Reuna-Harnack-periaatteesta
|
|
- Ahti Ketonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Reuna-Harnack-periaatteesta Teemu Kontoniemi Matematiikan Pro Gradu-tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan tilastotieteen laitos
2 Sisältö 1 Aihe Johdanto Tavoite Laplace-yhtälöstä harmonisista funktioista 4 3 Aputuloksia 11 4 Päätuloksen todistus Yhden funktion rajoite Huomioita Ristiriidan konstruktio Osamäärän rajoite Hölder-normin arvio
3 1 Aihe 1.1 Johdanto Laplace-yhtälö on yhtälö u = 1 1 u + u + + n n u = 0, x U R n, u : U R Laplace-yhtälö on eräs kaikkein tärkeimmistä osittaisdierentiaaliyhtälöistä. Se tulee esiin monissa sovelluksissa. Tyypillisessä tulkinnassa funktio u on jonkin suureen suuruus tasapainotilassa, jossa u siis pysyy an suhteen vakiona alueen U joka pisteessä. Tällöin minkä tahansa sileän osa-alueen V U reunan läpi tapahtuva nettovirtaus on nolla: F νds = 0, V missä F merkitsee virtauksen suuruutta ν ulospäin suunnattua normaalivektorikenttää. Gaussin-Greenin lauseen mukaan V div F dx = V F νds = 0. Koska V oli mielivaltainen, tästä seuraa koko U:ssa div F = 0. Usein on fysikaalisesti järkevää olettaa virtauksen F suuruuden olevan verrannollinen alkuperäisen suureen u gradienttiin, tosin juuri toiseen suuntaan, eli F = a u (a > 0). Sijoittamalla tämä edelliseen yhtälöön saadaan Laplace-yhtälö: div ( u) = u = Tavoite Tässä tutkielmassa tutkitaan Laplace-yhtälön ei-negatiivisia ratkaisu reunan lähellä. Ratkaisuille annetaan lisäehdoksi tkuvuus reunalla samalla reunan osalla arvoksi nolla. Tällöin pystytään todistamaan niinsanottu reuna-harnackperiaate, joka tarkoittaa, että funktiot lähestyvät nollaa samaa vauhtia pienemmässä reunan osassa. Halutaan todistaa seuraava lause: 3
4 Lause 1.1. Olkoon B + 1 = B 1(0) {x n > 0}. Olkoot u v kaksi ei-negatiivista ratkaisua yhtälölle u = v = 0 B 1 + :ssa. Lisäksi vaaditaan, että u v saavat tkuvasti arvon 0, kun {x n = 0}. Vaaditaan myös, että u v ovat normeerattu siten, että u( 1 e n) = v( 1 e n) = 1. Tällöin on C > 0 α siten, että 0 < α < 1 sup x B + 1/ u(x) v(x) C sup x,y B + 1/ u(x) v(x) u(y) v(y) x y α C. Reuna-Harnack-periaate pätee huomattavasti yleisemmille elliptisille yhtälöille yleisemmissä alueissa, ks. esim. [1], [5]. Laplace-yhtälölle periaate esitettiin v [8]. Periaatetta on hyödynnetty tutkittaessa mm. vapaan reunan tehtäviä [], [7], [4], Brownin liikettä [10] p-harmonisia mitto [3]. Olen muokannut yleisempien yhtälöiden tapauksien todistuksia [5] Laplaceyhtälölle tarvittavaan muotoon. Lisäksi olen yrittänyt selkeyttää todistusta. Tavoite oli, että matematiikan opiskeli voi opintojen loppuvaiheessa ymmärtää tutkielman ilman esitieto. Yleisempi todistus yhtälölle D i a ij D j u = 0, missä funktiot a ij ovat mitallisia rajoitettu, voidaan tehdä esitettävällä tavalla. Tarvitaan kuitenkin esitieto vastaavien yhtälöiden Greenin funktioiden säännöllisyydestä sisä-harnackominaisuudesta. Myös apulauseen 3. todistus on hankalampi. Laplace-yhtälöstä harmonisista funktioista Tästä lähin merkitsee aluetta. Määritellään aluksi harmoninen funktio yhtäpitävät keskiarvo-ominaisuudet. Määritelmä.1. Funktio u C () on harmoninen :ssa, jos u = 0 :ssa. Määritelmä.. Sanotaan, että u C() toteuttaa ensimmäisen keskiarvoperiaatteen, jos u(x) = 1 ω n r n 1 u(y)ds y B r(x) kaikilla B r (x) 4
5 toisen keskiarvoperiaatteen, jos u(x) = n ω n r n u(y)dy B r(x) kaikilla B r (x) missä ω n on yksikköpallon pinnan pinta-ala R n :ssä Huomautus.3. Keskiarvoperiaatteet ovat yhtäpitäviä. Todistus. Jos kirjoitetaan 1. periaate muotoon u(x)r n 1 = 1 u(y)ds y, ω n B r(x) saadaan integroimalla. periaate. Jos kirjoitetaan. periaate muotoon u(x)r n = n u(y)dy, ω n saadaan derivoimalla 1. periaate. B r(x) Harmoniset funktiot toteuttavat keskiarvoperiaatteen. Vastaavasti keskiarvoperiaatteen toteuttavat tkuvat funktiot ovat harmonisia C -funktioita. Siis harmoniset funktiot ovat C -funktioita: Lause.4. Olkoon u C () harmoninen :ssa. Tällöin u toteuttaa keskiarvoperiaatteen :ssa. Todistus. Otetaan mielivaltainen pallo B r (x). Olkoon ρ (0, r) sovelletaan divergenssilausetta palloon B ρ (x). Saadaan u ( ) u(y)dy = ν ds y = ρ n 1 w =1 B ρ(x) B ρ(x) u ρ (x + ρw)ds w = ρ n 1 ρ w =1 Siis harmoniselle funktiolle pätee millä tahansa ρ (0, r) u(x + ρw)ds w = 0. ρ w =1 Integroimalla nollasta r:ään saadaan u(x + rw)ds w = w =1 w =1 u(x + ρw)ds w. u(x)ds w = u(x)ω n eli u(x) = 1 1 u(x + rw)ds w = ω n w =1 ω n r n 1 u(y)ds y. B r(x) Lause.5. Jos u C() toteuttaa keskiarvo-ominaisuuden alueessa, niin u on harmoninen C -funktio :ssa. 5
6 Todistus. Keskiarvoperiaatteesta seuraa, että u on identtinen konvoluutiofunktionsa kanssa (eli myöskin C ) niissä pisteissä, joiden etäisyys :sta on suurempi kuin silotusfunktion säde ε. Pienentämällä ε:ia saadaan C -ominaisuus mielivaltaiseen :n pisteeseen. Lisäksi, lauseen.4 kaavan (*) keskiarvoperiaatteen mukaan udy = r n 1 u(x + rw)ds w = r n 1 B r(x) r w =1 r (ω nu(x)) = 0 mille tahansa B r (x). Tästä seuraa u = 0 alueessa. Seuraus.6. Jos u on harmoninen :ssa, niin u C (). Huomautus.7. (Lokaali keskiarvo-ominaisuus riittää) Keskiarvoperiaatteen todistamiseksi riittää todistaa se jokaiselle pisteelle x kaikilla säteillä r < r x, missä r x riippuu pisteestä x. Todistus. Todistuksesta säteillä r < r x seuraa Laplace-yhtälön toteutuminen pisteessä x. Lokaaleilla todistuksilla saadaan todistettua funktio harmoniseksi, josta seuraa keskiarvo-ominaisuus lauseella.4 Keskiarvo-ominaisuudesta tkuvuudesta seuraa tärkeä ominaisuus, maksimi minimiperiaate. Tällainen funktio voi saavuttaa maksimiarvonsa vain määrittelyalueensa reunalla, paitsi jos funktio on vakio. Tämä pätee siis myös harmonisille funktioille. Lause.8. (Maksimi- minimiperiaate) Jos u C() toteuttaa keskiarvoperiaatteen :ssa, niin u saavuttaa maksimi- minimiarvonsa vain reunalla paitsi siinä tapauksessa, että u on vakiofunktio. Todistus. Todistetaan vain maksimiperiaate. Olkoon Σ = {x ; u(x) = M max u}. Selvästi Σ on suljettu (:n relatiivitopologiassa). Näytetään sitten, että Σ on avoin. Mielivaltaiselle x 0 Σ valitaan B r (x 0 ) jollain r > 0. Keskiarvoperiaatteen nolla M = u(x 0 ) = n ω n r n u(y)dy M n B r(x 0) ω n r n dy = M. B r(x 0) Siis u M pallossa B r (x 0 ). Siis Σ on sekä suljettu että avoin :ssa, eli joko Σ = tai Σ =. Seuraus.9. Harmoniset funktiot toteuttavat maksimi- minimiperiaatteen. Keskiarvoperiaatteella C -ominaisuudella saadaan rajoitettua ei-negatiivisen harmonisen funktion derivaattaa funktion arvolla etäisyydellä alueen reunasta. Lause.10. Jos u C(B R ) on ei-negatiivinen harmoninen funktio B R = B R (x 0 ):ssa, niin Du(x 0 ) n R u(x 0). 6
7 Todistus. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että u C 1 (B R ). Valitaan koordinaattiakselien suunnat uudestaan siten, että koordinaatisto säilyy ortonormaalina x i -akselin positiivinen suunta on sama kuin vektorilla u(x 0 ). (Jos u(x 0 ) = 0, lause on triviaalisti tosi.) Laplace-yhtälö toteutuu funktiolle u myös uudessa koordinaatiossa, koska u toteuttaa edelleen keskiarvoperiaatteen. Koska u C (), myös (D xi u) = D xi u = 0, eli myös D xi u on harmoninen B R :ssä. Siis D xi u toteuttaa keskiarvoperiaatteen. Divergenssilauseen avulla saadaan D xi u(x 0 ) = n ω n R n D xi u(y)dy = B R (x 0) n ω n R n u(y)ν i ds y. B R (x 0) Funktion u ei-negatiivisuudesta edellisestä saadaan Du(x 0 ) = D xi u(x 0 ) n ω n R n u(y)ds y = n R u(x 0). B R (x 0) Laplace-yhtälö on invariantti rotaatioiden suhteen, joten on järkeenkäypää tutkia aluksi radiaalisia ratkaisu. Näin saadaan hyödyllisiä eksplisiittisiä kaavo. Lause.11. Laplace-yhtälön radiaalinen ratkaisu, jolla on singulariteetti a:ssa jolle pätee lisäksi v ds = 1 kaikilla r > 0, r on B r Γ(a, x) = 1 log a x, n = π Γ(a, x) = 1 ω n ( n) a x n, n 3. Todistus. Olkoon v(r) = u(x). Tällöin Laplace-yhtälö saa muodon Tästä ratkaisemalla saadaan u = v (r) + n 1 v (r) = 0. r v(r) = c 1 + c log r, n = v(r) = c 3 + c 4 r n, n 3. Normeerausehto huomioiden päädytään lauseen vakioihin. Tarkemmat yksityiskohdat [6], s. 1-. Todistetaan sitten oleellinen integroimistulos, Greenin identiteetti. Lause.1. Olkoon rajoitettu alue R n :ssä u C 1 () C (). Tällöin jokaiselle a pätee u(a) = Γ(a, x) u(x)dx (Γ(a, x) u (x) u(x) Γ (a, x))ds x. n x n x 7
8 Todistus. [11], s. 10. Greenin integrointikaavalla u vdx v udx = u v ν ds x v u ν ds x U saadaan alueessa B r (a) pienellä r (Γ u u Γ)dx = (Γ u ν u Γ ν )ds x B r(a) U U B r(a) (Γ u ν u Γ ν )ds x Huomataan, että Γ = 0 alueessa B r (a). Siten saadaan Γ udx = (Γ u ν u Γ ν )ds x lim (Γ r 0 B u r(a) ν u Γ ν )ds x Tarkastellaan tapausta n 3. Tapaus n = menee samoin. Γ:n määritelmästä suoraan saadaan Γ u ν ds 1 x = r n u ( n)ω n ν ds x r n sup u 0 B r(a) B r(a) B r(a) B r(a) kun r 0. Niinikään Γ:n määritelmästä saadaan u Γ ν ds 1 x = ω n r n 1 kun r 0. B r(a) uds x u(a) Seuraavaksi määritellään Greenin funktio. Greenin funktio on eräänlainen perusratkaisu annetussa alueessa. Valitaan jokaista x kohti Φ(x, ) C 1 () C () s.e. { y Φ(x, y) = 0 y Φ(x, y) = Γ(x, y) y Merkitään G(x, y) = Γ(x, y)+φ(x, y). G(x, y) on Greenin funktio. Greenin funktio on olemassa kaikissa säännöllisissä alueissa, eli alueissa, joissa Dirichlet'n ongelmalle on ratkaisu. Se on x-keskisen perusratkaisun harmonisella lisäysfunktiolla korttu versio, joka on nollaa määrittelyalueen reunalla. Greenin funktio on yksikäsitteinen, koska kahden Greenin funktion erotus on harmoninen nollaa määrittelyalueen reunalla. Lause.13. Greenin funktio G(x, y) on symmetrinen joukossa eli G(x, y) = G(y, x), kun x y. Todistus. [11], s. 1. Lause.14. Jokaiselle x, y, x y pätee 0 > G(x, y) > Γ(x, y), n 3 0 > G(x, y) > Γ(x, y) 1 log diam(), n =. π 8
9 Todistus. [11], s. 13. Greenin funktio pallossa on eräs keino johtaa Harnackin epäyhtälö, joka rajoittaa harmonisen funktion arvojen vaihtelua. Lause.15. (Harnackin epäyhtälön eksplisiittinen muoto) Olkoon u harmoninen pallossa B R (x 0 ) u 0. Tällöin R ( R r R + r )n R + r u(x R 0) u(x) ( R + r R r )n R r u(x 0) missä r = x x 0 < R. Todistus. Poisson'n integraalikaavalla, ks. [11], s. 16 [9], s Harnackin epäyhtälö saadaan siistimpään muotoon helposti. Lause.16. Olkoon v ei-negatiivinen ratkaisu yhtälöön v = 0 pallossa B a (0). Tällöin, kun 0 < r < 1 : sup B ar(0) u (1 r) n inf u B ar(0) Todistus. Lauseen.15 mukaan a a ar a a + ar ( )n sup u(x) ( )n inf u(x), a + ar a + ar a ar a ar josta puolittain kamalla saadaan sup u(x) ( 1 + r 1 r )n inf u(x) (1 r) n inf u(x). Viimeisessä vaiheessa on käytetty epäyhtälöä 1 + r (1 + r)(1 r) = 1 r (1 r)(1 r) = 1 r (1 r) 1 (1 r) = (1 r). Harmonisille funktioille saadaan mielenkiintoisia tuloksia myös tutkimalla sopivien funktioiden L -norme. Caccioppolin epäyhtälöllä saadaan ns. energiaestimaatte, joilla harmonisen funktion gradientin L -normia voi rajoittaa funktion itsensä L -normilla. Lause.17. (Caccioppolin epäyhtälö) Toteuttakoon u C 1 () yhtälön D i ud i ϕdx = 0 kaikilla ϕ C0(). 1 Tällöin jokaiselle funktiolle η C0() 1 pätee η Du dx 4 Dη u dx. 9
10 Todistus. Valitaan φ, jolla testataan yhtälöä. Olkoon ϕ = η u. Tällöin saadaan 0 = DuDϕdx = uηdudηdx + Du η dx, mistä seuraa η Du dx = Hölderin epäyhtälöllä saadaan η Du dx uηdudηdx Du Dη u ηdx. η u Dη Du dx Dη u dx η Du dx. Tulos saadaan korottamalla puolittain toiseen kamalla. Huomautus.18. Harmoniset funktiot toteuttavat lauseen ehdon. Osittaisintegroimalla saadaan D i ud i ϕdx = uϕdx + DuϕdS x = = 0. Seuraavaksi näytetaan esimerkki energiaestimaatista. Lause.19. Olkoon u kuten lauseessa.17 olkoon = B 1. Tällöin mille tahansa 0 r < R 1 pätee Du C dx B r (R r) u dx B r Todistus. Valitaan η siten, että η 1 B r :ssä, η 0 B R :n ulkopuolella Dη (R r) 1. Tällainen η voidaan konstruoida konvoluutiona, kun alkuperäiselle funktiolle f pätee f 1 alueessa B r+ 1 5 (R r) f 0 alueen B R 1 10 (R r) ulkopuolella f( x ) = 10 7 (R 1 10 x ) alueessa B R 1 10 (R r) B r+ 1 5 (R r) silotusfunktion säteelle ε pätee ε < Määritellään Hölder-tkuvuus, C α -normi C α -avaruus, jotta reuna-harnackperiaate on helpompi karakterisoida. Määritelmä.0. Olkoon U avoin joukko. Jos u : U R toteuttaa kaikilla x, y U u(x) u(y) C x y α jollakin 0 < α < 1, niin sanotaan, että u on Hölder-tkuva eksponentilla α. Eksponenttia α vastaava Hölder-avaruus C α (U) on niiden funktioiden joukko, joille normi on äärellinen. sup x U u(x) + sup x,y U;x y u(x) u(y) { x y α } 10
11 3 Aputuloksia Harnackin epäyhtälö.16 sitoo funktion arvo pienemmässä pallossa lähelle funktion arvoa pallojen keskipisteessä. Todistetaan kaksi apulausetta, jotka vastaavilla palloilla rajoittavat ei-negatiivisen, puolittaisen keskiarvo-ominaisuuden toteuttavan funktion heilahtelua eri tavalla kuin Harnackin epäyhtälö. Näiden lauseiden mukaan funktio ei voi päästä mielivaltaisen lähelle maksimiaan pienemmässä pallossa, jos funktio on nollaa positiivimittaisessa joukossa. Tämän jälkeen on kehitetty päätuloksen todistamiseen tarvittavat työkalut. Lause 3.1. Jos u C(B 1 ) toteuttaa puolittaisen keskiarvo-ominaisuuden eli u(x) n ω n r n u(y)dy kaikilla B r (x) B 1 a) 0 u 1 b) {u = 0} = µ > 0 B r(x) niin on olemassa vakio λ = λ(µ) < 1, jolle sup B 1 u λ(µ) < 1. Todistus. Todistetaan lause tasossa. Todistus menee samoin yleisessä tapauksessa. Jo puolittaisesta keskiarvo-ominaisuudesta seuraa maksimiperiaate samalla todistuksella kuin lauseessa.8 (minimiperiaate ei seuraa). Jatkuvuudesta maksimiperiaatteesta seuraa sup B 1 u = max B 1 u. Olkoon a pallon B 1 reunan piste, jossa u saavuttaa maksimiarvonsa pallossa B 1. Puolittainen keskiarvoperiaate tarkoittaa tässä tapauksessa, kun 0 u 1, että jos u(a) on lähellä yhtä, niin vain mitaltaan pienessä pallon B 1 (a) osajoukossa funktio u voi olla kovin paljon pienempää kuin yksi. Oletetaan, että alueessa B r (0) B 1 (a), r < 1 funktiolle u pätee sup u = 1 µ 9. Arvioidaan alueen mittaa alhaaltapäin neljännessektorilla: B r (0) B 1 (a) > π 4 r. Arvioidaan funktion u arvoa lopussa alueessa B 1 (a) B r(0) ylhäältä päin yhdellä: u B 1 (a) B r(0) 1 11
12 Tällöin puolittainen keskiarvoperiaate antaa u(a):lle ylära-arvion: josta saadaan π 4 u(a) (π(1 ) π 4 r ) 1 + π 4 r (1 µ 9 ) = π(1 ) π 4 r µ 9. r 1 u(a) µ. 9 Siis kun u(a) tiedetään, edellinen rivi antaa yläran r:n arvoille, joilla pätee u B 1 (a) B r(0) 1 µ 9. Oletetaan sitten, että on piste c, jolle pätee c r u(c) 1 µ 9. Puolittaisella keskiarvo-ominaisuudella voidaan pallossa B 1 r (c) arvioida 0 {x B 1 r (c) : u(x) = 0} + 1 {x B 1 r (c) : u(x) > 0} π(1 r) 1 µ 9. Toisin sanoen π(1 r) {x B 1 r (c) : u(x) = 0} π(1 r) 1 µ 9. Tästä seuraa {x B 1 r (c) : u(x) = 0} π (1 r) µ 9. Ylijäävän alueen B 1 (0) B 1 r (c) mitta on π 1 π (1 r) Alueen, jossa u = 0, mitalle saadaan nämä yhteenlaskemalla ylära ( µ π r r + µ ) ( 9 (r + r + 1) π r + µ ) 9 (r + r + 1) ( µ π µ 1 u(a) ( 1 µ 9 ( = π (1 u(a)) + + µ 9 µ 9 ( π (1 u(a)) + 4 µ 9 ( π (1 u(a)) + 1 (1 u(a)) + µ 9 µ ) 1 u(a) + 9 µ ) 1 u(a) + 9 µ ) 1 u(a) + µ 9 1 u(a) + 1) ) 1
13 4(1 u(a)) + 48 µ 1 u(a) + 4µ 9. Alkuperäinen väite (λ:n olemassaolo) todistetaan antiteesillä: Jos u(a) voisi olla mielivaltaisen suuri annetulla µ, niin valitsemalla seuraa 1 u(a) < min{ µ 36, µ } = µ µ 8µ 9 < µ, mikä on ristiriita. Saadaan siis λ:lle arvio λ(µ) < 1 µ Lause 3.. (Oskillaatiolemma) Olkoon v ratkaisu yhtälöön v = 0 B 1 + :ssa a) 0 v 1 b) v = 0 B 1 :ssa c) v on tkuva B 1 :ssa eli nollaa, kun x n = 0. Tällöin Todistus. 1. Heistetaan harmoniseksi sup v λ < 1. B 1/ Muodostetaan pallossa B 1 harmoninen funktio v(x) määrittelemällä v(x) = v(x) B 1 + :ssa v(x 1, x,..., x n ) = v(x 1, x,..., x n ) B1 :ssa. Laajennettu funktio v on selvästi harmoninen kummassakin puolipallossa. Keskiarvoperiaate toimii myös hypertasolla x n = 0, joten keskiarvoperiaate toimii lokaalisti koko B 1 :ssa funktio on harmoninen.. Puolittainen keskiarvo-ominaisuus harmonisten maksimille Huomataan, että harmonisten funktioiden maksimifunktiolla on puolittainen keskiarvo-ominaisuus eli jos f = max u 1, u,..., u n, missä u i ovat harmonisia, niin f(x) n ω n r n f(y)dy. B r(x) Selvästikin B r (x):ssä f u i, missä u i on jokin niistä harmonisista funktioista, joille u i (x) = f(x). Siispä f(x) = u i (x) = n ω n r n u i (y)dy n B r(x) ω n r n f(y)dy B r(x) Koska vakiofunktiot ovat harmonisia, lause seuraa soveltamalla lausetta 3.1 funktioon v = max{v, 0}. 13
14 4 Päätuloksen todistus Todistetaan lause 1.1. Todistus on kolmiosainen: 1. Olkoon u kuten lauseessa 1.1. Todistetaan, että tällöin u B + M, missä M 1/ on u:sta riippumaton vakio.. Osoitetaan, että v u on rajoitettu B+ 1 :ssa aina reunaan x n = 0 asti. 3. Iteroimalla osia 1 todistetaan Hölder-tkuvuus. Todistetaan yksinkertaisuuden vuoksi koko an R :ssa, todistus menee samoin korkeammissa ulottuvuuksissa. 4.1 Yhden funktion rajoite Huomioita a) Jos y 0 {x n = 0}, niin sup Br(y 0) u pienenee polynomisesti, eli jos r < R, niin u C( r R )α sup u. sup B r(y 0) B R (y 0) Jos näet laajennetaan u:ta identtisesti nollana, kun x n < 0, oskillaatiolemma antaa arvolla λ = λ(1/) sup u Br/ λ sup u Br. Siis sup u f( r B r(y 0) R ) sup u, B R (y 0) missä f ( (k+1), k ] = λ k kaikilla k N. Kun näet valitaan C = 1 λ α = ln λ ln( 1 ), f( r R ) C( r R )α kaikilla 0 < r R < 1. b) Huomautus 4.1. Harnack-yhtälöstä.16 saadaan johdettua, kun s 1 4 : sup u s p u( 1 B 34 {x n>s} e n) = s p, missä p = p(n) on vain dimensiosta riippuva vakio. Siis jos u voi saada mielivaltaisen suuren arvon alueessa B + 3, tämän täytyy 4 tapahtua reunan x n = 0 lähellä. 14
15 Todistus. Ketjutetaan alueeseen B 1 + sisältyviä Harnackin epäyhtälön sisempiä 1 s 8 -säteisiä pallo, jotka menevät päällekkäin joita vastaavat ulommat säteiset pallot sisältyvät puolipalloon B 1 + (0). Osoitetaan, että alueen B 3 {x n > 4 s} jokainen piste x on saavutettavissa pisteestä 1 e n viiden pallon ketjulla. Olkoon x v = (x 1v, x v ) mielivaltainen alueen B 3 4 {x n > s} piste. Määritellään piste x a seuraavasti: Jos x v 7 3, niin x a = x v. Jos s < x v < 7 3, niin x a = (x 1v, 7 3 ). Jälkimmäisessä tapauksessa sekä x v että x a kuuluvat palloon B (1 s) 1 8 (x 1 v, 1 8 ). Huomataan myös, että B 1 8 (x 1 v, 1 8 ) B+ 1 (0) Tämän jälkeen pisteiden x a 1 e n väliseltä nalta valitaan pisteet 1 10 x a e n, 3 10 x a e n, 5 10 x a e n, 7 10 x a e n 9 10 x a e n. Nämä pisteet keskipisteinä piirretyt (1 s) 1 8 -säteisistä palloista aina peräkkäiset menevät päällekkäin samankeskiset 1 8 -säteiset pallot sisältyvät puolipalloon B 1 + (0). Peräkkäisten sisempien pallojen leikkaamisen voi todeta arviomalla pisteiden x a 1 e n välisen nan maksimipituudeksi pisteiden ( 3 4, 0) 1 e n etäisyyden kamalla sen viidellä: = 0, < ( )( 8 ) (1 1 s )( 8 ) Siis käyttämällä Harnackin epäyhtälöä useamman kerran peräkkäin vähintään kuudella kerralla saadaan mielivaltaiselle pisteelle x v arvioksi u(x v ) (1 r) 6 n u( 1 e n) = s 1n = s p, mistä supremum-arvio seuraa suoraan. Yleisen dimension tapaus menee samalla tavalla, mikä huomataan projisoimalla tapaus tasoon, johon kuuluvat x n -akseli piste x v. c) Koska u on tkuva reunaan x n = 0 alueessa B + 1 u on C -funktio, saavuttaa u suurimman arvonsa B + 1 :ssa eli sup u = u(x 0 ) = M. B
16 Seuraavassa näytetään, että jos M M 0 tarpeeksi suurella kiinteällä M 0, niin u ei ole rajoitettu B + 3 :ssa, mikä on ristiriita, sillä u on rajoitettu samasta syystä 4 kuin puolipallossa B Ristiriidan konstruktio Seuraavassa y k tarkoittaa pisteen x k projektiota hypertasolle x n = 0. Huomautuksesta 4.1 saadaan alueessa B + 1 Siis kun ε = 1 p saadaan M = u(x 0 ) x 0 y 0 p. d 0 = x 0 y 0 M ε. Siis x 0 on lähellä hypertasoa x n = 0, koska M on suuri. Käytetään sitten oskillaatiolemmaa takaperin: Tiedetään, että Tästä seuraa sup u u(x 0 ) M. B d0 (y 0) sup u = sup u T M. B d0 (y 0) B d1 (y 0 ) missä T = 1 > 1 on oskillaatiolemmalla saatava u:sta riippumaton vakio. λ( 1 ) Harnack-epäyhtälöllä saadaan samalla tavalla kuin d 0 :lle: d 1 = x 1 y 1 (T M) ε Soveltamalla uudelleen oskillaatiolemmaa takaperin, kuten u(x 1 ):lle, saadaan u(x ) = taas Harnack-epäyhtälö antaa sup u T u(x 1 ) T M B d1 (y 1) d = x y (T M) ε. Jatkamalla prosessia induktiivisesti saadaan pistejono {x k }, jolle pätee u(x k ) T k M x k y k (T k M) ε 16
17 x k x k 1 4(T k 1 M) ε. Nyt, jos valitaan M tarpeeksi suureksi, saadaan x k x k 1 mielivaltaisen pieneksi. Valitaan esimerkiksi x k x k , k k jolloin jono pysyy puolipallossa B + 9 konstruktion pallojen koon kanssa ei tule 16 ongelmia. Vaihe 1 on todistettu. (Oskillaatiolemmassa funktion ylära on 1, tässä sovelluskerralla k + 1 funktion u ylära on T k M, joten tarkkaan ottaen täytyy aina soveltaa lemmaa funktioon u/(t k M).) Sama todistus toimisi myös suuremmalla puolipallon säteellä r ] 1, 1[. Harnackepäyhtälön sovellusta pallojen koko täytyisi muuttaa sopivasti. Luonnollisesti M olisi tällöin suurempi. 4. Osamäärän rajoite Halutaan näyttää, että u v on rajoitettu. Koska v( 1 e n) = u( 1 e n) = 1, todistuksen osan 1 perusteella v B + 1 M Harnack-epäyhtälöä ketjuttamalla nähdään, että u 1 M alueessa B + 1 {x n 1 8 }. Osan todistamiseksi riittää seuraavan lauseen todistaminen ( myöhempi käyttö): Lause 4.. Olkoon R n :ssä kuutiot Q (e n ) = {0 < x n <, x j < 1, kun j < n} Q 1 (1 4 e n) = {0 < x n < 1, x j < 1, kun j < n}. 4 Olkoot F 1, F kaksi Q (e n ):n eri tahkoa, ei kumpikaan tahko x n = 0. Olkoon v i funktio, jolle pätee a) v i = 0 Q :ssa b) v i Q = χ Fi Tällöin Q 1 :ssa v 1 Cv. 17
18 Todistus. Oskillaatiolemmasta saadaan laajentamalla funktiota (1 v i ) identtisesti nollana F i :n ei-kuution puolelle 1 v i λ < 1 lähellä reunaa F i, esimerkiksi kuutiossa Q Fi, jonka yksi sivu on reunalla F i reunojen pituudet ovat 1. Siis v i (1 λ) > 0 v i on aidosti positiivista Q :n sisällä, esimerkiksi Q 1 (e n ):ssä. Olkoon G(x, y) Greenin funktio Q :ssa. Kuutio on säännöllinen alue, joten Greenin funktio on olemassa. G(x, e n ) on rajoitettu muuttulle x reunalla Q 1 (e n ), on nollaa Q :ssa siispä alueessa Q (e n ) Q 1 (e n ). G(x, e n ) Cv 1 (x) Näytetään seuraavaksi, että alueessa R 1 = Q 1 ( 1 4 e n) pätee myös v 1 (x) CG(x, e n ). Tätä varten kiinnitetään x:n johonkin pisteeseen alueessa Q 1 ( 1 4 e n). G on harmoninen y:n suhteen vakiolla x eli y G(x, y) = 0 ( G on määritelty, kun x y, erityisesti siis kun y / Q 1 ( 1 4 e n).) Siispä todistuksen osan 1 avulla, x kiinnitettynä, pätee kaikille y alueessa Q (e n ) Q 3 ( e n) G(x, y) CG(x, e n ). Koska G on nollaa reunalla Q (e n ), energiaestimaatti antaa y G(x, y) dy C G dy CG (x, e n ). Q (e n) Q 1( 1 en) Q (e n) Q 34 ( 3 8 en) Estimaatti saadaan valitsemalla η siten, että η 1 alueessa Q (e n ) Q 1 ( 1 e n), η 0 alueessa Q 3 ( e n) η < C alueessa Q 1 ( 1 e n) Q 3 ( e n). Nyt η:n ei tarvitse olla nollaa reunoilla, sillä G(x, y) on nollaa reunoilla, joten ϕ = η G on myös. Otetaan sitten C -funktio θ, joka on nollaa F 1 :n 1 4 -ympäristössä θ 1 kuutiossa Q 1 ( 1 e n) lopussa osassa Q :ta 0 < θ C. Tällainen funktio löydetään sopivan paloittain lineaarisen funktion konvoluutiona. Esitetään v 1 (x) x:n suhteen alueessa Q 1 ( 1 4 e n) Greenin integrointikaavan v DvDudx = u vdx + U U U ν uds x 18
19 avulla. Käytetään kaavaa aluessa U = Q B r (x) pienellä r. Saadaan U (θv 1 )(y) G(x, y)dy + Q G ν θv 1dS y U T (θv 1 ) y G(x, y)dy = B r(a) G ν θv 1dS y U θ(y)g(x, y) v 1 (y)dy + Q v 1 ν θgds y U B r(a) T (θg) v 1 dy = v 1 ν θgds y Kuution reunalla otettavat integraalit Laplace-termin sisältävät integraalit ovat selvästi nollia. Määritetään pallon reunalla otettavien integraalien raarvot, kun r 0. Lauseen.1 todistuksesta tiedetään vastaavien integraalien ra-arvot, kun G(x, y):n tilalla on Γ(x, y). B r(x) = v 1 (x) B r(x) G ν θv Γ 1dS y = B r(x) ν θv Φ 1dS y + B r(x) ν θv 1dS y θv 1 (x) + 0 v 1 ν θgds v 1 y = B r(x) ν θγds v 1 y + B r(x) ν θφds y = 0. Nyt vähentämällä alkuperäiset kaksi yhtälöä toisistaan antamalla r 0 jää siis v 1 (x) = T θ[v 1 y G G v 1 ]. Funktion θ kantalla pätee v1dy C, v 1 dy C, (yksityiskohdat ks. huomautus alla) G dy CG(x, e n ) G dy CG(x, e n ). 19
20 Siispä Hölderin epäyhtälön nolla v 1 (x) CG(x, e n ). Osa on valmis, koska palatessa u:hun v:hen, voidaan sanoa, että v M( F i v i ) u 1 M v 1 missä F 1 on vastakkainen tahko tahkolle x n = 0. Huomautus 4.3. Todistetaan, että θ:n kantalla v 1 dx < C. Todistuksessa kaikkien integraalien integroimisjoukkona θ:n kanta integrointimuuttuna y: Todistus. Energiaestimaatilla θ v 1 C θ (v 1 ) C Otetaan sitten uusi C -funktio θ, joka on nollaa F 1 :n 1 8 -ympäristössä θ 1 kuutiossa Q 1 ( 1 e n) lopussa osassa Q :ta θ 0 1 θ 1 θ:n kantalla. Voidaan jälleen valita sopiva paloittain lineaarisen funktion silotus. Voidaan suorittaa samat integraalien rajoittuneisuutta koskevat havainnot myös θ :lle saadzan θ v 1 C. y: θ (y) 0 Alkuperäisen θ:n gradientin kantalla (pienemmässä integroimisjoukossa) siis myös θ v 1 C θ > 1, joten v 1 4C. 4.3 Hölder-normin arvio Todistetaan lopuksi Hölder-normin tasainen ylära iteroimalla aiempien vaiheiden tuloksia. Lause 4.4. Olkoon k N, k 4. On olemassa vakiot a k,b k, 1 M a k < b k M, vakio λ < 1 siten, että alueessa B + k (x), k 4, x {{x n = 0} {B + 1/ }} pätee a k u v b k u (b k a k ) λ(b k 1 a k 1 ). Todistus. Induktiotodistus: Lause on voimassa, kun k = 4, sillä osat 1 olisi voitu todistaa isommissakin puolipalloissa valinnat a 4 = 1 M b 4 = M toimivat. 0
21 Millä tahansa k 4, normalisoidaan alue B + (x) alueeksi B + k 1 (0) transformaatiokuvauksella u(y) = u(x + k y) määritellään positiiviset funktiot w 1 (x) = (v a ku)(x) b k a k w (x) = (b ku v)(x) b k a k tutkitaan positiivisia luku w 1 ( 1 e n), w ( 1 e n). Toinen näistä on suurempi kuin 1 u( 1 e n), koska w 1 ( 1 e n) + w ( 1 e n) = u( 1 e n). Olkoon tämä luku w 1 ( 1 e n). Silloin w 1 (x) on ei-negatiivinen harmoninen funktio B 1 + (0):ssa. Lisäksi w 1(x) on nollaa reunalla {x n = 0} w 1 ( 1 e n) u( 1 e n). Siis lauseen 4. nolla alueessa B + 1 (0) w 1 u 1 M. Takaisin normalisoiden puolipallossa B + (k+1) (x) Eli puolipallossa B + (k+1) (x) v a k u (b k a k )u 1 M [a k + 1 M (b k a k )]u v b k. Siis b k+1 = b k a k+1 = a k + 1 M (b k a k ). Lause 4.5. Funktiolla u v on alueessa B+ 1/ jollakin eksponentilla 0 < α < 1 eli tasaisesti rajoitettu Hölder-normi sup x,y B + 1/ u(x) v(x) u(y) v(y) x y α C. Todistus. Lauseesta 4.4 havaitaan, että u v voidaan määritellä reunalla x n = 0 tkuvaksi u log λ v :n Hölder-normi on eksponentilla α = (jolla siis pätee log 1 λ = 1 α ) rajoitettu tasaisesti sellaisilla x, y, joilla ainakin toinen pisteistä x y siitsee puolipallon alareunalla x n = 0. Lauseesta.10 tiedetään u v alueessa B + 1/ {x n > e} tasaisesti rajoitetuiksi vakiolla C(e), kun 0 < e < 1. Tästä v :n alarasta l samassa alueessa (l > 0, Harnack-epäyhtälöä ketjuttamalla) seuraa tasaisesti rajoitettu Lipschitznormi osamäärien derivointikaavalla. Tästä seuraa tasaisesti rajoitettu Höldernormi millä tahansa eksponentilla α (0, 1). 1
22 Hölder-normi saadaan tasaisesti rajoitetuksi alareunan lähellä oleville pistepareille {x, y}, joista kumpikaan piste ei kuitenkaan ole alareunalla, yhdistämällä ylläolevat menetelmät: Olkoon B + (z) pienin puolipallo, jonka osapuolipallo B + (z) sisältää pisteet x y. Merkitään eksponenttia k = 4 + i, missä i siis kuvaa kutistuk- k (k+1) sia puolipallon B + 1 (0) tasaisen reunan x n = 0 jokaiselle pisteelle määritellystä säteisestä puolipallosta pienemmäksi. Tarkastellaan u:n v:n arvo puolipallojen pisteissä e kn = (5+i) e n. Kun i = 0, Harnack-epäyhtälöstä seuraa u(e kn ) L v(e kn ) 1 L. Tällöin Kun i > 0, lauseesta 4.4 seuraa funktiot u(e kn )/v(e kn ) L. u(e kn )/v(e kn ) λ i L. u kn = v kn = u u(e kn ) v v(e kn ) voidaan normalisoida B 1 + :een. Normalisoiduille funktioille u 1 (s) = u kn (z + k s) v 1 (s) = v kn (z + k s) pätevät alueessa B + 1/ {s n > e} samat derivaatta-arviot kuin alkuperäisille u:lle v:lle, joten saadaan tasaisesti rajoitettu Hölder-normi: u1(s) v 1(s) u1(t) v 1(t) s t α C. Takaisin pieneen puolipalloon mentäessä saadaan pisteissä x = z + k s y = z + k t u(x) v(x) = u(e kn) u 1 (s) v(e kn ) v 1 (s) u 1(s) v 1 (s) λi L u(y) v(y) = u(e kn) u 1 (t) v(e kn ) v 1 (t) u 1(t) v 1 (t) λi L x y = k s t Sijoittamalla nämä saatuun Hölder-normin arvioon seuraa pienessä puolipallossa u(x) v(x) u(y) v(y) x y α λi L C = (5+i)α 5 L ( α λ) i = C L ( α λ) i = C L. 1
23 Viitteet [1] Aikawa, Hiroaki; Kilpeläinen, Tero; Shanmugalingam, Nageswari; Zhong, Xiao, Boundary Harnack principle for p-harmonic functions in smooth Euclidean domains. Potential Anal. 6 (007), no. 3, [] Athanasopoulos, I.; Caffarelli, L. A.; Salsa, S., The free boundary in an inverse conductivity problem. J. Reine Angew. Math. 534 (001), 131. [3] Bennewitz, Björn; Lewis, John L., On the dimension of p-harmonic measure. Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 30 (005), no., [4] Blank, Ivan, Sharp results for the regularity and stability of the free boundary in the obstacle problem. Indiana Univ. Math. J. 50 (001), no. 3, [5] Caffarelli, L.; Fabes, E.; Mortola, S.; Salsa, S, Boundary behavior of nonnegative solutions of elliptic operators in divergence form. Indiana Univ. Math. J. 30 (1981), no. 4, [6] Evans, Lawrence C., Partial Dierential Equations. American Mathematical Society, [7] Ferrari, Fausto, Two-phase problems for a class of fully nonlinear elliptic operators. Lipschitz free boundaries are C 1,γ. Amer. J. Math. 18 (006), no. 3, [8] Hunt, Richard A.; Wheeden, Richard L., Positive harmonic functions on Lipschitz domains. Trans. Amer. Math. Soc [9] John, Fritz, Partial Dierential Equations. Springer, 198. [10] Kim, Panki; Song, Renming, Boundary Harnack principle for Brownian motions with measure-valued drifts in bounded Lipschitz domains. Math. Ann. 339 (007), no. 1, [11] Qing Han, Fanghua Lin, Elliptic Partial Dierential Equations. Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University,
MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
Lisätiedot11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä
. Poissonin yhtälö.. Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä u = f kutsutaan Poissonin yhtälöksi ja siihen liittyvvää reuna-arvotehtävää { u = f :ssa, ja
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
Lisätiedotu 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja
1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotPoissonin yhtälö ja Greenin funktio
Poissonin yhtälö ja Greenin funktio Ipa Puustinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 209 Tiivistelmä: Ipa Puustinen, Poissonin yhtälö ja Greenin funktio
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 4
Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo
2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedotu = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Lisätiedot1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ
Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotLUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto
LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
LisätiedotPoistumislause Kandidaatintutkielma
Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä 013618832 26. helmikuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto................................... 2 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa............ 3 3 Esitietoja..................................
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotL p -keskiarvoalueista
L p -keskiarvoalueista Jenni Alamehtä Matematiikan pro gradu Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesäkuu 4 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFOS UNIVESITET UNIVESITY OF HELSINKI TiedekuntaOsasto
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotOletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotReaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista
säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotTiheyspistelauseita. Petteri Salovaara. Pro Gradu tutkielma
Tiheyspistelauseita Petteri Salovaara Pro Gradu tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2006 1 2 Sisältö 1. LUKU: Esitietoja 3 2. LUKU: Mittojen derivointia ja tiheyspistelause
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
LisätiedotDerivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2
MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotRatkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää
Lisätiedot4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali
4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
LisätiedotGaussin lause eli divergenssilause 1
80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotDiskreetti derivaatta
Diskreetti derivaatta LuK-tutkielma Saara Sadinmaa 43571 Matemaattisten tieteiden koulutusohjelma Oulun yliopisto Syksy 017 Sisältö Johdanto 1 Peruskäsitteitä 3 Ominaisuuksia 4 3 Esimerkkejä 8 4 Potenssifunktioita
LisätiedotAlkulukujen harmoninen sarja
Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
LisätiedotVEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotKKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n.
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.139 Optimointioppi Kimmo Berg 7. harjoitus - ratkaisut 1. Oletetaan aluksi, että epäyhtälöt eivät ole aktiivisia p i > 0. Tässä tapauksess KKTehdot
LisätiedotJoukot metrisissä avaruuksissa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Lisätiedotb 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}
Lisätiedotläheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotRatkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
Lisätiedotf(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) jokaisella x, y A ja t [0, 1].
Tässä luvussa näytetään divergenssilause konveksin joukon tapauksessa. Määritelmä 4.5.1. 1. Joukko R m on konveksi, jos kaikilla x, y pisteet tx + (1 t)y jokaisella t [0, 1]. 2. Olkoon R m konveksi. Funktio
Lisätiedotsin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 2 Ratkaisuedotukset 2.1. Tutki funktion g : R 2 R, g(0, 0) = 0, jatkuvuutta. g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, kun (x,
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
Lisätiedot