Taivaanmekaniikkaa Kahden kappaleen liikeyhtälö

Transkriptio

1 Taivaanmekaniikkaa kaavojen johto, yksityiskohdat yms. ks. Kattunen, Johdatus taivaanmekaniikkaan tai Kattunen, Donne, Köge, Oja, Poutanen: Tähtitieteen peusteet tai joku muu tähtitieteen/taivaanmekaniikan oppikija Newton: Kahden kappaleen liikeyhtälö F Gm1m 3 F m m Gm1m m Gm m 3 = G(m m ) Oletus: ei muita kappaleita, kappaleet pistemäisiä, ei muita vaikuttavia voimia kuin vetovoima 1

2 Kahden kappaleen liikeyhtälö Yksiköiden valinta: tilanteen mukaan = G(m 1 + m ) GM tai GM GM m 3 s GM = 4p kun massan yksikkönä on Auingon massa pituuden yksikkönä AU ajan yksikkönä tooppinen vuosi HUOM: Massaa ja vetovoimavakiota ei voi eottaa toisistaan; G:n numeoavo SI-yksiköissä tunnetaan huonosti; älä käytä jos ei ole pakko Kahden kappaleen liikeyhtälö Toisen ketaluvun vektoiavoisen diffeentiaaliyhtälön atkaisemiseksi tavitaan kuusi integoimisvakiota. Nämä voidaan valita tilanteesta iippuen: ataelementit; kappaleen ataa kuvaavat (geometiset) suueet. Etuna havainnollisuus kappaleen paikka- ja nopeusvektoit ajanhetkellä t 0 ; etuna helppo käytettävyys numeeisessa laskennassa fysikaaliset suueet, impulssimomenttivektoi k ja eksentisyysvektoi e; etuna analyyttisen atkaisun kaavojen johto

3 = adiusvektoi f = todellinen (tai luonnollinen) anomalia e = eksentsyysvektoi Satelliitin ataelementit a = ataellipsin isoakselin puolikas. e = eksentisyys, ellipsiadalle [0, 1). i = inklinaatio, atatason kaltevuus peustason suhteen. Satelliiteille peustasona käytetään yleensä maapallon ekvaattoitasoa. i on välillä [0º, 90º] jos satelliitti liikkuu Maan pyöimisen suuntaan, (90º, 180º), jos liike on vastakkaista l. etogadista. = nousevan solmun ektaskensio, kulma mitataan pitkin peustasoa sovitusta kiinteästä suunnasta, esimekiksi kevättasauspisteen suunnasta vastapäivään. Ilmoittaa missä satelliitti nousee ekvaattoin pohjoispuolelle. = peigeumin agumentti, kulma nousevan solmun suunnasta mitattuna peigeumin suuntaan. = peigeumaika, ajanhetki, jolloin satelliitti on lähinnä Maata. 3

4 Ratataso on vakio jos ei häiiöitä impulssimomentti on vakio = sen aikadeivaatta on 0 = 0 Keple I adat katioleikkauksia k / 1 e cos f peigeum apogeum isoakseli ê f Maa f e ê a h a h ellipsiata hypebeliata satelliitin ata h = ½v / kokonaisenegia 4

5 a sin E Keple II ja Keple III 1 A f k 1 P 3 4p a G( m m ) pintanopeus on vakio Keple: P 3 1 P a1 / / a 3 Satelliitin paikka a b a E S ae a cos E f Q' Q X a(cos E e) bsin E = a(1 e cos E) M t p P E e sin E = M 5

6 Satelliitin paikka Maa f e peigeum a cos E e cos 1 e sin E sin f f na sin E 1 e cos E na 1 ( ecos E). Siityminen Maahan sidottuun koodinaatistoon 1. Rataan sidotusta jäjestelmästä inetiaalikoodinaatistoon x y R z cos f R sin f 0 R R ) R ( i ) R ( ) 3( 1 3 coscos sinsin cosi cossin sincos cosi sinsini sincos cossin cosi sinsin coscos cosi cossini sin sini cos sini cosi 6

7 7 Siityminen Maahan sidottuun koodinaatistoon.inetiaalikoodinaatistosta Maahan kiinnitettyyn koodinaatistoon x y z x y z CTS M S N P CIS R R R R Siityminen Maahan sidottuun koodinaatistoon 3. Geosentisestä toposentiseen koodinaatistoon x y z x y z * * * tan tan sin * * * * * * * y x z y

8 Satelliitin nopeus havaitsijaan nähden = Maan pyöimisliikkeen keskimäääinen kulmanopeus Esimekki; satelliitin paikka 8

9 Esimekki; satelliitin paikka Esimekki; satelliitin paikka 9

10 Esimekki; satelliitin paikka Esimekki; satelliitin paikka Hajoitustehtäväksi jätetään loppu tästä eteenpäin. Lasketaan toposentiset koodinaatit ja edelleen toposentinen ektaskensio ja deklinaatio, josta edelleen kokeus ja atsimuutti... 10

11 Todellisuus on toista (vai?) Ratahäiiöt Maailmankaikkeudessa ja auinkokunnassa on enemmän kuin kaksi kappaletta kappaleet eivät ole pistemäisiä liikkeeseen vaikuttaa muitakin voimia kuin vain vetovoima Mutta: Keplein liike hyvä 1. ketaluokan appoksimaatio f 3 Ratahäiiöt. (t,,, q i ) useissa tapauksissa muiden kappaleiden vaikutus voidaan ottaa mukaan häiiötemeinä, ts. vaikutus on paljon pienempi kuin Kepleliikkeen aiheuttavan temin. Pätee sekä planeetoille (eityisesti) että useimmille satelliiteille ja luotaimille 11

12 J ja J3 vaikutus Staletten adan eksentisyyteen, aika vuookausia Ratahäiiöt; GPS-satelliitti Häiiö kiihtyvyys vihe paikassa [m] [m s ] vuookaudessa Maan litistyminen, J -temi Maan litistyminen, muut muodosta johtuvat temit Kuu Auinko kiinteän maan vuoksi valtameten vuoksi Auingon säteilypaine säteilypaine, ''y-bias'' Maan albedo suhteellisuusteo. efektit

13 V GM n 1 n m1 n a n Maan muoto a n J P (sin ) n n ( Jnm cos m Knm sin m) Pnm(sin ) Esimekki: J aiheuttaa atatason kietymän (Regesses West) (Regesses East) 13

14 Säteilypaine 14

15 GPS-kontolliasemat, NGA:n seuanta-asemat IGS Tacking Netwok 15

16 Boadcast IGS 16