PÄÄOMAPANOS TUOTANNONTEKIJÄNÄ

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "PÄÄOMAPANOS TUOTANNONTEKIJÄNÄ"

Transkriptio

1 PÄÄOMAPANOS TUOTANNONTEKIJÄNÄ Matti Estola 3. marraskuuta 203 Sisältö Johdanto 2 2 Pääomapanosten vuokraaminen 2 2. *Newtonilainen teoria pääomapanosten vuokraamisesta Pääomahyödykkeiden hankinta eli investointi 4 3. Nykyarvot ja diskonttaaminen diskreetin ajan tapauksessa *Nykyarvot ja diskonttaminen jatkuvan ajan tapauksessa Yrityksen investointipäätöksestä Yrityksen pääomakannan virta- varantolaskelmat *Yrityksen investointipäätökset jatkuvan ajan tapauksessa *Newtonilainen teoria yrityksen investoinneista Teksti on lainattu kirjasta: Estola, M. Kansantaloustieteen perusteet, Jyväskylän yliopisto, Taloustieteen laitos, Julkaisuja 04/96.

2 Johdanto Määritelmä: Yrityksen fyysinen pääoma koostuu niistä yrityksen omistamista tuotannontekijöistä, jotka tuottavat tuloa usean tilikauden aikana. Raaka-aineet kuluvat tuotannossa tuotantoprosessin aikana, joten niitä ei lueta kuuluvaksi yritysten fyysiseen pääomaan. Nimityksellä fyysinen pääoma tehdään ero yritysten nanssi- eli rahapääomaan. Pääoma -käsite viittaa puolestaan varanto -käsitteeseen, jolla tehdään ero virtasuureisiin. Erityyppisten pääomien määrät ovat varantosuureita, ja niiden mittayksiköitä voivat esimerkiksi olla: kpl, kg, mk. Virtasuureet taas ovat aikaan suhteutettuja suureita, ja niiden mittayksiköitä ovat esimerkiksi: kpl/kk, kpl/v, kg/h, mk/kk, mk/h vrt. luku 2 osio 2. Varannot ovat ajan myötä akkumuloituneita virtasuureita, jotka vastaavat virtauksen tiettyyn hetkeen mennessä kertynyttä kokonaismäärää vrt. luku 2 osio 2. Varantoja ovat esimerkiksi yritysten eri ajanjaksoilla myymättä jääneistä tuotteista tiettyyn hetkeen mennessä kertyneet varastot, eri ajanjaksoilla hankittujen koneiden ja laitteiden kertyneet määrät tietyllä hetkellä, tai eri ajanjaksoilla hankittujen koneiden ja laitteiden yhteisarvo tietyllä hetkellä. Yksiköissä aari, hehtaari jne. mitattu maa-ala voidaan myös lukea kuuluvaksi yritysten fyysiseen pääomaan. Maa tuottaa tuloja omistajalleen usean periodin aikana viljelysten, vuokratulojen tai säästöjen muodossa, sillä maan omistajan ei tarvitse maksaa vuokraa omistamansa maan käytöstä. Tarkasteltaessa pääomahyödykkeiden käyttöä tuotantoprosessissa, olennaista on tehdä ero virta- ja varantosuureiden välillä. Vuokra on korvaus pääomahyödykkeen tuottamista palveluksista tietyn ajanjakson ajalta; vuokran mittayksiköitä ovat esimerkiksi mk/kk, mk/v jne. Pääomahyödykkeen hinta taas on yksiköissä mk/kpl mitattu korvaus hyödykkeen tuottamista palveluksista koko sen käyttöajalta, eli korvaus pääomahyödykkeen tulevien ajanjaksojen palvelujen muodostamasta palveluvarannosta. Tässä kuvattua erottelua ei tarvinnut tehdä aiemmin työpanoksen käyttöä analysoitaessa, sillä työvoimaa voi ostaa omaksi ainoastaan orjayhteiskunnissa; yleensä sitä voi ainoastaan vuokrata. 2 Pääomapanosten vuokraaminen Jos yritys vuokraa pääomahyödykkeiden tuottamia palveluksia eikä osta niitä omakseen yrityksen pääomapanoskäyttö vastaa täysin edellä esitettyä analyysia työpanoskäytöstä. Yritys vertaa pääomahyödykkeiden tun- 2

3 tivuokria niiden tuottamien palvelusten arvoihin yhdeltä tunnilta, ja pyrkii tällä perusteella valitsemaan optimaalisen pääomapanoskäytön suunnittelujaksolleen. Yrityksen kuukausittainen tuotantofunktio kirjoitetaan tällöin yksiköissä h/kk mitatun pääomapanoskäytön funktiona. Yrityksen tietyn pääomahyödykkeen optimaalinen käyttö vastaa tilannetta, jossa pääomahyödykkeen yhden vuokratunnin tuottamien palvelusten arvo vastaa tuntivuokraa. Jos eri pääomahyödykkeiden tuntivuokrat ovat kiinteät ja niiden fyysinen rajatuottavuus alenee käytön myötä, niiden optimaaliset käytöt voidaan osoittaa yksikäsitteisiksi työpanoskäyttöä vastaavasti. Tilanne käydään läpi tässä varsin suppeasti, sillä kyseinen analyysi vastaa täysin edellä esitettyä analyysiä yrityksen työpanoskäytöstä. Kirjoitetaan hyödykettä k tuottavan yrityksen tuotantofunktio yhden tietyntyyppisen työpanoksen L k h/kk ja yhden tietyntyyppisen pääomapanoksen B k h/kk käytön funktioksi q k = fl k, B k, missä q k kg/kk on yrityksen tuotantonopeus. Tuotantofunktiolla on seuraavat ominaisuudet q k L k > 0, q k B k > 0, 2 q k L 2 k < 0, 2 q k B 2 k < 0 ja 2 q k L k B k = 2 q k B k L k = 0. Tuotantofunktion yllä esitetyt ominaisuudet merkitsevät sitä, että molempien tuotantopanosten rajatuottavuudet ovat positiiviset, niille pätee aleneva rajatuottavuus, tuotantofunktion osittaiskuvaukset ovat jatkuvia, ja panoskäytöt vaikuttavat tuotantonopeuteen toisistaan riippumatta. Viimeinen oletus tehdään siitä syystä, että sen avulla kumpaakin panoskäyttöä voidaan tarkastella toisesta riippumatta. Merkitään työpanoksen tuntipalkkaa w:llä mk/h ja pääomapanoksen vuokraa z:lla mk/h. Yrityksen kuukausittainen voitto voidaan tällöin kirjoittaa muodossa Π k t = p k q k t C 0 wl k t zb k t, q k t = f L k t, B k t, missä C 0 :lla merkitään kiinteitä kuukausikustannuksia, kaikkien kolmen hinnan oletetaan pysyvän kiinteinä, ja panoskäyttöjen riippuvuus ajasta t on kirjoitettu eksplisiittisesti näkyviin. Yrityksen oletetaan sopeuttavan työ- ja pääomapanoskäyttöään siten, että yrityksen kuukausittainen voitto lisääntyy ajan myötä. Voittofunktion aikaderivaatta on Π k = p k q k L k w L k + p k q k B k z Ḃ k. Yritys voi vaikuttaa kuukausittaiseen voittoonsa sopeuttamalla sekä työ- että pääomapanoskäyttöään toisistaan riippumatta. Aiemmin olemme jo analysoineet työpanoksen sopeuttamista, joten se voidaan nyt sivuuttaa. Pääomapanoskäytön sopeuttaminen tapahtuu vastaavasti. Kuukausittaista voittoa 3

4 lisäävät pääomapanoskäytön muutossäännöt ovat Ḃ k > 0 kun p k q k B k z > 0, Ḃ k < 0 kun p k q k B k z < 0 ja Ḃ k = 0 kun p k q k B k z = 0. Yllä olevien sopeutussääntöjen mukaan yritys vuokraa lisää pääomahyödykepalveluja silloin, kun yhden vuokratunnin avulla aikaansaadun tuotannon arvo on tuntivuokraa suurempi ja päinvastoin. Optimitilanteessa yhden vuokratunnin avulla tehdyn tuotannon arvo vastaa tuntivuokraa. 2. *Newtonilainen teoria pääomapanosten vuokraamisesta Edellisessä osiossa esitetty analyysi voidaan tiivistää seuraavaan matemaattiseen muotoon Ḃ k = gx, x = p k q k B k z, g x > 0, g0 = 0, missä g on jokin yllä esitetyt ehdot toteuttava funktio. Koska Ḃk h/kk 2 on q pääomapanoskäytön kiihtyvyys jonka aiheuttaa suure p k k B k z, jälkimmäinen suureista voidaan tulkita yrityksen pääomapanoskäyttöön kohdistuvaksi voimaksi. Kaava on pääomapanoskäytön liikeyhtälö, jonka lineaarinen muoto vastaa pääomapanoskäytön newtonilaista liikeyhtälöä. Koska Ḃk B k = g xp k 2 q k B 2 k < 0, pääomapanoskäyttöä kuvaava liikeyhtälö on asymptoottisesti stabiili. Tässä osiossa tehty analyysi vastaa täysin aiemmin työpanoskäytöstä tehtyä, mistä syystä tilannetta ei analysoida tätä tarkemmin. 3 Pääomahyödykkeiden hankinta eli investointi Pääomahyödykkeen määritelmän mukaan hyödyke tuottaa palveluja usean tilikauden aikana. Pääomahyödyke voidaan arvostaa sen tulevaisuudessa tuottamien palvelusten ja käyttökustannusten mukaan. Jos tietyn pääomahyödykkeen eri tilikausien aikana tuottamien palvelusten rahamääräiset arvot 4

5 kyetään arvioimaan, pääomahyödykkeen arvo yritykselle voidaan laskea sen käyttöajalta saatavien palvelusten arvon ja käyttökustannusten välisenä erotuksena. Investoinnin kannattavuutta voidaan analysoida myös vertaamalla pääomahyödykepalvelujen vuokraamisen ja pääomahyödykkeen ostamisen tuottamia valmistuskustannuseroja pääomahyödykkeen käyttöajalta. Eri ajanjaksoilla saatavia rahamääräisiä tuottoja ja kustannuksia ei kuitenkaan voida suoraan laskea yhteen, sillä eri ajanjaksojen rahayksiköt eivät ole suoraan vertailukelpoisia. Tätä tarkastellaan seuraavaksi. 3. Nykyarvot ja diskonttaaminen diskreetin ajan tapauksessa Oletetaan, että aika on ositettu tasavälisiin t:n pituisiin jaksoihin, missä jakson t pituus voi olla yksi päivä, viikko, kuukausi, vuosi tai mikä tahansa muu ajanjakso; kolme päivää, neljä ja puoli kuukautta jne. Ajanhetkiä merkitään seuraavasti: t 0, t 0 + t = t 0 + t t 0 = t, t t = t 0 + t + t = t + t = t 2 jne. ja ajanjaksot nimetään niiden loppuhetkien mukaan. Diskreetin ajan tapauksessa yksittäisen ajanjakson pituudella ei ole merkitystä; yleensä kuitenkin aika ositetaan yhtä pitkiin osaväleihin. Olennaista on se, että suureiden arvoja mitataan ainoastaan ajanjaksojen päättymishetkillä, eikä jaksojen t 0 + i t, i =, 2,..., aikana. Jaksot t 0 + i t järjestetään numerojärjestykseen niiden esiintymisjärjestyksen mukaisesti. Oletetaan nyt, että hetkellä t 0 xt 0 mk rahaa talletetaan pankkiin tai vastaavaan laitokseen korolla r. Korko r on rahamääräisten suureiden yksiköissä / t mitattu kasvuaste luku 2 osio.5, jolle pätee t xt 0 + t xt 0 = r xt 0 xt 0 + t xt 0 = r txt 0 xt 0 + t = xt 0 + r txt 0 xt 0 + t = + r txt 0. Hetkellä t 0 + t tilillä oleva rahamäärä xt 0 + t voidaan esittää koron r avulla yllä esitetyllä tavalla. Oletetaan nyt korko kiinteäksi ja korkoa korolle kasvavan n:n ajanjakson ajan siten, että korkotuotto lisätään talletettuun pääomaan ajanjaksojen lopussa. Eri ajanjaksojen lopussa pankkitilillä olevat 5

6 rahamäärät on esitetty taulukossa 8.. ajanhetki markkaa tilillä t 0 xt 0 t 0 + t xt 0 + t = + r txt 0 t t xt t = + r t 2 xt 0 t t xt t = + r t 3 xt 0.. t 0 + n t xt 0 + n t = + r t n xt 0 Taulukko 8.. Talletuksen kasvu korkoa korolle kaavalla Tutkitaan nyt, miten taulukon 7. rivit on muodostettu. Hetkellä t 0 tehty talletus xt 0 mk kasvaa jakson t 0 + t aikana xt 0 + t = xt 0 +r txt 0 = + r txt 0 mk:ksi, missä xt 0 on sijoitettu pääoma ja r txt 0 on korkotuotto jaksolta t 0 + t. Jakson t 0 +2 t alussa sijoitettu pääoma on + r txt 0 :n suuruinen, ja korkotuotto jaksolta t t on r t +r txt 0 mk. Toisen jakson lopussa tilillä on rahaa xt t = + r txt 0 + r t + r txt 0 = + r txt 0 + r t = + r t 2 xt 0 mk. Kolmannen jakson alussa sijoitettu pääoma on + r t 2 xt 0 mk, ja korkotuotto jaksolta t t on r t + r t 2 xt 0 mk. Kolmannen jakson lopussa tilillä on rahaa xt 0 +3 t = +r t 2 xt 0 +r t+r t 2 xt 0 = +r t 3 xt 0 mk jne. Nyt voidaan kysyä, paljonko hetkellä t 0 kannattaisi maksaa hetkellä t 0 + t saatavasta rahamäärästä yt 0 + t mk, eli mikä rahamäärä hetkellä t 0 vastaa hetkellä t 0 + t saatavaa rahamäärä yt 0 + t mk? Merkitään tuntematonta rahamäärää hetkellä t 0 yt 0 :lla ja talletuskorkoa r:llä. Se rahamäärä, joka hetkellä t 0 pankkiin talletettuna korolla r vastaa rahamäärää yt 0 + t hetkellä t 0 + t, saadaan seuraavasti + r tyt 0 = yt 0 + t yt 0 = + r t yt 0 + t Näin ratkaistua yt 0 :n arvoa kutsutaan määrän yt 0 + t nykyarvoksi, prosessia jolla nykyarvo saatiin kutsutaan diskonttaukseksi ja tekijää /+r t kutsutaan diskonttaustekijäksi. Koska yllä määritelty diskonttaustekijä on dimensioton suure, sillä kertominen ei vaikuta suureiden mittayksiköihin. Tulevaisuudessa saatavien rahamäärien muuntamista nykyhetken rahayksiköiden kanssa vertailukelpoiseksi kutsutaan rahamäärien nykyarvojen laskemiseksi. 6

7 Hetkellä t t saatavaa rahamäärää yt t mk hetkellä t 0 vastaava rahamäärä yt 0 mk lasketaan seuraavasti, + r t 2 yt 0 = yt t yt 0 = yt 0 = 2 yt t, + r t + r t 2 yt t missä viimeisessä muodossa käytetään hyväksi tietoa 2 =. Hetken t 0 +2 t rahayksikön diskonttaustekijä on siten / + r t 2. Vastaavalla tavalla hetken t t diskonttaustekijäksi saadaan / + r t 3 ja yleisemmin hetken t 0 + n t diskonttaustekijäksi / + r t n. Dimensionaalisesti ajatellen eri periodien markkamääräiset suureet ovat samandimensioisia ja siten yhteenlaskettavia suureita. Positiivinen korkotaso saa kuitenkin aikaan sen, että tulevien ajanjaksojen yhden markan arvo on nykyhetken markan arvoa pienempi. Diskonttaustekijä ilmaisee kahden ajanjakson esimerkiksi t t ja t 0 + t:n rahayksiköiden vaihtosuhteen seuraavasti: xt t xt 0 + t = + r t4 xt 0 + r t xt 0 xt t = + r t 3 xt 0 + t. xt t xt 0 + t = + r t3 Esimerkki. Olkoon r = 0 %/v = 0. /v ja t = v. Asettamalla edellä esitetyissä kaavoissa yt 0 + t = yt t = yt t = mk ja ratkaisemalla näitä vastaavat yt 0 :n arvot, hetken t 0 + t yhden markan nykyarvoksi tulee / + 0. = 0.9 mk, hetken t t markan nykyarvoksi / = 0.83 mk ja hetken t t markan nykyarvoksi / = 0.75 mk. Kiinteän korkotason vallitessa eri ajanjaksojen rahayksiköiden nykyarvot ovat sitä pienempiä, mitä kauempana tulevaisuudessa ajanhetki sijaitsee. Esimerkki 2. Olkoon r = 5 %/v = 0.05 /v ja t = v. Asettamalla edellä esitetyissä kaavoissa yt 0 + t = yt t = yt t = mk ja ratkaisemalla näitä vastaavat yt 0 :n arvot, hetken t 0 + t yhden markan nykyarvoksi tulee / = 0.95 mk, hetken t t markan nykyarvoksi / = 0.9 mk ja hetken t 0 +3 t markan nykyarvoksi / = 0.86 mk. Edelliseen esimerkkiin vertaamalla havaitaan, että eri ajanjaksojen rahayksiköiden nykyarvot ovat sitä suurempia, mitä alhaisempi on korkotaso. Esimerkki 3. Olkoon korko 0 %/v = 0/00 /v. Muunnoskaavan v = 52 vk avulla korkoa voidaan muuntaa seuraavasti /0 /v = 7

8 /0 /52vk = / /vk. Neljän viikon pituisen ajanjakson korko saadaan vastaavasti: / /vk = 4/4 / /vk = 4/ /4vk. Tarkastellaan seuraavaksi sellaisen tulovirran nykyarvoa, jossa neljän viikon kuluttua tarkasteluhetkestä saadaan neljä markkaa ja korkotaso on 0 %/v. Nykyhetkestä neljän viikon kuluttua saatavan tulon 4 mk/ t:n nykyarvo M na missä alaindeksi viittaa nykyarvoon ja M tuloihin lasketaan seuraavasti M na = 4 mk + r t = 4 mk + 4 = 4 mk 4vk + 4 = 4 mk 524 = vk mk = mk. = 4 mk + 4 Lasketaan seuraavaksi sellaisen tulovirran nykyarvo, jossa neljän viikon ajan jokaisen viikon lopussa saadaan yksi markka. Yllä esitetyn perusteella viikon pituisen ajanjakson korko on / /vk. M na = mk + r t + mk + r t + mk 2 + r t + mk 3 + r t 4 mk mk = + = vk vk + + mk 3 + vk + vk vk 52 vk 2 mk 4 vk vk 4 mk = 3.98 mk. Tämän esimerkin perusteella voidaan päätellä, että mitä tiheämmin kiinteällä korolla tapahtuva diskreetin ajan diskonttaus tehdään, sitä suurempi on kiinteän ajanjakson aikana saatavan kiinteän tulovirran nykyarvo. 3.2 *Nykyarvot ja diskonttaminen jatkuvan ajan tapauksessa Luvussa 2 esitetyn perusteella jatkuvan ajan tapauksessa korko rt on pankkitalletusten hetkellinen kasvuaste rt = x t/xt hetkellä t. Tämän ensimmäisen kertaluvun dierentiaaliyhtälön ratkaisu on muotoa x t t t = rtxt xt = Ae rsds 0, 2 8

9 missä A mk on dimensionaalinen integrointivakio ja s:llä merkitään juoksevaa aikaa. Lukija voi tarkistaa kaavan 2 oikeuden siten, että derivoi kaavan 2 jälkimmäisen yhtälön ajan suhteen saaden x t t t = Arte rsds 0. Kun näin johdettu x t:n lauseke jaetaan xt:n kaavan 2 jälkimmäisen yhtälön muodolla havaitaan, että saatu tulos on sama kuin alkuperäinen dierentiaaliyhtälö eli rt:n määritelmä. Asettamalla t = t 0 kaavassa 2, saadaan t t xt 0 = A, xt = xt 0 e rsds 0. 3 Näin saatu yhtälö ilmaisee sen, mikä on hetkellä t 0 tehdyn talletuksen määrä hetkellä t korolla rs jatkuvan ajan tapauksessa, missä korko voi vaihdella jakson t 0, t aikana. Jatkuvan ajan tapauksessa korko lisätään talletuspääomaan jokaisen a- janhetken jälkeen; talletus kasvaa tällöin korkoa korolle kaavassa 3 esitetyn exponentiaalifunktion mukaisesti. Jos siis talletamme tilille rahamäärän xt 0 mk hetkellä t 0, ja talletus kasvaa korkoa korolle hetkeen t > t 0 asti, hetkellä t tilillä on rahaa kaavassa 3 määritelty määrä xt. Kun t = t 0, xt = xt 0. Jatkuvan ajan tapauksessa hetkellä t saatavan rahamäärän nykyarvo hetkellä t 0 saadaan ratkaisemalla yhtälö 3 xt 0 :n suhteen, xt 0 = xte t t 0 rsds. Olettamalla korkotason säilyvän kiinteänä ajanjakson t 0, t ajan, rahamäärän xt nykyarvo voidaan esittää muodossa xt 0 = xte rt t 0. Asettamalla t 0 = 0 eli merkitsemällä nykyhetkeä nollalla jatkuvan ajan vastine diskreetin ajan diskonttaustekijälle /+r t n voidaan kiinteän koron tapauksessa esittää muodossa e rt. Tekijä e rt on dimensioton suure, sillä koron r mittayksikkö on / t ja ajan t mittayksikkö on t, missä t voi olla mikä tahansa ajanjakso, yksi vuosi, kaksi kuukautta, puoli viikkoa jne. Esimerkki. Tarkastellaan edellä esitetyissä esimerkeissä käsiteltyä neljän viikon aikana saatavan neljän markan suuruisen tulovirran nykyarvoa jatkuvan ajan tapauksessa. Oletetaan talouden talletuskorkotason olevan aiempaan tapaan kiinteä 0 %/v, mikä vastaa 4/ /4vk suuruista neljän viikon ajanjakson korkoa ja / /vk suuruista viikkokorkoa. Jatkuvaa 9

10 aikaa mitataan ensin neljän viikon pituisissa jaksoissa ja sitten viikon pituisissa jaksoissa. Tulovirran 4 mk/4vk nykyarvo on ensimmäisessä tapauksessa t= 4vk t= 4vk M na = 4e rt dt mk = 4 r e r 4vk t 4vk mk t=0 4vk = 4 mk/4vk r /4vk 4 = 4/ e 0 e 4 t=0 4vk e r 4vk 4vk e r 4vk 0 4vk mk = e 4 mk = mk. Yllä olevan laskun mittayksiköitä tarkasteltaessa on syytä huomata se, että dt:tä mitataan yksiköissä 4vk. Laskukaavan ensimmäisen muodon mittayksikkö on siten 4 mk/4vk dt 4vk = 4dt mk kuten pitikin, sillä e rt on dimensioton suure. Oletetaan nyt aikaa mitattavan viikoissa. Tulovirta 4 mk/4vk vastaa tulovirtaa 4/4 mk/vk = mk/vk. Tällöin voimme kirjoittaa edellistä vastaavasti M na = t=4 vk t=0 vk = mk/vk r /vk = e rt dt mk = e 4 t=4 vk t=0 vk e r vk 4 vk mk = mk. r e r vk t vk mk = / e 4r mk Jatkuvan ajan nykyarvolaskennassa saamme siis saman tuloksen riippumatta siitä, missä yksiköissä aikaa mitataan. Olennaista on huomata se, että integroitava suure ilmaistaan samoissa aikayksiköissä integrointirajojen kanssa. Lasketun summan nykyarvo on hieman korkeampi kuin diskreetin ajan tapauksessa. Tällä perusteella voimme päätellä, että jos ajan ositusta tihennetään diskreetin ajan tapauksessa, diskreetin ajan diskonttausmenetelmällä lasketut nykyarvot lähestyvät asymptoottisesti jatkuvan ajan diskonttausmenetelmällä laskettuja nykyarvoja. Esimerkki 2. Oletetaan hetkellä t 0 ääretönulotteisessa tulevaisuudessa saatava kiinteä tulovirta N mk/v, ja oletetaan korkotason säilyvän tulevaisuudessa kiinteänä r /v. Tämän tulovirran nykyarvo on M na = Ne rt t0 dt = N t 0 t 0 r e rt t 0 = N e r t 0 e rt 0 t 0 r = N e e 0 = N r r 0 = N r mk, 0

11 missä r t 0 = r + rt 0 =, sillä rt 0 on äärellinen positiivinen luku ja r =. Näin saatu tulos vastaa myöhemmin diskreetin ajan tapauksessa johdettavan saman tulovirran nykyarvoa. 3.3 Yrityksen investointipäätöksestä Yrityksen ajatellaan suunnittelevan pääomapanoskäytön lisäämistä tuotantoprosessissaan siitä syystä, että yritys toimii täydellä kapasiteetilla ja lisätuotannolle olisi menekkiä. Tarkastellaan aluksi sellaista tilannetta, että yrityksen ei ole mahdollista vuokrata kyseisiä pääomahyödykepalveluja niitä vuokraavilta yrityksiltä. Tällaisessa tilanteessa yritys joutuu harkitsemaan pääomahyödykkeen jatkossa koneen ostamista eli investointia. Kannattavuusperiaatteella tehtävä investointipäätös perustuu koneesta aiheutuvien tuottojen ja kustannusten vertailuun. Koneen kustannukset koostuvat ostohinnasta ja käyttökustannuksista ja tuotot koneen tulevaisuudessa tuottamien palvelusten arvoista. Unohdetaan nyt yrityksen toiminnan muu suunnittelu, ja tarkastellaan investointipäätöstä muusta toiminnasta erillisenä päätöksenä hetkellä t 0. Aika ositetaan t:n pituisiin jaksoihin seuraavasti: t 0, t 0 + t, t 0 +2 t, t 0 +3 t,... ja oletetaan, että kone kestää n ajanjaksoa. Merkitään koneen ostohintaa hetkellä t 0 C 0 :lla ja koneen käyttökustannusten ja sen tuottamien palvelusten tulojen markkamääräisiä arvoja Ct 0 + i t:llä mk/ t ja Mt 0 + i t:llä mk/ t jaksolla t 0 + i t, i =,..., n. Eri ajanjaksoilla vallitsevia korkotasoja merkitään r i :llä, i =,..., n. Investoinnin tuottamien tulojen nykyarvo n:ltä periodilta on M na = Mt 0 + t t + Mt t t + r t + r t + r 2 t + + Mt 0 + n t t + r t + r n t, missä ajanjaksojen korkotasojen eroaminen toisistaan saa aikaan sen, että diskonttaustekijät eivät enää ole yhden tekijän potensseja, vaan ne ovat usean diskonttaustekijän tuloja. Lukija voi tarkistaa tämän edellä esitettyjen laskemisperiaatteiden avulla siten, että laskee miten hetkellä t 0 sijoitettu pääoma kasvaa korkoa korolle silloin, kun ajanjaksojen korkotasot poikkeavat toisistaan yllä esitetyllä tavalla. Jos r i = r, i =,..., n, tarkoittaa jokainen, diskonttaustekijät muuttuvat tekijän / + r t potensseiksi. Koneesta aiheutuvien kustannusten nykyarvo n:ltä jaksolta on C na = C 0 + Ct 0 + t t Ct t t + + r t + r t + r 2 t + Ct 0 + n t t + + r t + r n t.

12 Investointi on kannattava silloin, kun koneen tuottamien tulojen nykyarvo ylittää sen tuottamien kustannusten nykyarvon, eli M na > C na. Jos eri ajanjaksoilta saadut tuotot ja kustannukset vähennetään toisistaan, investoinnin kannattavuusehto voidaan esittää muodossa Mt0 + t Ct 0 + t t M na C na > 0 + r t Mt0 + 2 t Ct t t + + r t + r 2 t Mt0 + n t Ct 0 + n t t + + > C 0. + r t + r n t Investointi kannattaa siis silloin, kun koneen nettotuottojen tulovirran nykyarvo ylittää koneen ostohinnan. Jos ehto M na > C na toteutuu, yrityksen kannattaa maksaa koneesta korkeintaan nettotuottojen nykyarvon verran, mikä on koneen arvo yritykselle. Olennaista yllä esitetyssä laskelmassa on se, että koneen tulevaisuudessa tuottamia nettotuottoja ei verrata koneen ostohintaan sellaisenaan, vaan nettotuottojen tulovirran nykyarvoa verrataan nykyhetkellä maksettavaan hintaan. Mitä kauempana tulevaisuudessa koneen tuottamat tuotot sijaitsevat, sitä pienempi nykyarvo niillä on korkotason ollessa positiivinen. Tarkastellaan edelleen yrityksen tietyn koneen ostopäätöstä hetkellä t 0. Investointipäätöstä tehdessään yrityksen päättäjillä ei ole varmaa tietoa tulevaisuudessa vallitsevasta korkotasosta, investoinnin tuottamista tuloista eikä koneen käyttökustannuksista. Päättäjät joutuvat arvioimaan näitä oman näkemyksensä perusteella. Oletetaan nyt, että yrityksen päättäjät kykenevät arvioimaan koneen keskimääräiset tuotot ja käyttökustannukset eri ajanjaksoilta, ja oletetaan näiden pysyvän vakioina koko koneen käyttöajan. Vaikka koneen tuotantoteho laskisikin ajan myötä, koneen keskimääräiset tuotot ja kustannukset yhtä jaksoa kohti voidaan laskea jakamalla koko käyttöajalta arvioidut kokonaistuotot ja kustannukset jaksojen lukumäärällä. Yrityksen päättäjien oletetaan arvioivan investoinnin kannattavuutta yhteen tiettyyn korkotasoon pitäytymällä, joka vastaa päättäjien arviota koron tulevasta tasosta. Merkitään koneen nettotuottoja jaksolta t 0 + i t seuraavasti Nt 0 + i t = Mt 0 + i t Ct 0 + i t = N mk/ t, i = 0,,..., n. Edellä esitettyjen oletusten avulla yrityksen päättäjien arvio koneen 2

13 tuottamien nettotulojen nykyarvosta voidaan esittää muodossa N t N na = + r t + N t + r t + N t 2 + r t + + N t 3 + r t n = N t + r t + + r t r t r t n n i = N t. + r t i= Yllä kuvattu summalauseke muodostaa positiivitermisen geometrisen suppenevan sarjan, jossa sarjan termit ovat muotoa i a i =, i =, 2, 3,..., n, + r t ja 0 < a = / + r t < kun r > 0. Merkitään geometrisen sarjan n:n termin summaa seuraavasti n S n = a + a 2 + a 3 + a n = a i. Kertomalla tämä summa a:lla, saadaan as n = a 2 + a 3 + a a n+. Vähentämällä näin muodostetut kaksi summaa toisistaan, geometrisen sarjan n:n termin summa saadaan muotoon S n as n = a a n+ as n = a a n+ S n = a an a. Positiiviterminen geometrinen sarja suppenee kun 0 a <. Suppenevan ääretöntermisen geometrisen sarjan summa voidaan esittää muodossa lim n S n = a/ a, sillä lim n a n = 0. Oletetaan nyt yksinkertaisuuden vuoksi, että yrityksen havittelema kone kestää ikuisesti. Tällöin voimme käyttää yllä esitettyä ääretöntermisen suppenevan geometrisen sarjan summaa laskujen yksinkertaistamiseksi. Geometrisen sarjan summan avulla lausuttuna investoinnin kannattavuusehto voidaan esittää seuraavasti N na > C 0 N t +r t +r t > C 0 N t +r t +r t +r t i= > C 0 N t r t > C 0 N r > C 0. Viimeinen epäyhtälöistä osoittaa sen, miten korko r vaikuttaa investoinnin kannattavuuteen. Kun N > 0, korkotason lähestyminen nollaa tekee investoinnin varmasti kannattavaksi, sillä tällöin epäyhtälön vasen puoli kasvaa rajatta oikean puolen pysyessä äärellisenä. Jos taas N < 0, investointi 3

14 ei kannata. Mitä korkeampi korkotaso on, sitä pienempi on epäyhtälön vasen puoli kun N > 0, eli sitä pienemmällä todennäköisyydellä investointi on kannattava. Yllä johdettu nykyarvo osoittaa sen, että diskreetin ajan diskonttausmenetelmällä laskettu ääretönulotteisen kiinteän tulovirran nykyarvo vastaa aiemmin jatkuvan ajan diskonttausmenetelmällä saatua. Esimerkki. Pääomahyödykkeen arvon määrittäminen. Oletetaan yrityksen harkitsevan sellaisen koneen ostoa, jonka arvioidaan tuottavan palveluja 3 vuoden ajan 4000 mk:n arvosta vuodessa siten, että koneesta ei aiheudu käyttökustannuksia ja se voidaan myydä kolmen vuoden jälkeen romutushintaan 0000 mk. Oletetaan taloudessa vallitsevan korkotason olevan 0 %/v. Paljonko yrityksen kannattaisi maksaa koneesta? Vastaus. Eri vuosien diskonttaustekijät on laskettu edellä. Tulevaisuudessa saatavien tuottojen nykyarvojen summa on siten N na = = 9960 mk. Koneen romuttamisesta saatavien tulojen nykyarvo on = 7500 mk. Yrityksen kannattaisi maksaa koneesta = 7460 mk, jos eri vuosien tuotot oletetaan saaduiksi vuosien lopussa. Oletetaan nyt, että yrityksellä on kaksi vaihtoehtoista tapaa lisätä pääomapanoskäyttöään hetkellä t 0 : vuokrata pääomahyödykepalveluja kiinteällä tuntivuokralla tai 2 ostaa pääomahyödyke omaksi. Pääomapalvelujen tarve yhtä ajanjaksoa kohti oletetaan kiinteäksi B h/ t. Yritys voi vuokrata pääomahyödykepalveluja kiinteään hintaan z mk/h, tai ostaa vastaavat palvelut tuottavan koneen omaksi hintaan C 0 mk. Oletetaan lisäksi, että yritys ei voi toimia ilman kyseistä konetta, joten koneen vuokraaminen tai ostaminen on välttämätöntä. Koneen jälleenmyyntiarvo oletetaan nollaksi, ja koneesta oletetaan koituvan huolto- ja käyttökustannuksia a mk/ t < zb mk/ t. Koneen kulumisesta aiheutuvien huoltokustannusten oletetaan sisältyvän koneen käyttökustannuksiin, millä perusteella koneen voidaan ajatella kestävän ikuisesti. Yrityksen päättäjien oletetaan arvioivan korkotason pysyvän tulevaisuudessa kiinteänä r / t. Edellä esitetyn perusteella yrityksen pääomapalvelujen vuokrakustannukset jakson t aikana ovat zb t mk. Vuokrakustannusten muodostaman rahavirran nykyarvo ääretönulotteiselta tulevaisuudelta V na mk voidaan edellä esitetyn perusteella esittää ääretöntermisen geometrisen sarjan summan avulla seuraavasti V na = zb t r t 4 = zb r.

15 Koneen ostamisen ja sen käyttökustannusten muodostaman rahavirran nykyarvo C na mk on vastaavasti C na = C 0 + a t r t = C 0 + a r. Investoinnin kannattavuusehto voidaan tällöin esittää muodossa C na < V na C 0 + a r < zb C 0 < zb a. r r Koneen hankinnan kannattavuus perustuu sen käyttöajalta ääretönulotteiselta tulevaisuudelta tuottamien kustannussäästöjen nykyarvon ja koneen hankintahinnan erotukseen. Mitä korkeampi korkotaso on, sitä suuremmalla todennäköisyydellä investointi ei ole kannattava, sillä zb a > 0 ja epäyhtälön oikea puoli pienentyy koron nousun myötä. Mitä kalliimpi kone on ja mitä pienemmät kustannussäästöt se yritykselle tuottaa, sitä suuremmalla todennäköisyydellä koneen hankinta ei kannata. Yrityksen harkitseman investoinnin kannattavuutta voitaisiin tarkastella vielä sellaisessa tilanteessa, jossa yritys rahoittaa investointinsa velkarahalla. Tällaisessa tilanteessa sekä laina- että talletuskoron suuruus vaikuttaa investoinnin kannattavuuteen, sillä velasta aiheutuvat yhtä ajanjaksoa kohti lasketut korkomenot kasvavat koron myötä. Tämä jätetään kuitenkin tekemättä siitä syystä, että äärellisulotteisen geometrisen sarjan laskukaavan käyttö laina on maksettava takaisin äärellisessä ajassa tekee analyysista turhan monimutkaisen. Yllä johdettu suure zb a C r 0 voidaan nimetä yrityksen pääomakantaan kohdistuvaksi voimaksi yhtä rahayksikköä kohti. Jos kyseinen suure on positiivinen, yrityksen kannattaa lisätä pääomakantaansa ostamalla kone, sikäli kun yritys uskoo toimintansa jatkuvan riittävän pitkään. Yrityksen pääomakantaa voidaan tarkastella tuotannon tapaan kertymäfunktiona, jota jokainen investointi kasvattaa. Pääomavarantoa voidaan analysoida tuotannon tapaan jatkuvana suureena, vaikka sen lisäykset tapahtuisivatkin tietyin aikavälein. Tätä tarkastellaan seuraavassa osiossa. 3.4 Yrityksen pääomakannan virta- varantolaskelmat Ajatellaan yrityksen fyysistä pääomakantaa varantosuureena, joka kertyy eri ajanjaksoilla tehtävistä hankinnoista. Koska pääomahyödykkeiden määrien painokoneet, trukit, tietokoneet jne. yhteenlasku on vaikeaa erilaisten mittayksiköiden vuoksi, pääomakanta ilmaistaan yleensä arvo- eli rahamääräisenä suureena. Pääomakannan lisäyksiä investointeja mitataan tällöin rahamääräisinä suureina. Oletetaan yrityksen toiminnan alkaneen hetkellä t 0 ja merkitään jaksolla t 0 +i t tehtävää pääomakannan lisäystä It 0 +i t:llä mk/ t. 5

16 Oletetaan lisäksi ettei pääomakanta kulu, eikä sen arvo alene ajan myötä. Nämä viimeiset oletukset tehdään ainoastaan tilanteen yksinkertaistamiseksi. Ajanhetkellä t = t 0 + n t yrityksen pääomakannan arvo, Kt merkintä K tulee sanasta das Kapital Karl Marxin mukaan, on seuraava markkamääräinen suure n Kt = It 0 + t t+it 0 +2 t t+ +It 0 +n t t = It 0 +i t t, missä yrityksen koko olemassaolon aikana tekemien investointien arvot on laskettu yhteen. Oletetaan nyt aika jatkuvaksi, eli asetetaan t 0. Yrityksen pääomakanta hetkellä t = t 0 + n t voidaan tällöin ilmaista seuraavana määrättynä integraalina liite; luku 9 osio 2 Kt = lim t 0 n It 0 + i t t = i= t i= t 0 Isds, 4 missä juoksevaa aikaa välillä t 0, t merkitään s:llä. Kaavan 4 perusteella hetkellä t tehtävä investointi vastaa pääomakannan aikaderivaattaa, dk dt = K = It. Jatkuvan tai diskreetin ajan käyttö ei tee eroa analyysiin. Vaikka investoinnit tapahtuisivatkin diskreetisti siten, että ensimmäisen puolen vuoden aikana ostetaan yksi 000 markan arvoinen kone, ja toisen vuosipuoliskon aikana ostetaan kaksi 000 markan arvoista konetta, vuosittaisten investointien yhteisarvo on 3000 mk/v. Tämä vastaa 3000/52 mk/vk suuruista viikottaista investointinopeutta, 3000/ mk/h suuruista investointien tuntinopeutta, ja näin jatkamalla saadaan muodostettua keskimääräinen investointinopeus miten pitkältä ajanjaksolta halutaan. Yrityksen pääomakannan vuoden aikana tapahtunut muutos saadaan johdettua investointinopeuden avulla seuraavasti K0, = 3000 ds = 3000 s = = 3000 mk, 0 0 missä aikaa mitattiin vuosissa. Sama tulos saadaan viikottaisen investointinopeuden avulla K0, 52 = 52 ds = s = = 3000 mk jne

17 Tässä esitetyn perusteella yrityksen pääomakantaa ja sen tekemiä investointeja voidaan kuvata ajan suhteen jatkuvana prosessina, vaikka yritys todellisuudessa tekisikin investointeja kerran kymmenessä vuodessa. 3.5 *Yrityksen investointipäätökset jatkuvan ajan tapauksessa Oletetaan aika jatkuvaksi kuukausissa mitatuksi suureeksi ja tarkastellaan yrityksen investointipäätökseen vaikuttavia hetkellisiä voimia. Ajatellaan investointia sellaisena hankintana, joka toteutetaan aina kun se on taloudellisesti kannattava. Yrityksen pääomakannan oletetaan koostuvan m:stä erilaisesta koneesta, joita yritys voi ostaa tai vuokrata muilta yrityksiltä. Yrityksen pääomakanta hetkellä t koostuu yrityksen perustamishetkestä t 0 lähtien yritykseen hankituista erityyppisistä koneista. Koska kaikkien koneiden hinnat ovat markkamääräisiä suureita, yrityksen pääomakantaa tarkastellaan arvosuureena. Merkitään yrityksen hetkellä t yksiköissä mk mitattua pääomakannan arvoa Kt seuraavasti Kt = m K i t, K i t = i= t t 0 I i sds, dk i dt = I i t, missä K i t on tyyppiä i olevista koneista koostuvan pääomakannan arvo hetkellä t ja I i t mk/kk on yrityksen hetkellä t tekemä investointi konetyyppiin i. I i t voi olla joko positiivinen tai negatiivinen. Jos I i t < 0, yritys supistaa tyyppiä i olevaa konekantaansa myymällä tai romuttamalla näitä koneita hetkellä t. Investointi merkitsee yrityksen pääomavarannon lisääntymistä, ja K = dk/dt = m i= I it on yrityksen pääomakannan hetkellä t yksiköissä mk/kk mitattu muutosnopeus, eli yrityksen nettoinvestoinnit. Edellä esitetyn perusteella yrityksen pääomakannan muutosnopeus voidaan mallittaa seuraavasti K i = f i y i, y i = N nai C 0i, f iy i > 0, f i 0 = 0, i =,..., n, 5 missä f i, i =,..., n, ovat jotkin yllä esitetyt ehdot toteuttavat funktiot, N nai on yrityksen tyyppiä i olevien koneiden tulevaisuudessa tuottamien kustannussäästöjen nykyarvo ja C 0i on tyyppiä i olevan koneen ostohinta hetkellä t. Yrityksen pääomakantaan kohdistuva voima koostuu erityyppisten pääomahyödykkeiden tuottamien kustannussäästöjen nykyarvojen ja niiden ostohintojen erotuksesta. Mitä suurempi kyseinen erotus on, sitä suurempi voima yrityksen pääomakantaan kohdistuu kyseistä konetyyppiä kohti. Jos jokin yllä esitetyistä voimakomponenteista y i on negatiivinen, yrityksen kannattaa myydä kyseisiä pääomahyödykkeitä, mikä toteutuessaan pienentää 7

18 yrityksen pääomavarantoa. Nollavoimatilanteessa yrityksen pääomakanta ei muutu. 3.6 *Newtonilainen teoria yrityksen investoinneista Tarkastellaan yrityksen tietyntyyppisen koneen hankintapäätöstä jatkuva-aikaisena päätöksenä, ja oletetaan aikaa mitattavan vuosissa. Korkotaso oletetaan kiinteäksi r /v, ja koneen tulevaisuudessa tuottamia vuosittaisia nettomääräisiä kustannussäästöjä merkitään N:llä mk/v, jotka oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi vakioiksi. Yrityksen investointipäätöstä tarkastellaan ajan kulumista mittaavalla hetkellä t, ja tarkasteltavien koneiden oletetaan kestävän kulumatta äärettömän kauan. Koneiden huoltomenojen oletetaan siis sisältyvän niiden tuottamiin nettomääräisiin kustannussäästöihin. Edellisen osion kaavassa 5 esitetty funktio f i oletetaan lineaariseksi origon kautta kulkevaksi kasvavaksi kuvaukseksi. Yrityksen investointipäätös hetkellä t kuten myös yrityksen pääomakannan aikaura voidaan tällöin esittää muodossa It = A e rs t Nds C 0 t + F Kle Kt = m K Kt = Kt 0 + t N r C 0t + F Kle t t 0 m K N r C 0s + F Kle ds, It = Kt, A = m K. Kaavassa A = /m K positiivinen dimensionaalinen vakio, m K on yksiköissä v mitattu yrityksen pääomakannan hitausmassa ja F Kle on pääomakannan lepokitka. Viimeksi mainittua tarvitaan selittämään se ilmiö, että vallitsevaa pääomakantaa ei aina muuteta, vaikka siihen kohdistuva voima eroaakin nollasta. Lepokitka pitää sisällään kaikki ne pääomakannan muuttamista jarruttavat kitkatekijät, jotka eivät sisälly koneesta koituviin tuottoihin ja kustannuksiin. Nämä tekijät on summattu yhdeksi yksiköissä mk mitatuksi dimensionaaliseksi vakioksi, jonka numeerista arvoa voidaan arvioida havaintojen perusteella. Yrityksen pääomakantaan kohdistuva voima on muotoa N/r C 0 t + F Kle ja sen mittayksikkö on mk. Voiman mukaan yrityksen pääomakanta muuttuu silloin, kun tarkasteltavien koneiden tuottamien kustannussäästöjen nykyarvon ja hankintahinnan erotuksen absoluuttinen arvo ylittää pääomakannan lepokitkan. Korkotason nousu vaikuttaa koneiden tuottamien nettotulojen nykyarvoon negatiivisesti. Tällä tavalla johdettu yrityksen investointikäyttäytyminen vastaa aiemmin esitettyä kansantaloustieteen mallittamisaksioomaa. 8

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

diskonttaus ja summamerkintä, L6

diskonttaus ja summamerkintä, L6 diskonttaus ja summamerkintä, L6 1 Edellä aina laskettiin kasvanut pääoma alkupääoman ja koron perusteella. Seuraavaksi pohdimme käänteistä ongelmaa: Miten suuri tulee alkupääoman K 0 olla, jotta n jakson

Lisätiedot

Kansainvälinen rahatalous Matti Estola. Termiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa

Kansainvälinen rahatalous Matti Estola. Termiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa Kansainvälinen rahatalous Matti Estola ermiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa 1. Valuuttariskien suojauskeinot Rahoitusalan yritykset tekevät asiakkailleen valuuttojen välisiä termiinisopimuksia

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

10 Liiketaloudellisia algoritmeja

10 Liiketaloudellisia algoritmeja 218 Liiketaloudellisia algoritmeja 10 Liiketaloudellisia algoritmeja Tämä luku sisältää liiketaloudellisia laskelmia. Aiheita voi hyödyntää vaikkapa liiketalouden opetuksessa. 10.1 Investointien kannattavuuden

Lisätiedot

Nykyarvo ja investoinnit, L7

Nykyarvo ja investoinnit, L7 Nykyarvo ja investoinnit, L7 netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k n k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... 0 1 2 3 4 5 6... n j netto

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

TYÖPANOS TUOTANNONTEKIJÄNÄ

TYÖPANOS TUOTANNONTEKIJÄNÄ TYÖPANOS TUOTANNONTEKIJÄNÄ Matti Estola 12. marraskuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Yksittäisen yrityksen työpanoskysyntä 2 3 *Newtonilainen teoria työpanoskäytölle 6 4 Yksittäisen työntekijän työpanostarjonta

Lisätiedot

Talousmatematiikka (3 op)

Talousmatematiikka (3 op) Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Talousmatematiikka 2011 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Jaksolliset suoritukset, L13

Jaksolliset suoritukset, L13 , L13 1 Jaksollinen talletus Tarkastellaan tilannetta, jossa asiakas tallettaa pankkitilille toistuvasti yhtäsuuren rahasumman k aina korkojakson lopussa. Asiakas suorittaa talletuksen n kertaa. Lasketaan

Lisätiedot

Nykyarvo ja investoinnit, L14

Nykyarvo ja investoinnit, L14 Nykyarvo ja investoinnit, L14 netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... k n netto 0 1 2 3 4 5 6...

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy

Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta. 1200 b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy Kotitehtävät 7. Aihepiirinä Investointi Ratkaisuehdotuksia 1. Investoinnin hankintameno on 9000 euroa ja siitä saadaan seuraavina vuosina vuosittain 1200 euron tulot. Määritä a) koroton takaisinmaksuaika

Lisätiedot

7 Yrityksen teoria: tuotanto ja kustannukset (Mankiw & Taylor, Ch 13)

7 Yrityksen teoria: tuotanto ja kustannukset (Mankiw & Taylor, Ch 13) 7 Yrityksen teoria: tuotanto ja kustannukset (Mankiw & Taylor, Ch 13) Tavaroiden ja palvelujen tuotanto tapahtuu yrityksissä Yritykset tuntevat niiden valmistukseen tarvittavan teknologian teknologia on

Lisätiedot

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on

a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on Kotitehtävät 4 Ratkaisuehdotukset. 1. Kuinka suureksi 3500000 euroa kasvaa 8 vuodessa, kun lähdevero on 30% ja vuotuinen korkokanta on 10, 5%, kun korko lisätään a) kerran vuodessa b) kuukausittain c)

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 7 Swap sopimuksista lisää

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 7 Swap sopimuksista lisää Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 7 Swap sopimuksista lisää 1. Pankki swapin välittäjänä Yleensä 2 eri-rahoitusalan yritystä eivät tee swap sopimusta keskenään vaan pankin tai yleensäkin

Lisätiedot

Investointilaskentamenetelmiä

Investointilaskentamenetelmiä Investointilaskentamenetelmiä Laskentakorkokannan käyttöön perustuvat menetelmät (netto)nykyarvomenetelmä suhteellisen nykyarvon menetelmä eli nykyarvoindeksi annuiteettimenetelmä likimääräinen annuiteettimenetelmä

Lisätiedot

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009 Mallivastaukset A5-kurssin laskareihin, kevät 009 Harjoitukset (viikko 5) Tehtävä Asia selittyy tulonsiirroilla. Tulonsiirrot B lasketaan mukaan kotitalouksien käytettävissä oleviin tuloihin Y d. Tässä

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 4.6.2015 MALLIVASTAUKSET

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 4.6.2015 MALLIVASTAUKSET KANSANTALOUSTIETEEN ÄÄSYKOE 4.6.05 MALLIVASTAUKSET Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti ohjola, Taloustieteen oppikirja,. painos, 04] sivuihin. () (a) Bretton Woods -järjestelmä:

Lisätiedot

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.

määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.

Lisätiedot

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: 100 000 /10000=10

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: 100 000 /10000=10 Harjoitukset 3 Taloustieteen perusteet Ratkaisuehdotukset Kesäyliopisto 2014 1. a) Autonrenkaita valmistavalla yhtiöllä on 100 000 :n kiinteät kustannukset vuodessa. Kun yritys tuottaa 10 000 rengasta,

Lisätiedot

3. Laske osittaisintegroinnin avulla seuraavat integraalit

3. Laske osittaisintegroinnin avulla seuraavat integraalit Harjoitus 1 / syksy 2001 1. Laske seuraavat derivaatat 2 a) D ( 5x + 5) x, b) D (-e 2x ), c) D (-ln x) ja d) D (sin 2x + cos x). 2. Laske seuraavat integraalit 2 x 5x 5 dx, a) ( + ) x b) ( e 2 ) dx, c)

Lisätiedot

Selvitetään korkokanta, jolla investoinnin nykyarvo on nolla eli tuottojen ja kustannusten nykyarvot ovat yhtä suuret (=investoinnin tuotto-%)

Selvitetään korkokanta, jolla investoinnin nykyarvo on nolla eli tuottojen ja kustannusten nykyarvot ovat yhtä suuret (=investoinnin tuotto-%) Sisäisen korkokannan menetelmä Selvitetään korkokanta, jolla investoinnin nykyarvo on nolla eli tuottojen ja kustannusten nykyarvot ovat yhtä suuret (=investoinnin tuotto-%) Sisäinen korkokanta määritellään

Lisätiedot

MAKSUKYKY, MAKSUKYVYTTÖMYYS 08.05.2009 Ilpo Kähkönen YTM,KTT

MAKSUKYKY, MAKSUKYVYTTÖMYYS 08.05.2009 Ilpo Kähkönen YTM,KTT MAKSUKYKY, MAKSUKYVYTTÖMYYS 08.05.2009 Ilpo Kähkönen YTM,KTT KÄSITTEEN MITTAAMINEN 1. KÄSITTEEN MÄÄRITTELY 2. KÄSITTEEN KVANTIFIOINTI 3. SUORITETAAN MITTAUS Puhtaalla mittaamisella on kvantitatiivinen

Lisätiedot

Nykyarvo ja investoinnit, L9

Nykyarvo ja investoinnit, L9 Nykyarvo ja investoinnit, L9 netto netto netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... k n 0 1 2 3 4 5

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Sisäinen korkokanta ja investoinnin kannattavuuden mittareita, L10

Sisäinen korkokanta ja investoinnin kannattavuuden mittareita, L10 Sisäinen ja investoinnin, L10 1 Määritelmä: i sis on se laskentakorko, jolla nettonykyarvo on nolla. Jos projekti on normaali siinä mielessä, että alun negatiivisia nettoeriä seuraa lopun positiiviset

Lisätiedot

(1) Katetuottolaskelma

(1) Katetuottolaskelma (1) Katetuottolaskelma Katetuottolaskelmalla tarkastellaan yrityksen kannattavuutta myyntituotto - muuttuvat kustannukset (mukut) = katetuotto katetuotto - kiinteät kustannukset (kikut) = tulos (voitto

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

Osamaksukauppa, vakiotulovirran diskonttaus, L8

Osamaksukauppa, vakiotulovirran diskonttaus, L8 Osamaksukauppa, vakiotulovirran diskonttaus, L8 1 Kerrataan kaavoja s n;i = ((1 + i)n 1) i = prolongointitekijä a n;i = ((1 + i)n 1) i(1 + i) n = diskonttaustekijä c n;i = i(1 + i) n ((1 + i) n 1) = kuoletuskerroin

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN ILMIÖIDEN MITTAAMISESTA

KANSANTALOUSTIETEEN ILMIÖIDEN MITTAAMISESTA KANSANTALOUSTIETEEN ILMIÖIDEN MITTAAMISESTA Matti Estola 7. tammikuuta 2013 Jotta kansantaloustiedettä voitaisiin kutsua eksaktiksi (tarkaksi) tieteeksi, seuraavien ehtojen tulisi toteutua. (1) Olisi oltava

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

JA n. Investointi kannattaa, jos annuiteetti < investoinnin synnyttämät vuotuiset nettotuotot (S t )

JA n. Investointi kannattaa, jos annuiteetti < investoinnin synnyttämät vuotuiset nettotuotot (S t ) Annuiteettimenetelmä Investoinnin hankintahinnan ja jäännösarvon erotus jaetaan pitoaikaa vastaaville vuosille yhtä suuriksi pääomakustannuksiksi eli annuiteeteiksi, jotka sisältävät poistot ja käytettävän

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 6. Swap -sopimukset

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 6. Swap -sopimukset Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 6 Swap -sopimukset 1. Swapit eli vaihtosopimukset Swap -sopimus on kahden yrityksen välinen sopimus vaihtaa niiden saamat tai maksamat rahavirrat keskenään.

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 5.6.2014 MALLIVASTAUKSET

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 5.6.2014 MALLIVASTAUKSET KANSANTALOUSTIETEEN ÄÄSYKOE 5.6.2014 MALLIVASTAUKSET Jokaisen tehtävän perässä on pistemäärä sekä sivunumero (Matti ohjola, Taloustieteen oppikirja, 2012) josta vastaus löytyy. (1) (a) Suppea raha sisältää

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F

Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 Binomihilan avulla voidaan laskea T vuoden ja tietyn kupongin sisältävän joukkovelkakirjan arvo eli hinta rekursiivisesti vaihtelevan

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 8 Optioiden hinnoittelusta 1. Optioiden erilaiset kohde-etuudet 1.1. Osakeoptiot Yksi optio antaa yleensä oikeuden ostaa/myydä 1 kpl kohdeetuutena olevia

Lisätiedot

Diskonttaus. Diskonttaus. Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava. = K t. 1 + it. (3) missä

Diskonttaus. Diskonttaus. Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava. = K t. 1 + it. (3) missä Diskonttaus Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0,jolloin Virallinen diskonttauskaava K t 1 + it. (3) missä pääoman K t diskontattu arvo, eli nykyarvo(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT

KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT 1 6/2015 1 6/2014 1 12/2014 Liikevaihto, 1000 EUR 17 218 10 676 20 427 Liikevoitto ( tappio), 1000 EUR 5 205 1 916 3 876 Liikevoitto, % liikevaihdosta 30,2 % 17,9 % 19,0

Lisätiedot

Makrotalousteoria 1. Toinen luento: Keynesiläinen makroteoria. Markku Siikanen

Makrotalousteoria 1. Toinen luento: Keynesiläinen makroteoria. Markku Siikanen Makrotalousteoria 1 Toinen luento: Keynesiläinen makroteoria Markku Siikanen 2 Luento Aiheena on keynesiläiseen makroteoriaan syventyminen Uusien termien sisäistäminen Makrotason hyödykkeiden kysyntä Keynesiläinen

Lisätiedot

Korkolasku ja diskonttaus, L6

Korkolasku ja diskonttaus, L6 Korkolasku ja diskonttaus, L6 1 Merkinnät Tarkastellaan tilannetta, jossa pääomalle maksetaan korkoa. Tulemme seuraavassa systemaattisesti käyttämään seuraavia merkintöjä K 0 = alkupääoma p = korkoprosentti

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

ẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t),

ẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t), Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-2.4129 Systeemien Identifiointi 1. harjoituksen ratkaisut 1. Tarkastellaan maita X ja Y. Olkoon näiden varustelutaso

Lisätiedot

Viimeinen erä on korot+koko laina eli 666, 67 + 100000 100667, 67AC.

Viimeinen erä on korot+koko laina eli 666, 67 + 100000 100667, 67AC. Kotitehtäviä 6. Aihepiiri Rahoitusmuodot Ratkaisuehdotuksia 1. Pankki lainaa 100000 bullet-luoton. Laina-aika on 4kk ja luoton (vuotuinen) korkokanta 8% Luoton korot maksetaan kuukausittain ja laskutapa

Lisätiedot

1.1 Funktion määritelmä

1.1 Funktion määritelmä 1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

BL20A0500 Sähkönjakelutekniikka

BL20A0500 Sähkönjakelutekniikka BL20A0500 Sähkönjakelutekniikka Talouslaskelmat Jarmo Partanen Taloudellisuuslaskelmat Jakeluverkon kustannuksista osa on luonteeltaan kiinteitä ja kertaluonteisia ja osa puolestaan jaksollisia ja mahdollisesti

Lisätiedot

Projektin arvon määritys

Projektin arvon määritys Projektin arvon määritys Luku 6, s. 175-186 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Tehtävä Johdetaan menetelmä projektiin oikeuttavan option määrittämiseksi kohde-etuuden hinnan P perusteella projektin

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Menot (oikaistut) / Tulot (oikaistut) x 100 = Suorat rahamenot tuloista %

Menot (oikaistut) / Tulot (oikaistut) x 100 = Suorat rahamenot tuloista % Veroilmoituksesta laskettavat tunnusluvut Heikki Ollikainen, ProAgria Oulu Nopea tuloksen analysointi on mahdollista tehdä laskelmalla veroilmoituksesta muutamia yksinkertaisia tunnuslukuja, joiden perusteella

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

On olemassa eri lainatyyppiä, jotka eroavat juuri sillä, miten lainaa lyhennetään. Tarkastelemme muutaman yleisesti käytössä olevan tyypin.

On olemassa eri lainatyyppiä, jotka eroavat juuri sillä, miten lainaa lyhennetään. Tarkastelemme muutaman yleisesti käytössä olevan tyypin. Rahoitusmuodot HUOM. Tässä esitetään vain teoriaa ja joitakin esimerkkejä. Enemmän esimerkkejä ja laskuja löytyy ratkaistuina EXCEL-tiedostosta "Rahoitusmuodot - laskut ja esimerkit", joka on MOODLESSA

Lisätiedot

Littlen tulos. Littlen lause sanoo. N = λ T. Lause on hyvin käyttökelpoinen yleisyytensä vuoksi

Littlen tulos. Littlen lause sanoo. N = λ T. Lause on hyvin käyttökelpoinen yleisyytensä vuoksi J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Littlen tulos 1 Littlen tulos Littlen lause Littlen tuloksena tai Littlen lauseena tunnettu tulos on hyvin yksinkertainen relaatio järjestelmään tulevan asiakasvirran, keskimäärin

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät

Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Kotitehtäviä on yhteensä kahdeksan ja ne ratkeavat tavallisilla taulukkolaskentaohjelmistoilla. Jokaisesta kotitehtävistä saa maksimissaan 5 pistettä: 4p/oikea

Lisätiedot

6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia

6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia 6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia Tässä luvussa esitellään muutama esimerkki, joissa käytetään hyväksi eksponentti-, logaritmi- sekä trigonometrisia funktioita. Ensimmäinen esimerkki juontaa juurensa

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

MAATALOUS-METSÄTIETEELLISEN TIEDEKUNNAN VALINTAKOE 2014

MAATALOUS-METSÄTIETEELLISEN TIEDEKUNNAN VALINTAKOE 2014 MAATALOUS-METSÄTIETEELLISEN TIEDEKUNNAN VALINTAKOE 2014 KOE 2: Ympäristöekonomia KANSANTALOUSTIEDE JA MATEMATIIKKA Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 10 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

Vaikuttaako kokonaiskysyntä tuottavuuteen?

Vaikuttaako kokonaiskysyntä tuottavuuteen? Vaikuttaako kokonaiskysyntä tuottavuuteen? Jussi Ahokas Itä-Suomen yliopisto Sayn laki 210 vuotta -juhlaseminaari Esityksen sisällys Mitä on tuottavuus? Tuottavuuden määritelmä Esimerkkejä tuottavuudesta

Lisätiedot

Yrittäjän oppikoulu. Johdatusta yrityksen taloudellisen tilan ymmärtämiseen (osa 2) 23.10.2015. Niilo Rantala, Yläneen Tilikeskus Oy

Yrittäjän oppikoulu. Johdatusta yrityksen taloudellisen tilan ymmärtämiseen (osa 2) 23.10.2015. Niilo Rantala, Yläneen Tilikeskus Oy Yrittäjän oppikoulu Johdatusta yrityksen taloudellisen tilan ymmärtämiseen (osa 2) 23.10.2015 Niilo Rantala, Yläneen Tilikeskus Oy Sisältö Mitä on yrityksen taloudellinen tila? Tunnuslukujen perusteet

Lisätiedot

PK -yritykset rahoitusmarkkinoilla

PK -yritykset rahoitusmarkkinoilla PK -yritykset rahoitusmarkkinoilla Mervi Niskanen Kuopion yliopisto Kauppatieteiden laitos Suomalaiset rahoitusmarkkinat Rahoitusmarkkinoilla tarkoitetaan kaikkien rahoitusvaateiden markkinoita Rahamarkkinat

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

8 Yrityksen teoria: tuotanto ja kustannukset (Taloustieteen oppikirja, luku 5; Mankiw & Taylor, 2 nd ed., ch 13)

8 Yrityksen teoria: tuotanto ja kustannukset (Taloustieteen oppikirja, luku 5; Mankiw & Taylor, 2 nd ed., ch 13) 8 Yrityksen teoria: tuotanto ja kustannukset (Taloustieteen oppikirja, luku 5; Mankiw & Taylor, 2 nd ed., ch 13) Tavaroiden ja palvelujen tuotanto tapahtuu yrityksissä Yritykset tuntevat niiden valmistukseen

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 6.6.2013: MALLIVASTAUKSET

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 6.6.2013: MALLIVASTAUKSET KANSANTALOUSTIETEEN ÄÄSYKOE 6.6.013: MALLIVASTAUKSET Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti ohjola, Taloustieteen oppikirja, 01] sivuihin. (1) (a) igou -verot: Jos markkinoilla

Lisätiedot

Vastaus: Aikuistenlippuja myytiin 61 kappaletta ja lastenlippuja 117 kappaletta.

Vastaus: Aikuistenlippuja myytiin 61 kappaletta ja lastenlippuja 117 kappaletta. Seuraava esimerkki on yhtälöparin sovellus tyypillisimmillään Lukion ekaluokat suunnittelevat luokkaretkeä Sitä varten tarvitaan tietysti rahaa ja siksi oppilaat järjestävät koko perheen hipat Hippoihin

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

14 Talouskasvu ja tuottavuus

14 Talouskasvu ja tuottavuus 14 Talouskasvu ja tuottavuus 1. Elintason kasvu 2. Kasvun mittaamisesta 3. Elintason osatekijät Suomessa 4. Elintason osatekijät OECD-maissa 5. Työn tuottavuuden kasvutekijät Tämä on pääosin Mankiw n ja

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto

Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT

KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT KONSERNIN KESKEISET TUNNUSLUVUT 7 12/2014 7 12/2013 1 12/2014 1 12/2013 Liikevaihto, 1000 EUR 9 751 6 466 20 427 13 644 Liikevoitto ( tappio), 1000 EUR 1 959 462 3 876 1 903 Liikevoitto, % liikevaihdosta

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Funktiot ja yhtälöt. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Funktiot ja yhtälöt Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Funktiot ja yhtälöt (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Pikatesti

Lisätiedot

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1 Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,

Lisätiedot

Millaisia ovat finanssipolitiikan kertoimet

Millaisia ovat finanssipolitiikan kertoimet Millaisia ovat finanssipolitiikan kertoimet Antti Ripatti Helsingin yliopisto, HECER, Suomen Pankki 20.3.2013 Antti Ripatti (HECER) fipon kerroin 20.3.2013 1 / 1 Johdanto Taustaa Finanssipolitiikkaa ei

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen Rahoitusriskit ja johdannaist Matti Estola Lunto 5 rmiinihinnan määräytyminn 1. rmiinin ylinn hinnoittlukaava Mrkitään trmiinisopimuksn kohd-tuudn spot hintaa sopimuksn tkopäivänä S :lla, kohd-tuudn trmiinihintaa

Lisätiedot

RAHA- JA PANKKITEORIA. 1. Hyödykeraha. 2. Raha-aggregaatin M2 muutokset

RAHA- JA PANKKITEORIA. 1. Hyödykeraha. 2. Raha-aggregaatin M2 muutokset RAHA- JA PANKKITEORIA 31C00900 1. Hyödykeraha Miten seuraavat asiat sopisivat hyödykerahaksi? Tarkastele asiaa rahan kolmen perusominaisuuden valossa! (1 piste/hyödyke) Vaihtovirta (230 V) Hyvä arvon mitta,

Lisätiedot

Opetusapteekkiharjoittelun taloustehtävät. 12.11.2013 Esittäjän nimi 1

Opetusapteekkiharjoittelun taloustehtävät. 12.11.2013 Esittäjän nimi 1 Opetusapteekkiharjoittelun taloustehtävät 12.11.2013 Esittäjän nimi 1 ESIMERKKI APTEEKIN TULOSLASKELMASTA APTEEKIN TULOSLASKELMA Liikevaihto 3 512 895 Kelan ostokertapalkkiot 34 563 Muut tuotot 27 156

Lisätiedot

Ravintola-alalla kasvatetaan lisäarvoa

Ravintola-alalla kasvatetaan lisäarvoa Ravintola-alalla kasvatetaan lisäarvoa Saska Heino Helsingin Sanomat uutisoi jokin aika sitten siitä, kuinka Helsingin huippuravintoloissa vallitsevan yleisen käsityksen mukaan korvaukseton työ kuuluu

Lisätiedot

Kauppakorkean pääsykoe 2015 / Ratkaisut

Kauppakorkean pääsykoe 2015 / Ratkaisut Kauppakorkean pääsykoe 2015 / Ratkaisut Johtaminen ja markkinointi: 1. / Ratk: Osiot 1, 2 ja 3 / Tosia (s.1 ja s. 1 sekä s. 2). Osio 4 / Epätosi; Ei, vaan klassisissa organisaatioteorioissa tutkimuksen

Lisätiedot

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää.

MAA9.2 2014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. MAA9. 014 Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Tee pisteytysruudukko konseptin yläkertaan. Muista kirjoittaa nimesi. Kysymyspaperin saa pitää. A-OSIO: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla esillä. Maksimissaan

Lisätiedot

Tiehallinto Parainen - Nauvo yhteysvälin kannattavuus eri vaihtoehdoilla. Raportti 10.12.2008

Tiehallinto Parainen - Nauvo yhteysvälin kannattavuus eri vaihtoehdoilla. Raportti 10.12.2008 Tiehallinto Parainen - Nauvo yhteysvälin kannattavuus eri vaihtoehdoilla Raportti 10.12.2008 Sisällysluettelo 1.Johdanto 2.Yhteenveto 3.Tunnelivaihtoehdon kuvaus 4.Siltavaihtoehdon kuvaus 5.Lauttavaihtoehdon

Lisätiedot

TULOSLASKELMAN RAKENNE

TULOSLASKELMAN RAKENNE TULOSLASKELMAN RAKENNE Liiketoiminnan tuotot Toiminnan kulut Liikevoitto VÄHENNETÄÄN Liikevaihdon ansaintaan liittyvät kulut Rahoituserät Satunnaiset erät Tilinpäätösjärjestelyt Tilikauden voitto Verot

Lisätiedot

Arvonlaskennan toiminta sijoitusten osalta

Arvonlaskennan toiminta sijoitusten osalta Sivu 1/5 HEDGEHOG OY Arvonlaskennan toiminta sijoitusten osalta 6.10.2014 Tässä on kuvailtu Hedgehog Oy:n käyttämän arvonlaskentajärjestelmän toimintaa sijoitusten merkinnän, tuottosidonnaisten palkkioiden,

Lisätiedot

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä

Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Tekijä: Mikko Laine Tekijän sähköpostiosoite: miklaine@student.oulu.fi Koulutusohjelma: Fysiikka Mittausten suorituspäivä: 04.02.2013 Työn

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

Paljonko metsäsijoitus tuottaa?

Paljonko metsäsijoitus tuottaa? Paljonko metsäsijoitus tuottaa? Metsä on yksi mahdollinen sijoituskohde. Metsäsijoituksen tuotto riippuu mm. siitä, kuinka halvalla tai kalliilla metsän ostaa, ja siitä, kuinka metsää käsittelee. Kuvan

Lisätiedot

3Eksponentiaalinen malli

3Eksponentiaalinen malli 3Eksponentiaalinen malli Bakteerien määrä lihassa lisääntyy 250 % jokaisen vuorokauden aikana. Epilepsialääkkeen määrän puoliintuminen elimistössä vie aina yhtä pitkän ajan, 12 tuntia. Tällaisia suhteellisia

Lisätiedot