Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo"

Transkriptio

1 Luku 5 Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 21. syyskuuta Satunnaismuuttujien summa Satunnaismuuttujien summa S n = X 1 + +X n ja keskiarvo n 1 S n ovat satunnaismuuttujia, joiden avulla mallinnetaan satunnaisotannan havaintojen esiintyvyyksiä, kohinaisten mittausten keskiarvoja sekä talouden tuotto- ja kustannuskertymiä. Silloin kun summattavat ovat stokastisesti riippumattomia ja satunnaismuuttujan X kanssa samoin jakautuneita, voidaan summan S n jakauma määrittää X:n jakaumasta. Yksinkertaisin tilanne on se, missä summattavat ovat {0, 1}-arvoisia. Tällöin summattavan jakauma voidaan esittää käyttämällä tiheysfunktiota { f(x) = (1 p) 1 x p x 1 p, x = 0, = p, x = 1, missä p = P(X = 1). Tämä on Bernoulli-jakauma parametrina p [0, 1]. Tällöin summa S n saa arvon x täsmälleen silloin, kun summattavista x saavat arvon 1 ja loput n x saavat arvon 0. Koska n:stä summattavasta voidaan valita ( ) n x tavalla x arvon 1 saavaa termiä, havaitaan että summan S n jakauma noudattaa tiheysfunktiota ( ) n f(x) = p x (1 p) n x, x = 0, 1,..., n. x Tämä on binomijakauma parametreina n 1 ja p [0, 1]. Stokastisesti riippumattomien ja samoin jakautuneiden {0, 1}-arvoisten satunnaismuuttujien summan jakauma on siis aina binomijakauma. 58

2 Yleisessä tapauksessa, jossa summattavat eivät ole binaariarvoisia, ovat summan jakauman määrittämiseen tarvittavat konvoluutiokaavat ovat yleensä niin monimutkaisia, että summan jakauman lauseketta ei voi kirjoittaa siistissä suljetussa muodossa. Silloin kun summattavien määrä on suuri, voidaan summan jakaumaa kuitenkin arvioida hyvin tarkasti normaali- tai Poisson-jakauman avulla. Tässä luvussa opitaan soveltamaan normaali- ja Poisson-jakaumia käytännön tilanteissa esiintyvien summien ja keskiarvojen analysoimiseen. 5.2 Summan keskihajonta Luvussa 3 esitetty suurten lukujen laki (fakta 3.3) kertoo, että keskiarvo suuresta määrästä riippumattomia X:n tavoin jakautuneita satunnaislukuja (odotusarvo µ, keskihajonta σ) on suurella todennäköisyydellä likimain 1 n n X i µ. i=1 Suurten lukujen laki ei kuitenkaan kerro sitä, miten tarkka kyseinen arvio on, eikä sitä, miten summattavien lukumäärä n ja summattavien keskihajonta σ vaikuttavat approksimaation tarkkuuteen. Approksimaation tarkkuutta voidaan mitata laskemalla summan keskihajonta ( ) ( 1 n n ) SD X i = 1 n n SD X i. i=1 i=1 Tämän auki laskemiseksi tarvitaan laskentakaava summan keskihajonnalle. Tarkastellaan ensiksi kahden muuttujan tapausta seuraavassa esimerkissä. Esimerkki 5.1 (Kahden satunnaismuuttujan summa). Mitä voidaan sanoa summan X + Y keskihajonnasta, kun tunnetaan odotusarvot µ X = 1 ja µ Y = 1 sekä keskihajonnat σ X = 2 ja σ Y = 3? Kovarianssin lineaarisuuden ja symmetrisyyden perusteella Var(X + Y ) = Cov(X + Y, X + Y ) = Cov(X, X) + Cov(Y, X) + Cov(X, Y ) + Cov(Y, Y ) = Var(X) + 2 Cov(X, Y ) + Var(Y ). Ottamalla ylläolevan yhtälön molemmilta puolilta neliöjuuret ja kirjoittamalla oikean puolen kovarianssitermi muodossa Cov(X, Y ) = ρσ X σ Y, missä ρ = Cor(X, Y ) on X:n ja Y :n korrelaatio, saadaan summan keskihajonnalle kaava σ X+Y = ( σ 2 X + 2ρσ X σ Y + σ 2 Y ) 1/2. (5.1) Summan keskihajontaa ei siis voi laskea tuntematta korrelaatiota. Soveltamalla kaavaan (5.1) korrelaation rajoja 1 ρ 1, saadaan summan keskihajonnalle kuitenkin estimaatit σ X σ Y σ X+Y σ X + σ Y, 59

3 jotka kysymyksenasettelun lukuarvoilla vastaavat tapausta 1 σ X+Y 5. Jos X ja Y voidaan olettaa stokastisesti riippumattomiksi, voidaan kaavaan (5.1) sijoittaa ρ = 0, jolloin σ X+Y = ( ) σx 2 + σy 2 1/2, mikä kysymyksenasettelun lukuarvoilla tuottaa σ X+Y Ylläolevassa esimerkissä johdettu summan keskihajonnan lauseke (5.1) yleistyy melko pienellä vaivalla myös kahta useamman satunnaismuuttujan summille. Fakta 5.2. Satunnaismuuttujien X 1,..., X n summan keskihajonta saadaan kaavasta ( ) ( SD X i = σi 2 + ) 1/2, σ i σ j ρ i,j (5.2) i i i missä σ i = SD(X i ) ja ρ i,j = Cor(X i, X j ). j:j i Todistus. Kovarianssin lineaarisuudesta ( ) ( Var X i = Cov X i, ) X j i i j = Cov(X i, X j ) i j = Cov(X i, X i ) + Cov(X i, X j ) i i j:j i = σi 2 + σ i σ j ρ i,j, i i j:j i joten väite seuraa ottamalla ylläolevasta yhtälöstä neliöjuuret. Tärkeä erityistapaus ylläolevasta tuloksesta on tilanne, missä X 1,..., X n ovat korreloimattomia (ρ i,j = 0) ja samoin jakautuneita (σ i = σ), jolloin kaava (5.3) pelkistyy muotoon ( n ) SD X i = σ n. (5.3) i=1 Ylläoleva kaava on yksi stokastiikan tärkeimpiä tuloksia, sillä se kertoo tarkasti, miten riippumattomien ja samoin jakautuneiden satunnaismuuttujien summan keskihajonta käyttäytyy suhteessa summattavien lukumäärään. Erityisen merkillepantavaa on se, että suurilla n:n arvoilla on summan keskihajonta mitättömän pieni suhteessa summan odotusarvoon ( n ) E X i i=1 = µn. 60

4 Esimerkki 5.3 (Noppapeli). Pelataan n kierrosta noppapeliä, jossa yksittäisellä kierroksella voittaa nopan silmäluvun mukaisen määrän euroja. Laske kertyneen tuoton S = X X n odotusarvo ja keskihajonta tapauksissa n = 10, 100, Yhden kierroksen tuoton odotusarvo on µ X = = 3.5 ja keskihajonta on kahden desimaalin tarkkuudella σ X = ( 1 6 (1 µ) (2 µ) ) 1/2 (6 µ)2 = Koska pelikierrokset ovat stokastisesti riippumattomat ja samoin jakautuneet, saadaan kertyneen tuoton odotusarvoksi µ S = µ X n ja keskihajonnaksi σ S = σ X n. Tulokset eri n:n arvoilla ovat alla. n µ S σ S Allaolevassa kuvassa on simuloimalla tuotettuja kertyneen tuoton S n jakaumia. Jokaisessa kuvassa havaitaan, että käytännössä kaikki simuloidut arvot sisältyvät neljän keskihajonnan sisään odotusarvosta. Chebyshevin epäyhtälön (fakta 4.6) mukaan tiedetään, että näin tapahtuu vähintään todennäköisyydellä 15 = 93.75% n = 10 n = 100 n = 1000 Esimerkki 5.4 (Lentoyhtiö). 300 lentolippua myydään lennolle, jossa on 290 matkustajapaikkaa. Arviolta 5% lipun ostaneista jää saapumatta lennolle, toisistaan riippumattomasti. Millä todennäköisyydellä kaikki saapujat mahtuvat lennolle? 61

5 Lennolle saapuvien matkustajien lukumäärä voidaan kirjoittaa satunnaismuuttujien summana T = X X 300, missä { 1, jos lentolipun i ostaja saapuu lennolle, X i = 0, muuten. Indikaattorimuuttujan X i odotusarvo on µ X = = 0.95 ja keskihajonta σ X = ( 0.05 (0 µ X ) (1 µ X ) 2 ) 1/2 = Koska satunnaismuuttujat X 1, X 2,... ovat stokastisesti riippumattomat ja samoin jakautuneet, saadaan saadaan satunnaismuuttujan T odotusarvoksi µ T = µ X 300 = 285 ja keskihajonnaksi σ T = σ X 300 = Kaikki saapujat mahtuvat lennolle silloin, kun N 290. Tämän tapahtuman todennäköisyyttä voidaan Chebyshevin epäyhtälön avulla arvioida muodossa P(T 290) P(T [280, 290]) = P(T = µ T ±1.32σ T ) %. Näin ollen kaikki saapujat mahtuvat lennolle vähintään todennäköisyydellä 42.6%. Tämä alaraja kuulostaa hyvin pessimistiseltä arviolta. Koska T on riippumattomien ja samoin jakautuneiden {0, 1}-arvoisten satunnaismuuttujien summa, tunnetaan sen jakauma itse asiassa tarkasti. Kuten kappaleessa 5.1 todettiin, noudattaa T binomijakaumaa parametreina n = 300 ja p = Tietokoneella voidaan laskea tarkka todennäköisyys P(T 290) = 93.5%. Binomijakaumalle Chebyshevin epäyhtälö antaa siis ylipessimistisiä arvioita 1 Alla satunnaismuuttujan T jakauman tiheysfunktiosta. Tiheysfunktion arvot ovat aidosti positiivisia kaikilla x {0, 1,..., 300}, mutta tähtitieteellisen pieniä kun x 250, joten ne eivät näy kuvassa riippumattomien satunnaismuuttujien summille saadaan tarkempia estimaatteja ns. Chernoffin epäyhtälön avulla 62

6 5.3 Satunnaismuuttujien keskiarvo ja suurten lukujen laki Summan keskihajonnan avulla voidaan todistaa vahvempi versio aiemmasta suurten lukujen laista (fakta 3.3). Summattavien ei tarvitse olla stokastisesti riippumattomia, vaan riittää että ne ovat korreloimattomia. Fakta 5.5. Jos satunnaismuuttujat X 1, X 2,... ovat korreloimattomia, ja kaikilla on sama odotusarvo µ ja keskihajonta σ, niin mielivaltaisen pienellä ɛ > 0, tapahtuman n n 1 X k = µ ± ɛ (5.4) k=1 todennäköisyys lähestyy ykköstä suurilla n:n arvoilla 2. Todistus. Merkitään S n = X X n. Tällöin summan S n odotusarvo on µn ja keskihajonta σ n. Tästä seuraa, että satunnaismuuttujan M n = n 1 S n odotusarvo on µ Mn = µ ja keskihajonta σ Mn = σn 1/2. Kun merkitään k = ɛn1/2, σ voidaan tapahtuma (5.4) lausua muodossa M n = µ Mn ± kσ Mn, ja Chebyshevin epäyhtälön tämän tapahtuman todennäköisyys on vähintään P(M n = µ Mn ± kσ Mn ) 1 1 k 2 = 1 σ2 ɛ 2 n. Väite seuraa, koska ylläolevan epäyhtälön oikea puoli lähestyy ykköstä, kun n kasvaa. 5.4 Summan normaaliapproksimaatio Esimerkissä 5.3 simuloitu sadan nopanheiton summan S = S 100 ja esimerkissä 5.4 simuloitu kolmensadan indikaattorimuuttujan summa T ovat muodoltaan samankaltaiset, kuten allaoleva kuva osoittaa. 2 Tarkemmin ilmaistuna lim n P( n 1 n k=1 X k µ ɛ) = 1. 63

7 S = S 100 (esimerkki 5.3) T (esimerkki 5.4) Jakaumat ovat jopa yllättävän samankaltaiset, sillä noppapelin tuottokertymä S = S 100 ja lennolle saapuvien lukumäärä T liittyvät täysin erilaisiin konteksteihin. Ainoa kyseisiä satunnaismuuttujia yhdistävä tekijä on se, että molemmat voidaan tulkita stokastisesti riippumattomien satunnaismuuttujien summana. Jakaumien muotoa voi tarkemmin vertailla piirtämällä normitettujen satunnaismuuttujien S = S µ S T µ T ja T = σ S σ T jakaumat. Ne on esitetty kuvassa 5.1. Punaisella piirretty jakaumien muotoa tarkasti approksimoiva funktio on f(t) = 1 2π e t2 /2. (5.5) Kyseinen Gaussin kellokäyränä tunnettu funktio on positiivinen ja integroituu ykköseksi, joten se on erään jatkuvan jakauman tiheysfunktio. Tiheysfunktiota (5.5) vastaava jakauma on nimeltään normitettu normaalijakauma. Normitettujen jakaumien samankaltaisuus on universaali matematiikan laki, joka koskee kaikkia stokastisesti riippumattomia satunnaismuuttujien summia. Tämä stokastiikan tärkeä tulos tunnetaan nimellä keskeinen raja-arvolause. Fakta 5.6 (Keskeinen raja-arvolause). Jos summan S n = X 1 + X n termit ovat stokastisesti riippumattomia ja samoin jakautuneita satunnaismuuttujia, joilla on odotusarvo µ X ja keskihajonta 0 < σ X <, niin normitettu summa S n = S n µ Sn σ Sn, missä µ Sn = µ X n ja σ Sn = σ X n, noudattaa suurilla n arvoilla likimain normitettua normaalijakaumaa. Todistus sivuutetaan tässä yhteydessä. 64

8 S (esimerkki 5.3) T (esimerkki 5.4) Kuva 5.1: Normitettujen satunnaismuuttujien S ja T simuloidut jakaumat. 5.5 Normaalijakauma Yleinen normaalijakauma parametreina µ (, ) ja σ (0, ) on yhden muuttujan jatkuva jakauma, jonka tiheysfunktio on f(x) = 1 (x µ)2 e 2σ 2. 2πσ 2 Tiheysfunktiota sopivasti osittain integroimalla voidaan vahvistaa, että µ = xf(x) dx ja σ = ( 1/2 (x µ) 2 f(x) dx), joten parametri µ on normaalijakauman odotusarvo ja parametri σ sen keskihajonta. Normaalijakauman kertymäfunktiota tarkastelemalla havaitaan myös, että jos X on normaalijakautunut parametrein µ X ja σ X, niin tällöin Y = a+bx on normaalijakautunut parametrein µ Y = a + bµ X ja σ Y = b σ X. Tästä seuraa, että normitettu satunnaismuuttuja Z = X µ X σ X (5.6) 65

9 noudattaa normitettua normaalijakaumaa odotusarvona 0 ja keskihajontana 1. Vastaavasti mikä tahansa parametrin µ ja σ normaalijakautunut satunnaismuuttuja voidaan esittää muodossa X = µ + σz, (5.7) missä Z noudattaa normitettua normaalijakaumaa. Normaalijakauman kertymäfunktiota ei voi esittää siistissä suljetussa muodossa, joten siihen liittyvät todennäköisyydet lasketaan kertymäfunktion taulukoiden tai numeeristen ohjelmistojen avulla. Normaalijakauman taulukoissa yleensä raportoidaan vain normitetun normaalijakauman kertymäfunktion arvot, sillä muut normaalijakaumat voidaan palauttaa normitettuun tapaukseen kaavojen (5.6) (5.7) avulla. Esimerkki 5.7 (Älykkyysosamäärä). Yhdeksäsluokkalaisten älykkyysosamäärä noudattaa likimain normaalijakaumaa (µ = 100, σ = 15). Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitun yhdeksäsluokkalaisen älykkyysosamäärä on (a) yli 130? (b) välillä ? 2% 14% 68% 14% 2% σ σ Normitettu satunnaismuuttuja Z = X µ noudattaa normitettua normaalijakaumaa, joten σ ( ) X µ P(X > 130) = P > = P(Z > 2). σ 15 Normitetun normaalijakauman symmetrian ja jatkuvuuden perusteella pätee P(Z > 2) = P(Z < 2) = P(Z 2). Vastaukseksi (a)-kohtaan saadaan normaalijakauman taulukoista P(Z 2) Samaan tapaan ( P(85 X 115) = P 15 = P( 1 Z 1) = P( 1 < Z 1) X µ σ = P(Z 1) P(Z 1), )

10 joten (b)-kohdan vastaukseksi saadaan normaalijakauman taulukoista P(Z 1) P(Z 1) Esimerkki 5.8 (Noppapeli). Arvioi normaalijakauman avulla, millä todennäköisyydellä esimerkin 5.3 noppapelissä 100 pelikierrokselta kertynyt tuotto on (a) välillä EUR? (b) yli 500 EUR? Merkitään kertynyttä tuottoa S 100 = X X 100. Koska yhden kierroksen tuoton odotusarvo ja keskihajonta (yhden desimaalin tarkkuudella) ovat µ X = 3.5 ja σ X = 1.7, ja tuotot ovat stokastisesti riippumattomat, on 100 pelikierroksen tuoton odotusarvo ja keskihajonta µ S100 = = 350 σ S100 = = 17. Kun normitetun tuottokertymän S jakaumaa arvioidaan normitettua normaalijakaumaa noudattavalla satunnaismuuttujalla Z, saadaan tulokseksi 17 ( P(316 S ) = P 2 S ) P( 2 Z 2) = 1 2P(Z 2) 95.4%. ja ( S P(S 100 > 500) = P 17 P(Z > 8.82) = P(Z 8.82) ) > 8.82 Esimerkki 5.9 (Lentoyhtiö). Arvioi normaalijakauman avulla, millä todennäköisyydellä esimerkissä 5.4 kaikki lennolle saapuvat matkustajat mahtuvat lennolle. Esimerkissä 5.4 johdettiin lennolle saapuvien matkustajien lukumäärän T odotusarvoksi µ T = 285 ja keskihajonnaksi σ T = Lennolle saapuvien matkustajien normitettu lukumäärä on satunnaismuuttuja T µ T σ T = T

11 Kun satunnaismuuttujan T 285 jakaumaa arvioidaan normitettua normaalijakaumaa noudattavalla satunnaismuuttujalla Z, havaitaan että kaikki matkus tajat mahtuvat lennolle todennäköisyydellä ( ) T P(T 290) = P ( ) T 285 = P P(Z 1.33) = 90.8%. Hieman tarkemman arvion saa huomaamalla, kokonaislukuarvoiselle satunnaismuuttujalle T pätee P(T 290) = P(T 290.5), jolloin P(T 290) = P(T 290.5) ( ) T = P ( ) T 285 = P P(Z 1.46) = 92.8%. Näin saatu ns. jatkuvuuskorjaus tuottaa hieman tarkemman arvion, sillä tapahtuman tarkka todennäköisyys on binomijakauman mukaan P(T 290) = 93.5%. 5.6 Poisson-approksimaatio Keskeinen raja-arvolause kertoo, että stokastisesti riippumattomien ja samoin jakautuneiden satunnaismuuttujien summa S n = X 1 + X n noudattaa suurilla n:n arvoilla likimain normaalijakaumaa parametrein µ X n ja σ X n, kunhan summattavien keskihajonta σ X on aidosti positiivinen ja äärellinen. Tietyissä tilanteissa tarvitaan arvioita satunnaismuuttujien summalle, jossa σ X on hyvin lähellä nollaa. Tällöin normaaliapproksimaation tarkkuus on heikko. Esimerkki Suositun uutissivuston www-palvelimelle saapuu keskimäärin λ = 2.6 sivupyyntöä sekunnissa. Arvioi todennäköisyys, jolla seuraavan sekunnin aikana palvelimelle saapuu yli 10 sivupyyntöä. Luonnollinen malli sekunnin aikana saapuville sivupyynnöille on satunnaismuuttujien summa S n = n i=1 X i, missä n on uutissivustoa seuraavien käyttäjien lukumäärä ja X i = { 1, jos käyttäjältä i saapuu sivupyyntö, 0, muuten. 68

12 Summattavien indikaattorimuuttujien odotusarvo on µ X = p ja keskihajonta σ X = (p(1 p)) 1/2, missä p = P(X i = 1). Näin ollen saapuvien sivupyyntöjen odotusarvo voidaan kirjoittaa muodossa E(S n ) = np. Parametreja n ja p ei tehtävänannon pohjalta tunneta, mutta tunnetun odotusarvon λ pohjalta voidaan ratkaista p = λ. Kun uutissivustoa seuraavien käyttäjien lukumäärä n on suuri, n on summattavien keskihajonta likimain σ X = (p(1 p)) 1/2 λ 1/2 n 1/2. Koska σ X on hyvin lähellä nollaa, ei normaaliapproksimaation tarkkuudelle ole takeita. Ylläolevan esimerkin tilanteeseen sopiva approksimoiva jakauma on lukujoukon {0, 1, 2,... } diskreetti jakauma tiheysfunktiona f(x) = e λ λx, x = 0, 1, 2,... x! Tämä jakauma on Poisson-jakauma parametrina λ > 0. Jakauma on nimetty ranskalaismatemaatikko Siméon Denis Poissonin ( ) mukaan. Seuraava tulos tunnetaan nimellä pienten lukujen laki. Fakta Jos summan S n = X 1 + X n termit ovat stokastisesti riippumattomia ja samoin jakautuneita {0, 1}-arvoisia satunnaismuuttujia odotusarvona µ X λ/n, niin S n noudattaa suurilla n likimain Poisson-jakaumaa parametrina λ. Todistus. Ylläolevien oletusten vallitessa S n noudattaa binomijakaumaa parametreina n ja p = µ X, joten ( ) n P(S n = x) = p x (1 p) n x. x Kun n on suuri, yllä esiintyvä binomikerroin on likimain ( ) n x = 1 x 1 (n k) = nx x 1 ( 1 k ) x! x! n k=0 k=0 nx x!. Lisäksi kun p λ, pätee px n (1 p) n x ( λ n ( 1 λ n) n x = Yhdistämällä nämä kolme arviota havaitaan, että ) x (, ja kaavan limn 1 + x n n) = e x avulla ( 1 λ ) x ( 1 λ n e n n) λ. P(S n = x) = ( n )p x (1 p) n x nx x x! ( λ n ) x e λ λ λx = e x!. 69

13 Binomijakaumaa parametreina n ja p voidaan siis arvioida kahdella eri jakaumalla: (i) normaalijakauma parametrein µ = np ja σ = (np(1 p)) 1/2, tarkka silloin kun n on suuri ja p ei kovin lähellä nollaa eikä ykköstä (ii) Poisson-jakauma parametrina λ = np, tarkka silloin kun n on suuri ja p lähellä nollaa. Esimerkki Suositun uutissivuston www-palvelimelle saapuu keskimäärin λ = 2.6 sivupyyntöä sekunnissa. Arvioi todennäköisyys, jolla seuraavan sekunnin aikana palvelimelle saapuu yli 10 sivupyyntöä. Saapuvien sivupyyntöjen lukumäärää on luonnollista arvioida binomijakaumalla parametreina n ja p λ. Faktan 5.11 mukaan suurella n kyseinen binomijakauma on likimain Poisson-jakauma parametrina λ. Kysytty todennäköisyys n on siis arviolta P(S n > 10) = 1 P(S n 10) 5.7 Yhteenveto 10 x=0 λ λx e x! Satunnaismuuttujien summan S n = n i=1 X i odotusarvo ja keskihajonta määräytyvät ao. taulukon kaavoista. Summan termit E( i X i) SD( i X i) Yleiset i µ i ( i σ2 i + ) 1/2 i j:j i σ iσ j ρ i,j Korreloimattomat i µ i ( i σ2 i ) 1/2 Korreloimattomat ja samoin jakautuneet µn σ n Jos satunnaismuuttujien summan S n = X 1 + X n termit ovat stokastisesti riippumattomia ja samoin jakautuneita, odotusarvona µ X ja keskihajontana σ X, niin summan odotusarvo on µ Sn = µ X n ja keskihajonta σ Sn = σ X n. Silloin kun σ X on aidosti positiivinen ja äärellinen, noudattaa normitettu summa Sn µ Sn σ Sn suurilla n likimain normitettua normaalijakaumaa, joten jakauman näkökulmasta S n µ Sn + σ Sn Z, 70

14 missä Z noudattaa normitettua normaalijakaumaa. Jos summattavat ovat {0, 1}- arvoisia, on summan tarkka jakauma binomijakauma parametreina n ja p = µ X. Kun p ei ole liian lähellä nollaa tai ykköstä, voidaan kyseistä binomijakaumaa arvioida yo. normaalijakaumaa käyttäen. Pienillä p λ/n arvioilla parempi arvio saadaan Poisson-jakaumasta parametrina λ > 0. 71

15 Hakemisto Bayesin kaava, 14 binomikerroin, 17 bitti, 42 Chebyshevin epäyhtälö, 49 eksponenttijakauma, 24 entropia, 42 ergodinen, 45 erotus, 8 esiintyvyysharha, 14 indikaattorifunktio, 25 jakauma, 20 diskreetti, 22 jatkuva, 22 kertoma, 16 kertymäfunktio, 21 keskihajonta jakauman, 47 satunnaismuuttujan, 47 kombinatoriikka, 15 komplementti, 8 korrelaatio yhteisjakauman, 50 kovarianssi yhteisjakauman, 50 leikkaus, 8 lukumäärä listat, 16 osajoukot, 17 lukumäärä, järjestykset, 16 mitallinen funktio, 33 joukko, 18 momentti, 41 osajoukko, 7 ositus, 7 osituskaava, 13 perusjoukko, 6 pistemassafunktio, 22 pistetodennäköisyysfunktio, 22 Poisson-jakauma, 23 reunajakauma diskreetti, 28 jatkuva, 28 reunatiheysfunktio diskreetti, 28 jatkuva, 28 riippumattomat satunnaismuuttujat, 29 tapahtumat, 11 satunnaismuuttuja, 19 diskreetti, 22 sigma-algebra, 18 suppeneminen stokastinen, 36 suurten lukujen laki, 36 vahva, 45 tapahtuma, 6 poissulkevat, 7 tasajakauma diskreetti, 23 jatkuva, 24 tiheysfunktio, 22 todennäköisyys aksiooma, 9 ehdollinen, 11 frekvenssitulkinta, 38 jakauma, 9 mitta, 9 82

16 monotonisuus, 9 summasääntö, 9 tulosääntö, 11 todennäköisyysfunktio, 22 toteuma, 6 tulojoukko, 8 tyhjä joukko, 8 varianssi jakauman, 47 satunnaismuuttujan, 47 yhdiste, 8 yhteisjakauma, 24 diskreetti, 26 jatkuva, 26 tiheysfunktio, 26 83

17 Kirjallisuutta [JP04] Jean Jacod and Philip Protter. Probability Essentials. Springer, second edition, [Kal02] Olav Kallenberg. Foundations of Modern Probability. Springer, second edition, [Wil91] David Williams. Probability with Martingales. Cambridge University Press,

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

Luku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017

Luku 10. Bayesläiset estimaattorit Bayesläiset piste-estimaatit. Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017 Luku 1 Bayesläiset estimaattorit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 217 1.1 Bayesläiset piste-estimaatit Tarkastellaan datalähdettä, joka tuottaa tiheysfunktion f(x θ) mukaan jakautuneita riippumattomia

Lisätiedot

Keskihajonta ja korrelaatio

Keskihajonta ja korrelaatio Luku 4 Keskihajonta ja korrelaatio Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 19. syyskuuta 2017 4.1 Jakauman varianssi ja keskihajonta Edellisessä luvussa opittiin, että satunnaismuuttujan odotusarvo on X:n jakauman

Lisätiedot

Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt

Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 16. syyskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään

Lisätiedot

Opiskelijanumero Yleisarvio Työläys Hyödyllisyys 12345A K K B U 3 3 3

Opiskelijanumero Yleisarvio Työläys Hyödyllisyys 12345A K K B U 3 3 3 Luku 6 Datajoukkojen jakaumat, tunnusluvut ja kuvaajat Lasse Leskelä Aalto-yliopisto. lokakuuta 207 6. Datajoukko ja datakehikko Tässä monisteessa datajoukko tarkoittaa järjestettyä listaa keskenään samantyyppisiä

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Bayesläiset tilastolliset mallit

Bayesläiset tilastolliset mallit Luku 9 Bayesläiset tilastolliset mallit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 8. lokakuuta 07 9. Priorijakauma ja posteriorijakauma Bayesläisen tilastollisen päättelyn lähtökohtana on päivittää satunnaisilmiöön

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

11.1 Nollahypoteesi, vastahypoteesi ja p-arvo

11.1 Nollahypoteesi, vastahypoteesi ja p-arvo Luku 11 Tilastolliset testit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 4. joulukuuta 2017 11.1 Nollahypoteesi, vastahypoteesi ja p-arvo Aiemmissa luvuissa opittiin määrittämään piste-estimaatteja ja väliestimaatteja

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

11.1 Nollahypoteesi, vastahypoteesi ja poikkeavat havainnot

11.1 Nollahypoteesi, vastahypoteesi ja poikkeavat havainnot Luku 11 Tilastolliset testit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 17. lokakuuta 2017 11.1 Nollahypoteesi, vastahypoteesi ja poikkeavat havainnot Datalähteen tuottamia arvoja mallinnetaan jakaumaa f(x θ) noudattavina

Lisätiedot

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Tilastomatematiikka Kevät 2008 Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on

Lisätiedot

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen

Lisätiedot

Liite B. Suomi englanti-sanasto

Liite B. Suomi englanti-sanasto Liite B Suomi englanti-sanasto Alla tässä monisteessa esiintynyttä sanastoa englanniksi käännettynä. Monet tähän aihepiiriin liittyvät termit eivät kuitenkaan ole täysin vakiintuneita kummassakaan kielessä.

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita

11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita 11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita Tässä luvussa esitellään sellaisia kuuluisia todennäköisyysteorian raja-arvolauseita, joita sovelletaan usein tilastollisessa päättelyssä. Näiden raja-arvolauseiden

Lisätiedot

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

V ar(m n ) = V ar(x i ).

V ar(m n ) = V ar(x i ). Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia

Lisätiedot

Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja

Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja 4B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Tuntitehtävät 4B1 Eksponentiaalisten odotusaikojen toistuva odottaminen. Satunnaisluvun X sanotaan noudattavan Gamma-jakaumaa parametrein k ja λ,

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt

Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt Luku 1 Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 17. marraskuuta 2017 1.1 Todennäköisyyden käsite Todennäköisyys on tapa kuvailla kvantitatiivisesti jonkin tapahtuman uskottavuutta,

Lisätiedot

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista 6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida

Lisätiedot

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit

Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit 4B Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia tunnistamaan, mitkä satunnaishetket ovat valintahetkiä ja oppia laskemaan lukuarvoja ja estimaatteja satunnaisprosessien

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka

3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka 3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä

Lisätiedot

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Frekventistiset vs. bayeslaiset menetelmät Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4. HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen

Lisätiedot

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg 1 Todennäköisyys Satunnaismuuttujat Keskeinen raja-arvolause Aalto-yliopisto. tammikuuta 015 Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. tammikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt

Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt Luku 1 Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 12. syyskuuta 2017 1.1 Todennäköisyyden käsite Todennäköisyys on tapa kuvailla kvantitatiivisesti jonkin tapahtuman uskottavuutta,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat: Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla? 6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 5 (vko 4/003) (Aihe: jatkuvia satunnaismuuttujia ja jakaumia, sekamalli, Laininen luvut 5.1 5.7, 6.1 6.3)

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikot 5 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Tilastollisen merkitsevyyden testaus Osa II Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

, tuottoprosentti r = X 1 X 0

, tuottoprosentti r = X 1 X 0 Ostat osakkeen hintaan ja myyt sen vuoden myöhemmin hintaan X 1. Kokonaistuotto on tällöin R = X 1, tuottoprosentti r = X 1 ja pätee R = 1 + r. Lyhyeksimyymisellä tarkoitetaan, että voit myydä osakkeen

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Bayeslainen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset

Lisätiedot

4. Todennäköisyyslaskennan kertausta

4. Todennäköisyyslaskennan kertausta luento04.ppt S-38.1145 - Liikenneteorian perusteet - Kevät 2006 1 Sisältö eruskäsitteet Diskreetit satunnaismuuttujat Diskreetit jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat jakaumat aikajakaumat

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Satunnaisluvut, satunnaisvektorit ja niiden jakaumat

Satunnaisluvut, satunnaisvektorit ja niiden jakaumat 1A Satunnaisluvut, satunnaisvektorit ja niiden jakaumat Ensimmäisen harjoituksen tavoitteena on kerrata todennäköisyyden peruskäsitteitä, jotka ovat välttämättömiä stokastisten prosessien käsittelyssä.

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 0302P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division Yhteisjakauma Edellä on tarkasteltu yksiulotteista satunnaismuuttujaa. Sovelluksissa joudutaan usein tarkastelemaan samanaikaisesti

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyysjakaumia 8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa

Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Motivointi Kahdella edellisellä luennolla olemme oppineet integrointisääntöjä

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. tammikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Nämä ovat siis minimivaatimukset, enemmänkin saa ja suositellaan

Nämä ovat siis minimivaatimukset, enemmänkin saa ja suositellaan Mitä pitäisi vähintään osata Tässäkäydään läpi asiat jotka olisi hyvä osata Nämä ovat siis minimivaatimukset, enemmänkin saa ja suositellaan osattavan 333 Kurssin sisältö Todennäköisyyden, satunnaismuuttujien

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 11. helmikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Stokastiikka ja tilastollinen ajattelu

Stokastiikka ja tilastollinen ajattelu Stokastiikka ja tilastollinen ajattelu Versio 0.9 Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 208 Sisältö Todennäköisyyden käsite ja laskusäännöt 5. Todennäköisyyden käsite...................... 5.2 Satunnaisilmiön

Lisätiedot

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo

FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan

Lisätiedot

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja

= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja 44 E. VALKEILA 6. Geometrinen Brownin liike 6.1. Brownin liike ja Iton kaava. Tavoitteena on mallintaa osakkeen tuottoa jatkuvassa ajassa. Jos (S t ) t T on osakkeen hintaprosessi, niin tuotolla tarkoitetaan

Lisätiedot