Analyyttinen mekaniikka I periodi 2012

Transkriptio

1 Analyyttinen mekaniikka I periodi 2012 Luennot: Luennoitsija: Kurssin kotisivu: ma & to (E204) Rami Vainio, Rami.Vainio@helsinki.fi Harjoitukset: to (D116), pe10-12 (D116), pe14-16 (E205) Assistentti: Stanislav Rusak (stanislav.rusak@helsinki.fi) Harjoitustehtävät jaellaan kurssin kotisivun kautta viimeistään tiistaina. Palautuspäivä maanantai kello 16 mennessä MUISTAKAA ILMOITTAUTUA KURSSILLE WEB-OODISSA!!

2 Kurssista Esitiedot Peruskurssin mekaniikka (mieluusti koko pk-paketti) MAPU I ja II Vektorilaskenta Integrointi, derivointi, differentiaaliyhtälöt Oppimateriaalia kurssikirja kirjastot täynnä muuta hyvää kirjallisuutta muuta (usein kannattaa etsiä tietoa netistäkin) Laskuharjoitukset Tärkeä osa oppimista n. 20% arvosanasta Loppukoe

3 Kurssikirja

4 Kurssin sisällysluettelo 1. Newtonin mekaniikan pikakertaus (tänään + kotona) 2. Lagrangen mekaniikkaa 3. Kytketyt värähtelijät 4. Jäykän kappaleen liike 5. Kanonista formalismia Lisäksi, jos aikaa jää, tutustutaan kaaosteorian alkeisiin.

5 Aika ja avaruus klassisessa mekaniikassa Avaruus on 3-ulotteinen, euklidinen ja absoluuttinen Aika on homogeeninen ja absoluuttinen Nämä ovat voimassa hyvällä tarkkuudella, kun v << c muuten tarvitaan suppeaa suhteellisuusteoriaa Ollaan etäällä isoista massoista muuten tarvitaan yleistä suhteellisuusteoriaa Inertiaalikoordinaatisto Vapaa hiukkanen (kappale) liikkuu vakionopeudella hyvä inertiaalikoordinaatisto: 3 K mikroaaltotausta keskimäärin isotrooppinen Ei-inertiaalisia järjestelmiä pyörivä maapallo (esim. Coriolis-voima, matalapaineet, hurrikaanit jne.) kiihtyvä tai kääntyvä ajoneuvo Mieti itse lisää esimerkkejä!

6 Newtonin lait (nykykielellä lausuttuina) I Kappale pysyy levossa tai tasaisessa suoraviivaisessa liikkeessä, ellei mikään ulkoinen voima pakota sitä muuttamaan liiketilaansa (Tämä aikanaan mullistava oivallus on peräisin jo Galileo Galileilta) II Jos kappaleeseen vaikuttaa voimia, niin kappaleen liikemäärän muutos aikayksikössä on yhtä suuri kuin siihen vaikuttava kokonaisvoima Huom. Laki I on tämän triviaali seuraus III Kun kaksi kappaletta vaikuttaa toisiinsa, niin voima, jolla ensimmäinen kappale vaikuttaa toiseen, on yhtä suuri mutta suunnaltaan vastakkainen kuin voima, jolla toinen kappale vaikuttaa ensimmäiseen

7 Liikeyhtälön muodostaminen Newtonin mekaniikassa Jotta kappaleen liike voidaan laskea Newtonin II laista, kaikki siihen vaikuttavat voimat pitää tuntea. Lukiosta tuttu resepti: piirretään ns. vapaakappalekuva, johon merkitään kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat kappaleeseen vaikuttavat voimakentät (gravitaatio, sähköiset voimat) erilaiset sidosvoimat (jännitykset, kitkavoimat, tukivoimat) Monilla systeemeillä sidosvoimat ovat hankalia käsitellä newtonilaisittain, koska sidosvoiman suuruus riippuu usein kappaleen liiketilasta ja sen määrittäminen voi vaatia kekseliäisyyttä. Tällä kurssilla opitaan Lagrangen mekaniikkaa, joka tarjoaa systemaattisen tavan käsitellä kitkattomia sidoksia

8 Liikemäärän säilyminen Kokonaisliikemäärän säilyminen

9 Työ ja konservatiiviset voimat Tällainen voima on konservatiivinen. Nyt U on potentiaalienergia

10 Liike 1-ulotteisessa potentiaalikentässä Ajasta riippuvia differentiaaliyhtälöitä ratkottaessa alkuehdot ovat ratkaisevan tärkeitä!

11 Liikemäärämomentti (muita nimityksiä: impulssimomentti, pyörimismäärä) koska isolla L-kirjaimella on tällä kurssilla elämää suurempi merkitys

12 Tämä on kokonaisliikemäärämomentin säilymislaki Ehto ei ole voimassa kaikille tärkeille voimille fysiikassa! Esimerkkinä liikkuvien varausten voimavaikutukset elektrodynamiikassa Tällöin on huomioitava varausten liikemäärien ja liikemäärämomenttien lisäksi sähkömagneettisen kentän liikemäärä ja liikemäärämomentti!

13 Keskeisvoimat Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin! Historiallinen ja tärkeä esimerkki on planeetan liike Auringon ympäri. Se on 2 kappaleen ongelma, joka voidaan aina redusoida keskeisliikkeeksi Kaksi kappaletta: m 1 ja m 2 F 21 Massakeskipisteen (CM) paikka on

14 F 21

15 Liike keskeisvoimakentässä skalaari Tarkastellaan jatkossa voimia, jotka ovat muotoa Lasketaan ensin voiman momentti josta seuraa, että liikemäärämomentti on liikevakio Lasketaan vielä Eli pintanopeus da/dt on vakio. Tuloksen löysi aikanaan Kepler planeettahavainnoista ja se tunnetaan Keplerin toisena lakina

16 Radan integrointi energiayhtälöstä keskipakopotentiaali Yksiulotteiselle liikkeelle

17 Gravitaatio ja sähkostaattinen voima: k = 0 l = 0