Savitauluista tietokoneisiin - klassista ja modernia algebraa
|
|
|
- Ismo Järvinen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Savitauluista tietokoneisiin - klassista ja modernia algebraa Markku Niemenmaa Matemaattisten tieteiden laitos Lokakuun 17., 2012 Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
2 Sana algebra tulee luvulla eläneen matemaatikon Muhammad ibn Musa al-khwarizmin teoksesta: Al - Kitab al mukhtasar fi hisab al - jabr wa - l - muqabala Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
3 Sana algebra tulee luvulla eläneen matemaatikon Muhammad ibn Musa al-khwarizmin teoksesta: Al - Kitab al mukhtasar fi hisab al - jabr wa - l - muqabala luvulla Robert of Chester käänsi kirjan latinaksi: Liber algebrae et almucabala Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
4 Sana algebra tulee luvulla eläneen matemaatikon Muhammad ibn Musa al-khwarizmin teoksesta: Al - Kitab al mukhtasar fi hisab al - jabr wa - l - muqabala luvulla Robert of Chester käänsi kirjan latinaksi: Liber algebrae et almucabala Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
5 Klassinen algebra: tarkastelee yhtälöiden ratkaisemista ja siihen liittyviä menetelmiä Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
6 Klassinen algebra: tarkastelee yhtälöiden ratkaisemista ja siihen liittyviä menetelmiä Moderni algebra: tarkastelee algebrallisia rakenteita, jotka selittävät, miksi joillakin yhtälöillä ei ole ratkaisuja. Algebrallisia rakenteita käytetään myös koodausteoriassa, salausmenetelmissä eli kryptografiassa ja tarkistusmerkkijärjestelmissä. Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
7 Klassinen algebra: tarkastelee yhtälöiden ratkaisemista ja siihen liittyviä menetelmiä Moderni algebra: tarkastelee algebrallisia rakenteita, jotka selittävät, miksi joillakin yhtälöillä ei ole ratkaisuja. Algebrallisia rakenteita käytetään myös koodausteoriassa, salausmenetelmissä eli kryptografiassa ja tarkistusmerkkijärjestelmissä. Historiallisesti raja klassisen ja modernin algebran välillä kulkee luvun alkupuolella Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
8 Klassinen algebra: tarkastelee yhtälöiden ratkaisemista ja siihen liittyviä menetelmiä Moderni algebra: tarkastelee algebrallisia rakenteita, jotka selittävät, miksi joillakin yhtälöillä ei ole ratkaisuja. Algebrallisia rakenteita käytetään myös koodausteoriassa, salausmenetelmissä eli kryptografiassa ja tarkistusmerkkijärjestelmissä. Historiallisesti raja klassisen ja modernin algebran välillä kulkee luvun alkupuolella Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
9 Toisen asteen yhtälö: x 2 + bx + c = 0 Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
10 Toisen asteen yhtälö: x 2 + bx + c = 0 Ratkaisu: x = 1 2 ( b ± b 2 4c) Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
11 Toisen asteen yhtälö: x 2 + bx + c = 0 Ratkaisu: x = 1 2 ( b ± b 2 4c) Babylonialainen (Kaksoisvirranmaan, Mesopotamian) matematiikka tunsi ratkaisumenetelmän tiettyihin lukuihin liittyvänä toimintaohjeena n eaa. eli 4000 vuotta sitten! Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
12 Toisen asteen yhtälö: x 2 + bx + c = 0 Ratkaisu: x = 1 2 ( b ± b 2 4c) Babylonialainen (Kaksoisvirranmaan, Mesopotamian) matematiikka tunsi ratkaisumenetelmän tiettyihin lukuihin liittyvänä toimintaohjeena n eaa. eli 4000 vuotta sitten! Tuolta ajalta on säilynyt noin 300 matematiikkaa käsittelevää savitaulua ja osa niistä liittyy em. ratkaisumenetelmään. Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
13 Toisen asteen yhtälö: x 2 + bx + c = 0 Ratkaisu: x = 1 2 ( b ± b 2 4c) Babylonialainen (Kaksoisvirranmaan, Mesopotamian) matematiikka tunsi ratkaisumenetelmän tiettyihin lukuihin liittyvänä toimintaohjeena n eaa. eli 4000 vuotta sitten! Tuolta ajalta on säilynyt noin 300 matematiikkaa käsittelevää savitaulua ja osa niistä liittyy em. ratkaisumenetelmään. Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
14 Otto Neugebauer ( ) julkaisi saksankielisiä käännöksiä savitaulujen teksteistä, jotka käsittelivät matemaattisia ongelmia, niiden ratkaisuja sekä laskutaulukkoja. Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
15 Otto Neugebauer ( ) julkaisi saksankielisiä käännöksiä savitaulujen teksteistä, jotka käsittelivät matemaattisia ongelmia, niiden ratkaisuja sekä laskutaulukkoja. Savitauluissa on nuolenpääkirjoitusta, joka on laadittu akkadin kielellä. Neugebauer opetteli kyseisen kielen ja julkaisi vuonna 1935 kaksiosaisen kirjan savitaulujen teksteistä. Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
16 Otto Neugebauer ( ) julkaisi saksankielisiä käännöksiä savitaulujen teksteistä, jotka käsittelivät matemaattisia ongelmia, niiden ratkaisuja sekä laskutaulukkoja. Savitauluissa on nuolenpääkirjoitusta, joka on laadittu akkadin kielellä. Neugebauer opetteli kyseisen kielen ja julkaisi vuonna 1935 kaksiosaisen kirjan savitaulujen teksteistä. Exhibition: The Culture of Old Babylonian Mathematics (New York University, Nov Jan. 2011). Edelleen netissä! Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
17 Kolmannen asteen yhtälön x 3 + qx + r = 0 ratkaisun keksi ensimmäisenä Niccolo Fontana (lempinimeltään Tartaglia eli änkyttäjä ) vuonna Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
18 Kolmannen asteen yhtälön x 3 + qx + r = 0 ratkaisun keksi ensimmäisenä Niccolo Fontana (lempinimeltään Tartaglia eli änkyttäjä ) vuonna Vuonna 1545 Girolamo Cardano julkaisi ratkaisumenetelmän kirjassaan Ars magna, sive de regulis algebraicis. Samana vuonna Cardanon oppilas Ludovico Ferrari keksi 4. asteen yhtälön ratkaisun. Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
19 Kolmannen asteen yhtälön x 3 + qx + r = 0 ratkaisun keksi ensimmäisenä Niccolo Fontana (lempinimeltään Tartaglia eli änkyttäjä ) vuonna Vuonna 1545 Girolamo Cardano julkaisi ratkaisumenetelmän kirjassaan Ars magna, sive de regulis algebraicis. Samana vuonna Cardanon oppilas Ludovico Ferrari keksi 4. asteen yhtälön ratkaisun. Cardanon kaava: 3 r/2 + r 2 /4 + q 3 /27 + r/2 3 r 2 /4 + q 3 /27 Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
20 Kolmannen asteen yhtälön x 3 + qx + r = 0 ratkaisun keksi ensimmäisenä Niccolo Fontana (lempinimeltään Tartaglia eli änkyttäjä ) vuonna Vuonna 1545 Girolamo Cardano julkaisi ratkaisumenetelmän kirjassaan Ars magna, sive de regulis algebraicis. Samana vuonna Cardanon oppilas Ludovico Ferrari keksi 4. asteen yhtälön ratkaisun. Cardanon kaava: 3 r/2 + r 2 /4 + q 3 /27 + r/2 3 r 2 /4 + q 3 /27 Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
21 Tartaglia paljastaa ratkaisunsa Cardanolle runomuodossa: Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
22 Tartaglia paljastaa ratkaisunsa Cardanolle runomuodossa: Quando che l cubo con le cose appresso, Se agguaglia a qualche numero discreto (x 3 + cx = d) Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
23 Tartaglia paljastaa ratkaisunsa Cardanolle runomuodossa: Quando che l cubo con le cose appresso, Se agguaglia a qualche numero discreto (x 3 + cx = d) Trovati dui altre differenti in esso (hae sellaiset luvut u ja v, että u v = d) Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
24 Tartaglia paljastaa ratkaisunsa Cardanolle runomuodossa: Quando che l cubo con le cose appresso, Se agguaglia a qualche numero discreto (x 3 + cx = d) Trovati dui altre differenti in esso (hae sellaiset luvut u ja v, että u v = d) Dapoi terrai, questo per consueto, Che l loro produtto, sempre sia eguale al terzo cubo delle cose netto (uv = (c/3) 3 ) Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
25 Tartaglia paljastaa ratkaisunsa Cardanolle runomuodossa: Quando che l cubo con le cose appresso, Se agguaglia a qualche numero discreto (x 3 + cx = d) Trovati dui altre differenti in esso (hae sellaiset luvut u ja v, että u v = d) Dapoi terrai, questo per consueto, Che l loro produtto, sempre sia eguale al terzo cubo delle cose netto (uv = (c/3) 3 ) El residuo poi sua generale, delle lor latti cubi, ben sottratti, varra la tua cosa principale (x = 3 u 3 v) Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
26 Tartaglia paljastaa ratkaisunsa Cardanolle runomuodossa: Quando che l cubo con le cose appresso, Se agguaglia a qualche numero discreto (x 3 + cx = d) Trovati dui altre differenti in esso (hae sellaiset luvut u ja v, että u v = d) Dapoi terrai, questo per consueto, Che l loro produtto, sempre sia eguale al terzo cubo delle cose netto (uv = (c/3) 3 ) El residuo poi sua generale, delle lor latti cubi, ben sottratti, varra la tua cosa principale (x = 3 u 3 v) Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
27 Millainen olisi sitten 5. asteen yhtälön yleinen ratkaisukaava? Tätä mietittiin Cardanon ja Ferrarin jälkeen n. 250 vuotta! Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
28 Millainen olisi sitten 5. asteen yhtälön yleinen ratkaisukaava? Tätä mietittiin Cardanon ja Ferrarin jälkeen n. 250 vuotta! Ensimmäisenä väitteen, että 5. asteen yhtälöllä ei ole yleistä ratkaisukaavaa, esitti Paolo Ruffini Niels Henrik Abel perusteli yo. väitettä permutaatioiden avulle vuonna Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
29 Millainen olisi sitten 5. asteen yhtälön yleinen ratkaisukaava? Tätä mietittiin Cardanon ja Ferrarin jälkeen n. 250 vuotta! Ensimmäisenä väitteen, että 5. asteen yhtälöllä ei ole yleistä ratkaisukaavaa, esitti Paolo Ruffini Niels Henrik Abel perusteli yo. väitettä permutaatioiden avulle vuonna Lopulta vuonna 1831 Evariste Galois ( ) osoitti, että yhtälön ratkaisukaavan olemassaoloon liittyy permutaatioiden muodostama algebrallinen rakenne, le groupe (group, Gruppe, ryhmä). Jos ratkaisukaava on olemassa, niin ryhmää sanotaan ratkeavaksi (solvable group). Ryhmä on modernin (abstraktin) algebran peruskäsitteitä. Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
30 Millainen olisi sitten 5. asteen yhtälön yleinen ratkaisukaava? Tätä mietittiin Cardanon ja Ferrarin jälkeen n. 250 vuotta! Ensimmäisenä väitteen, että 5. asteen yhtälöllä ei ole yleistä ratkaisukaavaa, esitti Paolo Ruffini Niels Henrik Abel perusteli yo. väitettä permutaatioiden avulle vuonna Lopulta vuonna 1831 Evariste Galois ( ) osoitti, että yhtälön ratkaisukaavan olemassaoloon liittyy permutaatioiden muodostama algebrallinen rakenne, le groupe (group, Gruppe, ryhmä). Jos ratkaisukaava on olemassa, niin ryhmää sanotaan ratkeavaksi (solvable group). Ryhmä on modernin (abstraktin) algebran peruskäsitteitä. Galois n tutkimukset julkaistaan vasta 1846 lehdessä Journal de Mathematiques Pures et Appliquees. Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
31 Millainen olisi sitten 5. asteen yhtälön yleinen ratkaisukaava? Tätä mietittiin Cardanon ja Ferrarin jälkeen n. 250 vuotta! Ensimmäisenä väitteen, että 5. asteen yhtälöllä ei ole yleistä ratkaisukaavaa, esitti Paolo Ruffini Niels Henrik Abel perusteli yo. väitettä permutaatioiden avulle vuonna Lopulta vuonna 1831 Evariste Galois ( ) osoitti, että yhtälön ratkaisukaavan olemassaoloon liittyy permutaatioiden muodostama algebrallinen rakenne, le groupe (group, Gruppe, ryhmä). Jos ratkaisukaava on olemassa, niin ryhmää sanotaan ratkeavaksi (solvable group). Ryhmä on modernin (abstraktin) algebran peruskäsitteitä. Galois n tutkimukset julkaistaan vasta 1846 lehdessä Journal de Mathematiques Pures et Appliquees. Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
32 Mitä sitten ovat nuo Galois n ryhmät? Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
33 Mitä sitten ovat nuo Galois n ryhmät? Galois n ryhmät koostuvat permutaatioista. Alkiot 1, 2 ja 3 voidaan permutoida kuudella eri tavalla: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
34 Mitä sitten ovat nuo Galois n ryhmät? Galois n ryhmät koostuvat permutaatioista. Alkiot 1, 2 ja 3 voidaan permutoida kuudella eri tavalla: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Viidennen asteen yhtälöön x 5 4x + 2 = 0 liittyy permutaatioryhmä, jonka alkioiden lukumäärä on 120. Tämä ryhmä on rakenteeltaan senverran hankala, että yhtälöllä ei ole klassista ratkaisukaavaa. Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
35 Mitä sitten ovat nuo Galois n ryhmät? Galois n ryhmät koostuvat permutaatioista. Alkiot 1, 2 ja 3 voidaan permutoida kuudella eri tavalla: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Viidennen asteen yhtälöön x 5 4x + 2 = 0 liittyy permutaatioryhmä, jonka alkioiden lukumäärä on 120. Tämä ryhmä on rakenteeltaan senverran hankala, että yhtälöllä ei ole klassista ratkaisukaavaa. Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
36 luvun lopulla ja luvulla ryhmäteoriasta muodostuu oma itsenäinen algebrallinen teoria ja ryhmien rakenteellisia ominaisuuksia aletaan tutkia. Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
37 luvun lopulla ja luvulla ryhmäteoriasta muodostuu oma itsenäinen algebrallinen teoria ja ryhmien rakenteellisia ominaisuuksia aletaan tutkia. Kysymys 1): Millaiset kertaluvut (siis ryhmän alkioiden lukumäärät) liittyvät ratkeaviin ryhmiin? Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
38 luvun lopulla ja luvulla ryhmäteoriasta muodostuu oma itsenäinen algebrallinen teoria ja ryhmien rakenteellisia ominaisuuksia aletaan tutkia. Kysymys 1): Millaiset kertaluvut (siis ryhmän alkioiden lukumäärät) liittyvät ratkeaviin ryhmiin? Kysymys 2): Äärelliset ryhmät voidaan rakentaa osista, joita kutsutaan yksinkertaisiksi ryhmiksi (simple group). Onko mahdollista antaa rakennekuvaus kaikista yksinkertaisista ryhmistä? Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
39 luvun lopulla ja luvulla ryhmäteoriasta muodostuu oma itsenäinen algebrallinen teoria ja ryhmien rakenteellisia ominaisuuksia aletaan tutkia. Kysymys 1): Millaiset kertaluvut (siis ryhmän alkioiden lukumäärät) liittyvät ratkeaviin ryhmiin? Kysymys 2): Äärelliset ryhmät voidaan rakentaa osista, joita kutsutaan yksinkertaisiksi ryhmiksi (simple group). Onko mahdollista antaa rakennekuvaus kaikista yksinkertaisista ryhmistä? Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
40 Ensimmäiseen kysymykseen antoivat tärkeän vastauksen Walter Feit ja John Thompson vuonna 1963 artikkelissaan: Solubility of groups of odd order, Pacific Journal of Mathematics, 13(1963), Päätulos kertoo, että jokainen paritonta kertalukua oleva ryhmä on ratkeava. Thompson sai vuonna 1970 Fieldsin mitalin. Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
41 Ensimmäiseen kysymykseen antoivat tärkeän vastauksen Walter Feit ja John Thompson vuonna 1963 artikkelissaan: Solubility of groups of odd order, Pacific Journal of Mathematics, 13(1963), Päätulos kertoo, että jokainen paritonta kertalukua oleva ryhmä on ratkeava. Thompson sai vuonna 1970 Fieldsin mitalin. Äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelu saatiin valmiiksi luvun alussa. Luokittelu piti tuolloin sisällään sivua teoriaa (siis satoja artikkeleita) ja satoja tietokoneen avulla konstruoituja rakenteita. Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
42 Ensimmäiseen kysymykseen antoivat tärkeän vastauksen Walter Feit ja John Thompson vuonna 1963 artikkelissaan: Solubility of groups of odd order, Pacific Journal of Mathematics, 13(1963), Päätulos kertoo, että jokainen paritonta kertalukua oleva ryhmä on ratkeava. Thompson sai vuonna 1970 Fieldsin mitalin. Äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelu saatiin valmiiksi luvun alussa. Luokittelu piti tuolloin sisällään sivua teoriaa (siis satoja artikkeleita) ja satoja tietokoneen avulla konstruoituja rakenteita. Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
43 Luokittelulauseen mukaan yksinkertaiset ryhmät muodostuvat kolmesta pääryhmästä (sykliset, alternoivat, Lien tyypin ryhmät) sekä 26:sta erikoistapauksesta (ns. sporadiset ryhmät). Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
44 Luokittelulauseen mukaan yksinkertaiset ryhmät muodostuvat kolmesta pääryhmästä (sykliset, alternoivat, Lien tyypin ryhmät) sekä 26:sta erikoistapauksesta (ns. sporadiset ryhmät). Viimeksimainituista tunnetuin on Fischer - Griessin hirviö (tunnetaan myös nimellä Friendly Giant).Sen kertaluku on: Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
45 Luokittelulauseen mukaan yksinkertaiset ryhmät muodostuvat kolmesta pääryhmästä (sykliset, alternoivat, Lien tyypin ryhmät) sekä 26:sta erikoistapauksesta (ns. sporadiset ryhmät). Viimeksimainituista tunnetuin on Fischer - Griessin hirviö (tunnetaan myös nimellä Friendly Giant).Sen kertaluku on: Luokittelulause on eräs ryhmäteorian merkittävimmistä saavutuksista. Gorenstein, Lyons ja Solomon alkoivat luvulla koota luokitteluun liittyviä tuloksia ja niiden todistuksia yksiin kansiin. Yhdet kannet eivät kyllä riittäneet, sillä tuloksena on 11 - osainen kirjasarja, josta on tähän mennessä ilmestynyt kuusi osaa. Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
46 Luokittelulauseen mukaan yksinkertaiset ryhmät muodostuvat kolmesta pääryhmästä (sykliset, alternoivat, Lien tyypin ryhmät) sekä 26:sta erikoistapauksesta (ns. sporadiset ryhmät). Viimeksimainituista tunnetuin on Fischer - Griessin hirviö (tunnetaan myös nimellä Friendly Giant).Sen kertaluku on: Luokittelulause on eräs ryhmäteorian merkittävimmistä saavutuksista. Gorenstein, Lyons ja Solomon alkoivat luvulla koota luokitteluun liittyviä tuloksia ja niiden todistuksia yksiin kansiin. Yhdet kannet eivät kyllä riittäneet, sillä tuloksena on 11 - osainen kirjasarja, josta on tähän mennessä ilmestynyt kuusi osaa. Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
47 Miten ryhmäteoriaa voidaan sitten käyttää? Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
48 Miten ryhmäteoriaa voidaan sitten käyttää? 1) Ryhmien avulla voidaan tutkia muiden algebrallisten rakenteiden ominaisuuksia. Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
49 Miten ryhmäteoriaa voidaan sitten käyttää? 1) Ryhmien avulla voidaan tutkia muiden algebrallisten rakenteiden ominaisuuksia. 2) Ryhmien avulla voidaan parantaa esim. tarkistusmerkkijärjestelmien laatua. Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
50 Miten ryhmäteoriaa voidaan sitten käyttää? 1) Ryhmien avulla voidaan tutkia muiden algebrallisten rakenteiden ominaisuuksia. 2) Ryhmien avulla voidaan parantaa esim. tarkistusmerkkijärjestelmien laatua. Tarkistusmerkit?? Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
51 Miten ryhmäteoriaa voidaan sitten käyttää? 1) Ryhmien avulla voidaan tutkia muiden algebrallisten rakenteiden ominaisuuksia. 2) Ryhmien avulla voidaan parantaa esim. tarkistusmerkkijärjestelmien laatua. Tarkistusmerkit?? Matkapuhelimet päälle ja näppäilkää: #06# Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
52 Miten ryhmäteoriaa voidaan sitten käyttää? 1) Ryhmien avulla voidaan tutkia muiden algebrallisten rakenteiden ominaisuuksia. 2) Ryhmien avulla voidaan parantaa esim. tarkistusmerkkijärjestelmien laatua. Tarkistusmerkit?? Matkapuhelimet päälle ja näppäilkää: #06# Yanling Chen, Danilo Gligoroski, MN, A.J. Han Vinck: On the properties of a check digit system based on group theory. Accepted presentation, ISIT 2012, Massachusetts Institute of Technology, July Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
53 Algebran tutkimus rakentuu nelituhatvuotisen perinteen pohjalle ja sillä on suuri merkitys sekä matematiikan sisällä perustutkimuksessa että informaatioteknologiaan liittyvissä sovelluksissa. On mielenkiintoista nähdä mihin suuntaan algebra kehittyy! Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
54 Algebran tutkimus rakentuu nelituhatvuotisen perinteen pohjalle ja sillä on suuri merkitys sekä matematiikan sisällä perustutkimuksessa että informaatioteknologiaan liittyvissä sovelluksissa. On mielenkiintoista nähdä mihin suuntaan algebra kehittyy! Markku Niemenmaa (OULUN YLIOPISTO) TIETOMAAN LUENTO Lokakuu / 14
5. Ryhmän kompositiotekijät
5. Ryhmän kompositiotekijät Jos ryhmästä löydetään normaali aliryhmä, sen suhteen voidaan muodostaa tekijäryhmä, jolla saattaa olla yksinkertaisempi rakenne kuin alkuperäisellä ryhmällä. Ryhmä voidaan
Symmetriaryhmät ja niiden esitykset. Symmetriaryhmät, 10.1.2013 1/26
Symmetriaryhmät ja niiden esitykset Symmetriaryhmät, 10.1.2013 1/26 Osa I: Symmetriaryhmät Symmetriaryhmät, 10.1.2013 2/26 Peilisymmetria Symmetriaryhmät, 10.1.2013 3/26 Kiertosymmetria Symmetriaryhmät,
MS-C1080 Algebran perusrakenteet (5 op)
MS-C1080 Algebran perusrakenteet (5 op) Luennot: Camilla Hollanti Harjoitukset: Niko Väisänen, Amaro Barreal etunimi.sukunimi@aalto.fi Kevät 2015 1 / 11 Kurssin sisältö Kurssimateriaali: Metsänkylä Näätänen,
5. Ryhmän kompositiotekijät
5. Ryhmän kompositiotekijät Ratkeavan ryhmän käsite kuuluu historiallisesti ensimmäisiin varsinaisen ryhmäteorian käsitteisiin. Évariste Galois todisti vuonna 1831, että polynomiyhtälöön liittyy aina tietty
Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöistä
Solmu /019 7 Kolmannen neljännen asteen yhtälöistä Esa V. Vesalainen Matematik och statistik, Åbo Akademi Tämän pienen artikkelin tarkoituksena on satuilla hieman algebrallisista yhtälöistä. Erityisesti
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013
Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo
Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030
orms.1030 Vaasan avoin yliopisto / kevät 2013 1 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi
Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030
s16 Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/ mla/ puh. 044 344 2757
Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030
kevät 2014 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/
Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030
orms.1030 Vaasan yliopisto / kevät 2015 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet, Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi
MS-C1080 Algebran perusrakenteet (5 op)
MS-C1080 Algebran perusrakenteet (5 op) Luennot: Camilla Hollanti Harjoitukset: Ferdinand Blomqvist etunimi.sukunimi@aalto.fi Kevät 2017 NB: All the relevant info can be found in English on MyCourses,
6 A 5, alternoiva ryhmä ja muita yksinkertaisia ryhmiä
6 A 5, alternoiva ryhmä ja muita yksinkertaisia ryhmiä Tutustukaamme ensin ryhmään S 5. Jos käytämme syklinotaatiota, toteamme, että se sisältää syklejä, jotka ovat muotoa (12), (123), (1234), (12345),
Viidennen asteen yhtälön ratkaisukaavan olemassaolon mahdottomuus Galois n teorian pohjalta
Viidennen asteen yhtälön ratkaisukaavan olemassaolon mahdottomuus Galois n teorian pohjalta Teppo Lahti Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2014 Tiivistelmä
Rollen lause polynomeille
Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................
Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra
Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra Sarenius Kasvatustieteiden tiedekunta, Oulun yksikkö Mitä on algebra? Algebra on aritmetiikan yleistys. Algebrassa siirrytään operoimaan lukujen sijaan niiden ominaisuuksilla.
Yksinkertaisin (jollain tavalla mielenkiintoinen) yhtälö lienee muotoa. x + a = b,
Kompleksiluvut c Pekka Alestalo 013 Tämä moniste sisältää perusasiat kompleksiluvuista. Tähdellä merkityt kohdat ovat lähinnä oheislukemistoksi tarkoitettua materiaalia. 1 Lukujoukot Uuden tyyppisten lukujen
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
Algebra 2. Syksy Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto
Algebra 2 Syksy 2014 Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Á ÂÓ ÒØÓ Ð Ö Ý ØĐ ÐĐÓØ 1. Koulualgebrasta algebraan Koulun matematiikan opetuksen suurimpia abstraktiohyppäyksiä on
Transversaalit ja hajoamisaliryhmät
Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Graduseminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Motivointi Esimerkki 1 (Ryhmäteorian kurssin harjoitustehtävä). Jos G on ryhmä,
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
Sylowin lauseet äärellisten ryhmien luokittelussa
Sylowin lauseet äärellisten ryhmien luokittelussa Jenna Johansson 21. marraskuuta 2018 Pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2018 Merkintöjä: N Luonnollisten
a b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
a) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
Tarvitseeko informaatioteknologia matematiikkaa?
Tarvitseeko informaatioteknologia matematiikkaa? Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 1 Kyllä kai IT matematiikkaa tarvitsee!? IT ja muu korkea teknologia on nimenomaan matemaattista teknologiaa.
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. I Johdanto
811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016 I Johdanto Sisältö 1. Algoritmeista ja tietorakenteista 2. Algoritmien analyysistä 811312A TRA, Johdanto 2 I.1. Algoritmeista ja tietorakenteista I.1.1. Algoritmien
Johdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja
Koodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5 BCH-, RS- ja Goppa-koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 15 5.1 BCH-koodien määrittely Olkoon jälleen F = F q, syt(n,
Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 4 Tehtävä 5 (L): a) Oletetaan, että λ 0 on kääntyvän matriisin A ominaisarvo. Osoita, että /λ on matriisin A
Koodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain
k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
Modulaarisista laskutaulukoista
Modulaarisista laskutaulukoista Visa Latvala ja Pekka Smolander Matematiikan laitos, Joensuun yliopisto Johdanto Artikkelin tarkoituksena on tutustuttaa lukija modulaariseen yhteen- ja kertolaskuun. Nämä
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori
Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja
Renkaista kuntia ja ryhmäteorian historiaa
Renkaista kuntia ja ryhmäteorian historiaa Pro Gradu Erkki Lohiniva 2124049 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteorian historiaa 3 1.1 Joukko-opin synty.........................
Lisää ryhmästä A 5 1 / 28. Lisää ryhmästä
14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 1 / 28 14A.1 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Tehtävä: Määrää ryhmän karakteritaulu,
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Suvi Pasanen Kvasiryhmistä ja niiden sovelluksista Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2016 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö PASANEN,
Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden
Platonin kappaleet. Avainsanat: geometria, matematiikan historia. Luokkataso: 6-9, lukio. Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia.
Tero Suokas OuLUMA, sivu 1 Platonin kappaleet Avainsanat: geometria, matematiikan historia Luokkataso: 6-9, lukio Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia Tavoitteet: Tehtävässä tutustutaan matematiikan
Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen
Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin
MAT Algebra 1(s)
8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen
Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Johanna Harju Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava Matematiikan tilastotieteen laitos Matematiikka Heinäkuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan tilastotieteen
HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa
Latinalaiset neliöt ja taikaneliöt
Latinalaiset neliöt ja taikaneliöt LuK-tutkielma Aku-Petteri Niemi Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Latinalaiset neliöt 3 1.1 Latinalainen neliö.........................
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia
LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien
TOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28
TOOLS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 2018 TOOLS 1 / 28 Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. TOOLS
Talousmatematiikan perusteet
orms.1030 Vaasan yliopisto / kevät 2011 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet Vaasan yliopisto Vastaanotto to 12-13 huone D211/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uwasa.fi
Symmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin
Symmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin 16. marraskuuta 2006 1 Symmetrisistä ryhmistä... Bijektiivistä kuvausta {1,..., n} {1,..., n} kutsutaan n-permutaatioksi. Merkitään n-permutaatioden joukkoa S n.
Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014
Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tekijä/Författare Author Anna-Mari Pulkkinen Työn
OPS-MUUTOSINFO
1 OPS-MUUTOSINFO 3.9.201 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma MUUTOKSEN TAUSTALLA 2 Oulun yliopiston strategia- ja rakennemuutokset Oulun yliopiston opetussuunnitelmatyön periaatteet o Opintojaksojen
Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä
Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä Pro Gradu-tutkielma Lauri Kangas 2192712 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2015 Sisältö 1 Perusteita 3 1.1 Ryhmät ja aliryhmät.......................
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä
Tekijäryhmät ja homomorsmit
Tekijäryhmät ja homomorsmit LuK-tutkielma Henna Isokääntä 1953004 henna.isokaanta@gmail.com Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto Kevät 2019 Sisältö Johdanto 1 1 Tekijäryhmät 1 2 Homomorsmit 3 Lähdeluettelo
Kolmannen asteen yhtälöä ratkaisemassa
Solmu 1/2000 2001 Kolmannen asteen yhtälöä ratkaisemassa Taustana tarinallemme on tämän kevään lyhyen matematiikan yo-tehtävä, jossa käskettiin osoittamaan, että yhtälöllä f(x) = x 3 4x 2 = 0 on juuri
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
Algebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
Eräitä ratkeavuustarkasteluja
Eräitä ratkeavuustarkasteluja Pro gradu-tutkielma Milla Jantunen 2124227 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö 1 Ryhmät ja aliryhmät 3 1.1 Ryhmä...............................
Yhtälöiden ratkaisemisesta
Yhtälöiden ratkaisemisesta Pro gradu-tutkielma Antti Pekkala 1988723 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaista ja kunnista 3 2 Polynomit renkaassa K[x] 6
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Klassinen todennäköisyys Olkoon S = {s 1,s 2,...,s n } äärellinen otosavaruus. Oletetaan, että Pr(s i ) = 1, kaikille i = 1, 2,...,n n Tällöin alkeistapahtumat
802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä
802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian
MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
Sylowin lauseet äärellisten ryhmien teoriassa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Aleksi Heiskanen Sylowin lauseet äärellisten ryhmien teoriassa Luonnontieteiden tiedekunta Matematiikka Marraskuu 2017 Tampereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunta
LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että
LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,
Koodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.5 Reedin-Mullerin koodit Olkoon tässä kappaleessa F = F2 = Z2 ja n = 2 m. Määritellään avaruuteen F n kertolasku koordinaateittain:
Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016
Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoriaa 4 1.1 Ryhmän määritelmä....................... 4 1.2 Kertaluku.............................
Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta
Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen
jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä
4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko
Hänessä kaikki viisauden ja tiedon aarteet ovat kätkettyinä. Vrt. Paavalin kirje kolossalaisille 2:2-3.
TAMPEREEN YLIOPISTO Matematiikan pro gradu -työ Seppo Janhonen Ryhmäteoriaa Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Kesäkuu 2001 Hänessä kaikki viisauden ja tiedon aarteet ovat kätkettyinä.
805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Johdatus monimuuttujamenetelmiin Luennot 30.10.13.12.-18 Tiistaina klo 12-14 (30.10., BF119-1) Keskiviikkoisin klo 10-12 (MA101,
Rekursiiviset tyypit
Rekursiiviset tyypit TIES542 Ohjelmointikielten periaatteet, kevät 2007 Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 20. helmikuuta 2007 Hiloista Kiintopisteet (Ko)rekursio Rekursiiviset
Koodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.2 BCH-koodin dekoodaus Tarkastellaan t virhettä korjaavaa n-pituista BCH-koodia. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri, c = c(x)
Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.
Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Tommi Kuusisto
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Tommi Kuusisto Äärellisistä kunnista Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian
Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla
3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2
3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2 Olen valinnut kunkin luvun teemaksi yhden ryhmän. Ensimmäisen luvun teema on pienin epätriviaali ryhmä, eli ryhmä, jossa on kaksi alkiota. Merkitsen
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen
b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos
2 1/ /2 ; (a) Todista, että deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (b) Osoita, että jos nolla-polynomille pätisi. deg 0(x) Z, Z 10 ; Z 10 [x];
![2 1/ /2 ; (a) Todista, että deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (b) Osoita, että jos nolla-polynomille pätisi. deg 0(x) Z, Z 10 ; Z 10 [x];](/thumbs/97/131422104.jpg "2 1/ /2 ; (a) Todista, että deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (b) Osoita, että jos nolla-polynomille pätisi. deg 0(x) Z, Z 10 ; Z 10 [x];")
802656S ALGEBRALLISET LUVUT Harjoituksia 2017 1. Näytä, että (a) (b) (c) (d) (e) 2 1/2, 3 1/2, 2 1/3 ; 2 1/2 + 3 1/2 ; 2 1/3 + 3 1/2 ; e iπ/m, m Z \ {0}; sin(π/m), cos(π/m), tan(π/m), m Z \ {0}; ovat algebrallisia
Johdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen
TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta
Oulun yliopisto TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Maisterintutkinnon kypsyysnäyte Laitos: Matemaattisten tieteiden laitos Tekijä (Sukunimi ja etunimet) Isopahkala
15. Laajennosten väliset homomorfismit
15. Laajennosten väliset homomorfismit Rakenteiden väliset homomorfismit auttavat selvittämään rakenteiden suhteita toisiinsa. Rakenteen sisäiset isomorfismit niin sanotut automorfismit auttavat vastaavasti
Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät
Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................
Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014
Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,
800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä
800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio
Resolventtimenetelmästä
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jori Mäntysalo Resolventtimenetelmästä Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö MÄNTYSALO, JORI:
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)
Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse
Analyysi 1, kevät 2010
Analyysi 1, kevät 2010 Peter Hästö 27. tammikuuta 2010 Matemaattisten tieteiden laitos Osaamistavoitteet Kurssin onnistuneen suorittamisen jälkeen opiskelija osaa määritellä alkeistopologian käsitteet