Symmetriaryhmät ja niiden esitykset. Symmetriaryhmät, /26

Transkriptio

1 Symmetriaryhmät ja niiden esitykset Symmetriaryhmät, /26

2 Osa I: Symmetriaryhmät Symmetriaryhmät, /26

3 Peilisymmetria Symmetriaryhmät, /26

4 Kiertosymmetria Symmetriaryhmät, /26

5 Symmetriamuunnos eli -kuvaus C C' A A' B B' Symmetriaryhmät, /26

6 Symmetriamuunnos eli -kuvaus A 5 = A Symmetriaryhmät, /26

7 Peili- ja kiertosymmetrioita peilisymmetrian ns. kertaluku on 2 (aina) kiertosymmetrian kertaluku on 8 (tässä) Symmetriaryhmät, /26

8 Äärettömiä symmetrioita: siirtosymmetria Symmetriaryhmät, /26

9 Äärettömiä symmetrioita: laatoitus Symmetriaryhmät, /26

10 Äärettömiä symmetrioita: ympyrä, lieriö, pallo, jne. Symmetriaryhmät, /26

11 Symmetrioiden matematiikka Symmetrioilla voi laskea, kuin luvuilla. Kaksi symmetriamuunnosta peräkkäin tehtynä tuottaa kolmannen. Symmetriat muodostavat suljetun systeemin, ns. ryhmän. Symmetriaryhmät, /26

12 Neliön symmetriat ρ 1 ρ 2 ρ σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 Esimerkiksi (ρ 1 + σ 1 = σ 4 ) ρ 1 σ 1 = σ 4 Symmetriaryhmät, /26

13 Neliön symmetriaryhmän (D 4 ) kertotaulu 1 ρ 1 ρ 2 ρ 3 σ 1 σ 2 σ 3 σ ρ 1 ρ 2 ρ 3 σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 ρ 1 ρ 1 ρ 2 ρ 3 1 σ 4 σ 1 σ 2 σ 3 ρ 2 ρ 2 ρ 3 1 ρ 1 σ 3 σ 4 σ 1 σ 2 ρ 3 ρ 3 1 ρ 1 ρ 2 σ 2 σ 3 σ 4 σ 1 σ 1 σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 1 ρ 1 ρ 2 ρ 3 σ 2 σ 2 σ 3 σ 4 σ 1 ρ 3 1 ρ 1 ρ 2 σ 3 σ 3 σ 4 σ 1 σ 2 ρ 2 ρ 3 1 ρ 1 σ 4 σ 4 σ 1 σ 2 σ 3 ρ 1 ρ 2 ρ 3 1 Esimerkiksi σ 1 ρ 1 = σ 2, mutta ρ 1 σ 1 = σ 4! Kuitenkin 1 σ 1 = σ 1, jne. Symmetriaryhmät, /26

14 Konkreettisesta abstraktiin Kolmen kortin sekoitukset (S 3 ): Kolmion symmetriat (D 3 ): Sama kertotaulu eli matemaattisesti sama ryhmä Symmetriaryhmät, /26

15 Sovellus: Yhtälöiden symmetriat Toisen asteen yhtälö: ax 2 + bx + c = 0 Ratkaisukaava: x = b ± b 2 4ac 2a ± on merkki siitä, että yhtälöllä on (peili)symmetria. 3. asteen yhtälön symmetriat ovat korkeintaan yhtä monimutkaisia kuin kolmiolla, ratkaisukaava olemassa 4. asteen yhtälön symmetriat voivat olla monimutkaisempia kuin neliöllä, silti ratkaisukaava olemassa Symmetriaryhmät, /26

16 Sovellus: Yhtälöiden symmetriat Vasta 5. asteen yhtälön symmetriat voivat olla niin monimutkaisia, ettei sille ole olemassa ratkaisukaavaa (Abel, Galois, ) Symmetriaryhmät, /26

17 Muita sovelluksia kiteiden symmetriat kemiassa/fysiikassa molekyylien symmetriat aaltofunktion vaihesymmetria kvanttimekaniikassa ym., ym. Symmetriaryhmät, /26

18 Ryhmien lineaariesitykset Abstrakti ryhmä D 4 : {ρ 4 = 1, σ 2 = 1, σρ = ρ 3 σ} vs. Konkreettiset liikkeet tasossa: ρ 1 ρ 2 ρ σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 Symmetriaryhmät, /26

19 Abstraktista konkreettiseen S 2 (kahden kortin sekoitukset): S 3 (kolmen kortin sekoitukset): S 4 (neljän kortin sekoitukset): A 5 (puolet viiden kortin sekoituksista): esityksiä myös korkeammissa ulottuvuuksissa, esim. 5:n kortin sekoitusten pienin (täysin kuvaava) esitys on 4-ulotteinen Symmetriaryhmät, /26

20 Ryhmä lukuina Kaikki n-ulotteisen avaruuden kierrot, peilaukset jne. voidaan esittää lukutaulukoina eli matriiseina. Ryhmän esitys tekee siis abstraktista konkreettista myös laskuissa. Abstrakti ryhmä D 4 (ρ 4 = 1, ρσ = σρ 3 jne.) 2-ulotteinen esitys neliön symmetrioina matriisit: [ ] [ ] [ ] [ ] ,,,, [ ] [ ] [ ] [ ] ,,, Symmetriaryhmät, /26

21 Osa II: Väitöstutkimus Symmetriaryhmät, /26

22 Esityskasvu Kuinka monta erilaista esitystä on n-ulotteisessa avaruudessa? Voidaan tarkastella yhden tai useamman ryhmän esityksiä. Määrä keskimäärin kasvaa ulottuvuuden kasvaessa. Etsitään kasvun tyyppiä tai ylärajaa. Symmetriaryhmät, /26

23 Esityskasvu Ryhmän A 13 (puolet 13-korttisen pakan sekoituksista) esityksiä ulottuvuuteen 4000 asti: Symmetriaryhmät, /26

24 Ohjaajani tutkimus Äärelliset yksinkertaiset ryhmät (1980-luvun alusta): (a) Sykliset ryhmät C p (jaottomat kiertosymmetriat tasossa) (b) Alternoivat ryhmät A m (puolet korttipakan sekoituksista) (c) Lie-tyypin ryhmät (matriisi- eli lukutaulukkoryhmiä) (d) Sporadiset ryhmät (mitä jää yli, 26 kpl) Esimerkki (Liebeck ja Shalev, 2003): Lie-tyypin SL 2 ryhmille pätee, että on olemassa sellainen vakio c, että n-ulotteisessa olevien esitysten lukumäärä on korkeintaan c n Oma tulokseni tähän liittyen: voidaan valita c = 2,7. Symmetriaryhmät, /26

25 Esimerkki: sekoitusryhmät S m Jos kortteja on esim. 15 kpl, tarkastellaan 15 laatikon porrasmaisia pinoja: Jokainen pino vastaa yhtä esitystä. jne. Lasketaan, monellako tavalla luvut 115 voidaan sijoittaa laatikoihin niin, että jokaisen luvun alla ja oikealla puolella on aina suurempi luku Tapojen lukumäärä on kyseistä pinoa vastaavan esityksen avaruuden ulottuvuusluku. Symmetriaryhmät, /26

26 Esimerkki: sekoitusryhmät S m Kaikkien sekoitusryhmien esitykset voidaan koota taulukkoon. ulottuvuus S S S S S S Arvioimalla laatikkopinojen erilaisia muotoja ja niihin sijoitettavien lukujen järjestystä voidaan arvioida taulukon sisältöä. Vastaus kysymykseen kuinka monta esitystä on ulottuvuudessa n on sarakkeen n kaikkien lukujen summa.. Symmetriaryhmät, /26