Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600
|
|
|
- Jere Jaakkola
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tekijä 3 Geometria Kartta on yhdenmuotoinen kuva maastosta, jolloin kartan pituudet ja maaston pituudet ovat suoraan verrannollisia keskenään. Merkitään reitin pituutta kartalla kirjaimella x. Muutetaan reitin todellinen pituus metreiksi, jotta yksiköt supistuvat laskussa järkevästi: 1,5 km m Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. x, x 5000 : 600 x 41, 666 x 4(cm) Vastaus Reitin pituus kartalla on 4 cm.
2 48 a) Pienoismallin mittakaava k on pienoismallin ja oikean kirjaston vastinpituuksien suhde. Mittakaava on 1 : cm 15 cm 1 k 1: m 8500 cm 68 b) Koska pienoismallin mittakaava on 1 : 68, ovat pienoismallin pituudet suuruudeltaan 1 todellisista pituuksista. Näin ollen 68 pienoismallin korkeus on 1 15 m 0, 058 m cm. 68 Pienoismallin korkeus on cm. Vastaus a) Mittakaava on 1 : 68. b) Pienoismallin korkeus on cm.
3 49 Kartan mittakaava on kartalta mitatun pituuden ja vastaavan todellisen pituuden suhde. Muodostetaan verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. x 1 Kerrotaan ristiin. 1, x 1,5 : x 0, (km) Pituus kartalla on x 0, km 0,65 m 6,5 cm. Lasketaan mittakaava y. (76 cm 76 cm 76 cm 1 y 1: km cm Muodostetaan verrantoyhtälö ja ratkaistaan z. 3,5 1 z Kerrotaan ristiin z (cm) Todellinen pituus on z cm 350 m. Vastaus x 6,5 cm, y 1 : , z 350 m
4 50 Merkitään lammen ympärysmittaa kirjaimella x ja ratkaistaan se verrantoyhtälöstä. 3,9 1 x Kerrotaan ristiin x (cm) Lammen ympärysmitta on cm 585 m 590 m. Keskivauhti v on kuljetun matkan ja matkaan käytetyn ajan osamäärä. Matka-aika on nyt 5,0 min 300 s. Lasketaan keskivauhti. 585 m m m v 1,95, s s s Koska 1 m/s 3,6 km/h, saadaan keskivauhdille myös arvo v 1,95 3,6 km/h 7,0 km/h 7,0 km/h. Vastaus Lammen ympärysmitta on 590 m, keskivauhti on,0 m/s (tai 7,0 km/h)
5 51 a) Merkitään matkaa kirjaimella x ja ratkaistaan se verrantoyhtälöstä. 1, 5 1 x Kerrotaan ristiin x (cm) Matka on cm 750 m, eli vaihtoehto ). b) Merkitään pellon sivun pituutta kartalla kirjaimella x ja ratkaistaan se verrantoyhtälöstä. x 1 Kerrotaan ristiin x 50 : x 0,005 (m) Pellon sivun pituus kartalla on 0,005 m 5 mm, eli vaihtoehto ). c) Merkitään puun paksuutta kirjaimella x ja ratkaistaan se verrantoyhtälöstä. 0,5 1 x Kerrotaan ristiin x (mm) Puun paksuus on mm 5 m, eli vaihtoehto 3). d) Merkitään viivan leveyttä kirjaimella x ja ratkaistaan se verrantoyhtälöstä. x 1 Kerrotaan ristiin x 10 : x 0,000 (m) Viivan leveys on 0,000 m 0, mm, eli vaihtoehto 3). Vastaus a) b) c) 3 d) 3
6 5 Merkitään laivan pituutta kirjaimella x, muodostetaan verrantoyhtälö ja ratkaistaan pituus x Kerrotaan ristiin. 00 3x 9600 : 3 x 300 (cm) Laivan pituus on 300 cm 3 m. Vastaus Laivan pituus on 3 m.
7 53 a) Vastinpituudet ovat x ja 6 sekä 5 ja 3. Muodostetaan verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. x 5 Kerrotaan ristiin x 30 : 3 x 10 b) Vastinpituudet ovat y ja 16 sekä 3 ja 5. Muodostetaan verrantoyhtälö ja ratkaistaan y. y 3 Kerrotaan ristiin y 48 : y 9 9,6 5 5 c) Mittakaava k on vastinpituuksien suhde. Nyt k 5 : 3 (tai 3 : 5). Vastaus a) x 10 b) y 9,6 c) 5 : 3 (tai 3 : 5)
8 54 a) Kolmiot CAB ja CDE ovat yhdenmuotoiset kk-lauseen perusteella. Kulma C on yhteinen. Kulmat CDE ja CAB ovat samankohtaisina yhtä suuret, koska AB DE. Vastinjanat ovat DE ja AB sekä CD ja CA. Muodostetaan verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. x 1 Kerrotaan ristiin x 180 : 0 x 9 b) Kolmiot CAB ja CDE ovat yhdenmuotoiset kk-lauseen perusteella. Kulma C on yhteinen. Kulmat CDE ja CAB ovat samankohtaisina yhtä suuret, koska AB DE. Vastinjanat ovat CE ja CB sekä DE ja AB. Muodostetaan verrantoyhtälö ja ratkaistaan x x Kerrotaan ristiin. 8 5(10 + x) x 80 5x 30 : 5 x 6 Vastaus a) x 9 b) x 6
9 55 Merkitään joen leveyttä kirjaimella x. Kuvion kaksi sisäkkäistä suorakulmaista kolmiota ovat yhdenmuotoisia kk-lauseen perusteella, sillä molemmissa on suora kulma ja huippukulma on yhteinen. Vastinpituudet ovat x ja x + 0 sekä 5 ja 15. Muodostetaan verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. x 5 Kerrotaan ristiin. x x 5(x + 0) 15x 5x x 100 : 10 x 10 (m) Joen leveys on 10 m. Vastaus Joen leveys on 10 m.
10 56 Kolmiot DFE ja CGE ovat yhdenmuotoiset kk-lauseen nojalla. Kulmat C ja D ovat suoria. Kulmat DEF ja CEG ovat yhtä suuret. Kun merkitään x EC, niin DE 1 x. Vastinsivut ovat EC ja ED sekä CG ja DF. Muodostetaan verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. x 7 1 x Kerrotaan ristiin. 9 9x 7(1 x) 9x 84 7x 16x 84 : x Janan EC pituus on Vastaus 1 EC 5 4
11 57 Käytetään oheisen kuvion merkintöjä. a) Kolmiot ABP ja EFP ovat yhdenmuotoiset kk-lauseen nojalla. Molemmissa on suora kulma. Kulmat FPE ja BPA ovat ristikulmina yhtä suuret. Muodostetaan verrantoyhtälö ja ratkaistaan kysytty pituus x. Vastinjanat ovat PB ja PF sekä PA ja PE. x x Kerrotaan ristiin. 4 4x 79(60 x) 4x x 11x 4740 : 11 x 39,173 x 39 (m) Etäisyys alemmasta sivurajasta on noin 39 m.
12 b) Kolmiot PDE ja PGA ovat yhdenmuotoiset kk-lauseen nojalla. Molemmissa on suora kulma. Kulmat DPE ja GPA ovat ristikulmina yhtä suuret. Muodostetaan verrantoyhtälö ja ratkaistaan kysytty pituus y. Vastinjanat ovat PD ja PG sekä PE ja PA. y y Kerrotaan ristiin y 4(105 y) 79y y 11y 4410 : 11 y 36,446 y 36 (m) Etäisyys oikeasta päädystä on noin 36 m. Vastaus a) Etäisyys alemmasta sivurajasta on 39 m. b) Etäisyys oikeasta päädystä on 36 m.
13 58 Käytetään oheisen kuvion merkintöjä. Kolmiot AED ja CEB ovat yhdenmuotoiset kk-lauseen nojalla. Ristikulmat AED ja CEB ovat yhtä suuret. Kulmat EAD ja ECB ovat samankohtaisina yhtä suuret, koska AD CB. Vastinpituudet ovat kolmioiden korkeudet x ja 5 x sekä kannat AD ja CB. Muodostetaan verrantoyhtälö ja ratkaistaan kysytty etäisyys x. x 15 5 x Kerrotaan ristiin. 1 1x 15(5 x) 1x x 7x 375 : 7 x 13,888 x 14 (m) Etäisyys korkeampaan pylvääseen on noin 14 m. Vastaus Etäisyys on 14 m.
14 59 Käytetään oheisen kuvion merkintöjä. Kuvan sisäkkäiset kolmiot ovat kk-lauseen nojalla yhdenmuotoiset, sillä niillä on yhteinen huippukulma silmän kohdalla ja yhtä suuret, samankohtaiset kantakulmat. Vastinpituudet ovat 6 mm 0,06 m ja 110 m sekä 55 cm 0,55 m ja x. Muodostetaan verrantoyhtälö ja ratkaistaan kysytty etäisyys x. x 110 Kerrotaan ristiin. 0,55 0, 06 0,06x 60,5 : 0,06 x 36,93 x 300 (m) : 7 Etäisyys Globen-hallista on noin 300 m,3 km. Vastaus Etäisyys on,3 km.
15 60 a) Yhdenmuotoiset kolmiot ovat kk-lauseen perusteella (vastinpisteet järjestyksessä) CAB, DAC ja DCB. Kaikissa kolmioissa on suora kulma. Kolmioissa CAB ja DAC on molemmissa sama kulma A, joten CAB DAC. Kolmioissa CAB ja DCB on molemmissa sama kulma B, joten CAB DCB. Lopulta myös DAC DCB, koska molemmat ovat yhdenmuotoisia kolmion CAB kanssa. b) Tutkitaan kolmioita CAB ja DCB. Merkitään x CD, muodostetaan vastinpituuksille verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. CD CB AC AB x 6 Kerrotaan ristiin x 48 : 10 x 4,8 Janan CD pituus on 4,8.
16 c) Tutkitaan kolmioita DAC ja DCB. Merkitään x DB, muodostetaan verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. AC CD CB BD 8 4,8 Kerrotaan ristiin. 6 x 8x 8,8 : 8 x 3,6 Tällöin AD 10 3,6 6,4 ja jakosuhde on AD : DB 6,4 : 3,6 64 : : 9. Vastaus a) - b) CD 4,8 c) AD : DB 16 : 9
17 61 Merkitään jotakin vapaasti valittua pituutta alkuperäisessä kuvassa kirjaimella d. Ensimmäisessä suurennoksessa tämä pituus kasvaa arvoon 1,5d. Toisessa suurennoksessa tämä arvo suurenee edelleen kertoimella 5 3, eli lopullinen pituus on 5 1,5d,5d. 3 Mittakaavaksi k saadaan täten vastinpituuksien suhteena 10) (5,5d,5 5 5 k 5:. d 1 10 (Huomaa: Mittakaavan arvo on suoraan 1,5 5/3,5 5/) Vastaus Mittakaava on 5 :.
18 6 Ratkaistaan ensin x verrantoyhtälöstä. Vastinpituudet ovat 10 + x ja 4x sekä 6 3x ja 19 + x x 6 3x Ratkaistaan yhtälö laskimella. 4x 19 + x 89 x - tai x 10 Koska jokainen neljästä lausekkeesta esittää monikulmion sivun pituutta, on niiden kaikkien arvojen oltava positiivisia Jos x, niin pituus 4x 4 < 0, joten ei ole tehtävän kannalta kelvollinen ratkaisu. 89 x 10 Kun x -, on jokaisen lausekkeen arvo positiivinen. Tällöin mittakaavaksi saadaan vastinpituuksien suhteena 4x 4 ( ) 10 5 k 5:4 (tai k 4 : 5) x 10 + ( ) 8 4 Vastaus Mittakaava on 5 : 4 (tai 4 : 5).
19 63 Käytetään oheisen kuvan merkintöjä. Kolmiot ABG, ACF ja ADE ovat kaikki yhdenmuotoisia keskenään kk-lauseen nojalla, sillä ne ovat kaikki suorakulmaisia ja niillä on yhteinen kulma A. a) Tutkitaan kolmioita ABG ja ACF. Ratkaistaan kysytty etäisyys x vastinpituuksien ja + x sekä 1,8 ja 3, muodostamasta verrantoyhtälöstä. 1,8 + x Kerrotaan ristiin. 3, 1,8( + x) 6,4 3,6 + 1,8x 6,4 1,8x,8 : 1,8 x 1,555 x 1,6 (m) Tytön etäisyys valaisinpylvääseen on noin 1,6 m.
20 b) Tutkitaan kolmioita ABG ja ADE. Kohdan a perusteella pituus AD,0 m + 1,555 m + 3,0 m 6,555 m. Ratkaistaan kysytty korkeus h vastinpituuksien ja 6,555 sekä 1,8 ja h muodostamasta verrantoyhtälöstä. 1,8 h Kerrotaan ristiin. 6, h 11,8 : h 5,9 (m) Valaisinpylvään korkeus on 5,9 m. Vastaus a) Etäisyys on 1,6 m. b) Korkeus on 5,9 m.
21 64 Käytetään oheisen kuvan merkintöjä. Ratkaistaan ensin pituus x. Kolmiot EAD ja EPC ovat yhdenmuotoiset kk-lauseen perusteella. Kulma DEA on yhteinen. Kulmat EAD ja EPC ovat samankohtaisina yhtä suuret, koska janat AB ja PQ ovat yhdensuuntaiset. Muodostetaan verrantoyhtälö, josta x ratkeaa x 3 4 Kerrotaan ristiin x 3(4 + x) x 8 3x x 3 Kolmiot EDB ja ECQ ovat myös yhdenmuotoiset kk-lauseen nojalla. Kulma BED on yhteinen. Kulmat EDB ja ECQ ovat samankohtaisina yhtä suuret, koska AB PQ.
22 Muodostetaan verrantoyhtälö ja ratkaistaan a. 16 Sijoitetaan x. 4 1, x a 4 1, a 3 3 1, 5 Kerrotaan ristiin. 7 a 3a 10,5 : 3 a 3,5 Vastaus Pituus a 3,5.
23 65 Käytetään oheisen kuvan merkintöjä. Kolmiot ABD ja ECD ovat kk-lauseen perusteella yhdenmuotoiset. Niillä on yhteinen huippukulma D. Kulmat DAB ja DEC ovat samankohtaisina yhtä suuret, koska AB EC. Muodostetaan verrantoyhtälö ja ratkaistaan neliön sivun pituus x x x 0x 10(0 x) 0x 00 10x 30x 00 : 30 x 0 3 Korkeuksien suhde Kantojen suhde
24 Kun neliön sivun pituus on 0 3, sen pinta-ala on A Vastaus Pinta-ala on
25 66 Käytetään oheisen kuvan merkintöjä. Kuvan sisäkkäiset, tasakylkiset kolmiot ovat yhdenmuotoisia kklauseen nojalla, sillä niillä on yhteinen huippukulma ja vaakasuorien kantojen vuoksi yhtä suuret, samankohtaiset kantakulmat. Ratkaistaan ensin pinta-alatiedon avulla korkeus h. A 7 Kolmion pinta-ala 1 9 h 7 h 6 1 : 9 1 A ah.
26 Ratkaistaan sitten yhdenmuotoisista kolmioista pituus x. Korkeuksien suhde Kantojen suhde h x 3x Sijoitetaan h 6. h 9 6 x 3x Kerrotaan ristiin x 9(6 x) 18x 54 9x 7x 54 : 7 x Suorakaiteen korkeus on siis ja korkeus on siten 3 6. Suorakaiteen pinta-alaksi saadaan A 6 1. Vastaus Pinta-ala on 1.
27 67 Käytetään oheisen kuvan merkintöjä. Tummennetun alueen pinta-ala saadaan, kun koko kolmion pintaalasta vähennetään neliön pinta-ala. Kuvan kaikki sisäkkäiset suorakulmaiset kolmiot ovat keskenään yhdenmuotoisia kk-lauseen nojalla, sillä niillä on suoran kulman lisäksi yhteinen tai samankohtaisuuden vuoksi yhtä suuri huippukulma. Muodostetaan verrantoyhtälö koko kolmion ja huippuun jäävän kolmion vastinpituuksille x x 1x 5(1 x) 1x 60 5x 17x 60 : x 17 Korkeuksien suhde Kantojen suhde
28 1 Koko kolmion pinta-ala on A k ja neliön pinta-ala on A n. Tummennetun alueen pinta-alaksi saadaan lopulta A Ak An , Vastaus Pinta-ala on 17,5.
29 68 Täydennetään kehikko kolmioksi ja käytetään oheisen kuvan merkintöjä. Kaikki kuvion sisäkkäiset kolmiot ovat keskenään yhdenmuotoisia kk-lauseen nojalla, sillä niillä on yhteinen huippukulma A ja samankohtaiset, yhtä suuret kantakulmat (kaikki rimat ovat vaakasuoria). Ratkaistaan ensin pituus a kolmioiden ABI ja AEF perusteella muodostuvasta verrantoyhtälöstä. 15 a + 10 Kerrotaan ristiin. 40 a (a + 10) 15(a + 70) 40a a a 650 : 5 a 6 (cm)
30 Muodostetaan sitten verrantoyhtälö kolmioista ADG ja AEF ja ratkaistaan x. x Kerrotaan ristiin x 3040 : 96 x 31,666 x 3 (cm) Pituus x on noin 3 cm. Muodostetaan lopuksi verrantoyhtälö kolmioista ACH ja AEF ja ratkaistaan y. y 56 Kerrotaan ristiin y 40 : 96 x 3,333 x 3 (cm) Pituus y on noin 3 cm. (Huom. Pituudet voi ratkaista myös suoraan yhtälöryhmästä 15 a a + 70 x a+ 50 ) 40 a + 70 y a a + 70 Vastaus x 3 cm ja y 3 cm.
31 69 Käytetään oheisen kuvan merkintöjä. Kuvan sisäkkäiset kolmiot BCS, ACE ja LCD ovat yhdenmuotoisia kk-lauseen nojalla, sillä ne ovat kaikki suorakulmaisia ja niillä on yhteinen terävä kulma C. Selvitetään, millä korkeudella näkölinja SC kulkee 3 metrin päässä aidan takana, eli määritetään korkeus h. Ratkaistaan ensin pituus x kolmioihin BCS ja ACE liittyvästä verrantoyhtälöstä. Kerrotaan ristiin x x,5 11(3 + x),5( + x) x 55 +,5x 8,5x : 8,5 x,588 (m)
32 Muodostetaan sitten verrantoyhtälö kolmioista ACE ja LCD ja ratkaistaan korkeus h. Kerrotaan ristiin. 3 + x,5 x h h(3 + x),5x : (3 + x),5x Sijoitetaan x,588 h 3 + x, 5, : 8,5 h 3 +, , h 5, h 1,1578 (m) Tuloksen perusteella Mikko voi nähdä kohteen aidan takana vain, jos se on vähintään 1,16 metriä korkea. Täten Mikko ei näe vain 105 cm pitkää lasta. Vastaus Mikko ei näe lasta.
33 70 Merkitään lyhyemmän kateetin pituutta kirjaimella a, jolloin pidemmän kateetin ja hypotenuusan pituudet ovat vastaavasti a ja 5a. Käytetään oheisen kuvan merkintöjä. Tehtävän 60 perusteella kaikki kuvan suorakulmaiset kolmiot ovat yhdenmuotoisia. Ratkaistaan verrantoyhtälöiden avulla lausekkeet pituuksille x ja y ja lasketaan lopuksi suhde x : y. Kolmiosta ABC ja CBD saadaan lauseke pituudelle x. AB BC CB BD 5a a Kerrotaan ristiin. a x 5ax a :( 5 a ) a x 5
34 Kolmiosta ABC ja ACD saadaan vastaavasti lauseke pituudelle y. AB AC AC AD 5a a Kerrotaan ristiin. a y 5ay 4 4a y 5 a :( 5 a ) Hypotenuusan jakosuhteeksi saadaan lopulta a 4a a 5 1 x: y : 1: a 4 Vastaus Korkeusjana jakaa hypotenuusan suhteessa 1 : 4.
35 71 Käytetään oheisen kuvan merkintöjä. Jotta syntyy kaksi nelikulmiota, on oltava 0 < x < 36. Pituus x on siis sellainen, että nelikulmiot ABEF ja CDEB ovat yhdenmuotoiset. Tämä voi tapahtua kahdella tavalla: vastinsivuparit ovat joko 1) AB ja CD sekä BE ja DE tai ) AB ja BC sekä BE ja CD (kuva mallintaa tapausta 1). Tutkitaan molemmat tilanteet erikseen. Tapaus 1) AB BE CD DE x x x( 36 x) 5 36x x 5 0 x 8,0501 tai x x 8,1 (cm) tai x 7,9 (cm) Kerrotaan ristiin. Ratkaistaan yhtälö laskimella.
36 Saadut ratkaisut ovat toistensa peilikuvat. Jos x 8,1 cm, niin 36 x 7,9 cm ja jos taas x 7,9 cm, niin 36 x 8,1 cm. Tapaus ) AB BE BC CD x x 15 x 1 36 x (36 x) ( 0) x 36 x x 36 : x 18 (cm) Kun x 18 cm, niin myös 36 x 18 cm, ja tällöin alkuperäinen nelikulmio jakautuu kahteen identtiseen puolikkaaseen. Vastaus ja 18 cm. Osien pituudet ovat joko 8,1 cm ja 7,9 cm tai 18 cm
37 7 Merkitään kysyttyä pinta-alaa kirjaimella A. Ratkaistaan A verrantoyhtälöstä. A 1 0, A 1 0, A 4, (ha) 0,76 Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Pinta-ala kartalla on siis A 4, ha 4, m 4,75 mm 4,8 mm. Vastaus Pinta-ala on 4,8 mm.
38 73 Merkitään kysyttyä pinta-alaa kirjaimella A ja muutetaan annetut pituusmitat samaan yksikköön. Tällöin pituusyksiköt supistuvat laskussa oikein ja pinta-ala saadaan tehtävänannon yksikössä km km m cm Ratkaistaan A verrantoyhtälöstä. A A A, (km ) Pinta-alojen suhde on vastinpituuksien osamäärän neliö. Pinta-ala kartalla on siis A, km, m 15,63 cm 0 cm. Vastaus Pinta-ala on 0 cm.
39 74 Merkitään yhden jako-osan pituutta kirjaimella a. Kysytty, kuvassa tummennettuna näkyvä pinta-ala A saadaan selville vähentämällä kolmen ylimmän osan muodostaman kolmion pinta-alasta A 3 kahden ylimmän osan muodostaman kolmion pintaala A. Kaikki kuvan sisäkkäiset kolmiot ovat yhdenmuotoisia kklauseen nojalla, sillä niillä on yhteinen huippukulma ja kyljen sekä vaakasuorien kantojen määräämät samankohtaiset, yhtä suuret kantakulmat. Ratkaistaan ensin pinta-ala A 3 koko kolmion ja kolmen ylimmän osan määräämän kolmion avulla muodostetusta verrantoyhtälöstä. A3 3a Pinta-alojen suhde on vastinpituuksien osamäärän 0 4a neliö. Pituudet a supistuvat. A 3 9 Kerrotaan ristiin A : 16 A 3 13,75 (cm )
40 Ratkaistaan sitten pinta-ala A koko kolmion ja kahden ylimmän osan määräämän kolmion avulla muodostetusta verrantoyhtälöstä. A a Pinta-alojen suhde on vastinpituuksien osamäärän 0 4a neliö. Pituudet a supistuvat. A 1 Kerrotaan ristiin A 0 : 16 A 55 (cm ) Tummennettu pinta-ala A saadaan näiden pinta-alojen erotuksena. A A 3 A 13,75 cm 55 cm 68,75 cm 69 cm. Vastaus Pinta-ala on 69 cm.
41 75 Käytetään oheisen kuvan merkintöjä. Sisäkkäiset kolmiot ABC ja EDC ovat yhdenmuotoiset kk-lauseen nojalla. Huippukulma C on yhteinen. Kantakulmat BAC ja DEC ovat samankohtaisina yhtä suuret, koska AB ED. Merkitään pienemmän huippukolmion EDC pinta-alaa A h ja koko kolmion pinta-alaa kirjaimella A. Näiden suhde on sama, kuin vastinpituuksien suhteen neliö. A CE h a 4 0, % A CA 3a 9 Pienen kolmion pinta-ala on siis 44% koko kolmion alasta. Vastaus Pinta-ala on 44% kolmion alasta.
42 76 a) Pinta-alojen suhde on vastinpituuksen suhteen neliö. Aiso 5, %. Apieni 15 Täten ison pallon pinta-ala on noin 78% - 100% 178% suurempi kuin pienen pallon ala. b) Tilavuuksien suhde on vastinpituuksen suhteen kuutio. 3 Viso 5 4, %. Vpieni 15 Täten ison pallon tilavuus on noin 463% - 100% 363% suurempi kuin pienen pallon tilavuus. Vastaus a) 178% suurempi b) 363% suurempi
43 77 Merkitään hahmojen korkeuksia ja tilavuuksia kirjamilla h ja V niin, että alaindeksit 1, ja 3 viittaavat kappaleisiin järjestyksessä pienimmästä suurimpaan. Nyt tiedetään, että h 1 7,5 cm, V 70 cm 3, h 3 5 cm ja V cm 3. a) Tilavuuksien suhde on vastinpituuksien suhteen kuutio. Muodostetaan verrantoyhtälö ja ratkaistaan tilavuus V 1. V 1 h 1 V3 h3 3 V1 7, ,5 V V 1 33,75 V 1 34 (cm 3 ) Pienimmän hahmon tilavuus on siis noin 34 cm 3.
44 b) Tilavuuksien suhde on vastinpituuksien suhteen kuutio. Muodostetaan verrantoyhtälö ja ratkaistaan korkeus h. 3 h V h V h h h 5 5 h 15 (cm) Keskimmäisen hahmon korkeus on siis 15 cm. Vastaus a) Tilavuus on 34 cm 3. b) Korkeus on 15 cm.
45 78 Merkitään suuremman lipun pituutta kirjaimella d ja ratkaistaan se verrantoyhtälöstä. d 3, 6 Pinta-alojen suhde on 1, 8 1,8 vastinpituuksien suhteen neliö., 0 d 1, 8 1,8 1, 8 d 1, 8 1, 8 d,4149 d,4 (m) Suuremman lipun pituus on siis noin,4 m. Vastaus Pituus on,4 m.
46 79 Merkitään tekstin korkeutta A4-paperilla h 4 ja A5-paperilla h 5. Lasketaan suhteen h 5 : h 4 arvo prosentteina ja päätellään vastaus. h 5 A Pinta-alojen suhde on A5 vastinpituuksien suhteen neliö. h4 AA4 h h A A 5 A5 4 A4 Nyt pinta-alojen suhde on A A5 : A A4 50 : 100 0,5, joten h 5 0,5 0, % h. 4 Pienennyksen yhteydessä tekstin korkeus pienenee noin 100% - 71% 9%. Vastaus Korkeus pienenee 9%.
47 80 Muutetaan aluksi pinta-alat samaan yksikköön. 8,5 m cm Merkitään monumentin ja pienoismallin pinta-aloja järjestyksessä A 1 ja A sekä tilavuuksia vastaavasti V 1 ja V. Lasketan sitten pinta-alojen avulla pienennöksen mittakaava k. k A A k 1 A A k Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Sijoitetaan pinta-alat. Ratkaistaan sitten tilavuus V verrantoyhtälöstä. V 3 k V Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. 1 V V V 0,863 (L) Pienoismallin tilavuus on siis noin 0,863 L,9 dl. Vastaus Tilavuus on,9 dl.
48 81 Merkitään alkuperäistä pinta-alaa A 1 ja pienennöksen pinta-alaa A. Näiden suhde on sama kuin vastinpituuksien suhteen neliö. Toisaalta kuvatun rakennuksen pinta-alan muutos on prosentteina sama, kuin koko pohjapiirroksen pinta-alan muutos. Nyt A A , %. 45 Pinta-ala pienenee siis noin 100% - 44% 56%. Vastaus Pinta-ala pienenee 56%.
49 8 a) Merkitään jotakin vapaasti valittua pituutta alkuperäisessä kappaleessa h 1 ja vastaavaa pituutta suurennetussa kappaleessa h. Merkitään alkuperäisen kappaleen pinta-alaa A 1 ja suurennetun kappaleen alaa A. Koska pinta-ala on viisinkertaistunut, on A : A 1 5 : 1 5. Määritetään suhde h : h 1. h A Pinta-alojen suhde on vastinpituuksien suhteen neliö. h1 A1 h 5 h1 h 5, h 1 h 4% h 1 Pituuksia on siis suurennettava 4% - 100% 14%.
50 b) Merkitään jotakin vapaasti valittua pituutta alkuperäisessä kappaleessa h 1 ja vastaavaa pituutta suurennetussa kappaleessa h. Merkitään alkuperäisen kappaleen tilavuutta V 1 ja suurennetun kappaleen tilavuutta V. Koska pinta-ala on viisinkertaistunut, on V : V 1 5 : 1 5. Määritetään suhde h : h 1. 3 h V Pinta-alojen suhde on vastinpituuksien suhteen neliö. h1 V1 3 h 5 h1 h 3 5 1, h 1 h 171% h 1 Pituuksia on siis suurennettava 171% - 100% 71%. Vastaus a) Pituuksia on suurennettava 14% b) Pituuksia on suurennettava 71%
51 83 Määritetään ensin pituuksien muutossuhde, eli mittakaava, kun pintaala pienenee suhteessa : 3. Koska pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö, saadaan mittakaavalle seuraava arvo. k 3 k 3 Uudet pituuden saadaan nyt kertomalla vanhat tällä mittakaavan arvolla. Pituus 0 cm muuttuu pituudeksi 0cm 16,399...cm 16cm 3. Pituus 1 cm muuttuu pituudeksi 1cm 17, cm 17cm 3. Pituus 9 cm muuttuu pituudeksi 9cm 3, cm 4cm 3. Vastaus Uudet pituudet ovat 16 cm, 17 cm ja 4 cm.
52 84 Merkitään pienen ja suuren ympyrän halkaisijoita d ja D ja pintaaloja vastaavasti A p ja A s. Koska D 3d, saadaan pinta-alojen Ap d d 1 1 suhteeksi, josta Ap As. As D 3d 9 9 Koska pieniä ympyröitä on kuviossa 7 kappaletta, kysytty pintaalojen suhde on 1 7A 7 As p 9 7 7:9. A A 9 s s Vastaus Pinta-alojen suhde on 7 : 9.
53 85 Lasin poikkileikkaus sisältää kaksi sisäkkäistä kolmiota, jotka ovat keskenään yhdenmuotoiset kk-lauseen nojalla. Kolmioilla on yhteinen huippukulma ja kyljen sekä vaakasuorien linjojen rajaamat yhtä suuret, samankohtaiset kantakulmat. Itse lasi ja sisällä oleva juomapatsas ovat kartioita, ja myös nämä ovat keskenään yhdenmuotoiset. Kun lasin kokonaistilavuutta merkitään V L ja juoman tilavuutta V J, saadaan tilavuuksien suhteeksi V V J L 3 7 0, %. 1 Juoma täyttää siis noin 0% lasin tilavuudesta, jolloin vapaa tilavuus on 100% 0% 80%. Vastaus Vapaana on 80%.
54 86 Merkitään sisään syntyvän pienen kolmion kannan pituutta kirjaimella a, jolloin koko kolmion kanta on pituudeltaan 3a. Kuvan sisäkkäiset kolmiot ovat yhdenmuotiset kk-lauseen nojalla. Huippukulma on yhteinen Kantakulmat ovat samankohtaisina yhtä suuret, koska kannat ovat yhdensuuntaiset. Merkitään huippukolmion pinta-alaa A ja ratkaistaan se verrantoyhtälöstä. A a Alojen suhde on vastinpituuksien suhteen neliö. 1 3a A A Pohjalle jäävän puolisuunnikkaan pinta-ala on nyt Vastaus Puolisuunnikkaan pinta-ala on 10 3.
55 87 Tarvittavan päällystekullan määrä on suorassa suhteessa pinta-alaan. Pinta-alojen suhde taas on vastinpituuksien suhteen neliö. Merkitään suurempaan kupoliin tarvittavan kullan massaa M ja ratkaistaan se verrantoyhtälöstä. M,50 85, 7 1,80 M,50 85,7 1,80 M 165,3163 M 165 (g) 85,7 Kultaa tarvitaan siis noin 165 g. Vastaus Kultaa tarvitaan 165 g.
56 88 a) Merkitään suuren neliön sivun pituutta a, jolloin sivun puolikas on a. Merkitään edelleen pienemmän neliön sivun pituutta x. Suuren neliön pinta-ala on A 1 (a) 4a. Sisemmän neliön ulkopuolelle jää neljä identtistä suorakulmaista kolmiota, joiden 1 yhteispinta-ala on 4 a a a. Täten sisemmän neliön pintaalaksi saadaan A 4a a a. Toisaalta sisemmän neliön ala on x, joten voimme ratkaista sivun pituuden yhtälöstä. x a x a x a (a > 0) Neliöiden välinen mittakaava on ( a 1 x:( a) 1:. a Pinta-alojen suhde on a 1 A : A1 1:. 4a 4
57 b) Edellisen kohdan perusteella seuraavan kuvioon syntyvän neliön pinta-ala on aina puolet edellisestä, jolloin pinta-alat muodostavat geometrisen jonon. Kun ensimmäisen neliön pinta-ala on A 1 ja jonon suhdeluku on 1, saadaan n:nnen neliön pinta-ala A n An n 1 1 A1 kaavasta. Ratkaistaan nyt epäyhtälön avulla, millä luvun n arvolla on ensimmäisen kerran A n < 0,001 A 1. A n < 0,001 A 1 n 1 1 A1 < 0,001A1 n 1 1 < 0,001 n > 10,9657 n 11 : A 1 Ratkaistaan epäyhtälö laskimella. n on kokonaisluku. Ensimmäinen ehdon toteuttava neliö on siis 11. neliö. Vastaus a) Mittakaava on 1: ja pinta-alojen suhde on 1 :. b) 11. neliö
58 89 a) Käytetään oheisen kuvan merkintöjä. Koska FE BC, on samankohtaisuuden perusteella EAFE E ABC ja EAEF E ACB. Koska ED AB, on samankohtaisuuden perusteella ECED E CAB ja ECDE E CBA. Koska DF CA, on samankohtaisuuden perusteella BDF BCA ja BFD BAC. Näiden havaintojen pohjalta voimme täydentää kuvaa. Kolmion kulmasumman perusteella α + β + γ 180. Yllä olevasta kuvasta voidaan nyt laskea sisemmän kolmion kulmien suuruudet. E EFD 180 α β γ (Oikokulman suuruus on 180.) E FED 180 α γ β E EDF 180 β γ α
59 Kolmion DEF kulmat ovat siis yhtä suuret, kuin kolmion ABC kulmat, joten kolmiot ovat yhdenmuotoiset. Koska kukin sisemmän kolmion sivuista on pituudeltaan puolet suuren kolmion vastinsivustaan, on kolmioiden välinen mittakaava 1 :. Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö, eli (1 : ) 1 : 1 : 4. b) Edellisen kohdan nojalla seuraavan kolmion pinta-ala on aina 1 4 edellisen kolmion alasta. Sisäkköisten kolmioiden pinta-alat muodostavat näin geometrisen jonon, jossa n:nnen kolmion ala 1 < 0, n > 10,9657 n 11 An n 1 1 A1 saadaan kaavasta. Ratkaistaan epäyhtälön avulla, 4 millä luvun n arvolla on ensimmäisen kerran A n < 0, A 1. A n < 0, A 1 n 1 1 : A 1 A1 < 0,000001A1 4 n 1 Ratkaistaan epäyhtälö laskimella. n on kokonaisluku. Vastaus a) Mittakaava on 1 : ja pinta-alojen suhde on 1 : 4. b) 11. kolmio
60 90 a) Jos alkuperäisen kartan pinta-ala on A 1 ja pienennetyn kartan ala A, on pinta-alojen suhde A : A 1 1 :. Merkitään tien pituutta alkuperäisellä kartalla a ja pituutta luonnossa d. Ratkaistaan d kahden peräkkäisen verrantoyhtälön avulla. 13,5 1 Pinta-alojen suhde on vastinpituuksien suhteen neliö. a 13,5 1 a Kerrotaan ristiin. a 13,5 a 19, (cm) Edelleen, 19, d 5000 d ,0918 d ,07 (cm) Kerrotaan ristiin. Tien todellinen pituus on siis noin ,07 cm 4,77 km 4,8 km.
61 b) Uuden, pienennetyn kartan mittakaavaksi saadaan edellisten laskujen perusteella 13,5 13,5 13,5 k , , , : , (Huomaa, että mittakaava on peräkkäisten pienennyssuhteiden tulo.) Vastaus a) Tien pituus kartalla on 9,5 cm. b) Pienen kartan mittakaava on 1 :
62 91 Kuvan neljä sisäkkäistä kolmiota ovat kaikki yhdenmuotoisia kklauseen nojalla, sillä niillä on yhteinen huippukulma ja kyljen ja vaakasuorien linjojen rajaamat yhtä suuret, samankohtaiset kantakulmat. Merkitään sisäkkäisten kolmioiden pinta-aloja huipulta lukien suurenevassa järjestyksessä A 1, A, A 3 ja A 4. Tehtävänannon perusteella AC 30 ja pinta-alojen välillä ovat seuraavat yhteydet. A A 1, A 3 3A 1 ja A 4 4A 1 a) Ratkaistaan janan CD pituus verrantoyhtälöstä. CD Pinta-alojen suhde on A 1 vastinpituuksien suhteen neliö. CA A4 CD A 1 4 4A CD CD 15 Janan CD pituus on siis 15.
63 b) Janan EF pituus saadaan erotuksena CF CE. Ratkaistaan siis ensin CF ja sitten CE samaan tapaan, kuin a-kohdassa. CF Pinta-alojen suhde on A 3 vastinpituuksien suhteen neliö. CA A4 CF A 3A 3 3A 1 ja A 4 4A A1 CF CF Edelleen CE Pinta-alojen suhde on A vastinpituuksien suhteen neliö. CA A4 CE A A A 1 ja A 4 4A A1 CE CE Näiden tulosten perusteella EF CF CE ( 3 ) ( 4,8) Vastaus a) CD 15 b) EF 15( 3 ) ( 4,8)
64 9 Kun alkuperäisen piirroksen pinta-ala on A 1, niin pienennetyn piirroksen pinta-ala on A 0,7A 1. Kun kopion korkeutta merkitään kirjaimella x, on alkuperäisen piirroksen korkeus x + 14 (cm). Ratkaistaan korkeus x verrantoyhtälöstä. x A Pinta-alojen suhde on vastinpituuksien suhteen neliö. x+ 14 A1 x A 0,7A 1 0,7 x + 14 x (x + 8x + 196) ( 0) 0,7 x + 8x+ 196 x 0,7(x + 8x + 196) x 0,7x + 19,6x + 137, 0,3x 19,6x 137, 0 Ratkaistaan yhtälö laskimella. x 71,710 tai x -6,377 Korkeus on positiivinen. x 7 (cm) Kopion korkeus on noin 7 cm. Vastaus Kopion korkeus on noin 7 cm.
65 93 Merkitään 1 litran ja 3 litran pullojen muovimääriä m 1 ja m 3 ja tilavuuksia V 1 ja V 3. Pullot ovat yhdenmuotoiset ja niiden välinen mittakaava k voidaan ratkaista kahdella eri tavalla yhtälön avulla. k m m 1 k 3 m m 1 3 Muovimäärien ja pinta-alojen suhde on sama. Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. ja k V V k 3 1 k 3 3 Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Nyt voidaan selvittää muovimäärien suhde. k k m1 1 3 m 3 3 m1 1 1 Kerrotaan ristiin. 3 3 m 3 3 ( 3) 3 m3 ( 3) m1 m 3,0800 m 1 m 3,1m 1 Suuremman pullon muovimäärä on siis noin,1-kertainen.
66 Lasketaan sitten lausekkeet molempien pullojen muovimäärän ja tilavuuden suhteelle (yksikkönä muovin määrä/litra). m1 1 litran pullo: m 1 1 m3, m1 3 litran pullo: 0, m 3 3 Osamäärä 1 0, m m 1 1 0, %, joten litraa kohden suuremman pullon muovimäärä on 100% 69% 31% pienempi. Vastaus Suuremman pullon muovimäärä on,1-kertainen ja litraa kohden muovia on käytetty 31% vähemmän.
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus
a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.
Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.
A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen
C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio
Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun
5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.
5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)
Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!
5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit
α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.
K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α
Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m
MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista
GEOMETRIAN PERUSTEITA
GEOMETRIAN PERUSTEITA POHDITTAVAA. 2. Suurennoksen reunat ovat epäteräviä bittikarttakuvassa mutta teräviä vektorigrafiikkakuvassa.. Peruskäsitteitä ALOITA PERUSTEISTA 0. Kulma α on yli 80. Kulma β on
5 TASOGEOMETRIA. ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 23,5 m eri yksiköihin. 23,5 m = 235 dm = 2350 cm = mm ja 23,5 m = 0,0235 km
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 30.7.018 5 TASOGEOMETRIA ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 3,5 m eri yksiköihin. 3,5 m = 35 dm = 350 cm = 3 500 mm ja 3,5 m = 0,035
Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa
Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi
1 Kertausta geometriasta
1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x 35 80 x 180 35 80 x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat
Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli
Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat
M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset
Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy
Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.
Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,
0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9
Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5
Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =
( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten
1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α 180 5 155 b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia,
Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
MAA03.3 Geometria Annu
1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
2 Kuvioita ja kappaleita
Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (
Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12.
Tekijä Pitkä matematiikka 3 10.10.2016 94 Pythagoraan lauseella saadaan yhtälö 15 2 = 9 2 + a 2 a 2 = 15 2 9 2 = 225 81 = 144 a = ± 144 a = 12 tai a = 12 Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).
0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden
Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29.
1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi.
203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C
KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.
KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )
MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA
MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin
Ratkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä
14 Monikulmiot 1. Nimeä monikulmio. a) b) c) Laske monikulmion piiri. a) 30,8 cm 18,2 cm. Laske sivun x pituus, kun monikulmion piiri on 25,0 cm.
1 14 Monikulmiot Nimeä monikulmio. a) b) c) kolmio nelikulmio 12-kulmio Laske monikulmion piiri. a) 4,2 cm b) 3,6 cm 11,2 cm 4,8 cm 3,6 cm 4,3 cm 30,8 cm 18,2 cm Laske sivun x pituus, kun monikulmion piiri
x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!
MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13
Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3
2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA
Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia
3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet
3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet Ennakkotehtävät. a) Matkapuhelimen etäisyys tukiasemasta A on 5 km. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on tukiasema A ja säde 5 km (5 ruudun sivua). Matkapuhelin
Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5
Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =
Pituus- ja pinta-alayksiköt. m dm cm mm. km hm dam m. a) neljän pienen kohteen pituus millimetreiksi, senttimetreiksi ja desimetreiksi
Pituus- ja pinta-alayksiköt 1 Pituusyksiköt Pituuden perusyksikkö on metri, ja se lyhennetään pienellä m-kirjaimella. Pienempiä ja suurempia pituusyksiköitä saadaan kertomalla tai jakamalla luvulla 10,
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä
Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia
Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,
Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.
Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.
302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360
Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon
A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN
alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä
Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin
Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen
Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen
Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.
Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)
1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio
Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
Tekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
Kartio ja pyramidi
Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota
Summa 9 Opettajan materiaali Ratkaisut
Sisällysluettelo Laskutoimituksia Laskutoimitukset luvuilla Lausekkeiden sieventäminen 8 Yhtälöitä ja prosenttilaskentaa Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälö Prosenttilaskenta Tasogeometriaa Tasogeometrian
Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on
2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Kappaleet II ja III ovat likimain lieriöitä.
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.018 6 AVARUUSGEOMETRIA ALOITA PERUSTEISTA 8A. a) Kappale II on likimain särmiö. Vastaus: II b) Kappaleet II ja III ovat likimain
Suorakulmainen kolmio
Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2
x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla
Johdatus GeoGebraan Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Harjoitus 1B. Konstruoi tasakylkinen kolmio ABC, jonka kyljen pituus on 5. Vihje: käytä Kiinteä jana työvälinettä kahdesti. Ota kolmion
15. Suorakulmaisen kolmion geometria
15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen
4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ
1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ 1. Käyttäen tietoa a = a a laske: a) 8 b) ) c) 0, d) ) 1 e) 1) f) +,) g) 7 h) ) i). Laske näiden lukujen neliöt: 17 9 1,6 1. Laske: ) a) ) b). Laske a, kun 5) 1 ) 11 11 81. j)
4 LUKUJONOT JA SUMMAT
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 4 LUKUJONOT JA SUMMAT ALOITA PERUSTEISTA 45A. Määritetään lukujonon (a n ) kolme ensimmäistä jäsentä ja sadas jäsen a 00 sijoittamalla
Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio
Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)
Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.
ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x 2 = 7? (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön 5 4 x
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 01 Arkkitehtimatematiikan koe, 1..01, Ratkaisut (Sarja A) 1. Anna kohdissa a), b) ja c) vastaukset tarkkoina arvoina. a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1
Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit
Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.
Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 1.2.2013 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.
yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y