MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa II

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa II"

Transkriptio

1 MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 9. helmikuuta 216 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä 9. helmikuuta ym., 216 osa II 1 / 5

2 : Esimerkki: Implisiittinen lineaarinen approksimointi Funktio z = z(x, y) määräytyy yhtälöstä xz + y 2 z 2 + (x + y)z 3 = 4 siten, että z( 1, 1) = 1. Jos nyt y niin meidän pitää määrittää (implisiittistä derivointia käyttäen) approksimatiivinen yläraja lausekkeelle x + 1 siten, että lineaarisella approksimoinnilla saamme tulokseksi z(x, y) Merkitään f (x, y, z) = xz + y 2 z 2 + (x + y)z 3 4. Nyt f ( 1, 1, 1) = ( 2)( 1) 4 = ja jos z = z(x, y) niin määritelmän mukaan f (x, y, z) = joten lineaarinen approksimaatio antaa eli = f (x, y, z) f ( 1, 1, 1) f x ( 1, 1, 1)(x ( 1)) + f y ( 1, 1, 1)(y ( 1)) + f z ( 1, 1, 1)(z ( 1)), f z ( 1, 1, 1)(z + 1) f x ( 1, 1, 1)(x + 1) f y ( 1, 1, 1)(y + 1). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä 9. helmikuuta ym., 216 osa II 2 / 5

3 : Esimerkki: Implisiittinen lineaarinen approksimointi, jatk. Nyt f x (x, y, z) = z + z 3, f x ( 1, 1, 1) = 2, f y (x, y, z) = 2yz 2 + z 3 f y ( 1, 1, 1) = 3, f z (x, y, z) = x + 2y 2 z + 3(x + y)z 2 f z ( 1, 1, 1) = 9. Tästä seuraa, että 9 z(x, y) x y + 1 eli z(x, y) x y + 1 Jos nyt haluamme, että z(x, y) niin on meidän pitää, koska y + 1.3, vaatia, että josta seuraa, että 2 9 x , x ( ) =.9. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä 9. helmikuuta ym., 216 osa II 3 / 5

4 Eulerin ketjusääntö Oleta, että funktio F on sellainen, että yhtälöstä F (x, y, z) = voimme ratkaista x muuttujien y ja z funktiona, eli x = x(y, z) mutta myös y muuttujien x ja z funktiona, eli y = y(x, z) sekä z muuttujien x ja y funktiona, eli z = z(x, y). Jos x = x(y, z) niin saamme kun derivoimme yhtälön F (x(y, z), y, z) = molemmat puolet muutujan y suhteen x(y, z) F x (x(y, z), y, z) + F y (x(y, z), y, z) =. y Tästä seuraa, että kun kirjoitamme x(y, z):n sijasta x niin x(y, z) y = F y (x, y, z) F x (x, y, z). Samanlaisilla laskuilla saamme y(x, z) z = F z(x, y, z) F y (x, y, z), G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä 9. helmikuuta ym., 216 osa II 4 / 5

5 ja Eulerin ketjusääntö, jatk. Tästä seuraa nyt, että z(x, y) x = F x(x, y, z) F z (x, y, z). x(y, z) y y(x, z) z(x, y) z x = ( 1) 3 F y (x, y, z) F z (x, y, z) F x (x, y, z) F y (x, y, z) F x (x, y, z) F z (x, y, z) = 1. Toisella tavalla esitettynä tämä kaava on ( ) x y ( ) y z ( ) z x z x y = 1. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä 9. helmikuuta ym., 216 osa II 5 / 5

6 Esimerkki: Implisiittinen lineaarinen approksimointi Karttapaperi on venynyt niin, että origosta pisteestä (x, y) kulkevan janan pituus on kasvanut 2 % ja ja tämän janan ja x-akselin välinen kulma, joka alunperin oli 45, on pienentynyt 1 %. Nyt meidän pitää laskea paljonko paperi on venynyt x-akselin suunnassa ja paljonko y-akselin suunnassa. Jos janan pituus on L ja kulma on ϕ niin pätee tietenkin L = x 2 + y 2, ( y ) ϕ = arctan. x Jos merkitsemme x = muodossa f(x, u) = [ ] x ja u = y [ ] L, niin voimme kirjoitta nämä yhtälöt ϕ ] [ x 2 + y 2 L arctan( y x ) ϕ = = [ ]. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä 9. helmikuuta ym., 216 osa II 6 / 5

7 Esimerkki: Implisiittinen lineaarinen approksimointi, jatk. Kun karttapaperi muuttuu niin x ja y muuttuvat pisteiksi x + x ja y + y ja etäisyydeksi sekä kulmaksi tulee L + L ja ϕ + ϕ jolloin yhtälöksi tulee f(x + x, u + u) =. Lineaarisella approksimoinnilla saamme nyt = f(x + x, u + u) f(x, u) f x (x, u) x + f u (x, u) u. Yksinkertaisella laskulla toteamme, että ] f x (x, u) = [ x x 2 +y 2 y x 2 +y 2 y x 2 +y 2 x x 2 +y 2 ja f u (x, u) = [ ] 1, 1 jolloin yhtälösysteemiksi tulee [ x x 2 +y 2 y x 2 +y 2 y x 2 +y 2 x x 2 +y 2 ] [ x ] y [ ] L. ϕ G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä 9. helmikuuta ym., 216 osa II 7 / 5

8 Esimerkki: Implisiittinen lineaarinen approksimointi, jatk. Koska f x (x, u) 1 = [ x x 2 +y 2 y x 2 +y 2 niin [ ] x = x y 2 + y 2 y x 2 +y 2 x x 2 +y 2 x y x 2 +y 2 x 2 +y 2 y x x 2 +y 2 x 2 +y 2 ] 1 = x 2 + y 2 [ ] L = ϕ Oletuksen mukaan L =.2L =.2 x 2 + y 2 ja ϕ =.1ϕ =.1 arctan( y x ) jolloin x x y y y x ϕ, x.2.1 y ϕ. x y x 2 +y 2 x 2 +y 2 y x x 2 +y 2 x 2 +y 2 x x 2 +y y x 2 +y. L y ϕ 2 L + x ϕ 2 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä 9. helmikuuta ym., 216 osa II 8 / 5

9 Esimerkki: Implisiittinen lineaarinen approksimointi, jatk. Koska oletimme, että ϕ = π 4 niin y x = 1 ja saamme x x π 4.28, y y 2 1 π 4.12 Paperi on siis venynyt noin 2.8% x-akselin suunnassa ja kutistunut 1.2% y-akselin suunnassa. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä 9. helmikuuta ym., 216 osa II 9 / 5

10 Esimerkki: Ääriarvo Jos meidän pitää määrittää funktion f (x, y) = 2x 4 e 4y + 4x 2 e y paikalliset ääriarvot niin laskemme ensin funktion derivaatan joka on f (x, y) = [ 8x 3 + 8xe y, 4e 4y + 4x 2 e y ]. Tämä derivaatta eli gradientti on nollavektori kun 8x 3 + 8xe y =, 4e 4y + 4x 2 e y =. Jos x = niin 4e 4y + 4x 2 e y = 4e 4y < joten x ja ensimmäisestä yhtälöstä seuraa, että e y = x 2 jolloin jälkimmäisestä seuraa, että x 8 = x 4 eli x = ±1 koska x on reaalinen ja. Silloin e y = 1 eli y = ja kriittiset piseet ovat (±1, ). Näiden kriittisten pisteiden luonteen selvittämiseksi meidän pitää laskea funktion toinen derivaatta ja se on [ f ( 24x (x, y) = 2 + 8e y ) 8xe y ] 8xe y ( 16e 4y + 4x 2 e y. ) G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 1 / 5

11 Esimerkki, jatk. [ ] 16 ±8 Näin ollen f (±1, ) =. Näiden matriisien determinantti on ±8 12 ( 16) ( 12) 64 = 128 > joten ominaisarvot ovat samanmerkkiset ja koska lävistäjäalkiot ovat negatiiviset niin ominaisarvotkin ovat negatiiviset ja (1, ) ja ( 1, ) ovat kaksi paikallista maksimipistettä.yhden muuttujan derivoituvalla funktiolla ei voi olla täsmälleen kaksi kriittistä pistettä, jotka molemmat ovat maksimipisteitä. Funktio f (x, y) = 2x 4 e 4y + 4x 2 e y ei saavuta pienintä arvoa joukossa R 2 koska lim x f (x, ) lim x ( 2x x 2 ) =. Suurin arvo 1 saavutetaan pisteissä (±1, ) ja tämän osoittamiseksi riittää osoittaa (mikä tässä nyt jää tekemättä), että f (x, y) < 1 3 kun (x, y) / Ω = { (x, y) : x < 3, y < ln(3) }. Tämä seuraa siitä, että funktio saavuttaa suurimman arvonsa suljetussa joukossa Ω Ω mutta jos pystymme osoittamaan että suurin arvo joukon Ω ulkopuolella (mukaanlukien reuna) on korkeintaan 1 3 niin suurin arvo joukossa Ω ja samoin joukossa R 2 saavutetaan jossain kriittisessä pisteessä, eli pisteissä (±1, ) missä funktion arvo on 1. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 11 / 5

12 Esimerkki: Suurin ja pienin arvo Jos meidän pitää määrittää funktion f (x, y) = x 2 + y 2 4x 2y + 7 suurin ja pienin arvo joukossa Ω = { (x, y) : x, y, x + y 5 } niin laskemme ensin gradientin f = (2x 4)i + (2y 2)j nollakohdat, ja näemme, että ainoa nollakohta on pisteessä (2, 1), joka kuuluu kyseiseen joukkoon. Seuraavaksi tutkimme ko. alueen reunaa joka koostuu kolmesta osasta: A 1 = { (x, ) : x 5 }, A 2 = { (, y) : y 5 }, A 3 = { (x, y) : x + y = 5, x 5 }. Joukossa A 1 funktio on g(x) = f (x, ) = x 2 4x + 7 ja koska g (2) = niin näemme että mahdolliset ääriarvopisteet ovat (, ), (2, ) ja (5, ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 12 / 5

13 Esimerkki: Suurin ja pienin arvo, jatk. Koska Joukossa A 2 funktio on h(y) = f (, y) = y 2 2y + 7 ja koska h (1) = niin näemme että mahdolliset ääriarvopisteet ovat (, ), (, 1) ja (, 5). Joukossa A 3 funktio on k(x) = f (x, 5 x) = x 2 +(5 x) 2 4x 2(5 x)+7 = 2x 2 12x +22 ja koska k (3) = niin näemme että mahdolliset ääriarvopisteet ovat (5, ), (3, 2) ja (, 5). f (2, 1) = 2, f (, ) = 7 f (2, ) = 3 f (5, ) = 12, f (, 1) = 6, f (, 5) = 22 f (3, 2) = 4, niin päättelemme, että pienin arvo on f (2, 1) = 2 ja suurin f (, 5) = 22. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 13 / 5

14 Jos Esimerkki: Taylorin polynomi f (x, y) = ex+y 1 x + y ln(1 + x y), missä e 1 = 1 ja oletamme, että 1 + x y > niin voimme määrittää funktion f 2. asteen Taylorin polynomin pisteessä (, ) käyttäen hyväksi Taylorin polynomin yksikäsitteisyyttä ja kehitelmiä e t 1 t = t t t ja ln(1 + t) = t 1 2 t t seuraavalla tavalla: Sijoitamme näihin kehitelmiin lausekkeet x + y sekä x y ja otamme mukaan vain ne termit joista tulee korkeintaan astetta 2 olevia termiä. Näin saamme ( f (x, y) = (x + y) + 1 )( 6 (x + y) (x y) 1 ) 2 (x y) = x y 1 2 (x y) (x + y)(x y) +... = x y + xy y Näin ollen Taylorin polynomiksi tulee x y + xy y 2. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 14 / 5

15 Taylorin 2. asteen polynomi ja ääriarvot Oletamme, että f : R d R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva ainakin pisteen x läheisyydessä. Merkitsemme h = x x ja määrittelemme g(t) = f (x + t h). Silloin g(1) = g()+ 1 = g() + g () + / 1 g (t) dt = g() (1 t)g (t) dt+ 1 (1 t)g () + = g() + g () g () (1 t)g (t) dt (1 t)(g (t) g ()) dt (1 t)(g (t) g ()) dt. Ketjusäännön nojalla g (t) = f (x + t h)h = h T f (x + t h) T josta seuraa, että g (t) = h T f (x + t h)h joten missä f (x) = f (x ) + f (x)(x x ) (x x ) T f (x )(x x ) + η(x), G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 15 / 5

16 Taylorin 2. asteen polynomi ja ääriarvot, jatk. η(x) = 1 (1 t)(x x ) T( f (x + t (x x )) f (x ) ) (x x ) dt. Nyt max t [,1] f (x + t (x x )) f (x ) kun x x koska oletamme, että f η(x) on jatkuva ja siitä seuraa, että lim x x x x =. 2 Jos A on mikä tahansa d d-matriisi, joka on symmetrinen ja reaalinen (kuten f (x )) niin λ min h 2 h T Ah λ max h 2. Jos siis f (x ) = ja kaikki f (x ):n ominaisarvot ovat positiiviset, niin silloin pienin niistä λ min on myös positiivinen ja ( 1 f (x) f (x ) + 2 λ min + η(x) ) x x 2 x x 2 f (x ), kun x x on niin pieni, että η(x) x x 2 > 1 2 λ min. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 16 / 5

17 Miksi C = (A T A) 1 A T Y on neliösumman C AC Y 2 minimipiste? Voimme kirjoittaa minimoitavan funktion muodossa F (C) = (AC Y ) T (AC Y ) = C T A T AC C T A T Y Y T AC + Y T Y jolloin derivaatta on = C T A T AC 2Y T AC + Y T Y, F (C) = C T (A T A + (A T A) T ) 2Y T A. Koska (A T A) T = A T A niin voimme kirjoittaa yhtälön F (C) = muodossa C T A T A = Y T A A T AC = A T Y C = (A T A) 1 A T Y. Toisella tavalla: Jos määrittelemme P = A(A T A) 1 A T niin P 2 = P eli P on projektio ja P T A = PA = A josta seuraa, että jos kirjoitamme C = C + (A T A) 1 A T Y niin AC = A C + PY ja F (C) = A C (Y PY ) 2 = A C 2 2(Y PY ) T A C + PY Y 2 = A C 2 2Y T (A P T A) C+ PY Y 2 = A C 2 + PY Y 2 PY Y 2. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 17 / 5

18 Esimerkki: Linaarinen regressio Meillä on seuraavat havainnot muuttujista x ja y: x y Jos haluamme määrittää luvut a ja b siten, että y a + bx minimoimolla neliösummaa 11 j=1 (a + bx j y j ) 2 niin määrittelemme 11 2 matriisin A siten, että A(j, 1) = 1, A(j, 2) = x j ja 11 1 pystyvektorin Y siten, että Y (j, 1) = y j. Silloin vektori (A T A) 1 A T Y sisältää optimaaliset kertoimet a ja b. Matlab/Octavessa lasku menee seuraavalla tavalla: A=[1, 96; 1, 11; 1, 13; 1, 127; 1, 6; 1, 54; 1,43; 1,36; 1,2; 1, 11; 1,22] Y=[76; 74; 76; 87; 66; 59; 63; 6; 55; 52; 46] C=inv(A *A)*A *Y jolloin saamme tulokseksi a = C(1) = ja b = C(2) = G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 18 / 5

19 Esimerkki: Linaarinen regressio, jatk. Voimme myös laskea x = 1 n n j=1 x j ja y = 1 n n j=1 y j jolloin n j=1 b = (x j x)(y j y) n j=1 (x j x) 2 ja a = y bx. Nämä laskut voimme suorittaa komennoilla x=[96, 11, 13, 127, 6, 54, 43, 36, 2, 11, 22]; y=[76, 74, 76, 87, 66, 59, 63, 6, 55, 52, 46]; b=cov(x,y)/var(x), a=mean(y)-b*mean(x) G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 19 / 5

20 Esimerkki: Linaarinen regressio, jatk. Jos nyt haluaisimme arvioida miten luotettavia numeroarvot a = ja b = ovat niin voimme joko käyttää perustilastotieteen standardioletuksia riippumattomuudesta ja normaalijakautuneisuudesta tai sitten menetellä seuraavalla tavalla: Valitsemme satunnaisesti (takaisinpanolla) 11 pistettä (x, y) joukosta { (x j, y j ) : 1 j 11 } ja laskemme näillä arvoilla lineaariset regressiokertoimet a ja b ja tämän toistamme kunnes olemme saaneet riittävän monta arvoa. Laskut voimme tehdä näillä komennoilla (missä A on edellä määritelty matriisi): for k=1:1, jj=floor(11*rand(11,1))+1; C(:,k)=(A(jj,:) *A(jj,:))\A(jj,:) *Y(jj);end Silloin esimerkiksi b:n jakauma on seuraavanlainen: G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 2 / 5

21 Esimerkki: Pienimmän neliösumman menetelmä Meillä on pisteet (x j, y j ), j = 1,..., n, x=[ ] y=[ ] oletamme, että y c 1 + c 2 x + c 3 x 2 ja haluamme määrittää kertoimet c 1, c 2 ja c 3 annettujen pisteiden perusteella. Yhtä ainoata oikeata vastausta ei (tietenkään) ole olemassa joten on tärkeätä, että teemme selväksi miten määritämme kertoimet. Yksinkertaisinta on valita c j, j = 1, 2, 3 siten, että neliösumma n ( c1 + c 2 x j + c 3 xj 2 ) 2 y j j=1 on mahdollisimman pieni. (Tässä tapauksessa saisimme melkein saman tuloksen jos neliön paikalla olisi itseisarvo.) Voimme derivoida lausekkeen muuttujien c 1, c 2 ja c 3 suhteen, ja hakea piste missä derivaatat ovat. Tehokkas tapa laskujen suorittamiseksi on kirjoittaa yhtälösysteemi c 1 + c 2 x j + c 3 xj 2 y j muodossa AC Y missä A(j, k) = x k 1 j, C(k, 1) = c k ja Y (j, 1) = y j. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 21 / 5

22 Esimerkki: Pienimmän neliösumman menetelmä, jatk. Funktion C AC Y 2 = C T A T AC 2Y T AC + Y T Y derivaatta on 2C T A T A 2Y T A ja tämä on kun C = (A T A) 1 A T Y. Matlab/Octavessa voimme kirjoittaa tämän seuraavalla tavalla A=[(1+*x ), x, x.ˆ2]; Y=y ; ja sitten laskemme C= (A *A)\A *Y.6453 Tästä saamme C = Pisteet ja käyrä näyttävät seurvaavanlaisilta: G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 22 / 5

23 Esimerkki: Lagrangen kerroin Jos haluamme määrittää lyhimmän etäisyyden jostain paraabelin y = x 2 pisteestä pisteeseen (3, ) niin voimme käyttää Lagrangen kerrointa seuraavalla tavalla: Minimoimme etäisyyden neliötä eli funktiota f (x, y) = (x 3) 2 + y 2 kun g(x, y) = x 2 y = ja muodostamme Lagrangen funktion F (x, y, λ) = (x 3) 2 + y 2 + λ(x 2 y). Ehto, että F :n gradientti on antaa yhtälösysteemin F x (x, y, λ) = 2(x 3) + 2λx =, F y (x, y, λ) = 2y λ =, F λ (x, y, λ) = x 2 y =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 23 / 5

24 Esimerkki: Lagrangen kerroin Kolmannen yhtälön (eli rajoitusehdon) nojalla y = x 2 ja kun sijoitamme tämän toiseen yhtälöön saamme λ = 2x 2 jolloin ensimmäisen yhtälön nojalla näemme, että x + 2x 3 = 3. Nyt huomaamme, että x = 1 on tämän yhtälön ratkaisu ja muita ei ole koska funktio x x + 2x 3 on aidosti kasvava. Silloin y = 1 ja f (1, 1) = 5. Funkio f on jatkuva ja lim x 2 +y 2 f (x, y) = joten funktion f minimiarvo saavutetaan jossain pisteessä. Koska funktiot f ja g ovat jatkuvasti derivoituvia ja g:n derivaatta 2x i j niin minimipiste saavutetaan pistessä (joka yhdessä λ:n kanssa) on Lagrangen funktion kriittinen piste. Näin ollen voimme olla varmoja siitä, että (1, 1) todella on minimipiste ja etäisyys on 5. Huom! Edellisessä esimerkissä Lagrangen kertoimen käyttö ei oikeastaan tarjonnut mitään suurta etua verrattuna muihin mahdollisuuksiin mutta Lagrangen menetelmän vahvuudet tulevat esille kun ratkaistava ongelma on vaikeampi. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 24 / 5

25 Mitä Lagrangen kerroin kertoo? Oleta, että funktion f (x) suurin (tai pienin) arvo kun g(x) + c = saavutetaan pisteessä x(c) ja että tämä piste (yhdessä λ(c):n kanssa) on Lagrangen funktion L(x, λ) = f (x) + λ(g(x) + c) derivaatan nollakohta eli f (x(c)) + λ(c)g (x(c)) =, g(x(c)) + c =. Jos nyt h(c) = f (x(c)) on maksimiarvo (tai minimiarvo) niin ensimmäisestä yhtälöstä seuraa, että h (c) = f (x(c))x (c) = λ(c)g (x(c))x (c). Koska g(x(c)) = c niin pätee g (x(c))x (c) = 1 ja silloin myös h (c) = λ(c). Lagrangen kerroin siis kertoo miten maksimi- tai minimiarvo riippuu muutoksista rajoitusehdossa. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 25 / 5

26 Miksi Lagrangen menetelmä toimii? Oleta, että f ja g : R 3 R ovat jatkuvasti derivoituvia, g(x, y, z ) = ja f (x, y, z) f (x, y, z ) kaikilla (x, y, z) R 3 joilla g(x, y, z) = ja että g (x, y, z ). Voimmeko tästä päätellä, että on olemassa luku λ siten, että (x, y, z, λ ) on funktion L(x, y, z, λ) = f (x, y, z) + λg(x, y, z) kriittinen piste eli derivaatan nollakohta? Koska g (x, y, z ) niin ainakin yksi komponentti ei ole ja oletamme, että esimerkiksi g z (x, y, z ). Implisiittifunktiolauseen nojalla tiedämme, että on olemassa funktio h(x, y) siten, että h(x, y ) = z ja g(x, y, h(x, y)) = kun (x, y) (x, y ) on riittävän pieni. Mutta silloin f (x, y, h(x, y)) f (x, y, h(x, y )) ja funktion (x, y) f (x, y, h(x, y)) derivaatta pisteessä (x, y ) on, eli f x (x, y, h(x, y )) + f z (x, y, h(x, y ))h x (x, y ) =, f y (x, y, h(x, y )) + f z (x, y, h(x, y ))h y (x, y ) =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 26 / 5

27 Miksi Lagrangen menetelmä toimii? jatk. Derivoimalla yhtälön g(x, y, h(x, y)) = molemmat puolet saamme g x (x, y, h(x, y )) + g z (x, y, h(x, y ))h x (x, y ) =, g y (x, y, h(x, y )) + g z (x, y, h(x, y ))h y (x, y ) =. josta seuraa, että kun ratkaisemme h x (x, y ) ja h y (x, y ) näistä yhtälöistä ja muistamme, että z = h(x, y ) niin saamme f x (x, y, z ) f z(x, y, z ) g z (x, y, z ) g x(x, y, z ) =, f y (x, y, z ) f z(x, y, z ) g z (x, y, z ) g y (x, y, z ) =. Jos nyt valitsemme λ = fz (x,y,z ) g z (x,y,z ) niin pätee L (x, y, z, λ ) =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 27 / 5

28 Esimerkki: Regressiosuora ja Lagrangen kerroin Meillä on pisteet (x j, y j ), j = 1,..., n ja haluamme määrittää suoran ax + by + c = siten, että etäisyyksien neliöiden summa pisteista (x j, y j ) suoraan ax + by + c = on mahdollisimman pieni. Näin ollen meidän pitää minimoida lauseketta F (a, b, c) = n j=1 (ax j + by j + c) 2 a 2 + b 2. Derivoimalla tätä funktiota muuttujan c suhteen saamme F c (a, b, c) = 2 a 2 +b 2 n j=1 (ax j + by j + c) ja ehdosta F c = seuraa ax + by + c = eli suora kulkee pisteen (x, y) = ( 1 n n j=1 x j, 1 n n j=1 y j) kautta. Näin ollen voimme, kun korvaamme pisteet (x j, y j ) pisteillä (x j x, y y) olettaa, että x = y = jolloin c = ja suoran yhtälö on ax + by =. Koska meidän täytyy vaatia, että (a, b) (, ) voimme yhtä hyvin vaatia, että a 2 + b 2 = 1 jolloin meidän täytyy löytää funktion (a, b) n j=1 (ax j + by j ) 2 pienin arvo kun a 2 + b 2 = 1. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 28 / 5

29 Esimerkki: Regressiosuora ja Lagrangen kerroin, jatk. [ ] [ ] x x1 x Jos määrittelemme X = ja M = 2... x n niin y y 1 y 2... y n n (ax j + by j ) 2 = M T X 2 = (M T X ) T (M T X ) = X T MM T X, j=1 ja rajoitusehto on X T X = 1. Tästä syystä muodostamme Lagrangen funktion L(X, λ) = X T MM T X + λ(x T X 1). Haemme tämän funktion derivaatan nollakohdat ja se on seuraavan yhtälösysteemin ratkaisu: L X = X T (MM T + (MM T ) T ) + 2λX T =, L λ = X T X 1 =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 29 / 5

30 Esimerkki: Regressiosuora ja Lagrangen kerroin, jatk. Koska (MM T ) T = MM T niin saamme transponoimalla MM T X = λx, eli λ on matriisin MM T ominaisarvo ja X on vastaava ominaisvektori. Minimoitavan funktion arvo on X T MM T X = λx T X = λ, joten meidän pitää valita vektoriksi X matriisin MM T pienempään ominaisarvoon liittyvä ominaisvektori. Jos laskemme matriisin M singulaarihajotelman M = USV T niin matriisin U toinen sarake U(:, 2) on hakemamme ratkaisu [ a b ] ja suoran suuntavektori on ensimmäinen sarake U(:, 1). Jos meillä on vaakavektorit x ja y niin voimme suorittaa nämä laskut Matlab/Octavessa komennoilla: M = [x-mean(x);y-mean(y)]; [u,s,v] = svd(m); jolloin a=u(1,2), b=u(2,2) ja c = -a*mean(x)-b*mean(y) G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 3 / 5

31 Esimerkki: Boltzmannin jakauma Kaasussa on N molekyyliä ja jokainen niistä voi olla tilassa j jolloin sen energia on E j missä j = 1,..., M, (1 M ). Jos molekyyleistä N j ovat tilassa j niin M j=1 N j = N ja jos niiden yhteenlaskettu energia on E, niin pätee M j=1 N je j = E. On olemassa N! N 1! N 2!... N M!, erilaista tapaa millä N molekyyliä voivat sijoittua eri energialuokkiin siten, että luokassa j on N j molekyyliä. Nyt meidän pitää määrittää osuudet N j N siten, että tämä luku, tai yhtäpitävästi sen logaritmi, on suurimmillaan kun M j=1 N j = N ja M j=1 N je j = E. Niin sanotun Stirlingin kaavan mukaan ln(k!) (k ) ln(k) k ln(2π) joten me haemme lausekkeen (N ) ln(n) N M j=1 (N j ) ln(n j) + M j=1 N j suurinta arvoa emmekä välitä vaatimuksesta, että lukujen N j pitäisi olla kokonaislukuja. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 31 / 5

32 Esimerkki: Boltzmannin jakauma, jatk. Lagrangen funktioksi tulee M L(N 1,..., N M, λ, µ) = (N ) ln(n) (N j ) ln(n j) j=1 M M + λ N j N + µ N j E j E. j=1 Derivaatan nollakohdat toteuttavat yhtälösysteemin j=1 L = ln(n j ) λ + µe j =, j = 1,..., M, N j 2N j L M λ = N j N =, j=1 L M µ = N j E j E =. j=1 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 32 / 5

33 Esimerkki: Boltzmannin jakauma, jatk. Ensimmäisistä yhtälöistä saamme ratkaisuiksi ja laskemalla yhteen saamme Näin ollen ja µ määräytyy ehdosta N j = e 1 1 2N j +λ e µe j N e λ 1 M j=1 N j N Tavallisesti kirjoitetaan µ = 1 kt e λ 1 e µe j e µe j, j = 1,..., M. e µej M, j=1 eµe j M E N j=1 E je µe j M. j=1 eµe j missä k on Boltzmannin vakio. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 33 / 5

34 Gradientti- ja konjugaatti-gradientti-menetelmä Gradientti-menetelmä funktion f minimin löytämiseksi toimii seuraavalla tavalla: Aloitetaan jostain pisteestä x ja kun algoritmi on tullut pisteeseen x n niin valitaan suunta s n = f (x ) T (kun oletetaan, että f (x n ) on rivivektori jolloin s n on pystyvektori kuten x n ) ja seuraavaksi pisteeksi valitaan x n+1 = x n + t n s n missä t n määräytyy ehdosta f (x n + t n s n ) = min t R f (x n + ts n ) (tai ainakin niin että löydetään paikallinen minimipiste). Konjugaatti-gradientti-menetelmä toimii periaatteessa samalla tavalla mutta ainostaan kun n = valitaan s = f (x ) T ja muuten kun on löydetty piste x n+1 niin valitaan uudeksi suunnaksi s n+1 = f (x n+1 ) T + f (x n+1 ) 2 f (x n ) 2 s n. Seuraavaksi tutkimme miten nämä menetelmät toimivat kun f (x, y) = x xy + y 2 [ =.2 x 2 + ].2 y 2 + [.98(x ] + y) 2 eli 1.98 x f (X ) = X T BX missä B = ja X = y G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 34 / 5

35 Gradientti- ja konjugaatti-gradientti-menetelmä, jatk. Funktion t f (X + ts) derivaatta on 2S T BX + 2tS T BS joten tämä funktio saavuttaa pienimmän arvonsa pisteessä X S T BX S T BS S. Käyttämällä tätä tulosta hyväksi saamme gradienttimenetelmällä esimerkiksi seuraavat pisteet: [ ] [ ] [ ] X =, X 1. 1 =, X =,.964 [ ] [ ] [ ] X 3 =, X =, X = Syy siihen, ettei gradienttimenetelmä toimi tätä paremmin, on että matriisin B ominaisarvot λ 1 =.2 ja λ 2 = 1.98 ovat niin erisuuret ja tässä esimerkissä alkuarvo X oli valittu erityisen epäedullisella tavalla. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 35 / 5

36 Gradientti- ja konjugaatti-gradientti-menetelmä, jatk. Konjugaatti-gradientti-menetelmällä [ ] saamme [ samalla] alkuarvolla X = ensin saman pisteen X 1 1 = kuin.964 gradienttimenetelmällä mutta uusi suunta on (koska f (X ) T = 2BX ) S 1 = 2BX 1 + X 1 TBBX [ ] X TBBX ( 2BX ) =,.7664 jolloin saamme X 2 = X 1 S 1 TBX [ ] 1.e + S1 TBS S 1 =, e 15 ja tarkka lasku olisi antanut vastaukseksi origon. Voidaan osoittaa, että jos f (X ) = X T BX + CX missä B on d d-matriisi joka on reaalinen, symmetrinen ja jonka ominaisarvot ovat positiiviset ja C on 1 d-rivivektori niin konjugaatti-gradientti-menetelmä tarvitsee (korkeintaan, jos lasketaan tarkasti) d askelta minimipisteen löytämiseksi. Käytännössä minimoitavat funktiot eivät tietenkään ole tätä muotoa mutta minimipisteen läheisyydessä ne voivat olla melkein tällaisia. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 36 / 5

37 Esimerkki: Lineaarinen optimointi Jos meidän pitää ratkaista seuraava lineaarinen optimointiprobleema max 5x 1 + 3x 2 + 2x 3 x 1, x 2, x 3 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 2 3x 1 + 4x 2 x 3 3 niin voimme menetellä seuraavalla tavalla: Ensin lisäämme ylijäämämuuttujat s 1 ja s 2 rajoitusehtoihin eli kirjoitamme 4x 1 + 5x 2 + 2x 3 + s 1 = 2 ja 3x 1 + 4x 2 x 3 + s 2 = 3 jolloin epäyhtälöt muuttuvat ehdoiksi s 1 ja s 2. Maksimoitavan funktion kirjoitamme yhtälönä muodossa q 5x 1 3x 2 2x 3 =. Nyt voimme kirjoittaa nämä yhtälöt seuraavana taulukkona q x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 = G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 37 / 5

38 Esimerkki: Lineaarinen optimointi Yhtälösysteemin ratkaisuksi otamme nyt s 1 = 2, s 2 = 4 ja q = ja silloin x 1 = x 2 = x 3 = koska niiden sarakkeissa ei ole tukialkoita 1. Kantamuuttujat ovat siis nyt {s 1, s 2 } (jos q:ta ei lasketa sellaiseksi). Seuraavassa vaiheessa valitsemme uudeksi kantamuuttujaksi x 1 :n koska sen kerroin viimeisellä rivillä on negatiivisistä kertoimista itseisarvoltaan suurin. Kantamuuttujien joukosta poistamme muuttujan s 1 jonka tukialkio on rivillä 1 koska 2 4 < 3 3. (Jos poistaisimme muuttujan s 2 niin s 1 saisi negatiivisen arvon.) Gaussin eliminaatiomenetelmän rivioperaatioiden avulla saamme nyt yhtälösysteemiksi q x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 = Nyt kantamuuttujat ovat {x 1, s 2 } ja optimaalinen ratkaisu on x 1 = 5, x 2 = x 3 = koska kolmannella rivillä ei ole yhtään negatiivista lukua jolloin emme pysty kasvattamaan q:n arvoa vaihtamalla kantamuuttjia. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 38 / 5

39 Esimerkki: Integroimisjärjestystä ei voi aina vaihtaa Funktio (x, y) x2 y 2 on origoa lukuunottamatta jatkuva kaikissa (x 2 +y 2 ) 2 pisteissä (ja integraalien kannalta on yhdentekevää miten se määritellään origossa). Erityisesti pätee silloin, että integraali 1 x 2 y 2 (x 2 +y 2 ) 2 dx on kaikin puolin hyvin määritelty kun y >. Tämän integraalin laskemiseksi toteamme, että funktio t t saa arvon origossa ja sen derivaatta on t2 y 2 t t t 2 +y 2 Näin ollen t x 2 y 2 (x 2 +y 2 ) 2 dx. Mutta myös funktio (t 2 +y 2 ) 2 saa arvon kun t = ja sen derivaatta on (t2 + y 2 ) t 2t (t 2 + y 2 ) 2 = t2 y 2 (t 2 + y 2 ) 2. x 2 y 2 (x 2 +y 2 ) 2 dx = t t 2 +y 2 1 kaikilla t ja erityisesti x 2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2 dx = y 2. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 39 / 5

40 Esimerkki: Integroimisjärjestystä ei voi aina vaihtaa, jatk. Funktio y 1 1+y 2 on jatkuva ja koska d dy arctan(y) = 1 1+y 2 niin 1 ( 1 x 2 y 2 ) 1 / (x 2 + y 2 ) 2 dx 1 1 dy = 1 + y 2 dy = arctan(y) = π 4. Koska x2 y 2 (x 2 +y 2 ) 2 = y 2 x 2 (y 2 +x 2 ) 2 niin sama päättely kuin edellä osoittaa, että 1 ( 1 x 2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 dy dx = π 1 ( 1 4 π 4 = x 2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 dx dy. Fubinin lauseen nojalla voimme silloin myös vetää johtopäätöksen, että [,1] [,1] x 2 y 2 1 ( 1 (x 2 + y 2 ) 2 da = x 2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 dx dy 1 ( 1 = x 2 y 2 ) (x 2 + y 2 ) 2 dy dx =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 4 / 5

41 Esimerkki: Integroimisjärjestyksen vaihto Jos haluamme vaihtaa integroimisjärjestyksen integraaleissa (a) 4 2 y y dx dy, (b) 4 4 y y dx dy, niin voimme menetellä seuraavalla tavalla: (a) Integroimisalue näyttää seuraavanlaiselta: G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 41 / 5

42 Esimerkki: Integroimisjärjestyksen vaihto, jatk. Koska x = y kun y = x 2 ja x niin voimme kuvion perusteella päätellä, että x 2 ja y x 2. Tästä seuraa, että att 4 2 ( 4 ) 2 ( 2 ) x 2 y dx dy = y dx dy = y dy dx y y = ( 2 /x y 2 ) dx = (b) Integroimisalue näyttää seuraavanlaiselta: x 4 dx = / x 5 = G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 42 / 5

43 Esimerkki: Integroimisjärjestyksen vaihto, jatk. Tässä tapauksessa x 4, y x 2 ja y 4 joten kun x 2 niin pätee y x 2 ja kun 2 x 4 niin pätee y 4. Näin ollen saamme (a)-kohdan nojalla 4 4 y y dx dy = = ( 4 / y 2 ( ) x 2 y dy dx + ) 4 2 ( 4 dx = dx = ) y dy dx + 8(4 2) = Matlab/Octavessa voimme numeerisesti laskea tällaiset integraalit määrittelemällä integroitavaa funktiota komennolla y.*(y< x.ˆ2) jolloin siis f (x, y) = kun y x 2 ja sitten (a)-tapauksessa laskea dblquad(f,,2,,4) ja (b)-tapauksessa dblquad(f,,4,,4). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 43 / 5

44 Integroimisjärjestyksen vaihto Jos haluamme vaihtaa integroimisjärjestystä integraalissa 1 1 y 2 yx dx dy niin meidän pitää ensin todeta, että 1 + x 2 integroimisalueessa pätee < y < 1 ja < x < 1 jolloin < x < ja y 2 y 2 < 1 1 x josta seuraa, että < y < min( x, 1). Tästä seuraa, että < y < 1 kun < x < 1 ja < y < 1 x kun 1 x <. Näin ollen saamme 1 1 y 2 xy dx dy = 1 + x xy dy dx x 2 Integroimisalue näyttää suunnilleen seuraavanlaiselta: 1 1 x xy dy dx. 1 + x 2 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 44 / 5

45 Integroimisjärjestyksen vaihto Jos lisäksi haluamme laskea integraalin, niin saamme 1 1 = xy dy dx x 2 1 / xy x 2 dx + 1 x 1 / 1 xy dy dx 1 + x 2 / 1 x 1 xy x 2 dx = / 1 1 x x 2 dx x 2 dx = 1 4 ln(1 + x 2 1 ) arctan(x) = 1 4 (ln(2) ln(1)) + 1 ( ) lim 2 arctan(x) arctan(1) x = 1 4 ln(2) + 1 ( π 2 2 π ) = ln(2) + π 8, G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 45 / 5

46 Muuttujien vaihto Oletamme, että D on suunnikas, jonka kulmapisteet ovat (, ), (a, b), (c, d) ja (a + c, b + d). Jos x = as + ct ja y = bs + dt niin [ ] [ x a c x i+y j = s(a i+b j)+t(c i+d j) eli = y b d (c, d) ] [ ] s = s t (a, b) [ ] a +t b [ ] c, d [ ] [ ] a c ja tämä on suunnikkaan sivujen a i + b j = ja c i + d j = b d lineaarikombinaatio. Tällä tavalla saamme kaikki sunnikkaan pisteet kun s ja t [, 1] eli (x, y) D missä x = as + ct ja y = bs + dt jos ja vain jos (s, t) D = [, 1] [, 1]. Suunnikkaan pinta-ala on ([ ]) (a i + b j) (c i + d j) = a c det = ad bc ja neliön D b d pinta-ala on tietenkin 1. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 46 / 5

47 Muuttujien vaihto, jatk. Jos nyt määrittelemme (x, y) (s, t) = det ([ x s y s x t y t niin näemme, että jos f on vakio niin f dx dy = D ]) ([ ]) a b = det = ad bc, c d D f (x, y) (s, t) ds dt. Jos teemme (mielivaltaisen) muuttujien vaihdon x = x(s, t), y = y(s, t) niin saamme lineaarisella approksimoinnilla x x(s, t ) + x s (t, s )(s s ) + x t (s, t )(t t ), y y(s, t ) + y s (t, s )(s s ) + y t (s, t )(t t ), josta seuraa, että kun (s, t) [s, s + s] [t, t + t] niin saamme alueen, joka on melkein suunnikas. Sitten meidän pitää yleisessä tapauksessa laskea yhteen integraalit suunnikkaiden yli ja tarkistaa, että virheiden summa pysyy mielivaltaisen pienenä. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 47 / 5

48 Esimerkki: Muuttujien vaihto ja e x2 dx Olkoon E = e x2 dx. Silloin ( E 2 = ) ( e x2 dx = ) ( e x2 dx = e x2 e y 2 dx dy = ) ( e x2 dx ) e y 2 dy e (x2 +y 2) dx dy. Nyt teemme muuttujien vaihdon x = r cos(θ) ja y = r sin(θ) ja toteamme, että (x, y) (, ) (, ) jos ja vain jos r > ja θ (, 1 2π). Lisäksi pätee dx dy = r dr dθ ja x 2 + y 2 = r 2 joten E 2 = 1 2 π ( 1 e r 2 2 π r dr dθ = 1 dθ josta seuraa, että E = e x2 dx = 1 2 π. ) / ( 1 2) 2e r = 1 2 π 1 2 ( ( 1)) = 1 4 π, G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 48 / 5

49 Pyörähdyskappaleet I Kun käyrä y = f (x), a x b tai { (t, f (t)) : t [a, b] } pyörähtää x-akselin ympäri syntyy pyörähdyskappale joka sisältää kaikki pisteet (x, y, z), joille pätee että niiden etäisyys x-akselista eli y 2 + z 2 on korkeintaan f (x) ja a x b. Voimme laskea tämän kappaleen tilavuuden sylinterikoordinaattien avulla seuraavalla tavalla: x = x, y = r cos(θ), z = r sin(θ). Silloin dx dy dz = r dxdr dθ ja integroimisrajat ovat a x b, r f (x), θ 2π. Näin ollen tilavuus on ( b ( 2π ) ) f (x) rdr dθ dx = a ( 2π ) b dθ ( / f (x) a 1 2 r 2 ) dx = 2π 1 2 b a b f (x) 2 dx = π f (x) 2 dx. a G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 49 / 5

50 Pyörähdyskappaleet II Kun x-akselin, suorien x = a ja x = b sekä funktion y = f (x) kuvaajan rajoittama alue, missä a x b ja f (x), pyörähtää y-akselin ympyrä niin syntyy pyörähdyskappale Ω = { (x, y, z) : y f ( x 2 + z 2 ), a 2 x 2 + z 2 b 2 }. Tämän kappaleen tilavuuden voimme laskea seuraavanlaisten sylinterikoordinaattien avulla: x = r cos(θ), y = y, z = r sin(θ), jolloin dx dy dz = rdr dθ dy ja integroimisrajat ovat a r b, y f (r), θ 2π. Tilavuus tulee siten oleman ( 2π ( b ) ) f (r) ( 2π ) b V (Ω) = r dy dr dθ = dθ rf (r) dr a = 2π a b xf (x) dx. a G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) 9. Esimerkkejä helmikuutaym., 216 osa II 5 / 5

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa II

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa II MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa G. Gripenberg Aalto-yliopisto 9. helmikuuta 16 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,

Näihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8, TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x

Lisätiedot

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa

Lisätiedot

Tilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R,

Tilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R, Vektorianalyysi Harjoitus 9, Ratkaisuehdotuksia Anssi Mirka Tehtävä 1. ([Martio, 3.4:1]) Millä suoralla sylinterillä, jonka tilavuus on V > on pienin vaipan ja pohjan yhteenlaskettu pinta-ala? Ratkaisu

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan

Lisätiedot

Pisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta

Pisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta Laskukarnevaali Matematiikka B. fx, y, z) = x sin z + x y, etsi f,, ) Osittaisderivaatat ovat f f x = sin z + xy, y = x, f z = x cos z Pisteessä,,) osittaisderivaatoilla on arvot 4, ja. Täten f,, ) = 4i

Lisätiedot

Vektorilaskenta, tentti

Vektorilaskenta, tentti Vektorilaskenta, tentti 27102017 Tentin kesto n 3 tuntia Vastaa NELJÄÄN tehtävään Jos vastaat kaikkiin, niin neljä PARASTA otetaan huomioon Kuvat vievät tilaa, joten muista kurkistaa paperin toiselle puolelle

Lisätiedot

Matematiikka B1 - TUDI

Matematiikka B1 - TUDI Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I Usean muuttujan funktiot MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta eli gradientti.

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30 DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä? BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen

Lisätiedot

Matematiikka B1 - avoin yliopisto

Matematiikka B1 - avoin yliopisto 28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 3. luento 17.11.2017 Neuroverkon opettaminen (ohjattu oppiminen) Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavoite-pareilla

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin

Lisätiedot

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1). HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit

Lisätiedot

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A =

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A = Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 211 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 ja B = 2 1 6 3 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A. 2. Laske seuraavat determinantit

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa G. Gripenberg Aalto-yliopisto 1. tammikuuta 016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0.

= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0. HARJOITUS 1, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE11 2017. 1. Ratkaise (a.) 2x 2 16x 40 = 0 (b.) 4x 2 2x+2 = 0 (c.) x 2 (1 x 2 )(1+x 2 ) = 0 (d.) lnx a = b. (a.) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: x = ( 16)± (

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I Usean muuttujan funktiot MS-A007 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 5A Vastaukset alkuviikolla

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40 Alkuviikolla harjoitustehtäviä lasketaan harjoitustilaisuudessa. Loppuviikolla näiden harjoitustehtävien tulee olla ratkaistuina harjoituksiin

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2

sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 2 Ratkaisuedotukset 2.1. Tutki funktion g : R 2 R, g(0, 0) = 0, jatkuvuutta. g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, kun (x,

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e)

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 214 1. Tutki seuraavia jonoja a) (a n )=(3n 1) ( ) 2 b) (a n )= 3 n ( ) 1 c) (a n )= (n + 1)(n +2) 2. Tutki seuraavia sarjoja a) (3k 1)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,

Lisätiedot

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa

Lisätiedot

3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =

3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) = BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot

Lisätiedot

4 (x 1)(y 3) (y 3) (x 1)(y 3)3 5 3

4 (x 1)(y 3) (y 3) (x 1)(y 3)3 5 3 . Taylorin polynomi; funktion ääriarvot.1. Taylorin polynomi 94. Kehitä funktio f (x,y) = x 2 y Taylorin polynomiksi kehityskeskuksena piste ( 1,2) a) laskemalla osittaisderivaatat, b) kirjoittamalla muuttujat

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Luento 9: Newtonin iteraation sovellus: optimointiongelma

Luento 9: Newtonin iteraation sovellus: optimointiongelma Luento 9: Newtonin iteraation sovellus: optimointiongelma ilman rajoitusehtoja Optimointiongelmassa tehtävänä on löytää annetun reaaliarvoisen jatkuvan funktion f(x 1,x,,x n ) maksimi tai minimi jossain

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2

y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2 Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 )

Lisätiedot

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

f(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2

f(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 7 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset 6.. Olkoon f : G R, G = {(x, x ) R x > }, f(x, x ) = x x. Etsi differentiaalit d k f(, ), k =,,. Ratkaisu:

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13 Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen

Lisätiedot