Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Johdatus reaalifunktioihin P, 5op"

Transkriptio

1 Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Pekka Salmi 17. lokakuuta 2016 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

2 Yleistä Luennot: ma 1214, pe 1012 Luennoitsija: Pekka Salmi, MA327 Laskupäivä: ke 1014, to 1216 M101 (2h/vko riittää), alkaa ensi viikolla (yhteinen JMP:n kanssa) Arvostelu: Loppukoe klo (uusinnat vain tarvittaessa) Harjoitustehtävistä 03.5 lisäpistettä (koe 24p). Ei vaikuta läpipääsyyn. Harjoitustehtävät, luentopäiväkirja, jne. tulevat Noppaan Kirjallisuutta: Kalvot Noppaan Harjulehto, Klén, Koskenoja: Analyysiä reaaliluvuilla (sopii paremmin muille analyysin kursseille mutta hyödyllinen täälläkin) Wikipedia (etenkin englanniksi) Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

3 Yleisiä ohjeita Kysy luennoilla: muutkin miettivät samoja asioita. Kysy luentojen ulkopuolella. Laskuharjoitustehtävät eivät välttämättä ratkea suoraviivaisesti vaan niitä on tarkoituskin pähkäillä. Kurssin laajuus on 5 op = 133 h. Luentoja on 28 h, harjoituksia 14 h, koe 4 h, jolloin itsenäistä työtä on 87 h. Tarkista, että Weboodissa oleva -osoite on aktiivisessa käytössä (ja vaihda tarvittaessa). Johdatus reaalifunktioihin -kurssi korvaa kurssin Alkeisfunktiot, joten näitä kahta kurssia ei voi molempia sisällyttää tutkintoonsa. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

4 Kurssin osaamistavoitteet (pohjatiedot kunnossa: lukiomatematiikan kertaus) osaa soveltaa kolmioepäyhtälöä osaa määritellä ja käsitellä alkeisfunktioita tehdä yksinkertaisia matemaattisia päätelmiä ja arvioita osaa käyttää derivaattaa funktion kulun tutkimiseen osaa useita integroimistekniikoita: sijoitus, osittaisintegrointi tuntee kompleksilukujen perusominaisuudet Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

5 Lähtötasotesti 1 Mene sivulle oystack.oulu. 2 Valitse matematiikan lähtötasokurssi 3 Paina Oulun yliopisto logoa, jolloin voit kirjautua omalla tunnuksellasi. 4 Kurssiavain on MATO Tavoitetaso: 80% oikein. 6 Tehtäviä voi yrittää useita kertoja. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

6 Suunnitelma 1 Itseisarvo, kolmioepäyhtälö 2 Funktiot, polynomit, rationaalifunktiot 3 Trigonometriset funktiot 4 Raja-arvot, jatkuvuus 5 Puristuslause, asymptootit 6 Määrätty integraali 7 Logaritmi- ja eksponenttifunktio 8 Derivaatta 9 Funktion kulun tutkiminen derivaatan avulla 10 Analyysin peruslause, antiderivaatta 11 Integroimistekniikoita: osittaisintegrointi, sijoitus 12 Epäoleelliset integraalit 13 Kompleksiluvut Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

7 Lukujoukot N = {1, 2, 3,...} Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} { } a Q = b a Z, b N R luonnolliset luvut kokonaisluvut rationaaliluvut reaaliluvut (lukusuora) e π Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

8 Joukko-opin merkinnät merkintä tarkoitus esimerkki a A a kuuluu joukkoon A 1 N b / A a ei kuulu joukkoon A 1 / N B A B sisältyy joukkoon A N R A B = {x x A tai x B} A B = {x x A ja x B} A \ B = {x x A ja x / B} yhdiste eli unioni leikkaus erotus (A pois B). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

9 Reaalilukujen laskutoimitukset Reaalilukujen yhteenlasku + ja kertolasku toteuttavat seuraavat säännöt: (K1) x + (y + z) = (x + y) + z (yhteenlaskun liittännäislaki) (K2) x + 0 = 0 + x = x (nolla-alkio) (K3) x + ( x) = ( x) + x = 0 (vastaluvut) (K4) x + y = y + x (yhteenlaskun vaihdannaislaki) (K5) x (y z) = (x y) z (kertolaskun liittännäislaki) (K6) x 1 = 1 x = x (ykkösalkio) (K7) x x 1 = x 1 x = 1 kun x 0, (käänteisluvut) (K8) x y = y x (kertolaskun vaihdannaislaki) (K9) x (y + z) = x y + x z (osittelulaki) Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

10 Reaalilukujen järjestys Reaalilukujen järjestys toteuttaa seuraavat säännöt: (J1) Jos a b ja b c, niin a c (transitiivisuus) (J2) Jos a b ja b a, niin a = b (antisymmetria) (J3) Kaikilla a ja b joko a b tai b a (totaalisuus) (J4) a b = a + c b + c (J5) 0 a ja 0 b = 0 ab e π Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

11 Lukusuoran välit Olkoon a, b R, a < b. [a, b] = {x R a x b} ]a, b[ = {x R a < x < b} ]a, b] = {x R a < x b} [a, b[ = {x R a x < b} suljettu väli avoin väli puoliavoin väli puoliavoin väli Myös + ja voivat esiintyä merkinnöissä. Esimerkiksi [a, + [ = {x R a x} ], a] = {x R x a}. Kirjallisuudessa esiintyy myös merkinnät (a, b) = ]a, b[, (a, b] = ]a, b], jne. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

12 Itseisarvo Määritelmä Luvun x R itseisarvo on x = { x jos x 0 x jos x < 0. Geometrisesti tulkittuna x on luvun x etäisyys pisteestä 0: x = x y y = y 0 x x y Vastaavasti lukujen x, y R välinen etäisyys on x y. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

13 Itseisarvon ominaisuuksia Lemma Olkoot x, y R. 1 x 0 2 x = 0 x = 0 3 Olkoon a 0. Tällöin x a a x a. Erityisesti x x x. 4 xy = x y. Erityisesti x = x. 5 x 2 = x 2. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

14 Perustelu kohdille (3) ja (4) (3) Tapaus x 0. Nyt x a tarkoittaa että x a eli tässä tapauksessa 0 x a. Tapaus x < 0. Nyt x a tarkoittaa että x a eli a x eli tässä tapauksessa a x < 0. (4) Pilkotaan tapauksiin: (a) x 0 ja y 0, (b) x 0 ja y < 0, (c) x < 0 ja y 0 (d) x < 0 ja y < 0. Tapaus (a) on selvä. Tapauksessa (b) xy 0, joten tässä tapauksessa. Tapaus (c) on samanlainen kuin (b). Tapauksessa (d) xy > 0, joten xy = (xy) = x ( y) = x y xy = xy = ( x) ( y) = x y. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

15 Itseisarvoepäyhtälö Ratkaistaan epäyhtälö x Geometrinen tulkinta: x 2 on luvun x etäisyys luvusta 2. Täten epäyhtälö x 2 3 on voimassa täsmälleen silloin kun luvun x etäisyys luvusta 2 on enintään Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

16 Esimerkki Ratkaistaan epäyhtälö x 1 x + 1 < 1. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

17 Tehtävä Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y < 5. 3 Kaikilla x ja y pätee x y x y. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

18 Kolmioepäyhtälö Lause (Kolmioepäyhtälö) Kaikilla x, y R pätee x + y x + y. x + y y x Vektorin x + y pituus on enintään yhtäsuuri kuin vektoreiden x ja y pituuksien summa. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

19 Kolmioepäyhtälön perustelu Todistus Lemman nojalla x x x ja y y y. Summaamalla nämä epäyhtälöt saadaan ( x + y ) x + y x + y. Täten jälleen Lemman nojalla. x + y x + y Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

20 Esimerkki Oletetaan että x ja y toteuttavat arviot x 1 < 2 ja y 1 < 3. Tällöin x y = x y ey x y = x 1 + y 1 < = 5. Geometrinen tulkinta: x:n etäisyys luvusta 1 on alle 2 yksikköä ja y:n etäisyys luvusta 1 alle 3 yksikköä. Siis lukusuoralla x ja y sijoittuvat seuraavasti: x y Tästä voidaan päätellä että x:n ja y:n välisen etäisyyden täytyy olla alle 5 yksikköä. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

21 Käänteinen kolmioepäyhtälö eli ey:n vasen puoli Lause (Käänteinen kolmioepäyhtälö) Kaikilla x, y R pätee x y x + y. Yhdistettynä kolmioepäyhtälöön saadaan, että kaikilla x, y R pätee seuraavat arviot: Täydellinen kolmioepäyhtälö x y x ± y x + y Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

22 Käänteisen kolmioepäyhtälön perustelu Todistus Kolmioepäyhtälön nojalla x = x + y y ey x + y + y = x y x + y. Vastaavasti y = y + x x ey y + x + x = y x x + y. Täten joten x + y x y x + y x y x + y. Lemman nojalla. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

23 Arviointia Esimerkki Olkoon a, b R joista tiedetään että a 1 ja b 2. Osoitetaan että tällöin a 2 b 2 3 a b. Kolmioepäyhtälön nojalla a 2 b 2 = (a + b)(a b) = a + b a b ey ( a + b ) a b 3 a b. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

24 Arviointia 2 Esimerkki Mitä voidaan sanoa luvusta a, kun tiedetään, että a ja b ovat sellaisia reaalilukuja, että 2 < b < 3 ja a b 1 2? Käänteisen kolmioepäyhtälön nojalla a b = a b a b 1 2. Täten b 1 2 a b Yhdistämällä tämä tietoon että 2 < b < 3 saadaan että Geometrinen ratkaisu: piirrä kuva. 3 2 < a < 7 2. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

25 Funktion käsite ja kuvaaja Olkoot X ja Y ei-tyhjiä joukkoja. Funktio f : X Y on sääntö joka liittää jokaiseen alkioon x X täsmälleen yhden alkion f (x) Y. Joukkoa X kutsutaan funktion f määritysalueeksi ja joukkoa Y funktion f maalijoukoksi. Funktion f kuvajoukko (tai arvojoukko) on Funktion f graa eli kuvaaja määrää funktion f yksikäsitteisesti. f (X ) = {f (x) x X } Y. G f = {(x, f (x)) x X } X Y Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

26 Reaalifunktiot Reaalifunktion määritysalue ja kuvajoukko ovat reaalilukujen joukon osajoukkoja. Tällaisen funktion f : M R, missä M R, kuvaaja on muotoa G f = {(x, y) R 2 x M, y = f (x)} ja se voidaan esittää (x, y)-koordinaatistossa. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

27 Esimerkki Olkoon f : R R, f (x) = x. Tällöin funktion f määritysalue on R, kuvajoukko on { x x R} = [0, + [ ja kuvaaja on joukko G f = {(x, x ) x R} = {(x, x) x < 0} {(x, x) x 0} Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

28 Esimerkki 2 Tutkitaan sääntöä f (x) = 1 x 2 1. Mikä on funktion f luonnollinen määritysalue ja kuvajoukko? Luonnollinen määritysalue on R \ { 1, 1}. Funktio f on parillinen (symmetrinen origon suhteen) eli f ( x) = f (x). Kun x, nimittäjä f (x) 0. Kun x 1+, niin f (x) +. Täten ]0, + [ sisältyy kuvajoukkoon. Toisaalta f (0) = 1 ja kun x 1, niin f (x) (f on vähenevä välillä [0, 1[). Kaiken kaikkiaan voidaan päätellä että funktion f kuvajoukko on ], 1] ]0, + [. Ks. Wolfram Alpha. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

29 Polynomifunktiot Funktio P : R R, P(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 missä a 0, a 1,..., a n R, a n 0, on polynomi, jonka aste on n. Lukuja a 0, a 1,..., a n kutsutaan polynomin kertoimiksi. Luku x 0 R on funktion f nollakohta jos f (x) = 0 (luvun x täytyy tietenkin kuulua funktion f määritysalueeseen). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

30 Aputulos Lemma a n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b + a n 3 b ab n 2 + b n 1 ) Todistus 1. tapa: Induktio luvun n suhteen. 2. tapa: Kerrotaan auki (a b)(a n 1 + a n 2 b + a n 3 b ab n 2 + b n 1 ) = a n + a n 1 b + a n 2 b a 2 b n 2 + ab n 1 a n 1 b a n 2 b 2 a 2 b n 2 ab n 1 b n = a n b n. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

31 Polynomin juuret Lause Jos x 0 on astetta n olevan polynomin P nollakohta, niin P on jaollinen termillä x x 0 eli P(x) = (x x 0 )Q(x) missä Q on astetta n 1 oleva polynomi. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

32 Todistus Olkoon P(x) = Edellisen lemman nojalla P(x) = P(x) P(x 0 ) n a k x k, a k R, a n 0. k=0 = a n (x n x n 0 ) + a n 1 (x n 1 x n 1 0 ) + + a 1 (x x 0 ) + a 0 a 0 = a n (x x 0 )Q n (x) + a n 1 (x x 0 )Q n 1 (x) + + a 1 (x x 0 ) n = (x x 0 ) a k Q k (x). k=1 } {{ } =Q(x) Tekijän Q(x) korkeimman asteen termi on a n x n 1 joten Q:n aste on n 1. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

33 Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään n kappaletta erisuurta nollakohtaa. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

34 Rationaalifunktiot Rationaalifunktio on funktio joka on muotoa R(x) = P(x) Q(x) = a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0 b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0 missä P(x) ja Q(x) ovat polynomifunktioita. Rationaalifunktion R määritysalue on {x R Q(x) 0} eli koko R lukuunottamatta polynomin Q(x) nollakohtia. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

35 Esimerkki Olkoon R(x) = x + 1 x 2 1. Tällöin R:n määritysalue on R \ { 1, 1}. Voidaan huomata että x + 1 x 2 1 = x + 1 (x 1)(x + 1) = 1 x 1. kun x / { 1, 1}. Täten R voitaisiin luonnollisesti laajentaa funktioksi R 2 : R \ { 1} R, R 2 (x) = 1 x 1. Kuitenkin R ja R 2 ovat eri funktioita (niillä on eri määritysalueet). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

36 Laskutoimituksia funktioilla Funktioiden väliset laskutoimitukset määritellään pisteittäin. Olkoot f : M f R, g : M g R ja c R vakio. Tällöin (f + g)(x) = f (x) + g(x) (fg)(x) = f (x)g(x) ( ) f (x) = f (x) g g(x). (erityisesti (cf )(x) = cf (x)) Luonnollinen määritysalue uusille funktioille on M f M g, paitsi funktion f /g tapauksessa määrittelyalue on (M f M g ) \ {x M g g(x) = 0}. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

37 Summafunktio f (x) = x f (x) + g(x) = x + sin x g(x) = sin x Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

38 Yhdistetty funktio Funktioiden f ja g yhdistetty funktio eli yhdiste on funktio (f g)(x) = f ( g(x) ). Yhdistetyn funktion määritysalue on M f g = {x M g g(x) M f }. g f x g(x) f ( g(x) ) f g Joskus funktiota g kutsutaan sisäfunktioksi ja funktiota f ulkofunktioksi. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

39 Esimerkki Olkoon h(x) = x 2 1. Tässä voidaan ajatella että h on kuvausten g(x) = x 2 1 ja f (x) = x yhdiste, sillä f g(x) = f (g(x)) = f (x 2 1) = x 2 1. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

40 Käänteisfunktio Funktio g : Y X on funktion f : X Y käänteisfunktio mikäli (g f )(x) = x kaikilla x X ja (f g)(y) = y kaikilla y Y. Käänteisfunktiota merkitään f 1. Lause Funktiolla f : X Y on olemassa käänteisfunktio täsmälleen silloin kun f on bijektio eli 1 f on injektio: x 1 x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ) 2 f on surjektio: f (X ) = Y Todistuksen idea: Määritellään g : Y X asettamalla g ( f (x) ) = x (jotta tämä on järkevää on f :n oltava bijektio). Tällöin g = f 1. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

41 Esimerkki Tutkitaan funktiota f (x) = 3x + π. Nyt y = f (x) = 3x + π x = 1 (y π). 3 ( ) Yhtälöstä ( ) voidaan päätellä, että f : R R on bijektio: 1 f on injektio sillä f (x 1 ) = f (x 2 ) = 3x 1 + π = 3x 2 + π = x 1 = x 2 ; 2 f on surjektio sillä jokaisella y R löytyy x R, jolle f (x) = y (valitaan x = 1 (y π)). 3 Yhtälöstä ( ) voidaan myös nähdä että funktion f käänteiskuvaus f 1 : R R on f 1 (y) = 1 (y π). 3 Siis f 1 (f (x)) = x ja f (f 1 (y)) = y kaikilla x, y R. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

42 Esimerkki Tutkitaan funktiota f (x) = x 2. Onko funktiolla f käänteisfunktiota? Kysymys on epätarkka. Jos määritysalue M f = R niin ei ole koska f ei tällöin ole injektio (f (x) = f ( x)). Jos määritysalue on esim. M f = [0, [, niin f on injektio, jonka kuvajoukko on [0, [. Käänteisfunktion g määrääminen: Merkitään y = f (x), jolloin x = g(y). Yhtälöstä y = x 2 saadaan x = y, joten g(y) = y. Käänteisfunktio on siis f 1 : [0, [ [0, [, f 1 (y) = y. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

43 Monotoniset funktiot Olkoon M R jokin reaalilukuväli ja f : M R. Funktio f on 1 kasvava jos f (x 1 ) f (x 2 ) aina kun x 1, x 2 I ja x 1 < x 2 2 vähenevä jos f (x 1 ) f (x 2 ) aina kun x 1, x 2 I ja x 1 < x 2 3 aidosti kasvava jos f (x 1 ) < f (x 2 ) aina kun x 1, x 2 I ja x 1 < x 2 4 aidosti vähenevä jos f (x 1 ) > f (x 2 ) aina kun x 1, x 2 I ja x 1 < x 2 5 monotoninen jos se on kasvava tai vähenevä 6 aidosti monotoninen jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

44 Tehtävä Keksi esimerkit seuraavanlaisista funktioista mikäli mahdollista. 1 Aidosti vähenevä. 2 Aidosti vähenevä muttei vähenevä. 3 Kasvava muttei aidosti kasvava. 4 Sekä kasvava että vähenevä. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

45 Aidosti monotonisella funktiolla on käänteisfunktio Lause Olkoon M R väli ja f : M R aidosti monotoninen. Tällöin f on injektio ja erityisesti f : M f (M) on bijektio. Funktion f käänteiskuvaus f 1 : f (M) M on aidosti kasvava jos f on aidosti kasvava ja f 1 on aidosti vähenevä jos f on aidosti vähenevä. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

46 Todistus: f on injektio Todistus Oletetaan että f on aidosti kasvava (tapaus missä f on aidosti vähenevä on vastaava). Jos x 1, x 2 M ja x 1 x 2, niin joko x 1 < x 2 tai x 1 > x 2. Koska f on aidosti kasvava, niin ensimmäisessä tapauksessa f (x 1 ) < f (x 2 ) ja toisessa f (x 1 ) > f (x 2 ). Joka tapauksessa f (x 1 ) f (x 2 ), joten f on injektio. Täten f : M f (M) on bijektio ja sillä on käänteisfunktio f 1 : f (M) M. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

47 Todistus: f 1 on aidosti kasvava Todistus jatkuu Osoitetaan vielä että f 1 on aidosti kasvava. Tehdään vastaoletus että näin ei ole. Tällöin on olemassa sellaiset y 1, y 2 f (M) että y 1 < y 2 mutta f 1 (y 1 ) f 1 (y 2 ). Nyt y 1 = f (x 1 ) ja y 2 = f (x 2 ) joillain x 1, x 2 M. Siis x 1 = f 1 (y 1 ) f 1 (y 2 ) = x 2. Siis x 1 x 2 mutta f (x 1 ) < f (x 2 ) mikä on ristiriita sen kanssa että f on aidosti kasvava. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

48 Aidosti monotoniset funktiot ja epäyhtälöt Edellisen lauseen (ja määritelmän) nojalla jos f on aidosti kasvava ja x 1, x 2 M f niin x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). Vastaavasti jos f on aidosti vähenevä niin x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

49 Esimerkki Ratkaistaan epäyhtälö 2x 1 x + 1 neliöönkorottamalla. Miksi sallittua? Tämä on sallittua, sillä funktio x x 2 : [0, [ [0, [ on aidosti kasvava. Täten 2x 1 x + 1 2x 1 2 x x 2 4x + 1 x 2 + 2x + 1 3x 2 6x 0 3x(x 2) 0 0 x 2 (Koska y = 3x 2 6x on ylöspäin aukeava parabeli.) Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

50 Sinin ja kosinin geometrinen määritelmä Olkoon α suorakulmaisen kolmion terävä kulma, k 1 kulmaa α vastakkaisen kateetin pituus ja k 2 viereisen kateetin pituus. Olkoon vielä h hypotenuusan pituus. h k 1 α k 2 Kulman α sini on ja kosini sin α = k 1 h cos α = k 2 h. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

51 Sini- ja kosinifunktioiden määritelmä yksikköympyrän avulla Yksikköympyrän keskipiste on (0, 0) ja säde 1. Kehän pituus on 2π. (0, 1) (x, y) z ( 1, 0) sin z z (0, 0) cos z (x, 0) (1, 0) (0, 1) Pisteestä (1, 0) kuljetaan ympyrän kehää pitkin vastapäivään z pituinen matka pisteeseen (x, y). Asetetaan kaikilla z R sin z = y ja cos z = x. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

52 Huomioita sinin ja kosinin määritelmästä Sinin ja kosinin määritelmä yksikköympyrän avulla yhtyy aiempaan kun 0 < z < π/2 (radiaania). Tämän voi nähdä piirtämällä kolmio jonka kärkipisteet ovat (0, 0), (x, 0) ja (x, y). Tulkitaan määritelmää siten, että negatiivisillä luvuilla z < 0 käännetään kiertosuunta myötäpäivään ja kuljetaan z pituinen matka. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

53 Sinin ja kosinin kuvaajat 1 sin x cos x π π 2 π Sini on pariton funktio: sin( x) = sin x. Kosini on parillinen funktio: cos( x) = cos x. sin(x + π/2) = cos(x) sin(π x) = sin x Tehtävä: Miten yllä olevat kaavat näkyvät sinin ja kosinin kuvaajissa? Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

54 Esimerkkejä Esimerkki Osoita että ( π ) cos 2 z = sin z. Esimerkki Oletetaan tunnetuksi että sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y. Osoita että sin(2x) = 2 sin x cos x. Esimerkki Osoita että ( x + y sin x + sin y = 2 sin 2 ) cos ( x y 2 ). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

55 Tangentti ja kotangentti Tangenttifunktio määritellään asettamalla tan z = sin z, kun cos z 0, eli z π/2 + nπ, n Z. cos z Vastaavasti kotangentti määritellään asettamalla cot z = cos z, kun sin z 0, eli z nπ, n Z. sin z Geometrinen tulkinta: h k 1 α k 2 tan α = sin α cos α = k 1 k 2 ja cot α = 1 tan α = cos α sin α = k 2 k 1. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

56 Tangentti ja kotangentti yksikköympyrällä cot z z tan z z ( 1, 0) (0, 0) 1 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

57 Tangentin ja kotangentin kuvaajat tan x π 2 0 π 2 π cot x Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

58 Sinin käänteisfunktio Sinifunktio ei ole injektio vaan esimerkiksi sin(π x) = sin x kaikilla x R. Rajoitettuna välille [ π/2, π/2] saadaan aidosti kasvava funktio sin: [ π/2, π/2] R ja sin([ π/2, π/2]) = [ 1, 1]. Tällä rajoituksella sinille saadaan käänteisfunktio arkussini arcsin: [ 1, 1] [ π/2, π/2], joka on myös aidosti kasvava. Joskus tätä kutsutaan arkussinin päähaaraksi ja merkitään arcsin, koska yhtälailla sinifunktio olisi voitu rajoittaa vaikka välille [π/2, 3π/2]. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

59 Arkussinin kuvaaja (0, 1) π 2 arcsin x x arcsin x (0, 0) (1, 0) π 2 (0, 1) Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

60 Esimerkki Esimerkki Laske arcsin(sin 2π). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

61 Muiden trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot Kosini on aidosti vähenevä välillä [0, π] ja tälle välille saadaan käänteisfunktio arkuskosini arccos: [ 1, 1] [0, π]. Tangentti on aidosti kasvava välillä ] π/2, π/2[ ja tälle välille saadaan käänteisfunktio arkustangentti arctan: R ] π/2, π/2[. Kotangentti on aidosti vähenevä välillä ]0, π[ ja tälle välille saadaan käänteisfunktio arkuskotangentti arccot: R ]0, π[. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

62 Arkustangentin kuvaaja π 2 x arctan x arctan x (1, 0) π 2 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

63 Napakoordinaatit θ r x (x, y) y x = r cos θ y = r sin θ r = x 2 + y 2 arctan ( y ) π x kun x > 0, y 0 kun x = 0, y > 0 2 arctan ( y ) θ = x + π kun x < 0 π kun x = 0, y < 0 2 arctan ( y ) x + 2π kun x > 0, y < 0 ei määritelty kun x = 0, y = 0 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

64 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti tiedostaa intuitiivisten määritelmien sudenkuopat osaa laskea raja-arvoja (manipuloimalla lausekkeita) osaa määrittää raja-arvoja suppiloperiaatteella (arviointi!) Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

65 Raja-arvon epämääräinen määritelmä Funktiolla f on pisteessä x 0 raja-arvonaan luku a, jos muuttujan arvojen lähestyessä arvoa x 0 funktion f arvot lähestyvät lukua a. Lähestymisen tulee olla sellaista, että tulemalla tarpeeksi lähelle lukua x 0 saadaan funktion f arvot niin lähelle lukua a kuin suinkin halutaan. (WSOY, Pitkä matematiikka 7: Derivaatta) Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

66 Esimerkki a = 3 2 f (x) = 1 x x 0 = 2 3 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

67 Raja-arvo pisteessä 0? a = 1 ( sin 1 x ) x 0 = 0 ( 1 ) lim sin = 1? x 0 x Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

68 Oskiloiva raja-arvo ( x sin 1 x ) 0.05 ( 1 ) lim x sin = 0 x 0 x Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

69 Tehtävä Tutkitaan funktion f (x) = 3x 1 käyttäytymistä pisteen x = 1 läheisyydessä. (Huomaa että f (1) = 2.) Olkoon ɛ > 0 virhetermi. Määrää ne x:n arvot joilla kun 1 ɛ = 0,1 2 ɛ = 0,01. f (x) 2 < ɛ Vihje: ratkaisun voi kirjoittaa muodossa x 1 < δ, mistä δ pitää selvittää. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

70 Raja-arvon määritelmä Olkoon f reaalifunktio joka on määritelty (ainakin) joukossa ]x 0 r, x 0 + r[ \ {x 0 } jollain r > 0. Määritelmä Funktiolla f on raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun 0 < x x 0 < δ. Toisin sanoen kun f :n arvoja tarkastellaan tarpeeksi lähellä pistettä x 0 (muttei pisteessä x 0!), niin ne kaikki saadaan mielivaltaisen lähelle lukua a. Funktion f raja-arvoa pisteessä x 0 merkitään lim f (x). x x 0 Huomaa että funktion f arvolla pisteessä x 0 ei ole mitään merkitystä raja-arvon määritelmässä, eikä funktiota f ole välttämättä edes määritelty pisteessä x 0. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

71 Esimerkki 1 1 ɛ = 0.3 ɛ 1 1 x δ δ = 0.2 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

72 Esimerkki, osa 2 Sama δ ei toimi kun lukua ɛ pienennetään: 1 ɛ = 0.15 ɛ 1 1 x δ δ = 0.2 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

73 Esimerkki, osa 3 Luku δ voidaan kuitenkin valita vielä pienemmäksi... 1 ɛ = 0.15 ɛ 1 1 x δ δ = 0.1 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

74 Raja-arvoa ei ole olemassa f (x) lim f (x) = 1 mutta lim f (x) = 2 x 2 x 2+ Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

75 Välisoitto: toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen raja-arvo mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 δ < x < x 0. Funktion f oikeanpuoleista raja-arvoa pisteessä x 0 merkitään ja vasemmanpuoleista raja-arvoa lim f (x) x x 0 + lim f (x). x x 0 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

76 Funktion hyppäyskohta Huomautus Siis yksi tapaus jolloin raja-arvoa ei ole olemassa on sellainen, että toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa mutta ovat erisuuret. Tällaisessa kohdassa funktio hyppää. Toinen ongelmatapaus on se että toispuoleisia raja-arvoja ei edes ole olemassa (tai vain toinen on). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

77 Raja-arvoa ei ole olemassa 2 1 sin(1/x) Funktio ( 1 ) f (x) = sin x x 0 oskiloi voimakkaasti pisteen 0 läheisyydessä, joten raja-arvoa ei ole olemassa. ( 1 ) lim sin x 0 x Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

78 Raja-arvon ominaisuuksia Lemma Kaikilla a, b, x 0 R pätee lim x x0 ax + b = ax 0 + b. Lause (Raja-arvon laskusääntöjä) Olkoot f ja g funktioita joilla on raja-arvot pisteessä x 0 ja olkoon c R vakio. Tällöin 1 lim x x0 ( f (x) + g(x) ) = ( limx x0 f (x) ) + ( lim x x0 g(x) ) 2 lim x x0 cf (x) = c lim x x0 f (x) 3 lim x x0 f (x) = lim x x0 f (x) 4 lim x x0 ( f (x)g(x) ) = ( limx x0 f (x) )( lim x x0 g(x) ) 5 lim x x0 f (x) g(x) = limx x 0 f (x) lim x x0 g(x) olettaen että lim x x 0 g(x) 0. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

79 Laskuesimerkki Lasketaan funktion raja-arvo pisteessä 2. f (x) = x 2 x 2 + x 6 Funktion f (x) = x 2 luonnollinen määritysalue on R \ { 3, 2} sillä x 2 +x 6 x 2 + x 6 = (x + 3)(x 2). Funktiota f ei siis ole määritelty pisteessä x = 2. Voidaan kuitenkin tutkia f :n raja-arvoa pisteessä x = 2. Nyt x 2 lim f (x) = lim x 2 x 2 x 2 + x 6 = lim x 2 Mikä on f :n raja-arvo pisteessä x = 3? x 2 (x + 3)(x 2) = lim x 2 1 x + 3 = 1 5. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

80 Rationaalifunktioiden raja-arvot Edellä olevista laskusäännöistä ja lemmasta seuraa että polynomeille P ja Q pätee P(x) lim P(x) = P(x 0 ) ja lim x x 0 x x 0 Q(x) = P(x 0) Q(x 0 ) kun Q(x 0 ) 0. Toisin sanoen polynomi- ja rationaalifunktiot ovat jatkuvia... P(x) Q(x) voi olla Huomautus: Edeltävän esimerkin nojalla raja-arvo lim x x0 olemassa myös sellaisissa pisteissä x 0 missä Q(x 0 ) = 0, mutta tällöin raja-arvoa ei tietenkään saada suoraan sijoittamalla P(x 0) Q(x 0 ). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

81 Funktion jatkuvuus pisteessä Olkoon f reaalifunktio, joka on määritelty ainakin joukossa ]x 0 r, x 0 + r[ jollain r > 0. Määritelmä Funktio f on jatkuva pisteessä x 0 mikäli f (x 0 ) = lim x x 0 f (x). Siis f on jatkuva pisteessä x 0 jos f :n arvo pisteessä x 0 on sama kuin f :n raja-arvo pisteessä x 0. Toisin sanoen f on jatkuva pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) f (x 0 ) < ɛ aina kun x x 0 < δ. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

82 Jatkuva funktio Määritelmä Olkoon f : M R missä M R. Funktio f on jatkuva (kokonaisuudessaan) jos f on jatkuva jokaisessa määritysalueensa M pisteessä. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

83 1/x 1 x Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

84 Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

85 Yhdistetyn funktion raja-arvo Lause Oletetaan että raja-arvo lim x x0 f (x) =: y 0 on olemassa ja että funktio g on jatkuva pisteessä y 0. Tällöin yhdistetyllä funktiolla g f on olemassa raja-arvo pisteessä x 0 ja lim (g f )(x) = g( lim f (x)) = g(y 0 ). x x 0 x x 0 Erityisesti jos f on jatkuva pisteessä x 0 ja g on jatkuva pisteessä f (x 0 ) niin g f on jatkuva pisteessä x 0. Huomautus: jos f on jatkuva, niin y 0 = f (x 0 ) ja täten g(y 0 ) = (g f )(x 0 ). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

86 Alkeisfunktiot ovat jatkuvia Alkeisfunktiot ovat jatkuvia määrittelyalueellaan: polynomifunktiot rationaalifunktiot juurifunktiot trigonometriset funktiot eksponenttifunktiot (myöhemmin) logaritmifunktiot (myöhemmin) hyperboliset funktiot (myöhemmin) näiden äärelliset yhdistelmät (summat, tulot, osamäärät, yhdistetyt funktiot). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

87 Alkeisfunktioiden äärelliset yhdistelmät ovat jatkuvia Esimerkki Funktio sin(x 2 ) + e x on jatkuva. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

88 Puristuslause eli suppiloperiaate Seuraavan lauseen avulla voi laskea useita raja-arvoja. Lause Olkoot f, g ja h funktioita joille päätee 1 f (x) g(x) h(x) aina kun 0 < x x 0 < r 2 lim x x0 f (x) = lim x x0 h(x) =: a. Tällöin funktiolla g on raja-arvo pisteessä x 0 ja lim g(x) = a. x x 0 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

89 Puristuslauseen sovellus Tutkitaan raja-arvoa sin x lim x 0 x. Geometrisesti voidaan päätellä että sin x < x < tan x kun 0 < x < π/2: (0, 1) (0, 0) sin x x tan x Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

90 Sovellus jatkuu... Jakamalla epäyhtälöt puolittain x:llä saadaan sin x x sin x < x < tan x < 1 < sin x x 1 cos x. Täten cos x < sin x < 1. x Koska lim x 0 cos x = 1 saadaan puristuslauseen nojalla että sin x lim x 0+ x = 1. Vasemmanpuoleinen raja-arvo saadaan vastaavasti joten sin x lim x 0 x = 1. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

91 Raja-arvo äärettömyydessä Olkoon f reaalifunktio, joka on määritelty ainakin joukossa [M, + [ jollain M R. Määritelmä Luku a R on funktion f raja-arvo äärettömyydessä + mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen R > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x > R. Vastaavasti a R on funktion f : ], M] R raja-arvo äärettömyydessä mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen R < 0 että Merkitään näitä raja-arvoja ( = + ). f (x) a < ɛ aina kun x < R. lim f (x) ja lim f (x). x + x Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

92 Asymptoottiesimerkki Tutkitaan funktion raja-arvoja äärettömyydessä. f (x) = 2x + 1 x 1 2x+1 x 1 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

93 Asymptootit Määritelmä Suoraa y = c kutsutaan funktion f horisontaaliseksi asymptootiksi jos lim f (x) = c tai lim f (x) = c. x x + Vastaavasti suoraa x = c kutsutaan funktion f vertikaaliseksi asymptootiksi jos lim f (x) = + tai lim f (x) = tai x c x c lim f (x) = + tai lim f (x) =. x c+ x c+ Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

94 Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on mikäli kaikilla R < 0 löytyy sellainen δ > 0 että Näitä merkitään f (x) < R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. lim f (x) = + ja lim f (x) =. x x 0 + x x 0 + Vasemmanpuoleiset raja-arvot määritellään käyttämällä f :n arvoja x 0 :n vasemmalla puolella (eli 0 < x x 0 < δ korvataan lausekkeella 0 < x 0 x < δ). Näitä merkitään lim x x0 f (x). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

95 Jatkuvien funktioiden väliarvolause Lause Olkoon f : [a, b] R jatkuva. Tällöin funktio f saa kaikki arvot, jotka ovat lukujen f (a) ja f (b) välissä. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

96 Integraalit 1 Määrätty integraali = oikea integraali: esim. 1 0 x 2 dx = reaaliluku 2 Määräämätön integraali = derivaatan käänteisoperaatio: esim. x 2 dx = joukko funktioita Huomautus Nämä kaksi eri käsitettä yhdistää Analyysin peruslause (the Fundamental Theorem of Calculus). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

97 Integraali (määrätty) eli merkillä varustettu pinta-ala Funktion f (x) integraali välin [a, b] yli on funktion f (x) graan ja x-akselin välin [a, b] väliin jäävä netto pinta-ala kun x-akselin yläpuoliset osiot saavat merkin + ja alapuoliset merkin. b a f (x) dx = vihreä ala punainen ala Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

98 Miten pinta-ala määritellään? Positiivisen funktion f : [a, b] R kuvaajan ja x-akselin välistä pinta-alaa voidaan arvioida suorakulmioilla. Jaetaan tutkittava väli [a, b] osiin ja arvioidaan funktiota jokaisella osavälillä sekä alhaalta että ylhäältä päin. f (x) f (x) a b a b Oranssin alueen ala antaa alapuolisen arvion pinta-alalle ja vihreän alueen ala yläpuolisen arvion. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

99 Esimerkki Tutkitaan funktion f (x) = x 2 kuvaajan ja x-akselin välistä pinta-alaa välillä [1, 2]. f (x) = x A 1 = Y 1 = A 2 = Y 2 = Ylä- ja alapuoleisen arvion erotus: Y 1 A 1 = 1.5 Y 2 A 2 = 0.75 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

100 Positiivisen funktion integraalin määritelmän idea Funktion f (x) 0 kuvaajan ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala määritellään approksimoimalla suorakulmioiden avulla (nk. Riemannin integraali). f (x) f (x) a b a b Tihentämällä jakoa pinta-alalle saadaan tarkemmat ala- ja yläpuoleiset arviot, ja jos näillä on yhteinen raja-arvo, niin sanotaan, että f on integroituva (välillä [a, b]). Yhteistä raja-arvoa kutsutaan f :n integraaliksi yli välin [a, b] ja merkitään b a f (x) dx. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

101 Integraali kun f ei välttämättä positiivinen Jokainen reaaliarvoinen funktio f : [a, b] R voidaan jakaa positiiviseen ja negatiiviseen osaan: f (x) = f + (x) f (x) kaikilla x [a, b] missä f + (x) 0 ja f (x) 0 kaikilla x [a, b]. Lisäksi vaaditaan, että f + ja f eivät ole samassa kohtaa 0 (täsmällinen määritelmä seuraavalla kalvolla). Määritelmä Funktion f integraali yli välin [a, b] määritellään asettamalla b a f (x) dx := b a b f + (x) dx f (x) dx, a olettaen että positiiviset funktiot f + ja f ovat integroituvia (tällöin sanotaan että f on integroituva). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

102 (Lisäkalvo) Positiivinen ja negatiivinen osa täsmällisesti Olkoon f : [a, b] R. Määritellään kaikilla x [a, b] jolloin f + (x) = max{f (x), 0} = f (x) = max{ f (x), 0} = f (x) + f (x) 2 f (x) f (x) 2 f (x) = f + (x) f (x) ja f (x) = f + (x) + f (x). f (x) f (x) f + (x) f (x) Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

103 Huomautuksia Integraalia voi merkitä myös lyhemmin Kun a > b, niin määritellään b a b a f. f = a b f. Tällöin pätee sääntö kaikilla a, b R. b f = a a b f Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

104 Jatkuvat funktiot ovat integroituvia Määritelmä Funktio f : M R on rajoitettu jos on olemassa sellainen luku R > 0 että f (x) R kaikilla x M. Lause Jos funktio f : [a, b] R on rajoitettu ja sillä on äärellinen määrä epäjatkuvuuskohtia, niin f on integroituva. Seuraus Jokainen jatkuva funktio f : [a, b] R on integroituva. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

105 Integraalin lineaarisuus Lause Kun f ja g ovat integroituvia funktioita ja c R vakio, niin b a ( f (x) + g(x) ) dx = b a b f (x) dx + g(x) dx a ja b a cf (x) dx = c b a f (x) dx. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

106 Integroimisalueen pilkkominen osiin Lemma Olkoon a < c < b ja f : [a, b] R integroituva. Tällöin b a f (x) dx = c Tehtävä: perustele lemma geometrisesti. a b f (x) dx + f (x) dx. c Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

107 Integraalin positiivisuus Määritelmän mukaan f (x) 0 kaikilla x [a, b] = b a f (x) dx 0. (olettaen että f on integroituva). Tästä seuraa yleistys: Lemma Olkoon f ja g integroituvia. Tällöin f (x) g(x) kaikilla x [a, b] = b a f (x) dx b a g(x) dx. Tehtävä: perustele yllä oleva lemma geometrisesti. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

108 Arviointiesimerkki Arvioidaan integraalia 1 0 e x 2 dx. Nyt x 2 2x 1 (koska (x 1) 2 0), joten 1 e x 2 dx e 2x 1 dx Toisaalta 1 e x 2 dx Todellinen arvo on noin e x dx Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

109 Edellisen esimerkin funktiot exp(x 2 ) exp(2x 1) exp(x) 0 1 x Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

110 Arviointilemma Lemma Olkoon f : [a, b] R integroituva. Tällöin b a b f (x) dx f (x) dx. a Todistus Kaikilla x [a, b] f (x) f (x) f (x). Täten b b b f (x) dx f (x) dx f (x) dx, a a a mistä seuraa väite itseisarvolemman nojalla. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

111 Kokonaislukupotenssit Määritelmä (Kokonaislukupotenssit) Olkoon x R ja n N. Asetetaan x n = x } x {{ x}. n kpl Lisäksi asetetaan x 0 = 1 ja x n = 1 x n. Kokonaislukupotensseille pätevät laskusäännöt x (n+m) = x n x m x nm = (x n ) m missä x R ja n, m Z. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

112 Juurifunktiot Olkoon n N. Tällöin funktio f : [0, [ [0, [, f (y) = y n on aidosti kasvava (tämän voi osoittaa esimerkiksi induktiolla n:n suhteen). Aikaisemman lauseen nojalla funktiolla f on käänteisfunktio, joka on myös aidosti kasvava. Määritelmä (Juuret) Olkoot x 0 ja n N. Luvun x n:s juuri on x 1 n = n x = f 1 (x) missä f on funktio f (y) = y n. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

113 Juurifunktion kuvaaja f (x) = x 2 g(x) = x Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

114 Rationaalilukupotenssit Määritelmä (Rationaalilukupotenssit) Olkoot x > 0, m Z ja n N. Asetetaan x m/n = (x m ) 1/n. Tehtävä: miksi x 2/6 = x 1/3? Kokonaislukupotenssien laskusäännöt laajenevat rationaalilukupotensseille: kun x > 0 ja p, q Q. x (p+q) = x p x q x pq = (x p ) q. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

115 Reaalilukupotenssit? Edellisen nojalla esimerkiksi 10 x on järkevästi määritelty luku kun x Q. Sen sijaan mitä tarkoittaa kun x on mielivaltainen reaaliluku? 10 x Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

116 Funktioajatus Oikeastaan haluamallemme funktiolle on olennaista että 10 x+y = 10 x 10 y. Haluaisimme siis funktion f : R R jolle 1 f (x + y) = f (x)f (y) kaikilla x, y R 2 f (1) = 10. Näistä ominaisuuksista seuraa että kaikkilla rationaaliluvuilla x pätee f (x) = 10 x (esim. f (3) = f ( ) = f (1) 3 = 10 3 ). Tätä on oikeastaan helpompi lähestyä logaritmifunktion kautta... Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

117 Logaritmifunktio Määritelmä Määritellään kaikilla x ]0, [ log(x) = x 1 1 t dt t t Esimerkiksi log(4) = väritety alueen ala. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

118 Huomautuksia logaritmifunktiosta Huomautus 1 Jos x > 1, niin log(x) on hyvin määritelty positiivinen reaaliluku: geometrisesti tulkittuna se on funktion f (t) = 1 t kuvaajan ja t-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala välillä [1, x]. 2 Jos 0 < x < 1, niin log(x) < 0 koska ja 1 x x 1 t dt > 0 (koska x < 1) t dt = 1 x t dt 3 Logaritmi on siis funktio log: ]0, [ R eli sen määrittelyalue on positiivinen reaaliakseli ja maalijoukko reaaliluvut. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

119 Tehtävä Perustele geometrisesti seuraavat logaritmifunktion ominaisuudet. 1 log(1) = 0 2 Logaritmifunktio on aidosti kasvava. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

120 Eksponenttifunktio Koska logaritmifunktio on aidosti kasvava, niin sillä on aiemman tuloksen mukaan aidosti kasvava käänteisfunktio. Määritelmä Eksponenttifunktio exp: R ]0, [ on funktion log: ]0, [ R käänteisfunktio. Koska eksponentti ja logaritmi ovat toistensa käänteisfunktioita, niin exp(log x) = x kun x > 0 ja log(exp(x)) = x kaikilla x R. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

121 Neperin luku Määritelmä Lukua e = exp(1) kutsutaan Neperin luvuksi. Lause Kaikilla x Q pätee exp(x) = e x. Neperin luku voidaan esittää myös raja-arvona ( e = lim ) n. n n Luku e on irrationaaliluku, jonka likiarvo on Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

122 Yleiset potenssit Määritelmä Olkoon a > 0 ja x R. Määritellään a x = exp(x log(a)). Huomautus Aiemmin määritellyt rationaalilukupotenssit yhtyvät edelliseen määritelmään. Esimerkiksi = exp(3 log(2)). (Todistus vaatii seuraavaa logaritmifunktion ominaisuutta, kohta 2.) Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

123 Eksponentti- ja logaritmifunktioiden ominaisuuksia Lause 1 log 1 = 0 2 log(xy) = log(x) + log(y) kaikilla x, y > 0 3 log(x y ) = y log x kaikilla x > 0, y R 4 Funktio log x on aidosti kasvava. Lause 1 exp(0) = 1 2 exp(x + y) = exp(x) exp(y) kaikilla x, y R 3 exp(xy) = exp(x) y kaikilla x, y R 4 exp(x) > 0 kaikilla x R 5 Funktio exp(x) on aidosti kasvava. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

124 Eksponentti- ja logaritmifunktioiden kuvaajat exp(x) log x Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

125 Esimerkki Ratkaise epäyhtälö e x 2 +1 > e 2x. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

126 Derivaatan määritelmä Olkoon f funktio joka on määritelty (ainakin) välillä ]x 0 r, x 0 + r[ jollain r > 0. Määritelmä Funktio f on derivoituva pisteessä x 0 jos raja-arvo f (x 0 ) := lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 on olemassa. Tällöin lukua f (x 0 ) kutsutaan funktion f derivaataksi pisteessä x 0. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

127 Geometrinen tulkinta Erotusosamäärä f (x) f (x 0 ) x x 0 on pisteiden (x 0, f (x 0 )) ja (x, f (x)) kautta kulkevan suoran kulmakerroin. Kun x x 0, niin erotusosamäärän raja-arvona saadaan f :n kuvaajan pisteeseen (x 0, f (x 0 )) piirretyn tangentin kulmakerroin. f (3) f (1) (1, f (1)) 3 1 (3, f (3)) f (x) = 1 x Derivaatta kertoo kuvaajan jyrkkyyden kyseisessä pisteessä. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

128 Fysikaalinen tulkinta Olkoon f kappaleen paikka ajanhetkellä x. Tällöin erotusosamäärä f (x) f (x 0 ) x x 0 on kappaleen keskimääräinen nopeus välillä [x 0, x] (tai [x, x 0 ] jos x 0 > x). Kun x x 0, niin erotusosamäärän raja-arvona saadaan kappaleen nopeus ajanhetkellä x 0. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

129 Funktion derivaattafunktio Määritelmä Funktio f on derivoituva välillä ]a, b[ mikäli se on derivoituva jokaisessa pisteessä x 0 ]a, b[. Tällöin f voidaan ajatella funktioksi ]a, b[ R. Aiempi derivaatan kaava voidaan kirjoittaa toiseen muotoon (asettamalla x 0 = x ja x x 0 = h): f f (x + h) f (x) (x) = lim. h 0 h Tämä on yhtäpitävä kaava derivaatan määritelmän kanssa, mutta tämän kaavan hyöty on siinä, että nyt f on helpompi mieltää kuvaukseksi, jonka muuttuja on x. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

130 Huomautuksia Huomautus Vaihtoehtoisia merkintöjä: Lause f (x 0 ) = (Df )(x 0 ) = df dx (x 0). Jos funktio f on derivoituva pisteessä x 0, niin f on myös jatkuva pisteessä x 0. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

131 Esimerkkejä Esimerkki Laske funktion f (x) = c derivaatta (c vakio). Esimerkki Laske funktion f (x) = cx derivaatta (c vakio). Esimerkki Laske funktion f (x) = x 2 derivaatta. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

132 Esimerkkejä Esimerkki Tutki funktion f (x) = x derivoituvuutta pisteessä 0. Esimerkki Tutki funktion ( 1 ) x sin kun x 0 f (x) = x 0 kun x = 0 derivoituvuutta pisteessä 0. Esimerkki Tutki funktion ( 1 ) x 2 sin kun x 0 f (x) = x 0 kun x = 0 derivoituvuutta pisteessä 0. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

133 Derivaatta origossa? ( x sin 1 x ) ( x 2 sin 1 x ) Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

134 Derivaatan laskusääntöjä Lause Olkoot f ja g funktioita jotka ovat derivoituvia pisteessä x ja c R vakio. Tällöin 1 (f + g) (x) = f (x) + g (x) 2 (cf ) (x) = cf (x) 3 (fg) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) ( f ) (x) f (x)g(x) f (x)g (x) 4 = g g(x) 2. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

135 Alkeisfunktioiden derivaattoja Seuraavaan listaan on kerätty alkeisfunktioiden derivaattoja (x on muuttuja). 1 Dc = 0 kun c R on vakio (eli vakiofunktion derivaatta on 0) 2 Dx = 1 3 Dx n = nx n 1 kun n N 4 D x = 1 2 x 5 Dx r = rx r 1 kun r R (tämä kattaa edelliset säännöt) 6 De x = e x 7 D log x = 1 x 8 Da x = a x log a kun a > 0 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

136 Alkeisfunktioiden derivaattoja 2 9 D sin x = cos x 10 D cos x = sin x 11 D tan x = 1 cos 2 x = 1 + tan2 x 12 D cot x = 1 sin 2 x = 1 cot2 x 13 D arcsin x = 1 1 x 2 14 D arccos x = 1 1 x 2 15 D arctan x = x 2 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

137 Ketjusääntö Lause Olkoon f derivoituva pisteessä x 0 ja g derivoituva pisteessä f (x 0 ). Tällöin (g f )(x) = g(f (x)) on derivoituva pisteessä x 0 ja (g f ) (x 0 ) = g (f (x 0 )) f (x 0 ). Esimerkki Olkoon g(x) = sin x ja f (x) = x 2. Tällöin g f (x) = sin(x 2 ) ja (g f ) (x) = cos(x 2 ) (2x). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

138 Käänteisfunktion derivaatta Lause Olkoon f jatkuvasti derivoituva (eli derivaatta f on jatkuva funktio) ja f (x 0 ) 0. Tällöin funktiolla f on olemassa derivoituva käänteisfunktio f 1 pisteen y 0 = f (x 0 ) ympäristössä ja (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ) = 1 f ( f 1 (y 0 ) ) Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

139 Perustelu käänteisfunktion derivaattakaavalle Seuraava lasku ei todista edellistä lausetta mutta perustelee annetun kaavan. Jos f 1 on funktion f käänteisfunktio niin f 1( f (x) ) = x. Derivoimalla tämä yhtälö käyttäen ketjusääntöä saadaan (f 1 ) ( f (x) ) f (x) = 1. Kun x = x 0 ja merkitään y 0 = f (x 0 ) saadaan edellisestä yhtälöstä ratkaistua (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ). Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

140 Arkustangentin derivaatta Esimerkki Olkoon f (x) = tan x jolloin f 1 (y) = arctan y. Kaavan mukaan D arctan y = kun y = f (x) = tan x. Täten 1 D tan x = tan 2 x, D arctan y = y 2. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

141 Integraalifunktion ja määrätyn integraalin yhteys 1 Lause (Analyysin peruslause, versio 1) Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio. Funktion f kertymäfunktio on F (x) = x a f (t) dt, x [a, b]. Tällöin funktio F on jatkuva ja F (x) = f (x) kaikilla x ]a, b[. a F (x) f (x) x x + h F (x + h) F (x) = oranssi ala f (x)h (f jatkuva) F (x + h) F (x) = f (x) h = F (x) = f (x) Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

142 Logaritmifunktion derivaatta Aiemmin määriteltiin logaritmifunktio kaavalla log(x) = x 1 1 dt, x > 0. t Tästä seuraa Analyysin peruslauseen nojalla, että log on derivoituva ja sen derivaatta on D log x = 1 x, x > 0. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

143 Eksponenttifunktion derivaatta Eksponenttifunktion derivaatta voidaan laskea käänteisfunktion derivaattakaavan avulla, koska logaritmifunktion derivaatta tunnetaan. Olkoon f (x) = log x jolloin f 1 (x) = exp(x). Käänteisfunktion derivaatta saadaan kaavalla (f 1 ) 1 (x) = f (f 1 (x)). Nyt f (x) = x 1, joten eksponenttifunktion derivaatta on D exp(x) = 1 = exp(x). exp(x) 1 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

144 Dierentiaalilaskennan väliarvolause Lause (Väliarvolause) Olkoon f jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva välillä ]a, b[. Tällöin on olemassa sellainen c ]a, b[, että f (b) f (a) = f (c)(b a). Tulkinta: Tarkasteluvälillä hetkellinen nopeus on jollain hetkellä sama kuin keskimääräinen nopeus. a c b Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

145 Seuraus Jos f (x) = 0 jollain välillä, niin f on vakiofunktio kyseisellä välillä. Seuraus Jos jollain välillä f (x) = g (x) jokaisessa pisteessä x, niin on olemassa sellainen vakio C, että f (x) = g(x) + C jokaisessa välin pisteessä x. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

146 Integraalifunktio eli anti-derivaatta Määritelmä Funktio F on funktion f integraalifunktio mikäli F (x) = f (x) kaikilla x. Tehtävä: mitkä seuraavista funktioista ovat funktion f (x) = x 3 integraalifunktioita? 1 F (x) = x F (x) = x F (x) = x 4 4 F (x) = x C missä C on vakio Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

147 Määräämätön integraali Funktion f (x) integraalifunktiota merkitään f (x) dx tai lyhemmin f. Jos F 1 ja F 2 ovat funktion f integraalifunktioita, niin F 1(x) = f (x) = F 2(x) kaikilla x M f. Mikäli funktion f määrittelyalue on väli, niin dierentiaalilaskennan väliarvolauseen seurauksen nojalla F 1 (x) = F 2 (x) + C. Siis funktiot F 1 ja F 2 ovat vakiotermiä C lukuunottamatta samat. Usein kirjoitetaan esimerkiksi x 3 dx = x C, mikä korostaa sitä, että funktion f (x) = x 3 (x R) kaikki integraalifunktiot ovat muotoa F (x) = x 4 + C missä C on mikä tahansa 4 reaaliluku. Kun määrittelyalue on väli, niin riittää keksiä yksi integraalifunktio ja muut saadaan lisäämällä tähän vakio. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

148 Esimerkki Esimerkki Laske sin x dx. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

149 Integraaleja Derivoimissäännöistä saadaan integroimissääntöjä. Seuraavat kaavat pätevät väleillä, joilla funtiot ovat hyvin määriteltyjä. 1 x r dx = x r+1 r C kun r R, r 1 2 e x dx = e x + C dx = log x + C x sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C 1 dx = arcsin x + C 1 x 2 1 dx = arctan x + C 1 + x 2 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

150 Integraalifunktion ja määrätyn integraalin yhteys 2 Lause (Analyysin peruslause, versio 2) Olkoot f, F : [a, b] R sellaisia jatkuvia funktioita, että f (x) = F (x) kaikilla x ]a, b[. Tällöin b a f (x) dx = F (b) F (a). Jos siis F on funktion f jokin integraalifunktio, niin määrätty integraali voidaan laskea sijoituksella funktioon F : b a f = / b a F. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

151 Esimerkki Esimerkki Laske 5π/6 sin x 1 2 dx. π/6 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

152 Integraalin lineaarisuus Derivaatan ominaisuuksista (f + g) = f + g ja (cf ) = cf seuraa, että (f ) (x) + g(x) dx = f (x) dx + g(x) dx ja cf (x) dx = c f (x) dx. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

153 Sisäfunktion huomiointi Ketjusäännön nojalla (f g) (x) = f ( g(x) ) g (x), joten f ( g(x) ) g (x) dx = (f g)(x) + C. Huomaa että esimerkiksi integraalin e x 2 dx laskeminen ei onnistu, koska sisäfunktion x 2 derivaattaa puuttuu. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

154 Esimerkkejä Esimerkki Integroi xe x 2 dx. Esimerkki Integroi x x dx. Esimerkki Integroi sin x cos x dx. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

155 Lisäkalvo: Funktiolla e x 2 on kuitenkin integraalifunktio... Määritellään funktio F : R R asettamalla F (x) = x 0 e t2 dt, x R. Analyysin peruslauseen nojalla F on derivoituva ja F (x) = e x 2. Siis funktiolla e x 2 on olemassa integraalifunktio F, vaikka emme osaakaan esittää sitä alkeisfunktioiden avulla. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

156 Trigonometrisia integraaleja Trigonometriset kaavat ovat hyödyllisiä integraaleja laskettaessa. Erityisesti cos 2x = cos 2 x sin 2 x = 2 cos 2 x 1 = 1 2 sin 2 x. Esimerkki Laske sin 2 x dx. Esimerkki Laske sin 2 x cos 2 x dx. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

157 Funktion kulun tutkiminen derivaatan avulla Lause Jos f (x) > 0 jollain välillä, niin f on aidosti kasvava kyseisellä välillä. Jos taas f (x) < 0 jollain välillä, niin f on aidosti vähenevä kyseisellä välillä. h > 0 f (x + h) f (x) f (x + h) f (x) > 0 x x + h f f (x + h) f (x) (x) = lim > 0 h 0+ h Vasemmanpuoleinen raja-arvo vastaavasti. Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

158 Esimerkki Esimerkki Funktion f (x) = x 3 3 x 2 1 f (x) = x 2 2x derivaatta on f (x) = x 2 2x = x(x 2). Huomaa, että f (x) = 0 kun x {0, 2}, f (x) < 0 kun 0 < x < 2 ja muulloin f (x) > 0. f (x) = x 3 3 x 2 1 Pekka Salmi FUNK 17. lokakuuta / 205

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Funktiot ja raja-arvo P, 5op

Funktiot ja raja-arvo P, 5op Funktiot ja raja-arvo 800119P, 5op Pekka Salmi 15. syyskuuta 2017 Pekka Salmi FUNK 15. syyskuuta 2017 1 / 122 Yleistä Luennot: ke 810, to 1214 (ensi viikosta lähtien) Luennoitsija: Pekka Salmi, MA327 Laskupäivä:

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

Äärettömät raja-arvot

Äärettömät raja-arvot Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen

Lisätiedot

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Funktiot ja raja-arvo. Pekka Salmi

Funktiot ja raja-arvo. Pekka Salmi Funktiot ja raja-arvo Pekka Salmi Versio 0.3 13. lokakuuta 2017 Johdanto Tämä moniste on keskeneräinen... 1 1 Reaaliluvut 1.1 Lukujoukot Lukujoukoista käytettään seuraavia merkintöjä: N = {0, 1, 2, 3,...}

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Sini- ja kosinifunktio

Sini- ja kosinifunktio Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut 0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Reaaliluvuista. Yleistä funktio-oppia. Trigonometriset funktiot. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliluvuista. Yleistä funktio-oppia. Trigonometriset funktiot. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. LaMa 1U syksyllä 2011 Toisen viikon luennot Reaaliluvuista. Yleistä funktio-oppia. Trigonometriset funktiot. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu paljolti lukion oppikirjoihin ja Trench in verkkokirjaan,

Lisätiedot

Fysiikan matematiikka P

Fysiikan matematiikka P Fysiikan matematiikka 763101P Luennoija: Kari Rummukainen, Fysikaalisten tieteiden laitos Tavoite: tarjota opiskelijalle nopeasti fysikaalisten tieteiden tarvitsemia matematiikan perustietoja ja taitoja.

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Sisältö. Funktiot 12. syyskuuta 2005 sivu 1 / 25

Sisältö. Funktiot 12. syyskuuta 2005 sivu 1 / 25 Funktiot 12. syyskuuta 2005 sivu 1 / 25 Sisältö 1 Funktiot 2 1.1 Määritelmä ja peruskäsitteitä 2 1.2 Bijektiivisyys 3 1.3 Käänteisfunktio f 1 4 1.4 Funktioiden monotonisuus 5 1.5 Funktioiden laskutoimitukset

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x 2. 2 kun x on parillinen,

Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x 2. 2 kun x on parillinen, Funktiotehtävät, 10. syyskuuta 005, sivu 1 / 4 Perustehtävät Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x. kun x on parillinen, f : N {0, 1, }, f(x) = 1 kun x on alkuluku,

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 26. lokakuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 26. lokakuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 26. lokakuuta 2004 34 Sisältö 3 Reaauuttujan funktiot 35 3.1 Peruskäsitteitä................................. 35 3.2 Raja-arvon määritelmä............................. 43 3.3 Raja-arvon

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

4 Integrointimenetelmiä

4 Integrointimenetelmiä 4 Integrointimenetelmiä 4. Määräämätön integraali Määritelmä 4.. Olkoon funktio f jatkuva välillä I. Tällöin funktion f integraalifunktioiden (välillä I) joukkoa sanotaan funktion f määräämättömäksi integraaliksi

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Funktion raja-arvo. lukumäärien tutkiminen. tutkiminen

Funktion raja-arvo. lukumäärien tutkiminen. tutkiminen Matematiikka algebra geometria Funktion raja-arvo analyysi tarve lukumäärien tutkiminen kuvioiden ja kappaleiden tutkiminen muutosten tutkiminen DERIVAATTA, MAA6 Yhtä vanhoja kuin ihmiskuntakin ~6 000

Lisätiedot

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista. JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

Joukot. Georg Cantor ( )

Joukot. Georg Cantor ( ) Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Sivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi

Sivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi Sivu 1 / 8 A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste Olli Kauppi Monisteen ensimmäinen luku käsittelee derivointia hieman yleisemmästä näkökulmasta. Monisteen lopussa on kurssilla

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 2. luento 10.11.2017 Keinotekoiset neuroverkot Neuroverkko koostuu syöte- ja ulostulokerroksesta

Lisätiedot