MATEMAATTINEN ANALYYSI. Juha Partanen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MATEMAATTINEN ANALYYSI. Juha Partanen"

Transkriptio

1 MATEMAATTINEN ANALYYSI Juha Partanen Joukko-opin alkeet ja kuvauksen käsite Logiikan merkintöjä ja nimityksiä Jos A ja B ovat lauseita, joilla on totuusarvo (tosi tai epätosi), merkitään seuraavasti: A B (A ja B; A:n ja B:n konjunktio, joka on tosi, kun sekä A että B ovat tosia ja muulloin epätosi) A B (A tai B; A:n ja B:n disjunktio, joka on tosi, kun joko A tai B tai molemmat ovat tosia ja muulloin epätosi) A B (jos A niin B; implikaatio; A implikoi B:n; A:sta seuraa B Implikaatio on epätosi, kun A on tosi ja B epätosi; muulloin tosi) A B (A jos ja vain jos B; ekvivalenssi Ekvivalenssi on tosi jos A:lla ja B:llä on sama totuusarvo muulloin epätosi A B on sama kuin (A B) ja (B A)) A (ei A; A:n negaatio Negaatio on tosi jos A on epätosi ja epätosi kun A on tosi) Näistä matematiikassa on keskeistä ymmärtää implikaatio oikein, sillä matemaattinen teoria etenee peruslauseista (aksioomista tai jo todistetuista lauseista) uusiin seuraavalla päättelysäännöllä: (p) (P ja (P Q)) Q toisin sanoen P :n totuus ja implikaation P Q totuus takaa myös Q:n totuuden Sitä ei riitä takaamaan implikaation P Q totuus, sillä lause jos P, niin Q tarkoittaa samaa kuin disjunktio (ei P ) tai Q Näin ollen P Q on tosi, jos P on epätosi! Esimerkki Epätodesta väitteestä < 0 saadaan todet implikaatiot < 0 Tarja ei ole naisen nimi < 0 Tämä kurssi on hyödytön vaikkei kumpikaan johtopäätöksistä ole tosi Implikaation P Q todistamiseksi riittää siis olettaa P ja päätellä siitä Q, sillä jos P ei ole tosi, implikaatio on tosi Johtopäätöksen Q totuus saadaan matematiikan teoriassa päättelemällä tosista premisseistä P yllä mainitulla päättelysäänöllä (p) että Q on myös tosi Usein lauseen P totuus riippuu siinä esiintyvistä muuttujista, esimerkiksi :stä Tällöin käytetään merkintöjä:

2 : P (), kaikilla, P () tosi : P (), on olemassa se P () tosi (se = siten että ) Symboli (kaikilla, kaikille, jokaiselle) on ns universaalikvanttori, symboli (on olemassa) ns eksistenssikvanttori Opimme myöhemmin käytännössä niiden käyttöä Joukko-oppia Omaksumme naivin lähtökohdan: puhumme joukoista ja niiden alkioista ilman tarkempaa selitystä Tästä ei tällä kurssilla käytännössä aiheudu loogisia ongelmia Joukkoja merkitään yleensä isoilla ja niiden alkioita pienillä kirjaimilla Merkintä A luetaan kuuluu A:han tai on joukon A alkio Vastakohta A merkitään / A ja luetaan ei kuulu A:han tai ei ole A:n alkio Jos P () on alkiota koskeva väite, joka on tosi tai epätosi joukon A alkioilla, merkitään niiden A joukkoa, joilla P () on tosi, symbolilla { A P ()} tai vain { P ()}, jos asiayhteydestä on selvää, että puhutaan joukon A alkioista Esimerkki i) {,, 3} = luonnollisten lukujen, ja 3 joukko; {,, 3}; 4 / {,, 3} ii) Jos A = {,, 3}, niin { A > } = {3} iii) Erityisiä joukkoja : = joukko, jossa ei ole alkioita, tyhjä joukko, N = {,, 3, }, luonnolliset luvut, N 0 = {0,,, 3, }, luonnolliset luvut ja 0, Z = {, 3,,, 0,,, 3, }, kokonaisluvut, Q = { p q p Z, q Z ja q 0}, rationaaliluvut (= { = p q joillain p Z, q Z ja q 0}), R, reaaliluvut, C = ({a + ib a, b R ja i = }), kompleksiluvut Avoimet välit ]a, b[ = { R a < < b}, (a, b R; a < b) ], a[ = { R < a}, (a R) ]a, [ = { R > a}, (a R) ], [ = R Puoliavoimet välit ]a, b] = { R a < b}, (a, b R; a < b) [a, b[ = { R a < b}, (a, b R; a < b) ], a] = { R a}, (a R) [a, [ = { R a}, (a R)

3 Suljetut välit [a, b] = { R a b}, (a, b R; a b) (Joissain yhteyksissä voi olla mukava sallia myös yksipisteinen joukko {a} suljetuksi väliksi [a, a]) Välien [a, b], ]a, b[, [a, b[ ja ]a, b] (a, b R; a < b) pituus = b a Määritelmä Joukkojen A ja B i) yhdiste A B = { A tai B} ii) leikkaus A B = { A ja B} iii) erotus A \ B(= A B) = { A ja / B} Joukko A on joukon B osajoukko, A B, jos jokainen A:n alkio on myös B:n alkio, ts jos : A B Huomautus Erityisesti osajoukon määritelmästä seuraa, että A ei ole B:n osajoukko, A B, jos ja vain jos on olemassa ainakin yksi A niin, että / B Esimerkki 3 i) A kaikilla joukoilla A, sillä : A [Implikaatio A on aina tosi, sillä se tarkoittaa samaa kuin / tai A ja tässä / on aina tosi] ii) N N 0 Z Q R iii) A A B, B A B, A B A, A B B, A \ B A ja B \ A B Useissa yhteyksissä tarkastellaan jonkin kiinteän perusjoukon E (esim R) osajoukkoja Tällöin joukkoa E \ A nimitetään myös A:n komplementiksi (joukossa E) ja merkitään A c (tai C E (A), C(A), E (A), (A), ) Kaksi joukkoa A ja B ovat samat, jos niillä on samat alkiot, ts jos : A B (eli A B ja B A) Lause 4 Olkoot A, B ja C E:n osajoukkoja Tällöin (a) A A = A A = A (b) A A c = ja A A c = E (c) (A c ) c = A (d) A B = B A ja A B = B A (e) (A B) C = A (B C) (f) (A B) C = A (B C) (g) A (B C) = (A B) (A C) (h) A (B C) = (A B) (A C) (i) (A B) c = A c B c ja (A B) c = A c B c Todistus Todistetaan malliksi väite (g) On siis osoitettava, että A (B C) () (A B) (A C) ja (A B) (A C) () A (B C) 3

4 () Olkoon A (B C) Tällöin A ja ( B C) A ja ( B tai C) ( A ja B) tai ( A ja C) A B tai A C (A B) (A C) : A (B C) (A B) (A C) eli A (B C) (A B) (A C) () Olkoon (A B) (A C) Tällöin A B tai A C ( A ja B) tai ( A ja C) A ja ( B tai C) A ja B C A (B C) : (A B) (A C) A (B C) eli (A B) (A C) A (B C) Indeksoidut joukkoperheet Olkoon I joukko (indeksijoukko) ja olkoon kutakin i I kohti annettu joukko A i Määritelmä 5 (A i ) i I on indeksoitu joukkoperhe jonka yhdiste on A i = { i I : A i } i I ja leikkaus A i = { i I : A i } i I Todennäköisyyslaskennassa esiintyy usein indeksijoukkona I = N Tällöin merkitään myös A i = ja A i = A i Esimerkki [0, [ = N 0 ( A i i N i= i N i= i= I i ), kun I i = ]i, i[ (i N), ja tämä yhdiste on pistevieras (erillinen), sillä N 0 I i = i N ja I i I j = kun i, j N ja i j Jos F on kokoelma joukkoja, merkitään myös F = { F F F} F = { F jollain F F} 4

5 Esimerkki Merkitään F = { {} R } Tällöin F = {} = R R Karteesinen tulo Olkoot A,, A n joukkoja n N, n Määritelmä 6 Joukkojen A,, A n karteesinen tulo A A n = n A i on sellaisten järjestettyjen n-jonojen (a,, a n ) muodostama joukko, että a i A i i: A A n = { (a,, a n ) a i A i i {,, n} } Jos A = = A n = A, merkitään myös n A i = A n Esimerkki 7 i= i) R n = { = (,, n ), i R i} Erityisesti on y-taso ja R = {(, ) R, R} = {(, y) R, y R} R 3 = {(,, 3 ) R, R, 3 R} = {(, y, z) R, y R, z R} on yz-avaruus Luvut i R ovat vektorin (pisteen) = (,, n ) R n koordinaatit ii) Jos A = {, } ja B = {a, b} (a b) niin A B = {(, a), (, b), (, a), (, b)} iii) A = A = A A n = iv) A B B A, jos A ja B ja A B Lause 8 i) A C ja B D A B C D ii) A (B C) = (A B) (A C) iii) A (B C) = (A B) (A C) Todistus Malliksi ehdon ii) todistuksen juoni: i= A (B C) = (a, y) (a A, y B C) = (a, y) (a A, y B ja y C) = (a, y) (A B) (A C) 5

6 Kuvaukset Intuitiivisesti funktio eli kuvaus f : A B lähtöjoukolta A maalijoukkoon B on sääntö, joka liittää jokaiseen lähdön alkioon maalin alkion y = f(), :n kuvan Tällöin käytetään myös merkintöjä A B tai f() tai vain f() f() Esimerkki 9 i) Jos A = [0, ], niin 3 eli f() = 3 on kuvaus A A, sillä Toisaalta merkintä f() = 3 ei riitä f:n määrittelemiseen ilman lähtö -ja maalijoukkoja, sillä f() = 3 on tulkittavissa myös kuvaukseksi R R tai ], 0] ], 0] tai ii) Joukon A identtinen kuvaus id A : A A on se kuvaus, jolle id A () = A iii) Jos B A ja f : A C on kuvaus, saadaan f:n rajoittumakuvaus (f B) : B C joukkoon B asettamalla (f B)() = f() B Huomautus Joukko-opin avulla kuvaukselle f : A B saadaan täsmällisempi määritelmä samaistamalla kuvaus f : A B graafinsa Γ(f) = {(, y) A B y = f()} A B kanssa Havaitaan, että kuvauksen graafeja ovat tarkalleen ne osajoukot C A B, joille pätee: A tasan yksi y B se (, y) C Jokainen tällainen C A B antaa siis säännön (, y) C ehdolle y = f(), ts määrittelee kuvauksen f : A B Kääntäen jokainen kuvaus f : A B määrittelee tällaisen C = Γ(f) A B Pitäydymme tällä kurssilla yksinkertaisemmassa sääntö -sanaan nojaavassa kuvauskäsitteessä Jos f : X Y on kuvaus A X ja B Y, niin määritellään f(a) = {f() A}, A:n kuva(joukko) f (B) = { X f() B}, B:n alkukuva(joukko) Tällöin f(a) Y ja f (B) X Joukkoa f(x) Y sanotaan f:n kuvajoukoksi Esimerkki i) Jos f : R R on kuvaus f() =, niin f(r) = [0, [, f([0, ]) = [0, ] = f([, ]) ja f ([0, ]) = [, ], f ([0, ]) = [, ] 6

7 ii) Jos f : {,, 3} {,, 3} on kuvan mukainen, niin 3 f 3 f ({3}) merk = f (3) = f({, 3}) = {, } f () = {3} f:n kuvajoukko on {,} Lause 0 Olkoon f : A B kuvaus, X A, X A, Y B ja Y B Tällöin (i) (ii) (iii) (iv) f(x X ) f(x) f(x ) f(x X ) = f(x) f(x ) f (Y Y ) = f (Y ) f (Y ) f (Y Y ) = f (Y ) f (Y ) Todistus Malliksi iii):n juoni: Olkoon A Tällöin f (Y Y ) f() Y Y f() Y ja f() Y f (Y ) ja f (Y ) f (Y ) f (Y ) Jos f : A B ja g : B C ovat kuvauksia, voidaan muodostaa niiden yhdistetty kuvaus g f : A C asettamalla g f() = g(f()) A Yhdistetty kuvaus g f operoi siis A:n alkioon kuvaamalla sen ensin alkioksi f() B ja edelleen alkioksi g(f()) C: A B C f() g(f()) = (g f)() Määritelmä Kuvaus f : A B on a) injektio, jos f kuvaa eri alkiot eri alkioille, ts jos mikä voidaan lausua myös muodossa:, A : f( ) f( ),, A : f( ) = f( ) =, b) surjektio, jos f(a) = B, ts jos y B A siten, että f() = y, c) bijektio, jos se on injektio ja surjektio 7

8 Esimerkki i) Kuvaus f : R R, f() = 3, on injektio: jos, y R ja f() = f(y), niin 3 = y 3 3 y 3 = 0 ( y)( + y + y ) = 0 y = 0 tai + y + y = 0 = y tai ( + y) y = 0 = y tai ( + y = 0 ja y = 0) = y tai = 0 = y = y Itse asiassa (myöhemmin osoitetaan, että) f on myös surjektio ja siis bijektio: jos y R, on y = f( 3 y) R ii) iii) iv) 3 3 f bijektio f injektio ei surjektio f surjektio ei injektio v) f : [, ] [0, ], f() =, on surjektio, mutta ei injektio, sillä alkion y [0, ] alkukuvajoukossa f (y) = { [0, ] f() = = y} = { y, y} on enemmän kuin yksi alkio (nimittäin kaksi) kun y > 0 (ja vain yksi alkio ainoastaan tapuksessa y = 0) vi) f : [0, ] [0, ], f() =, on bijektio vii) f : [0, ] [0, ], f() =, on injektio, mutta ei surjektio Lause 3 Seuraavat ehdot kuvaukselle f : A B ovat yhtäpitävät: (a) f on bijektio, (b) yhtälöllä y = f() on kullakin y B tasan yksi ratkaisu A, (c) on olemassa yksi ja vain yksi kuvaus g : B A siten, että f g = id B ja g f = id A Kuvausta g sanotaan f:n käänteiskuvaukseksi ja sitä merkitään g = f Todistus Riittää osoittaa, että (a) (b) (c) (a) (a) (b) : Olkoon y B Koska f : A B on surjektio, niin on olemassa sellainen A, että y = f() Koska f on lisäksi injektio, niin kyseinen on yksikäsitteinen (b) (c) : seuraavasti: Asetamme säännön g, joka liittää alkioon y B alkion A Jokaisella y B g(y) on yhtälön y = f() ratkaisu 8

9 Tällöin sääntö g on kuvaus B A, sillä g(y) on määritelty ja oletuksen nojalla, yksikäsitteinen jokaisella y B Suoraan g:n määrittelyn perusteella f(g(y)) = y y B, joten f g = id B Jos 0 A, niin merkitään y 0 = f( 0 ), jolloin = 0 on yhtälön y 0 = f() yksikäsitteinen ratkaisu Määrittelmän nojalla g(y 0 ) = 0, joten g(f( 0 )) = 0 Koska 0 A oli mielivaltainen, niin g(f()) = A, joten g f = id A Funktion g yksikäsitteisyys: Olkoon g : B A mielivaltainen funktio, jolle g f = id A ja f g = id B Olkoon lisäksi y B Tällöin g (y) = g (id B (y)) = g ((f g)(y)) Siis g (y) = g(y) y B, joten g = g = g (f(g(y))) = (g f)(g(y)) = id A (g(y)) = g(y) (c) (a) : Olkoon y B Tällöin g(y) A ja y = id B (y) = (f g)(y) = f(g(y)), joten f on surjektio Jos, A ja f() = f( ), niin = id A () = g(f()) = g(f( )) = id A ( ) =, joten f on injektio Siis f on bijektio Jos siis yhtälö y = f() osataan ratkaista, ja lisäksi ratkaisu on yksikäsitteinen kyseeseen tulevilla y:n arvoilla, niin ylläolevasta lauseesta seuraa välitömästi funktion f bijektiivisyys ja lisäksi käänteisfunktion f olemassaolo Tällöin f (y) = g(y), missä g(y) on yhtälön y = f() (yksikäsitteinen) ratkaisu, kuten ylläolevan lauseen todistuksesta ilmenee Tästä seuraava esimerkki Esimerkki 4 Olkoon f : R R, f() = ja olkoon y R Tällöin f() = y = y ( + 3) = y ( + 3) = y + Koska ( + 3) 0, niin yhtälöllä ( ) y = f() 9

10 on ratkaisuja vain jos y + 0 eli y Tällöin ( + 3) = y = ± y + = g (y) = 3 y + tai = g (y) = 3 + y + Erityisesti g ( ) = g ( ) = 3 ja g (y) < 3 ja g (y) > 3 kun y > Näin ollen yhtälöllä ( ) ei ole ratkaisua kaikilla y R ja lisäksi ratkaisu on yksikäsitteinen vain yhdellä y:n arvolla Jotta lausetta 4 voitaisiin soveltaa on siis rajoitettava sekä funktion f määrittelyjoukkoa että maalijoukkoa Tätä varten merkitsemme A = ], 3], A = [ 3, [ ja B = [, [ ja määrittelemme funktiot f : A B, f () = (f A )() = f(), ja f : A B, f () = (f A )() = f() Nyt yhtälöllä y = f () on yksikäsitteinen ratkaisu = g (y) A kaikilla y B joten f on bijektio ja sillä on käänteiskuvaus f : B A Lisäksi f = g Vastaavasti yhtälöllä y = f () on yksikäsitteinen ratkaisu = g (y) A kaikilla y B joten f on myös bijektio ja sillä on käänteiskuvaus f : B A Lisäksi f = g Funktioiden f ja f määrittelyn nojalla kuvajoukoille pätee f(a i ) = (f A i )(A i ) = f i (A i ) = B, i =, Toisaalta f() = (+3) R, joten f(r) B Toisaalta B = f(a ) f(r), joten f(r) = f(a ) = f(a ) = B Kuva : y = f ()(= f()) = g (y) y = f () = g (y) y 3 f(r) = B = [, [ A = ], 3] A = [ 3, [ 0

11 Katsotaan vielä, miten ehdot 4 (c) tässä tapauksessa toteutuvat: (f g )(y) = f ( y + 3) = f( y + 3) = ( y + 3) + 6( y + 3) + 8 = y + 6 y y = y = y, y Lähes samoin osoitetaan, että (f g )(y) = y, y Edelleen (g f )() = g (f ()) = g (f()) = g ( ) = ( ) + 3 = ( + 3) 3 = = =, 3 Samaan tapaan osoitetaan (g f )() =, 3 Edellisessä esimerkissä osoitettiin käänteiskuvauksen olemassaolo ja samalla myös löydettiin käänteiskuvauksen lauseke, ratkaisemalla yhtälö y = f() Toinen tapa on arvata f :n lauseke ja sen jälkeen tarkistaa arvauksen oikeellisuus verifioimalla kuvausyhtälöt f f = id B ja f f = id A Esimerkki Identtinen kuvaus id A : A A on bijektio ja oma käänteiskuvauksensa, sillä id A id A = id A, koska kaikilla A on (id A id A )() = id A (id A ()) = id A () = Monotoniset funktiot Määritelmä 5 Olkoon A R ja B R Kuvaus f : A B on () kasvava, jos f() f( ), A, () vähenevä, jos f() f( ), A, (3) aidosti kasvava, jos < f() < f( ), A, (4) aidosti vähenevä, jos < f() > f( ), A f on monotoninen, jos f on kasvava tai vähenevä ja aidosti monotoninen, jos f on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Esimerkki (a) f : R R, f() = 3, on aidosti kasvava (b) f : ], 0] [0, [, f() =, on aidosti vähenevä (c) f : [0, [ [0, [, f() =, on aidosti kasvava (b) f : R R, f() =, ei ole monotoninen

12 Lause 6 Olkoon A R ja B R (a) Jos f : A B on aidosti monotoninen, f on injektio (b) Jos f : A B on aidosti kasvava (vähenevä) bijektio, f on myös aidosti kasvava (vähenevä) bijektio Todistus (a) Jos, y A ja y, on < y tai y < Jos f on aidosti monotoninen, on tällöin siis myös f() < f(y) tai f() > f(y), joten f() f(y) (b) Olkoon f : A B aidosti kasvava bijektio, y, y B, y < y Jos olisi f (y) f (y ), saataisiin ristiriita y = f(f (y)) f(f (y )) = y Siis: y, y B : y < y f (y) < f (y ) Näin ollen f on aidosti kasvava kuvaus B A Vastaavasti käsitellään aidosti vähenevän bjektion f : A B tapaus; tällöin f : B A on aidosti vähenevä Yleishuomautus reaalimuuttujan reaalifunktioon liittyvistä merkintäkäytännöistä Tällä kurssilla käsitellään pääasiassa reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita f : A B (A, B R) Määrittelyjoukko A on yleensä väli tai välien yhdiste Jos f on tällöin määritelty jollain lausekkeella, esim f() =, ymmärretään A yleensä ilman eri mainintaa mahdollisimman laajaksi, jos sitä ei ole määrittelyn yhteydessä tarkemmin nimetty A:n laajuudelle voi asettaa rajoituksia esim funktioiden yhdistäminen tai muu asiayhteydestä ilmenevä seikka Sama pätee maalijoukkoon B R; se voidaan yleensä ajatella koko R:ksi, jos syytä muuhun ei ole Tarpeen vaatiessa käytämme tietysti tarkempaa merkintätapaa A B jossa lähtö -ja maalijoukot A ja B on esitelty kunnolla Relaatiot f(), Määritelmä 7 Joukkojen A ja B välinen relaatio R on mikä tahansa A B:n osajoukko R Alkiot A ja y B ovat relaatiossa R keskenään, jos (, y) R Tällöin käytettään myös merkintää Ry Esimerkki i) Jokainen kuvaus f : A B on relaatio, kun samaistetaan f graafinsa Γ(f) = {(, y) A B y = f()} kanssa ii) R:n järjestys on R:n relaatio (ts R:n ja R:n välinen) seuraavassa symbolilla R Siis Merkitsemme sitä R = {(, y) R y} Tästä ja eräistä muista R:n relaatioista on kuvia seuraavassa

13 Kuvia eräistä R:n relaatioista R R i) Järjestysrelaation R kuva alla on viivoitettu tason osa, joka koostuu reunasuorasta y = ja sen yläpuolisesta puolitasosta y > y Järjestysrelaatio R voidaan siis esittää pistevieraana yhdisteenä relaatioista id R = {(, y) = y} ja R < = {(, y) < y} Siis R = id R R < ja id R R < = ii) Relaation R = {(, y) + y } kuva on origokeskinen yksikkökiekko reunaympyröineen (varjostettu tason osa): y R y S Relaation R osajoukko, S = {(, y) + y = } joka on myös relaatio, on origokeskinen yksikköympyrä 3

14 Kysymys : Onko S jonkin funktion y = f() kuvaaja Γ(f)? Vastaus : Ei ole Jos nimittäin tällainen funktio olisi olemassa, niin geometrisesti kuvaajan Γ(f) piste (, f()), missä on funktion määrittelyjoukon piste, on pisteen (, 0) kautta kulkevan y-akselin suuntaisen suoran, ja Γ(f):n leikkauspiste Tällaisia leikkauspisteitä voi (kiinteällä ) olla vain yksi (funktion arvojen yksikäsitteisyys!) Esillä olevassa tapauksessa niitä on selvästikin kaksi poislukien tapaukset = ± (kuva alla) y (, ) (, 0) (, 0) S (, ) {} R Täsmällisemmin sanottuna S [, ] R ja kiinteällä yllä mainittu pisteen (, 0) kautta kulkeva y-akselin suuntainen suora on joukko {} R Sen ja S:n leikkauspisteet ovat ({} R) S = {(, ), (, )}, joita siis on kaksi kaikilla ], [ Jos S olisi jonkin funktion f kuvaaja, niin f:n määrittelyjoukko olisi ilmeisesti [, ] Tällöin funktion f : [, ] R kuvaajalla Γ(f) = {(, f()) } olisi tasan yksi {} R:n piste, nimittäin juuri piste (, f()), mikä on ristiriidassa edellä todetun kanssa Toisaalta S voidaan esittää kahden funktion kuvaajien yhdisteenä: S = Γ(f ) Γ(f ), missä f : [, ] R, f () =, ja f : [, ] R, f () = Siis S on y-akselin ylä -ja alapuolisten puoliympyröiden yhdiste 4

15 Reaaliluvut (R) Koulukurssista osin tuttu reaalilukujen joukko ominaisuuksineen (laskutoimitukset, järjestys) voidaan konstruoida joukko-opin avulla Emme tällä kurssilla voi tehdä tätä vaan tyydymme esittämään aksioomat, jotka karakterisoivat R:n (laskutoimituksineen ja järjestyksineen) Ennen sitä on syytä käsitellä lyhyesti luonnollista lukua n N koskeviin väitteisiin liittyvää todistusmenetelmää, induktiota n:n suhteen Induktiotodistus Olkoon P (n) luonnollista lukua n koskeva väittämä, joka on tosi tai epätosi kullakin n N Väitteen P (n) on tosi kaikilla n N todistamiseen käytetään usein induktiotodistusta : Jos ehdot P () on tosi ja k N : P (k) P (k + ) ovat voimassa, niin P (n) on tosi kaikilla n N Väitteen n : P (n) todistamiseksi riittää siis osoittaa, että se pätee luvulla (tai yleisemmin ensimmäisellä tarkasteltavalla luvulla n N) ja että sen pätiessä jollakin k N (k kiinteä, mielivaltainen), se pätee seuraavallakin luonnollisella luvulla k + Implikaation todistamiseksi tehdään induktio-oletus: k N ja P (k) on tosi Tästä on sitten pääteltävä väite P (k + ) Esimerkki Todistetaan induktiolla aritmeettisen jonon (a, a+d, a+d,, a+(n )d) summan S n kaava ( ) S n = n a + (a + (n )d) = n(n ) d + na (jälkimmäinen esitysmuoto saadaan helpolla laskulla edellisestä) a + (a + ( )d) S = a =, joten väite pätee arvolla n = Induktio-oletus (IO): Olkoon k N ja olkoon Tällöin on S k = a + (a + d) + + (a + (k )d) = k(k ) S k+ = S k + (a + kd) = d + ka + a + kd = IO = k k + k = d + (k + )a = k + k d + (k + )a = (k + )((k + ) ) d + (k + )a 5 k(k ) d + ka k(k ) d + (k + )a + k d (k + )k d + (k + )a

16 eli kaava ( ) pätee myös arvolla n = k + Induktioperiaatteen nojalla kaava ( ) pätee nyt kaikilla n N, ts aritmeettisen jonon summa on termien määrä ensimmäisen ja viimeisen termin keskiarvo Tikapuuvertaus : Jos henkilö pystyy nousemaan tikapuiden ensi askelmalle ja jos hän lisäksi tietää, miten noustaan edelliseltä askelmalta seuraavalle, hän pääsee niin ylös kuin haluaa 3 4 Binomikaava Tärkeänä esimerkkinä induktioperiaatteen käytöstä johdamme nyt ns binomikaavan Ensin eräitä merkintöjä: Olkoon I äärellinen joukko ja i R kaikilla i I Summa i = lukujen i (i I) summa Jos I = {0,, n}, merkitään yleensä i I i = n i Vastaavasti merkitään lukujen i (i I) tuloa i tai i I i=0 I = {,, n} Kertoma Binomikerroin Esimerkki ( ) 5 (i) 3 n! = n i = n (n N) ja lisäksi sovitaan, että 0! = i= ( ) n k = 5! 3!! = n! k!(n k)! = 5 4 3/ / / 3/ / / = 0; (n, k N 0 ; 0 k n) ( ) 5 = 0 (ii) Binomikertoimet nähdään ns Pascalin kolmiosta : i I 5! 0! (5 0)! = 5! 5! = n i, jos i=

17 n + rivin alkiot saadaan n rivin alkioista säännöllä (P) ( ) n + k ( ) n = k (todistetaan induktiolla; harjoitustehtävä) ( ) n + Lause (Binomikaava) Jos a, b R ja n N, niin ( ) (a + b) n = n k=0 k ( ) n a n k b k k Todistus Todistetaan kaava ( ) induktiolla luvun n N suhteen Jos n =, kaava ( ) pätee sillä (a + b) = a + b = ( ) a 0 b ( ) a b (jos a = 0 tai b = 0, sovitaan että tässä yhteydessä 0 0 = ; raja-arvolaskuissa 0 0 ei ole ns sallittu muoto ) Induktio-oletus (IO): m N ja (a + b) m = m ) a m k b k Tällöin on k=0 ( m k (a + b) m+ = (a + b)(a + b) m = IO (a + b) = m k=0 ( ) m a m k+ b k + k m k=0 m k=0 ( m k ( ) m a m k b k k ) a m k b k+ Merkitään jälkimmäisessä summassa i = k + ja edellisessä i = k, jolloin jälkimmäisessä summassa i m + ja edellisessä 0 i m Saadaan (a + b) m+ = m i=0 ( ) m a m i+ b i + i m+ i= ( ) m a m i+ b i i Ottamalla erikseen ensimmäisen summan ensimmäinen termi ja jälkimmäisen summan viimeinen termi saadaan molempien summien summausindeksille rajoitus i m, jolloin summat voidaan yhdistää: (a + b) m+ = a m+ + m i= [( ) ( )] m m + a m i+ b i + b m+ i i 7

18 Soveltamalla Pascalin kolmion yhteydessä esiintynyttä kaavaa (P) saadaan edelleen (a + b) m+ = a m+ + m ( ) m + a m+ i b i + b m+ i Lopuksi liitetään summaan ensimmäinen ja viimeinen termi (a + b) m+ = i= m+ i=0 ( m + i ) a m+ i b i ja havaitaan että on saatu kaava ( ) arvolla n = m + Kohdista ja seuraa induktioperiaatteen nojalla, että ( ) pätee kaikilla n N Esimerkki 3 Mikä on termin 3 y kerroin lausekkeessa ( + y) 5 + ( + y) 6, kun samanmuotoiset termit on ensin yhdistetty Ratkaisu Lausekkeessa ( + y) 6 = ( 6 ) k 6 k y k ei esiinny termiä 3 y Lausekkeessa ( + y) 5 = 5 ( 5 k k=0 ) () 5 k y k se esiintyy täsmälleen valinnalla k = muodossa ( 5 6 k=0 ) () 5 y = 5! 3!! 3 3 y = 80 3 y Näin ollen termin 3 y kerroin annetussa lausekkeessa on 80 Rationaaliluvut ja irrationaaliluvut Rationaaliluvut määriteltiin yllä kahden kokonaisluvun osamääriksi: Q = { p q } p, q Z, q 0 Myöhemmin esiteltävän sarjateorian avulla voi helposti osoittaa, että ne voidaan karakterisoida myös desimaalikehitelmänsä avulla sellaisina reaalilukuina, joiden desimaalikehitelmä on joko päättyvä tai päättymätön ja jaksollinen Näin ollen voisi odottaa, että valtaosa reaaliluvuista on irrationaalisia eli joukon R \ Q alkioita (desimaalikehitelmää muuttamalla jaksot on helppo poistaa, joten jaksollisuus jää harvinaiseksi erikoistapaukseksi) Konkreettisesta reaaliluvusta (esim, 3 7, π, ) on usein vaikea todistaa sen irrationaalisuutta Osoitamme melko helpon :n irrationaalisuuden, jonka Pythagoralaiset aistivat jo antiikin aikaan: neliön sivulla ja lävistäjällä ei ole yhteistä mittaa (pienempää janaa, jonka monikertoja molemmat ovat) 8

19 Esimerkki 4 Osoita, että R \ Q Ratkaisu Tehdään vastaoletus: Q ja kumotaan se hakemalla ristiriita Ratkaisussa käytetään koulukurssista tuttua kokonaislukujen jakoa alkutekijöihin Olkoon siis = p q (p, q Z, q 0) Voi olettaa, että p, q N (koska > 0) Saadaan q = p, josta q = p Jaetaan vasen ja oikea puoli alkutekijöihin ja tutkitaan, montako kertaa alkuluku on niissä tekijänä Jos se on q:ssa k kertaa tekijänä se on q :ssa k kertaa tekijänä ja siten vasemmassa puolessa q se on parittoman monta (k + ) kertaa tekijänä Samoin päätellen on oikeassa puolessa p parillisen monta kertaa tekijänä Kokonaislukujen alkutekijöihin jaon yksikäsitteisyys antaa tällöin ristiriidan q p Näin ollen ei voi olla Q ja siis R \ Q Reaalilukujen aksioomat Voidaan osoittaa, että on olemassa oleellisesti yksikäsitteinen (selitetään luennolla) joukko R varustettuna yhteenlaskulla + : R R R, (, y) + y ja kertolaskulla : R R R, (, y) y = y sekä järjestyksellä (määritellään myös < seuraavasti: < y ( y ja y)) niin, että seuraavat aksioomat ovat voimassa: () + (y + z) = ( + y) + z, y, z R, () 0 R siten, että + 0 = R, (3) R R siten, että + ( ) = 0 (merkitään + ( ) = ), (4) + y = y +, y R, (5) (y + z) = y + z, y, z R, (6) (yz) = (y)z, y, z R, (7) R siten, että 0 ja = R, (8) R \ {0} R siten, että =, (merkitään = ; jakolasku: y = y, kun 0), (9) y = y, y R, (0), y, z R tasan yksi ehdoista < y, = y, y < on voimassa, (y < merkitään myös > y), () y ja y z z, y, z R, () y + z y + z, y, z R, (3) 0 < ja 0 < y 0 < y, y R 9

20 Välihuomautuksia I) Voi osoittaa, että 0 ja ovat yksikäsitteiset ja että = ( ) ja ovat yksikäsitteiset II) Aksioomat ()-(3) toteuttaa R:n lisäksi esimerkiksi rationaalilukujen joukko Q varustettuna tavallisella yhteenlaskullaan, kertolaskullaan ja järjestyksellään III) Koulukursseissa opittu aritmetiikka ja epäyhtälöiden käsittelysäännöt seuraavat näistä aksiomista Oletamme tällaiset perusasiat tunnetuiksi IV) Seuraava ns täydellisyysaksiooma mahdollistaa R:n samaistamisen lukusuoran kanssa ilman aukkokohtia, joita esim rationaaliseen lukusuoraan jäisi ( R\Q olisi eräs puuttuva piste) Selitämme aksioomaa (4) heti sen jälkeen (4) (Täydellisyysaksiooma) Ylhäältä rajoitetulla epätyhjällä R:n osajoukolla A on pienin yläraja, A:n supremum, sup A Määritelmä 5 i) Joukko A R on ylhäältä rajoitettu, jos on olemassa M R niin, että M kaikilla A Jokainen tällainen luku M on A:n yläraja ii) Vastaavasti määritellään alhaalta rajoitettu joukko A R ja sen alaraja m ehdolla m kaikilla A iii) Jos A:ssa on suurin luku M, sitä merkitään M = ma A iv) Jos A:ssa on pienin luku m, sitä merkitään m = min A Täydellisyysaksiooma lausuu, että epätyhjän ylhäältä rajoitetun joukon A R ylärajojen joukossa M = {M R M on A:n yläraja} on pienin luku: min M = sup A Tästä seuraa helposti (sivuutan todistuksen) vastaava väite alarajoille: Lause 6 Alhaalta rajoitetun epätyhjän joukon A R alarajojen joukossa on suurin luku, A:n suurin alaraja, inf A (A:n infimum) Lause 7 Olkoon A R Tällöin () M = ma A sup A ja sup A A Tällöin M = sup A () m = min A inf A ja inf A A Tällöin m = inf A Todistus Todistetaan malliksi implikaatio ehdossa () Olkoon siis olemassa M = ma A Tällöin M A on A:n yläraja, joten A on ylhäältä rajoitettu ja epätyhjä ja on siis olemassa G = sup A Lisäksi pätee G M, sillä G on pienin yläraja ja M on eräs yläraja Jos olisi G < M, ei G olisikaan A:n yläraja, sillä M A Siis G = M 0

21 Esimerkki 8 i) A = ]0, [; tällöin ma A, min A, sup A =, inf A = 0 ii) A = [0, ]; tällöin ma A = = sup A, min A = 0 = inf A iii) Oletetaan A = { Q < } = Q ], [ Pätee: sup A =, inf A = ja A:lla ei ole supremumia eikä infimumia joukossa Q Todistus perustuu siihen, että on olemassa mielivaltaisen lähellä ± :ta olevia A:n lukuja (näitä saadaan esimerkiksi katkaisemalla :n desimaalikehitelmää) ja siihen, että R \ Q (esimerkki 4) Sivuutamme yksityiskohtaisen tarkastelun Tämä esimerkki näyttää samalla sen, että Q ei toteuta täydellisyysaksioomaa 4 Miten sitten osoitetaan, että G = sup A? Jos A:ssa ei ole suurinta alkiota, joudutaan usein käyttämään seuraavaa lausetta Lause 9 (sup:n ɛ-kriteeri) Olkoon A ylhäältä rajoitettu ja epätyhjä Luku G R on A:n supremum, jos ja vain jos se toteuttaa alla olevat ehdot () ja (): () G on A:n yläraja, () ɛ > 0 ɛ A ]G ɛ, G] Todistus Selvä, sillä () lausuu sen, että mikään G ɛ (ɛ > 0) ei enää ole A:n yläraja (eli yläraja G on tosiaan pienin yläraja) Lause 0 (inf:n ɛ-kriteeri) Olkoon A alhaalta rajoitettu ja epätyhjä Luku g R on A:n infimum, jos ja vain jos se toteuttaa alla olevat ehdot () ja (): () g on A:n alaraja, () ɛ > 0 ɛ A [g, g + ɛ[ Esimerkki Olkoon A = { n n N} Tällöin 0 = min A = inf A, sillä = 0 A ja 0 n N Sen sijaan ma A, koska = sup A / A n Osoitetaan väite = sup A sup:n ɛ-kriteerillä: () > n N, joten on A:n yläraja n () Olkoon ɛ > 0 Tällöin n > ɛ ɛ > n n > ɛ Valitaan n ɛ N niin, että n ɛ > ɛ ja merkitään ɛ = n ɛ A Tällöin ɛ A ] ɛ, ] Siis = sup A sup:n ɛ-kriteerin nojalla Itseisarvo Palautetaan mieliin reaaliluvun itseisarvo : {, jos 0 =, jos < 0, :n etäisyys origosta lukusuoralla R z } { O R

22 Esimerkki Ratkaise epäyhtälö + 3 < Tapa { + 3, = 3, < 3 a) 3: + 3 < < ; 3 <, b) < 3: 3 < > 4; 4 < < 3 Vastaus: 4 < < Tapa saadaan Koska + 3 = ( 3) on pisteen etäisyys 3:sta lukusuoralla, ( 3) < sama ratkaisuväli 4 < < kuin yllä z } { 4 3 R Lause (Itseisarvon ominaisuuksia) () y = y, y R () y = R, y R \ {0} y (3) 0 R ja = 0 = 0 (4) Olkoon a > 0, 0 R Tällöin a a a, < a a < < a, 0 a 0 a 0 + a, 0 < a 0 a < < 0 + a (5) + y + y, y R (6) y y, y R Epäyhtälöitä (5) ja (6) kutsutaan kolmioepäyhtälöiksi Todistus Väitteet ()-(4) ovat helppoja Todistetaan malliksi tärkeämpi kolmioepäyhtälö (5) käyttäen hyväksi ehtoa (4) Olkoot siis, y R Tällöin on ja y y y ( + y ) + y + y, josta ehdon (4) nojalla saadaan kolmioepäyhtälö + y + y Esimerkki 3 Kolmioepäyhtälöstä (5) seuraa, että (i) y = + ( y) + y = + y Mutkikkaampi seuraus on esimerkiksi arvio (ii) z = ( y) + (y z) y + y z

23 R:n metriikka; Q:n ja (R \ Q):n tiheys R:ssä Määritelmä 4 Lukujen R ja y R välinen etäisyys d(, y) = y Lause 5 (i) d(, y) 0, y R ja d(, y) = 0 = y (ii) d(, y) = d(y, ), y R (iii) d(, z) d(, y) + d(y, z), y R Todistus Helppo; ehto (iii) johdettiin yllä 3 (ii):ssa Määritelmä 6 Pisteen 0 R ɛ-ympäristö (ɛ > 0) on avoin väli ] 0 ɛ, 0 + ɛ[ ( merk = U ɛ ( 0 ) = U(ɛ, 0 ) = B ɛ ( 0 ) ) ja pisteen 0 R punkteerattu ɛ-ympäristö on joukko ] 0 ɛ, 0 + ɛ[ \ { 0 } ( merk = U ɛ( 0 ) = B ɛ( 0 ) = U(ɛ, 0 ) ) Pisteen 0 oikean - ja vasemmanpuoleiset ɛ-ympäristöt ovat puoliavoimet välit [ 0, 0 + ɛ[ ( merk = U + ɛ ( 0) = U + (ɛ, 0 ) ) ] 0 ɛ, 0 ] ( merk = U ɛ ( 0 ) = U (ɛ, 0 ) ) Määritelmistä 4 ja 6 sekä lauseesta 5 seuraa heti: Korollaario 7 (a) U ɛ ( 0 ) d(, 0 ) < ɛ 0 < ɛ (b) U ɛ ( 0) 0 < d(, 0 ) < ɛ 0 < 0 < ɛ Lause 8 Olkoon 0 R ja ɛ > 0 Tällöin on Q U ɛ ( 0 ) ja (R \ Q) U ɛ ( 0 ) (Siis jokainen R:n väli sisältää sekä rationaalilukuja että irrationaalilukuja eli Q ja R \ Q ovat tiheät joukossa R) Todistus Tuloksen voi todistaa lukujen n Q ja n R \ Q (n N) monikertoja m n Q ja m n R \ Q (m Z \ {0}) tarkastelemalla Koska nämä sijaitsevat n :n ja n :n välein, niitä löytyy ɛ:n pituiselta väliltä U ɛ( 0 ) kyllin suurilla n:n arvoilla Sivuutan yksityiskohdat; harjoituksen 4 tehtävässä käsitellään tapausta 0 = vaihtoehtoisella desimaalikehitelmään nojaavalla idealla 3

24 3 Raja-arvot Reaalifunktion raja-arvo Olkoon f : A R funktio, jonka lähtöjoukko A R sisältää pisteen 0 R kyllin pienet punkteeratut ympäristöt ts on olemassa h > 0 niin, että U h ( 0) = ] 0 h, 0 + h[ \ { 0 } A Sanomme, että f:llä on 0 :ssa raja-arvo a R, jos f() sijaitsee mielivaltaisen lähellä lukua a, kunhan sijaitsee kyllin lähellä lukua 0 ja 0 Täsmällisemmin ilmaisten ja raja-arvomerkinnän samalla esitellen saadaan määritelmä Määritelmä 3 Funktiolla f on raja-arvo a pisteessä 0 A, jos kaikilla ɛ > 0 on olemassa δ > 0 niin, että f() a < ɛ, kun 0 < 0 < δ Tällöin merkitään lim 0 f() = a (painetussa tekstissä usein myös lim 0 f() = a) Formaalisti tai lim 0 f() = a ɛ > 0 δ > 0 se f() a < ɛ, kun 0 < 0 < ɛ lim f() = a ( ɛ > 0 δ > 0 se 0 < 0 < ɛ f() a < ɛ) 0 tai lim f() = a ɛ > 0 δ > 0 se f() U ɛ (a) U 0 δ( 0 ) Huomautuksia ) Yllä ajatellaan aina valituksi δ < h, jotta f() olisi määritelty U δ ( 0):ssa ) f:n ei tarvitse olla määritelty 0 :ssa Jos f on määritelty 0 :ssa, arvo f( 0 ) ei vaikuta mitenkään raja-arvokäsitteeseen 3) Jos raja-arvo on olemassa, se on yksikäsitteinen (todistus harjoitustehtäväksi) Esimerkki 3 i) Jos f on vakiofunktio a U h ( 0):ssa, ts f() = a U h ( 0) niin lim f() = a 0 Perustelu: Jos ɛ > 0, niin 0 < 0 < δ = ɛ f() a = a a = 0 < ɛ (Itse asiassa mikä tahansa δ > 0 käy; muista kuitenkin yllä olevan huomautuksen kohta ) ii) Jos f() = U h ( 0), niin lim f() = 0 0 Perustelu: Jos ɛ > 0, niin 0 < 0 < δ = ɛ f() 0 = 0 = 0 < ɛ Jo esimerkissä 3 mainitut yksinkertaiset raja-arvotulokset antavat mahdollisuuden mekaanisempaan raja-arvolaskentaan yhdessä seuraavan peruslauseen kanssa 4

25 Lause 33 Olkoot f ja g U h ( 0):ssa määriteltyjä reaaliarvoisia funktioita ja olkoon lim f() = a, lim g() = b (a, b R) Tällöin 0 0 (i) (ii) (iii) (iv) ( ) lim f() + g() = a + b, 0 ( ) lim f() g() = a b, 0 lim 0 ( f()g() ) = ab ja f() lim 0 g() = a, kunhan b 0, b Todistus Malliksi (i) Olkoon ɛ > 0 Koska lim 0 f() = a, niin on olemassa δ > 0 siten, että 0 < 0 < δ f() a < ɛ ja samoin koska lim 0 g() = b, niin on olemassa δ > 0 siten, että Näin ollen 0 < 0 < δ g() a < ɛ 0 < 0 < δ = min{δ, δ } f() a < ɛ ja g() b < ɛ Kun 0 < 0 < δ, niin kolmioepäyhtälön nojalla saadaan arvio (f() + g()) (a + b) = (f() a) + (g() b) (f() a) + (g() b) < ɛ + ɛ = ɛ Väite (i) on nyt todistettu, koska ɛ > 0 oli mielivaltainen Funktio P : A R (A R; yleensä A = R) on polynomi, jos on olemassa kertoimet a 0,, a n R se P () = a 0 + a + + a n n = n a i i A i=0 Jos tässä lisäksi a n 0, polynomin aste deg(f) = n Funktio f : A R (A R) on rationaalifunktio, jos on olemassa P ja Q se Q() 0 A ja f() = P () A Q() Seuraava lause osoittaa, että rationaalifunktioilla raja-arvo on arvo ts ne ovat jatkuvia laajimmassa mahdollisessa määrittelyjoukossaan, jossa R:stä on poistettu nimittäjäpolynomin Q kaikki nollakohdat (niitä on enintään deg(q) kappaletta) 5

26 Lause 34 Olkoon f : A R (A R) rationaalifunktio, 0 A ja U h ( 0 ) A (h > 0) Tällöin on lim 0 f() = f( 0 ) Todistus Oletuksen nojalla on olemassa polynomit P, Q : A R se Q() 0 A ja f() = P () A Osamäärän raja-arvosäännön 33 (iv) nojalla on Q() lim 0 f() = lim P () 0 lim Q() = P ( 0) Q( 0 ), 0 sillä vakion raja-arvo 3 i), funktion f() = raja-arvo 3 ii) sekä summan ja tulon raja-arvosäännöt 33 (i) ja (iii) toistuvasti sovellettuina osoittavat, että yleisesti polynomin raja-arvo on sen arvo Jätämme yksityiskohdat lukijoille Esimerkki Olkoon f() = + Laske lim f(), kun a) 0 = 0, 0 b) 0 = Ratkaisu a) f : R\{, } R on rationaalifunktio, sillä f = P Q, P () = +, Q() = ja Q() = 0 = tai = Koska 0 R \ {, } saadaan suoraan lauseen 34 nojalla, että lim f() = f(0) = b) Koska Q() = 0, lausetta 34 ei voi käyttää (f ei ole edes määritelty pisteessä ) Tässä tapauksessa kuitenkin myös P () = 0 ja paljastuu, että f:n esitys f = P Q ei ole loppuun supistettu: joten P () = + = ( )( + ) ja Q() = = ( )( + ), f() = P () Q() = + + = R \ {, } Siten lause 34 sovellettuna supistettuun lausekkeeseen g() = + + antaa + lim f() = lim g() = g() = + = 3 6

27 Toispuoliset raja-arvot Määritelmä 35 Olkoon reaalifunktio f määritelty välillä ] 0, 0 + h[, missä h > 0 Tällöin f:llä on pisteessä 0 oikeanpuoleinen raja-arvo a R, lim f() 0 + jos kaikilla ɛ > 0 on olemassa δ > 0 niin, että 0 < < 0 + δ f() a < ɛ Formaalisti lim f() ɛ > 0 δ > 0 se f() a < ɛ ] 0, 0 + δ[ 0 + Vastaavasti määritellään vasemmanpuoleinen raja-arvo a pisteessä 0 ehdolla lim f() ɛ > 0 δ > 0 se f() a < ɛ ] 0 δ, 0 [ 0 Havaintojen 3 34 vastineet pätevät samanlaisin todistuksin myös oikeanpuolisille ja vasemmanpuolisille raja-arvoille Helposti todistetaan myös seuraava tulos: Lause 36 Jos on olemassa lim f(), niin on olemassa 0 ja lim f() ja lim 0 f() 0 + ( ) lim f() = 0 lim f() = 0 lim f() 0 + Kääntäen: Jos on olemassa lim f() ja lim 0 niin on olemassa lim 0 f() ja ( ) pätee Esimerkki 37 i) lim 0 = 0, sillä ii) f() ja lim 0 + f() = 0 > 0 = 0, kun 0; siis lim = 0 ja 0+ < 0 = 0, kun 0; siis lim = 0 0 lim = 0 = 0, sillä kaikilla ɛ > 0 pätee: 0+ 0 = < ɛ ] 0, ɛ [ (määritelmässä kaivatuksi ɛ:ia vastaavaksi δ:ksi voi siis valita δ = ɛ ) lim f(), 0 + iii) Olkoon 0 > 0 Tällöinkin (vrt kohta ii)) on lim 0 = 0 Jos näet ɛ > 0, niin 0 = 0 ( + 0 ) + 0 = < 0 0 kun 0 < δ = min{ 0, ɛ 0 } Huomautus Myöhemmässä terminologiassa kohdat 37 ii) ja iii) merkitsevät, että funktio f() = on jatkuva koko määrittelyjoukossaan [0, [ < ɛ 7

28 Lause 38 (Yhdistettyjen funktioiden raja-arvot) Olkoot g : B R ja f : A B (A, B R) kuvauksia, 0 R, U h ( 0) A (h > 0), a R, U k (a) B (k > 0), lim f() = a, lim g(y) = b Jos f() a 0 y a U h ( 0), niin yhdistetty funktio g f : A R toteuttaa ehdon lim 0 (g f)() = lim 0 g(f()) = b Todistus Olkoon ɛ > 0 Koska lim g() = b, löytyy δ > 0 se 0 < y a < δ y a g(y) b < ɛ Koska lim f() = a, löytyy edelleen δ > 0 se 0 < 0 < δ 0 f() a < δ Oletuksesta f() a U h ( 0) ja δ:n valinnasta seuraa nyt, että 0 < 0 < δ 0 < f() a < δ g(f()) b < ɛ, joten δ käy raja-arvon määrittelyssä haetuksi ɛ:ia vastaavaksi positiiviluvuksi ja väite on todistettu Lopuksi vielä kuva päättelyn juonesta: f g A B R ] [ ] [ ] [ 0 δ δ a δ a a + δ b ɛ b b + ɛ Huomautus 39 (i) Koska ehto lim g(y) = b ei takaa mitään mahdollisesta arvosta g(a) (jos a B), on selvää, että yllä tarvitaan rajoitus f() a lähellä y a 0 :aa (ii) Jos g on määritelty myös a:ssa (ts a B) ja jos lim g(y) = b = g(a), väite y a lim g(f()) = b pätee yllä myös ilman oletusta f() a lähellä pistettä 0 0 Todistuksessa mahdollisuus f() = a ei tuo ongelmia, sillä silloin g(f()) = g(a) = b Esimerkki i) lim + 3 = = lauseen 38, huomautuksen 39 ii) ja 3 esimerkin 37 iii) nojalla ii) Myös esimerkiksi yleisesti käytetyssä neliöjuurilavennuksessa käytetään samoja tietoja päättelyn pohjana Esimerkkinä tästä laskemme raja-arvon lim Nyt 3 6 = = ( 3)( + 3) ( 6)( + 3) = ( 3) ( 6)( + 3) = 4 ( 4)( + 4)( + 3) = ( + 4)( + 3) 4 8 = 6 Esimerkissä 37 ii) ja iii) todettu funktion f() = jatkuvuus pätee myös funktiolle f() = n Esitämme tuloksen jo tässä, vaikka todistukseen tarvittaisiin myöhempää tulosta käänteisfunktion jatkuvuudesta 8

29 Lause 30 (i) Jos n N on parillinen niin lim 0 n = n 0 0 [0, [ (pisteessä 0 = 0 raja-arvo on tietysti oikeanpuoleinen) (i) Jos n N on pariton niin lim 0 n = n 0 0 R Todistus Seuraus myöhemmästä käänteisfunktion jatkuvuustuloksesta Yhdessä yhdistettyjen funktioiden raja-arvotulosten 38 ja 39 ii) kanssa sovellettuna lause 30 mahdollistaa monia raja-arvolaskuja 3 + Esimerkki 3 Laske + lim Ratkaisu = 3 + ( 3 + )( ) = = 3 Laajennetut reaaliluvut R ja niihin liittyvät erityiset raja-arvokäsitteet Määritelmä 3 R = R { } { } ( ) seuraavin sopimuksin ( sallitut muodot ): > R \ { }, < R \ { }, + = + = + = R, + ( ) = = ( ) + = ( ) + ( ) = = R, a = a = a > 0, a ( ) = ( ) a = a > 0, a = a = a < 0, a ( ) = ( ) a = a < 0, a = a a R \ {0}, a = ( ) a R \ {0}, a n = n = n N, ( ) n = ( ) n n = ( ) n, a = a = 0 a R, = ( )( ) =, n = (n pariton), ( ) = ( ) = Raja-arvokäsitteissä ja voivat olla joko lähestyttävän pisteen 0 roolissa tai raja-arvon roolissa tai molemmissa Annamme perusmääritelmiä: R 9

30 Määritelmä 33 (i) lim f() = a (a R) ( ɛ > 0 M > 0 se > M f() a < ɛ) (ii) lim f() = a (a R) ( ɛ > 0 m < 0 se < m f() a < ɛ) (iii) (iv) lim f() = ( 0 R) 0 ( M > 0 δ > 0 se 0 < 0 < δ f() > M) lim 0 f() = ( 0 R) ( m < 0 δ > 0 se 0 < 0 < δ f() < m) (v) lim f() = ( M > 0 a M > 0 se > a M f() > M) (vi) lim f() = ( M > 0 bm < 0 se < bm f() > M) Loput käsitteet, lim 0 yo mallin avulla lim f() =, lim f() =, lim f() = ja lim 0 f() =, lim 0 + f() = jätämme lukijan itsensä muotoiltaviksi 0 + f() = Voidaan osoittaa, että raja-arvojen laskulausekkeet 33, 38 ja 30 pätevät myös R:ssa, kunhan lasketaan määritelmän 3 sallituilla muodoilla Kiellettyjä muotoja ovat esimerkiksi, ja 0, joita vastaavissa raja-arvolaskuissa tulos voi olla mitä tahansa (tai raja-arvoa ei tarvitse edes olla olemassa) Esimerkki 34 Laske lim a n + b n, (n N), (a, b R \ {0}) + Ratkaisu Suora sijoitus antaa osoittajaksi {, a > 0 a n + = a + =, a < 0 ja nimittäjäksi {, b > 0 b n + = b + =, b < 0 ja osamääräksi kielletyn muodon,, a n + b n + = a + n b + n tai On siis laskettava toisin: a + b + 30 = a + 0 b + 0 = a b,

31 ts muoto ( vast, tai ) voi tuottaa raja-arvoksi minkä tahansa luvun a b R \ {0} Tietysti raja-arvoksi voisi tulla myös 0 tai tai, esim + = = = 0, = =, = + 0 = Raja-arvoa ei myöskään tarvitse olla olemassa: Jos + f() =, Q, + +, R \ Q, + niin helposti nähdään, että lim Q f() = ja lim f() = R\Q (tällaisten uusien raja-arvokäsitteiden ilmeisen määritelmän jälkeen), mutta lim f() (= lim ja tämä raja-arvo on kiellettyä muotoa Esimerkki (i) tai toisin laskien (ii) R f()) lim (4 3 ) = lim 3 ( ) = 3 ( ) = 4 = 4 3 = 4 ( ) 4 ( ) = 4 = lim ( 3 ) = ( ) ( ) 3 = ( ) = + = tai toisin laskien 3 = ( ) tai vielä toisin laskien 3 = 3 ( ) ( ) ( ( )) = ( + ) = = ( )3 ( ) = ( )( ) = Joskus vaikeasti laskettava raja-arvo löytyy käyttäen kuristusta : 3

32 Lause 35 Olkoon 0 R ja olkoon g() f() h() U r ( 0) (r > 0), jos lim 0 g() = a = lim 0 h() (a R), niin lim 0 f() = a Todistus Koska ( ) f() a ma{ g() a, h() a } U r( 0 ), väite saadaan helposti raja-arvon määritelmää soveltaen: kun ɛ > 0, niin g() a < ɛ ja h() a < ɛ, kun on riittävän lähellä 0 :aa raja-arvo oletusten ollessa voimassa Jätämme yksityiskohtaisen päättelyn lukijalle tämän vihjeen jälkeen Huomautus Ehto ( ) seuraa siitä, että f() on g():n ja h():n välissä Huomautus 36 Lausetta 35 vastaava tulos pätee myös, kun 0 = tai 0 = tai kun raja-arvo a = tai a = (tai molemmat ovat ± ) Esimerkki 37 Laske lim sin 0, kun tiedetään, että sin y eli sin y y R Ratkaisu Koska sin R \ {0} niin sin R \ {0} Siis sin R \ {0} ja koska lim = 0 = lim( ) (esimerkki 37i), niin kuristusperiaate takaa, että 0 0 myös lim sin 0 = 0 Esimerkki 38 Funktiolla f() = sin ei ole raja-arvoa origossa, sillä origon jokaisessa ympäristössä U δ (0) f saa kaikki arvot välillä [, ] (esim f( ( ) ( nπ ) = sin(nπ) = 0 n N, f π + nπ = sin( π +nπ) = n N ja f 3π + nπ = sin( 3π + nπ) = n N) Valitsemalla ɛ < nähdään siis, ettei f() voi pysyä a:n ɛ-ympäristössä millään valinnalla a R Päättelyn yksityiskohdat lukija voi itse täydentää (sinifunktion tultua jatkossa määritellyksi) Seuraavaa lausetta on oikeastaan jo tarvittu tukemaan osamäärän raja-arvosäännön muotoilutapaa lauseessa 33 Sen mukaan funktio on raja-arvon merkkinen lähestyttävän pisteen pienessä ympäristössä (jos raja-arvo ei ole 0) Lause 39 Jos a > 0 ja lim 0 f() = a ( 0 R), niin on olemassa δ > 0 siten, että f() > 0 kaikilla U δ ( 0) Todistus Valitaan ɛ = a ja sovelletaan raja-arvon määritelmää: δ > 0 se f() a < a U δ ( 0) Tällöin f() > 0 U δ ( 0) Huomautus 30 Vastaava tulos pätee tapauksissa 0 = ja 0 = 3

33 Jatkuvuus Intuitiivisesti reaalifunktion f : I R (I R väli) jatkuvuus tarkoittaa, että sen kuvakäyrä y = f() on katkeamaton jatkuva käyrä Tämä idea on mahdollista saattaa täsmälliseen muotoon raja-arvokäsitteeseen perustuvalla määritelmällä, johon yllä on jo useaan kertaan viitattu: Määritelmä 3 Olkoon A R väli tai avointen välien pistevieras yhdiste Funktio f : A R on jatkuva pisteessä 0 A, jos sen raja-arvo 0 :ssa on on sen arvo f( 0 ) ts jos pätee ehto ( ) lim 0 f() = f( 0 ) Tapauksessa, jossa 0 I on välin A = I päätepiste, ehdolla ( ) tarkoitetaan toispuolista raja-arvoa Jos f on jatkuva jokaisessa 0 A, f on jatkuva A:ssa (tai vain f on jatkuva ) Esimerkki 3 Funktio f() = on jatkuva R:ssä, sillä lim 0 = 0 0 R Perustelu: 0 (6) 0 < ɛ, kun 0 < 0 < δ = ɛ Seuraavat lauseet on yllä oleellisesti jo todistettu raja-arvotuloksina Lause 33 Olkoot f : A R ja g : A R kuvauksia ja 0 A Jos f ja g ovat jatkuvia 0 :ssa (vast A:ssa), niin myös f + g, f g, fg ja f g ovat jatkuvia 0:ssa (vast A:ssa) Osamäärän f g tapauksessa tarvitaan lisäoletus, että g( 0) 0 (vast g() 0 A) Todistus Seuraus lauseesta 33 Seuraus 34 Rationaalifunktio f() = P (), (P, Q : R R polynomeja) on Q() jatkuva koko määrittelyjoukossaan A = { R Q() 0}, Todistus Lauseen 34 nojalla lim f() = f( 0 ) 0 A 0 ja A on äärellisen monen erillisen avoimen välin yhdiste Jatkuvien funktioiden yhdistetty kuvaus on aina jatkuva: Lause 35 Jos f : A B on jatkuva pisteessä 0 A ja g : B R jatkuva pisteessä f( 0 ) B, niin yhdistetty kuvaus g f : A R on jatkuva pisteessä 0 Todistus Seuraa lauseesta 38, katso myös huomautus 39 ii) 33

34 Esimerkki 36 Funktio f() = + on jatkuva R:ssä, sillä f voidaan esittää yhdistettynä kuvauksena jatkuvista funktioista h : R [0, [, h() = +, ja g : [0, [ R, g(y) = y: f() = + = g(h()) = (g h)() Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia Koska seuraavien lauseiden todistaminen veisi kurssin kannalta liian syvälle teoreettisiin tarkasteluihin, annamme ne ilman todistuksia Lause 37 Jos f : [a, b] R on jatkuva, niin f([a, b]) = [m, M], missä m on f:n pienin ja M f:n suurin arvo välillä [a, b] Suljetulla välillä jatkuva funktio saa siis tällä välillä suurimman arvon ja pienimmän arvon Lisäksi se saa kyseisellä välillä kaikki suurimman ja pienimmän arvon välisetkin arvot Jos erityisesti f(a) ja f(b) ovat erimerkkiset, pätee ns Bolzanon lause: Lause 38 (Bolzano) Jos f : [a, b] R on jatkuva ja f(a) < 0, f(b) > 0, niin on olemassa 0 ]a, b[ se f( 0 ) = 0 Todistus Annamme suoran todistuksen juonen, koska yleensä tätä lausetta käytetään apuna edellistä todistettaessa Merkitään A = {t [a, b] f() < 0 [a, t]} Tällöin A (a A) ja A on ylhäältä rajoitettu (b on A:n yläraja), joten on olemassa 0 = sup A b Voidaan osoittaa, että a < 0 < b (ks lause 39) ja f( 0 ) = 0 (Tämä 0 on f:n pienin nollakohta [a, b]:ssä Toiseksi pienintä ei muuten tarvitse edes olla olemassa, jos nollakohtia on äärettömän monta!) Esimerkki 39 Tutki onko funktiolla f() = + suurinta tai pienintä arvoa R:ssä Ratkaisu Tapa : f() = + = ( + ) 4 4 R ja f( ) =, joten on 4 olemassa min f(r) = 4 Koska lim f() = + = + =, suurinta arvoa ei ole Tapa : Koska f() = ja lim f() = ja lim f() = lim ( + ) = ( )( ) =, on olemassa M > 0 ja m < 0 siten, että välin [m, M] ulkopuolella f() > f() = Välillä [m, M] f saa pienimmän arvon a = min f([m, M]) Nyt [m, M] (koska f() > f() R \ [m, M]) Siten f() > f() a R \ [m, M] ja f() a [m, M] Siis f() a R Näin ollen: a = min f(r) ja ma f(r) Tavan perusajatus oli, että lähellä pisteitä ja f() on suurempi kuin f(), jonka avulla voitiin pienintä arvoa haettaessa rajoittua sopivaan :n sisältävään suljettuun väliin ja käyttää siellä lausetta 37 Välillä määritellyn jatkuvan bijektion käänteisbijektio on jatkuva: 34

35 Lause 330 Olkoon f : I R (I R väli) kuvaus Jos f on jatkuva, niin kuvajoukko I = f(i) on myös väli (tai piste, jonka voi ajatella yksipisteiseksi suljetuksi väliksi ) Jos lisäksi f on injektio, niin rajoittuma f : I I on aidosti monotoninen bijektio, jonka käänteisbijektio f : I I on jatkuva ja aidosti monotoninen (kasvava, jos f on kasvava, ja vähenevä, jos f on vähenevä) Huomautus 33 Lauseen 30 väite juurifunktion jatkuvuudesta seuraa nyt siitä, että g() = n on funktion f() = n käänteisfunktio Jos n on parillinen, f : [0, [ [0, [ on jatkuva, aidosti kasvava bijektio ja y = f() = n = g(y) = n y, y [0, [ Siten g = f on jatkuva ja aidosti kasvava Jos taas n on pariton, niin f : R R, f() = n on jatkuva ja aidosti kasvava bijektio ja g = f : R R, g(y) = n y, on siis myös jatkuva ja aidosti kasvava Kummassakin tapauksessa aidon kasvun voi todistaa suoraankin, mutta helpompi todistus saadaan myöhemmin derivaatan avulla Funktion f() = n surjektiivisuus seuraa kummassakin tapauksessa siitä, että jatkuva funktio saa kahden arvonsa väliset arvot Todistus sujuu seuraavan esimerkin tyyliin Esimerkki Olkoon n N ja olkoon c > 0 Tällöin funktio f() = n on jatkuva, f(0) = 0 ja lim f() = Siten on olemassa sellainen M > 0, että f() > c aina kun M Nyt 0 = f(0) < c < f(m) ja f on jatkuva välillä [0, M], joten on olemassa sellainen 0 [0, M], että f( 0 ) = c Esimerkki 33 i) Esimerkin 37 nojalla on lim sin 0 = 0 Näin ollen funktio { sin f() =, 0, on jatkuva origossa, sillä lim f() = 0 = f(0) 0, = 0 0 (Se on jatkuva myös origon ulkopuolella, sillä sin : R R on jatkuva (myöhempi asia), joten yhdistettyjen funktioiden jatkuvuussääntö takaa funktion sin jatkuvuuden pisteissä 0 0 Edelleen tulon jatkuvuussäännöstä seuraa, että myös sin on jatkuva tällöin) ii) Esimerkin 38 nojalla ei ole olemassa raja-arvoa lim sin 0 Siten ei ole olemassa { sin R:ssä määriteltyä jatkuvaa funktiota f, joka olisi muotoa f() =, 0 a, = 0, (a R), sillä ehto lim f() = f(0) ei voi toteutua, koska raja-arvoa lim f() ei ole 0 0 Toisin sanoen funktiota sin ei voi laajentaa origossa jatkuvaksi funktioksi { +, a Esimerkki 333 Millä a:n arvolla funktio f : R R, f() =, < a on jatkuva? Ratkaisu Jos 0 a, f yhtyy 0 :n kokonaisessa ympäristössä jatkuvaan funktioon g() = + tai h() = Tällöin lim f() = f( 0 ), sillä raja-arvo ei riipu 0 funktion arvoista etäällä 0 :sta Näin ollen f on jatkuva 0 :ssa ainakin silloin kun 0 a Ratkaisevaksi muodostuu siis f:n jatkuvuus pisteessä 0 = a Tätä 35

36 täytyy tutkia laskemalla erikseen toispuoliset raja-arvot a:ssa, sillä a:n ympäristössä f:llä on eri lausekkeet a:sta vasemmalle ja oikealle Nyt joten lim f() = lim ( + ) = a + = f(a) ja lim f() = lim = a, a+ a+ a a lim a f() = f(a) a + = a a = Siis f on jatkuva a:ssa a = Siis f on jatkuva R:ssä a = Lukujonon raja-arvo Määritelmä 334 Lukujono on kuvaus f : N R, f(n) = a n, (n N) Arvo f(n) = a n on jonon n:s jäsen ja jonoa merkitään myös (a n ) n= = (a n) Jos n < n < on aidosti kasvava jono luonnollisia lukuja, saadaan jonon (a n ) osajono (a ni ) i= ( ) Esimerkki i) Jonossa n on a n = n n N n= ii) Jono =, n+ = n + (n N), on määritelty palautuskaavalla (rekursiolla) antamalla seuraava jäsen edellisten avulla Itse asiassa näillä kaavoilla annettu n jono toteuttaa ehdon n = n n N! Todistetaan tämä induktiolla: = =, joten väite n = n pätee kun n = Tehdään induktio-oletus: n N ja n = n Tällöin saadaan n+ = n ind ol = + n /n + /n = n n n( + n ) = n + & &ind n = n n N Määritelmä 335 Jono (a n ) n= suppenee kohti lukua a R, lim n a n = a, jos ɛ > 0 n ɛ N se n > n ɛ a n a < ɛ Jono (a n ) n= suppenee (hajaantuu) kohti ääretöntä, lim n a n =, jos M > 0 n M N se n > n M a n > M Jono (a n ) n= suppenee (hajaantuu) kohti miinus ääretöntä, lim n a n =, jos m < 0 n m N se n > n m a n < m Suppenevan jonon osajonot suppenevat myös: 36

37 Lause 336 Jos (a ni ) i= on jonon (a n) osajono ja jos lim n a n = a (a R), niin lim i a n i = a Todistus Käsitellään malliksi tapaus a R Olkoon ɛ > 0 Koska lim a n = a, n n ɛ se n > n ɛ a n a < ɛ Valitaan i ɛ N se n iɛ > n ɛ Tällöin i > i ɛ n i > n iɛ a ni a < ɛ Käänteiseen suuntaan pätee (todistus harjoitustehtäväksi): Lause 337 lim a n = a n lim a n = a ja n lim a n+ = a n Toisin sanoen, jonon (a n ) suppenemiselle on välttämätöntä ja riittävää parillisten ja parittomien jäsenten muodostamien osajonojen suppeneminen kohti samaa raja-arvoa Jonojen raja-arvoille pätee samanlainen laskulause kuin funktioiden raja-arvoille: Lause 338 Jos lim a n = a ja lim b n = b, niin n n (i) lim (a n ± b n ) = a ± b, n (ii) lim a nb n = ab, n (iii) lim a n = a n bn b, jos b n 0 n N ja b 0 Itse asiassa monet jonojen raja-arvolaskut voi ajatella funktioiden raja-arvoina :ssä, jos n:n pystyy halutessaan tulkitsemaan reaaliseksi variaabeliksi tarkasteltavassa tilanteessa Esimerkki 339 (i) lim n n = = 0 ( ) (ii) lim n n n = 0, sillä parillisten osajono n 0 ja samoin parittomien n osajono n + 0 Myös voisi soveltaa kuristusperiaatetta: n n ( )n n n ja lim n n = 0 ja lim ( n n ) = 0 joten lim ( ) n n n = 0 Määritelmä 340 Jono (a n ) n= on nouseva (kasvava), jos a n+ a n n N Jono (a n ) n= on laskeva (vähenevä), jos a n+ a n n N Jono (a n ) on ylhäältä rajoitettu (vast alhaalta rajoitettu), jos joukko {a n n N} on vastaavanlainen Esimerkki Jono n N ja ( n n + ) on ylhäältä rajoitettu, kasvava jono, sillä n n + < n n + < n n + + n N, (sillä n + n < (n + ) = n + n + n N) Perustulos nousevien ja laskevien jonojen suppenemisesta on yksinkertainen: 37

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 26. lokakuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 26. lokakuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 26. lokakuuta 2004 34 Sisältö 3 Reaauuttujan funktiot 35 3.1 Peruskäsitteitä................................. 35 3.2 Raja-arvon määritelmä............................. 43 3.3 Raja-arvon

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

Funktiot ja raja-arvo. Pekka Salmi

Funktiot ja raja-arvo. Pekka Salmi Funktiot ja raja-arvo Pekka Salmi Versio 0.3 13. lokakuuta 2017 Johdanto Tämä moniste on keskeneräinen... 1 1 Reaaliluvut 1.1 Lukujoukot Lukujoukoista käytettään seuraavia merkintöjä: N = {0, 1, 2, 3,...}

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille

Lisätiedot

Raja-arvot ja jatkuvuus

Raja-arvot ja jatkuvuus Raja-arvot ja jatkuvuus 30. lokakuuta 2014 10:11 Suoraa jatkoa kurssille Johdatus reaalifunktioihin (MATP311) (JRF). Oheislukemista: Kilpeläinen: Analyysi 1, luvut 3-6, Spivak: Calculus, luvut 5-8, 22,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 2 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 8 Mikko Salo 13.9.2017 Sisältö 1. Kertausta Kurssin suorittaminen Kurssi suoritetaan lopputentillä (20.9. tai 4.10.). Arvostelu hyväksytty/hylätty. Tentissä on aikaa 4 h,

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 1. ALUKSI Joukko-oppia Lyhenteitä ja merkintöjä. A = B A:sta seuraa B. Implikaatio. A B A ja B yhtäpitävät. Ekvivalenssi.

Lisätiedot

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 4. Kurssikerta Petrus Mikkola 4.10.2016 Tämän kerran asiat Funktion raja-arvo Raja-arvon määritelmä Toispuolinen raja-arvo Laskutekniikoita Rationaalifunktion esityksen

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................

Lisätiedot

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Joukot. Georg Cantor ( )

Joukot. Georg Cantor ( ) Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38

Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne.

Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Aloitus Vieruskaverisi on tämän päivän luennolla työtoverisi. Jos sinulla ei ole vieruskaveria, siirry jonkun viereen. Esittäytykää toisillenne. Mitkä seuraavista väitteistä ovat tosia? A. 6 3 N B. 5 Z

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

Analyysi A. Raja-arvo ja jatkuvuus. Pertti Koivisto

Analyysi A. Raja-arvo ja jatkuvuus. Pertti Koivisto Analyysi A Raja-arvo ja jatkuvuus Pertti Koivisto Kevät 207 Alkusanat Tämä moniste on tarkoitettu oheislukemistoksi Tampereen yliopistossa pidettävälle kurssille Analyysi A. Monisteen tavoitteena on tukea

Lisätiedot

Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Analyysi 1. Pertti Koivisto

Analyysi 1. Pertti Koivisto Analyysi Pertti Koivisto Syksy 204 Alkusanat Tämä moniste on tarkoitettu oheislukemistoksi Tampereen yliopistossa pidettävälle kurssille Analyysi. Monisteen tavoitteena on tukea luentojen seuraamista,

Lisätiedot

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. 3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT: Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi

Lisätiedot