Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta

Transkriptio

1 Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 8 Optioiden hinnoittelusta

2 1. Optioiden erilaiset kohde-etuudet 1.1. Osakeoptiot Yksi optio antaa yleensä oikeuden ostaa/myydä 1 kpl kohdeetuutena olevia osakkeita sovittuun toteutushintaan Valuuttaoptiot Yksi optio antaa oikeuden ostaa/myydä tietyn kiinteän rahasumman valuuttaa sovitulla toteutuskurssilla Indeksioptiot Yksi optio (esim. &P 1) antaa oikeuden ostaa/myydä 1 kertaa indeksin pisteluku tiettyyn toteutushintaan. ässä maksut suoritetaan rahassa eikä osakkeina.

3 Esimerkki. Osto-optio &P 1 toteutushintaan 98. Jos indeksin arvo toteutuspäivänä on esim. 992, osto-option asettaja maksaa haltijalle $ (992-98) x 1 = $ Futuurioptiot Futuurioptioiden kohde-etuutena on futuurisopimus, joka erääntyy yleensä välittömästi option erääntymisen jälkeen. Esim. Futuurin osto-option haltija saa long position (ostajan) aseman futuurissa sekä rahasumman, jolla futuurin toteutushinta ylittää option toteutushinnan ko. kohde-etuudella.

4 2. Osakeoptiot Osakeoptiot ovat eniten käytettyjä optioita, joten jatkossa tarkastelemme niitä, vaikka optioiden kohde-etuutena voi olla muukin kuin osake. Osakeoptiot nimetään toteutuskuukauden mukaan, kuten esim. tammikuun osto-optio IBM:n osakkeelle. Osakeoptioita on tammi-, helmi tai maaliskuun kierrolle. ammikuun kierto käsittää tammi-, huhti-, heinä- ja lokakuussa erääntyvät optiot. Helmikuun kierto käsittää helmi, touko-, elo ja marraskuussa erääntyvät, ja maaliskuun kierto käsittää maalis-, kesä-, syys- ja joulukuussa erääntyvät. Näin vuoden jokaisena kuukautena erääntyy eri osakkeiden ostoja myyntioptioita. Koska optioita avataan eri pituisina, esimerkiksi IBM:n tammikuussa avattuja osakeoptioita erääntyy tammi-, helmi-, huhti- ja heinäkuussa. Kun yksi optio erääntyy, kauppa seuraavalla alkaa.

5 2.1. oteutushintojen määräytyminen Jos kohde-etuutena olevan osakkeen hinta on melko alhainen, esim. $2, optioita avataan vallitsevan spot -hinnan ympärille toteutushinnoiltaan $2,5 välein. Jos taas osakkeen hinta on melko korkea, esim. $1, optioita avataan $5 välein, $3 hintaisille osakkeille $1 välein jne. Esim. Olkoon osakkeen spot -hinta $83. ällöin sille avataan ostoja myyntioptioita toteutushinnoiltaan $8 ja $85. Jos osakkeen spot -hinta nousee tasolle $85, sille avataan ostoja myyntioptiot toteutushinnalle $9. Vastaavasti jos spot -hinta laskee alle $8, optioita avataan toteutushinnalle $75 jne. Jokaiselle osakkeelle on siten voimassa koko ajan eri pituisia ja eri toteutushinnoille asetettuja ostoja myyntioptioita, joita avataan ja joiden hinnat vaihtelevat päivittäin.

6 Optioita kutsutaan termeillä 1) in the money, 2) at the money ja 3) out of the money riippuen siitä, onko niiden perusarvo positiivinen, nolla vai negatiivinen. Osto-option perusarvo on K, missä on kohde-etuuden spot -hinta tarkastelupäivänä ja K on option toteutushinta. Vastaavasti myyntioption perusarvo on K -. Osto-optio on siis in the money tilanteessa > K ja myyntioptio out of the money. Optio kannattaa toteuttaa vain kun se on in the money plittausten vaikutus optioiden hintoihin Optiot ovat suojattuja osakkeiden splittauksia vastaan. Osakkeita splitataan siinä tapauksessa, että osakkeen spot -hinta nousee niin korkeaksi, että yksittäisen sijoittajan alkaa olla vaikea ostaa ko. osakkeita. plittauksella esim. yksi $9 osake jaetaan kahdeksi $45 osakkeeksi tai kolmeksi $3 osakkeeksi.

7 Näillä toimilla liikkeelle laskettujen osakkeiden määrä kaksinkertaistuu tai kolminkertaistuu, ja samalla osto-option ostooikeus muuttuu 1 osakkeesta 2:aan tai 3:aan. Vastaavasti osakkeiden osingot jakautuvat siten, että sama osinkomäärä yhtä osaketta kohti joko puolittuu tai putoaa 1/3 alkuperäisestä. Näissä splittauksissa yhtä alkuperäistä osaketta kohti jaetaan 2 tai 3 uutta osaketta. Vastaavasti optiosopimus muuttuu 2 tai 3 uutta osaketta koskevaksi Optioiden vastuutahot UA:ssa Options Clearing Corporation (OCC) vastaa optiomarkkinoiden turvallisuudesta. OCC takaa, että optioiden osapuolet pitävät kiinni sitoumuksistaan. OCC:n lisäksi optiomeklareita valvoo paikalliset ja liittovaltion viranomaiset. Optiokauppojen voitoista maksetaan normaali pääomatulovero.

8 2.4. Warrantit ja johdon palkitsemisoptiot Warrantit ovat osto-optioita, jotka poikkeavat hieman normaaleista osto-optioista. Warrantteja laskee liikkeelle kohdeetuuden liikkeelle laskenut yritys, eli warranttien kohdeetuutena on yhtiön oma osake. Kun warrantin haltija toteuttaa osto-optionsa, yritys laskee liikkeelle uusia osakkeita warranttien määräämän toteutusmäärän mukaisesti, eli yrityksen osakemäärä kasvaa tällä määrällä. Näin ei tapahdu normaaleja osto-optioita toteutettaessa. Warranttien maturiteetti on yleensä muutamia vuosia, ja yritys voi rahoittaa toimintaansa laskemalla liikkeelle warrantteja. Johdon palkitsemisoptiot ovat osto-optioita, joita myönnetään yrityksen avainhenkilöille motivointisyistä. oisin kuin warrantteja, johdon palkitsemisoptioita ei voi myydä eteenpäin.

9 3. Optioiden hinnoittelu Optioiden hintaan vaikuttavat seuraavat tekijät: 1) Kohde-etuuden hinta, 2) Option toteutushinta, 3) Option maturiteetti, 4) Kohde-etuuden spot -hinnan vaihtelun voimakkuus, 5) Riskitön korkotaso, 6) Option voimassaolon aikana kohde-etuutena olevalle osakkeelle mahdollisesti maksettavat osingot. Optioiden hinnoittelumallien oletukset: 1) ransaktiokustannuksia ei ole, 2) Kaikkia tuottoja verotetaan samalla veroasteella, 3) ijoittajat voivat lainata ja sijoittaa samalla riskittömällä korolla r (1/v).

10 Merkinnät: : Kohde-etuudet spot -hinta nykyhetkellä, : Kohde-etuudet spot -hinta option toteutushetkellä, X : Option toteutushinta, (v): Option maturiteetti ilmaistuna vuosissa, r(1/v): Riskitön korko jatkuva-aikaisena vuosikorkona, C: Amerikkalaisen osto-option hinta, P: Amerikkalaisen myyntioption hinta, c: Eurooppalaisen osto-option hinta, p: Eurooppalaisen myynti-option hinta. Optiohintojen ylärajat ekä amerikkalaisen että eurooppalaisen osto-option hinta ei voi koskaan ylittää kohde-etuuden hintaa, sillä optio antaa oikeuden ostaa osake, mikä ei voi koskaan olla ko. osaketta arvokkaampi.

11 ällöin siis pätee: c ja C. Jos yllä olevat ehdot eivät päde, seuraava riskitön arbitraasi on mahdollinen: osta osake ja myy osto-optio ko. osakkeeseen. ekä amerikkalainen että eurooppalainen myyntioptio antavat oikeuden myydä kohde-etuus toteutushintaan X, joten niiden arvo ei voi ylittää X:ää. Maksimaalinen tulo myyntioptiosta on toteutushinta, jolla kohde-etuus saadaan myytyä, joten kukaan ei maksa tästä mahdollisesta tulosta sitä enempää. ällöin siis pätee: p X ja P X.

12 Eurooppalaisen osto-option hinnan alaraja r Eurooppalaisen osto-option alaraja on:. Perustelu: Muodosta seuraavat portfoliot: A: 1 eurooppalainen osto-optio toteutushinnalla X ja rahasijoitus -r. B: 1 em. osto-option kohteena oleva kohde-etuus. Osto-option toteutuspäivänä ko. portfolioilla on seuraavat arvot: A: B: Jos Jos Portfolion. X X : : A e e r r r r X. arvo on siten : X max(,, X ). Portfolio A on siten aina vähintään yhtä arvokas kuin B hetkellä, joten siitä maksetaan hetkellä vähintään yhtä paljon kuin B:stä.

13 Portfolioiden arvoille (hinnoille) hetkellä pätee tällöin: c r c r. Edelleen, koska huonoimmassa mahdollisessa tapauksessa option arvo =, tällöin c, joten c max( -r,). Eurooppalaisen myyntioption hinnan alaraja Muodostetaan seuraavat portfoliot: A: 1 eurooppalainen myyntioptio, jolla on toteutushinta X, ja yksi option kohde-etuutena oleva osake, B: Rahasijoitus -r.

14 Option toteutuspäivä portfolion A arvo on: Jos Jos X X : : X. X, Option toteutuspäivänä portfolion A arvo on siten: max(,x), ja portfolion B arvo on vastaavasti: e r -r = X. Option toteutuspäivänä portfolio A on siten vähintään yhtä arvokas kuin B, joten hetkellä siitä maksetaan vähintään yhtä paljon kuin B:stä. ästä saadaan: p r r p. Edelleen, koska myyntioption hinta ei voi olla negatiivinen, niin: r p max(,).

15 4. Put-Call pariteetti Eurooppalaisten ostoja myyntioptioiden hintojen välille voidaan muodostaa seuraava riippuvuus. Muodostetaan portfoliot: A: 1 eurooppalainen osto-optio toteutushintaan X maturiteetilla sekä rahasijoitus -r. B: 1 eurooppalainen myyntioptio samalle kohde-etuudelle ja maturiteetille toteutushintaan X sekä 1 kohde-etuus. Molemmat portfoliot ovat arvoltaan max(, X) optioiden toteutuspäivänä. Koska eurooppalaisia optioita ei voi toteuttaa kuin niiden eräpäivänä, portfolioista A ja B maksetaan sama hinta hetkellä. ällöin pätee seuraava put call pariteetti: c r p c p r.

16 Put-call -pariteetti osoittaa, että osto-option hinnasta voidaan johtaa myyntioption hinta kun optioilla on sama toteutushinta ja maturiteetti, ja päinvastoin. Jos vallitsevilla optioiden hinnoilla Put-call -pariteetti ei ole voimassa, markkinoilla on riskitön arbitraasimahdollisuus. 5. Amerikkalaisen option toteuttaminen ennen eräpäivää 5.1. Osto-optio Osoitamme tässä, että amerikkalainen optio kannattaa toteuttaa ennen eräpäivää ainoastaan siinä tapauksessa, että kohde-etuutena olevalle osakkeelle maksetaan osinkoa. Oletukset: Kohde-etuutena olevan osakkeen spot -hinta on $5, amerikkalaisen osto-option toteutushinta on $4, ja maturiteettia on jäljellä 1 kuukausi.

17 Optiolla on vielä aika-arvoa jäljellä, joten option haltijan kannattaa odottaa mahdollista lisätuloa siinä tapauksessa, että kohde-etuuden arvo nousee vielä. Jos optiota ei toteuteta, $4 toteutushinta voidaan pitää korkoa tuottamassa, sillä kohdeetuuden ei oleteta tuottavan osinkoa. Odottaminen voi kuitenkin johtaa siihen, että kohde-etuuden hinta laskee alle $4, jolloin optio menee arvottomaksi. Jos sijoittaja uskoo, että osake on ylihinnoiteltu ja hinta tulee laskemaan jatkossa, tällöin sijoittajan kannattaa myydä optio ennemmin kuin toteuttaa se, sillä: C c max( r,), ja toteuttamalla option sijoittaja saisi tuloa: X. Nyt X r X (1 e r ) 1 e r,

18 Mikä on tosi kun r, >, sillä ottamalla luonnollinen logaritmi viimeisen epäyhtälön molemmista puolista, saadaan: ln( 1) ln( e r ) r, kun r,. Edelleen, koska C c niin pätee C - X e -r, joten option haltijan kannattaa ennemmin myydä optio kuin toteuttaa se Myyntioption toteuttaminen ennen eräpäivää oisin kuin osto-option tapauksessa, amerikkalainen myyntioptio kannattaa joskus toteuttaa ennen eräpäivää, jos se on tilanteessa deep in the money.

19 Esimerkki. X = $1 ja t. ällöin toteuttamalla option sen haltija saa tuoton X - t $1. Odottamalla tuotto ei voi enää lisääntyä, koska t ei voi enää pienentyä. uotto voi ainoastaan vähentyä, ja saadulle rahalle $1 saadaan lisäksi korkotuottoa. Amerikkalaisen myyntioption toteuttaminen ennen eräpäivää on siis perusteltua, ja se on sitä järkevämpää, mitä lähempänä nollaa t on, mitä suurempi on r(1/v), ja mitä suurempaa on t :n vaihtelu. t :n voimakas vaihtelu lisää sen tilanteen todennäköisyyttä, että myyntioption tuotto vähenee tilanteessa t.

20 5.3. Osinkojen vaikutus optioiden hintoihin Merkitään $D:llä kohde-etuudelle maksettavien osinkojen nykyarvoa option voimassaoloaikana. Muodostetaan seuraavat portfoliot: A: 1 eurooppalainen osto-optio toteutushinnalla X ja maturiteetilla sekä käteistä D + X e -r, B: 1 em. option kohde-etuutena oleva osake. A:n arvo option toteutuspäivänä on: De r X e X, r D e r r De r, kun kun X, X. B:n arvo em. option toteutuspäivänä osingot huomioiden on: De r. A on siis vähintään yhtä arvokas kuin B, jolloin A:sta maksetaan vähintään yhtä paljon kuin B:stä:

21 c D r c D r. Näin saimme johdettua alarajan eurooppalaisen osto-option hinnalle siinä tapauksessa, että option kohde-etuutena olevalle osakkeelle maksetaan osinkoa option voimassaoloaikana. Option hinnan alaraja putoaa osinkojen nykyarvon verran. Jos siis kohde-etuutena olevalle osakkeelle odotetaan osinkoja option voimassaoloaikana, ei voida enää sanoa, että amerikkalaista osto-optiota ei kannattaisi toteuttaa ennen eräpäivää. Yleisesti voidaan sanoa, että osto-optio kannattaa toteuttaa osinkojen maksua edeltävänä päivänä. Näin siksi, että osinkojen maksu laskee osakkeen hintaa yleensä vastaavalla määrällä. ällöin saadaan itselle osingot ja osto-optio voi muuttua arvottomaksi osinkojen maksun jälkeen, sillä osakkeen arvo laskee yleensä täsmällisesti osingon määrällä per osake.

22 Vastaava korjaus osinkojen osalta tulee myyntioption hintaan. Muodostetaan portfoliot E ja F: E: 1 eurooppalainen myyntioptio maturiteetilla toteutushintaan X sekä 1 kohde-etuutena oleva osake. F: Käteistä D + X e -r. ällöin E:n arvo option toteutuspäivänä on r Vastaavasti F:n arvo option toteutuspäivänä on: X De. E on siis vähintään F:n arvoinen, joten siitä halutaan maksaa vähintään yhtä paljon: p X De r, De r X De X, X. r r D p D. r, kun kun Eurooppalaisen myyntioption hinnan alaraja nousee siis osinkojen nykyarvon verran, eli odotukset osingoista nostavat option hintaa.