Catalanin yhtälön ratkaisut pienillä, parittomilla alkulukupotensseilla

Transkriptio

1 Catalanin yhtälön ratkaisut ienillä, arittomilla alkulukuotensseilla Neea Paloärvi Pro gradu -tutkielma Toukokuu 2016 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO

2

3 TURUN YLIOPISTO Matematiikan a tilastotieteen laitos PALOJÄRVI, NEEA: Catalanin yhtälön ratkaisut ienillä, arittomilla alkulukuotensseilla Pro gradu -tutkielma, 55 s. Matematiikka Toukokuu 2016 Catalanin konektuurin mukaan Diofantoksen yhtälön x y = 1, missä, 2, ainoat nollasta eroavat ratkaisut ovat (x, y,, = (±3, 2, 2, 3. Yhtälöä x y = 1 kutsutaan Catalanin yhtälöksi. Konektuuri on yritetty todistaa oikeaksi luvulta lähtien, mutta saatiin loulta todistettua oikeaksi 2000-luvun alussa Preda Mihăilescun todistuksen myötä. Mihăilescun todistus erustuu ymyräkuntien käyttöön a Galois n moduleihin. Tässä tutkielmassa esitetään yksi Catalanin konektuurin ratkaisua helottava tulos. Tutkielmassa esitetään Mihăilescun todistus väitteelle, ettei yhtälöllä x y = 1 ole nollasta eroavia ratkaisua, kun a ovat arittomia alkulukua a vähintään toinen niistä on ienemi kuin 43. Todistus erustuu, Mihăilescun todistusten mukaisesti, ymyräkuntien käyttöön. Tutkielman loussa kerrotaan, miten todistettua autulosta voi käyttää auna Catalanin konektuurin ratkaisemisessa. Asiasanat: Catalanin konektuuri, -adiset luvut, ymyräkunta

4 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Perusteet Kokonaislukuen renkaasta a normista adiset luvut Kunta Q Kunta Q (ζ Catalanin yhtälö, kun min{, } < mod Obstruktioryhmä a lause IV Louksi 52

5 1 Johdanto Vuonna 1844 matemaatikko E. Catalan esitti myöhemmin Catalanin konektuurina tunnetun väittämän. Väittämä koskee Catalanin yhtälöä x y = 1: Olkoot x, y, a kokonaislukua, xy 0 sekä min{, } 2. Tällöin yhtälön x y = 1 kaikki ratkaisut ovat (x, y,, = (±3, 2, 2, 3. Catalanin konektuurin todistaminen osoittautui vaikeaksi a kuluikin yli 150 vuotta ennen kuin se osoitettiin oikeaksi luvulla V.A. Lebesgue [6] todisti, ettei Catalanin yhtälöllä ole ratkaisua, kun = 2 a > luvulla muun muassa E.Z. Chein [3] ratkaisi taauksen = 2. Useat matemaatikot yrittivät myös todistaa Catalanin konektuurin itävän aikkansa, kun min{, } 3. Joitain edistysaskeliakin syntyi. Esimerkiksi Rob Tideman [15] todisti, että Catalanin konektuurin toteuttavia lukunelikoita (x, y,, on vain äärellisen monta. Konektuurin todistamisen auna yritettiin käyttää myös tietokonelaskentaa. Esimerkiksi M. Mignotte [8] todisti, että Catalanin konektuuri itää aikkansa, kun vähintään toinen luvuista tai on ienemi kuin Loulta 2000-luvun alussa Preda Mihăilescun todisti, ettei yhtälöllä x y = 1 ole ratkaisua, kun min{, } 3. Todistus erustuu ymyräkuntiin a Galois n moduleihin, eikä siinä käytetä lainkaan auna tietokonelaskentaa. Mihăilescun todistus koostuu ääiirteittään kolmesta ominaisuudesta lukuihin a liittyen. Näiden avulla saadaan todistettua, ettei Catalanin yhtälöllä ole ratkaisua, kun min{, } 3. Nämä löytyvät lähteistä [9], [10] a [11]. Tässä tutkielmassa esitetään Mihăilescun todistus väitteelle, ettei Catalanin yhtälöllä ole ratkaisua, kun a ovat arittomia alkulukua a vähintään toinen niistä on ienemi kuin 43. Todistus erustuu ymyräkuntiin, äärellisten kuntalaaennusten normeihin a -adisuuteen. Tätä varten luvussa 2 esitetään tarvittavat erusteet ymyräkunnista a -adisuudesta. Luvussa 3 todistetaan tutkielman ääväite. Tutkielman loussa luvussa 4 tehdään yhteenveto todistuksesta a kerrotaan, miten todistettua väittämää voidaan käyttää auna Catalanin konektuurin todistuksessa. 1

6 2 Perusteet Ennen Catalanin yhtälön tarkastelua tutustutaan todistuksessa auna käytettäviin määritelmiin a lauseisiin. Luvussa 2.1 tarkastellaan algebrallisia lukua a luodaan algebrallista ohaa varsinaisten tulosten ymmärtämiseksi. Luvussa 2.2 konstruoidaan -adisten lukuen kunta sekä tutustaan tämän kunnan a sen tietyn laaennuksen ominaisuuksiin. Tässä luvussa symbolilla ζ tarkoitetaan :nnettä rimitiivistä ykkösenuurta, missä on ariton alkuluku. Luonnollisilla luvuilla tarkoitetaan einegatiivisia kokonaislukua. 2.1 Kokonaislukuen renkaasta a normista Tässä luvussa tarkastellaan algebrallisia kokonaislukua a määritellään äärellisille Galois n laaennuksille normin käsite. Luvun alussa määritellään näihin liittyviä käsitteitä a yleisiä ominaisuuksia. Tämän älkeen tarkastellaan algebrallisia kokonaislukua kunnassa Q(ζ. Luvun loussa tutustutaan vielä ääihanteiden normiin. Luku seuraa kiran [14] lähestymistaaa, oskin osa kiran [14] todistuksista on muutettu soivaksi vähemmän kokeneelle lukialle. Näin ollen kaikkia väitteitä esitetä tässä luvussa niin yleisessä muodossa kuin kirassa [14]. Lukian oletetaan tuntevan ne kuntia a renkaita koskevat erustulokset, otka käsitellään Turun ylioiston syventävällä algebran kurssilla. Nämä asiat löytyvät luentomonisteesta [7]. Lisäksi lukian oletetaan hallitsevan matriisilaskennan erusteita. Näihin voi erehtyä esimerkiksi Bernsteinin kiran [1] avulla. Olkoon L/K äärellinen kuntalaaennus a α L/K. Luvun α konugaateilla yli kunnan K tarkoitetaan luvun α minimaaliolynomin nollakohtia yli kunnan K. Merkinnällä char(k tarkoitetaan kunnan K karakteristikaa. Lisäksi renkaan R alkion α generoimasta ihanteessa käytetään merkintää [α]. Tutustutaan seuraavaksi renkaiden aollisuuden määritelmään, algebrallisen kokonaisluvun käsitteeseen a niiden ominaisuuksiin. Algebralliset kokonaisluvut ovat tietynlaisia algebrallisia lukua. Määritelmä 2.1. Olkoot R kommutatiivinen rengas a α, β, γ R. Tällöin merkinnällä α β mod γ tarkoitetaan, että α β = rγ ollain r R. Jos α 0 mod γ renkaassa R, niin voidaan merkitä γ α. Sanotaan, että α on aollinen alkiolla γ renkaassa R. Määritelmä 2.2. Lukua α kutsutaan algebralliseksi kokonaisluvuksi, os f(α = 0 ollain kokonaislukukertoimisella ääolynomilla f(x. 2

7 Lause 2.3. Olkoon K lukukunta a α K. Luku α on algebrallinen kokonaisluku, os a vain os otenssien 1, α, α 2... generoima additiivinen ryhmä on äärellisesti generoitu. Todistus. Oletetaan ensin, että α on algebrallinen kokonaisluku. Tällöin ollain kokonaisluvulla n α n = a n 1 α n 1 a n 2 α n 2... a 0, missä a k Z kaikilla k. Näin ollen luvut 1, α, α 2,..., α n 1 generoivat otenssien 1, α, α 2... generoiman additiivinen ryhmän. Täten otenssin 1, α, α 2... generoima additiivinen ryhmä on äärellisesti generoitu. Oletetaan, että otenssien 1, α, α 2... generoima additiivinen ryhmä on äärellisesti generoitu. Oletetaan, että alkiot v 1, v 2,..., v n muodostavat tämän ryhmän kannan. Pyritään löytämään näiden avulla kokonaislukukertoiminen ääolynomi, oka saa luvulla α arvon nolla. Voidaan kiroittaa αv k = n b k v, missä b k Z kaikilla, k. =1 Saadaan (b 11 αv 1 + b 12 v b 1n v n = 0 b 21 v 1 + (b 22 αv b 2n v n = 0. (1... b n1 v 1 + b n2 v n (b nn αv n = 0 Merkitään nyt b 11 x b 12 b 1n f(x = ( 1 n b 21 b 22 x... b 2n... b n1 b n2 b nn x Yhtälöiden (1 mukaan f(α = 0. Lisäksi selvästi f(x on ääolynomi a f(x Z[x]. Siis α on algebrallinen kokonaisluku. Lause 2.4. Olkoon K lukukunta. Sen algebrallisten kokonaislukuen oukko on rengas. Todistus. Koska K on lukukunta, se on myös rengas. Olkoon O K kunnan K algebrallisten kokonaislukuen oukko. Todistetaan, että O K on rengas tarkistamalla alirengaskriteerin voimassaolo. Koska (x = x 1 on kokonaislukukertoiminen ääolynomi a (1 = 0, niin 1 O K. Siis oukko O K on 3

8 eätyhä. Olkoot α a β oukon O K alkioita. Todistetaan vielä, että α + β a αβ ovat algebrallisia kokonaislukua. Lauseen 2.3 luvut 1, α, α 2,... a 1, β, β 2,... generoivat äärelliset additiiviset ryhmät T α a T β. Oletetaan, että alkiot v 1, v 2,..., v n a w 1, w 2,..., w m muodostavat vastaavasti ryhmien T α a T β kannat. Merkitään lukuen 1, (α+ β, (α+β 2,... a 1, αβ, (αβ 2,... generoimia additiivisia ryhmiä merkinnöillä T α+β a T αβ. Ryhmien T α+β a T αβ alkiot kuuluvat ryhmään T α T β. Lisäksi alkiot v i w, missä kokonaisluvuille i a ätee i [1, n] sekä [1, m], generoivat ryhmän T α T β. Näin ollen ryhmä T α T β on äärellisesti generoitu. Täten myös ryhmät T α+β sekä T αβ ovat äärellisesti generoitua. Lauseen 2.3 mukaan alkiot α + β a αβ ovat algebrallisia kokonaislukua. Alirengaskriteerin noalla O K on rengas. Määritelmä 2.5. Olkoon K lukukunta. Sen algebrallisten kokonaislukuen oukkoa kutsutaan kunnan K kokonaislukuen renkaaksi. Merkitään kunnan K kokonaislukuen rengasta symbolilla O K. Nyt tiedetään, että os komleksiluku α on algebrallinen kokonaisluku, niin myös α n on algebrallinen kokonaisluku kaikilla ositiivisilla kokonaisluvuilla n. Seuraava lause kertoo, että myös luvut α 1 n ovat algebrallisia kokonaislukua. Tämän todistamiseksi hyödynnetään algebrallisen kokonaisluvun määritelmässä esiintyvää olynomia f(x. Lause 2.6. Jos komleksiluku α on algebrallinen kokonaisluku a n ositiivinen kokonaisluku, niin α 1 n on algebrallinen kokonaisluku. Todistus. Koska α on algebrallinen kokonaisluku, niin on olemassa kokonaislukukertoiminen ääolynomi f(x, olle f(x = 0. Olkoon m = deg f(x. Merkitään f(x = m k=0 a kx k, missä luvut a k ovat kokonaislukua a a m = 1. Tällöin olynomi g(x = m k=0 a kx kn on kokonaislukukertoiminen ääolynomi a g(α 1 n = 0. Siis myös α 1 n on algebrallinen kokonaisluku. Siirrytään tarkastelemaan äärellisiä Galois n laaennuksia. Päämääränä on määritellä äärellisille Galois n laaennuksille normin käsite a tutkia, mitä arvoa algebrallisen kokonaisluvun normi voi saada. Määritelmä 2.7. Olkoon L/K äärellinen Galois n laaennus a α L. Tällöin lukua σ Gal(L/K σ(α kutsutaan luvun α normiksi yli laaennuksen L/K. Merkitään N L/K (α = σ Gal(L/K σ(α. Lause 2.8. Olkoot K F L sekä L/K, L/F a F/K äärellisiä Galois n laaennuksia. Tällöin kaikille α L ätee N L/K (α = N F/K (N L/F (α. 4

9 Todistus. Olkoon Gal(F/K = {σ 1, σ 2,..., σ n } a Gal(L/F = {τ 1, τ 2,..., τ m }. Normin määritelmän mukaan N F/K (N L/F (α = Automorfismien ominaisuuksien takia n m σ ( τ i (α = =1 i=1 n m σ ( τ i (α. =1 n =1 i=1 i=1 m σ (τ i (α. (2 Koska σ τ i Gal(L/K kaikilla i,, niin riittää todistaa, että kukin ryhmän Gal(L/K alkio esiintyy tulossa n m σ (τ i (α täsmälleen kerran. =1 i=1 Astelukulauseen mukaan [L : K] = [L : F ][F : K] = mn, oten riittää todistaa, että alkiot σ τ i ovat keskenään erisuuria. Oletetaan, että ätee σ 1 τ i1 = σ 2 τ i2. Koska τ i1 a τ i2 kuvaavat kunnan F alkiot itselleen, niin σ 1 = σ 2. Näin ollen 1 = 2. Tästä seuraa, että τ i1 = τ i2 a edelleen i 1 = i 2. Yhtälössä (2 esiintyvät kaikki ryhmän Gal(L/K alkiot täsmälleen kerran. Siis N L/K (α = N F/K (N L/F (α. Lause 2.9. Olkoon L/K äärellinen Galois n laaennus, n = [L : K] a α L. Lisäksi olkoot α = α 1, α 2,..., α s alkion α konugaatit yli kunnan K. Kun σ Gal(L/K, niin σ(α = α k ollain kokonaisluvulla k [1, s] a kukin α k esiintyy kuvana n s kertaa. Todistus. Tunnetusti σ(α = α k ollain kokonaisluvulla k [1, s], kun σ Gal(L/K. Riittää siis todistaa, että kukin α k esiintyy kuvana n kertaa. s Merkitään H = Gal(L/K(α a G = Gal(L/K. Tällöin H G a [G : H] = [K(α : K] = s. Siis ryhmä G voidaan kiroittaa sivuluokkiensa artitiona G = σ 1 H σ 2 H... σ s H, missä σ k G kaikilla kokonaisluvuilla k [1, s]. Oletetaan nyt, että σ G. Tavoitteena on todistaa, että σ(α = σ k (α os a vain os σ σ k H. Tällöin nimittäin väite on todistettu, sillä okaisessa sivuluokassa σ k H on n alkiota a luvun k eri arvoilla σ s k(α = α i saa eri arvot. Oletetaan ensin, että σ(α = σ k (α a todistetaan, että σ σ k H. Oletuksen noalla (σ 1 k σ(α = α. Siis σ 1 k σ H a edelleen σ σ kh. Oletetaan seuraavaksi, että σ σ k H a todistetaan, että σ(α = σ k (α. Oletuksen mukaan voidaan kiroittaa kuvaus σ muodossa σ k τ, missä τ H. Näin ollen σ(α = (σ k τ(α. Koska τ H, niin τ(α = α. Siis σ(α = σ k (α. Täten väite on todistettu. 5

10 Seuraavan lauseen tarkoituksena on valaista eri taoa laskea normi. Lausetta ystytään käyttämään auna, kun tarkastellaan algebrallisen kokonaisluvun normia. Lause Olkoon L/K äärellinen Galois n laaennus, n = [L : K] a α L. Lisäksi olkoon f(x luvun α minimaaliolynomi yli kunnan K a s = deg f(x. Tällöin N L/K (α = ( 1 n f(0 n s. Todistus. Olkoot α = α 1, α 2,..., α s alkion α konugaatit yli kunnan K. Kun σ Gal(L/K, niin σ(α = α k ollain kokonaisluvulla k [1, s]. Lisäksi lauseen 2.9 mukaan kukin α k esiintyy kuvana n kertaa, oten s σ Gal(L/K σ(α = s α n s k. Koska f(0 = ( 1 s α 1 α 2 α s, niin N L/K (α = ( 1 n f(0 n s. Seuraavassa kahdessa lauseessa todistetaan algebrallisten kokonaislukuen a normin välisiä yhteyksiä. Koska algebrallinen kokonaisluku on määritelty vain lukukunnille a normi äärellisille Galois n laaennuksille, niin tarkastellaan vain äärellisiä Galois n laaennuksia Q(α/Q. Lause Olkoon Q(α/Q äärellinen Galois n laaennus a β O Q(α. Tällöin N Q(α/Q (β on kokonaisluku. Todistus. Todistetaan ensin, että luvun β minimaaliolynomi yli kunnan Q on kokonaislukukertoiminen. Olkoon f(x Z[x] alinta astetta oleva ääolynomi, olle f(β = 0. Tällainen olynomi löytyy, koska β on algebrallinen kokonaisluku. Polynomi f(x on aoton yli renkaan Z. Näin ollen se on myös aoton yli kunnan Q a täten alkion β minimaaliolynomi. Siis luvun β minimaaliolynomi yli kunnan Q on kokonaislukukertoiminen. Lauseen 2.10 mukaan N L/K (β = ( 1 n f(0 n s, missä n = [Q(α : Q] a s = deg f(x. Edellisen kaaleen mukaan f(0 Z a tunnetusti n s Z. Näin ollen N L/K (β Z. Lause Olkoon Q(α/Q äärellinen Galois n laaennus a β O Q(α. Tällöin β on renkaan O Q(α yksikkö täsmälleen silloin, kun N Q(α/Q (β = 1. Todistus. Oletetaan ensin, että β on renkaan O Q(α yksikkö a todistetaan, että sen normin itseisarvo on 1. Tällöin N Q(α/Q (1 = N Q(α/Q (ββ 1. Automorfismien ominaisuuksien mukaan ätee: { N Q(α/Q (1 = 1 N Q(α/Q (ββ 1 = N Q(α/Q (βn Q(α/Q (β 1 6

11 Yhdistämällä edelliset tiedot saadaan yhtälö 1 = N Q(α/Q (βn Q(α/Q (β 1. Koska lauseen 2.11 mukaan normit N Q(α/Q (β a N Q(α/Q (β 1 ovat kokonaislukua, niin kokonaisluvun N Q(α/Q (β on aettava luku 1. Siis N Q(α/Q (β = 1. Oletetaan nyt, että N Q(α/Q (β = 1 a todistetaan, että β on renkaan O Q(α yksikkö. Algebrallisen kokonaisluvun määritelmän mukaan luvulla β on kokonaislukukertoiminen minimaaliolynomi f(x. Lauseen 2.10 mukaan tämän olynomin vakiotermi on ±1. Saadaan β n + a n 1 β n a 1 β ± 1 = 0 (3 oillain kokonaisluvuilla a 1, a 2,..., a n 1. Kerrotaan yhtälö (3 luvulla β n. Saadaan 1 + a n 1 β a 1 β n+1 ± β n = 0. Kerrotaan tarvittaessa edellinen yhtälö luvulla 1, otta saadaan olynomi 1 + a n 1 β a 1 β n+1 ± β n ääolynomiksi. Siis on olemassa kokonaislukukertoiminen ääolynomi g(x, olle g(β 1 = 0. Näin ollen myös β 1 O Q(α eli β on renkaan O Q(α yksikkö. Tarkastellaan seuraavaksi laaennusta Q(ζ /Q. Joukko {1, ζ,, ζ 2 } muodostaa tämän laaennuksen kannan a tätä kantaa käytetään yleensä hyödyksi todistuksissa. Joskus todistukset on kuitenkin helomi esittää kannan {ζ, ζ, 2, ζ } avulla, oten tätä kantaa käytetään osassa todistuksia. Halutaan tarkastella laaennuksen Q(ζ /Q algebrallisia kokonaislukua a näiden kokonaislukuen normea. Jotta tämä on mahdollista, on ensin todistettava, että Q(ζ /Q on Galois n laaennus. Lause Laaennus Q(ζ /Q on Galois n laaennus. k=0 xk = Todistus. Koska char(q = 0, niin laaennus Q(ζ /Q on searoituva. Tarkastellaan olynomin φ(x = (x ζ k haoamiskuntaa yli rationaalilukuen kunnan. Merkitään tätä kuntaa symbolilla K φ. Koska ζ k Q(ζ kaikilla kokonaisluvuilla k, niin K φ Q(ζ. Toisaalta on oltava ζ K φ eli Q(ζ K φ. Täten Q(ζ on olynomin φ(x haoamiskunta yli rationaalilukuen kunnan a laaennus Q(ζ /Q normaali. Siis laaennus Q(ζ /Q on Galois n laaennus Tästä lähtien merkitään G = Gal(Q(ζ /Q. Tarkastellaan seuraavaksi, millainen ryhmä G on. Lause G = {σ 1, σ 2,, σ }, missä σ k (ζ = ζ k 7

12 Todistus. Lauseen 2.13 mukaan Q(ζ /Q on Galois n laaennus a tunnetusti laaennuksen kertaluku on 1. Alkion ζ konugaatit ovat luvut ζ k, missä kokonaisluku k [1, 1]. Täten G = {σ 1, σ 2,, σ }, missä σ k (ζ = ζ k. Koska Q(ζ on lukukunta, on sille olemassa kokonaislukuen rengas. Tämä rengas löydetään seuraavan todistuksen avulla. Lause Kunnan Q(ζ kokonaislukuen rengas on Z[ζ ]. Todistus. Koska 1, ζ O Q(ζ a lauseen 2.4 mukaan O Q(ζ on rengas, niin Z[ζ ] O Q(ζ. Näin ollen riittää todistaa, että O Q(ζ Z[ζ ]. Määritellään tätä varten aukuvaus S. Olkoon α Q(ζ mielivaltainen a α = α 1, α 2,, α s sen konugaatit yli kunnan Q. Tällöin määritellään S(α = s α k. Havaitaan, että luku S(α voidaan laskea luvun α minimaaliolynomin yli kunnan Q avulla. Olkoon f(x luvun α minimaaliolynomi yli kunnan Q a sen toiseksi korkeimman termin kerroin a. Tällöin S(α = ( 1 deg f(x a. Näin ollen os α O Q(ζ, niin lauseen 2.11 todistuksen mukaan S(α Z. Olkoon α O Q(ζ mielivaltainen. Tällöin voidaan kiroittaa α = 2 k=0 a kζ k, missä a k Q kaikilla kokonaisluvuilla k [0, 2]. Pyritään tämän esityksen avulla löytämään luvulle α esitys, ossa okaiselle luvulle a k ätee a k Z. Tällöin nimittäin ätee α Z[ζ ]. Lasketaan tätä varten ensin luvut S(ζ k, S(ζ α a S(αζ kaikilla kokonaisluvuilla [0, 2]. Luvun ζ minimaaliolynomista yli kunnan Q nähdään, että S(ζ k = =1 ζ = 1, kun k [1, 1] a S(1 = 1. Tämän avulla saadaan laskettua S(αζ. Koska αζ = 2 k=0 a kζ k a S( 2 k=0 a kζ k = 2 k=0 a ks(ζ k, niin S(αζ = ( 1a + 2 k=0,k Edellä todistetun noalla S(ζ k = 1, oten 2 k=0,k a k S(ζ k Siis yhtälöiden (4 a (5 noalla S(αζ 2 k=0 a k. Koska αζ ollain kokonaislu- S(αζ vulla b. = 2 k=0,k, αζ O Q(ζ, niin S(αζ S(αζ = a Z. Voidaan kiroittaa a = b a k S(ζ k. (4 a k. (5 = a 2 k=0 a k. Lisäksi S(ζ α =, S(αζ Z. Näin ollen Edellisessä kaaleessa tehtyen huomioiden mukaan α = 2 k=0 b kζ k. Osoitetaan, että b k kokonaislukuen renkaassa kaikilla kokonaisluvuilla k. 8

13 Tällöin nimittäin olisi löydetty luvulle α esitys, ossa rationaaliluvut a k olisivat kokonaislukua. Olkoon π = 1 ζ. Tällöin ζ k = ( π + 1 k. Saadaan 2 α = c k π k, (6 k=0 missä c k Z kaikilla k. Todistetaan seuraavaksi, että π akaa yhtälön (6 vasemman uolen renkaassa O Q(ζ. Tehdään tämä todistamalla, että π akaa luvun renkaassa O Q(ζ. Merkitään Nyt φ(x = x k = (x ζ k. (7 k=0 (1 ζ k = φ(1 =. Koska 1 ζ k Z[ζ ] kaikilla kokonaisluvuilla k a todistuksen alussa on todettu, että Z[ζ ] O Q(ζ, niin π akaa luvun renkaassa O Q(ζ. Lisäksi α O Q(ζ, oten π akaa yhtälön (6 vasemman uolen renkaassa O Q(ζ Koska π akaa yhtälön (6 vasemman uolen, niin se akaa myös yhtälön (6 oikean uolen. Täten π akaa luvun c 0 renkaassa O Q(ζ. Voidaan kiroittaa c 0 = πγ 0, missä γ 0 O Q(ζ. Koska c 0 on kokonaisluku a [Q(ζ : Q] = 1, niin N Q(ζ/Q(c 0 = c 0. Toisaalta N Q(ζ/Q(c 0 = N Q(ζ/Q(πγ 0. Automorfismien ominaisuuksien vuoksi N Q(ζ/Q(πγ 0 = N Q(ζ/Q(πN Q(ζ/Q(γ 0. Lasketaan luvun π normi. Normin määritelmän mukaan N Q(ζ/Q(π = σ G σ(1 ζ. Lauseen 2.14 noalla σ G σ(1 ζ = (1 ζ k. Olkoon merkintä φ kuten kaavassa 7. Nyt (1 ζ k = φ(1 =. Siis c 0 = N Q(ζ/Q(γ 0. Lauseen 2.11 mukaan N Q(ζ/Q(γ 0 Z. Näin ollen c 0 kokonaislukuen renkaassa. Vastaavalla tavalla voidaan äätellä, että c k kaikilla kokonaisluvuilla c k k. Siis kaikilla kokonaisluvuilla k [0, 2] voidaan kiroittaa c k = d k, missä d k Z. Yhtälön (6 a edellisen kaaleen noalla α = 2 k=0 d kπ k. Suoraan laskemalla nähdään, että π k = k ( k =0 ( ζ ( 1 k. Täten α = 2 k=0 l kζ k, missä l k Z kaikilla kokonaisluvuilla k [0, 2]. Siis α Z[ζ ]. Näin ollen O Q(ζ Z[ζ ]. Saadaan O Q(ζ = Z[ζ ]. 9

14 Tästä lähtien, os käsitellään rengasta Z[ζ ] ihanteena, tarkoitetaan sitä nimenomaan kunnan Q(ζ kokonaislukuen renkaana. Seuraavassa esimerkissä tutustutaan osaan renkaan Z[ζ ] yksiköistä. Esimerkki Olkoon ariton alkuluku a s mikä tahansa kokonaisluku väliltä [1, 1]. Osoitetaan, että 1 + ζ s on renkaan Z[ζ ] yksikkö. Olkoon σ G mielivaltainen. Lauseen 2.14 mukaan σ(1 + ζ s = 1 + ζ ks ollain kokonaisluvulla k [1, 1]. Saadaan N Q(ζ/Q(1 + ζ s = (1 + ζ ks. Kun k käy läi suistetun äännössysteemin modulo, myös ks käy läi suistetun äännössysteemin modulo. Siis voidaan kiroittaa (1 + ζ ks = (1 + ζ k. Tämä voidaan edelleen kiroittaa muotoon (1 + ζ k = (1 ( ζ k. Koska luvut ζ, ζ, 2..., ζ ovat yhtälön x +1 x+1 x +1 (x ( ζ k. Siis x+1 = (1 ( ζ k = = 1. Lauseen 2.12 mukaan luku 1 + ζ s on renkaan Z[ζ ] yksikkö. = 0 kaikki ratkaisut, niin Huomataan, että edellisen esimerkin noalla 1 + ζ s on renkaan Z[ζ ] yksikkö, kun kokonaisluvulle s ätee s 0 mod. Nimittäin okaista tällaista kokonaislukua s kohti löytyy kokonaisluku m, olle s m mod a m [1, 1]. Tällöin 1 + ζ s = 1 + ζ m. Edellisen esimerkin mukaan 1 + ζ m on renkaan Z[ζ ] yksikkö. Huomionarvoista on myös, ettei 1 + ζ s ole renkaan Z[ζ ] yksikkö, kun s 0 mod. Tällöin nimittäin 1 + ζ s = 2, eikä luku 2 ole renkaan Z[ζ ] yksikkö. Tämä seuraa esimerkiksi lauseista 2.12 a Seuraavan lauseen todistus on eräisin Senceriltä vuodelta 1997 a se on esitetty lähteessä [13]. Todistuksessa käytetään auna matriisilaskentaa a todistus valottaa renkaan Z[ζ ] alkioiden ominaisuuksia. Lause Olkoon α renkaan Z[ζ ] yksikkö a σ(α = 1 kaikilla σ G. Tällöin α on ykkösenuuri. Todistus. Olkoon R rengas. Symbolilla M n (R tarkoitetaan n n matriisien oukkoa, ossa okaisen oukon matriisin kaikki alkiot kuuluvat renkaaseen R. 10

15 Olkoon f(x = x s + s 1 k=0 a kx k alkion α minimaaliolynomi yli kunnan Q. Lauseen 2.11 todistuksen alkuosan mukaan f(x Z[x]. Tarkastellaan nyt olynomin f(x seuralaismatriisia A = M s (Z a 0 a 1 a 2 a s 2 a s 1 Matriisin A ominaisarvot ovat luvun α konugaatit α = α 1, α 2,..., α s Merkitään α α D =.... M s(c α s Merkinnällä M tarkoitetaan, että okaisesta matriisin M alkioista otetaan itseisarvo. Tarkastellaan matriisia D. Koska lauseen 2.13 mukaan Q(ζ /Q on äärellinen Galois n laaennus, niin kaikilla σ G ätee σ(α = α k ollain kokonaisluvulla k [1, s]. Lisäksi lauseen 2.9 mukaan okainen α k esiintyy kuvana kertaa. Oletusten mukaan α s k = 1 kaikilla kokonaisluvuilla k [1, s]. Siis D = I. Havaitaan myös, että MD = M D kaikilla matriiseilla M M s (C, koska D on diagonaalimatriisi. Matriisin D valinnan takia on olemassa kääntyvä P M s (C, olle A = P DP 1. Edellisten havaintoen mukaan kaikilla luonnollisilla luvuilla m ätee P D m = P. Koska lisäksi P D m P 1 P D m P 1, niin A m P P 1. Siis A on raoitettu. Koska A M s (Z, niin A m voi saada vain äärellisen monta eri arvoa. Siis oillain luvuilla m, r Z + ätee A m+r = A m. Tällöin D m+r = D m eli α m+r = α m. Koska α on renkaan Z[ζ ] yksikkö, niin α r = 1. Siis α on ykkösenuuri. Siirrytään tarkastelemaan ihanteita. Useimmissa lauseissa raoitutaan tarkastelemaan äärellisiä Galois n laaennuksia a ääihanteita, koska yleisemää teoriaa ei tarvita tässä tutkielmassa. Määritelmä Olkoon R kommutatiivinen rengas. Sen ihanne P R on alkuihanne os a vain os aina, kun α, β R a αβ P, niin α P tai β P. Määritelmä Olkoon K kunnan Q äärellinen Galois n laaennus a α O K. Tällöin määritellään alkion α generoiman ihanteen normiksi N([α] = N K/Q (α. 11

16 On selvää, että edellä määritelty normi on ihanteen generaattorin valinnasta riiumaton. Jos nimittäin renkaan O K ääihanne A on A = [α] = [β], niin α β a β α renkaassa O K. Täten α = uβ, missä u on renkaan O K yksikkö. Koska K on kunnan Q äärellinen laaennus a char(q = 0, niin laaennus K/Q on yksinkertainen. Täten lauseen 2.12 mukaan N K/Q (u = 1. Siis N K/Q (α = N K/Q (β. Lause Olkoon K kunnan Q äärellinen Galois n laaennus a A renkaan O K ääihanne. Tällöin N(A A. Todistus. Koska A on ääihanne, voidaan kiroittaa A = [α] ollain α O K. Olkoot α = α 1, α 2,, α s luvun α konugaatit. Lisäksi olkoon f(x kokonaislukukertoiminen ääolynomi, olle f(α = 0. Olkoon g(x luvun α minimaaliolynomi yli kunnan Q. Koska g(x akaa olynomin f(x, niin myös luvun α konugaatit ovat algebrallisia kokonaislukua. Koska K/Q on äärellinen Galois n laaennus, niin Gal(K/Q koostuu kuvauksista σ, oille σ(α = α k ollain kokonaisluvulla k [1, s]. Lisäksi lauseen 2.9 okainen α k esiintyy kuvana yhtä monta kertaa. Näin ollen N(A = n N K/Q (α voidaan kiroittaa muodossa N(A = α [K:Q] s α [K:Q] s k. Koska O K on lauseen 2.4 noalla rengas, niin s k=2 α [K:Q] s k Lauseesta 2.11 seuraa, että N(A Z, oten α [K:Q] s vaille luku α [K:Q] s n k=2 α [K:Q] s k. Täten N(A A. k=2 O K. Siis α [K:Q] s n k=2 n k=2 α [K:Q] s k A. α [K:Q] s k on etumerkkiä Seuraavassa esimerkissä näytetään, miten ääihanteen normi voidaan laskea. Lisäksi esitetään yksi taa todistaa, että ihanne on alkuihanne. Esimerkki Olkoon alkion 1 ζ generoima renkaan Z[ζ ] ihanne. Osoitetaan, että ihanteen normi on a se on alkuihanne. Todistetaan ensin, että alkion [1 ζ ] generoiman ihanteen normi on. Tätä käytetään myöhemmin hyödyksi todistettaessa, että [1 ζ ] on alkuihanne. Lauseen 2.15 mukaan Z[ζ ] on kunnan Q(ζ kokonaislukuen rengas a lauseen 2.13 mukaan Q(ζ /Q on Galois n laaennus. Normi voidaan siis laskea. Ihanteen normin määritelmän mukaan N([1 ζ ] = N Q(ζ/Q(1 ζ. Normi N Q(ζ/Q(1 ζ on laskettu lauseen 2.15 todistuksen toiseksi viimeisessä kaaleessa a se on. Siis N([1 ζ ] =. Todistetaan vielä, että [1 ζ ] on alkuihanne. Selvästi [1 ζ ] Z[ζ ], sillä N([1 ζ ] = 1 = N([1]. 12

17 Oletetaan, että αβ [1 ζ ] a α, β Z[ζ ]. Voidaan kiroittaa αβ = γ(1 ζ, missä γ Z[ζ ]. Lasketaan ihanteen [αβ] normi kahdella eri tavalla. Ensimmäiseksi lasketaan normi muodosta [αβ]. Normin määritelmän mukaan N([αβ] = N Q(ζ/Q(αβ. Tämä voidaan edelleen kiroittaa muodossa N Q(ζ/Q(α N Q(ζ/Q(β. Koska α, β O Q(ζ, niin lauseen 2.11 mukaan N Q(ζ/Q(α, N Q(ζ/Q(β Z. Seuraavaksi lasketaan normi ihanteen [γ(1 ζ ] avulla. Nimittäin, koska αβ = γ(1 ζ, niin [αβ] = [γ(1 ζ ]. Samoin kuin aiemmin ihanteen [αβ] normia laskettaessa voidaan äätellä, että N([γ(1 ζ ] = N Q(ζ/Q(γ N Q(1 ζ/q(ζ a N Q(ζ/Q(γ Z. Siis = N Q(ζ/Q(1 ζ akaa luvun N Q(ζ/Q(α N Q(ζ/Q(β. Koska on alkuluku, niin akaa vähintään toisen luvuista N Q(ζ/Q(α tai N Q(ζ/Q(β. Voidaan valita N Q(ζ/Q(α. Kiroitetaan α muodossa α = 2 k=0 a kζ k, missä a k Z kaikilla k. Tavoitteena on todistaa, että α 0 mod 1 ζ. Koska ζ 1 mod 1 ζ, niin α 2 k=0 a k mod 1 ζ. Näin ollen riittää todistaa, että 2 a k 0 mod 1 ζ. k=0 Nyt koska α 2 k=0 a k mod 1 ζ, niin 2 N Q(ζ/Q(α N Q(ζ/Q( a k mod 1 ζ. Koska luvut a k ovat kokonaislukua, niin N Q(ζ/Q( k=0 k=0 2 2 a k = ( a k. k=0 Lisäksi on oletettu, että akaa normin N Q(ζ/Q(α, oten a k 0 mod 1 ζ. 2 ( k=0 Koska 2 k=0 a k Z, niin ( 2 k=0 a k 0 mod. Täten akaa luvun 2 k=0 a k a saadaan 2 k=0 a k 0 mod 1 ζ. Siis α 0 mod 1 ζ. Näin ollen on alkuihanne. 13

18 2.2 -adiset luvut Tässä luvussa tutustutaan -adisten lukuen kuntaan a sen laaennukseen. Ensimmäiseksi konstruoidaan -adisten lukuen kunta. Tämän konstruoinnin äämääränä on saada aikaiseksi täydellinen metrinen avaruus, onka laaennus voidaan käyttää auna kongruenssea laskettaessa. Kun -adisten lukuen kunta on konstruoitu, tutustutaan muutamaan sen ominaisuuteen. Tämän älkeen tarkastellaan -adisten lukuen kunnan laaennusta, oka sisältää alkion ζ. Luvun todistukset erustuvat Gouvêan kiran [4] todistuksiin. Käsittely erustuu normiavaruuksiin, oten lukian olisi hyvä tuntea erusteet normiavaruuksista a toologiasta. Näihin voi tutustua esimerkiksi luentomonisteen [16] avulla. Merkinnällä (x n tarkoitetaan onoa x 0, x 1, x 2,.... Jos onon määrittelyssä ei esiinny indeksiä n, se on vakioono. Esimerkiksi (1 tarkoittaa onoa 1, 1, 1,... a (x onoa x, x, x,.... Jokaisen onon indeksointi alkaa luvusta nolla Kunta Q On monia eri taoa konstruoida -adisten lukuen kunta. Tässä tutkielmassa käytetään normiavaruuksiin erustuvaa taaa. Tätä varten määrittelemme aluksi normin rationaaliluvuille. Myöhemmin tätä normia käytetään auna -adisen lukukunnan konstruoinnissa. Otetaan ensin käyttöön aukuvaus v. Määritelmä Olkoon kiinnitetty alkuluku a a b a, b 0. Lisäksi olkoon a b tällöin v ( a = n. Lisäksi määritellään v b (0 =. rationaaliluku, olle = n a b, missä n, a, b Z a a b. Määritellään Kokonaislukuen yksikäsitteisen tekiöihinaon takia kuvaus v on hyvinmääritelty rationaalilukuen oukossa. Todistetaan kuvaukselle v muutama ominaisuus. Lause Olkoot x, y Q. Tällöin v (xy = v (x + v (y a v (x + y min{v (x, v (y}. Todistus. Jos vähintään toinen luvuista x a y on nolla, niin xy = 0 a v (xy =. Toisaalta funktion v määritelmän mukaan v (z saa äärellisen arvon kaikilla rationaaliluvuilla z 0. Täten, os toinen luvuista x, y 14

19 on nolla, niin v (x + v (y =. Siis väite v (xy = v (x + v (y on voimassa, kun vähintään toinen luvuista x, y on nolla. Voidaan olettaa, että molemmat luvut x, y eroavat nollasta. Olkoot x = n 1 a 1 b 1 a y = n 2 a 2 b 2, missä n 1, a 1, b 1, n 2, a 2, b 2 Z, a 1 b 1 a a 2 b 2. Tällöin xy = n 1+n 2 a 1 a 2 b 1 b 2 a a 1 a 2 b 1 b 2. Siis v (xy = n 1 + n 2 = v (x + v (y. Todistetaan nyt, että v (x + y min{v (x, v (y}. Jos vähintään toinen luvuista x, y on nolla, niin väite on selvä. Oletetaan siis, että molemmat luvuista x, y ovat erisuuria kuin nolla. Kiroitetaan x, y samassa muodossa kuin edellisessä kaaleessa. Tällöin v (x = n 1 a v (y = n 2. Voidaan symmetrian noalla olettaa, että min{v (x, v (y} = v (x. Ottamalla n 1 yhteiseksi tekiäksi nähdään, että x + y = n 1 ( a 1 b 1 + n 2 n 1 a 2 b 2. Koska n 2 n 1 = v (y v (x 0, niin n 2 n 1 on kokonaisluku. Täten voidaan kiroittaa n 1 ( a 1 b 1 + n 2 n 1 a 2 b 2 = n 1 ( a 1b 2 + n2 n 1 a2 b 1 b 1 b 2, missä osoittaassa a nimittäässä esiintyy kokonaislukua. Koska b 1 b 2, niin v ( n 1 ( a 1b 2 + n 2 n 1 a 2 b 1 b 1 b 2 n 1. Siis v (x + y min{v (x, v (y}. Rationaalilukuen oukko voidaan tulkita avaruutena, onka kerroinkuntana on oukko itse. Voidaan määritellä avaruudelle Q normi. Määritelmä Olkoon x 0 rationaaliluku. Tällöin määritellään x = v(x. Lisäksi määritellään 0 = 0. Lause Kuvaus toteuttaa ehdot x 0 kaikilla rationaaliluvuilla x, x = 0 os a vain os x = 0, xy = x y kaikilla rationaaliluvuilla x, y a x + y max{ x, y } kaikilla rationaaliluvuilla x, y. Siis on avaruuden Q normi. Todistus. Koska kuvaus v on hyvinmääritelty kaikille rationaaliluvuille, niin kuvaus on myös hyvinmääritelty kaikille rationaaliluvuille. Ensimmäinen ehto on voimassa, koska n > 0 kaikilla kokonaisluvuilla n. Tästä myös nähdään, että x = 0 os a vain os x = 0. Kaksi muuta ehtoa ovat selvästi voimassa, kun vähintään toinen luvuista x, y on nolla. Voidaan siis olettaa, että molemmat luvuista x, y eroavat nollasta. Määritelmän mukaan xy = v(xy a x y = v(x v(y. Lauseen 2.23 noalla v(xy = v(x v(y, oten xy = x y. Koska x + y = v(x+y a lauseen 2.23 mukaan v (x + y min{v (x, v (y}, niin x + y 15

20 min{v(x,v(y}. Täten viimeinenkin ehto on voimassa. Koska ehdosta Koska x + y max{ x, y } seuraa x + y x + y, niin kuvaus on avaruuden Q normi. Joissain myöhemmissä todistuksissa käytetään tavallista normiavaruuden kolmioeäyhtälön muotoilua x+y x + y. Kuitenkin -adisten lukuen teorian kannalta on oleellista, että normi toteuttaa vahvemman ominaisuuden x+y max{ x, y }. Tämä osoittautuu tareelliseksi esimerkiksi -adisia kokonaislukua tarkasteltaessa kuten lauseessa 2.42 nähdään. Koska nyt on saatu määriteltyä rationaaliluvuille normi, niin voidaan siirtyä -adisten lukuen kunnan konstruointiin. Tätä varten määritellään oukot C a N. Määritelmä Määritellään oukko C seuraavasti: C = {(x n : (x n on Cauchy-ono normin suhteen avaruudessa Q}. Todistetaan, että C on rengas, kun siinä on määritelty yhteen- a kertolasku. Tätä varten todistetaan ensin autulos, että oukon C onot (x n ovat raoitettua normin suhteen. Lemma Jokainen (x n C on raoitettu rationaalilukuen normin suhteen. Todistus. Todistetaan ensin autulos x y x y kaikilla rationaaliluvuilla x a y. Olkoot x, y Q mielivaltaiset. Voidaan kiroittaa x = (x y+y. Lauseen 2.25 mukaan x y +y x y + y. Täten x y x y. Vastaavasti saadaan, että y x y x = x y. Näin ollen x y x y. Todistetaan nyt lauseen ääväite edellisessä kaaleessa saadun ominaisuuden avulla. Olkoon (x n C mielivaltainen. Tällöin ostain indeksistä N lähtien x n x n < 1, kun n, n N. Erityisesti eäyhtälö ätee, kun n = N. Edellisessä kaaleessa todistetun eäyhtälön noalla x n x N x n x N. Täten x n x N < 1. Siis x N 1 < x n < 1 + x N. Näin ollen ono (x n n N on raoitettu metriikan suhteen. Joukossa { x n : n < N} on vain äärellisen monta alkiota, oten sieltä löydetään minimi a maksimi. Täten ono (x n on raoitettu metriikan suhteen. Lause Olkoot (x n, (y n C. Määritellään tällöin { (x n + (y n = (x n + y n (x n (y n = (x n y n. Näin määriteltynä C on kommutatiivinen rengas. 16

21 Todistus. Määritellyt laskutoimitukset ovat selvästi hyvinmääriteltyä. Todistetaan, että C on kommutatiivinen rengas tarkastamalla kommutatiivisen renkaan aksioomat. Kaikki vakioonot ovat Cauchy-onoa metriikan suhteen, oten (1, (0 C. Todistetaan seuraavaksi, että C on sulettu yhteen- a kertolaskun suhteen. Olkoot (x n, (y n C mielivaltaisia. Todistetaan, että myös (x n + y n a (x n y n ovat Cauchy-onoa metriikan suhteen. Olkoon ɛ > 0 mielivaltainen. Tällöin on olemassa luonnolliset luvut S, M N, oille x s x s < ɛ a x m x m < ɛ kaikilla s, s S, m, m M. Olkoot n, n max{s, M} kokonaislukua. Tällöin lauseen 2.25 noalla x n + y n x n y n = x n x n + y n y n < ɛ. Siis (x n + (y n C. Todistetaan, että (x n y n C. Lemman 2.27 mukaan onot (x n, (y n C ovat raoitettua. Näin ollen voidaan valita ositiivinen kokonaisluku M, olle x n < M a y n < M kaikilla luonnollisilla luvuilla n. Olkoon ɛ > 0 mielivaltainen. Samalla tavoin kuin edellisessä kaaleessa löydetään sellainen N N, että x n x n < ɛ M a y n y n < ɛ M kaikilla n, n N. Koska x n y n x n y n = x n y n x n y n + x n y n x n y n, niin lauseen 2.25 noalla x n y n x n y n max{ x n (y n y n, y n (x n x n }. Lauseen 2.25 mukaan max{ x n (y n y n, y n (x n x n } < M ɛ = ɛ, kun M n, n N. Täten myös (x n (y n C. Lout kommutatiivisen renkaan aksioomat ovat voimassa oukossa C, koska ne ovat voimassa rationaaliluvuilla. Siis C on kommutatiivinen rengas. Seuraavaksi määritellään oukko N. Joukko N määritellään soivasti, otta se on renkaan C maksimaalinen ihanne. Näin nimittäin saadaan määriteltyä -adisten lukuen kunta C/N. Määritelmä N = {(x n C : lim n x n = 0}. Lemma Olkoon (x n C a lim n x n 0. Tällöin on olemassa ositiiviset luvut c a N, oille x n c kaikilla n N. Todistus. Tehdään vastaoletus, että kaikkia ositiivisten lukuen (c, N area kohti löytyy ainakin yksi luonnollinen luku n N, olle x n < c. Määritellään seuraavaksi luvut n k. Olkoon n 0 = 1 a n k = min{n : x n < 1 k, n k > n k 1 } kaikilla k > 0. 17

22 Tällaiset luvut n 0, n 1, n 2, ovat olemassa vastaoletuksen mukaan. Olkoon (y k = (x nk. Nyt lim y k = 0. Koska (y k on onon (x n osaono a (x n on k Cauchyn-ono, niin lim x n = 0. Mutta tämä on ristiriita oletuksen kanssa. n Siis vastaoletus oli väärin a väite ätee. Lause Joukko N on renkaan C maksimaalinen ihanne. Todistus. Todistetaan ensin, että N on renkaan C ihanne. Tehdään tämä tarkastamalla ihannekriteerin ehdot. Joukon N määritelmästä seuraa, että N C. Koska (0 N, niin oukko N on eätyhä. Olkoot (x n, (y n N a (c n C mielivaltaisia. Todistetaan, että (x n (y n N. Lauseen 2.28 mukaan (x n + (y n C. On siis todistettava, että lim x n y n = 0. n Olkoon ɛ > 0 mielivaltainen. Koska (x n, (y n N, niin on olemassa sellainen luonnollinen luku N, että x n < ɛ a y n < ɛ kaikilla n N. Lisäksi kuvauksen määritelmän mukaan y n = y n kaikilla luonnollisilla luvuilla n. Täten lauseen 2.25 noalla x n y n < max{ x n, y n } < ɛ, kun n N. Siis (x n (y n N. Ihannekriteerin voimassaolon varmistamiseksi todistetaan vielä, että (c n (x n N. Lauseen 2.28 mukaan (c n (x n C. On siis todistettava, että lim c n x n = n 0. Lemman 2.27 mukaan on olemassa sellainen luonnollinen luku M, että c n < M kaikilla luonnollisilla luvuilla n. Olkoon ɛ > 0 mielivaltainen. Tällöin on olemassa sellainen luonnollinen luku N, että x n < ɛ kaikilla M n M. Täten lauseen 2.25 mukaan c n x n < M ɛ = ɛ kaikilla n N. Siis M myös (c n (x n N. Ihannekriteerin mukaan N on renkaan C ihanne. Todistetaan vielä ihanteen N maksimaalisuus. Olkoon (x n C, mutta (x n N. Merkitään tällöin symbolilla I alkion (x n a ihanteen N generoimaa renkaan C ihannetta. Tavoitteena on todistaa, että I = C, koska tästä seuraa ihanteen N maksimaalisuus. Tämä tehdään osoittamalla, että (1 I. Koska (x n N, niin lemman 2.30 mukaan on olemassa ositiiviset luvut c a N, oille x n c kaikilla n N. Näin ollen x n 0, kun n N. Tämän tiedon avulla saadaan muodostettua onolle (x n n N käänteisalkio. Määritellään ono (y n seuraavasti y n = { 1 x n, kun n N 0, kun n < N. Todistetaan, että (y n C. Selvästi (y n on rationaalilukuen ono, koska (x n C. Todistetaan vielä, että (y n on Cauchy-ono metriikan suhteen. 18

23 Olkoon ɛ > 0 mielivaltainen. Koska (x n on Cauchy-ono, niin on olemassa sellainen luonnollinen luku M, että x m x m < ɛ, kun m, m M. Olkoot S = max{n, M} a s, s S luonnollisia lukua. Tällöin onon (y n määritelmän mukaan y s y s = 1 x s 1 x s. Tämä voidaan edelleen sieventää muotoon 1 x s 1 x s = x s xs x sx s Siis (y n on Cauchy-ono a (y n C. Päätellään, että I = C. Suoraan laskemalla saadaan { 1, kun n N y n x n = 0, kun n < N.. Lukuen s a s valinnan takia x s xs x sx s < ɛ c 2 < ɛ. Täten (1 (y n x n N. Koska määritelmän mukaan (x n I a edellisen todistuksen noalla (y n C, niin (y n x n I. Siis (1 I, koska (1 = N + (y n x n I. Täten I = C a väite on todistettu. Tähän mennessä saadun teorian avulla voidaan määritellä -adisten lukuen kunta. Määritelmä Q = C/N Lause Joukko Q on kunta. Sitä kutsutaan -adisten lukuen kunnaksi a sen alkiot ovat -adisia lukua. Todistus. Lauseen 2.28 mukaan C on kommutatiivinen rengas a lauseen 2.31 mukaan N on renkaan C maksimaalinen ihanne. Täten Q = C/N on kunta. Tutustutaan seuraavaksi -adisten lukuen kunnan hyödylliseen ominaisuuteen rationaalilukuihin liittyen. Lause On olemassa rengas K, olle Q K a K Q. Todistus. Olkoon K = {( : Q}. Tällöin K Q. Tämä on rengas rationaalilukuen ominaisuuksien a alirengaskriteerin takia. Tarkastellaan kuvausta ψ : Q K, missä ψ( = ( kaikilla rationaaliluvuilla. Kuvaus ψ on hyvinmääritelty a biektio. Todistetaan, että ψ on rengashomomorfismi. Olkoot 1, 2 Q mielivaltaisia. Tällöin ψ + 2 = + 2. Renkaan C yhteenlaskun määritelmän mukaan + 2 = + ( 2 = ψ + ψ( 2. Siis ψ + 2 = ψ + ψ( 2. Vastaavasti hyödyntäen renkaan C kertolaskun määritelmää saadaan ψ 2 = ψ ψ( 2. Lisäksi ψ(1 = (1. Täten K toteuttaa halutut ehdot. 19

24 Isomorfisuuden takia voidaan tulkita Q Q. Tällöin nimenomaan ( okaiselle rationaaliluvulle. Tietoa käytetään useissa luvun 3 todistuksissa. Seuraavaksi laaennetaan normi avaruuteen Q. Tätä ennen on todistetaan autulos, otta kuvaus saadaan hyvinmääritellyksi. Lause Olkoon (x n C a (x n N. Tällöin on olemassa sellainen kokonaisluku N, että x n = x n kaikilla n, n N. Todistus. Olkoon (x n lukuono, oka toteuttaa lauseen ehdot. Lauseen 2.30 noalla on olemassa kokonaisluku N 1 a luku c > 0, oille x n c kaikilla n N. Toisaalta (x n on Cauchy-ono, oten on olemassa sellainen kokonaisluku N 2, että x n x n < c kaikilla n, n N 2. Olkoot N = max{n 1, N 2 } a n, n N. Tällöin x n x n < c a c max{ x n, x n }. Siis x n x n < max{ x n, x n }. Todistetaan, että x n = x n. Tehdään vastaoletus, että x n x n ollain n, n N. Näytetään, että x n + x n = max{ x n, x n }. Symmetrian noalla voidaan olettaa, että x n > x n. Voidaan kiroittaa x n = x n + x n x n. Täten lauseen 2.25 mukaan x n max{ x n + x n, x n }. Ei voi olla max{ x n + x n, x n } = x n, sillä tällöin saataisiin ristiriita oletuksen x n > x n kanssa. Siis Toisaalta lauseen 2.25 mukaan max{ x n + x n, x n } = x n + x n. x n + x n max{ x, x n } = x n. Täten x n + x n = max{ x n, x n }. Edellisessä kaaleessa kuitenkin todistettiin, että x n x n < max{ x n, x n }. Näin ollen on oltava x n = x n kaikilla n, n N. Määritelmä Olkoon λ Q a λ = (x n. Tällöin λ = lim n x n. Lause Määritelmässä 2.36 esiintyvä kuvaus normi. on avaruuden Q Todistus. Lauseen 2.35 noalla okaiselle onolle (x n C a (x n N on määritelty lim x n. Todistetaan, että kuvaus on hyvinmääritelty. Olkoon λ = (x n + (y n = (x n + (y n, missä (x n, (x n C, (x n, (x n n N 20

25 a (y n, (y n N. Jokaista λ Q kohti löytyy ainakin yksi tällainen esitys kunnan Q määritelmän mukaan. Nyt (x n (x n = (y n (y n N. Täten okaista ɛ > 0 kohti löytyy sellainen luonnollinen luku N, että x n x n < ɛ kaikilla n N. Koska (x n (x n C, niin lemman 2.27 todistuksen mukaan x n x n x n x n. Täten x n ɛ < x n < ɛ + x n, kun n N. Siis lim x n = lim x n n n. Näin ollen kuvaus on hyvinmääritelty. Todistetaan vielä, että avaruudessa Q määritelty kuvaus on normi. Koska avaruudessa Q ätee x n 0 kaikilla rationaaliluvuilla x n, niin lim x n 0 kaikilla (x n Q. Lisäksi lim x n = 0 os a vain os n n (x n N. Olkoot (x n, (y n Q. Tällöin lauseen 2.25 mukaan lim x n + y n lim max{ x n, y n }. n n Koska lim n max{ x n, y n } = max{ lim n x n, lim n y n }, niin (x n + (y n max{ (x n, (y n }. Vastaavasti todistetaan, että (x n y n = (x n (y n, kun otetaan huomioon, että lim x n 0 a lim x n 0, kun (x n a (y n eivät ole nollaonoa. Jos taas omikumi on nollaono, niin edellinen väite on selvä. Siis n n Q on normiavaruus kuvauksen suhteen. Kun tulkitaan okainen rationaaliluku vakioonona (, niin havaitaan, että avaruuden Q normi on avaruuden Q normin laaennus. Näin ollen merkinnän käyttö kummassakin avaruudessa Q a Q on erusteltua. Vastaavalla tavalla voidaan laaentaa kuvaus v avaruuteen Q. Olkoon λ Q a λ = (x n. Tällöin v (λ = lim v (x n. Tämä voidaan todistaa hyvinmääritellyksi samoin kuin todistettiin hyvinmääritellyksi. On myös n huomattava, että avaruudessa Q ätee λ = v(λ. Seuraavana äämääränä on todistaa, että Q on täydellinen avaruus normin indusoiman metriikan suhteen. Tätä varten otetaan käyttöön muutamia aumääritelmiä a -lauseita. Määritelmä Olkoon λ Q a λ = lim n x n, missä (x n C a (x n N. Kutsutaan onoa (x n alkion λ edustaaksi. Lemma Olkoon λ Q a r > 0. Tällöin okainen allo B(λ, r = {λ Q : λ λ < r} sisältää vähintään yhden vakioonon (x. 21

26 Todistus. Olkoot λ Q mielivaltainen, (x n sen edustaa a r > 0 mielivaltainen. On olemassa luku r, olle 0 < r < r. Koska (x n on Cauchy-ono, niin voidaan löytää sellainen luonnollinen luku N, että x n x n < r kaikilla kokonaisluvuilla n, n N. Olkoon x = x N. Todistetaan, että (x B(λ, r. Metriikan määritelmän mukaan λ (x = lim x n x. Lisäksi luvun n x määritelmän noalla x n x < r kaikille n N. Täten Siis (x B(λ, r. lim x n x r < r. n Lause Joukko Q on täydellinen normin indusoiman metriikan suhteen. Todistus. Olkoon (λ n Cauchy-ono avaruudessa Q. Päämääränä on löytää avaruuden Q alkio, otka kohti ono (λ n suenee. Lemman 2.39 mukaan okaista λ n kohti löytyy rationaaliluku y (n, olle λ n (y (n < 1. n Olkoot y (1, y (2, y (3, tämän ehdon toteuttavia rationaalilukua. Tällöin lim λ n (y (n = 0. Todistetaan, että luvut y (n muodostavat Cauchyonon avaruuden Q normin indusoiman metriikan suhteen. n Olkoon (x (n alkion λ n edustaa a ɛ > 0 mielivaltainen. Koska (λ n on Cauchy-ono avaruudessa Q, niin on olemassa sellainen luonnollinen luku N 1, että lim x(n x (n = λ n λ n < ɛ 3 kaikilla n, n N 1. (8 Lukuen y (n valinnan erusteella löytyy sellainen luonnollinen luku N 2, että lim x(n y (n = λ n (y (n < ɛ 3 kaikilla kokonaisluvuilla n N 2. (9 Olkoon N = max{n 1, N 2 }. Lauseen 2.25 noalla y (n y (n y (n x (n + x (n x (n Eäyhtälöiden (8, (9 a (10 noalla saadaan lim y(n y (n < 3 ɛ 3 = ɛ, kun n, n N. + x (n y (n. (10 Siis y (n y (n < ɛ, kun n, n N. Täten luvut y (n muodostavat Cauchyonon. Siis ono y (1, y (2, y (3, kuuluu renkaaseen C. Merkitään tätä Cauchyonoa symbolilla λ. 22

27 Todistetaan aiemien tietoen avulla, että onolla (λ n on raa-arvo avaruudessa Q. Tarkastellaan ensin taausta λ N. Tällöin lim y (n = 0. n Näin ollen 0 = lim λ n (y (n = lim λ n. Siis lim λ n (y (n = (0. n n n Täten (λ n suenee kohti avaruuden Q lukua. Tarkastellaan vielä taausta λ N. Todistetaan, että lim λ n = λ. Koska n niin lauseen 2.37 noalla λ n λ = λ n (y (n + (y (n λ, λ n λ λ n (y (n + (y (n λ. (11 Luvun y (n valinnan mukaan lim n λ n (y (n = 0. Lisäksi (y (n λ = lim y (n y (. Koska luvut y (n muodostavat Cauchy-onon, niin lim lim y (n y ( = 0. n Siis eäyhtälön (11 noalla lim λ n λ = 0. Näin ollen tässäkin taauksessa (λ n suenee kohti avaruuden Q lukua. Siis Q on täydellinen normin n suhteen Kunta Q (ζ Edellisessä luvussa konstruoitiin -adisten lukuen oukko a todistetettiin se täydelliseksi metriseksi avaruudeksi. Seuraavaksi tarkoituksena on tutkia - adisten lukuen kunnan laaennusta Q (ζ. Ennen tämän kunnan tarkastelua tutustutaan -adisten kokonaislukuen renkaaseen, sillä sitä voidaan käyttää auna kunnan Q (ζ rakenteen tutkimisessa. Määritelmä Z = {x Q : x 1} Lause Joukko Z on kommutatiivinen rengas. Rengasta Z kutsutaan -adisten kokonaislukuen renkaaksi a sen alkioita -adisiksi kokonaisluvuiksi. Todistus. Koska lauseen 2.33 mukaan Q on kunta, niin todistetaan väite alirengaskriteerin avulla. Joukon Z määritelmän mukaan Z Q. Lisäksi (0 Z, oten Z on eätyhä. Riittää enää todistaa, että Z on sulettu yhteen- a kertolaskun suhteen. Olkoot x, y Z mielivaltaisia. Koska lauseen 2.37 mukaan on avaruuden Q normi, niin xy = x y. Täten 23

28 xy 1. Siis xy Z. Lisäksi x + y max{ x, y }, sillä näiden lukuen edustaille (x n, (y n ätee x n + y n max{ x n, y n } kaikilla n N. Täten x + y 1 eli x + y Z. Siis Z on sulettu myös yhteenlaskun suhteen. Täten Z on rengas. Edellisessä lauseessa huomataan, että normin määrittelyssä oli oleellista, että se toteuttaa ehdon x+y max{ x, y }. Jos tämä ehto ei olisi voimassa, niin Z ei olisi sulettu yhteenlaskun suhteen. Tarkastellaan seuraavaksi olynomien aollisuutta yli renkaan Z a yli kunnan Q. Näitä tietoa tarvitaan, kun määritetään kunnan Q (ζ rakenne a lasketaan kuntalaaennuksen [Q (ζ : Q ] aste. Saadut tulokset ovat hyvin samankaltaiset kuin olynomien aollisuutta tarkasteltaessa rationaali- a kokonaislukukertoimisten olynomien renkaissa. Rationaalilukukertoimiselle olynomille ätee, että os se on aollinen yli kunnan Q, niin se on aollinen myös yli renkaan Z. Seuraavaksi todistetaan vastaava tulos kunnalle Q a renkaalle Z. Lause Oletetaan, että f(x Z [x] on aollinen yli kunnan Q. Tällöin se on aollinen myös yli renkaan Z. Todistus. Määritellään ensin todistusta helottava aufunktio. Olkoon r(x = a n x n + + a 1 x + a 0 Q [x]. Tällöin määritellään k(r(x = min 0 i n v (a i. Jos r(x Z [x], niin on voimassa k(r(x 0. Toisaalta, os k(r(x < 0, niin okin olynomin r(x kerroin a i ei kuulu renkaaseen Z. Siis r(x Z [x] on yhtäitävää ehdon k(r(x 0 kanssa. Koska f(x on aollinen yli kunnan Q, niin voidaan olettaa f(x = g(xh(x, missä g(x, h(x Q [x], eikä kumikaan olynomeista g(x tai h(x ole vakioolynomi. Todistetaan ensin, että väite ätee, kun k(f(x = 0. Oletetaan, että k(f(x = 0. Kuvauksen k määritelmän noalla k(g(x = v (b ollain b Q a täten k(g(x = v (b 1. Koska Q on kunta, niin b 1 Q. Saadaan k(b 1 g(x = v (b 1 + k(g(x = 0. Vastaavasti löydetään luku c Q, olle ätee k(c 1 h(x = 0. Tavoitteena on todistaa, että bc Z. Tämän tiedon avulla saadaan, että olynomi f(x on aollinen yli renkaan Z. Merkitään g 1 (x = b 1 g(x, h 1 (x = c 1 h(x a f 1 (x = b 1 g(xc 1 h(x. Tällöin f 1 (x = g 1 (xh 1 (x. Tiedetään, että g 1 (x, h 1 (x, f 1 (x Z [x]. Redusoidaan olynomit g 1 (x, h 1 (x a f 1 (x modulo, olloin saadaan vastaavasti olynomit g 1 (x, h 1 (x a f 1 (x. Koska k(g 1 (x = k(h 1 (x = 0, niin g 1 (x a h 1 (x eivät ole nollaolynomea. Täten myöskään f 1 (x ei ole nollaolynomi. Koska lisäksi on voimassa f 1 (x Z [x], niin on oltava k(f 1 (x = 0. 24

29 Lisäksi k(f 1 (x = k(b 1 c 1 f(x a k(b 1 c 1 f(x = k(b 1 c 1 + k(f(x, oten v (b 1 c 1 = 0. Näin ollen b 1 c 1 on renkaan Z yksikkö. Siis olynomi bcg 1 (x Z [x]. Merkitään g 0 (x = bcg 1 (x a h 0 (x = h 1 (x. Tällöin f(x = g 0 (xh 0 (x eli aollinen yli renkaan Z. Todistetaan vielä, että väite ätee yleisessä taauksessa. Koska f(x Z [x], niin k(f(x 0. Samalla tavalla kuin edellä löydetään luku a Q, olle k(af(x = 0. Merkitään f 1 (x = af(x. Polynomi f 1 (x on aollinen yli kunnan Q, koska f 1 (x = ag(xh(x a ag(x, h(x Q [x]. Täten edellä olevan todistuksen mukaan f 1 (x = g 0 (xh 0 (x, missä g 0 (x, h 0 (x Z [x] a kumikaan olynomeista g 0 (x, h 0 (x ei ole vakioolynomi. Luvun a valinnasta nähdään, että a 1 Z. Täten a 1 g 0 (x Z [x]. Näin ollen olynomi f(x = a 1 g 0 (xh 0 (x on aollinen yli renkaan Z. Laaennetaan seuraavaksi rationaalilukuen kuntaan liittyvä Eisensteinin aottomuuskriteeri kuntaan Q. Lauseen väite a todistus ovat hyvin samantaaiset kuin rationaalilukuen yhteydessä voidaan tehdä. Lause 2.44 (Eisensteinin aottomuuskriteeri. Olkoon f(x = a n x n + + a 1 x + a 0 Z [x]. Oletetaan, että olynomi f(x, oka toteuttaa seuraavat ehdot a n = 1 a i <1 kaikilla 0 i < n a a 0 = 1. Tällöin f(x on aoton yli kunnan Q. Todistus. Tehdään vastaoletus, että f(x on aollinen yli kunnan Q. Lauseen 2.43 mukaan f(x on aollinen myös yli renkaan Z. Olkoot g(x, h(x Z [x] vähintään astetta 1 olevia olynomea, oille f(x = h(xg(x. Voidaan kiroittaa g(x = b r x r + + b 1 x + b 0 a h(x = c m x r + + c 1 x + c 0, missä r + m = n. Koska a 0 = 1, niin tismalleen toinen luvuista b 0, c 0 ei ole aollinen luvulla renkaassa Z. Oletetaan, että b 0 a c 0. Lisäksi on voimassa a n = 1, a n = b r c m a a n, b r, c m Z, oten b r = c m = 1. Näin ollen kumikaan luvuista b r, c m ei ole aollinen luvulla renkaassa Z. Löydetään siis ienin indeksi i, 0 < i r < n, olle b i renkaassa Z. 25

30 Suoraan laskemalla saadaan a i = b i c b 1 c i 1 + b 0 c i. Voidaan laskea a i modulo renkaassa Z a saadaan a i b i c 0 mod. Oletusten mukaan a i 0 mod eli b i c 0 0 mod. Nyt kuitenkin vähintään toisen luvuista b i tai c 0 on oltava aollinen luvulla renkaassa Z. Tämä on ristiriita. Siis f(x ei ole aollinen yli kunnan Q. Edellisten aulauseiden avulla voidaan laskea laaennuksen Q (ζ /Q aste. Samalla saadaan selville tämän laaennuksen kanta. Lause [Q (ζ : Q ] = 1 Todistus. Todistetaan väite etsimällä luvun ζ minimaaliolynomi yli kunnan Q. Olkoon φ(x = k=0 xk. Tavoitteena on todistaa, että φ(x on luvun ζ minimaaliolynomi yli kunnan Q. Tunnetusti φ(ζ = 0 a lauseen 2.34 mukaan φ(x Q [x]. Polynomin φ(x aottomuus yli kunnan Q todistetaan tutkimalla olynomia g(x = φ(x + 1. Lasketaan, mitä g(x on modulo renkaassa Z. Saadaan g(x = (x+1 1 a tästä suoraan laskemalla x+1 1 (x x x x mod. Siis g(x x mod. Näin ollen kaikki olynomin g(x kertoimet ohtavaa kerrointa lukuun ottamatta ovat aollisia luvulla. Lisäksi olynomin g(x vakiotermi on g(0 = φ(1 =. Täten lauseen 2.44 mukaan olynomi g(x on aoton yli kunnan Q. Näin ollen myös φ(x on aoton yli kunnan Q. Siis φ(x on luvun ζ minimaaliolynomi yli kunnan Q a [Q (ζ : Q ] = 1. Edellisestä todistuksesta nähdään, että {1, ζ, ζ, 2, ζ 2 } muodostaa laaennuksen Q (ζ /Q kannan. Seuraavaksi todistetaan, että laaennus Q (ζ /Q on Galois n laaennus a tutkitaan sen automorfismien ryhmää. Automorfismea tarvitaan, kun lasketaan luvussa 2.1 määriteltyä normea yli Galois n laaennusten. Lause Laaennus Q (ζ /Q on Galois n laaennus a Gal(Q (ζ /Q = {σ 1, σ 2,, σ }, missä σ k (ζ = ζ k. Todistus. Todistetaan ensin, että Q (ζ /Q on Galois n laaennus. Lauseen 2.45 mukaan laaennus Q (ζ /Q on äärellinen. Lisäksi olynomi φ(x = x + x = (x ζ Q 26 =1