2 k -faktorikokeet. Vilkkumaa / Kuusinen 1
|
|
- Mauno Niemelä
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 1
2 Motivointi 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa, matala (-) ja korkea (+). 2 k -faktorikoetta käytetään usein tutkimuksen alkuvaiheessa, jossa tutkittavia faktoreita on yleensä paljon - 2 k -faktorikoe vaatii pienimmän mahdollisen havaintomäärän k:n tekijän vaikutusten tutkimisessa - Kokeen perusteella voidaan tunnistaa tärkeimmät tekijät, joiden tasojen määrää voidaan lisätä Vilkkumaa / Kuusinen 2
3 2 2 -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 3
4 2 2 -faktorikokeet Oletetaan, että haluamme tutkia, miten kaksi faktoria eli tekijää A ja B, joilla molemmilla on kaksi tasoa: matala (-) ja korkea (+) vaikuttavat vastemuuttujan y keskimääräisiin arvoihin. Kokeen kohteisiin voidaan kohdistaa 2 2 = 4 käsittelykombinaatiota: A B Käsittelykombinaatio Merkintä - - A =matala, B =matala (1) + - A =korkea, B =matala a - + A =matala, B =korkea b + + A =korkea, B =korkea ab Vilkkumaa / Kuusinen 4
5 Havaintoarvojen summat Oletetaan, että jokaista käsittelykombinaatiota on kokeessa toistettu n kertaa, jolloin havaintojen kokonaislukumäärä on 2 2 n = 2 2 n = 4n Merkitään vastemuuttujan y havaittujen arvojen summaa jokaiselle käsittelykombinaatiolle samalla tavalla kuin itse käsittelykombinaatiota: (1) = Havaintoarvojen summa, kun A = ( ), B = ( ) a = Havaintoarvojen summa, kun A = (+), B = ( ) b = Havaintoarvojen summa, kun A = ( ), B = (+) ab = Havaintoarvojen summa, kun A = (+), B = (+) Vilkkumaa / Kuusinen 5
6 Tekijän A päävaikutus Tekijän A vaikutus, kun tekijän B taso on matala (-): + b ab (a (1))/n B Tekijän A vaikutus, kun tekijän B taso on korkea (+): (1) a (ab b)/n A + Tekijän A päävaikutus saadaan edellisten keskiarvona: A = 1 2 [ a (1) n + ab b n ] = 1 [ab + a b (1)] 2n Vilkkumaa / Kuusinen 6
7 Tekijän B päävaikutus Tekijän B vaikutus, kun tekijän A taso on matala (-): + b ab (b (1))/n B Tekijän B vaikutus, kun tekijän A taso on korkea (+): (1) a (ab a)/n A + Tekijän B päävaikutus saadaan edellisten keskiarvona: B = 1 2 [ b (1) n + ab a n ] = 1 [ab + b a (1)] 2n Vilkkumaa / Kuusinen 7
8 Tekijöiden A ja B yhdysvaikutus Tekijöiden A ja B interaktio eli yhdysvaikutus: AB = 1 [ ab b a (1) ] = 1 [ ab a 2 n n 2 n = 1 [ab a b + (1)] 2n b (1) n ] + b ab B (1) a A + Vilkkumaa / Kuusinen 8
9 Neliösummia 1/3 Tekijöiden A ja B päävaikutukset ja yhdysvaikutus ovat käsittelykombinaatioiden (ab, a, b, (1)) ortogonaalisia kontrasteja: A = 1 [ab + a b (1)] 2n B = 1 [ab a + b (1)] 2n AB = 1 [ab a b + (1)] 2n Vilkkumaa / Kuusinen 9
10 Neliösummia 2/3 Koska tekijöiden A ja B päävaikutukset ja yhdysvaikutus ovat käsittelykombinaatioiden (ab, a, b, (1)) ortogonaalisia kontrasteja, niitä vastaavat neliösummat saadaan kaavoilla: SSA = 1 [ab + a b (1)]2 4n SSB = 1 [ab a + b (1)]2 4n SSAB = 1 [ab a b + (1)]2 4n Vilkkumaa / Kuusinen 10
11 Neliösummia 3/3 Olkoon y kij k. havainto tekijän A tason i ja tekijän B tason j määräämässä ryhmässä (i, j). Kokonaisneliösumma SST ja jäännösneliösumma SSE määritetään kuten kaksisuuntaisessa varianssianalyysissa: SST = 2 2 n (y kij ȳ ) 2 i=1 j=1 k=1 SSE = 2 2 n (y kij ȳ ij ) 2 i=1 j=1 k=1 Neliösummat toteuttavat kaksisuuntaisen varianssianalyysin varianssianalyysihajotelman SST = SSA + SSB + SSAB + SSE. Vilkkumaa / Kuusinen 11
12 2 2 -faktorikokeen nollahypoteesit 2 2 -faktorikokeessa kiinnostuksen kohteena olevat nollahypoteesit ovat: H AB : Ei yhdysvaikutusta H A : Ei A-vaikutusta H B : Ei B-vaikutusta Vilkkumaa / Kuusinen 12
13 Varianssianalyysitaulukko 2 2 -faktorikokeessa testit nollahypoteeseille H AB, H A ja H B perustuvat seuraavaan varianssianalyysitaulukkoon: Vaihtelun SS df M S F lähde A SSA 1 MSA = SSA/df F A = MSA/MSE B SSB 1 MSB = SSB/df F B = MSB/MSE AB SSAB 1 MSAB = SSAB/df F AB = MSAB/MSE Jäännös SSE 4(n 1) M SE = SSE/df Kokonais- SST 4n 1 vaihtelu Vilkkumaa / Kuusinen 13
14 Klikkeri-kysely Tutkitaan reaktantin konsentraation (A) ja katalyytin määrän (B) vaikutusta kemiallisen prosessin vasteeseen. Minkä johtopäätöksen voit tehdä? 1. Tekijöillä A ja B on yhdysvaikutusta, muttei itsenäisiä vaikutuksia 2. Tekijöillä A ja B on itsenäistä vaikutusta, muttei yhdysvaikutusta 3. Tekijöillä A ja B on sekä itsenäistä vaikutusta että yhdysvaikutusta Source SS df M S F p-value A F A = B F B = AB F AB = Within Total Vilkkumaa / Kuusinen 14
15 2 k -faktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 15
16 2 k -faktorikokeet Oletetaan, että haluamme tutkia, miten k faktoria eli tekijää A, B,..., K, joilla kaikilla on kaksi tasoa: matala ( ) ja korkea (+) vaikuttavat vastemuuttujan y keskimääräisiin arvoihin. 2 k -faktorikokeen tilastollinen malli sisältää k päävaikutusta, ( k 2) kahden tekijän yhdysvaikutusta, ( k 3) kolmen tekijän yhdysvaikutusta,..., yhden k:n tekijän yhdysvaikutuksen. Vilkkumaa / Kuusinen 16
17 2 k -faktorikokeet 2 k -faktorikokeen kohteisiin voidaan kohdistaa 2 k käsittelykombinaatiota. Esim koe: Tekijä Merkintä A B C (1) a + b + ab + + c + ac + + bc + + abc Vilkkumaa / Kuusinen 17
18 Havaintoarvojen summat Oletetaan, että jokaista käsittelykombinaatiota on kokeessa toistettu n kertaa, jolloin havaintojen kokonaislukumäärä on 2 k n. Merkitään vastemuuttujan y havaittujen arvojen summaa jokaiselle käsittelykombinaatiolle samalla tavalla kuin itse käsittelykombinaatiota. Esim koe: (1) = Havaintoarvojen summa, kun A =, B =, C = a = Havaintoarvojen summa, kun A = +, B =, C = b = Havaintoarvojen summa, kun A =, B = +, C = ab = Havaintoarvojen summa, kun A = +, B = +, C = c = Havaintoarvojen summa, kun A =, B =, C = + ac = Havaintoarvojen summa, kun A = +, B =, C = + bc = Havaintoarvojen summa, kun A =, B = +, C = + abc = Havaintoarvojen summa, kun A = +, B = +, C = + Vilkkumaa / Kuusinen 18
19 2 k -faktorikokeen vaikutusten estimointi Tekijöiden A, B, C,..., K pää- ja yhdysvaikutukset voidaan estimoida kaavalla X = (a ± 1)(b ± 1) (k ± 1) n2 k 1, missä X viittaa estimoitavaan vaikutukseen ja sulkeiden sisällä käytetään miinus-merkkiä ( ), jos tekijä on mukana vaikutuksessa ja plus-merkkiä (+), jos tekijä ei ole mukana vaikutuksessa. Lopullisessa lausekkeessa 1 korvataan merkinnällä (1). Esim koe: tekijöiden A ja C yhdysvaikutus AC = (a 1)(b + 1)(c 1)/n2 3 1 = (abc ab + ac a bc + b c + (1))/4n Vilkkumaa / Kuusinen 19
20 2 k -faktorikokeen vaikutusten neliösummien määrääminen Koska tekijöiden A, B, C,..., K pää- ja yhdysvaikutukset ovat käsittelykombinaatioiden ortogonaalisia kontrasteja, niitä vastaavat neliösummat saadaan kaavalla SSX = n2 k 2 X 2, missä X viittaa kiinnostuksen kohteena olevaan vaikutukseen. Vilkkumaa / Kuusinen 20
21 Kokonaisneliösumma Olkoon y lij k l. havainto tekijän A tason i, tekijän B tason j,..., tekijän K tason k määräämässä ryhmässä (i, j,..., k). Tällöin havaintoarvojen kokonaisneliösumma on SST = n (y lij k ȳ ) 2. i=1 j=1 k=1 l=1 Vilkkumaa / Kuusinen 21
22 Jäännösneliösumma Määritellään ryhmien sisäistä vaihtelua kuvaava jäännösneliösumma kaavalla missä SSE = ȳ ij k = 1 n 2 i=1 2 j=1 2 k=1 n (y lij k ȳ ij k ) 2, l=1 n y lij k, i = 1, 2, j = 1, 2,..., k = 1, 2 l=1 on ryhmän (i, j,..., k) havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo. Neliösummat toteuttavat varianssianalyysihajotelman SST = SSA + SSB + + SSK + SSAB + SSAC + + SSJK + SSABC + SSABD + + SSIJK + + SSAB K + SSE Vilkkumaa / Kuusinen 22
23 2 k -faktorikokeen testit Jos nollahypoteesi H X : Ei X-vaikutusta pätee, testisuure F X = 2 k (n 1) SSX SSE noudattaa F-jakaumaa vapausastein (1, 2 k (n 1)). Suuret testisuureen arvot johtavat nollahypoteesin hylkäämiseen. Vilkkumaa / Kuusinen 23
24 Yhden toiston 2 k -faktorikoe Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä (2 k+1 kpl) voi ylittää kokeen tekijän resurssit. Suurin osa havainnoista käytetään korkean asteen yhdysvaikutustermien estimointiin, vaikka ko. termit ovat harvoin merkityksellisiä Koe voidaan aloittaa vain yhdellä toistolla eli 2 k havainnolla Näiden havaintojen perusteella ei voida muodostaa jäännösneliösummaa SSE, eikä täten testata tekijöiden vaikutuksia Vaikutusten neliösummien perusteella voidaan kuitenkin arvioida, mitkä vaikutukset ovat merkityksettömiä, ja muodostaa SSE näitä vastaavista neliösummista Vilkkumaa / Kuusinen 24
25 Esimerkki Vilkkumaa / Kuusinen 25
26 Yhden toiston 2 k -faktorikoe Vilkkumaa / Kuusinen 26
27 Yhden toiston 2 k -faktorikoe Vaikutusta B vastaavat summat pieniä asetetaan satunnaisvaihteluksi SSE = SSB + SSAB + SSBC SSABCD Source SS df M S F p-value A C D AC AD CD ACD Within Total Vilkkumaa / Kuusinen 27
28 Yhteenveto: 2 k -faktorikokeet 2 k -faktorikoe on k-suuntaisen varianssianalyysin erikoistapaus, jossa kaikilla tekijöillä on vain kaksi tasoa 2 k -faktorikoetta käytetään usein tutkimuksen alkuvaiheessa, sillä - Havaintoja tarvitaan minimaalinen määrä k:n tekijän vaikutuksen tutkimiseen (2 k+1 kpl; tai yhden toiston kokeessa 2 k kpl) - Neliösummat saadaan helposti laskettua kontrastien kautta - Kokeen avulla voidaan tunnistaa kiinnostavimmat tekijät, joiden tasojen määrää voidaan jatkotutkimuksissa lisätä Vilkkumaa / Kuusinen 28
29 Osafaktorikokeet Vilkkumaa / Kuusinen 29
30 Motivointi Jos tutkittavia tekijöitä on paljon, voi yhteen toistoon vaadittava 2 k havaintoakin olla liikaa Esim. täyden 2 6 -faktorikokeen yksi toisto edellyttää 64 havainnon poimimista. Kyseinen koe sisältää 63 vapausastetta: - 6 vapausastetta liittyy päävaikutuksiin - 15 vapausastetta liittyy kahden faktorin yhdysvaikutuksiin - 42 vapausastetta liittyy kolmen tai useamman faktorin yhdysvaikutuksiin Vilkkumaa / Kuusinen 30
31 Motivointi Jos voidaan olettaa, että tietyt korkeamman asteen yhdysvaikutukset ovat merkityksettömiä, on kiinnostavien vaikutusten selvittäminen mahdollista ottamalla vain 1/2, 1/4, 1/8 jne. täyden 2 k -faktorikokeen havainnoista, eli 2 k p havaintoa. Tällaista koesuunnitelmaa kutsutaan osafaktorikokeeksi (eng. fractional factorial experiment). Myöhemmässä vaiheessa merkityksellisiä tekijöitä voidaan tutkia tarkemmin uusilla koejärjestelyillä. Vilkkumaa / Kuusinen 31
32 2 k 1 -osafaktorikokeet 2 k 1 -osafaktorikokeessa poimitaan puolet täyden 2 k -faktorikokeen havainnoista. Poimittavat havainnot valitaan siten, että saadusta datasta voidaan estimoida mahdollisimman hyvin päävaikutukset ja matalan asteen yhdysvaikutukset, ts. kokeen resoluutio on mahdollisimman korkea. Vilkkumaa / Kuusinen 32
33 2 k 1 -osafaktorikoesuunnitelman muodostaminen 2 k 1 -osafaktorikoesuunnitelma voidaan muodostaa seuraavasti: 1. Muodostetaan täysi faktorikoesuunnitelma (k 1):lle faktorille 2. Asetetaan k:nnen faktorin tasoiksi kussakin havainnossa sama kuin on korkeimman asteen yhdysvaikutuksen ABC (K 1) merkki: K = ABC (K 1) Tällä menetelmällä saadaan korkeimman mahdollisen resoluution 2 k 1 -osafaktorikoesuunnitelma. Saman resoluution osafaktorikoesuunnitelma saadaan myös asettamalla K = ABC (K 1) Vilkkumaa / Kuusinen 33
34 Esimerkki: koesuunnitelman muodostaminen 1/2 Muodostetaan ensin täysi 2 2 -koesuunnitelma: Käsittely A B a + b + (1) ab + + Vilkkumaa / Kuusinen 34
35 Esimerkki: koesuunnitelman muodostaminen 2/2 Asetetaan kolmannen faktorin C tasoksi kussakin havainnossa C = AB: Käsittely A B C = AB a + b + c + abc Nämä käsittelykombinaatiot muodostavat koesuunnitelman. Vilkkumaa / Kuusinen 35
36 2 3 - ja koesuunnitelmat Koko taulukko muodostaa 2 3 -koesuunnitelman, ja taulukon yläpuolikas koesuunnitelman. Vaikutus Käsittely I A B C AB AC BC ABC a b c abc ab ac bc (1) Vilkkumaa / Kuusinen 36
37 2 k 1 -osafaktorikoe: määrittelevä relaatio Kokeen määrittelevä relaatio on niiden yhdysvaikutusten joukko, jotka ovat aina korkealla (+) tasolla. Koska myös identiteettisarake I on aina korkealla tasolla, merkitään edellisen kalvon yläpuolikkaan kokeen määrittelevää relaatiota I = ABC Tämä tarkoittaa, että kokeen kaikissa havainnoissa yhdysvaikutus ABC on korkealla (+) tasolla. Toinen mahdollinen koesuunnitelma saadaan määrittelevällä relaatiolla I = ABC (taulukon alapuolikas). Vilkkumaa / Kuusinen 37
38 Aliakset 1/2 Kun osafaktorikokeessa ei poimita kaikkia 2 k havaintoa, ei datasta voida laskea omia estimaatteja kaikille mahdollisille pää- ja yhdysvaikutuksille. Käytettävissä olevien havaintojen osalta eri vaikutukset saavat saman laskukaavan. Esim kokeessa A-vaikutus ja BC-yhdysvaikutus lasketaan samalla kaavalla: - Vaikutuksia A ja BC on mahdotonta erottaa toisistaan. - Kun datasta lasketaan estimaatti A-vaikutukselle, estimoidaankin oikeasti vaikutusta A + BC. Kahta tai useampaa vaikutusta, joilla on tämä ominaisuus, kutsutaan toistensa aliaksiksi. Vilkkumaa / Kuusinen 38
39 Aliakset 2/2 Minkä tahansa vaikutuksen aliakset saadaan määrättyä kertomalla vaikutuksella kokeen määrittelevää relaatiota. Esim kokeessa, jossa I = ABC, A:n alias on: A ABC = A 2 BC Koska minkä tahansa vaikutuksen neliö on aina I (pelkkää plussaa), saadaan A = BC Vastaavasti B = AC ja C = AB. Vilkkumaa / Kuusinen 39
40 Kokeen resoluutio Kokeen resoluutio on R, jos yksikään p:n tekijän vaikutus ei ole alias vaikutuksen kanssa, jossa on vähemmän kuin R p tekijää. Kokeen resoluutiota merkitään yleensä roomalaisilla numeroilla tyyliin III. Mitä korkeampi resoluutio, sitä korkeamman asteen yhdysvaikutukset saadaan erotettua toisistaan Vain kalvon 33 tapa muodostaa 2 k 1 -osafaktorikoe tuottaa kokeelle korkeimman mahdollisen resoluution k. Vilkkumaa / Kuusinen 40
41 Esimerkki Vilkkumaa / Kuusinen 41
42 Esimerkki Esim. tekijän A vaikutus: A = 1 ( (1) + ad bd + ab cd + ac bc + abcd) = 1 ( ) = Koska A = A ABCD = A 2 BCD = BCD, estimoidaan itse asiassa vaikutusta A + BCD Vilkkumaa / Kuusinen 42
43 Esimerkki Vaikutus A = B = 1.50 C = D = AB = 1.00 AC = AD = Alias-rakenne A A + BCD B B + ACD C C + ABD D D + ABC AB AB + CD AC AC + BD AD AD + BC Havainnot muodostavat merkittäville tekijöille A, C ja D yhden otoksen 2 3 -faktorikokeen. Vilkkumaa / Kuusinen 43
44 Klikkeri-kysely Olkoon kokeen määrittelevä relaatio I = ABC. Mikä on vaikutuksen AB alias? 1. BC 2. A 3. C Vilkkumaa / Kuusinen 44
45 Yhteenveto: osafaktorikokeet 2 k -faktorikokeeseen tarvittavien havaintojen määrää voidaan vähentää merkittävästi käyttämällä osafaktorikoetta 2 k p Koska kaikkia tarvittavia havaintoja ei hankita, ei kaikkia vaikutuksia voida estimoida - Vaikutukset sekoittuvat alias-vaikutustensa kanssa Osafaktorikokeissa oletus onkin, etteivät korkeamman tason yhdysvaikutukset ole merkittäviä Muodostamalla korkeimman mahdollisimman resoluution koe voidaan estää päävaikutusten ja matalan tason yhdysvaikutusten sekoittuminen keskenään Vilkkumaa / Kuusinen 45
Osafaktorikokeet. Kurssipalautetta voi antaa Oodissa Kuusinen/Heliövaara 1
Osafaktorikokeet Kurssipalautetta voi antaa Oodissa 27.4.-25.5. Kuusinen/Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeen
LisätiedotOsafaktorikokeet. Heliövaara 1
Osafaktorikokeet Heliövaara 1 Osafaktorikokeet Kun faktorien määrä 2 k -faktorikokeessa kasvaa, tarvittavien havaintojen määrä voi ylittää kokeentekijän resurssit. Myös estimoitavien korkean asteen yhdysvaikutustermien
LisätiedotKoesuunnittelu 2 k -faktorikokeet. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 k -faktorikokeet 2 2 -faktorikokeet 2 3 -faktorikokeet 2 k -faktorikokeet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 2 k -faktorikokeet: Mitä opimme?
LisätiedotHierarkkiset koeasetelmat. Heliövaara 1
Hierarkkiset koeasetelmat Heliövaara 1 Hierarkkiset koeasetelmat Kaksiasteista hierarkkista koeasetelmaa käytetään tarkasteltaessa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tekijän
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän
LisätiedotKertausluento. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kertausluento Vilkkumaa / Kuusinen 1 Kokeellinen tutkimus Kokeellisessa tutkimuksessa on tavoitteena selvittää, miten erilaiset käsittelyt vaikuttavat tutkimuksen kohteisiin - Esim. miten lämpötila ja
LisätiedotLohkoasetelmat. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Lohkoasetelmat Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi 1/3 Kaksisuuntaisella varianssianalyysilla voidaan tutkia kahden tekijän A ja B vaikutusta sekä niiden yhdysvaikutusta tutkimuksen kohteeseen Kaksisuuntaisessa
LisätiedotLohkoasetelmat. Heliövaara 1
Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,
LisätiedotLohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1
Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan
LisätiedotLatinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt
TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,
LisätiedotVastepintamenetelmä. Kuusinen/Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kuusinen/Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä pyritään vasteen riippuvuutta siihen vaikuttavista tekijöistä approksimoimaan tekijöiden polynomimuotoisella funktiolla,
Lisätiedot7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa. Lohkominen (Blocking)
7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa Lohkominen (Blocking) Lohkotekijät muodostuvat faktoreista, joiden suhteen ei voida tehdä (täydellistä) satunnaistamista. Esimerkiksi faktorikokeessa raaka-aine-erät
Lisätiedot2 2 -faktorikokeen määritelmä
TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan kahden tai useamman tekijän vaikutusta
LisätiedotVastepintamenetelmä. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Vastepintamenetelmä Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Varianssianalyysissa tutkitaan tekijöiden vaikutusta vasteeseen siten, että tekijöiden tasot on ennalta valittu. - Esim. tutkitaan kemiallisen prosessin
LisätiedotVastepintamenetelmä. Heliövaara 1
Vastepintamenetelmä Kurssipalautteen antamisesta saa hyvityksenä yhden tenttipisteen. Palautelomakkeeseen tulee lähiaikoina linkki kurssin kotisivuille. Heliövaara 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmässä
LisätiedotKoesuunnittelu Vastepintamenetelmä. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu Vastepintamenetelmä TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Vastepintamenetelmä Vastepintamenetelmä: Johdanto 2 k -faktorikokeet Vastefunktion kaarevuuden testaaminen 1. asteen vastepintamallin varianssianalyysihajotelma
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotKaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa:
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Aritmeettinen keskiarvo, Estimointi, F-testi,
LisätiedotUseampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi
(c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi ohdatus tilastotieteeseen Useampisuuntainen varianssianalsi (c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi: Mitä opimme? arkastelemme tässä
Lisätiedot7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa. Lohkominen (Blocking)
7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa Lohkominen (Blocking) Lohkotekijät muodostuvat faktoreista, joiden suhteen ei voida tehdä (täydellistä) satunnaistamista. Esimerkiksi faktorikokeessa raaka-aine-erät
LisätiedotLohkotekijät muodostuvat faktoreista, joiden suhteen ei voida tehdä (täydellistä) satunnaistamista.
7. Lohkominen ja sulautus 2 k kokeissa Lohkominen (Blocking) Lohkotekijät muodostuvat faktoreista, joiden suhteen ei voida tehdä (täydellistä) satunnaistamista. Esimerkiksi faktorikokeessa raaka-aine-erät
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
ohdatus tilastotieteeseen Kaksisuuntainen varianssianalyysi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) Kaksisuuntainen varianssianalyysi Varianssianalyysi: ohdanto Kaksisuuntainen varianssianalyysi ja sen suorittaminen
LisätiedotToimittaja 1 2 3 Erä 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 1 1 0 1 0 2 2 1 3 1 3 0 4 2 4 0 3 4 0 1 2 0 4 1 0 3 2 2 2 0 2 2 1
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Hierarkkiset koeasetelmat -faktorikokeet Vastepintamenetelmä Aritmeettinen keskiarvo, Estimaatti, Estimaattori, -testi, aktorikokeet,
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
Lisätiedotproc glm data = ex61; Title2 "Aliasing Structure of the 2_IV^(5-1) design"; model y = A B C D E /Aliasing; run; quit;
Title "Exercises 6"; Data ex61; input A B C D E y @@; Label A = "Furnance Temperature" B = "Heating Time" C = "Transfer Time" D = "Hold Down Time" E = "Quench of Oil Temperature" y = "Free Height of Leaf
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma Jaetaan perusjoukko rhmiin kahden tekän A ja B suhteen
LisätiedotKoesuunnittelu Latinalaiset neliöt. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Koesuunnittelu Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Latinalaiset neliöt Latinalaisten neliöiden koeasetelma ja sen malli Latinalaisten neliöiden koeasetelman analysointi Laskutoimitusten suorittaminen
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
Lisätiedot8. Osittaiset 2 k faktorikokeet. Niinpä, jos voidaan olettaa, että korekeamman
8. Osittaiset 2 k faktorikokeet Faktoreiden lukumäärän k kasvaessa 2 k koeasetelmassa kasvaa koetoistojen (runs) määrää nopeasti täydessä toteutuksessa (complete replicate). Esimerkiksi 2 6 asetelman täysi
LisätiedotAltistusaika 1 kk 2 kk 3 kk 1.35 1.53 1.38 1.35 1.63 1.51 1.60 1.40 2.18 1.77 1.66 1.98 1.73 1.76 1.60 1.72
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut iheet: vainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Lohkoasetelmat Latinalaiset neliöt ritmeettinen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotLähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). tulee katettua (complete replicate). Havaintojen
6. 2 k faktorikokeet Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). Vähintään 2 k havaintoa, jotta kaikki vaihtoehdot tulee katettua (complete replicate). Havaintojen kokonaismäärä N = 2
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotKeskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6)
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit kevät Keskipisteen lisääminen k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Esim (Montg. ex. 9-, 6-): Tutkitaan kemiallisen prosessin saannon Y riippuvuutta faktoreista
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai
Lisätiedotnopeasti täydessä toteutuksessa (complete replicate).
8. Osittaiset 2 k faktorikokeet Faktoreiden lukumäärän k kasvaessa 2 k koeasetelmassa kasvaa koetoistojen (runs) määrää nopeasti täydessä toteutuksessa (complete replicate). Esimerkiksi 2 6 asetelman täysi
Lisätiedot6. 2 k faktorikokeet. Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). määrä per faktoritasokombinaatio (balansoidussa)kokeessa.
6. 2 k faktorikokeet Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). Vähintään 2 k havaintoa, jotta kaikki vaihtoehdot tulee katettua (complete replicate). Havaintojen kokonaismäärä N =2
Lisätiedot1. KAKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: TULOSTEN TULKINTA
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalyysi Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, Kaksisuuntainen varianssianalyysi Kokonaiskeskiarvo,
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma aetaan perusoukko rhmiin kahden tekän A a B suhteen
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
Lisätiedotχ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
LisätiedotTestaa onko myrkkypitoisuus eri ryhmissä sama. RATK. Lasketaan kaikkien havaintoarvojen summa: k T i = = 486.
Mat-.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Harjoitus 8, kevät 004 Esimerkkiratkaisut. 1. Myrkyllistä ainetta oli kaadettu jokeen, joka johtaa suurelle kalastusalueelle. Tie- ja vesirakennusinsinöörit
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen
Lisätiedot11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut
11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa
LisätiedotLukumäärän laskeminen 1/7 Sisältö ESITIEDOT:
Lukumäärän laskeminen 1/7 Sisältö Samapituisten merkkijonojen lukumäärä I Olkoon tehtävänä muodostaa annetuista merkeistä (olioista, alkioista) a 1,a 2,a 3,..., a n jonoja, joissa on p kappaletta merkkejä.
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotJos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
Lisätiedot6. 2 k faktorikokeet. Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). määrä per faktoritasokombinaatio (balansoidussa)kokeessa.
6. 2 k faktorikokeet Lähtökohta: k faktoria, kullakin kaksi tasoa ("high", "low"). Vähintään 2 k havaintoa, jotta kaikki vaihtoehdot tulee katettua (complete replicate). Havaintojen kokonaismäärä N =2
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
Lisätiedotr = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.
A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
LisätiedotOletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
Lisätiedot5. Johdatus faktorikokeisiin. Tekijän omaa vaikutusta vastemuuttujaan sanotaan. 5.1 Taustaa
5. Johdatus faktorikokeisiin 5.1 Taustaa Faktorikokeilla tarkoitetaan koesuunnitelmaa, jossa koe toistetaan kaikilla faktoreiden tasojen kombninaatioilla. Täten, jos faktorilla A on a tasoa ja faktorilla
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotHilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen
Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen
LisätiedotMS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)
MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2017 Todennäköisyyslaskennan kertaus Satunnaismuuttujat ja tn-jakaumat Tunnusluvut χ 2 -, F- ja t-jakauma Riippumattomuus Tilastotieteen
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain
LisätiedotVARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE
VARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE 1 Suomalaisten aikuisten pituusjakauma:.8.7.6.5.4.3.2.1 14 15 16 17 18 19 2 21 Jakauma ei ole normaali, sen olettaminen sellaiseksi johtaa virheellisiin päätelmiin.
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotFaktorikokeilla tarkoitetaan koesuunnitelmaa, jossa koe toistetaan kaikilla faktoreiden tasojen kombninaatioilla.
5. Johdatus faktorikokeisiin 5.1 Taustaa Faktorikokeilla tarkoitetaan koesuunnitelmaa, jossa koe toistetaan kaikilla faktoreiden tasojen kombninaatioilla. Täten, jos faktorilla A on a tasoa ja faktorilla
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
Lisätiedot5. Johdatus faktorikokeisiin. Tekijän omaa vaikutusta vastemuuttujaan sanotaan. 5.1 Taustaa
5. Johdatus faktorikokeisiin 5.1 Taustaa Faktorikokeilla tarkoitetaan koesuunnitelmaa, jossa koe toistetaan kaikilla faktoreiden tasojen kombninaatioilla. Täten, jos faktorilla A on a tasoa ja faktorilla
LisätiedotARVIOINTIPERIAATTEET
PSYKOLOGIAN YHTEISVALINNAN VALINTAKOE 2012 ARVIOINTIPERIAATTEET Copyright Helsingin yliopisto, käyttäytymistieteiden laitos, Materiaalin luvaton kopiointi kielletty. TEHTÄVÄ 1. (max. 34.5 pistettä) 1 a.i)
Lisätiedot33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
Lisätiedot1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
Lisätiedot805306A Johdatus monimuuttujamenetelmiin, 5 op
monimuuttujamenetelmiin, 5 op syksy 2018 Matemaattisten tieteiden laitos Lineaarinen erotteluanalyysi (LDA, Linear discriminant analysis) Erotteluanalyysin avulla pyritään muodostamaan selittävistä muuttujista
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n
LisätiedotLAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN
LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua
Lisätiedotχ 2 -yhteensopivuustestissä käytetään χ 2 -testisuuretta χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Estimointi, Havaittu frekvenssi, Heterogeenisuus,
Lisätiedotedellyttää valintaa takaisinpanolla Aritmeettinen keskiarvo Jos, ½ Ò muodostavat satunnaisotoksen :n jakaumasta niin Otosvarianssi Ë ¾
ËØÙ ÓØÓ Ø Mitta-asteikot Nominaali- eli laatueroasteikko Ordinaali- eli järjestysasteikko Intervalli- eli välimatka-asteikko ( nolla mielivaltainen ) Suhdeasteikko ( nolla ei ole mielivaltainen ) Otos
LisätiedotLohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4
TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotTilastotieteen jatkokurssi syksy 2003 Välikoe 2 11.12.2003
Nimi Opiskelijanumero Tilastotieteen jatkokurssi syksy 2003 Välikoe 2 11.12.2003 Normaalisti jakautuneiden yhdistyksessä on useita tuhansia jäseniä. Yhdistyksen sääntöjen mukaan sääntöihin tehtävää muutosta
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017
LisätiedotMS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)
MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2017 Käytännön järjestelyt Luennot: Luennot maanantaisin (sali E) ja keskiviikkoisin (sali U4) klo 10-12 Luennoitsija: (lauri.viitasaari@aalto.fi)
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
LisätiedotMS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op)
MS-C2103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit (5 op) Aalto-yliopisto 2016 Käytannön järjestelyt Luennot: Luennot ma 4.1. (sali E) ja ti 5.1 klo 10-12 (sali C) Luennot 11.1.-10.2. ke 10-12 ja ma 10-12
Lisätiedot