Kompleksianalyysi I A

Transkriptio

1 Kompleksianalyysi I A 2011

2

3 i Esipuhe Tämän luentomonisteen ensimmäisen version kirjoitti Tero Knuutinen Jorma Arhippaisen kevään 2007 luentojen pohjalta. Uudistetun painoksen on toimittanut Markus Harju vuoden 2011 kesäkurssia varten.

4 Kompleksianalyysi I ii

5 Sisältö 1 Kompleksilukujen kunta Kompleksilukujen kunta Kompleksitaso ja itseisarvo Kompleksilukujen napakoordinaattiesitys Kompleksitason analyyttistä geometriaa Kompleksitason topologiaa Jonoista Sarjat Kompleksimuuttujan funktioista Kompleksiarvoiset funktiot Funktion raja-arvo Jatkuvuus Analyyttiset funktiot (funktion derivaatta) Cauchyn Riemannin yhtälöt Eräitä funktioita Polynomifunktiot Rationaalifunktiot Juurifunktiot Eksponenttifunktio Logaritmi Trigonometriset funktiot Hyperboliset funktiot Yleistetty potenssifunktio L Hospitalin sääntö raja-arvon laskemiselle Käyräintegraali C:ssä Kompleksitason käyristä Käyräintegraali Hakemisto 45 iii

6 Luku 1 Kompleksilukujen kunta Lukujoukkoja merkitään seuraavasti: N = {0,1,2,...} (luonnolliset luvut) Z = {..., 1,0,1,...} (kokonaisluvut) Q = { m : m,n Z,n 0} (rationaaliluvut) n R = {x = k=l a k10 k : l Z,a k {0,1,...,9}} (reaaliluvut) Määritelmä 1.1 (Kunta). Olkoon K joukko, jossa on määritelty laskutoimitukset + (yhteenlasku) ja (kertolasku 1 ) seuraavina kuvauksina: + : K K K, K K (a,b) a+b K : K K K, K K (a,b) a b K Sanotaan, että (K,+, ) on kunta, jos seuraavat aksioomat ovat voimassa: K1 (a+b)+c = a+(b+c) kaikilla a,b,c K. K2 Joukossa K on nolla-alkio 0, jolle pätee a+0 = 0+a = a kaikilla a K. K3 Jos a K, niin on olemassa vasta-alkio a K, jolle pätee a + ( a) = ( a)+a = 0. K4 a+b = b+a kaikilla a,b K. K5 (ab)c = a(bc) kaikilla a,b,c K. K6 Joukossa K on ykkösalkio 1, jolle pätee a 1 = 1 a = a kaikilla a K. K7 Jos a K ja a 0, niin on olemassa a 1 K, jolle a a 1 = a 1 a = 1. Tässä 1 on ykkösalkio. Alkiota a 1 sanotaan alkion a käänteisalkioksi. 1 Usein käytetään lyhennysmerkintää a b = ab 1

7 Kompleksianalyysi I 2 K8 a b = b a kaikilla a,b K. K9 a (b+c) = (a b)+(a c) kaikilla a,b,c K. 1.1 Kompleksilukujen kunta Tarkastellaan joukkoa R 2 = R R = {(x,y) : x,y R}, missä (x,y) on järjestetty reaalilukujen pari, jolle pätee (x 1,y 1 ) = (x 2,y 2 ) jos ja vain jos x 1 = x 2,y 1 = y 2. Voidaan tulkita R R 2, kun alkio x R samaistetaan alkion (x,0) R 2 kanssa. Näin ajatellen R 2 on R:n laajennus joukkona. Määritellään laskutoimitukset+ja joukossar 2 seuraavasti: jos(x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ) R 2, niin 1) (x 1,y 1 )+(x 2,y 2 ) = (x 1 +x 2,y 1 +y 2 ) R 2 2) (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2,x 1 y 2 +x 2 y 1 ) R 2. Huomautus. Laskutoimitukset + ja ovat reaalilukujen tavanomaisten yhteen ja kertolaskun laajennuksia joukkoon R 2. Merkitään i = (0,1) R 2. Jos (x,y) R 2, niin (x,y) = (x,0)+(0,y) = (x,0)+(0,1)(y,0) = (x,0)+i(y,0) = x+iy. Täten voidaan samaistaen kirjoittaa R 2 = {(x,y) : x,y R} = {x+iy : x,y R} = C. Huomautus. Joukon R 2 kertolaskun määritelmän nojalla i 2 = (0,1) (0,1) = (0 1,0) = ( 1,0) eli i 2 = 1. Alkiota i kutsutaan imaginääriyksiköksi. Määritelmä 1.2 (Joukko C). Jos x + iy C,x,y R ja i on imaginääriyksikkö, jolle pätee i 2 = 1, niin merkitään z = x+iy. Jos z k = x k +iy k C,k = 1,2, niin laskutoimitukset (1) ja (2) tulevat muotoon: 1) z 1 +z 2 = (x 1 +iy 1 )+(x 2 +iy 2 ) = (x 1 +x 2 )+i(y 1 +y 2 ) 2) z 1 z 2 = (x 1 +iy 1 )(x 2 +iy 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 +x 2 y 1 ).

8 3 Luku 1. Kompleksilukujen kunta Luvun z C reaaliosaa merkitään x = Re(z) R ja imaginääriosaa y = Im(z) R. Kompleksiluvut z 1 ja z 2 ovat samat, merkitään z 1 = z 2, jos Re(z 1 ) = Re(z 2 ) ja Im(z 1 ) = Im(z 2 ). Lause 1.3. (C, +, ) on kunta. Todistus. Käydään läpi kunta-aksioomat. K1 Selvä. K2 Nolla-alkio on 0 = 0+i0. K3 Jos z = x+iy C, niin ( z) = ( x)+i( y) C. K4 Selvä. K5 Jos z k C,k = 1,2,3, niin (z 1 z 2 )z 3 = [x 1 x 2 y 1 y 2 +i(x 1 y 2 +x 2 y 1 )](x 3 +iy 3 ) K6 Ykkösalkio on 1 = (1,0) = 1+i0. = [(x 1 x 2 y 1 y 2 )x 3 (x 1 y 2 +x 2 y 1 )y 3 ] +i[(x 1 x 2 y 1 y 2 )y 3 +(x 1 y 2 +x 2 y 1 )x 3 ] = [x 1 x 2 x 3 x 1 y 2 y 3 y 1 y 2 x 3 y 1 x 2 y 3 ] +i[x 1 x 2 y 3 +x 1 y 2 x 3 +y 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 ] = [x 1 (x 2 x 3 y 2 y 3 ) y 1 (y 2 x 3 +x 2 y 3 )] +i[x 1 (x 2 y 3 +y 2 x 3 )+y 1 (x 2 x 3 y 2 y 3 )] = (x 1 +iy 1 )[(x 2 x 3 y 2 y 3 )+i(x 2 y 3 +x 3 y 2 )] = z 1 (z 2 z 3 ). K7 Jos z = x+iy C ja z 0 = 0+i0, niin x 0 tai y 0. Asettamalla ( ) z 1 x y = x 2 +y +i C 2 x 2 +y 2 nähdään, että [ z 1 z = K8 z 1 z 2 = z 2 z 1. x x 2 +y 2 +i K9 z 1 (z 2 +z 3 ) = z 1 z 2 +z 1 z 3. ( )] y (x+iy) = = 1 = zz 1. x 2 +y 2 Täten joukko C varustettuna laskutoimituksilla + ja on kunta.

9 Kompleksianalyysi I Kompleksitaso ja itseisarvo TunnetustiR 2 voidaan kuvataxy-koordinaatiston avulla tasona. SamaistuksellaR 2 C myös C voidaan esittää koordinaatiston avulla. y R 2 Im C (x,y) z = x+iy x Re Määritelmä 1.4. Luvun z = x + iy C itseisarvo on z = x 2 +y 2 R, joka vastaa pisteen (x,y) etäisyyttä origosta. Itseisarvo R:ssä antaa metriikan R:ään, eli lukujen x ja y etäisyyden d(x, y) = x y. Vastaavasti itseisarvo C:ssä määrää metriikan d(z 1,z 2 ) = z 1 z 2. Merkitään d C = metriikka C:ssä d C R = d R = metriikka R:ssä. Kunta(C, +, ) on näin myös kunnan(r, +, ) metrinen (topologinen) kuntalaajennus. Itseisarvolle pätee seuraavat ominaisuudet: 1) z 1 z 2 = z 1 z 2. 2) z 1 = z 1 z 2, z 2 0. z 2 3) Re(z) Re(z) z ja Im(z) Im(z) z. 4) z 1 +z 2 z 1 + z 2 (kolmioepäyhtälö). Määritelmä 1.5. Luvun z = x+iy C liittoluku on z = x iy C. Liittoluvulle pätee mm. seuraavat ominaisuudet: 1) i = i. 2) zz = zz = x 2 +y 2 = z 2. 3) Jos z = z, niin z R.

10 5 Luku 1. Kompleksilukujen kunta 4) z = z kaikille z C. Jos z = x+iy 0, niin edellä tavattu käänteisalkio voidaan laskea laventamalla liittoluvulla eli Lisää ominaisuuksia: 1) z = z kaikilla z C. 2) z 1 +z 2 = z 1 +z 2. 3) z 1 z 2 = z 1 z 2. 4) ( ) 1 = 1 z z. 5) z 1 z 2 = z 1z 2 z 2 2, z 2 0. z 1 = 1 z = z zz = z x 2 +y 2 = 6) z +z = 2Re(z) ja z z = i2im(z). x x 2 +y iy 2 x 2 +y 2. Määritelmä 1.6. Jos z 0 C ja ε > 0, niin z 0 -keskinen, ε-säteinen kompleksitason ympyrä on S ε (z 0 ) = {z C : z z 0 = ε}. Huomautus. 1) Jos z 1,z 2 S 1 (0), niin z 1 z 2 S 1 (0). 2) Jos z 1 S 1 (0), niin 1 z 1 S 1 (0). Esimerkki 1.7. Olkoon z 1 = 3+4i ja z 2 = 2+3i. Tällöin a) z 1 +z 2 = 3+2+(4+3)i = 5+7i b) z 1 z 2 = (3+4i)(2+3i) = 6 12+(9+8)i = 6+17i c) 1 z 2 = z 2 z 2 2 = 2 3i 4+9 = i d) z 1 = z 1z 2 = (3+4i)(2 3i) z 2 z 2 z 2 13 = (6+12)+( 9+8)i 13 = i 13.

11 Kompleksianalyysi I Kompleksilukujen napakoordinaattiesitys Olkoon z C,z 0,z = x + iy. Merkitään r = z = x 2 +y 2 (z:n moduuli) ja olkoon θ positiivisen reaaliakselin ja z:n väliin jäävä kulma. Kulma θ voidaan rajoittaa välille 0 θ < 2π. Tällöin z = x+iy = r(cosθ+isinθ) on luvun z (yksikäsitteinen) napakoordinaattiesitys. Kulmaa θ sanotaan luvun z argumentiksi ja sitä merkitään θ = arg z. y r θ z = x+iy x Kulman θ määrääminen voidaan jakaa seuraaviin tapauksiin: Tapaus y = 0 ja x 0: Jos x > 0, niin θ = 0. Jos x < 0, niin θ = π. Tapaus x = 0 ja y 0: Jos y > 0, niin θ = π 2. Jos y < 0, niin θ = 3π 2. Jos taas x,y 0, niin { x = rcosθ Tällöin y = rsinθ. tanθ = y x = rsinθ rcosθ = sinθ cosθ

12 7 Luku 1. Kompleksilukujen kunta eli θ = arctan y +nπ, n Z, x jossa kertoimen n valinta riippuu lukujen x ja y merkistä eli siitä, mihin tason neljännekseen z kuuluu: 1 Jos x,y > 0, niin n = 0 2 Jos x < 0,y > 0, niin n = Jos x,y < 0, niin n = 1 4 Jos x > 0,y < 0, niin n = Esimerkki ) Jos z = 2, niin r = 2 = 2 ja θ = 0. 2) Jos z = 2i, niin r = 2i = 2 ja θ = 3π 2. 3) Jos z = 1+i, niin r = 2 ja θ = π 4. Tulo napakoordinaattiesityksessä Olkoon z 1 = r 1 (cosθ 1 + isinθ 1 ) ja z 2 = r 2 (cosθ 2 +isinθ 2 ). Tällöin z 1 z 2 = r 1 (cosθ 1 +isinθ 1 )r 2 (cosθ 2 +isinθ 2 ) = r 1 r 2 (cosθ 1 cosθ 2 sinθ 1 sinθ 2 )+i(cosθ 1 sinθ 2 +cosθ 2 sinθ 1 ) = r 1 r 2 (cos(θ 1 +θ 2 )+isin(θ 1 +θ 2 )). Tästä seuraa, että jos z = r(cosθ +isinθ), niin ns. De Moivren kaava pätee. z n = r n (cos(nθ)+isin(nθ)), n = 1,2,3,... Esimerkki 1.9. Edellisen kaavan avulla voidaan mm. ratkaista yhtälö z 3 = 1.

13 Kompleksianalyysi I 8 Kirjoitetaan z = r(cosθ+isinθ) ja pyritään määräämään r ja θ. De Moivren kaavan nojalla z 3 = r 3 (cos3θ+isin3θ) = 1 = cos0+isin0, missä myös luku 1 on kirjoitettu napakoordinaateissa. Ottamalla itseisarvot puolittain saadaan r 3 = 1, joten r = 1. Vertaamalla reaali- ja imaginääriosia keskenään saadaan jaksollisuus huomioiden 3θ = 0+k2π, k Z eli θ = θ k = k2π/3. Täten yhtälön ratkaisut ovat (r = 1) eli ja z k = cosθ k +isinθ k z 0 = cos0+isin0 = 1, z 1 = cos 2π 3 +isin 2π 3 = i z 2 = cos 4π 3 +isin 4π 3 = i. Muilla arvoilla k saadaan jaksollisesti samoja ratkaisuja. 1.4 Kompleksitason analyyttistä geometriaa Tunnetusti tason R 2 suora voidaan aina esittää muodossa L = {r R 2 : r = r 0 +tv,t R}, missär 0 onl:n kiinteä piste jav R 2,v 0 on virittäjävektori. Vastaavasti pisteiden P 1 ja P 2 välinen jana on [P 1,P 2 ] = {r R 2 : r = OP 1 +t(op 2 OP 1 ),t [0,1]}, missä O = (0,0) on origo. Avaruudessa R 2 suora voidaan ilmaista myös muodossa L = {(x,y) R 2 : ax+by = d}, missä (a,b) (0,0). Vastaavasti kompleksitasossa C suora on L = {z C : z = z 0 +tw,t R}, missä z 0 L on kiinteä piste ja w C,w 0 on virittäjävektori.

14 9 Luku 1. Kompleksilukujen kunta Jos z 1,z 2 C,z 1 z 2, niin niiden välinen (suunnattu) jana on Suoran L normaalimuoto on missä a,b,d R ja a 2 +b 2 > 0. Jos z = x+iy eli niin [z 1,z 2 ] = {z C : z = z 1 +t(z 2 z 1 ),t [0,1]}. L = {x+iy : ax+by = d}, x = z +z 2 missä γ = 2d R ja α = a+ib C. z z,y =, 2i L = {z C : a z +z +b z z = d} 2 2i = {z C : az +az biz +biz = 2d} = {z C : (a ib)z +(a+ib)z = 2d} = {z C : αz +αz = γ}, 1.5 Kompleksitason topologiaa Määritelmä Olkoon z 0 C annettu ja r R,r > 0. 1) z 0 -keskinen, r-säteinen avoin kiekko on joukko (vrt. ympyrä). 2) Vastaavasti suljettu kiekko on D r (z 0 ) = {z C : z z 0 < r} D r (z 0 ) = {z C : z z 0 r}. 3) Punkteerattu kiekko on D r(z 0 ) = D r (z 0 )\{z 0 }. Määritelmä Olkoon A C. Sanotaan, että A on avoin jos joko 1) A = tai 2) jokaista z A kohti on olemassa sellainen r > 0, että D r (z) A.

15 Kompleksianalyysi I 10 Määritelmä Olkoon A C. Sanotaan, että A on suljettu, jos sen komplementti A c = C\A on avoin. Huomautus. 1) C ja ovat sekä avoimia ja suljettuja joukkoja. 2) Avoin kiekko on avoin joukko. Todistus. 1) C on selvästi avoin, ja lisäksi sen komplementti on määritelmän mukaan avoin, joten C on myös suljettu. Samoin on suljettu, koska sen komplementti C on avoin. 2) Olkoon D r (z 0 ) avoin kiekko ja z D r (z 0 ) sen mielivaltainen piste. Valitaan δ = r z z 0 > 0, ja otetaan toinen avoin kiekko D δ (z). Jos w D δ (z), niin w z < δ. Siten w z 0 w z + z z 0 < δ + z z 0 = r z z 0 + z z 0 = r. Siis w D r (z 0 ). Täten D δ (z) D r (z 0 ) ja D r (z 0 ) on avoin. Huomautus. Olkoon I jokin indeksijoukko. 1) Jos A i C,i I ovat avoimia, niin A i on avoin. 2) Jos A 1,A 2,A 3,...,A n C ovat avoimia, niin n A i on avoin. i I i=1 3) Jos A i C,i I ovat suljettuja, niin A i on suljettu. 4) Jos A 1,A 2,A 3,...,A n ovat suljettuja, niin n A i on suljettu. i I i=1

16 11 Luku 1. Kompleksilukujen kunta Määritelmä Olkoon A C. Jos z A, niin z on joukon A sisäpiste, jos on olemassa sellainen r > 0, että D r (z) A. Kaikkia joukon A sisäpisteitä merkitään A tai Int(A). Voidaan osoittaa, että A = {V : V on avoin jav A}. Huomautus. A A aina. Lisäksi A on avoin, jos A = A. Määritelmä Piste z C on joukon A ulkopiste, jos se on komplementin A c sisäpiste. Kaikkia joukon A ulkopisteitä merkitään Ext(A). Määritelmä Piste z C on joukon A reunapiste, jos se ei ole joukon A sisäpiste eikä ulkopiste. Kaikkia joukon A reunapisteitä merkitään (A). Määritelmä Joukon A C sulkeuma on Joukko Ā on aina suljettu. Huomautus. Voidaan osoittaa, että Ā = cl(a) = A (A) = A (A). cl(a) = {E : E suljettu,a E}. Täten A cl(a) ja A = cl(a) jos ja vain jos A suljettu. Määritelmä 1.17 (Tiheä osajoukko). Jos A C on suljettu ja B A, niin B on tiheä joukossa A, jos cl(b) = A. Huomautus. Jos A = D r (z 0 ), niin A = D r (z 0 ) cl(a) = A (A) = {z C : z z 0 = r} = S r (z 0 ) Ext(A) = {z C : z z 0 > r}. Määritelmä 1.18 (Kasaantumispiste). Piste z C on joukon A kasaantumispiste, jos pisteen z jokainen r-ympäristö (avoin kiekko) sisältää z:sta eroavia A:n pisteitä eli D r(z) A kaikilla r > 0. Merkitään A = A:n kasaantumispisteiden joukko.

17 Kompleksianalyysi I 12 Voidaan osoittaa että cl(a) = A A. Esimerkki Jos A = {1, 1 2, 1 3,..., 1 n,...}, niin A = {0}. Määritelmä Joukko A C on rajoitettu, jos on olemassa sellainen M > 0, että z M kaikille z A. Määritelmä Jos joukko on suljettu ja rajoitettu, niin sen sanotaan olevan kompakti. Määritelmä 1.22 (Polkuyhtenäisyys). Joukko A C on polkuyhtenäinen, jos sen jokainen pistepari voidaan yhdistää joukkoon A sisältyvällä murtoviivalla. Määritelmä 1.23 (Konveksi joukko). Joukko A C on konveksi, jos sen jokainen pistepari voidaan yhdistää janalla, joka sisältyy joukkoon A. 1.6 Jonoista Funktiota f : N C sanotaan kompleksilukujen jonoksi. Yleensä merkitään tai f(n) = a n n = 0,1,2,... (a n ) n=0 = {a 0,a 1,a 2,...}. Jono voidaan usein määritellä rekursiivisesti, esim. missä a = vakio ja z 0 on annettu. z n+1 = z 2 n +a, Määritelmä 1.24 (Suppeneminen). Olkoon (a n ) n N kompleksilukujono. Jono (a n ) suppenee kohti pistettä a, jos jokaista ε > 0 kohti on olemassa N = N(ε) N, jolle eli a n D ε (a) aina, kun n N. a n a < ε Jonoille C:ssä pätevät samanlaiset tulokset kuin reaalijonoille. Olkoot lim a n = a ja n missä (a n ),(b n ) C ja a,b C. Tällöin lim b n = b, n

18 13 Luku 1. Kompleksilukujen kunta 1) raja-arvo a on yksikäsitteinen 2) lim n (a n +b n ) = a+b 3) lim n (a n b n ) = ab a n 4) lim = a n b n b, kun b 0 5) Jos a n = x n +iy n missä x n,y n R ja lim n a n = a = x+iy, niin Näin on, koska lim x n = x ja n lim y n = y. n y n y, x n x a n a 0. 6) Jos a n = a n (cosθ n +isinθ n ) ja a = a (cosθ+isinθ), niin lim a n = a ja n lim θ n = θ (mod 2π). n Määritelmä 1.25 (Cauchyn jono). Jono (a n ) C on Cauchyn jono, jos jokaista ε > 0 kohti on olemassas sellainen N = N(ε) > 0, että aina, kun m,n > N. a m a n < ε Esimerkki Osoitetaan, että jokainen suppeneva jono on Cauchyn jono. Olkoon Kolmioepäyhtälön nojalla lim a n = a. n a m a n = (a m a) (a n a) a m a + a n a. Koska jono a n suppenee, niin on olemassa sellaiset N 1,N 2, että a m a < ε ja a n a < ε 2 2 kun m > N 1 ja n > N 2. Valitaan N = max{n 1,N 2 }, jolloin eli a n on Cauchyn jono. a m a n < ε, m,n > N Tunnetusti jokainen (reaalinen) Cauchyn jono (a n ) R suppenee, toisin sanoen on olemassa lim n a n = a. Jokainen Cauchyn jono suppenee myös C:ssä. Olkoon A C epätyhjä. Tällöin a cl(a) jos ja vain jos on olemassa jono (a n ) A jolle lim n a n = a.

19 Kompleksianalyysi I Sarjat Olkoon (a n ) C jono. Merkitään S n = n a k. k=1 Tällöin saadaan osasummien jono (S n ) C. Jos on olemassa, niin sanotaan, että sarja lim S n = S n n=1 suppenee. Lisäksi tällöin S = n=1 a n. Jos lim S n ei ole olemassa, niin sanotaan, n että sarja hajaantuu. Kompleksilukujen sarjoille pätevät samat ominaisuudet kuin R:ssä: 1) Jos sarja n=1 a n suppenee, niin lim n a n = 0. Osoitetaan tämä. Olkoon Koska a n = S n S n 1, niin a n S = lim n S n. lim a n = lim(s n S n 1 ) = S S = 0. n n 2) Jos k=1 a k suppenee ja a k = x k +iy k,(x k ),(y k ) R, niin sarjat k=1 x k ja k=1 y k suppenevat. 3) Jos sarja k=1 a k suppenee (itseinen suppeneminen), niin sarja suppenee. k=1 a k

20 15 Luku 1. Kompleksilukujen kunta Esimerkki 1.27 (Geometrinen sarja). Jos z < 1, niin k=0 zk suppenee. Koska z k = z k < 1, niin k=0 zk suppenee. Nyt joten Puolittain vähentämällä saadaan eli Jos z < 1, niin S n = 1+z + +z n, zs n = z + +z n +z n+1. (1 z)s n = 1 z n+1 S n = 1 zn+1 1 z. lim S 1 z n+1 n = lim n n 1 z Esimerkki Tarkastellaan sarjaa Tiedetään, että sarja suppenee kaikilla x R ja Siten sarja k=0 e x = k=0 k=0 z k k!. x k k! k=0 z k k! x k k!. = 1 1 z. suppenee (itseinen suppeneminen) kaikilla z C, joten k=0 suppenee kaikilla z C. Määritellään nyt e z = z k k! k=0 z k k!.

21 Kompleksianalyysi I 16 Sijoittamalla z = iy,y R saadaan e iy = = (iy) k k=0 k=0 k! ( 1) k y2k = 1+iy y2 2! iy3 + y4 3! 4! + (2k)! +i ( 1) k y 2k+1 = cosy +isiny, (2k +1)! k=0 sillä Siten eli i 2k = ( 1) k,i 2k+1 = ( 1) k i k = 0,1,2,... e iy 2 = cos 2 y +sin 2 y = 1 e iy = 1 kaikilla y R. Näin ollen luvun z 0 napakoordinaattiesitys voidaan kirjoittaa muodossa z = z (cosθ +isinθ) = z e iθ, θ [0,2π). Huomautus. Jos z C, niin e z = e x+iy = e x e iy = e x (cosy +isiny). Näistä keskimmäisen yhtäsuuruuden todistus sivuutetaan. Muut ovat edeltä tuttuja.

22 Luku 2 Kompleksimuuttujan funktioista 2.1 Kompleksiarvoiset funktiot Määritelmä 2.1. Olkoon A C, A. Vastaavuutta, joka liittää jokaiseen lukuun z A yksikäsitteisen luvun w C sanotaan funktioksi A C. Tällöin merkitään w := f(z) ja A on funktion f määritysjoukko, merkitään A = M(f). Arvojoukkoa merkitään A(f) = {f(z) : z A} = f(a). Määritelmä 2.2 (Toinen tapa määritellä funktio). Funktio f : A C on joukon A C osajoukko f, jolle pätee: 1) (z,w) f pätee kaikilla z A ja jollain w C 2) Jos (z,w 1 ),(z,w 2 ) f, niin w 1 = w 2, eli kohdan 1 alkio w on yksikäsitteinen. Jos (z,w) f, niin merkitään w = f(z). Useimmiten funktio f määritellään tietyn säännön f(z) avulla. Ellei toisin mainita, niin M(f) = {z C : Lausekef(z) on määritelty}. Määritelmä 2.3. Jos f : A C on funktio ja E A, niin funktion f rajoittuma joukkoon E on funktio f E, jolle pätee kaikilla z E. Siten M(f E ) = E. Funktion kuvaaja (graafi) on joukko (f E )(z) = f(z) {(z,f(z)) C 2 : z M(f) C}. 17

23 Kompleksianalyysi I 18 Usein tutkitaan jonkin osajoukon B M(f) kuvajoukkoa. Kompleksimuuttujan kompleksiarvoisen funktion lauseke f(z) voidaan (ainakin periaatteessa) esittää seuraavassa muodossa: Jos z = x+iy M(f), niin on olemassa sellaiset muuttujien x,y R reaaliarvoiset funktiot u ja v, että f(z) = f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y). Esimerkki ) Jos f(z) = z, niin u(x,y) = x ja v(x,y) = y. 2) Jos f(z) = z 2, niin u(x,y) = x 2 y 2 ja v(x,y) = 2xy. 3) Jos niin 4) Jos u(x,y) = f(z) = 1 z = z z 2, x y x 2 +y2, v(x,y) = ja M(u) = M(v) = R 2 \{0}. x 2 +y 2 f(z) = e z = k=0 niin u(x,y) = e x cosy ja v(x,y) = e x siny. z k k! = ex+iy = e x e iy = e x (cosy +isiny) Määritelmä 2.5. Olkoot f ja g : A C funktioita. Asetetaan 1) (f +g)(z) = f(z)+g(z),z A, (summafunktio) 2) (fg)(z) = f(z)g(z),z A, (tulofunktio) 3) (f/g)(z) = f(z)/g(z),z A,g(z) 0 (osamääräfunktio) ja 4) (f g)(z) = f(g(z)),z A (yhdistetty funktio). Määritelmä 2.6. Olkoot A,B C,A,B ja f : A B. Tällöin funktio f on 1) surjektio A B, jos jokainen w B on muotoa w = f(z) jollain z A eli f(a) = {f(z) : z A} = B. 2) injektio, jos ehdosta f(z 1 ) = f(z 2 ),z 1,z 2 A seuraa z 1 = z 2. 3) bijektio, jos se on injektio ja surjektio.

24 19 Luku 2. Kompleksimuuttujan funktioista Määritelmä 2.7 (Käänteisfunktio). Jos f : A B bijektio ja w = f(z) jollain z A, niin luku z on yksikäsitteinen (injektiivisyys) ja jokainen w B on muotoa w = f(z),z A (surjektiivisuus). Nyt voidaan määritellä funktio f 1 : B A asettamalla f 1 (w) = z kun w = f(z),z A. ja Käänteisfunktion määritelmästä seuraa, että f 1 (f(z)) = z kaikillaz A f(f 1 (z)) = z kaikillaz B. Huomautus. Myös f 1 on bijektio ja (f 1 ) 1 = f ja M(f 1 ) = A(f). Määritelmä 2.8 (Sektori). Olkoon ϕ 1,ϕ 2 [0,2π[, missä 0 < ϕ 1 ϕ 2 < 2π. Joukkoa S[ϕ 1,ϕ 2 ] = {z C : z = r(cosϕ+isinϕ), ϕ 1 ϕ ϕ 2,r 0} sanotaan suljetuksi sektoriksi. Vastaavasti joukkoa S]ϕ 1,ϕ 2 [= {z C : z = r(cosϕ+isinϕ), ϕ 1 < ϕ < ϕ 2,r 0} sanotaan avoimeksi sektoriksi. Huomaa, että S[0,2π[= C. Esimerkki 2.9. Funktion f(z) = 2z + i, z C käänteisfunktio on f 1 (z) = z i 2. Esimerkki Olkoon f(z) = z 2,z C. Tällöin f on surjektio C C. Todistus. Jos w = 0, niin valitaan z = 0, jolloin f(z) = f(0) = 0 2 = w. Jos w 0, niin w = r(cosϕ+isinϕ),ϕ [0,2π[, joten valitsemalla z = ( r cos ϕ 2 +isin ϕ ) 2 nähdään, että f(z) = z 2 = r 2 ( cos 2ϕ 2 +isin 2ϕ 2 ) = w. Funktio f ei kuitenkaan ole injektio, sillä jos z 0 niin f( z) = ( z) 2 = z 2 = f(z), mutta z z. Huomautus. Jos funktio f ei ole bijektio, voidaan tutkia sen rajoittumaa joukkoon E M(f). Edellisessä esimerkissä funktio f olisi bijektio, jos E = S[0,π[.

25 Kompleksianalyysi I Funktion raja-arvo Määritelmä Olkoon f kompleksiarvoinen funktio ja z 0 C sellainen, että D r(z 0 ) M(f) jollain r > 0. Sanotaan, että luku a C on funktion f raja-arvo pisteessä z 0, merkitään lim z z 0 f(z) = a, jos jokaista ε > 0 kohti on olemassa luku δ = δ(ε,z 0 ), jolle f(z) a < ε aina, kun 0 < z z 0 < δ. Toisin sanoen f(z) D ε (a) aina, kun z D δ (z 0). Esimerkki Tarkastellaan vakiofunktiota f(z) = a,a C. Olkoon z 0 C ja ε > 0. Nyt f(z) a = a a = 0 < ε aina, kun 0 < z z 0 < δ ja δ > 0 on mikä tahansa. Siis lim z z0 f(z) = a aina, kun z 0 C. Esimerkki Tarkastellaan funktiota f(z) = z 2,z C. Osoitetaan, että Todistus. Olkoon ε > 0. Lasketaan ensin lim f(z) = z 2 z z 0 0. f(z) z 2 0 = z 2 z 2 0 = (z +z 0 )(z z 0 ) = z +z 0 z z 0. Riittää olettaa, että 0 < z z 0 < 1. Tällöin joten z +z 0 = (z z 0 )+2z 0 z z 0 +2 z 0 < 1+2 z 0, f(z) f(z 0 ) < (1+2 z 0 ) z z 0. ε Valitaan δ = min{1, } 1. Jos 0 < z z 1+2 z 0 0 < δ, niin f(z) z0 2 ε < (1+2 z 0 ) z z 0 < (1+2 z 0 ) 1+2 z 0 = ε. Esimerkki Tarkastellaan funktion f(z) = z2 +1 z i, z i raja-arvoa, kun z i. Jos z i, niin kun z i. z 2 +1 z i = (z +i)(z i) z i = z +i i+i = 2i

26 21 Luku 2. Kompleksimuuttujan funktioista Kuten reaalifunktioille, myös kompleksifunktioille pätee seuraavat ominaisuudet. Lause Jos lim z z0 f(z) = a ja lim z z0 g(z) = b, niin 1) a on yksikäsitteinen. 2) lim z z0 (f(z)±g(z)) = a±b. 3) lim z z0 f(z)g(z) = ab. f(z) 4) lim z z0 g(z) = a b jos b 0. 5) Jos f(z) = f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y),z 0 = x 0 +iy 0 ja a = α+iβ, niin jos ja vain jos lim f(z) = a z z 0 lim u(x,y) = α ja lim (x,y) (x 0,y 0 ) v(x,y) = β. (x,y) (x 0,y 0 ) 6) lim z z0 f(z) = a. 7) lim z z0 f(z) = a. Määritelmä 2.16 (Yleinen määritelmä raja-arvolle; vertaa toispuoleiseen raja-arvoon R:ssä.). Olkoot A,B C,A,B ja f : A B. Olkoon z 0 cl(a) = A A. Sanotaan, että luku a on funktion f raja-arvo pisteessä z 0, jos jokaiselle ε > 0 on olemassa δ > 0 jolle f(z) a < ε aina, kun 0 < z z 0 < δ,z A. Toisin sanoen f(d δ (z 0) A) D ε (a) B. 2.3 Jatkuvuus Määritelmä Olkoonf määritelty joukossad r (z 0 ). Sanotaan, ettäf on jatkuva pisteessä z 0, jos lim z z 0 f(z) = f(z 0 ). Siis f on jatkuva pisteessä z 0, jos jokaista ε > 0 kohti on olemassa δ = δ(z 0,ε) > 0, jolle f(z) f(z 0 ) < ε aina, kun z z 0 < δ. Toisin sanoen f(d δ (z 0 )) D ε (f(z 0 )). Jos A M(f), niin f on jatkuva joukossa A, jos se on jatkuva kaikissa joukon A pisteissä.

27 Kompleksianalyysi I 22 Yleisemmin: Jos z 0 cl(a), niin f on jatkuva z 0 :ssa, jos jokaista ε > 0 kohti on olemassa δ > 0, jolle f(z) f(z 0 ) < ε aina, kun z A ja, kun z z 0 < δ. Toisin sanoen z A D δ (z 0 ). Esimerkki Vakiofunktio f(z) = a, z C on jatkuva koko kompleksitasossa. Esimerkki Funktio f(z) = z, z C on jatkuva koko kompleksitasossa. Esimerkki Funktio f(z) = 1,z C\{0} on jatkuva joukossa C\{0}. z Todistus. Olkoon ε > 0 ja z C\{0}. Nyt 1 z 1 z 0 = z 0 z z z 0 = z z 0 z z 0. Koska z 0 0, niin z 0 > 0. Rajoitutaan joukkoon z z 0 < 1 2 z 0. Kolmioepäyhtälön nojalla z z 0 z z 0 < 1 2 z 0 eli Siten 1 2 z 0 < z z 0 < 1 2 z 0. z > z z 0 = 1 2 z 0 eli eli 1 z < 2 z 0 1 z z 0 < 2 z 0 2. Valitaan δ = min{ z 0, z 0 2 ε} > 0. Jos nyt z z < δ, niin 1 z 1 z 0 = 1 z z 0 z z 0 < 2 z 0 2 z z 0 < 2 z 0 2 z ε = ε. Täten f on jatkuva pisteessä z 0. Lause Oletetaan, että f ja g ovat jatkuvia pisteessä z 0 (tai joukossa A). Tällöin seuraavat funktiot ovat jatkuvia pisteessä z 0 (joukossa A): 1) f ±g 2) fg

28 23 Luku 2. Kompleksimuuttujan funktioista 3) f g, kun g(z 0) 0 (tai g(z) 0 kaikilla z A) 4) f, kun määritellään f(z) = f(z), z M(f) 5) f Huomautus. Jos A C on kompakti (suljettu ja rajoitettu) ja f on jatkuva, niin kohdan 5 nojalla f on jatkuva A:ssa. Siten f saavuttaa suurimman ja pienimmän (itseis)arvonsa A:ssa. Jatkuvuuden kanssa yhtäpitäviä ehtoja ovat: 1) f on jatkuva pisteessä z 0 M(f), jos ja vain jos jokaiselle jonolle (z n ) M(f) jolle z n z 0 pätee f(z n ) f(z 0 ). Seuraus: f on jatkuva A:ssa, jos ja vain jos f(cl(a)) cl(f(a)). 2) f on jatkuva A:ssa, jos ja vain jos jokaiselle avoimelle joukolle V C on voimassa, että f 1 (V) on avoin A:ssa. Lause Oletetaan, että f on jatkuva pisteessä z 0 ja g on jatkuva pisteessä f(z 0 ). Tällöin g f on jatkuva pisteessä z 0. Esimerkki Tunnetusti f(z) = z 2,z S[0,π[ on bijektio S[0,π[ C. Siten f 1 (z) = z, z C on olemassa. Nyt f(z) = z 2 on jatkuva C:ssä. Tarkastellaan funktion f 1 (z) jatkuvuutta tilanteessa Im( z) > 0. Olkoot w = z = a+ib,b > 0 (z mielivaltainen), ja w 0 = z 0 = a 0 +ib 0,b 0 > 0. Tällöin w 2 = z,w 2 0 = z 0 ja z z 0 = w 2 w 2 0 = (w+w 0 )(w w 0 ) = w +w 0 w w 0 b+b 0 z z 0 > b 0 z z 0. Siten z z 0 < 1 b 0 z z 0 eli z on jatkuva alueessa Im( z) > 0. Määritelmä 2.24 (Tasainen jatkuvuus). Olkoon A M(f). Sanotaan, että funktio f on tasaisesti jatkuva joukossa A, jos jokaista ε > 0 kohti on olemassa sellainen δ = δ(ε) > 0, että f(z) f(z 0 ) < ε aina, kun z,z 0 A ja z z 0 < δ. Voidaan osoittaa: Jos A on kompakti (suljettu ja rajoitettu) ja f on jatkuva, niin f on tasaisesti jatkuva joukossa A:ssa.

29 Kompleksianalyysi I 24 Esimerkki Osoitetaan, että funktio f(z) = z 2 on tasaisesti jatkuva joukossa A = D 1 (0). Olkoon ε > 0. Nyt f(z) f(z 0 ) = z 2 z 2 0 = z +z 0 z z 0. Olkoon z,z 0 D 1 (0) eli z < 1, z 0 < 1. Tällöin z +z 0 z + z 0 < 1+1 = 2 eli f(z) f(z 0 ) < 2 z z 0. Valitaan δ = ε 2. Jos nyt z,z 0 A ja z z 0 < δ, niin f(z) f(z 0 ) < 2 ε 2 = ε. 2.4 Analyyttiset funktiot (funktion derivaatta) Määritelmä Olkoot A C,A ja z 0 A. Funktiolla f : A C on derivaatta pisteessä z 0 ja merkitään derivaattaa f (z 0 ), jos raja-arvo f(z) f(z 0 ) lim z z 0 z z 0 = f (z 0 ) on olemassa. Merkitsemällä z z 0 = h C voidaan ehto kirjoittaa myös muodossa f f(z 0 +h) f(z 0 ) (z 0 ) = lim. h 0 h Jos on olemassa sellainen δ > 0, että f (z) on olemassa kaikissa pisteissä z D δ (z 0 ), niin f on analyyttinen pisteessä z 0. Huomautus. Koska yllä z 0 A, niin on olemassa sellainen r > 0, että D r (z 0 ) A. Siten z 0 +h A, jos h on tarpeeksi pieni. Esimerkki Vakiofunktion f(z) = a,z C derivaatta on f (z) = 0 kaikilla z C. Tämä seuraa siitä, että f(z +h) f(z) lim h 0 h = lim h 0 a a h Esimerkki Funktion f(z) = z, z C derivaatta on f (z) = lim h 0 f(z +h) f(z) h 0 = lim h 0 h = 0. = lim h 0 z +h z h = 1.

30 25 Luku 2. Kompleksimuuttujan funktioista Esimerkki Olkoon f(z) = z,z C. Jos z 0 C, niin Koska lim h 0 h h f(z 0 +h) f(z 0 ) h = z 0 +h z 0 h = z 0 +h z 0 h ei ole olemassa, niin f ei ole derivoituva! = h h. Lause Jos f on analyyttinen joukossa A M(f),A = A, niin tällöin f on jatkuva A:ssa. Todistus. Jos z 0 A, niin f(z) f(z 0 ) lim(f(z) f(z 0 )) = lim (z z 0 ) = f (z 0 ) 0 = 0. z z 0 z z0 z z 0 Huomautus. Jos funktio on jatkuva, niin se ei silti välttämättä ole derivoituva. Esimerkki Funktio f(z) = z,z C on jatkuva C:ssä, mutta ei ole derivoituva. Lause Olkoon f funktio, jolle f (z) on olemassa ja f (z) 0. Jos f:n käänteisfunktio on määritelty ja jatkuva eräässä pisteen w = f(z) δ-ympäristössä, niin silloin (f 1 ) (w) on olemassa, ja (f 1 ) (w) = Todistus. Koska f (z) on olemassa, niin 1 1 f (f 1 (w)) = 1 f (z). f(z +h) f(z) = f (z)h+hε(h), missä ε(h) 0, kun h 0. Jos w = f(z) eli z = f 1 (w) ja k on tarpeeksi pieni, niin w+k D δ (w). Tällöin, jos f 1 (w +k) = z +h, niin w+k = f(z +h). Siten k = f(z +h) w = f(z +h) f(z) 0, kun h 0, ja edelleen f 1 (w+k) f 1 (w) = z käänteisfunktion jatkuvuuden nojalla. Siis f 1 (w +k) f 1 (w) k kun h 0. = h f(z +h) f(z) = 1 f (z) = 1 f (f 1 (w)) 1 Tässä on ensin kirjoitettu ε(h) := (f(z +h) f(z))/h f (z). h f (z)h+hε(h) = 1 f (z)+ε(h)

31 Kompleksianalyysi I 26 Myös yhdistettyä funktiota f g koskeva ketjusääntö on voimassa. Esimerkki Funktion f(z) = (f g) (z) = f (g(z))g (z) ( ) 2 z 1 f (z) = 3 z +1 ( ) 2 z 1 = 3 z +1 ( ) 3 z 1 derivaatta on ketjusäännön nojalla z +1 1 (z +1) 1 (z 1) (z +1) 2 2 1)2 = 6(z (z +1) 2 (z +1) 4. Huomautus. Vaikka f ja g eivät kumpikaan olisi derivoituvia pisteessä z 0, niin f g voi silti olla derivoituva pisteessä z 0. Esimerkki Funktiot f(z) = g(z) = z eivät ole derivoituvia missään pisteessä, mutta (f g)(z) = z = z on derivoituva koko kompleksitasossa. 2.5 Cauchyn Riemannin yhtälöt Olkoon f : A C, jolle f = u+iv. Jos f (z),z A on olemassa, niin raja-arvo f(z +h) f(z) lim h 0 h on olemassa ja se on f (z),z A. Palautetaan mieleen joukkojen samaistus C M(f) = A = {x+iy : x+iy A} = {(x,y) R 2 : x+iy A}. Koska raja-arvo on (olemassa ollessaan) yksikäsitteinen, niin f (z) = lim h 0 f(z +h) f(z) h on sama riippumatta reitistä, jota pitkin kompleksiluku h lähestyy origoa.

32 27 Luku 2. Kompleksimuuttujan funktioista Tarkastellaan tapausta, kun h 0 reaaliakselia pitkin eli h = h + i0,h R. Olkoon z = x+iy A. Tällöin f f(z +h) f(z) (z) = lim h 0 h h R = lim h 0 h R f(x+h+iy) f(x+iy) = lim h 0 h h R [u(x+h,y)+iv(x+h,y)] u(x,y) iv(x,y) ( u(x+h,y) u(x,y) = lim h 0 h h R = u x (x,y)+iv x (x,y). h +i v(x+h,y) v(x,y) h Siis f (z) = u x (x,y)+iv x (x,y),z = x+iy eli lyhyemmin f = u x +iv x. Tarkastellaan seuraavaksi tapausta, missä h 0 imaginääriakselia pitkin eli h = ik,k R. Olkoon z = x+iy A. Tällöin f(z +h) f(z) lim h 0 h h=ik u(x,y +k)+iv(x,y +k) u(x,y) iv(x,y) = lim k 0 ik ( ) 1 u(x,y +k) u(x,y) v(x,y +k) v(x,y) = lim +i k 0 i k k = 1 i [u y(x,y)+iv y (x,y)] = v y (x,y) iu y (x,y). Siis f (z) = v y (x,y) iu y (x,y) eli f = v y iu y. Nämä ovat samat eli f = u x +iv x = v y iu y, jos ) { ux = v y v x = u y A:ssa. Nämä ovat niin sanotut Cauchyn Riemannin yhtälöt. Olemme siis todistaneet seuraavan tuloksen. Lause Olkoon f on analyyttinen alueessa A C,A ja f = u+iv. Tällöin u ja v toteuttavat Cauchyn Riemannin yhtälöt A:ssa. Tämä tulos pätee myös kääntäen seuraavassa muodossa. Lause Oletetaan, että funktiot u,v : A R,A R 2,A = A ovat jatkuvasti derivoituvia, toisin sanoen u x,u y,v x,v y, ovat olemassa ja jatkuvia. Tällöin, jos u ja v toteuttavat Cauchyn Riemannin yhtälöt, niin f (z) on olemassa kaikilla z = x+iy A. Lisäksi f = u x +iv x.

33 Kompleksianalyysi I 28 Todistus. Koska u : A R on derivoituva pisteessä (x, y) A, niin u(x+k,y +l) = u(x,y)+u x (x,y)k +u y (x,y)l+ h ε 1 (h), missä h = (k,l) C, h = k 2 +l 2. Vastaavasti, v(x+k,y +l) = v(x,y)+v x (x,y)k +v y (x,y)l+ h ε 2 (h). Merkitään h = k + il. Olkoon z = x + iy A ja valitaan h niin, että z + h A. Tällöin f(z +h) f(z) = u(x+k,y +l)+iv(x+k,y +l) u(x,y) iv(x,y) = u(x+k,y +l) u(x,y)+i(v(x+k,y +l) v(x,y)) = u x (x,y)k +u y (x,y)l +i(v x (x,y)k +v y (x,y)l)+ h ε 1 (h)+i h ε 2 (h), missä ε 1 (h),ε 2 (h) 0, kun h = (k,l) (0,0). Merkitään ε 1 (h)+iε 2 (h) = ε(h) C. Koska funktiot u ja v toteuttavat Cauchyn Riemannin yhtälöt, niin Siten Nyt f(z +h) f(z) = u x (x,y)k v x (x,y)l+i(v x (x,y)k +u x (x,y)l)+ h ε(h) = (u x (x,y)+iv x (x,y))(k +il)+ h ε(h). f(z +h) f(z) h h h ε(h) = h h ε 1(h)+iε 2 (h) = = u x (x,y)+iv x (x,y)+ h h ε(h). ε 2 1(h)+ε 2 2(h). Koska ε 1 (h) 0 ja ε 2 (h) 0, niin ε 2 1(h) 0 ja ε 2 2(h) 0. Siten ε 2 1(h)+ε 2 2(h) 0, kun h 0. Näin ollen raja-arvo on olemassa. f(z +h) f(z) lim h 0 h = u x (x,y)+iv x (x,y) = f (z) Esimerkki Olkoon f(z) = z 2,z C,z = x+iy. Tällöin f(x+iy) = x 2 y 2 + i2xy,(x,y) R 2. Tässä u(x,y) = x 2 y 2 ja v(x,y) = 2xy.

34 29 Luku 2. Kompleksimuuttujan funktioista Siten { u x (x,y) = 2x v y (x,y) = 2x ja { u y (x,y) = 2y v x (x,y) = 2y. Siis Cauchyn Riemannin yhtälöt toteutuvat. Lisäksi f (z) = u x (x,y) + iv x (x,y) = 2x+i2y = 2z. Huomautus (Laplacen yhtälö). Jos f = u + iv ja f on analyyttinen joukossa A C ja funktioilla u ja v on kaikki toisen kertaluvun osittaisderivaatat ja ne ovat jatkuvia, niin u ja v toteuttavat Cauchyn Riemannin yhtälöt A:ssa eli { u x = v y u y = v x. Tällöin u xx = v yx = v xy = u yy eli u xx +u yy = 0 joukossa A. Tämä on niin sanottu Laplacen yhtälö. Sanotaan, että u on harmoninen funktio. Vastaavasti myös v xx + v yy = 0 joukossa A. Huomautus. Jos C 1 ja C 2 ovat vakioita, niin yhtälöt u(x,y) = C 1 ja v(x,y) = C 2 määräävät R 2 :n käyrät. Nämä käyrät leikkaavat toisiaan kohtisuorasti. 2.6 Eräitä funktioita Polynomifunktiot Funktiota p(z) = a 0 +a 1 z + +a n z n, z C, a 0,...,a n C sanotaan polynomiksi. Jos a n 0, niin polynomin p aste on n. Jos p(z 0 ) = 0, niin p(z) = (z z 0 )p 1 (z), missä p 1 on astetta n 1 oleva polynomi Rationaalifunktiot Funktiota r(z) = p 1(z) p 2 (z), z C,p 2(z) 0, missä p 1 ja p 2 ovat polynomeja sanotaan rationaalifunktioksi.

35 Kompleksianalyysi I Juurifunktiot Olkoonf(z) = z m,z C,m = 2,3,4,... jas k = S[k 2π m,(k+1)2π [,k = 0,1,2,...,m m 1. Josw = z m jaw = r(cos(ϕ+k2π)+isin(ϕ+k2π)),ϕ [0,2π[, niin (vrt. Esimerkki 2.10) m ( w = m r cos ( ) ( ϕ+k2π ϕ+k2π +isin m m )), k = 0,1,2,...,m 1. Näin saadaan eri ratkaisu jokaisella k:n arvolla. Jos k = 0, saadaan pääarvo. Yleisesti voidaan asettaa: f k = f Sk, f 1 k : C S k, f k (S k ) = C ja Eksponenttifunktio f 1 k (w) = m w S k. 1) Eksponenttifunktio voidaan määritellä jollakin seuraavista tavoista: f(z) = e z = k=0 z k ( k! = lim 1+ z n = e n n) x (cosy +isiny). 2) Jos z R, niin e z = e x+iy = e x (cos0 + isin0) = e x eli e z laajentaa tutun funktion e x käsitettä. 3) e z = e x (cosy +isiny) = e x cosy +isiny = e x > 0. Siten 0 / A(e z ). 4) Koska e z = e x+iy = e x e iy, niin tutusti 5) e z = e z kaikilla z C. e z 1 e z 2 = e x 1+x 2 e i(y 1+y 2 ) = e z 1+z 2. 6) Koska cos(y +k2π) = cosy ja sin(y +k2π) = siny kaikilla y R, niin e z+ik2π = e x+i(y+2kπ) = e x (cosy +isiny) = e z, z C,k Z. Siis e z on jaksollinen ja sen jakso on i2π. Erityisesti e z ei ole injektio C C. Osoitetaan, että f(c) = C\{0}, kun f(z) = e z. Osoitetaan, että f(t[0, 2π[) = C\{0}, missä T[0,2π[= {x+iy C : x,y R,0 y < 2π}

36 31 Luku 2. Kompleksimuuttujan funktioista on jaksovyö. Yleisesti merkitään T k = T[2kπ,2(k +1)π[= {x+iy C : x,y R,2kπ y < 2(k +1)π}. Olkoon w C,w 0. Kirjoitetaan w = r(cosϕ+isinϕ), r > 0,0 ϕ < 2π. Jos nyt e z = e x e iy = w, niin e x = r ja ϕ = y +k2π. Jos siis z = lnr +iϕ, niin e z = w. Jokaiselta jaksovyöltä löytyy siis yksi sellainen z, että e z = w eli A(e z ) = C\{0}. Siis eksponenttifunktio saa kaikki muut kompleksiarvot paitsi nollan Logaritmi Tarkastellaan funktiota g = f T0, kun f(z) = e z. Edellä olevan nojalla g(t 0 ) = C\{0}. Lisäksi g on bijektio T 0 C\{0}, joten g 1 : C\{0} T 0 on olemassa. Tarkastellaan tätä käänteisfunktiota g 1. Olkoon f(z) = e z,z T 0,z = f 1 (w) eli w = e z. Tällöin asetetaan (vrt. edellä) missä w = w (cosϕ+isinϕ). Siis f 1 (w) = ln w +iϕ, f 1 (z) = ln z +iargz = Logz ja tätä sanotaan (luonnollisen) logaritmin päähaaraksi. Yleisesti, jos f k = f Tk,f k : T k C\{0}, niin f 1 k (z) = ln z +iargz +i2kπ = logz. Tämä on ns. k-haara. Tällaisia haaroja on ääretön määrä eli logz on monihaarainen funktio. Tarkastellaan vielä logaritmin derivaattaa. Jos f(z) = Logz ja g(z) = e z,z T 0, niin f = g 1 ja Lauseen 2.32 nojalla (g 1 ) 1 (z) = g (g 1 (z)) = 1 g(g 1 (z)) = 1 z, z 0. Siis f (z) = 1 z. Yleisesti: jos f(z) = logz = Logz + i2kπ, niin f (z) = 1 z. Kaikki (reaali)logaritmin laskusäännöt eivät kuitenkaan päde moniarvoisuuden takia.

37 Kompleksianalyysi I Trigonometriset funktiot Koska e ix = cosx+isinx ja e ix = cosx isinx, niin ja cosx = eix +e ix 2 sinx = eix e ix 2i kaikilla x R. Asetetaan nyt määritelmät: R R cosz = eiz +e iz, z C 2 Edelleen: Ominaisuuksia: sinz = eiz e iz, z C. 2i tanz = sinz, cosz 0, cosz cotz = cosz, sinz 0. sinz 1) Jos z C, niin ( ) e sin 2 z +cos 2 iz e iz 2 e z = +( iz +e iz 2i 2 ) 2 = 1 4i 2(ei2z 2 1+e i2z )+ 1 4 (ei2z +2 1+e i2z ) = 1 (2+2) = ) sin(z 1 +z 2 ) = sinz 1 cosz 2 +cosz 1 sinz 2. 3) cos(z 1 +z 2 ) = cosz 1 cosz 2 sinz 1 sinz 2. 4) Sinin nollakohdat määrätään ratkaisemalla yhtälö eli sinz = eiz e iz 2i e iz e iz = 0. = 0

38 33 Luku 2. Kompleksimuuttujan funktioista Laventamalla tämä saadaan muotoon eli e 2iz 1 e iz = 0 e 2iz = 1 = e i(0+k2π), k Z. Täten 2z = k2π eli nollakohdat ovat z = kπ, k Z. Vastaavasti, jos ja vain jos z = π +kπ,k Z. 2 5) sin( z) = sinz ja cos( z) = cosz. 6) sinz = sinz ja cosz = cosz. cosz = eiz +e iz 2 7) Määrätään joukot {cosiy : y R} ja {siniy : y R}. Jos y R on mielivaltainen, niin cosiy = ei(iy) +e i(iy) = e y +e y = coshy. 2 2 Siten {cosiy : y R} = [1, [. Vastaavasti siniy = ei(iy) e i(iy) 2i = 0 = i ( ) ( ) e y e y e y e y = i = isinhy, i 2 2 joten {siniy : y R} = {iy y R} = Imaginääriakseli. 8) Derivaatat. Jos niin f (z) = ieiz ( i)e iz 2i Vastaavalla tavalla nähdään, että Funktion derivaatta on f (z) = f(z) = sinz = eiz e iz, 2i = eiz +e iz 2 d (cosz) = sinz, z C. dz f(z) = tanz = sinz cosz coszcosz ( sinz)sinz cos 2 z = cosz, z C. z π 2 +kπ = 1 cos 2 z = 1+tan2 z.

39 Kompleksianalyysi I 34 9) Käänteisfunktiot. Olkoon f(z) = sinz ja z = f 1 (w) = arcsinw. Siis Yhtäpitävästi eli w = sinz = eiz e iz. 2i 2iw = e iz e iz = e iz 1 e iz (e iz ) 2 2iwe iz 1 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan nojalla Siten eli e iz = 2iw + 4i 2 w = 2iw+2 1 w 2 2 iz = log(iw+ 1 w 2 ) z = 1 i log(iw+ 1 w 2 ), = iw + 1 w 2. missä logz = Logz +i2kπ. Siis f 1 (w) = arcsinw = ilog(iw+ 1 w 2 ). Tämä(kin) funktio on äärettömän morihaarainen funktio. Päähaaraksi sovitaan usein se haara, jolle arcsin0 = 0. Derivaatta on d dz (arcsinz) = 1 ( d i dz log(iz + 1 z )) 2 = 1 ( 1 )( i iz + 1 ) i+ 1 z z ( 2z) 2 = 1 ( 1 )( i i iz + 1 z2 z ) 1 z 2 1 z 2 1 =, z ±1. 1 z Hyperboliset funktiot Asetetaan sinhz = ez e z ja coshz = ez +e z, z C. 2 2 Esimerkki ) cosh 2 z sinh 2 z = 1.

40 35 Luku 2. Kompleksimuuttujan funktioista 2) sinh(z 1 +z 2 ) = sinhz 1 coshz 2 +coshz 1 sinhz 2. Huomautus. Jos z C, niin määritelmien mukaan 1) sin(iz) = isinhz 2) cos(iz) = coshz Yleistetty potenssifunktio Jos a C on vakio, niin asetetaan z a = e alogz, kun z 0. Tässä logz = Logz +ik2π, missä edelleen Logz = ln z +iargz. Logaritmin vuoksi myös potenssifunktio on monihaarainen (moniarvoinen). Esimerkki Lasketaan i i. Koska i = 1 (cos π 2 +isin π 2 ), niin Logi = ln i +iπ 2 = iπ/2. Siten i i = e ilogi = e i(logi+i2kπ) = e i(iπ 2 +i2kπ) = e π 2 k2π = e π 2 +k2π,k Z. 2.7 L Hospitalin sääntö raja-arvon laskemiselle Lause Oletetaan, että f ja g ovat analyyttisiä pisteessä z 0 ja f(z 0 ) = g(z 0 ) = 0. Tällöin f(z) lim z z 0 g(z) = lim f (z) z z 0 g (z). Todistus. Koska f ja g ovat analyyttisiä z 0 :ssa, niin (kuten aiemmin) ja f(z) = f(z 0 )+f (z 0 )(z z 0 )+(z z 0 )ε 1 (z) g(z) = g(z 0 )+g (z 0 )(z z 0 )+(z z 0 )ε 2 (z), missä ε 1 (z) 0 ja ε 2 (z) 0, kun z z 0. Siten f(z) g(z) = f(z 0)+f (z 0 )(z z 0 )+(z z 0 )ε 1 (z) g(z 0 )+g (z 0 )(z z 0 )+(z z 0 )ε 2 (z) = f (z 0 )+ε 1 (z) g (z 0 )+ε 2 (z) f (z 0 ) g (z 0 ), kun z z 0.

41 Kompleksianalyysi I 36

42 Luku 3 Käyräintegraali C:ssä 3.1 Kompleksitason käyristä Määritelmä 3.1. Olkoot x, y : [a, b] R (yhden reaalimuuttujan) funktioita. Tällöin joukko γ = {z C : z(t) = x(t)+iy(t), t [a,b]} on kompleksitason C suunnistettu käyrä. Luku z(a) on käyrän γ alkupiste, z(b) loppupiste ja [a, b] on käyrän parametriväli. Tämä on γ:n parametrimuotoinen esitys, eikä se ole yksikäsitteinen. Esimerkki 3.2. Olkoon käyrä parabelin osa γ = {z : z(t) = t+it 2,t [0,1]}. Tällöin γ:n alkupiste on z(0) = 0+i0 = 0 ja γ:n loppupiste z(1) = 1+i. Esimerkki 3.3. Käyrillä ja γ 1 = {z : z(t) = t+it 2,t [0,1]} γ 2 = {z : z(t) = t 2 +it 4,t [0,1]} on täsmälleen samat pisteet ja sama suunnistus. Tätä merkitään γ 1 = γ 2. Jos käyrillä γ 1 ja γ 2 on samat pisteet, mutta eri suunta, niin merkitään Olkoon γ 1 = γ 2. γ = {z(t) : z(t) = x(t)+iy(t),t [a,b]}. Tällöin käyrä γ voidaan esimerkiksi esittää muodossa γ = {z( t) : t [ b, a]}, jolloin käyrän γ alkupiste on z( ( b)) = z(b) = γ:n päätepiste. Vastaavasti käyrän γ päätepiste on z( ( a)) = z(a) = γ:n alkupiste. 37

43 Kompleksianalyysi I 38 Huomautus. Parametriväli [a, b] voidaan valita miksi tahansa väliksi [c, d] seuraavan päättelyn mukaan. Olkoon h : [c, d] [a, b] aidosti kasvava bijektio, {z(t) : t [a,b]} = γ ja {h(t) : t [c,d]} = [a,b]. Jos γ 1 = {z(h(t)) : t [c,d]}, niin γ 1 = γ. Jos puolestaam h : [c, d] [a, b] on aidosti vähenevä, niin {z(h(t)) : t [c,d]} = γ. Esimerkki 3.4. Olkoon h : [0,1] [0,1],h(t) = t 2 (kasvava) bijektio. Tällöin {z(h(t)) : t [0,1]} = {z(t) : t [0,1]}. Esimerkki 3.5. Jos h : [0,1] [0,1],h(t) = 1 t on (vähenevä) bijektio, niin {z(h(t)) : t [0,1]} = {z(t) : t [0,1]}. Huomautus. Pisteiden z 1,z 2 C välistä (suunnistettua) janaa merkitään γ [z1,z 2 ] = [z 1,z 2 ] = {z C : z = z 1 +t(z 2 z 1 ),t [0,1]}. Tällöin γ [z1,z 2 ] = {z C : z = z 1 +(1 t)(z 2 z 1 ),t [0,1]}. Määritelmä 3.6. Käyrä γ = {z(t) : t [a, b]} on sulkeutuva, jos z(a) = z(b). Esimerkki 3.7. Ympyrä γ = {z : z = r} = S r (0) voidaan esitää käyränä, kun z(t) = r(cost+isint)) = re it,t [0,2π] taiz(t) = re i2πt,t [0,1]. Yleisemmin,z 0 -keskinen r-säteinen ympyrä voidaan esittää käyränä γ = {z(t) : z = z 0 +re it,t [0,2π]} = S r (z 0 ). Käyrien yhdistäminen Olkoot γ 1 ja γ 2 käyriä, joille γ 1 :sen loppupiste kuin γ 2 :sen alkupiste (suunnistus olemassa). Yhdistetty käyrä γ = γ 1 γ 2 voidaan parametrisoida esimerkiksi seuraavasti: Jos γ 1 = {z 1 (t) : t [0,1]}

44 39 Luku 3. Käyräintegraali C:ssä z(t) z 0 r Kuva 3.1: Ympyrän parametrisointi γ 1 γ 2 Kuva 3.2: Käyrien yhdistäminen ja γ 2 = {z 2 (t) : t [0,1]}, niin asettamalla h 1 (t) = 2t, t [0, 1 2 ], ja h 2 (t) = 2t 1, t [ 1 2,1] voidaan kirjoittaa missä z(t) = γ = {z(t) : t [0,1]}, { z 1 (h 1 (t)),t [0, 1 2 [ z 2 (h 2 (t)),t [ 1 2,1]. Tämä voidaan yleistää useammille käyrille eli γ = γ 1 γ 2 γ n.

45 Kompleksianalyysi I 40 Käyrän tangentti Jos niin derivaatta pisteessä z(t) on γ = {z(t) : z(t) = x(t)+iy(t),t [a,b]}, z (t) = x (t)+iy (t), jos x (t) ja y (t) ovat olemassa välillä t ]a,b[ ja toispuoleiset raja-arvot x +(a),x (b) sekä y +(a),y (b) ovat olemassa. Huomautus. Tärkeitä käyriä ovat: janat z 1,z 2 C,z 1 z 2 : [z 1,z 2 ] = {z : z(t) = z 1 +t(z 2 z 1 ),t [0,1]} ympyrät z 0 C,r R,r > 0: {z : z(t) = z 0 +re it,t [0,2π]} tai {z : z(t) = z 0 +re i2πt,t [0,1]}. Huomautus. Jos käyrä γ on sulkeutuva eikä leikkaa itseään, niin γ on niin sanottu Jordan käyrä. 3.2 Käyräintegraali Olkoon f funktio A C ja A C alue eli avoin ja polkuyhtenäinen joukko. Olkoon γ = {z(t) : t [a,b]} alueessa A sijaitseva säännöllinen käyrä. Oletetaan, että z (t) on olemassa välillä ]a,b[ ja toispuoleisena päätepisteissä, sekä z (t) 0 ja jatkuva. Oletetaan, että f on jatkuva käyrällä γ. Olkoon P = {a = t 0 < t 1 < < t n 1 < t n = b} välin [a,b] jako. Merkitään z k = z(t k ),t k P,k = 0,1,2,...,n. Yhdistämällä peräkkäiset pisteet z k 1 ja z k,k = 1,2,...,n janoilla saadaan murtoviiva. Tarkastellaan summalauseketta S P (f,{ξ k }) = n f(ξ k )(z k z k 1 ), k=1

46 41 Luku 3. Käyräintegraali C:ssä missä ξ k = z(u k ) ja u k on jokin piste välillä [t k 1,t k ]. Nyt Väliarvolauseen nojalla ja z k z k 1 = (x(t k ) x(t k 1 ))+i(y(t k ) y(t k 1 )). missä r k,s k ]t k 1,t k [. Summalauseke tulee siten muotoon S P (f,{ξ k }) = x(t k ) x(t k 1 ) = x (r k )(t k t k 1 ) y(t k ) y(t k 1 ) = y (s k )(t k t k 1 ), n f(ξ k )(x (r k )+iy (s k ))(t k t k 1 ). k=1 Tämä summalauseke vastaa funktion f(z(t))z (t) Riemannin summaa yli välin [a,b] jaolla P. Merkitään h = max i t i t i 1 ja asetetaan lim S P(f,{ξ k }) = h 0 b Jos edellä f = u+iv,u,v : A R 2 R 2, niin γ f(z)dz = b a b = = a γ a f(z(t))z (t)dt = (u+iv)(x (t)+iy (t))dt b γ f(z)dz. [ux (t)dt vy (t)dt]+i [uy (t)dt+vx (t)dt] a (udx vdy)+i (udy +vdx). Esimerkki 3.8. Olkoon f(z) = z 2 ja γ jana [0,1+i]. Janan esitys käyränä on γ = {z : z(t) = 0+i0+t(1+i 0),t [0,1]} = {z : z(t) = t(1+i),t [0,1]}. Nyt x(t) = t ja y(t) = t sekä dz = (x (t)+iy (t))dt = (1+i)dt. Siten γ f(z)dz = = f(z(t))z (t)dt = 2it 2 (1+i)dt = γ [t(1+i)] 2 (1+i)dt = 1 (i2t 2 2t 2 )dt = 2 3 i (t 2 t 2 +2itt)(1+i)dt

47 Kompleksianalyysi I 42 Eräitä ominaisuuksia 1) (f(z)+g(z))dz = f(z)dz + g(z)dz γ γ γ 2) 3) missä a C on vakio. γ γ af(z)dz = a f(z)dz, γ f(z)dz = f(z)dz γ Lause 3.9. Olkoon γ 1 = {z : z(t),t [a,b]} ja γ 2 = {z : z(h(s)),s [c,d]}, missä h : [c,d] [a,b] on jatkuvasti derivoituva, aidosti kasvava ja h (t) > 0. Tällöin f(z)dz = f(z)dz. γ 1 γ 2 Todistus. Nyt dz = d(z(h(s))) = z (h(s))h (s)ds, t = h(s),dt = h (s)ds. Siten d f(z)dz = f(z(h(s)))dz = f(z(h(s)))z (h(s))h (s)ds γ 2 γ 2 c b = f(z(t))z (t)dt = f(z)dz. a γ 1 Huomautus (Yhdistetyn käyrän integraali). Olkoot γ 1 ja γ 2 käyriä, ja γ 1 :n loppupiste = γ 2 :n alkupiste. Jos yhdistetyn käyrän γ = γ 1 γ 2 integraali on olemassa, niin f(z)dz = f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz. γ γ 1 γ 2 γ 1 γ 2 Yleisemmin, jos γ = γ 1 γ 2 γ n, missä kukin γ i on säännöllinen, niin f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz + + f(z)dz. γ γ 1 γ 2 γ n

48 43 Luku 3. Käyräintegraali C:ssä Esimerkki Olkoon f(z) = z, γ 1 = {z : z(t) = t+it 2,t [0,1]}, γ 2 = [1+i,0] = {z : z(t) = (1 t)+i(1 t),t [0,1]} ja γ = γ 1 γ 2. Integraali yli käyrän γ 1 on γ 1 zdz = 1 Vastaavasti integraali yli käyrän γ 2 on 0 (t it 2 )(1+i2t)dt = = 1+ i 3. 1 zdt = ((1 t) i(1 t))( 1 i)dt γ 2 0 [ 1 1 ] = (1+i) (1 t)dt i (1 t)dt 0 0 ( ) 1 = (1+i) 2 i1 = (1+i)(1 i) = 1 2 = 1. 2 Siten integraali yli yhdistetyn käyrän γ on ( zdz = 1+ i ) +1 = 2+ i 3 3. γ Lause Jos γ on paloittain säännöllinen käyrä ja jos f on jatkuva funktio, jolle f(z) M kaikilla z γ,m > 0 vakio, niin f(z)dz f(z) dz ML γ, missä L γ = b a x (t) 2 +y (t) 2 dt on käyrän γ pituus. γ γ Määritelmä Olkoon A C alue ja f : A C jatkuva funktio. Jos on olemassa funktio F : A C, jolle F (z) = f(z) kaikilla z A, niin sanotaan, että F on funktion f integraalifunktio A:ssa. Huomautus. 1) Reaalitapauksesta tiedetään, että jos g : [a,b] R,g (t) = 0 kaikilla t ]a, b[, niin g(x) = g(a) = vakio kaikilla x [a, b]. 2) Olkoon f : A C,A alue, f (z) = 0 kaikilla z A. Tällöin f(z) = vakio kaikilla z A.

49 Kompleksianalyysi I 44 Todistus. Jos f (z) = 0 ja f = u+iv, niin u x (x,y) = v y (x,y) = 0 = u y (x,y) = v x (x,y) = 0. Täten u ja v ovat edellisen kohdan nojalla vakioita eli f on vakio. 3) Integraalifunktion määritelmä ei kerro kuinka se määrätään. Usein (alkeisfunktioiden tapauksessa) se kuitenkin löytyy kokeilemalla. Esimerkiksi, jos f(z) = 2z, niin tutusti F(z) = z 2. Integraalifunktion (mahdollinen) olemassaolo tarjoaa seuraavan lauseen kautta toisen tavan laskea käyräintegraaleja (vrt. reaalitapaukseen). Lause Olkoon funktiolla f on integraalifunktio F alueessa A ja olkoon γ = {z(t) : t [a,b]} paloittain säännöllinen käyrä alueessa A. Tällöin f(z)dz = F(z(b)) F(z(a)). Todistus. Olkoon z = z(t) γ,t [a,b]. Koska niin γ f(z)dz = b a γ d dt (F(z(t))) = F (z(t))z (t) = f(z(t))z (t), f(z(t))z (t)dt = b a d(f(z(t))) = b af(z(t)) = F(z(b)) F(z(a)). Huomautus. Yllä olevan integraalin arvo ei riipu γ:sta muuten kuin päätepisteiden kautta. Jos erityisesti γ on sulkeutuva, niin integraali on 0. Esimerkki Lasketaan vielä Esimerkin 3.8 integraali käyttämällä Lausetta Nyt f(z) = z 2 ja siten F(z) = z 3 /3. Täten γ f(z)dz = F(1+i) F(0) = (1+i)3 3 eli todellakin saatiin sama arvo kuin edellä. = 1+3i+3i2 +i 3 3 = 2i 2 3

50 Hakemisto alue, 40 analyyttinen funktio, 24 argumentti, 6 arvojoukko, 17 avoin joukko, 9 avoin kiekko, 9 avoin sektori, 19 bijektio, 18 Cauchyn jono, 13 Cauchyn Riemannin yhtälöt, 27 De Moivren kaava, 7 derivaatta, 24 funktion kuvaaja, 17 funktion rajoittuma, 17 harmoninen funktio, 29 imaginääriosa, 3 imaginääriyksikko, 2 index, 17 injektio, 18 integraalifunktio, 43 itseinen suppeneminen, 14 itseisarvo, 4 jaksovyö, 31 jana, 38 jatkuva funktio, 21 jono, 12 jonon suppeneminen, 12 Jordan käyrä, 40 kasaantumispiste, 11 ketjusääntö, 26 kompakti joukko, 12 konveksi joukko, 12 kunta, 1 käyrän alkupiste, 37 käyrän loppupiste, 37 käyrän pituus, 43 käänteisfunktio, 19 liittoluku, 4 logaritmin päähaara, 31 monihaarainen funktio, 31 määritysjoukko, 17 napakoordinaattiesitys, 6 neljännes, 7 parametriväli, 37 polkuyhtenäinen, 12 polynomi, 29 polynomin aste, 29 punkteerattu kiekko, 9 pääarvo, 30 raja-arvo, 20 rajoitettu joukko, 12 rationaalifunktio, 29 reaaliosa, 3 reunapiste, 11 sarja, 14 sarjan hajaantuminen, 14 sarjan suppeneminen, 14 45

51 Kompleksianalyysi I 46 sisäpiste, 11 suljettu joukko, 10 suljettu kiekko, 9 suljettu sektori, 19 sulkeuma, 11 sulkeutuva käyrä, 38 suora, 8 surjektio, 18 suunnistettu käyrä, 37 tasainen jatkuvuus, 23 tiheä osajoukko, 11 ulkopiste, 11 virittäjävektori, 8 ympyrä, 5