ongelman pahanlaatusuusaste α(θ *, θ ) Todennäkösyys hyväksyä ehdotus θ * seuraavaks Markovn ketjun arvoks β Regularsontparametr Voutlasen menetelmässä γ Regularsontparametr Voutlasen menetelmässä, hupun lukumääräosuus (Sekottumsvaaraa e ole.) γ 2 Regularsontparametr Voutlasen menetelmässä, hupun lukumääräosuus (Sekottumsvaaraa e ole.) γ Matrsn :s ylestetty sngulaararvo (suureen edellä) Muutos δ (k) Askeleen k stablova parametr Newton-Rhapsonmenetelmässä exact δ 0 Tarkan systeemn rstrtasuus δ e Mttausvrheen yläraja δ K Vastematrsn vrheen yläraja ε Mttalatteen vrhe ε Numeersen asteen laskennassa käytettävä mukaan laskettavan sngulaararvon alaraja ζ Suodntekjä θ Parametrvektor θ * Ehdotus seuraavaks Markovn ketjuun otettavaks arvoks θ :s Markovn ketjuun laskettu parametrvektor λ Regularsontparametr λ opt Optmaalsen nversotuloksen tuottava regularsontparametr µ Matrsn M :s dagonaalalko sngulaararvohajotelmassa ξ Melvaltasen suureen z ja hukkaskoon välnen kuvaus ο lm x x 0 ο ( x x ) x x = 0

9 9 ρ σ c σ g σ σ v φ φ(θ * θ * 2,..., θ * l ) Φ ω k Theys Vrheen knteä osuus, pohjakohna Geometrnen keskhajonta :s sngulaararvo ta kanavan keskhajonta Vrheen vrrasta rppuva osuus Monte-Carlo-menetelmässä tavoteltava todennäkösyysjakauma Ehdollnen theysjakauma laskettaessa Markovn ketjua Gbbsn menetelmällä Svurajote Tärkeysnäytteenoton panokerron Lyhenteet DOS GSVD SD SMPS SVD TSVD Doktyylsebakaatt Ylestetty sngulaararvohajotelma (Generalzed sngular value decomposton) Keskhajonta (Standard devaton) Sähkönen lkkuvuusluokttalja (Scannng moblty partcle szer) Sngulaararvohajotelma (Sngular value decomposton) Katkastu sngulaararvohajotelma (Truncated sngular value decomposton)

10 Johdanto Aerosolehn lttyvä tutkmus on jatkuvassa kasvussa. Jo aerosolen jatkuvast lsääntyvä merktys materaalteknkassa ja lääketeteessä rttäs selttämään tämän, mutta terveysvakutukset antavat aerosolelle ertysen panoarvon. Ensmmäset aerosoltutkmuksen käytännön sovellutukset koskvat karkeden teollsuusympärstön aerosolen vähentämstä, mutta 970-luvulla huomo srty ulkolma-aerosolen tutkmseen. Tehdyt kansanterveydellset tutkmukset osottavat selkeäst, että ulkolman aerosolkonsentraatolla on yhteys kuollesuuteen (esm. Künzl et al 2000), mutta varsnaset syyt tähän ovat tostaseks hämärän petossa. Melenkntoseks yhteyden tekee se, että penten hukkasten vakutus kuollesuuteen vakuttas ertysen suurelta. Tämä merktsee, että pelkkä aerosoln massaptosuus e rtä selttämään terveysvakutuksa. On jopa epältävssä, että vakuttavana suureena ols lukumääräptosuus. Joka tapauksessa on välttämätöntä mtata aerosoln kokojakauma pelkken ptosuuksen lsäks. Koska tyypllstä aerosola on erttän vakeaa tutka astnvarasest, aerosoltutkmus on täysn rppuvanen mttalattesta. Ehkä merkttävn aerosolen mttalate ol vuoskymmenten ajan mpaktor, joka kerää tettyä kokoa suuremmat hukkaset lmavrrasta. Tätä paranneltn kaskad-mpaktorks, jossa lmavrrasta kerätään er kokoluokkn kuuluvat hukkaset perättäslle mpaktoralustolle. Hukkasptosuus mtataan punntsemalla kerätty aerosol joko perntesellä vaa alla ta mulla menetelmllä. Impaktoren teknkka on ollut täysn kehttynyttä jo vuoskymmenten ajan ja mttausmenetelmät hyvn standardotuja. Impaktoren kehtys sa olennasen lsäaskeleen, kun 990-luvun alussa Tampereen teknllsen korkeakoulun aerosolfyskan ryhmässä (nyk. Tampereen teknllsen ylopston aerosolfyskan laboratoro) kehtettn sähkönen alpanempaktor (engl. Electrcal Low- Pressure Impactor, ELPI, Kesknen et al 992) el Elp. Tässä latteessa kerättävät aerosolhukkaset varataan, mnkä jälkeen mpaktorastelle keräytyneet vrrat mtataan. Nykyakasten tarkkojen elektrometren ansosta mttalate kykenee muutamen sekunten akaresoluutoon, mkä on merkttävä parannus. Elp on yhä, 2 vuotta kehtystyön alottamsen jälkeen, akaresoluutoltaan tarkn aerosolmttalate. Parantunut akaresoluuto on merknnyt suurta muutosta aerosolen tutkmuksessa. Snä, mssä ennen ulkolma- Lyhenteestä ELPI on muodostunut latteen ylesyyden vuoks aerosolpressä krjansana, joka lausutaan suomalasttan. Tämän vuoks on järkevää käyttää stä Kotmasten kelten tutkmuskeskuksen lyhennesanosta ja sosta krjamsta antaman suostuksen mukasest krjansanan tapaan ja krjottaa Elp (Kotmasten kelten tutkmuskeskus 2004). 0

11 aerosoln ptosuudesta saatn perntesellä kaskad-mpaktorlla esmerkks vkon keskarvo, vodaan Elpllä saada kuva aerosoljakauman akakehtyksestä. Kakk mttalatteet ovat epädeaalsa, mkä asettaa vaatmuksa saadun mttausdatan tulostenkästtelylle. Jos mpaktor toms täysn deaalsest, kakk tetyn kokoluokan hukkaset keräytysvät tetylle asteelle. Tällön mttaustulos kuvas sellasenaan todellsta aerosola. Valtettavast kakken mpaktoren tomnta on epädeaalsta ja todellsen, mtatun aerosoln omnasprteden selvttämnen vaat ylmäärästä työtä: tarvtaan nversoalgortm. Algortmlla pyrtään ratkasemaan mtattu jakauma f(x) Fredholmn ensmmäsen lajn ntegraalyhtälöstä V ( x) f ( x) x + ε y = k d, (-) mssä y on asteen ulostulo, k (x) sen vastefunkto muuttujan x suhteen ja ε asteen vrhe. On hyvä huomata, että myös deaalslla mpaktorella yhtälö - on vomassa, mutta supstuu trvaalks. Koska kaskad-mpaktort, john Elp kuuluu, ovat vanhaa ja tunnettua teknologaa, tse nverso-ongelmassa e ole mtään uutta. Impaktoren ja muden aerosolmttalatteden datan nversota on tutkttu 960-luvulta alkaen ja nlle on olemassa useta tomva nversomenetelmä. Inversomenetelmät jakautuvat determnstsn algortmehn, jotka usemmten ovat Tkhonov-regularsaaton sovelluksa, tlastollsn menetelmn, john tämä työ panottuu, sekä dynaamsn menetelmn. Dynaamsssa menetelmssä pyrtään mallntamaan mtattavan suureen akakehtystä verrattan harvojen mttauskertojen välllä. Determnstsä ja tlastollsa menetelmä kästellään tämän työn tosessa luvussa. Dynaamset menetelmät evät ole tämän työn kannalta oleellsa ja ne svuutetaan. Elplle e ole tätä ennen kehtetty nversoalgortmeja, vakka mttalate onkn levnnyt vomakkaast maalmalle. Syynä tähän on ollut se, että Elpn vastefunkto e ole ollut tedossa. Tekn. tr Marko Marjamäk on kutenkn vätöskrjatyönsä yhteydessä mtannut Elpn vastefunktot, jotka ovat tosn tostaseks julkasematta. Nämä vastefunktot mahdollstavat nversomenetelmen kehttämsen Elplle. Elpn erkosuutena perntesn mpaktorehn nähden on sen suur akaresoluuto. On suorastaan tyypllstä, että aerosoln muuttumsen akaskaala on olennasest Elpn yksttäseen mttaukseen kuluvaa akaa pdemp. Tällön Elp mttaa useden mttauskertojen ajan samaa aerosola. Omnasuutta on luonnollsest pyrttävä hyödyntämään Elplle tehtävässä nversoalgortmssa.

12 2 Tämän työn tarkotus on estellä Elplle nversoalgortm, joka olettaa mtattavan jakauman olevan muodoltaan kakshuppunen lognormaaljakauma. Oletus on käyttökelponen tutkttaessa pakokaasuja ta tuoreta lkenteen päästöjä. Tällasen mttausdatan kästtelymenetelmlle on tarvetta esm. Tekesn FINE-teknologaohjelman projektessa. Tässä työssä tutkttu menetelmä perustuu bayeslaseen nversoon, jonka Ramachandrann ja Kandlkarn (996) ovat soveltaneet henklökohtaselle hengtettävän pölyn spektrometrlle (engl. personal nhalable dust spectrometer ). Työn kolmannessa luvussa sovtetaan algortm Elplle ja kehtetään stä täysn automaattnen luomalla uus alkuarvauksen toteuttava algortm. Estellään lsäks kaks er menetelmää, jolla usesta mttaukssta peräsn oleva nformaato vodaan tuoda tällaseen algortmn. Neljännessä luvussa menetelmä vertallaan smulaatolla ja kokeellsella mttausdatalla. Vdennessä luvussa kommentodaan algortmn käytöstä ja pyrtään selttämään se matemaattsest. Tehdyssä työssä on erätä teteellsest uusa tuloksa, jotka on tarkotus julkasta sopvassa kansanvälsessä julkasussa. Työn tehtävänasetteluun kuulu Elpn nversomenetelmen kehttämsen lsäks nversomenetelmen ylesluontonen suomenkelnen esttely, sllä aheen monmutkasuuden vuoks tutkmuskentälle saapuvan tulokkaan ols hyvä saada perustedot ädnkelellään. Myös suomen sälymnen svstyskelenä ja suomenkelsen sanaston kehttämnen vaatvat ajottasa suomenkelsä ylesestyksä er tutkmusaluesta, vakka kakk ahetta kästtelevä merktyksellnen tutkmus tehtäsnkn englannks. Kurkelan (995) dplomtyö on tähän saakka anoa ylesest saatavlla ollut suomenkelnen estys nversosta, ja se keskttyy lähnnä äärarvoarvo- (EVE) ja Mcron-algortmehn. Tämän työn tosessa luvussa on pyrtty esttelemään nverson pohjana olevaa teoraa ja er tlantessa käytettyjä nversomenetelmä jonkn verran laajemmn. Tämän vuoks tonen luku on huomattavan laaja ja kästtelee bayeslasen nverson kannalta vähämerktykssä aheta, jotka kutenkn ovat olennasa yleskuvan saamseks nversosta. Luku 3. ssältää aerosolfyskkaan perehtymättömän henklön tarvtsemat ylestedot aerosolesta. Tavotteena on, että esmerkks tutkmusryhmään uutena työntekjänä otettu opskelja, jolla on peruskurssella hanktut matematkan tadot, sas tämän työn ja mahdollsest esm. Moson (999) ta Marjamäen (2003) vätöskrjat luettuaan rttävän kuvan nversotutkmuksesta ja Elpn nverson nykysestä tlasta kyetäkseen osallstumaan nversoon lttyvään tutkmustyöhön.

13 3 Työssä kästellään lukusa er nversomenetelmä, jolla kaklla on omat, pernteen stomat merkntäjärjestelmänsä. Tämän vuoks jossan tapauksssa on jouduttu käyttämään samoja merkntöjä er suurelle. Sekaantumsen vaaraa e kutenkaan ole, sllä mahdollset samat merknnät esntyvät tosstaan erllsssä yhteyksssä. Työn ylesestysluonteen vaatman helppolukusuuden saavuttamseks olen merknnyt vektort ja matrst lhavotuna.

14 2 Inverso-ongelmssa käytetyt menetelmät Lneaarsta mttalatetta, jonka ulostulona on vektor y T = [y, y 2, y 3,...y n ] T ja ssäänmenona parametrn x:n suhteen jatkuva muuttuja f(x), vodaan kuvata ntegraalyhtälöllä y V ( x) f ( x) x + ε = k d, (2-) mssä V on parametrn x saamen arvojen joukko. Seuraavassa V jätetään pos ntegraalmerknnästä, jos stä e nmenomasest tarvta. Funktot k ovat mttalatteen vastefunktot, jotka tunnetaan. Term ε kuvaa todellsssa mttalattessa ana esntyvää vrhettä. Käytännön mttalatteden vastefunktot ovat snä määrn monmutkasa, että yhtälön 2- ntegraala e ole järkevää laskea analyyttsest, joten ongelma dskretodaan ratkasua varten: ( x ) f ε n m y = Kf + ε, K R, f = = M, ε M ( ). (2-2) f xm ε n Tässä estyksessä on dskretontpsteden lukumäärän m oltava rttävä, jotta dskretonnsta västämättä seuraava vrhe votasn ptää halutun kokosena. Dskretontpsteet x m valtaan käytetyn ntegrontmenetelmän puttessa sten, että vodaan arvoda f:n arvoja kakssa nssä joukon V osssa, jossa f eroaa merkttäväst nollasta. Vastematrs K koostetaan asteden vastefunktosta, john lsätään numeersen ntegronnn tarvtsemat kertomet. Esmerkks trapetsmenetelmässä pätee mssä x on dskretontväl. K ½ = k k ( x j ) x, kun j {, m} ( x ) x, kun j { 2,3,..., m } j, j Tavanomasest ssäänmeno f tunnetaan ja on laskettava ulostulo y. Tätä kutsutaan suoraks ongelmaks, englannks drect problem (Voutlanen 200, 6). Tässä työssä kästellään pänvastasta tlannetta, jossa yrtetään määrttää f, kun vastefunktot ja mttaustulos tunnetaan. 2. Suora lähestymstapa Yhtälön 2-2 matrslle K pätee yleensä n<m, koska dskretont vaat huomattavan joukon pstetä. Suoravvasn tapa ratkasta f on käyttää penmmän nelösumman menetelmää. Kerrotaan yhtälö 2-2 puolttan matrslla K T. Jos matrsn K aste on n, vodaan ongelma ratkasta suoravvasest: 4

15 5 K T T ( K K) K y T Kf = K y f =. (2-3) T Jos n < m, matrs K T K on västämättä vajaa-astenen ekä sllä ole kääntesmatrsa. Tällön ratkasu e ole ykskästtenen ekä stä voda saada yllä olevalla menetelmällä. Sllonkn kun n > m, lähestymstapa onnstuu anoastaan sllon, kun K T K on kaukana sngulaarsuudesta. Tätä vastaa se, että matrsn K kunto (engl. condton number, Pohjolanen 2003, 7) ( ) σ σ s cond K = (2-4) on pen. Tässä σ ja σ s ovat matrsn K suurn ja penn sngulaararvo. (Voutlanen 200, 7.) Valtettavast usen cond(k) on suur, ja pen vrhe vektorssa y aheuttaa suuren vrheen yhtälöllä 2-3 lasketussa funktossa f. Tällasta ongelmaa kutsutaan pahanlaatusks (engl. ll-posed ) (Mkkola 995). On mona huonostasetettuja ongelma, jota e voda ratkasta luotettavast numeersa menetelmä käyttämällä. (Hansen 998, x.) Tässä työssä kesktytään kutenkn sellasn ongelmn, jotka vodaan ratkasta, koska tunnetaan edeltäkäsn okean ratkasun omnasuuksa. 2.2 Sngulaararvohajotelma Jokaselle matrslle vodaan muodostaa sngulaararvohajotelma (SVD), joka antaa tetoa matrsn muodosta ja numeerssta omnasuukssta. Matrsn A R n m vodaan krjottaa muotoon σ 0 O A, 0 σ s 0 T T T T = UΣV = U V, U U = I, n n V V = I m m mssä pätee s = rank(a), ja matrsn Σ okeassa alakulmassa oleva nollamatrs on tarpeellsen kokonen. Snglaararvot σ,..., σ n ovat matrsn A T A omnasarvojen (postvset) nelöjuuret. Koska U ja V ovat ortonormaaaleja, sngulaararvot ssältävät tedon stä, mten vektoren ptuudet muuttuvat. Yleensä sngulaararvot järjestetään sten, että σ (Esm. Pohjolanen 2003, 6.) σ 2 σ 3 s s+ n = L σ > σ = K = σ 0.

16 Sngulaararvojen omnasuudet ja käyttö Nollaa suurempen sngulaararvojen määrä on yhtä suur kun matrsn A aste el s = rank(a). Käytännön sovelluksssa matrst ssältävät kutenkn mttausvrhetä, joten on usen järkevää tutka matrsn numeersta astetta. Numeernen aste määrtellään mn E ε ( A + E) r = rank. (2-5) ε Tämä merktsee, että numeernen aste kertoo nden rven lukumäärän, jotka sälyvät lneaarsest rppumattomna, vakka A muuttus mnkä tahansa matrsn E, E ε verran. (Matrsn norm määrtellään jäljempänä kaavassa 2-6.) Määrtelmästä 2-5 seuraa σ r > ε σ ε rε +. (Hansen 998, 46.) Jos tutkttavassa matrsssa on joukko suurehkoja sngulaararvoja ja tonen joukko penä arvoja, ja nätä erottaa selkeä tyhjä väl, on helppo valta ε näden vällle. Tällön numeernen aste on nollasta selkeäst pokkeaven sngulaararvojen määrä, ja puhutaan vajaa-astesesta (engl. rank-defcent ) ongelmasta. Yleensä vajaa-asteset ongelmat muunnetaan er hajotelma tutkmalla hyvn asetettuun (engl. well-posed, Mkkola 995) muotoon, mnkä jälkeen ne ovat ratkastavssa perusmenetelmn. (Hansen 998, 2.) Yksnkertasn tällanen menetelmä on katkastu sngulaararvohajotelma (engl. Truncated sngular value decomposton, TSVD), jota kästellään tuonnempana. Kun matrsn sngulaararvot evät jakaudu selkeäst kahteen er suureen ryhmään, kyseessä on dskreett pahanlaatunen ongelma (engl. dscrete ll-posed problem ). Tällanen ongelma on hankalamp ratkasta kun vajaa-astenen, koska stä on erttän vakea approksmoda hyvn asetetulla ongelmalla. Ongelman teoreettsesta vtekehyksestä on välttämätöntä hakea etukätestetoa stä, mllanen ongelman todellnen ratkasu on. (Hansen 998, 2-3.) Sngulaararvojen tarkastelu selkyttää matrsn kunnon kästettä. Sngulaararvohajotelma on ymmärrettävssä matrsn kerroks, jota seuraa sen lneaarnen muunnos toseen avaruuteen ja uus kerto. Oleellsta on se, että matrst U ja V ovat ortonormaalsa, joten anoastaan sngulaararvomatrs vakuttaa muunnettavan vektorn normn. Jos merktään z = V T x, vodaan krjottaa On helppo nähdä, että ( σ z ) T Ax = UΣV x = UΣz = Σz =. s = 2

17 7 max Ax x= mn Ax x= = max = mn { σ } = σ = { σ } = σ n A (2-6) Ss kunto on suhde, joka kuvaa kunka paljon A venyttää ersuuntasa vektoreta. Ertysest yhtälöstä 2-4 ja 2-6 näkee het, että kunto on määrtelty anoastaan esngulaarslle matrselle, koska nolla on sngulaarsen matrsn penn sngulaararvo. Muun muassa Pohjolanen (2003, 72 73) osottaa lneaarsen yhtälöryhmän ratkasun herkkyyden härölle rppuvan matrsn kunnosta. Jos ongelma on muotoa Ax = b ja ulostulo muuttuu määrän b, muuntuu ongelma muotoon A Koska A - = σ n -, pätee ( x + x) = b + b x + x = A ( b + b) x = A b. b = Ax A x = A b x = σ x A b = b x = σ. b σ n Nän ollen ratkasun x suhteellnen vrhe on x x σ σ n b b = cond ( A) b b. Vastaavalla tavalla vodaan johtaa epäyhtälö x x A cond ( A). A Matrsn kunto on ss erttän arvokas työkalu lneaarsen yhtälöryhmän häröherkkyyden arvonnssa. Tonen hyödyllnen työkalu on pahanlaatusuusaste (engl. degree of llposedness ). Se määrtellään pahanlaatuslle ongelmlle, jotten sngulaararvolle pätee σ ~ α. (2-7) Jos α, ongelmaa kutsutaan leväst pahanlaatuseks ja jos α >, ongelma on kohtalasen pahanlaatunen. Tällaset ongelmat ovat melko tyypllsä. On todstettu, että p kertaa dervotuvan funkton yhtälön 2-2 mukasen dskretontmatrsn sngulaararvolle pätee lkman p 2 σ ~.

18 8 Jos sngulaararvot noudattavat suhdetta σ ~ e α ongelmaa sanotaan erttän pahanlaatuseks. (Hansen 998, 8-9.), (2-8) Vakka matrs A e ols nelömatrs ta vakka se ols sngulaarnen, slle vo kehttää eräänlasen kääntesmatrsn. Pseudonverss A + on matrs m n (, K, σ,0, ) A, dag σ 0. (2-9) + + T + = VΣ U Σ = s K R Yhtälön Ax = b penmmän nelösumman menetelmällä lasketusta ratkasusta ratkasulla A + b on penn norm.(voutlanen 200, 20-2.) Tapauksssa, jossa n < m, pseudonverssn käyttö on yksnkertasn tapa ratkasta nverso-ongelma, mutta saatu ratkasu e ole välttämättä numeersest stabl. Todennäkösest yksnkertasn tapa tehdä ratkasusta stabl on katkasta sngulaararvomatrs sopvasta kohdn el käyttää katkastua sngulaararvohajotelmaa. Nollan lähellä olevat sngulaararvot pyörstetään nollks, jollon matrsn kunto paranee. Saadaan A:lle approksmaato A l = UΣ V l T, Σ l l = dag( σ, K, σ ) Pyörstämättä jätettäven sngulaararvojen lukumäärää l kutsutaan katkasuasteeks (engl. truncaton level ). Jos ongelma on vajaa-astenen, pyörstettävät sngulaararvot on helppo valta ja matrsn kunto vo parantua erttän huomattavast. Informaatota e välttämättä menetetä paljoakaan, sllä penmmät sngulaararvot kertovat lähnnä mttausvrheestä. Inverso-ongelman ratkasuks tulee (Voutlanen 200, 2.) ( σ, K,,0, 0) + T + x = VΣ U b, Σ = dag σ l l l K Jos kästeltävä ongelma on vajaa-astesen sjasta pahanlaatunen, nollaks pyörstettävä sngulaararvoja on vakeamp valta. Hansen (998, 3-4) osottaa, että tällönkn rohkealla ja asantuntevalla pyörstettäven arvojen valnnalla vodaan saavuttaa hyvä tuloksa. Kuvan 2- kaavo esttelee lneaarsen ongelman ratkasun peraatteta..

19 9 Ongelma y = Kf + ε Otetaan sngulaararvohajotelma: K = UΣV cond(k) lähellä ykköstä Ongelma hyvänlaatunen Sngulaararvot jakautuvat suurn ja penn. Vajaa-astenen ongelma Sngulaararvot σ ~ -α ta σ ~ e -α (lkman). Pahanlaatunen ongelma, pahanlaatusuuden asteen kertoo σ :n ja :n rppuvuus ja α:n koko. Ongelma ratkeaa lman lsätomenptetä. Käytetään ratkasuun kääntesmatrsa ta pseudonverssä. Merktään penet arvot nollaks ja ratkastaan ongelma. Käytetään regularsonta Kuva 2- Lneaarsen ongelman luokttelu ja ratkasumenetelmän valnta. Jos n < m, on huomattava, että ongelmalla e ole mllonkaan ykskästtestä ratkasua ja ratkasuun on välttämättä käytettävä lsänformaatota. Pseudonverssllä saadaan normltaan penn penmmän nelösumman ratkasu Ylestetty sngulaararvohajotelma Myöhemmässä vaheessa tullaan tarvtsemaan sngulaararvohajotelman ylestystä, ylestettyä sngulaararvohajotelmaa (engl. generalzed sngular value decomposton, GSVD ), joten on järkevntä esttää myös se tässä yhteydessä. Seuraan estyksessän Hansena (998, 22 24), joka noudattaa Björckn (996) käyttämä merkntöjä sekä Pagea ja Saundersa (98). GSVD määrtellään matrsparlle [A, L], mssä pätee A R m n ja L R p n, yhtälöparlla 0( m k + r ) r I r A = U Σ X, L = V M X I k r s 0( p r s) ( k r s ) mssä matrst U R m m ja V R p p ovat ortonormaalsa:,

20 20 T T U U = I n, V V = Matrsen kokoja määrttävät termt s = mn{m, p} ja r = m - rank(a). Matrs X R n n on e-sngulaarnen ja sen sngulaararvot ovat matrsn [A T, L] T sngulaararvot. Yksnkertasuuden vuoks tässä on rajotuttu tapauksn, jossa matrsen A ja L nollaavaruuksen lekkaus on joukko {0} el rank([a T, L] T ) = k n. On oletettu myös, että rank(l) p. Nämä rajotukset toteutuvat kakssa järkevssä nversotehtävssä. On huomattava, että määrtelmän nollamatrsella e välttämättä tarvtse olla yhtään rvä ta saraketta. Matrst Σ ja M ovat m m-dagonaalmatrseja: ( σ, K σ ), = dag( µ,, ) Σ = dag s M K µ s. Molempen matrsen dagonaalalkot ovat e-negatvsa, ja ne on järjestetty ja normeerattu: σ K σ s µ K µ s > 0 2, 0 I p. 2, s : σ + µ =. On tärkeää huomata, että yllä olevat matrst ja luvut evät samosta merknnöstä huolmatta ole samoja kun matrsn A sngulaararvohajotelmassa. Tämä e aheuta ongelmaa tässä työssä, sllä estyksestä tulee erottumaan selväst, kumpaa hajotelmaa kullonkn käytetään. Matrsparn (A, L) ylestetyt sngulaararvot ovat σ γ =, s. µ, On huomattava, että ylestetyt sngulaararvot γ ovat nousevassa järjestyksessä, mkä aheutuu hstorallssta systä. Ylestetty sngulaararvohajotelma palautuu tavallseen sngulaararvohajotelmaan, mnkä vuoks snänsä motttava, helpost SVD:n merkntöhn sekottuva merkntätapa on hyödyllnen. Jos matrs L on dentteettmatrs el L = I n, matrst U ja V ovat A:n sngulaararvohajotelman U ja V ja ylestetyt sngulaararvot ovat A:n sngulaararvot kääntesessä järjestyksessä. 2.3 Äärarvoarvomenetelmä Ennen syventymstä kehttyneempn nversomenetelmn on syytä määrtellä paremmn tähän ast hekost ymmärretty käste ratkasu. Tähän antanee parhaat työkalut Paateron et al (990, ylesestys Tappern vätöskrja 995) kehttämän äärarvoarvomenetelmän (engl. extreme value estmaton, EVE ) kästtestö.

21 2 Inverso-ongelman numeernen ratkasu f on hyväksyttävä, jos se on fyskaalsest mahdollnen (jossan ongelmssa ratkasun on esmerkks oltava postvnen) ja rttävän todennäkönen. Vodaan määrtellä hyväksyttäven ratkasujen joukko { f p( y ) } C = f p 0, (2-0) mssä p 0 on enemmän ta vähemmän melvaltasest valttu parametr ja p(y f) todennäkösyys mtata ulostulo y, kun ssäänmenona on syöte f. Tyypllsest todennäkösyysfunkto p(y f) on lausekkeen y Kf suhteen adost vähenevä. Esmerkks Gaussn jakauma, Possonn jakauma ja χ 2 -jakauma ovat tällasa. Peraatteessa EVEmenetelmässä käytetyn todennäkösyysfunkton e tarvtse olla ato el sen e tarvtse olla ntegrotuva. Rttää, että määrtelmä 2-0 on järkevä. Inverson perusongelmaks tulee nyt C:n rajaamnen sten, että se ssältää todellsen f:n arvon mahdollsmman suurella todennäkösyydellä. Tosaalta joukon koon ols pysyttävä järkevänä, jotta vastauksella ols velä jotan merktystä. Äärarvoarvomenetelmä pokkeaa musta menetelmstä snä, että yhden ratkasun sjasta se pyrk palauttamaan kakken hyväksyttäven ratkasujen joukon. Menetelmässä lasketaan yhtälön 2-2 reunaehdot (esm. e-negatvsuus) täyttävä ratkasu f opt, jota kutsutaan parhaaks ratkasuks. Tätä vastaa todennäkösyys p(y f opt ). Tämän jälkeen määrtellään p ( ) ( D) 0 fopt = p y exp, (2-) mssä D on luottamusparametr. Tämän parametrn arvo e ole krttnen ja se on yleensä välllä,5 3. Kun p 0 on määrtelty, lasketaan sopvan funkton äärarvot. Yleensä funkto on lneaarnen ja se on estettävssä muodossa m T g( f ) : R a R : f a g f + g. (2-2) Usen g on numeernen ntegraal halutun väln yl. Myös muta funktota on toteutettu. Esmerkks yksttästen f:n pkken sjanta ja alaa kästtelemään on tehty erkostuneta funktota. Nästä on hyötyä ertysest spektroskooppsssa mttauksssa. (Paatero 990a.) Äärarvoarvomenetelmä palauttaa ovat ne joukkoon C kuuluvat f:t, jotka mnmovat ja maksmovat funkton g. Äärarvoarvomenetelmä on teoreettsest kehttynen nversomenetelmä. Vakka muutkn algortmt hyödyntävät kästystä hyväksyttäven ratkasujen joukosta, on äärarvoarvomenetelmä parhaten perusteltu. Ylmääränen nformaato, jonka ongelman ratkasu vaat, tuodaan luottamusparametrssa D, joka e ole kovnkaan krttnen. Lsäks 0

22 22 luottamusparametrllä on selkeä matemaattnen merktys. Jos vastematrsn K kunto on kovn suur, paras ratkasu f opt vo olla täysn järjetön, mutta tästä e usemmten muodostu ongelmaa, sllä myös järkevät ratkasut mahtuvat luottamusvällle. Ongelmana on van se, että vastauksena olevaa luottamusvälä on vakea kuvata. Jos prretään kussakn psteessä suurn ja penn f:n arvo, saadaan ura, jonka ssällä kakk joukkoon C kuuluvat funktot kulkevat, mutta kakk uran ssäpuolelle prretyt funktot evät kutenkaan kuulu ratkasujoukkoon. Parempakn ratkasuja tulosten esttämseks on, mutta ntä on vakea ymmärtää. Paatero (990b) kästtelee laajahkost äärarvoarvomenetelmän tulosten graafsta estystä, mutta joutuu tyytymään toteamukseen: After some tranng, t s possble to vsually understand the dagrams. Äärarvoarvomenetelmän tuloksena saadun joukon kvanttatvnen kästtely on velä vakeampaa. Fyskassa on totuttu esttämään tulokset selkenä jakaumna, e mahdollsten ratkasujen joukkona. Äärarvomenetelmän tuloksa hyödyntävä menetelmä e ole okeastaan olemassa ja menetelmän tuloksa on erttän vakea vertalla tavanomasten algortmen kanssa. Jotta saatasn yksttäsä tuloksa, on kehtetty kakskn menetelmää keskmääräsen ratkasun laskemseks (Tapper 995), mutta nän menetetään äärarvomenetelmän suurn etu, matemaattnen henostunesuus. 2.4 Tkhonov-regularsaato Tkhonov (963) ehdott menetelmää pahanlaatusten lneaarsten ongelmen stablomseks. Perusajatuksena on, että luovutaan tavottelemasta ulostulon täydellsest sovttavaa ratkasua ja pyrtään sen sjaan saamaan lkmääränen ratkasu, joka on normltaan tarkkaa ta penmmän nelösumman ratkasua penemp. Perusmuotosessa Tkhonov-regularsaatossa (engl. standard Tkhonov regularzaton ) saadaan ssäänmenolle arvo 2 2 ( Kf y λ f ) fλ = arg mn +, mssä λ on nollaa suuremp regularsontparametr. (Voutlanen 200, 22.) Tämä on krjotettavssa muotoon f λ = arg mn K y f λi 0 2

23 23 Jos mnmtermn ssällä oleva lauseke kerrotaan matrslla [K T λi], nähdään, että ratkasun f λ on toteutettava yhtälö T T ( K K I) f = K y λ. + λ Koska matrs K T K + λi on postvsest defntt, f λ saa ykskästtesen ratkasun f T T ( K K + I) K y = λ λ. (Voutlanen 200, 22.) Saatu ratkasu on krjotettavssa sngulaararvohajotelman avulla muotoon n T u y fλ = ζ v, (2-3) σ = mssä u ja v ovat sngulaararvohajotelman matrsen U ja V pystyrvejä ja termt ζ ns. suodntekjötä (engl. flter factor ), jotka ovat muotoa 2 σ ζ = (2-4) 2 σ + λ (Hansen 998, 72) Yhtälön 2-3 perusteella on helppo ymmärtää, mks Tkhonovregularsaatota kutsutaan joskus vamennetuks sngulaararvohajotelmaks (engl. damped SVD ). Regularsontparametr λ suodattaa pos matrsn K tarpeettoman penet sngulaararvot Ylenen Tkhonov-regularsaato Monssa sovelluksssa perusmuotonen Tkhonov-regularsaato on lan yksnkertanen. E ole tarkotuksenmukasta pyrkä saamaan mahdollsmman pentä norma ratkasulle f λ. Sen sjaan tedetään yleensä, että f λ on sleä ta että sllä on muta hyödyllsä omnasuuksa. Ylesest nämä omnasuudet svurajotteet (engl. sde constrant ) kvantsodaan funktolla Φ : R n a R, joka on tyypllsest muotoa * () f = L ( f ) 2 Φ, (2-5) 2 f mssä f * on funkton f etukäteen tunnettu (el a pror-) ratkasu. Matrs L 2 R p m on usen numeersen tosen dervaatan laskeva matrs D 2 = 2 2 O O O 2. (2-6)

24 24 (Voutlanen 200, ) Wolfenbarger ja Senfeld (990) kästtelevät muta mahdollsa svurajotteta ja esttävät svurajotteelle ylesen muodon * () = w D ( f f ) Φ f, = mssä D on numeersen :nnen dervaatan laskeva matrs, ja w kunkn dervaatan panokerron. Panokertomet saavat arvonsa etukätestetojen pohjalta. Tässä estyksessä rajotutaan kästtelemään tapauksa, jossa rajotteena on yks nelöllnen term el Φ on yhtälön 2-5 mukasta muotoa. Ylenen Tkhonov-regularsaato saa tällön lmauksen f λ 2 * 2 ( ) L K L y f f = arg f 2 = arg mn L ( Kf y) + λ L 2 mn λl 2 (2-7) mssä L T L = V(y-y true ) el mttausvrheen kovaranssmatrs. Matrslla L suortettavan skaalauksen tarkotuksena on varmstaa, että Tkhonov-regularsaatossa päästään kästtelemään ulostuloa, jonka komponentten vrheet evät rpu tosstaan. Jos nollavektor on anoa sekä matrsn L K että matrsn L 2 nolla-avaruuteen kuuluva vektor, ylenen Tkhonov-regularsaato-ongelma ratkeaa muotoon f T T T T T [ K ( L L ) K + λl 2L 2 ] K ( LL ) T * [ y λl 2L 2 ] λ = + f (Voutlanen 200, 23.) Jos L = I, tämä on estettävssä matrsparn (K, L 2 ) GSVD:n avulla muodossa L u y p T 2fλ = ζ v, = γ mssä u ja v ovat matrsparn GSVD:n U- ja V- matrsen rvejä ja γ :t ylestettyjä sngulaararvoja. Nyt suodntekjät saavat arvon. λl 2 γ ζ = γ 2 (2-8) + λ el nytkn regularsontparametr λ suodattaa pos tarpeettoman penä sngulaararvoja. (Hansen 998, ) Ylenen Tkhonov-regularsaato ratkastaan muuntamalla se perusmuotoseks, jollon stä vodaan kästellä esm. Hansenn (994) regularsontmenetelmen numeersa työkaluja ssältävään Regularzaton Tools -pakettn kuuluvalla GSVD-työkalulla (Voutlanen 200, 2 f *,

25 25 24). Tämä tehdään käyttämällä matrsn L 2 ylestettyä K-panottesta nverssä (engl. generalzed K-weghed nverse ), joka on määrtellään matrsn L pseudonverssn avulla: + L K + + = I n K I n L L K L Samaan tapaan lmastaan myös f λ :n komponentt matrsn L 2 nolla-avaruudessa el Nyt toteuttamalla muunnokset f + + [ K( I L L )] y 0, L = n 2 2, + K = KL K = saadaan ongelma palautettua perusmuotoseks: * *, y = y Kf 0, L, f Kf 2 * { Kf = y + f f } fλ = arg mn λ. Muunnos takasn yleseen muotoon toteutetaan yhtälöllä f K + * = L + λ fλ f. (Voutlanen 200, 24; Hansen 998, 38-40) Jotta vastaukseks saatava jakauma ols fyskaalsest merktyksellnen, sen täytyy toteuttaa tettyjä reunaehtoja. Aerosolfyskassa jakauman on toteutettava ehto, m : f 0. Muta kysymykseen tuleva ehtoja vovat olla monotonsuus ta kuperuus. Wolfenbarger ja Senfeld (990) tuovat eslle esttelemänsä regularsontmentelmän tapumuksen tuottaa ratkasuks nollavektorn, jos mttausvrheen komponentt ovat tetyllä tavalla tosstaan rppuvat. Tämän ongelman he kertävät käyttämällä reunaehtoa n λ ( y y ) E = = n y y true, y λ +. = Kf λ, (2-9) mssä E on odotusarvo-operaattor ja y true todellnen ennalta tunnettu mttaustulos. Yleensä yhtälön 2-9 okea puol saa arvon nolla. Wolfenbarger ja Senfeld (990) osottavat myös sen, että jos kanaven vrheet rppuvat tosstaan sten, että V(y) on sngulaarnen, kertomnen matrslla L hävttää dataa. Tämä tuottaa myös oman reunaehtonsa. Tällön olennaseks regularsonnn hyvän onnstumsen edellytykseks nousee mttausvrheen tarkka tuntemnen ennalta. Ylesest kakk reunaehdot ovat koottavssa matrsks C ja vektorks c. Tällön saadaan reunaehdosta epäyhtälö Cf c.

26 Regularsaaton kästtetä Tkhonov-regularsaatossa samon kun mussakn determnstsssä regularsontmenetelmssä ratkasu on ana krjotettavssa lyhyeen muotoon f λ = K # y, (2-20) joka on regularsodun nverssn K # määrtelmä (engl. regularzed nverse ). Esmerkknä votasn manta perusmuotonen Tkhonov-regularsaato, jonka regularsotu nverss vodaan lmasta katkastua sngulaararvomenetelmää mustuttavalla tavalla käyttäen matrsn K pseudonverssä ja ongelmalle sopva suodntekjötä: ( ζ, K,ζ ) # + T K = VFΣ U, F = dag s. (2-2) (Hansen 998, 78.) Regularsaato on menetelmä, jonka tuottama yhtälön 2-7 lausekkeen mnmova ratkasu sovttaa ana mttausdatan paremmn kun muut yhtä sleän funkton tuottaneet menetelmät. Samon pätee se, että yhtä hyvn mttausdatan sovttavsta ratkasusta regularsaato tuottaa slemmän. (Wolfenbarger ja Senfeld 990). Tämä on kutenkn vähemmän merktyksellstä kun aluks saattas luulla. Sleyttä e ole regularsaatossa määrtelty knteäst, vaan sen määrttelee yhtälön 2-7 lauseke. Äärarvomenetelmässä pahanlaatusen ongelman ratkasuun tarvttava nformaato tuodaan ongelmaan parametrssa D. Regularsonnssa vastaava merktys on parametrlla λ, joka määrttelee svurajotteen suhteellsen panon el sen, mten penet sngulaararvot suodattuvat pos. On mahdollsta valta λ etukäteen, mutta tällanen lähestymstapa e ole täysn hyväksyttävä, sllä käytännössä λ:n vapaa valnta aheuttaa sen, että algortmn käyttäjä valtsee häntä enten mellyttävän f λ :n. Arvon λ arvovat algortmt vodaan jakaa kahteen luokkaan sen mukaan, käyttävätkö ne hyödykseen tetoa mttausvrheestä ε = y-y true. Hyödykseen tätä tetoa käyttävät rstrtasuusperaate (engl. dscrepancy prncple ) ja shen perustuvat menetelmät. Vrheen arvontn perustuvat kvasoptmaalsuuskrteermenetelmä (engl. quas-optmalty crteron ), ylestetty rstnvahvstus (engl. generalzed cross-valdaton, GCV ) ja L- käyrämenetelmä (engl. L-curve method ). (Voutlanen 200, ) Rstrtasuusperaatteessa oletetaan, että deaalnen systeem on rstrdaton ja toteuttaa yhtälön * true Kf = y.

27 27 Tällön on luonnollsta valta parametr λ sten, että mttausvrhe on sama kun vrheen ε yläraja δ e : Kf λ y = δ e. Kehttyneemmässä versossaan rstrtasuusperaate ottaa huomoon myös systeemn vastefunkton vrheet, jolle päteköön K < δ K, ja tarkan systeemn mahdollsen rstrtasuuden δ 0 exact = y true K true f *. Tällön λ valtaan sellaseks, että Kf exact * λ y = δ 0 + δ ε + δ K f. Rstrtasuusperaatteen ongelmana on herkkyys vrhearvon suhteen. Vrheen ylarvont johtaa lan sleään funktoon ja vrheen penkn alarvont aheuttaa ratkasuun f λ halltsematonta värähtelyä. (Hansen 998, ) Kvasoptmaalsuuskrteermenetelmä arvo vrhettä lausekkeella f * 4 T T T [ y ( K K + λi ) KK y] 2 n fλ, (Hansen 998, 82), jonka mnmont johtaa funktoon dfλ Q ( λ) = λ. dλ Tämä on perusmuotoselle Tkhonov-regularsaatolle muotoa d λ ( λ) λ f T Q = = λ( K K + λi) fλ. dλ (Hansen 998, 83; Voutlanen 200, 25.) Ylestetyssä rstnvahvstuksessa tavotteena on valta mahdollsmman stabl ratkasu. Jos yksttänen datapste y jätetetään pos, jäljelle jääneestä datasta saadulla ratkasulla ols saatava ennustettua y mahdollsmman hyvn. Käytännössä tällasta tlannetta lähestytään mnmomalla funkto Kf λ y G ( λ) =. tr 2 # ( I KK ) 2 (Hansen 998, ) Ehkä selken menetelmä λ:n arvomseks on L-käyrän hyväkskäyttö. Jos prretään lg f λ funkton lg Kf λ - y funktona, saadaan L-krjanta mustuttava käyrä. Käyrän vasen, jyrkäst laskeva svu esttää vrheen alarvonnsta johtuvaa oskllonta, joka kyllä sovttaa mttausdatan hyvn, mutta tuottaa melettömän ratkasun ssäänmenofunktolle. Käyrän okeanpuolenen, tasanen ja htaast laskeva osa esttää vrheen ylarvonnsta aheutunutta n

28 28 lallsta slotusta. Parhaten nämä vrheet saadaan tasapanotettua L-krjamen kulmassa, jossa käyrän dervaatta muuttuu vomakkaast. Menetelmä on helppo ymmärtää ntutvsest, mutta sen numeernen toteutus on vakeahkoa. (Voutlanen 200,25; Hansen 998, ) Numeernen aste on määrttely-yhtälönsä 2-5 mukaan olemassa kaklle matrselle. Pahanlaatuslle ongelmlle numeersen asteen määrttely e ole kutenkaan järkevää, sllä arvoa ε on vakea valta. Parametrn λ avulla vodaan kutenkn määrtellä matrsn K tehollnen numeernen aste (engl. effectve numercal rank ) r eff = n = ζ ( ), (2-22) λ opt mssä λ opt on regularsontvrheen mnmova regularsontparametrn arvo. Kun mustetaan, mten suodntekjät määrtellään yhtälössä 2-4 ja 2-8, huomataan tehollsen asteen olevan enntään sngulaararvojen summa. Tehollnen numeernen aste on puhtaast teoreettnen suure, mutta stä vo olla hyötyä tutkttaessa jonkn tetyn latteen nverso-ongelma. (Hansen 998, s ) Kvaltatvsest vodaan katsoa tehollsella numeersella asteella pystyttävän lmasemaan stä, mten monta tosstaan rppumatonta komponentta dataa pahanlaatusesta ongelmasta vodaan erstää. Tavanomasten regularsontmenetelmen ongelmana on se, että ne olettavat sleyttä kuvaavan funkton Φ(f) kertomen λ olevan vako koko alueessa V. Voutlanen (200) toteaa tämän tuottavan selketä vakeuksa, jos tutkttavan ongelman todellnen ratkasu f * ssältää yksttäsä terävä huppuja. Tällön Tkhonov-regularsaaton sukuslla algortmella on pakko tehdä hekkotasonen kompromss ratkasun sleyden ja tarkkuuden välllä. Eräänä esmerkknä Tkhonov-regularsaaton parssa tehtävän tutkmuksen luonteesta vo manta Voutlasen (200) esttämän algortmn. Tuloksen parantamseks ongelman ratkasuun tuodaan lsää nformaatota kahden parametrn verran. Perntestä regularsontparametra pyrtään muuttamaan tasasest sten, että ratkasu sovttas kussakn psteessä datan mahdollsmman hyvn. Tähän päästään funkton ( f β ) L ( Kf y) 2 2 β g, = + λ 0 L 2f + γ D2β + γ 2 β (2-23) mnmomsella f:n ja β:n suhteen. Yhtälön 2-23 tosessa termssä muutetaan funkton sltyksen määrää tarpeen mukaan. Muutos e saa olla so, mnkä vmenen term varmstaa. Neljäs term varmstaa, että β e muutu halltsemattomast psteestä psteeseen. Voutlasen 2 2

29 29 algortmn ongelmaks muodostuu parametren λ, γ ja γ 2 määrttämnen. Tähän e ole anakaan tostaseks kehtetty mtään algortmeja. Voutlanen (200, 90 92) esttää luotettavalla tavalla, että hänen algortmnsa antamat ratkasut ovat melko rppumattoma er parametren arvosta. Tästä syystä ne vo hyvällä tarkkuudella valta smulomalla ensn algortmn tomntaa syötteellä, joka vastaa todennäkösen ssäänmenon antamaa mttaustulosta. Käytännössä tämä merktsee kutenkn stä, että käyttäjän on tunnettava ssäänmenon omnasuudet. Voutlasen algortm e ss käytännössä olennasest eroa nstä, jotka laskevat ennalta tunnetun funkton mukasen jakauman parametrt, vakka algortmn taustalla oleva teora onkn huomattavast henostuneemp Epälneaarsuus Inverso-ongelmasta 2- vo tulla epälneaarnen, jos vastefunktot evät ole täysn lneaarsa. Tonen sekka, joka vo tuoda kuvaan epälneaarsuuden, on funktonaalsen malln käyttö. Tällön ssäänmenoa f kuvaa täydellsest parametrvektor θ: l ( ) R f = f θ, θ. (2-24) Jos vastefunktot evät ole täysn lneaarsa, ntä on tässä työssä esteltyjen menetelmen käyttämseks approksmotava lneaarslla funktolla. Jos merktään vodaan krjottaa approksmaato y = K( f ), ( f ) K( f ) + J ( f )( f ) K K, 0 0 f0 mssä J K on vastefunkton K Jacobn matrs. Lnearsotu ongelma on tämän jälkeen muodossa ) f = arg mn h arg mn K ( f ) = y K( f ) J ( f )( f f ) 2 Koska kohdalla f ) on funkton h(f) mnm, on h:n dervaatta tässä nolla: ) ) θ T T T () f = 2( f f ) J ( f ) J ( f ) 2( y K( f )) J ( f ) 0 D h 0 K 0 K 0 0 K 0 = Tästä saadaan ratkastua lauseke f ) :lle. Kun saatu tulos sjotetaan alkuarvauksen f 0 pakalle, saadaan Gauss Newton-algortm: ) f ) = f ( k + ) ( k ) ( k ) ( k ) 0 ) T ) ( ) ) ( ) T ) k k ( ) ( J ( f ) J ( f ) J ( f ) ( y K( f ) k K K K + δ, (2-25) 0 0..

30 30 mssä δ (k) on stablova, askeleen ptuutta säätelevä parametr. (Voutlanen 200, 9 2.) Jos K muuttuu hyvn htaast, nän monmutkanen algortm e ole tarpeen. Rttää, että K:lle annetaan arvot, jotka pätevät y:n suuruusluokka-alueella, mnkä jälkeen käytetään tavanomasa lneaarsen nverson metodeja. Jos käytetään yhtälön 2-24 malla, on nverso-ongelma yleensä epälneaarnen. Tällön mttaustulokset ovat estettävssä malllla ( θ ) y = K o f, ja esmerkks Gauss-Newton algortma vodaan käyttää ongelman ratkasuun tekemällä sjotukset K = K o f, f = θ yhtälöön Mkäl Gauss Newton osottautuu epävakaaks, on käytettävssä mona mutakn algortmeja, josta erätä kästellään mm. Voutlasen (200, luku 2.) vätöskrjassa. 2.5 Statstset nversomenetelmät Käytännöllsest katsoen kakk nversomenetelmät tekevät oletuksa parametrensä vrheden tlastollsesta luonteesta. Monest ertysest vanhemmssa algortmessa nämä oletukset ovat plossa erlasten penmpään nelösumman perustuven menetelmen alla. Tosaalta erässä algortmessa, mm. ylesessä Tkhonov-regularsaatossa nämä ovat täysn näkyvssä. Onkn entstä vakeamp prtää tarkkaa rajaa determnststen ja statststen algortmen vällle, sllä esmerkks Tkhonov-regularsaatosta on toteutuksa, jotka perustuvat teratvsn menetelmn (Voutlanen 200,25; Hansen 998, luku 6). Bayeslanen näkökulma katsoo, että mttaus parantaa akasempaa tetoa mttauksen kohteen omnasuukssta kaventamalla nden todennäkösyysjakauma. Jos vektor θ V θ kuvaa mtattavan kohteen omnasuuksa, esm. jakauman parametreja, ja mttaus tuottaa tuloksen y, saadaan Bayesn kaavalla tuottaa uuden todennäkösyysjakauman θ:lle: ( θ ) PL ( y θ ) P( y) P0 Ppost ( θ y) =. (2-26) Yhtälössä 2-26 P 0 (θ) on θ:n todennäkösyysjakauma ennen mttauksa, P L (y θ) on todennäkösyys, että todellnen jakauma θ tuottaa mttauksen y, P(y) on todennäkösyys saada mttaustulos y ja P post (θ y) on parametrn θ todennäkösyysjakauma mttauksen y jälkeen. (Esm. Aykroyd 998.)

31 3 Bayesn kaava on yksnkertasest seurausta ehdollsten todennäkösyyksen määrttelystä: P P ( θ y) ( y θ ) = = P P ( θ y) P( y) ( θ y) P( θ ) Ratkasemalla molemmsta P(θ y) ja jakamalla P(y):llä saadaan yhtälö (Pohjavrta ja Ruohonen 2004, ) 2.5. Bayeslasen menetelmän käyttö Regressomenetelmen olennasmpa osa on regressoparametrn λ okea valnta. Samaan asemaan nousee bayeslasssa menetelmssä okea a pror -todennäkösyysjakauman P 0 valnta. Ftzpatrck (99) osottaa P 0 :n valnnan vastaavan tse asassa regularsontalgortmn svurajotteen valntaa. Ertysest Ftzpatrck (99) huomauttaa, että jos oletetaan P 0 :n olevan vako kaklle θ:n arvolle ja tutktaan tlannetta θ = f, yhtälön 2-26 okean puolen maksmont vastaa penmmän nelösumman ratkasua. Ennalta tunnetun todennäkösyysjakauman älykkääseen valntaan on menetelmä, josta manttakoon Dempstern et al (978) EM-algortm. Muta menetelmä käydään läp Besagn et al (995) artkkelssa. Ftzpatrck (99) osottaa artkkelssaan, että regularsaatomenetelmä vodaan ptää bayeslasten menetelmen erkostapauksena. Olennanen hyöty Bayesn kaavan käytöstä onkn se, että myös muut kun normaaljakautuneet vrheet on helppo huomoda termessä P(y) ja P L (y θ). Voutlanen (200) tarjoaa vätöskrjassaan ernomasen esmerkn bayeslasen nverson soveltamsesta tlanteeseen, jossa havannot noudattavat Possonn jakaumaa. Olennanen ero determnststen ja statststen menetelmen välllä e ole nden taustalla olevassa teorassa. Molemmat menetelmälajt tekevät vrheen tlastollsesta laadusta tettyjä oletuksa. Statstsssa menetelmssä nätten kästtely ve suurmman osan käytetystä tlasta, kun taas determnstsssä menetelmssä ne ohtetaan usen lyhyehköllä mannnalla. Determnststen menetelmen determnsm on laskennallsessa puolessa: samat lähtöarvot antavat ana samat tulokset. Tärkempänä ongelmana on saada algortmesta stableja. Statstsssa menetelmssä samat lähtöarvot vovat peraatteessa antaa hyvnkn vahteleva arvoja, sllä laskenta toteutetaan statstsest. Ongelmana on löytää menetelmät, jotka konvergovat mahdollsmman nopeast.

32 32 Luonnollselta tuntus valta okeaks ratkasuks se θ:n arvo, joka maksmo yhtälön 2-26 okean puolen. Esmerkks Ftzpatrck (99) käyttää tätä lähestymstapaa Tämä e kutenkaan ole välttämättä paras ratkasu. Todennäkösyyden maksmarvon laskemnen onnstuu mnmontalgortmella, mutta nämä evät välttämättä ole numeersest stableja. Statstslla algortmella votasn valta suurmman P post (θ y):n arvon antava pste, mutta tämä e välttämättä ole lähelläkään todellsta maksma. Lsäks, jos P post (θ y) saa useta huppuja, mkä on täysn mahdollsta, hupusta korken vo olla hyvnkn kapea. Tällön vo olla erttän epätodennäköstä, että todellnen mttaustulos on jossan korkemman hupun lähmaastossa. Monte Carlo -menetelmällä saadaan peraatteessa enemmän nformaatota kun determnstsllä menetelmllä. Kakk lasketut psteet, joden kokonasmäärä olkoon M, muodostavat yhdessä approksmaaton todennäkösyysjakaumalle avaruudessa V θ. Saadusta jakaumasta on helppo laskea numeersest erlasa tlastollsen analyysn tunnuslukuja. Tärken nästä on epälemättä odotusarvo θ = E M ( θ ) = k θ, (2-27) jonka on kokeellsest todettu mnmovan vrheen lausekkeen y - Kf(θ) eräässä mpaktordatan nverso-ongelmassa. (Ramachandran ja Kandlkar 996). Odotusarvon lsäks vo olla hyödyllstä laskea myös muta tlastollsa muuttuja kuten varanssmatrs k T V ( θ ) = ( θ k θ )( θ k θ ). (2-28) M k Varanssmatrsn alkota tutkmalla vodaan peraatteessa arvoda nversomenetelmän vrhettä. Valtettavast, kuten Paatero (990b) toteaa, varanssmatrsn ssältämä nformaatota on sellasenaan vakea hyödyntää ekä shen ole usemmlla henklöllä tottumusta. On täysn mahdollsta, että V(θ) pokkeaa huomattavast dagonaalmatrssta. Tällön θ:n komponentten vrhearvota e voda tehdä suoraan varanssen var(θ ) = {V(θ)} perusteella. Näytteenotto parametravaruudesta V θ ratkasee Monte Carlo -menetelmän käytännöllsen tomvuuden. Ahetta on kästellyt perusteellsest mm. MacKay (998). Peraatteessa paras tapa näytteen ottamseks ols arpoa kerättävät arvot stä todennäkösyystheydestä φ(θ), johon pyrtään. Valtettavast φ on kutenkn yleensä nn monmutkanen funkto, että shen perustuvaa satunnasgeneraattora e voda tehdä.

33 33 Yksnkertasn tapa suorttaa näytteenotto hyödyntämättä funktota φ on kerätä psteet täysn satunnasest tasasella jakaumalla koko avaruudesta V θ (engl. unform samplng ), mutta tällanen näytteenotto on erttän tehotonta. On täysn mahdollsta, että kokonasa V θ - avaruuden kolkka jää kokonaan näytteenoton ulkopuolelle. Nän käy ertysest sllon, kun avaruuden V θ dmenso on suur. Ongelmaa vodaan kertää toteuttamalla näytteenotto todennäkösyystheydestä q(θ), joka mustuttaa jossan määrn haluttua todennäkösyystheyttä φ(θ). Menetelmästä käytetään nmtystä tärkeysnäytteenotto (engl. mportance samplng ). Saatava jakauma panottuu väärn, mutta vrhe korjataan panottamalla psteet estmaatteja laskettaessa: k ( k ) ( θ ) ϕ θ h( θ ) = ϖ k h( θ k ), ϖ =. (2-29) q Menetelmä on varsn tehokas, jos q(θ) valtaan hyvn, mutta tämä e ole mssään nmessä varmaa. On täysn mahdollsta, että käytettävä q eroaa merkttäväst todellsesta jakaumasta, jollon konvergenss vo olla äärmmäsen hdasta. Monssa tapauksssa muutama yksttänen arvaus θ k saa muta merkttäväst suuremmat panokertomet, jollon nden vakutus vo olla lallsen suur. Hylkäysnäytteenotto (engl. rejecton samplng ) on ehkä kehttynen tavanomasten Monte- Carlo-menetelmen näytteenottometod. Hylkäysmenetelmässä arvotaan ehdotus θ * tavotefunktota φ(θ) mustuttavasta jakaumasta q(θ). Tämän jälkeen arvotaan satunnasluku u, jonka jakauma on tasanen välllä [0, aq(θ)] ja muualla nolla. Tässä a on vako, jolla taataan, että ( θ ) ϕ( θ ) θ V θ : aq <. Mkäl pätee u < φ(θ * ), ehdotus hyväksytään joukkoon. Odotusarvoja estmodaan samalla tavalla kun jäljempänä kästeltävssä Markovn ketjussa. Hylkäysnäytteenotto on yksulotteslle ongelmlle tehokas ekä läheskään yhtä rppuvanen ehdotusten jakaumasta q(θ), mutta useampen ulottuvuuksen tapauksessa hylkäysten theys kasvaa ja menetelmästä tulee epätaloudellnen Markovn ketjut Markovn ketjuja käytettn ensmmäsen kerran 950-luvulla laskennallsessa termofyskassa, mutta tämän jälkeen nden käyttö näytteenottometodna on laajentunut monlle teknslle ja tlastollslle alolle. Tavotteena on luoda joukko {θ }, jonka jakauma on φ(θ). Tästä joukosta vodaan laskea mkä tahansa summa Σh(θ k ). Markovn prosessssa k

34 34 kunkn laskettavan psteen todennäkösyysjakauma rppuu anoastaan ketjun edellsestä psteestä: P + ( θ, A) = P( θ A θ ) mssä P(θ, A) on transtokernel ja A V θ. Merknnällä P n (θ, A) tarkotetaan transtokernelä n srtymän jälkeen. (O Hagan ja Forster 2004, ) Jos transtokernellle pätee, n 0 ( ) dθ > 0 n > M : P ( θ, ) > 0 0 θ Vθ M N A Vθ : ϕ θ A (2-30) A ekä kernel oskllo kahden aljoukon välllä, nn transtokernelä kutsutaan ergodseks (engl. ergodc ). Käytännössä ehto 2-30 merktsee stä, että mllä tahansa alkuarvolla kernel käy läp kakk nollasta pokkeavat argumentn θ arvot äärettömän monta kertaa. Tällön transtokernel suppenee koht okeaa todennäkösyysjakaumaa φ(θ). (O Hagan ja Forster 2004, ) Yksnkertasn tapa Markovn ketjun luomseen on Metropols-Hastngs-algortm, joka on vuonna 970 julkastu alkuperäsen Metropols-algortmn ylestys. Kun ketju on päässyt arvoon θ, luodaan satunnaslukugeneraattorlla, jolla on melvaltanen jakauma q(θ *, θ ), ehdotus θ *. Ehdotus hyväksytään arvoks θ + todennäkösyydellä Tällön transtokernel saa muodokseen α * * ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) * ϕ θ q θ, θ θ, θ mn, * ϕ θ q θ, θ dp ( ) ( θ, A) θ, θ q( θ, θ ) α( θ, θ p = ), da mssä todennäkösyys ketjun pysymselle samassa psteessä on ( θ θ ) = p( θ θ ) p,, da. Vθ. (2-3) On helppo osottaa, että tällä menetelmällä luotu transtokernel on reversbel. Tällön tasapanossa olevalle ketjulle todennäkösyys, että ketju srtyy psteestä θ psteeseen θ, on sama kun pänvastasen srtymän todennäkösyys: ( θ ) p( θ θ ) ϕ( θ ) p( θ θ ) Jos valtaan sellanen ehdotusten jakauma, että pätee ϕ, =,. (2-32) ( u, v) ( v u) u, v V θ : q = q,,

35 35 saadaan yhtälö 2-3 alkuperäsen Metropols-algortmn mukaseen muotoon * ( ) ( ) = ( ) * ϕ θ θ mn, ϕ θ α θ,. (Voutlanen 200, 30-3; O Hagan ja Forster 2004, ) Metropols-Hastngs-algortmn rnnalle on tullut 990-luvun alusta lähten Gbbsn otantamenetelmä, joka on saavuttanut erttän suuren suoson (O Hagan ja Forster 2004, ). Gbbsn menetelmässä kukn ketjun jäseneks tehdyn ehdotuksen θ * yksttänen komponentt arvotaan erkseen. Arvonnan aluks merktään θ * = θ, mnkä jälkeen arvotaan komponentt θ * ehdollsesta theysjakaumasta φ(θ * θ * 2,..., θ * l ). Sama tostetaan kullekn komponentlle. Sjotettaessa todennäkösyydet yhtälön 2-3 heman muokattuun muotoon huomataan, että kakk Gbbsn menetelmän tekemät ehdotukset hyväksytään. Tämä tekee Gbbsn menetelmästä knnostavan. (Gelfand ja Smth 990.) Ongelmana menetelmässä on se, että se konvergotuu usen erttän htaast, mkäl V θ :n dmenso on suur. Markovn ketjuja hyödyntävän Monte-Carlo metodn (engl. Markov Chan Monte Carlo, MCMC ) tomnta on peraatteessa rppumatonta alkuarvosta, jos transtokernel on ergodnen. Ketjulta kestää kutenkn jonkn akaa saavuttaa tasapanotlanne, jossa sen jakauma on tavoteltu todennäkösyysjakauma φ(θ). Tätä akaa kutsutaan valotusajaks (engl. burn-n perod) ja sen ptuuden valnta e yleensä tuota ongelma, kunhan valtaan rttävän suur arvo. Ptkän ketjun laskemnen on kutenkn suhteessa edullsempaa kun lyhyen, sllä molemmlle tarvtaan yhtä ptkä valotusaka. (Voutlanen 200, 32.) Markovn ketjun luonnn tehokkuuden määrää ehdotusten todennäkösyysjakauman q(θ *, θ ) valnta. Jos otantamenetelmä tuottaa lähellä ketjun kunkn hetkstä arvoa oleva ehdotuksa, nämä hyväksytään lähes ana, mutta ketju levttäytyy koko avaruuteen hyvn htaast. Jos ehdotukset tehdään lan leveällä alalla, suurn osa ehdotukssta hylätään. Ertysen hankalaks tlanne muodostuu sllon, kun φ(θ) on useamphuppunen. Tällön ketjun srtymnen kahden hupun välllä vo vedä todella kauan ta ehdotusten todennäkösyysjakaumasta on tehtävä epätaloudellsen leveä. Ketjusta tulee joka tapauksessa tavattoman ptkä. Tällasten ongelmen kästtelyyn on kehtetty vme vuosna adaptvsa menetelmä, mutta työ nden parssa on velä kesken. Eräänä ongelmana on se, että Markovn ketjujen taustalla oleva teora olettaa, että transtokernel e muutu otannan akana. (Voutlanen 200, 33; O Hagan ja Forster 2004, )

36 Latnalanen hyperkuuto Monte-Carlo-algortm täyttää avaruuden melko htaast. Tätä puutetta on pyrtty korjaamaan käyttämällä determnstsempä algortmeja, jotka varmstavat, että laskettava pstetä tulee kakkalle avaruuteen V θ. Ostettu otanta (engl. stratfed samplng ) valottaa nätä kvas- Monte-Carlo-menetelmä hyvn. Oletetaan, että halutaan kerätä yksulottesen muuttujan θ R arvoja N kappaletta. Tällön avaruus V θ R jaetaan M:n yhtä ptkään väln, josta kultakn kerätään N/M pstettä. Jos vält halutaan tehdä erptusks, tämä otetaan huomoon kullekn vällle tuleven psteden lukumäärässä. (Khndanova ja Rachev 2000.) Latnalasen hyperkuuton menetelmä (engl. Latn Hypercube ) on ostetun otannan laajennus ulottuvuudeltaan melvaltaseen avaruuteen. Kukn ulottuvuus ostetaan erkseen kuten ostetussa otannassa. Yleensä tämä tehdään sten, että välejä on yhtä monta kun laskettava pstetäkn. Saadaan ss joukot {θ, θ 2,..., θ N },..., {θ l, θ l 2,..., θ l N }. Kunkn joukon jäsenet sekotetaan satunnasest, mnkä jälkeen ss kootaan vektort x θ θ = M xl θ l mssä x,..., x l ovat satunnassten lukujen {,..., l} permutaatotten :nsä jäsenä. (Khndanova ja Rachev 2000.) Latnalasesta hyperkuutosta on myös muunnos nmeltä muunnettu latnalanen hyperkuuto (engl. modfed Latn Hypercube ), jossa kultakn välltä otettava pste valtaan kyseselle vällle jakautuneen satunnasmuuttujan θ j odotusarvo. Jos satunnasmuuttujan θ komponentten margnaalsa theysfunktota e tunneta, valtaan väln keskarvo. Tämä metod e tuota tarkast okeaa arvota theysjakaumasta, mutta on huomattavast nopeamp. (Keramat ja Kelbasa 999.) Latnalanen hyperkuuto vodaan ylestää ortogonaalsten tensoren menetelmäks (engl. orthogonal array ). Tässä menetelmässä ostusta e tehdä yksttäslle komponentelle vaan kahden ta kolmen komponentn ryhmlle. Kakken ylesmmän ostuksen muodostaa (t, m)- ta (t, m, s)-verkko (engl. (t, m, s)-net ), jossa komponentten ostuksessa käytetään kuuton ja nelön muotosten alueden sjasta suorakulmota. Saadut ryhmät sekotetaan kuten tavallsessa latnalasessa hyperkuutossa. (t, m, s)-verkkojen teknkkaa on käytetty hyväks talousteteellsssä sovelluksssa, jossa sen tehokkuus on ollut jopa 50 kertaa tavanomasta Monte-Carlo-menetelmää paremp. (Keramat ja Kelbasa 999.),

37 37 On oleellsta huomata, että latnalasen hyperkuuton sukuset menetelmät vaatvat, että jokasta kerättyä pstettä varten on laskettava todennäkösyysjakauman φ(θ) arvo, sllä latnalasen hyperkuuton menetelmällä valttujen psteden jakauma e ole yleensä lähelläkään todennäkösyysjakaumaa φ(θ). Tällön kakk summat on toteutettava peraatteella ( ) h( θ ) ϕ θ k k k h( θ ). (2-33) ϕ θ Sen sjaan Markovn ketjun M pstettä ovat jakautuneet halutulla tavalla, jollon rttää käyttää lauseketta k k = ( ) k M h( θ ) h( θ k ). (2-34) M Latnalasen hyperkuuton hattana Markovn ketjuun nähden on se, että φ(θ):n hupun läheltä saadaan mahdollsest melko vähän arvoja, mkä vo hatata laskujen konvergotumsta. Sen sjaan latnalasen hyperkuuton hyvänä puolena on se, että se havatsee varmast kakk V θ :n alueelle osuvat φ(θ):n huput. Myös Markovn ketjulla tämä on varmaa, jos transtokernel on ergodnen, mutta käytännössä vo käydä nn, että keräys päättyy ennen kun ketju on srtynyt jonkn hupun ympärstöön.

38 3 Kakshuppusen aerosoljakauman nverso Aerosolen konsentraatota lmassa vodaan kuvata usella tavolla, jotka pohjautuvat erlasn mttausmenetelmn. Yksnkertasmmllaan aerosola kerätään suodattmeen, jonka panon muutoksesta ja suodattmen läpässeestä kaasun tlavuudesta vodaan laskea massakonsentraato dm c m =. dv Useat latteet, mm. optnen laskur, mttaavat lukumääräptosuutta mssä N on hukkasten kokonaslukumäärä. dn n =, dv 3. Jakaumat Pelkkä ptosuus on epätyydyttävä kuvaus aerosolsta, sllä hukkaset evät ole kakk samankokosa evätkä ne käyttäydy samalla tavalla. Tästä syystä on määrteltävä hukkasten lukumääräjakauma jonkn tarkasteltavassa tlanteessa melenkntosen omnasuuden z funktona: dn f ( z) =. dz Yleensä f määrtellään hukkasten koon suhteen el z = d p, mutta on tlanteta, jossa on hyödyllstä määrtellä jakauma esmerkks hukkasen sähkösen lkkuvuuden suhteen. Yleensä suureen z ja hukkasen koon välllä on kutenkn anakn jossan määrn ykskästtenen yhteys. Jos mttausmenetelmällä määrtetään jotan muuta aerosoln ekstensvstä omnasuutta kun lukumääräptosuutta, on hyödyllstä määrtellä juur tämän omnasuuden jakauma z:n suhteen. Jos rajotutaan tutkmaan pallonmuotosa, ρ-theykssä vakota hukkasa ta hukkasa, jota vodaan sopvalla korjauksella kästellä pallonmuotosna, vodaan lähes kakk jakaumat krjottaa muotoon f k dn = d p (3-) dz k ( z) β Esmerkks massajakauma, jolle k = 3 ja β = ρπ/6, noudattaa tätä lauseketta. Muotoa 3- olevaa jakaumaa kutsutaan lukumääräjakauman k:nneks momentks. Muuttujan z = ξ(d p ) suhteen määrtellystä jakaumasta vodaan srtyä helpost hukkaskoon suhteen määrteltyyn jakaumaan: 38

39 39 f dd p p p = dd p dd p ξ p dn dn d ( z) = = = ξ ( d ) f ( d ) dz dz ( d ) f ( d ) p. (3-2) Tämä vaat kutenkn sen, että ξ(d p ) on dervotuva bjekto. Kakk aerosoljakaumat ovat mttaustuloksa, mnkä vuoks ne tunnetaan tarkmmllaankn van matrsna [ z f ] z = M z n M n n n mssä n on vällle z kuuluven hukkasten lukumääräptosuus. Mulle jakaumlle lmaus on vastaavanlanen. Peraatteessa matrs [ z f] on täydellsn tetyllä latteella saatava aerosoln kuvaus. Matemaattsten menetelmen ja aerosolen kuvaamsen kannalta ols kutenkn hyödyllstä, jos vektor f votasn lmasta jatkuvana funktona f. Jos funkto f on jotan ertysen mellyttävää muotoa, koko aerosoljakauma saadaan supstettua muutamaan parametrn, jotka vodaan ssällyttää argumenttvektorks θ. Monest aerosolhukkasten kokojakauma on useden kertaluokken levynen. Tällön jakauma määrtellään usen muuttujan ln d p suhteen. On helppoa johtaa suhde kahden er jakauman vällle hyödyntämällä yhtälöä 3-2:, f p p p = dd p d ( ln d ) = ln d f ( d ) d f ( d ) p p. (3-3) Suurn osa kokojakautumen funktonaalsa muotoja kästtelevästä tutkmuksesta kuuluu aerosolfyskan varhasvahesn ja ntä on kästelty esmerkks Hndsn (998) oppkrjan neljännessä luvussa. Tyypllsn aerosolen kokojakauma on yks- ta useamphuppunen lognormaaljakauma f N k ( ) p gk d = p exp k 2π lnσ gk d 2 p lnσ gk ln d ln d 2. (3-4) Lognormaaljakauman huppua k luonnehtvat huppuun kuuluven hukkasten kokonaslukumäärä N k, hupun geometrnen keskhajonta σ gk ja hupun geometrnen keskkoko d gk. Yhtälöstä 3-3 ja 3-4 näkee, että lmastaessa log-normaaljakauma lg d p :n funktona saadaan normaaljakauman lauseke, mstä myös jakauman nm juontuu. Suorastaan yllättävän monet aerosolt noudattavat anakn lkmääräsest yks- ta useamphuppusta lognormaaljakaumaa ja se lenee nykyään käytetystä jakaumen

40 40 funktonaalssta approksmaatosta tavanomasn. On tärkeää huomata, että usemmssa luonnollsssa aerosolessa penempä hukkasa ssältävä huppu on selkeäst suurempen hukkasten huppua korkeamp. Tämä on seurausta stä, että suuremp mood syntyy yleensä penemmstä hukkassta koagulotumalla, jollon shen kuuluven hukkasten määrä vähenee. Pokkeuksa tähän ovat aerosolen karkea mood ja deselmoottorn päästö. Karkea mood syntyy mekaansest ekä sen ptosuus ole sdoksssa penempen hukkasten määrään. Deselpäästössä vo puolestaan olla hyvnkn vähän hukkasa ssältävä nukleaatomood, joka syntyy vasta agglomeraatomoodn jälkeen. (Varsnanen nukleaatoprosess on kvaan tutkmuksen kohteena, esm. Kttelson 998.) Usemmat muut jakaumat, jota on sovellettu aerosolen luonnehdntaan, sopvat lähnnä karkeden mekaansest syntyneden aerosolen tutkmukseen, joka on nykyään menettänyt knnostavuuttaan henojen ja ultrahenojen hukkasten tutkmuksen noustessa etualalle. Nästä jakaumsta on tehnyt hyvän yhteenvedon Hnds (998) oppkrjansa luvussa 4.8. Tyypllsest tällaset jakaumat ovat eksponentaalsen jakauman sovellutuksa. Esmerkknä manttakoon Khrgann Maznn jakauma f 2 ( d ) ad ( ) =, p p exp bd p jota on velä avan hljattan käytetty plven ja sadepsaroden tutkmuksessa. (Stefan ja Mrcea 2003). Peraatteellsta estettä tämän ta mutten funktonaalsten muotojen käyttämseen nversomenetelmssä e ole, kunhan nssä on tutkttavan latteen vastefunkton numeersta astetta vähemmän rppumattoma parametreja. 3.2 Sähkönen alpanempaktor Sähkönen alpanempaktor Elp (Kesknen et al 992) (engl. electrcal low pressure mpactor, ELPI ), jonka kehtyksestä ja tomnnasta antavat parhaan kuvan Kesksen (992), Moson (999) ja Marjamäen (2003) vätöskrjat sekä Baltensbergern et al krjottama luku Baronn ja Wlleken (200) teoksessa, on noussut vmesmpen kymmenen vuoden akana merkttäväks aerosolfyskan tutkmuslatteeks. Luonteeltaan se on yleskäyttönen mttalate, joka kykenee mttaamaan aerosoleja 30 nm 0 µm kokoalueella. Elp kerää aerosoleja 2-astesella kaskad-mpaktorlla, jota edeltää es-mpaktor, jonka katkasukohta on n. 0 µm. Almman el ensmmäsen asteen suuttmet tomvat krttsenä aukkona, joka Elpn perusmallssa säädetään vrtaukselle 0 l/mn. Monest penä hukkasa mtattaessa. aste korvataan välkappaleella ja mpaktorn alle sjotetaan suodatnaste, jolla vodaan mtata almman mpaktorasteen läpässeet hukkaset. Mkäl Elpä käytetään

41 4 lman elektronkkaansa, se tom perntesenä massampaktorna. Elpä käytetään kutenkn lähes ana sähkösest. Tällön mpaktorosan edellä on unpolaarnen koronavaraaja, joka antaa hukkaslle nden koosta rppuvan varauksen. Tätä vodaan kuvata varaustehokkuudella ( d ) n( d )eq Ech = P p p, mssä P(d p ) on varaajan läpäseven hukkasten osuus, n(d p ) yksttäsen d p -halkasjasen hukkasen keskmääränen varausluku, e alkesvaraus ja Q mpaktorn läpäsevä tlavuusvrta. Varaustehokkuus rppuu vomakkaast stä, onko varaajaan loppuosaan kytketty matalahko trap -jännte, jonka tarkotuksena on postaa aerosolsta mttausta härtsevät ont. Impaktor on kytketty herkkään elektrometrosaan, joka mttaa kullekn asteelle saapuvaa vrtaa. Mtattaessa puhdasta lmaa herkmmällä fa mttausalueella mttauskanaven kohnavrta on alle femtoampeer. Elpn vastefunktota vodaan hyvällä tarkkuudella ptää lneaarsena hukkasptosuuden suhteen. Asteen k vastefunkto vodaan laskea asteen omasta ja sen yläpuolella oleven asteden keräystehokkuukssta E sekä varaajan varaustehokkuudesta yhtälöllä mssä n on asteden lukumäärä. k k n ( d p ) = Ech ( d p ) Ek ( d p ) [ E ( d p )] = k +, Verrattuna tavanomaseen massampaktorn Elpssä on useta etuja. Koska se mttaa hukkasen halkasjan kolmanteen potenssn verrannollsen massan sjasta hukkasten tuomaa varausta, joka on verrannollnen hukkaskoon potenssn,3,6 (lman trap - jänntettä, Marjamäk 2003), Elp mttaa huomattavast paremmn penä hukkasa kun perntenen massampaktor. Vrtamttaus on lsäks nopeaa ja vrtaa vodaan parhammllaan mtata jopa sekunnn välen. Tämä merktsee, että usen peräkkässsä mttauksssa mtataan käytännössä samaa jakaumaa. Ehkä vakavn ongelma Elpn teoran perustessa on se, että vakka sekä varaajan että mpaktorn tomnta tunnetaan hyvn, nämä latteet reagovat er omnasuuksn. Varaajan tomntaa säätelee hukkasen sähkönen lkkuvuus ja varaustehokkuus E ch on tse asassa sähkösen lkkuvuuskoon d m funkto. Impaktor puolestaan perustuu hukkasen aerodynaamseen käyttäytymseen, jota vodaan ptää aerodynaamsen läpmtan d a

42 42 funktona. Tämän vuoks okeden vastefunktoden laskenta vaat välttämättä hukkasten theyden tuntemsta. Marko Marjamäk on kehttänyt tostaseks julkasemattomat kaavat, jolla vodaan laskea Elpn vastematrs K melvaltasest valtulle hukkaskolle. Vastematrslle, joka vastaa 300 logartmsest tasavälstä hukkaskokoa välllä ( nm, 0 µm), saadaan taulukon 3- mukaset sngulaararvot. Jos vastematrs on erttän pahalaatunen, pätee yhtälö 2-8, joka on muokattavssa muotoon ( α) lnσ = k α σ = k exp ln. Tämä on tulkttavssa (, ln σ )-koordnaatston suoran yhtälöks, jollanen on prretty kuvaan 3-. Vähäsempää pahanlaatusuutta edustava yhtälö 2-7 sovttaa psteet huomattavast huonommn. Vastematrsn sngulaararvot Rv σ Taulukko 3- Esmerkk Elpn vastefunkton sngulaararvosta.

43 Elpn vastematrsn sngulaararvojen analyys Sovte Sngulaararvon log. 3 Sngulaararvon luonn. log Kuva 3- Esmerkk Elpn vastematrsn sngulaararvojen sopmsesta suoralle. Suoran sovtuksesta on pääteltävssä, että eksponenttmalln mukasen pahanlaatusuusaste α arvo on 0,67. Matrsn K kunto on n Vastematrsn K sngulaararvot ja kunto evät myöskään olennasest muutu, jos laskentapsteden määrää muutetaan. Pelkästään asteden keräystehokkuuksen perusteella lasketun matrsn k k n ( d p ) = Ek ( d p ) [ E ( d p )] sngulaararvot noudattavat myös eksponentaalsta rppuvuutta, mutta pahanlaatusuusaste on van 0,6 ja matrsn kunto on anoastaan 3,8. On ss pääteltävssä, että varaustehokkuuden lauseke lsää Elpn mttausdatan nverso-ongelman pahanlaatusuutta olennasest. Ilman varaustehokkuutta Elpn mttausdatan nverso e okeastaan edes ols pahanlaatunen ongelma. Varaustehokkuuden huomoonottamnen e hekentäs ongelman kuntoa merkttäväst, jos lukumääräjakauman sjasta käytettäsn sopvaa = k +

44 44 momenttjakaumaa. Tästä ovat huomauttaneet muun muassa Tapper et al (995). Koska Elp mttaa hukkaskoon momentta,3,6 (Marjamäk 2003, 38), sopva jakauma ols esmerkks lukumääräjakauman ensmmänen momentt, ptuusjakauma f ( d ) d f ( ) =. p p d p Alustavssa tutkmuksssa osottautu kutenkn, että tämä metod e tuota olennasta etua lukumääräjakauman kästtelyyn verrattuna, sllä myöhemmn kuvattava alkuarvoarvausalgortm tom ensmmäsessä momentssa hekommn, mtä kästellään tarkemmn jäljempänä. Koska kuten luvussa neljä osotetaan seuraavassa esteltävän algortmn tomnta rppuu olennasest alkuarvauksen laadusta, tässä työssä laskut suortetaan käyttämättä momenttjakauma hyväks. 3.3 Bayesn kaavan sovellus Elpn Tampereen teknllsen ylopston Fyskan latoksen Aerosolfyskan laboratoron tutkmus on keskttynyt jo vuosen ajan lkenteen ja vomalatosten hukkaspäästöjen tutkmukseen. Nälle on tyypllstä, että hukkaspäästöjakaumat ovat lognormaalsa ja että nllä on yhdestä kahteen huppua. Esmerkks desel-moottorn päästössä vodaan havata jo moottorssa syntynyt fraktaalnen koagulaatomood, jonka kokoluokka on non sata nanometrä, ja kaasu hukkas-muunnos mekansmlla ulkolmassa syntynyt nukleaatomood, jonka kokoluokka on enntään muutama kymmenä nanometrejä. Nukleaatomoodn esntymnen vahtelee moottorn tlan mukaan ja on vomakkaan tutkmuksen kohteena. (Esm. Kttelson 998 ja Ntzachrstos et al 2004.) Lsäks kakshuppusa lognormaaleja aerosoleja esntyy usella mulla aerosolteteen tutkmuskentllä, mnkä vuoks tällaseen jakaumaan perustuvan nversomenetelmän kehttämnen on perusteltua. Bayesn kaavaan (yhtälö 2-26) P ( θ y) post = P 0 ( θ ) PL ( y θ ) P( y) vodaan helpost sjottaa mpaktorn mttaustulos ja vastefunktot. Tässä P 0 (θ) on θ:n todennäkösyysjakauma ennen mttauksa, P L (I θ) on todennäkösyystheys satunnasmuuttujalle I, kun todellnen jakauma on θ. P(I) on vrtamttauksen I todennäkösyystheys ja P post (θ I) on parametrn θ todennäkösyysjakauma mttauksen jälkeen. Tähän pohjautuvan nversoalgortmn ovat lmesest kehttäneet ensmmäsnä Ramachandran ja Kandlkar (996), jotten kästtelyä seuraavassa pääprtessään seurataan.

45 45 Kakshuppuselle lognormaaljakaumalle vodaan krjottaa parametrvektorn ja vrran lausekkeet I = Kf N σ d g ( θ ), θ = Vθ N σ d g 2 g2 g2, (3-5) mssä V θ on fyskaalsest mahdollsten parametren avaruus. Jos tutkttasn massampaktora, jakauman määrttelyyn rttäs vs parametra, kun määrteltäsn huppujen lukumääräosuus N γ = (3-6) N + N 2 ta vastaavalla tavalla laskettava massaosuus γ,m. Tällön kuudes parametr, kokonasmassa, votasn saada mttaukssta. Elpn tapauksessa kokonasvrta e sovellu samalla tavon rajottavaks suureeks, sllä nverso suortetaan lukumäären, e vrtojen suhteen. Jos jakauman määrttelee vektor θ, tuls vrheettömän mttaustuloksen olla I = Kf(θ). Tällön todellsen, mtattu mttaustuloksen I ja jakaumaan θ lttyvän tuloksen I erotus on ymmärrettävä vrheenä. Yksttäsellä kanavalla tällasen vrheen todennäkösyys on, mkäl vrhe on normaaljakautunut ja musta kanavsta rppumaton, P L 2 θ I I = exp 2πσ 2 σ. (3-7) ( I ) = P( I I ) Tässä kanavan vrheen keskhajonnaks vodaan olettaa Dzubayn ja Hasann (990) tapaan σ = σ c + σ v I, (3-8) mssä σ c on keskhajonnan vakokomponentt ja σ v verrannollsuuskerron. Tämä mall kuvaa Elpn vrhettä varsn hyvn. Kokonastodennäkösyydeks mtata I, kun jakauma on θ, saadaan ( θ ) = P( I θ ) = P( I I ) P I, (3-9) mkäl vrtojen kohnat oletetaan tosstaan rppumattomks. Vrran I todennäkösyys lasketaan ntegromalla koko fyskaalsest mahdollsen parametravaruuden V θ yl, johon θ määrtelmänsä mukaan kuuluu.

46 46 ( ) = P ( θ ) P( θ ) P I dv. (3-0) 0 I Vθ Sekä tässä että yhtälössä 2-26 esntyy argumentn θ etukäteen tunnettu todennäkösyys P 0 (θ), jonka älykäs valtsemnen on kakken bayeslasten menetelmen vakempa ongelma. Yleskäyttösessä mttausmenetelmään sovellettavassa nversoalgortmssa e voda tehdä oletuksa todellsen jakauman θ * pakasta V θ -avaruudessa, koska tämä rajas algortmn käyttöaluetta ja väärstäs nverson tuloksa. On välttämätöntä asettaa lauseke P 0 (θ) vakoks fyskaalsest mahdollsella alueella V θ. Tällön P 0 (θ) srtyy yhtälön 3-0 ntegraaln ulkopuolelle ja yhdstämällä yhtälöt 3-7, 3-9 ja 3-0 vodaan krjottaa lopullnen muoto P post ( θ ) ( I θ ) ( I θ ) P I =. (3-) P dv Ramachandran ja Kandlkar (996) kästtelevät artkkelssaan perntestä aerosoln massaa mttaavaa kaskad-mpaktora. Tällasssa lattessa mttaus kestää yleensä ptkähkön ajan: tunteja ta jopa vkkoja. Kahden peräkkäsen mttauskerran akana mtatut jakaumat ovat käytännössä varmast erlaset. Sen sjaan Elpn mtatessa on täysn mahdollsta, että jakauma pysyy vakona jopa kymmenen yksttästen mttausten ajan. Tätä on syytä hyödyntää analyysssa. Jos oletetaan, että yksttäset mttaukset {I, I 2,..., I N } kuvaavat kakk samaa jakaumaa, vodaan ylestää bayeslanen lähestymstapa merktsemällä I I = M I N Vθ R nn. (3-2) Yksnkertasemp ja laskennallsest kevyemp tapa lähestyä useamman vrran ongelmaa on laskea vrtojen keskarvo ja merktä N I = I. (3-3) N k = Seuraavassa tulen lyhyyden vuoks kutsumaan edellstä menetelmää monvrtamenetelmäks ja jälkmmästä keskarvomenetelmäks. Keskarvon vos laskea myös pdentämällä mttalatteen näytteenottoakaa, mutta nykyään, kun tallennuskapasteett on halventunut merkttäväst, on käytännöllsempää laskea keskarvo vasta tulostenkästtelyvaheessa. Nän nformaatota e menetetä ja esmerkks mttauksen akaset odottamattomat tapahtumat vo havata datasta. k

47 47 Haluttu tulos, parametrn θ odotusarvo lasketaan kummankn menetelmän tapauksessa latnalasen hyperkuuton menetelmällä. Soveltamalla kaavaa 2-33 termn P post (θ I) saadaan θ = E = k ( θ ) = P ( θ I) k Vθ post ( I θ k ) θ k P( I θ ). P k θdv k k P post P post ( θ I) k ( θ I) k θ k = k Vθ P P ( I θ k ) ( I θ ) θ : k dv k Vθ P P ( I θ k ) ( I θ ) dv Täydellseen nversoalgortmn estykseen kuulus sen tuottaman vastauksen vrheen ja muden tlastollsten omnasuuksen johto. Tähän e valtettavast voda ryhtyä, sllä kuvaus R 6 a R 2 on nn epälneaarnen, ette ole mahdollsta johtaa analyyttsä lausekketa tlastollslle omnasuukslle. Peraatteessa ols mahdollsta arvoda θ:n vrhettä käyttämällä hyväks varanssmatrsa V(θ), mutta sen konvergenss osottautu nn htaaks, ette stä ole käytännön hyötyä. Jotta varanssmatrssta saatasn rttävän tarkka, ols laskettava huomattavast enemmän pstetä kun on tarpeen odotusarvon rttävän tarkaks laskemseks. Käytännössä algortmn antamaa vrhettä on arvotava kvaltatvsn menetelmn. Vastausfunkto f(θ) tuottas deaaltapauksessa vrtavektorn I = f(θ). Jos tämä eroaa huomattavast mtatusta vrrosta, vodaan ptää lähes varmana, että nverso on epäonnstunut. Jos sovtus on hyvä, tedetään nverson antaneen lkman okean tuloksen. Käytännössä tarkan vrhearvon puuttumnen e ole ongelma, sllä mttauksssa harvemmn päästään alle 0 % tarkkuuteen. Lsäks on estettävä kysymys stä, mkä okeastaan on todellnen θ, jonka arvoa nversolla haetaan. θ-parametrhan on puhtaast matemaattnen, jakauman omnasuuksen vsualsontn käytettävä suure, jota e vo mtata mllään menetelmällä. : θ a I Kakshuppusen lognormaaljakauman parametrt votasn etsä myös käyttäen jotan determnststä menetelmää. Yksnkertasn tällanen ols penmmän nelösumman menetelmä, jossa pyrttäsn mnmomaan kustannusfunkto ( θ ) 2 I Kf. (3-4) Valtettavast tällanen menetelmä on Elpllä numeersest jossan määrn epävakaa (Lemmetty 2002), mnkä vuoks seuraavassa kesktytään bayeslaseen lähestymstapaan.

48 48 On tärkeää havata, että monvrtamenetelmä e peraatteessa vo toma sen paremmn kun keskarvomenetelmäkään, sllä monvrtamenetelmä vodaan lmasta nverso-ongelmana K M K f I ( θ ) = M + ε Nn I N. (3-5) Tässä muodossa ongelman vastefunktona on matrs [K T, K T ] T, jonka aste ja muut tunnusluvut ovat luonnollsest samat kun matrsn K. Yhtäkään uutta, lneaarsest rppumatonta rvä e ole lsätty. Kutenkaan monvrtamenetelmä e ole tämän taka arvoton. Keskarvo- ja monvrtamenetelmät hävttävät nformaatota er tavon. Koska kuvaus R 6 a R 2 : θ a I on erttän epälneaarnen, on mahdotonta tutka menetelmen tomntaa analyyttsest. On peraatteessa mahdollsta, että monvrtamenetelmä ols numeersest stablmp, kun mttaustuloksa on käytössä muutama. Jos käytettävä mttaustuloksa on kovn mona, monvrtamenetelmän ongelmaks muodostuu näytteenoton huono tehokkuus ja laskennan htaus. Matlabn lukulukujen tarkkuus on käytetyllä koneella 32 bttä, mkä merktsee n. 6 desmaala. Jokaseen vrtamttaukseen ssältyy 2 yksttästä vrtaa, josta jokaselle lasketaan todennäkösyys P(I θ k ). Jos mttauksa käytetään 0 kappaletta, psteen todennäkösyys on 20 yksttäsen todennäkösyyden P(I θ k ) tulo. Vakka yksttästen kanaven vrtojen todennäkösyydet olsvat useta kymmenesosa todennäkösyydestä vastaavsta maksmtodennäkösyyksstä, kokonastodennäkösyys vo jäädä nn peneks, että psteen θ k merktys summassa 2-33 on olematon ta pyörstyy nollaks. Mtä enemmän vrtoja on, stä todennäkösemmn tämä sattuu. On täysn mahdollsta, että lopullnen jakauma lasketaan suhteellsen harvosta pstestä. Keskarvomenetelmää käytettäessä on huomattava, että mttausdatan keskarvon varanss on kääntäen verrannollnen käytettyjen vrtamttausten määrään. Tämäkn kaventaa jakaumaa P(I θ). Tarkasteltaessa yhtälöä 3-7 havataan tämän vastaavan stä, että arvo P(I θ k ), joka ols laskettu ottamatta huomoon varanssn penenemstä, korotettasn potenssn N. Posterortodennäkösyys P post (θ I) korotetaan ss potenssn 2N verrattuna tapaukseen, jossa se laskettasn mttauskeskarvosta ottamatta varanssn muuttumsta huomoon. Tämä on suuruudeltaan samaa luokkaa kun monvrtamenetelmässä tapahtuva posterorjakauman kapenemnen. Näytteenoton tehokkuudella e voda ss smulaatota ja koketa tekemättä päätellä, kump menetelmä on numeersest vakaamp nversossa.

49 Alkuarvaus Latnalasen hyperkuuton menetelmä e peraatteessa tarvtse alkuarvausta sen enempää kun Markovn ketjuhn perustuvakaan, mutta käytännössä molemmat algortmt tarvtsevat jonknlasen tedon stä, mkä on θ:n suuruusluokka. Jos Markovn ketjun alkuarvaus θ 0 kovn kaukana todellsesta arvosta, vo ketjulta kestää erttän ptkään ennen kun se pääsee tasapanotlaan. Äärtapauksessa P post (θ 0 I) pyörstyy nollaks ja ohjelma kaatuu vrheeseen. (Luonnollsest tämä vodaan estää sopvn varokenon.) Latnalasessa hyperkuutossa ols rajattava parametravaruudesta V θ sopvan pen alue, jolla θ * Muuton joko joudutaan laskemaan erttän monta pstettä θ k, jollon laskut vevät kohtuuttomast akaa, ta tyytymään hyvnkn epätarkkaan ratkasuun. Ertysest sllon, kun tyydytään epätarkkaan ratkasuun, vo algortm palauttaa lopputuloksen jonkn funkton P post (θ I) matalamman hupun lähstöltä. Tällön varaatot peräkkästen ajojen välllä vovat olla hyvnkn suura. Ramachandran ja Kandlkar (996) hankkvat nversoalgortmn tarvtsemat tedot käsn tehdystä graafsesta analyysstä. Tämä sop tutkttaessa massampaktorn mttausdataa, jota on yleensä vähän, mutta tällasta analyysa on mahdotonta automatsoda. De Ruter ja Oeseburg (987) mantsevat automatsonnn mahdollsuuden, mutta olettavat automaattsella menetelmällä löydettyjen arvojen olevan epäluotettava. Automatsontn on kutenkn pakko ryhtyä, jotta votasn saada reaalakasest tomva algortm. Kehtettn menetelmä V θ :sta laskettavan alueen valtsemseks vastematrsn K pseudonverssn avulla, joka määrtellään yhtälössä 2-9. Määrtellään alkuarvausvektor on. f guess = K + I. Jos I ssältää useta yksttäsä mttauskertoja, I korvataan keskmääräsellä vrtajakautumalla. Luonnollsest f guess on melko huono arvo funktolle, mutta saatujen kokemusten mukaan se antaa yleensä lkmääräsen kuvan jakaumasta, vakka vomakaskn oskllaato on mahdollsta. Vektorsta etstään algortmn ensmmäsessä vaheessa maksm. Tätä maksma pdetään ensmmäsen huppun geometrsena keskarvona d 2guess. Hupun rajat pyrtään määrttämään etsmällä sen ympärltä lokaalt mnmt, jotten kohdalla funkton f guess arvo on enntään 60 % huppuarvostaan. Tällä rajotteella on tarkotus estää pakallsen vähäsen oskllaaton tulknta hupuks. Varovasuudella on tosn hntansa: algortm saattaa tulkta yhdeks hupuks tlanteen, jossa hmsslmällä vos havata kaks er huppua. Kun mnmt on löydetty, etstään ensmmäseen huppuun kuulumattomalta alueelta maksm ja tulktaan se tosen hupun geometrseks keskarvoks d 2guess. Tämän jälkeen valtaan

50 50 huppujen keskarvojen välnen mnm huppujen välseks rajaks d mn. Er huppuhn kuuluven hukkasten lukumääräptosuudet N guess ja N 2guess arvodaan ntegromalla trapetsmenetelmällä välen (0, d mn ) ja (d mn, ) yl. Saatuja lkmääräsä jakauman parametrejä käytetään latnalasella hyperkuutolla tutkttavan avaruuden määrttelyyn. Algortm olettaa, että V θ on kuusulottenen suorakulmo. Parametren d g, d g2, N ja N 2 oletetaan vahtelevan välllä % arvauksesta. Geometrstä keskhajontaa e arvoda f guess -vektorsta vaan sen oletetaan olevan kummallakn hupulla välllä (,2;2,0). Tämä oletus sop usemmlle toselämän aerosolelle. Jos käytettäsn Markovn ketjuja avaruuden V θ tutkmseen, ols lähtöarvo θ 0 = [N guess ;,5; σ guess ; N 2guess ;,5; σ 2guess ] T todennäkösest kelvollnen usemmlle jakaumlle. Alkuarvauksesta votasn saada tarkemp suorttamalla jonknlanen regularsont vektorlle f guess, mutta tämä e ole tarkotuksenmukasta. Regularsont on jo sellasenaan eräs nversomenetelmä ja onnstuneen regularsonnn jälkeen e ptäs enää olla tarvetta muden nversomenetelmen käyttöön. Tosaalta edellä kuvattu alkuarvausalgortm tom varsn tyydyttäväst, joten ylmääräsen monmutkasuuden lsäämnen malln e ole hyödyllstä. Yllä kuvattu alkuarvausalgortm tom parhaten, kun penempä hukkasa ssältävä huppu on selkeäst tosta huppua suuremp. Tällön lukumääräjakaumassa huput erottuvat tosstaan selkeäst. Samassa tlanteessa huput vovat olla ptuusjakaumassa nn samankokosa, että algortm e erota ntä pakallsesta oskllaatosta. Tällön alkuarvaus epäonnstuu pahast ja algortm saattaa kaatua. Luonnollsest tlanteessa, jossa suuren hukkasten muodostaman hupun erottamnen on tärkeää, ensmmäsessä momentssa tomva alkuarvausalgortm saattas hotaa tehtävän varmemmn, mutta kuten kohdassa 3. manttn, luonnossa penä hukkasa on yleensä soja enemmän. Tämä on erttän hyvä syy toteuttaa laskenta lukumääräjakaumaa hyväks käyttäen.

51 4 Kokeellnen tutkmus Kehtetyn algortmn testaamseks suortettn joukko kokeellsa tutkmuksa. Ertysenä melenknnon kohteena ol, mkä on useden vrtamttausten vakutus smulaaton onnstumseen. On myös melenkntosta nähdä, onko keskarvomenetelmän ja useden vrtamttausten menetelmän onnstumsen välllä eroja. Tutkmusten ensmmäsessä vaheessa suortettn joukko smulaatota ja todettn varsn melenkntonen lmö algortmn käytöksessä. Osottautu, että monvrtamenetelmällä paras nversotulos saavutettn non vden mttauskerran dataa hyödyntämällä. Suuremmalla datamäärällä vrheestä tul melko satunnanen. Smulodun datan lsäks mtattn laboratorossa kakshuppusa aerosoljakauma, joden käyttäytymstä nversossa tutkttn. 4. Elpn vrtakohna Kakken nversoalgortmen tomnnan kannalta on oleellsta tuntea tutkttavan mttalatteen vrhe. Elpn elektrometrstä on tehty muutama opnnäyttetä, mm. Nemelä (200), mutta mttausvrheen tlastollsn omnasuuksn e ole knntetty ertystä huomota. Elpn, sähkösstä ossta peräsn oleva vrhe jakautuu kolmeen osaan: elektrometrn mttaustuloksen vaellus, pkkkohna ja termnen el Johnsonn kohna. Elektrometrn vaellus on luonteeltaan lneaarnen, systemaattnen vrhe, joka on helppo postaa mttausdatasta ennen varsnasta mttausta ja sen jälkeen suortettujen nollamttausten tulosten avulla. Puoljohtetten epäpuhtaukssta aheutuva pkkkohna e ole jakautunut normaalst, vaan vrtapkn todennäkösyys on kääntäen verrannollnen sen korkeuteen. Johnsonn kohna on normaaljakautunutta ja aheutuu varausten lämpölkkeestä. (Petarnen 990.) Jotta saatasn luotettavaa tetoa mttausvrheestä, mtattn kohnaa Elpstä, jonka varaaja e ollut päällä, non 4 tunnn ajan. Elektrometrn lukemen vden sekunnn lukuva keskarvo talletettn vden sekunnn välen mttausalueen ollessa fa, mkä on ehkä tavallsn Elpn käyttötapa. Ajanjakson loppupuolella lukema e enää vaeltanut, joten vmestä kahta ja puolta tunta vo varsn hyvn käyttää kohnan omnasuuksen laskentaan sellasenaan. 5

52 52 Kuva 4- Esmerkk Elpn kohnan jakaumasta. Elpn kohna näyttäs jakautuneen normaalst. Mttaustulokssta vähennetään tyypllsest kohnan keskarvo, joten tarvttava vrheen keskhajonta on sama kun kohnan keskhajonta. Tämä osottautu er kanavlla suurn prten samaks. Kohnan keskhajonnan estmaatks saatn non 0,3 fa. Penllä vrrolla termsen kohnan aheuttama vrhe on lkman anoa vrhelähde. Myös kvantsontvrheen suhteellnen merktys on tällön suurn. Kuvasta 4- vo nähdä, että joka kolmas hstogrammn palkk on muta korkeamp. Tämä aheutuu jossan määrn epädeaalsesta kvantsonnsta. Samalla kutenkn selvää, että kvantsontvrheen merktys on olematon. Suuremmlla vrrolla kohna kasvaa lkman lneaarsest kanavan vrtaan nähden, mkä aheutuu muun muassa elektrometrn vahvstmen kohnan lsääntymsestä. Tuntematon term σ v on arvotava tse. Tässä työssä arvona on käytetty arvoa 0,05, mkä on luultavast heman lan suur arvo. 4.2 Smulaatot Inversomenetelmän hyödyllsyyttä tutkttaessa nverson suorttamnen smulodulle datalle on yleensä ensmmänen työvahe. Tällanen osa ssältyy usempn aheesta tehtyhn julkasuhn (esm. Wolfenbarger ja Senfeld 989, Hagen ja Alofs 983). Ongelmana on

53 53 kutenkn se, että nversoalgortmn onnstumsta kuvaamaan e ole kehtetty mtään ylesest hyväksyttyä suuretta. Tässä työssä nverson onnstumsta kuvataan lukumääräjakauman suhteellsella vrheellä R = f result * result * f ( x) f ( x) dx, x = lg d * * p. (4-) f ( x) dx f On selvää, että tällanen määrtelmä on luonteeltaan melvaltanen. Vrhe votasn yhtä hyvn määrtellä esmerkks massaptosuuden pohjalta. Kutenkn yhtälöllä 4- on tettyjä etuja. Elpä käytetään yleensä mttaamaan lukumääräptosuutta, joten nverson onnstumnen on järkevntä määrtellä sen avulla. Käytetty määrtelmä kohtelee kakka kokoluokka tasa-arvosest ja lsäks saatava R:n arvo on yleensä välllä (0,), jos nverso e ole epäonnstunut pahast. Tällön R:n arvot on ntutvsest helpomp ymmärtää. Määrtelmä 4- on sellasenaan käyttökelponen, kun f * tunnetaan, mkä käytännössä on mahdollsta anoastaan kästeltäessä smulotua mttausdataa. Todellsessa mttauksessa e jakaumaa yleensä tunneta, vaan stä saadaan anoastaan erlasa mttaustuloksa. Parhaan arvon todellsesta jakaumasta antaa sähkönen lkkuvuusanalysaattor (engl. scannng moblty partcle szer, lyh. SMPS, Knutson ja Whtby 975; Wang ja Flagan 990), jonka erotuskyky on ernomanen. Elpn ja SMPS:n tulokset ovat yleensä melko yhtäptävä (esm. Moso 999, 2-3), mutta on mahdollsta, että yksttäsessä mttauksessa Elp ja SMPS näyttävät hyvnkn er konsentraatota. Vakuttaa sltä, että Elp havatsee suurempa ptosuuksa kun SMPS ertysest alle 50 nm hukkaslla. Tämä vo johtua Elpn vrheestä, mutta myös kahden er SMPS:n välllä on havattu samaa kertaluokkaa oleva mttaustulosten ero (Sakura et al 2003). Yleensäkn kahta er mttalatetta on vakea saada näyttämään samaa kokonasptosuutta. Jos käytetään yhtälön 4- mukasta nversovrheen määrtelmää, R saa kohtuuttomalla tavalla kannettavakseen systemaattsesta vrheestä aheutuneen osan. Jos SMPS ja Elp mttaavat er suuret ptosuudet, nversolta vodaan vaata anoastaan, että nverson tulos mustuttas SMPS:n jakaumaa mahdollsmman paljon. Tätä vodaan arvoda normalsodulla vrheellä result,norm *,norm f f norm f n =, f =, (4-2) *norm f f R * f

54 54 joka jättää huomotta mahdollsen kokonaslukumäärän mttauksessa tapahtuvan vrheen. Sakura et al (2003) käyttävät samantapasta menetelmää sovttaakseen kahden SMPS:n mttaustulokset tosnsa. 4.3 Inverso smulodulla datalla Inversoalgortmn tutkmuksessa paras metod ols herkkyysanalyys. Tällasessa analyysssa käytäsn läp algortmn tomnta erlaslla lähtöarvolla ja mahdollsest tutkttasn vrheen vakutusta kussakn tlanteessa. Tässä työssä estellyn algortmn lähtöarvona pdettäsn parametrvektorn θ kuutta komponentta. Vakka päätettäsn ptää geometrset keskhajonnat vakona, luotettava analyys vaats kultakn jäljelle jäävstä komponentesta laskettavaks vähntään kymmenen arvoa. Lsäks ols smulotava mttausvrheen vakutusta esmerkks vdellä vrheen keskhajonnalla (SD) ja nversossa käytettäven mttausten lukumäärän vakutusta anakn välllä 0 vrtaa. Tällanen analyys vaats laskettavaks pstettä. Jos yhden psteen laskemseen mens 0 s, analyys ves akaa non kaks kuukautta. Saatua kuvausta vsualsoda. R 6 a R ols lsäks erttän vakea Käytännön syden vuoks päätettn tyytyä tutkmaan vrheen ja käytettäven mttauskertojen vakutusta tetyssä valtussa pstessä, jotka pyrttn valtsemaan todellsa tuloksa edustavks. Jakauma I on todellsen deselpakokaasuaerosoln dealsont kakshuppuseks log-normaaljakaumaks. Jakaumalla II e ole varsnasta fyskaalsta vastnetta, vaan se edustaa tlannetta, jossa huput ovat melko vakeast erotettavssa tosstaan. Jakauma III on peräsn Brodayltä ja Georgopouloslta (200), jotka ovat käyttäneet stä aerosolen keuhkodeposton mallnnukseen. Jakauma mustuttaa vomalatosjakaumaa, jossa esntyy agglomeraatomoodn lsäks karkeden partkkeleden mood. Smulotujen jakaumen omnasuudet Jakauma I Jakauma II Jakauma III d g (µm) d g2 (µm) σg σg γ Taulukko 4-

55 x Jakauma I Jakauma II Jakauma III.5 dn/dlogdp Dp (µm) Kuva 4-2 Smulaatossa käytetyt jakaumat Jakaumat ovat kuvassa 4-2 ja nden tedot taulukossa 4-. Koska smulonnssa jakaumen todellslla lukumääräptosuukslla e ole merktystä, kunhan mtatut vrrat ovat suura verrattuna yhtälön 3-8 termn σ c, jakaumsta lmotetaan lukumääräptosuuksen sjasta yhtälössä 3-6 määrtelty γ. Kakken jakaumen kohdalla tutkttn mttausvrheen sekä nversossa käytettyjen mttausten määrän vakutusta R:n arvoon. Yhtälön 3-8 termn σ v annettn vahdella välllä 0,5 0 % psteden väln ollessa 0,5 prosenttykskköä, ja kunkn kanavan vrhe ol musta rppumaton sekä normaaljakautunut. Inversossa käytettyjen mttauskertojen määrä vahtel välllä Inverso suortettn kullekn kolmesta jakaumasta ss 380 kertaa, mkä ve non kaks vuorokautta jakaumaa koht Matlabn 5.0-versota ajavalla,2 GHz:n kellotaajuudella tomvalla AMD:n K6-prosessorlla varustetulla PC-tetokoneella. Kaklle pstelle laskettn latnalasen hyperkuuton menetelmällä pstettä numeersa ntegronteja varten. Ylesest ottaen nverso on onnstunut smulodulla datalla ernomasest. Rppumatta menetelmästä ja käytetystä vrtojen määrästä tulokset ovat rttävän hyvä mhn tahansa

56 56 kvaltatvseen ja usempn kvanttatvsn tarkotuksn. Menetelmen kesknäsen paremmuuden selvttämseks nversovrhe on kuvattu kolmulottesen avaruuden pntana R = R(σ v, N). Saadut kuvaajat ovat kuvssa Molemmlla menetelmllä kaklla kuvlla on samanlanen muoto. Vrheen ollessa suur ja käytettyjen mttauskertojen lukumäärän pen R on suurmmllaan. Mttauskertojen lukumäärän kasvaessa R penenee, mutta kun mttauskertoja lsätään, R vakntuu tetylle tasolle ja alkaa käyttäytyä melko satunnasest. Parhaten käytös näkyy jakauman I tapauksessa. Jakaumlla II ja III lmö on myös havattavssa, mutta nllä nversovrhe on jo yhdellä mttauksella nn pen, että sen vähenemnen muodostuu vähemmän dramaattseks kun jakauman I tapauksessa. Penn nversovrhe näyttäs olevan kullekn jakaumalle omnanen ja välllä 0,02 0,. Kuva 4-3 Käytettyjen mttausten lukumäärän ja vrran hajonnan vakutus jakauman I nversovrheeseen. Monvrtamenetelmä vasemmalla ja keskarvomenetelmä okealla. Kuva 4-4 Käytettyjen mttausten lukumäärän ja vrran hajonnan vakutus jakauman II nversovrheeseen. Monvrtamenetelmä vasemmalla ja keskarvomenetelmä okealla.

57 57 Kuva 4-5 Jakauman III nversovrhe. Monvrtamenetelmässä nversovrhe muuttuu satunnaseks, jos vrtoja on yl 5 kappaletta. Tässä työssä estellyt algortmt perustuvat tlastollseen tarkasteluun, mnkä vuoks on ertysen tärkeää tarkastella satunnasuuden vakutusta nverson onnstumseen. Tutkttn nverson herkkyyttä toteuttamalla nverso sata kertaa jakaumalle I käyttäen vden mttauksen dataa. Kanaven vrtojen kohnan keskhajonta ol 5 % kunkn kanavan vrrasta. Vrrat smulotn ja nlle suortettn nverso sata kertaa. Monvrtamenetelmälle nversovrheen R keskarvo ol 0,5 ja keskarvomenetelmälle 0,06. Keskarvomenetelmän hyvä onnstumnen näkyy myös kuvasta 4-6. Inversovrheen keskhajonta ol keskarvomenetelmälle 0,0 ja monvrtamenetelmälle 0,02. Tämä on suuruudeltaan merkttäväst vähemmän kun nversovrheen kuvaajssa lan mona vrtoja käytettäessä esntyvä satunnasvahtelu. On huomattava, että kuvaa 4-3 laskettaessa saatn monvrtamenetelmällä penemp arvo jakauman I nversovrheelle samalla määrällä käytettyjä vrtoja ja samalla mttausvrheen arvolla. Syynä tähän lenee ollut nversomenetelmän satunnasuus. Peraatteessa enten nformaatota ssältävä tapa kuvata yksttästen parametrn θ komponentten vahtelua ols lmottaa matrs V(θ), mutta tämä on epäkäytännöllstä, sllä varanssmatrsn alkoden suuruusluokat vahtelevat vomakkaast. Komponenttparen korrelaatokerronten corr ( θ, θ ) j = var { V( θ )} ( θ ) var( θ ) (Pohjavrta ja Ruohonen 2003, 45) arvot ovat tsesarvoltaan alle 0,3 ja tarkasteltaessa graafsest yksttästen arvoparen jakauma osottautuu, että θ:n komponentten hajonnat ovat tosstaan rppumattoma. Rttää ss tarkastella yksttästen komponentten hajontaa. Tämä osottautuu yllättävän peneks. Suurmmat suhteellset hajonnat ovat molemmssa j j

58 58 tapauksssa huppuhn kuuluven hukkasten lukumäärssä, mutta nämäkn jäävät alle 3 %:n. Muden komponentten hajonta vahtelee muutaman promllen ja vajaan kahden prosentn komponentn keskarvosta välllä. Komponentten hajonta on helponta esttää graafsest. Kuvaan 4-6 on prretty sata nversotulosta ja lähtökohtana käytetty jakauma I. On helppo todeta, että vakka nversovrhe vahteleekn melko vomakkaast, tse nverson tulos e kvaltatvsest ottaen muutu merkttäväst. 0 x 04 9 Inverson vakaus - keskarvomenetelmä Alkuperänen Inversotulokset 4 x Inverson vakaus - monvrtamenetelmä Todellnen Inversotulos dn/dlogdp dn/dlogdp (mv. aksel) Dp (µm) Dp (µm) Kuva 4-6 Sata jakauman I nversotulosta keskarvo- ja monvrtamenetelmllä prrettynä samaan kuvaan lähtökohtana olleen jakauman kanssa. Kuten luvussa kolme osotettn, molemmat menetelmät kärsvät näytteenoton tehokkuuden hekkenemsestä, kun käytettäven vrtamttausten lukumäärää lsätään. Tämä ongelma ols keskarvomenetelmän tapauksessa elmnotavssa olettamalla tosasoden vastasest, että vrtamttausten keskarvon varanss e muutu, kun käytettävä vrtamttauksa lsätään. Ajettn jakaumalle I, jossa nversovrheen penenemnen esntyy selvmmn, akasemmn kuvattuja jakauma vastaava smulaato. Tulokset ovat kuvassa 4-7.

59 59 Kuva 4-7 Jakauman I nversovrhe keskarvomenetelmällä, kun vrran varanssn muuttumsta e huomoda. Saatu tulos on melenkntonen. Näyttää sltä, että tässä tapauksessa vrtojen lsäämnen vakuttaa nversovrheeseen anoastaan nssä tapauksssa, jossa vrran vrhe on suur. Penllä vrhellä ta monlla käytetyllä vrtamttaukslla nversovrhe on tetyllä vakotasolla, joka on merkttäväst suuremp kun okesn oletuksn perustuvalla keskarvomenetelmällä ta monvrtamenetelmällä. Tlanne selkytyy, kun nversovrheen sjasta kesktytään tarkastelemaan jotan soveltuvaa jakauman tunnuslukua, esmerkks alemman hupun lukumääräptosuutta, joka on prretty kaklle kolmelle tapaukselle kuvaan 4-8. Näyttää sltä, että keskarvo- ja monvrtamenetelmät srtävät vrtaa lsättäessä lukumääräptosuutta lähemmäks okeaa arvoa. (Vastaavast ne penentävät hukkaskokoa, jollon vrrat pysyvät lkman samona.) Koska kysenen käytös e selvästkään rpu vrtojen keskhajonnasta vaan anoastaan käytetystä vrtojen määrästä, on sen aheuttaja västämättä posterorjakauman P post (θ I) kapenemnen. Tämän vahvstaa se, että muunnettu keskarvomenetelmä, jossa posterorjakauman kapenemsta e tapahdu, e olennasest reago mttaustulosten lkmäärään.

60 60 Kuva 4-8 Jakauman I alemman hupun lukumääräptosuuden käyttäytymnen keskarvomenetelmällä, monvrtamenetelmällä ja muunnetulla keskarvomenetelmällä. 4.4 Kokeellset mttaukset Kun smulodulla mttausdatolla ol saatu akaseks tyydyttävä tuloksa, tutkttn nversoalgortmn kelvollsuutta todellslla mttaukslla. Tätä varten mtattn erlasa kakshuppusa aerosoleja. Aerosolt generotn käyttäen apuna TOPASn kondensaatogeneraattora SLG270 (Peters ja Altmann 993) ja Aerosolfyskan laboratorossa suunnteltua malla. (Kondensaatogeneraattoresta ylesest Chen ja John 200.) Generaattoresta saadut aerosolt sekotettn ja syötettn Elpn ja SMPS:ään, jotka olvat rnnakkan. Mttausjärjestely on estetty kuvassa 4-9. Aerosolen materaalna ol doktyylsebakaatt (DOS), jonka theys on 92 kg/m 3.