1 Kertausta geometriasta

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1 Kertausta geometriasta"

Transkriptio

1 1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x x x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuria, joten suunnikkaassa on kaksi 65 :n kulmaa ja kaksi x kulmaa. Suunnikkaan kulmien summa on 360, joten voidaan laskea: x x x x 30 : x 115

2 c) Tasakylkisen kolmien kantakulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiossa on kaksi x kulmaa. Kolmion kulmien summa on 180, joten voidaan laskea: x x x x 140 : x 70 d) Tasakylkisen puolisuunnikkaan kantakulmat ovat keskenään yhtä suuria, samoin kannan vastaiset kulmat, joten puolisuunnikkaassa on kaksi 15 :n kulmaa ja kaksi x kulmaa. Tasakylkisen puolisuunnikkaan kulmien summa on 360, joten voidaan laskea: x x x x 110 : x 55

3 . Kolmio BC on tasakylkinen kolmio. Tasakylkisen kulmien summa on C α B Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan α

4 Tarkastellaan tasakylkistä kolmiota EDC. 55 D b 55 C β 55 α E B Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan b. b b b 70

5 Tarkastellaan kolmiota DBC. 55 D b 55 C β 55 α α 1 E B Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä β

6 3. a) Piirretään suunnikas BCD. D α γ C β B Tarkastellaan suunnikkaan sisällä olevaa tasasivuista kolmiota ED. D α γ C β E B Tasasivuisen kolmion kulmat ovat yhtä suuret. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan α :3 60 Tarkastellaan suunnikasta BCD. Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret. D α γ 60 C 60 E β B

7 Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä β : 10 Nyt voidaan laskea γ

8 b) Piirretään suorakulmainen kolmio BC. B 30 β C Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä β Tarkastellaan suorakulmaisen kolmion sisällä olevaa tasasivuista kolmiota BDE. B 30 D α E β C

9 Tasasivuisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan α Kulma γ ja kulma x muodostavat oikokulman. B 30 D α x γ E β C Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan γ. x 180 x

10 4. a) Merkataan kantakulmia α:lla, tällöin huippukulmaa kuvaava lauseke on 30. Kolmion kumien summa on 180. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan α : 3 50 Kantakulmat ovat 50 ja huippukulma on b) Merkataan suorakulmaisen kolmion teräviä kulmia x ja 7x. Suorakulmaisessa kolmiossa yksi kulma on 90. Kolmion kulmien summa on 180. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan x. x 7x x 7x x 90 :9 x 10 Terävät kulmat ovat 10 0 ja

11 5. a) Muodostetaan yhtälö ratkaistaan siitä x. 3x 4x 5x 48cm 1x 48cm :1 x 4cm Sivut ovat 3 4cm 1cm, 44cm 16cmja 5 4cm 0cm. b) Kolmion pinta-ala voidaan laskea kaavalla: kanta korkeus 16cm 1cm 96cm.

12 6. a) Merkataan kolmion lyhyempää kateettia kirjaimella x, tällöin pidempää kateettia kuvaa lauseke x + 7 cm. Muodostetaan piirin yhtälö ja ratkaistaan x. x ( x 7 cm)+13cm 30 cm x x 30 cm 7 cm 13cm x 10cm : x 5cm Kateettien pituudet ovat 5 cm ja 5 cm + 7 cm = 1 cm.

13 b) Kolmion pinta-ala on 4,0 cm. Muodostetaan pinta-alan avulla yhtälö ja ratkaistaan se. x x ( x 7) 4 x ( x 7) 8 x 7x 8 7x 8 0 x ( 8) 7 81 x x x 1 tai x 8 Koska sivun pituus on aina positiivinen, x = 1 (cm). Kateettien pituudet ovat 1 cm ja 1 cm + 7 cm = 8 cm.

14 7. a) Tasakylkisen kolmion kylkien pituudet ovat yhtä suuret. Merkataan sivun pituutta kirjaimella x, tällöin kantaa kuvaa lauseke x + 3 cm. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x x ( x 3cm) 18cm x x x 18cm 3cm 3x 15cm :3 x 5cm Kolmion sivut ovat 5 cm, 5 cm ja 5 cm + 3cm = 8cm. b) Merkataan kannan pituutta kirjaimella x, tällöin korkeus on 6x. Muodostetaan pinta-alan avulla yhtälö ja ratkaistaan se. x (6 x) 1 x 6 4 :6 x 4 x Koska kannan pituus on aina positiivinen, x = (cm). Korkeus on 6 cm 1cm.

15 8. Merkataan erisuuntaisia sivuja 3x ja 4x. Muodostetaan piirin yhtälö ja ratkaistaan siitä x. 3x 4x 3x 4x 4cm 14x 4 cm :14 x 3cm Suorakulmion erisuuntaiset sivut ovat: 33cm 9cm 4 3cm 1cm Lasketaan suorakulmion pinta-ala. 9cm 1cm 108cm.

16 9. Merkataan suorakulmion lyhyempää sivua kirjaimella x, tällöin pidempää sivua kuvaa lauseke x + cm. Muodostetaan pinta-alan avulla yhtälö ja ratkaistaan se. x x x 35 x 35 0 x 1 x 4 1 ( 35) x 1 1 x 5 tai x 7 Koska sivun pituus on aina positiivinen, x = 5 (cm). Pidemmän sivun pituus on tällöin 5 cm + cm. Lasketaan piiri. 5 cm 7 cm 5 cm 7 cm 4 cm

17 10. a) Tasakylkisen puolisuunnikkaan kantakulmat ovat yhtä suuria, samoin kannan vastaiset kulmat. Merkataan kantakulmia kirjaimella x, tällöin kannan vastaisia kulmia kuvaa lauseke x + 0. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan x. x x ( x 0 ) ( x 0 ) 360 x x x x x 30 : 4 x 80 Kantakulmat ovat 80 ja kannan vastaiset kulmat ovat = 100. b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuria. Merkataan kulmia 4x ja 5x. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan x. 4x 5x 4x 5x x 360 :18 x 0 Suunnikkaan kulmat ovat ja

18 11. Merkataan korkeutta kirjaimella h. Muodostetaan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan sen avulla korkeus h h 30 : 4 8 h :30 h h 5 1 Tasakylkisen puolisuunnikkaan korkeus on 5 cm.

19 1. Merkataan yhdensuuntaisia sivuja x ja 3x. Muodostetaan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x 3x : 3 x 3x 1: 4x 1 3 4x 8 :4 x (cm) Yhdensuuntaisten sivujen pituudet ovat cm ja 3cm 6cm.

20 13. a) α b) α c) α

21 14. a) B C b) a c B b C

22 15. a) B C b) B C

23 c) B C d) C B

24 16. a) B h C b) B h C

25 c) B h C d) C B h

26 17. a) h b) h c)

27 18. a) Lasketaan liikkeen aurinkosuojan pinta-ala. 3,6 3,1 5,58 (m ) Lasketaan liikkeen B aurinkosuojan pinta-ala.,8 4, 5,88 (m ) Nyt voidaan laskea, kuinka paljon liikkeen B aurinkosuojan pinta-ala on suurempi kuin liikkeen aurinkosuojan pinta-ala. 5,88 5,58 0, ,4 % 5,58 Liikkeen B aurinkosuoja varjostaa 5,4 % suuremman pinta-alan verrattuna liikkeen aurinkosuojaan.

28 b) Merkataan liikkeen B aurinkosuojan toista kateettia kirjaimella x. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan x.,8 x 5,58 x 3, x 4,0 Toisen kateetin tulisi olla 4,0 m pitkä.

29 19. Lasketaan yhden puolisuunnikkaan pinta-ala. 15,0 7,0 6,0 66 (m ) 1 Lasketaan yhden tasasivuisen kolmion pinta-ala. 8,0 6,0 4 (m ) Nyt voidaan laskea koko katon pinta-ala. 66 m 4 m 180 m 1 Koska tiiliä tilataan 5 % katon pinta-alaa suuremmalle määrälle, kerrotaan tämä vielä prosenttikertoimella 1, m 1, m Nyt voidaan laskea kuinka paljon 189 m kattotiiliä tulee maksamaan. 189 m 9, 0 /m 1738,8 1739

30 0. a),5 km = 500 m. Lasketaan nurmialueen piiri. p 335 m 40 m 335 m 40 m 750 m Merkataan kierroksien määrää kirjaimella x. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan x. 750 x 500 x 3, Nurmialue tulee kiertää vähintään 4 kertaa, jotta kävelymatkan pituus olisi yli,5 km. b) Lasketaan nurmialueen pinta-ala. 335 m 40 m m 134 a Lasketaan, kuinka paljon siemeniä tarvitaan nurmikon kylvämiseen. 134 a 1,8 kg/a 41, kg 40 kg Siemeniä tarvitaan 40 kg.

31 1. Kuvan kolmio BC on tasakylkinen kolmio, koska kolmion sivut ovat yhtä pitkät. Tasakylkisessä kolmiossa kantakulmat ovat yhtä suuret. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan α : 71 Kolmion sisällä on tasakylkinen puolisuunnikas. Tasakylkisen puolisuunnikkaan kantakulmat ovat keskenään yhtä suuria, samoin kannan vastaiset kulmat. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan β : 109

32 . a) Tasakylkisen kolmion kyljet ovat yhtä pitkiä. Merkataan kolmion kyljen pituutta kirjaimella x. Muodostetaan piirin yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x x ( x 4) 64 x x x x 60 :3 x 0 (cm) Kolmion kyljet ovat 0 cm ja kolmion kanta on 0 cm + 4 cm = 4 cm. b) Merkataan kolmion korkeutta kirjaimella h. Muodostetaan panta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä h. 4 h 4 19 : 4 h 19 : h 19 4 h 16 (cm)

33 3. Merkataan tasakylkisen puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen pituuksia x ja 5x. Koska puolisuunnikkaan korkeus on yhtä pitkä kuin lyhyempi yhdensuuntaisista sivuista, merkataan sitäkin kirjaimella x. Muodostetaan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x 5x x 1 6x x 4 6x 4 :6 x 4 x Koska pituus on aina positiivista, x =. Puolisuunnikkaan yhdensuuntaisten sivujen pituudet ovat cm ja 5 cm 10cm.

34 4. a) h B C b) B h C

35 c) B C h D d) D C h 60 B

36 5. Magneettitaulun leveys on 180 cm = 1,80 m ja korkeus 110 cm = 1,10 m. Lasketaan magneettitaulun pinta-ala. 1, 80 m 1,10 m 1, 98 m Koska magneettitaulu maalataan kolmeen kertaan, niin maalia tulee ostaa 31,98m 5,94m pinta-alalle. Litralla saadaan maalattua 1,4 neliömetriä. Lasketaan, kuinka monta litraa magneettimaalia menee yhteensä. 5,94 m 1, 4 m / l 4,485...l Koska maalia myydään 0,5 litran purkissa purkkeja tulee ostaa 4,485...l 8, kpl. 0,5l Lasketaan kuinka paljon 9 purkkia maalia maksaa. 5, ,10 Maalaamista varten ostettava magneettimaali maksaa 476 euroa.

37 1. Ympyrä 6. a) 4 8 b) c)

38 7. a) Kun halkaisijan pituus on 14, säteen pituus on 14 : 7. Ympyrän pinta-ala on b) Kun halkaisijan pituus on 1, säteen pituus on : Ympyrän pinta-ala on c) Kun halkaisijan pituus on, säteen pituus on :. 4 3 Ympyrän pinta-ala on

39 8. a) Lasketaan ympyrän kehän pituus. p 10 0 Lasketaan ympyrän pinta-ala b) Merkataan ympyrän sädettä kirjaimella r. Muodostetaan ympyrän pintaalan yhtälö ja ratkaistaan siitä r. r r 36 : 36 r 36 6 Koska pinta-ala on aina positiivista, 6 r. Lasketaan ympyrän halkaisija. 6 1 d r

40 9. O a) O b) B O

41 30. a) 3 b) Lasketaan ympyrän halkaisija säteen avulla. d r 3 c) Kehän pituus on halkaisijan ja piin tulo: p d 6 6 d) Lasketaan ympyrän pinta-ala. 3 r 3 9

42 31. r R

43 3. a) Lasketaan ympyrän kehän pituus. p 13, cm 8, cm 8,9 cm b) Lasketaan ympyrän pinta-ala. (13, cm) 547, cm 547 cm

44 33. a) Lasketaan ensin koko nelikulmion pinta-ala ja vähennetään siitä ympyröiden pinta-ala. Nelikulmion korkeus on 7, cm, joten ympyrän halkaisija on 7, cm. Koska nelikulmion sisällä on kaksi ympyrää, joiden halkaisija on 7, cm, nelikulmion leveys on 7, cm 14,4 cm. Lasketaan nelikulmion pinta-ala. 1 14,4 cm 7, cm 103,68 cm Koska ympyrän halkaisija on 7, cm, ympyrän säde on 7, cm : 3,6 cm. Lasketaan ympyrän pinta-ala. (3, 6 cm) 40, cm Lasketaan molempien ympyröiden pinta-ala. 40, cm 81, cm Nyt voidaan laskea väritetyn alueen pinta-ala ,68 cm 81, cm, cm cm

45 b) Lasketaan ensin koko nelikulmion pinta-ala ja vähennetään siitä ympyröiden pinta-ala. Nelikulmion leveys on 5,0 mm ja kahden ympyrän halkaisija on 5,0 mm, joten ympyrän halkaisija on 5, 0 mm : 1,5 mm. Nelikulmion korkeus on myös kaksi ympyrän halkaisijaa, joten nelikulmion korkeus on myös 5,0 mm. Lasketaan nelikulmion pinta-ala. 1 5,0 mm 5,0 mm 65 mm Ympyrän halkaisija on 1,5 mm, joten ympyrän säde on 1,5 mm : 6, 5 mm. Lasketaan yhden ympyrän pinta-ala. (6,5 mm) 1, mm Lasketaan kaikkien ympyröiden pinta-ala , mm 490, mm Nyt voidaan laskea väritetyn alueen pinta-ala mm 490, mm 134, mm 134 mm

46 34. Kuvio muodostuu neliöstä ja kahdesta puoliympyrästä. Neliön sivun pituus on 3,0 cm ja puoliympyröiden halkaisijat ovat 3,0 cm, joten puoliympyröiden säde on 3, 0 cm : 1,5 cm. Kuvion piiri muodostuu neliön kahdesta sivusta sekä puoliympyröiden kehistä. Lasketaan kahden puoliympyrän eli yhden ympyrän kehän pituus. p1 1,5 cm 9, cm Lasketaan koko kuvion pinta-ala. p p 1 3,0 cm 3,0 cm 15, cm 15 cm Kuvion pinta-ala muodostuu neliöstä ja ympyrästä. Lasketaan ympyrän pinta-ala. 1 (1,5 cm) 7, cm Lasketaan neliön pinta-ala. 3,0 cm 3,0 cm 9,0 cm Nyt voidaan laskea koko kuvion pinta-ala. 1 7, cm 9,0 cm 16, cm 16 cm

47 35. a) Maalauksen halkaisija on 130,8 cm, joten maalauksen säde on 130,8 cm : = 65,4 cm. Lasketaan maalauksen ympärysmitta eli kehän pituus. 65, 4 cm 410, cm 410,9 cm b) Lasketaan maalauksen pinta-ala. (65, 4 cm) , cm cm

48 36. a) Muodostetaan ympyrän kehän yhtälö ja ratkaistaan siitä säde r. r 75 cm r 11, cm Nyt voidaan laskea ympyrän halkaisija. d r 11, cm 3, cm 4 cm b) Nyt kun tiedetään ympyrän säde r, voidaan laskea ympyrän pinta-ala. r (11, cm) 447, cm 450 cm

49 37. Pöydän ympärysmitta eli kehän pituus on 314 cm. Muodostetaan kehän yhtälö ja ratkaistaan siitä r. r 314 cm 314 cm r Nyt voidaan laskea ympyrän pinta-ala. r 314 cm 7846, cm 7850 cm

50 38. Lasketaan kaula-aukon säde ja kauluksen säde. Merkitään kaula-aukon sädettä kirjaimella x ja kauluksen sädettä kirjaimella y. Muodostetaan kaula-aukon kehänpituuden yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x x Muodostetaan kauluksen kehänpituuden yhtälö ja ratkaistaan siitä y. y y Kauluksen leveys lasketaan vähentämällä kaula-aukon säde kauluksen säteestä y x cm cm 50 cm 7, cm 8,0 cm

51 39. a) Merkitään ympyrän säteen pituutta kirjaimella r. Muodostetaan pintaalan yhtälö ja ratkaistaan siitä säde r. r 30 r 30 Koska pituus on aina positiivista, 30 r. Ympyrän halkaisija d on kaksi kertaa pitempi kuin säde. Lasketaan ympyrän halkaisija. d r 30 cm 17, cm 17 cm

52 b) Merkitään ympyrän säteen pituutta kirjaimella r. Muodostetaan pintaalan yhtälö ja ratkaistaan siitä säde r. r 1,6 r 1,6 Koska pituus on aina positiivista, 1,6 r. Ympyrän halkaisija d on kaksi kertaa pitempi kuin säde. Lasketaan ympyrän halkaisija. d r 1,6 cm 4, cm 4,01 cm

53 40. Merkitään ympyrän sädettä kirjaimella r. Muodostetaan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä r. r 63,6 r 63,6 Koska pituus on aina positiivista, 63,6 r. Muodostetaan ympyrän kehäpituuden yhtälö ja ratkaistaan se. 63,6 r cm 8, cm 8,3 cm

54 41. Muutetaan Lehtijärven pinta-ala neliökilometreiksi. 700 ha 7 km Merkitään järven sädettä kirjaimella r. Muodostetaan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä r. r 7 r 7 Koska pituus on aina positiivista, 7 r. Halkaisija d on kaksi kertaa suurempi kuin säde. Lasketaan halkaisijan pituus. d r, km 3,0 km

55 4. Merkitään ympyrän ja neliön piiriä kirjaimella p. Merkitään neliön sivun pituutta kirjaimella x. Lasketaan neliön sivun pituus. x x x x p x p 4 Lasketaan neliön pinta-ala. neliö p p p x x Merkitään ympyrän sädettä kirjaimella r. Muodostetaan ympyrän kehäpituuden yhtälö ja ratkaistaan r. r p p r Lasketaan ympyrän pinta-ala. p p p ympyrä r 4 4

56 Lasketaan, kuinka paljon neliön pinta-ala on pienempi kuin ympyrän pintaala. ympyrä ympyrä neliö p p 4 16 p , ,15 1,5%

57 b) Lasketaan kuinka paljon ympyrän pinta-ala on suurempi kuin neliön pinta-ala. ympyrä neliö neliö p p 4 16 p , ,73 7,3%

58 43. a) b) 140 c) 30

59 44. a) O b) α O c) b B α O

60 45. B α O

61 46. a) Lasketaan sektorin kaarenpituus. 70,87 b,9 cm 3, cm 3,6 cm 360 Lasketaan sektorin pinta-ala. 70,87 (,9 cm) 5, cm 5, cm 360 b) Lasketaan sektorin kaarenpituus. 300,94 b 1,55 m 8, m 8,14 m 360 Lasketaan sektorin pinta-ala. 300,94 (1,55 m) 6, m 6,31 m 360

62 47. a) Pitsanpalan säde on puolet pitsan halkaisijasta eli 34 cm : 17 cm. Pitsanpalan pinta-ala on 5 (17 cm) 63, cm 63 cm 360 b) Lasketaan pitsanpalan ulkoreunan eli kehänpituus. 5 p 17 cm 7, cm 7, 4 cm 360

63 48. a) Viuhkan pinta-ala on 75 (4 cm) 376, cm 380 cm 360 b) Lasketaan viuhkan ulkoreunan pituus eli sektorin kehänpituus. 75 b 4 cm 31, cm 31 cm 360

64 49. Lasketaan ensin sektorin pinta-ala ja vähennetään siitä suorakolmion pintaala. Koska keskuskulma on suorakulma, se on 90. Lasketaan sektorin pintaala. sektori 90 (13 cm) 13, cm 360 Lasketaan suorakolmion pinta-ala. kolmio 13 cm 13 cm 84,5 cm Nyt voidaan laskea väritetyn alueen pinta-ala. sektori 13, cm 84,5 cm kolmio 48, cm 48 cm

65 50. Lasketaan, kuinka paljon rimaa tarvitaan puoliympyrän alla olevaan nelikulmioon. Nelikulmiossa on 1 x:n suuntaista riman pätkää sekä 10 y:n suuntaista riman pitkää. Lasketaan, kuinka paljon rimaa nelikulmioon tarvitaan. 1x 10y 1 0cm 10 40cm 40cm 400cm 640cm Puoliympyrän säde on x. Puoliympyrässä on kolme säteen pituista rimaa. Lasketaan niiden pituus. x 3 0cm 3 10cm. Puoliympyrässä on käytetty rimaa kahteen kaareen. Pienemmän kaaren säde on x (0 cm) ja puolikaari on oikokulma eli 180. Lasketaan lyhyemmän kaaren pituus. 180 b 1 0 cm 6, cm 360 Suuremman kaaren pituus on x (x 0 cm 40 cm). Lasketaan suuremman kaaren pituus. b cm 15, cm 360 Lasketaan kaikki pituudet yhteen, niin saadaan, kuinka paljon rimaa tarvitaan kyseiseen kaari-ikkunaan. 640 cm 10 cm 6, cm 15, cm 948, cm 948 cm

66 51. Pinta-alan laskemiseen tarvitaan sektorin keskuskulma. Merkitään sitä kirjaimella α. ukon halkaisija on 3,4 cm, eli ananasrenkaan aukon säde on 3, 4 cm : 1, 7 cm. nanasrenkaan säde on aukon säde renkaan leveys 1,7 cm 3, cm 4,9 cm. Koska pienemmän sektorin kaaren pituus ja säteen pituus tunnetaan, α voidaan ratkaista yhtälön avulla. 4, 4 4, , Suuremman sektorin ala on 51, (4,9 cm) 10,78 cm 360 Pienemmän sektorin ala on 51, (1,7 cm) 1, cm 360 Leikatun palan pinta-ala on tällöin 1 10,78 cm 1, cm 9, cm 9,5 cm

67 5. Heittokehän halkaisija on,1 m, joten sen säde on,1 m : 1,05 m. Koska kuulantyönnön pituus mitataan heittoringin etuosasta, putoamisalue on 1,05 m 5 m 6,05 m:n päässä heittokehän keskipisteestä. Lasketaan sektorin pinta-ala. 34,9 1 (6,05 m) 06, m 360 Lasketaan heittoringin sektorin pinta-ala. 34,9 (1,05 m) 0, m 360 Putoamisalueen ala saadaan vähentämällä heittoringin sektorin ala ison sektorin alasta. 1 06, m 0, m 06, m 06 m

68 53. Lasketaan sektorin keskuskulma, merkitään sitä kirjaimella α. 5,5 5, ,95... Lasketaan sektorin pinta-ala. 57,95... (5,5 dm) 15,15 dm 15 dm 360

69 54. Lasketaan sektorin säteen pituus. Merkataan sitä kirjaimella r r 360 r 14, cm Koska pituus on aina positiivista, r 14, cm. Lasketaan sektorin kehänpituus. 65 b 14, cm 16, cm 360 Sektorissa on kaksi sädettä ja ulkokaari, joten paperin piiri on r b (14, cm) 16, cm 46,5... cm 47 cm

70 55. 1 O Lasketaan neliön pinta-ala. neliö 4 Lasketaan ympyrän pinta-ala. ympyrä 1 Lasketaan, kuinka paljon neliön pinta-ala on suurempi kuin ympyrän pintaala. neliö ympyrä ympyrä 4 0, , 7 7 % Neliön pinta-ala on 7 % suurempi kuin ympyrän pinta-ala.

71 56. Muodostetaan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä ruokalautasen säde r. r 531 r 531 cm Koska pituus on aina positiivista, 531 r cm. Lautasen halkaisija on 531 d r cm 6, cm 6,0 cm Lasketaan lautasen ympärysmitta. 531 p r cm 81, cm 81,7 cm

72 57. Muodostetaan ympyräsektorin kaaren pituuden yhtälö ja ratkaistaan siitä keskuskulma α. 5,6 (8,0 3,5) 360 8, Lasketaan suuren ympyräsektorin pinta-ala. 8, (8,0 3,5) 3,315 cm 360 Lasketaan pienemmän ympyräsektorin pinta-ala. 8, ,0 15, cm 360 Väritetyn alueen ala saadaan vähentämällä suuren ympyräsektorin alasta pienen ympyräsektorin ala. 1 3,315 cm 15, cm 16, cm 17 cm

73 58. Muodostetaan ympyräsektorin kaaren pituuden yhtälö ja ratkaistaan siitä säde r. 9 5,1 r 360 r 3, m 3,5 m

74 59. CD-levyssä olevan aukon halkaisija on 15 mm, joten sen säde on 15mm : 7,5mm. Lasketaan CD-levyssä olevan aukon pinta-ala. 1 (7,5 mm) 176, mm Lasketaan koko CD-levyn pinta-ala mm 176, mm , mm Muodostetaan CD-levyn pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä säde r. r 11306, mm r 11306, mm Koska pituus on aina positiivista, , mm r. Lasketaan CD-levyn halkaisija , mm d r 119, mm 10 mm

75 1.3 varuuskappaleita 60. Suorakulmaisessa särmiössä on kaksi pohjaa ja vaippa. Pohjien pinta-alat ovat pohja 5,0 cm 6,0 cm 30 cm Lasketaan vaipan pinta-alaa varten pohjan piiri p. p 5,0 cm 6,0 cm cm Muodostetaan lieriön pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä korkeus h. lieriö pohja vaippa 104 cm 30 cm ph 104 cm 60 cm cm h 44 cm cm h : cm h 44 cm,0 cm cm

76 61. Merkataan pohjan sivua kirjaimella x, tällöin särmiön korkeus on h x 1. Lasketaan pohjien pinta-ala. x x x pohja Koska pohja on neliö, pohjan piiri on p 4 x 4x. Muodostetaan lieriön pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. lieriö pohja vaippa 10 x 4 x ( x 1) x x x x x Käytetään ratkaisukaavaa x ( 10) 4 56 x x x 1taix Koska pituus on aina positiivista, x 1. Pohjan sivut ovat 1 cm ja särmiön korkeus on 1 cm + 1 cm = cm.

77 6. a) b) c)

78 63. a) b) c)

79 64.

80 65. a) Lasketaan vaipan pinta-alaa varten pohjan piiri. p 4,0cm 8 cm Lasketaan vaipan pinta-ala. p h vaippa 8 cm 7,0cm 175,99... cm 180 cm b) Muutetaan arvot samoiksi yksiköiksi. 3, m = 30 cm. Lasketaan vaipan pinta-alaa varten pohjan piiri. p 46 cm 30 cm 73 cm Lasketaan vaipan pinta-ala. p h vaippa 73 cm 10 cm 730 cm 7300 cm 0,73 m

81 c) Muutetaan arvot samoiksi yksiköiksi. 1,1 m = 110 cm. Lasketaan vaipan pinta-ala. vaippa rs 110 cm 4 cm , cm cm 1,5 m d) Lasketaan vaipan pinta-ala. vaippa 5 cm 75 cm 3 81,5 cm 800 cm 8 dm

82 66. Lasketaan vaipan pinta-alaa varten pohjan piiri. p 3,5 m,5 m 1 m Lasketaan vaipan pinta-ala. vaippa p h 1 m 1,8 m 1,6 m Kasvihuoneen katto muodostuu kahdesta nelikulmiosta. Lasketaan niiden pinta-ala. katto 3,5 m 1,35 m 9,45 m Lasketaan vielä kahden kolmion pinta-ala. kolmiot 0,5 m,5 m 1,5 m Nyt voidaan laskea kaikki pinta-alat yhteen. vaippa katto kolmiot 1,6 m 9,45 m 1,5 m 3,3 m 3 m

83 67. a) Lasketaan lieriön pohjien pinta-alat. pohja (5, cm) 84, cm Lasketaan vaipan pinta-alaa varten pohjan piiri. p 5, cm 3,67... cm Lasketaan lieriön pinta-ala. lieriö pohja vaippa 84, cm 3,67... cm 15 cm 659,98... cm 660 cm b) Lasketaan lieriön pohjien pinta-alat. pohja 43 cm 43 cm 1849 cm Lasketaan vaipan pinta-alaa varten pohjan piiri. p 43 cm 4 17 cm Lasketaan lieriön pinta-ala. lieriö pohja vaippa 1849 cm 17 cm 65 cm cm cm 1,5 m

84 68. Muodostetaan pohjan piirin yhtälö ja ratkaistaan siitä säde r. 75,4 r 75,4 r Lasketaan vaipan pinta-ala. rs vaippa 75,4 3,3 117,71 cm 10 cm

85 69. a) Vaipassa on 4 yhtä suurta tasasivuista kolmiota, joiden kanta on 16,0 cm ja korkeus on 3,0 cm. Lasketaan niiden ala. vaippa ,0 cm 3,0 cm 104 cm 100 cm b) Lasketaan pohjan piiri. p 16,0 cm 16,0 cm 16,0 cm 48 cm Muodostetaan vaipan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä korkeus h. vaippa p h h h 1, cm 1,3 cm

86 70. a) Muodostetaan vaipan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä pohjaympyrän säde r. vaippa rs r 17 dm 4,8 dm r 1,17... dm 1,1 dm b) Merkataan paketin mittoja x, 10x ja 15x. Paketin pohjan piiri on tällöin. p x 10 x 4x Muodostetaan lieriön pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. lieriö pohja vaippa 16 (x 10 x) (4x 15 x) 16 40x 360x x x 0, (dm) Koska pituus on aina positiivista, x 0, dm,0 cm. Muropaketin mitat ovat: x,0 cm 4,0 cm 10x 10,0 cm 0 cm 15x 15,0 cm 30 cm

87 71. Muutetaan arvot samoiksi yksiköiksi. 1,5 dm 150 cm Kartion pohjan halkaisija on 6,0 cm, joten sen halkaisija on 6,0 cm : = 3,0 cm. Muodostetaan kartion vaipan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä kartion sivujanan s pituus. vaippa rs 150 3,0 s s 15, cm 16 cm

88 7. Merkataan leivoslaatikon pohjan sivua kirjaimella x. Tällöin korkeus on (1 0,6) x 0, 4x. Lasketaan pohjan pinta-ala. x x x pohja Lasketaan pohjan piiri vaipan pinta-alaa varten. p 4 x 4x Muodostetaan leivoslaatikon pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. pohja vaippa x x x,6 4 0, 4 x 1 (dm) Koska pituus on aina positiivinen, x 1 dm. Laatikon leveys on 1 dm = 10 cm.

89 73. Merkitään pohjasärmää 4x ja sivutahkon korkeutta 7x. Lasketaan pohjan pinta-ala. pohja 4x 4x 16x Pyramidin vaippa koostuu 4 yhtä suuresta kolmiosta. Lasketaan vaipan pinta-ala. 1 vaippa 4 4x 7x 56x Kun pyramidin kokonaispinta-ala on 59 cm, saadaan yhtälö 59 16x 56x x 6 (cm) Koska pituus on aina positiivista, x 6 cm. Sivutahkon korkeus on 7 6 cm 4 cm.

90 74. Lasketaan sivujanan pituus s 180 ympyräsektorin pinta-alasta. 6, s 6,90 s, ,10 (dm) Koska pituus on aina positiivista, s,10 dm. Nyt voidaan laskea ympyräkartion pohjan säde r ympyräkartion vaipan pinta-alan yhtälöstä. rs 6,9,10 r r 1, r 1, 05 (dm)

91 75. a) Lasketaan suoran lieriön tilavuus. V h p (3,0) 6,0 169, cm 3 b) Lasketaan suoran särmiön tilavuus. V h p cm 1 dm 3 3 c) Lasketaan kartion tilavuus. p h V 3 4, , cm 3

92 d) Lasketaan pyramidin tilavuus. p h V , cm 6,5 dm 3 3

93 76. a) Lasketaan pallon tilavuus. 4 3 V r (6,8) , cm cm 1,3 dm 1,3 l 3 b) Pallon halkaisija d on 16,0 cm, joten pallon säde r on d r d 16,0 cm r 8 cm Lasketaan pallon tilavuus. 4 3 V r (8,0) 3 144, cm cm,1 dm,1 l 3

94 77. Helmen säde voidaan ratkaista helmen ympärysmitan avulla. Merkitään helmen sädettä kirjaimella r. r,4 r 0, (cm) Lasketaan yhden helmen tilavuus. V 4 3 r 3 4 (0, cm) 3 3 0, cm 3 Pallon tiheys ρ lasketaan massan m ja tilavuuden V avulla. m V Jos tilavuus ja tiheys tunnetaan, massa saadaan näiden tulona. m V Lasketaan 34 samankokoisen helmen massa. m 34 V 34,8 g/cm 0, cm,38... g g 3 3

95 78. Kuun halkaisija d on km, joten Kuun säde r on d r d 3474 r 1737 (km) Lasketaan Kuun tilavuus. 4 3 V r (1737 km) 3, km 10 3 Maan halkaisija d on km, joten Maan säde on d r d r 6378 (km) Lasketaan Maan tilavuus. V 4 3 r (6378 km) 3 1, km 1 3

96 Lasketaan, kuinka paljon Kuun tilavuus on Maan tilavuudesta. V V 1, km, km 1 3 V 1, km maa kuu 1 1 maa 0, ,00,0 %

97 79. Jäätelöpallon tilavuus on 1,0 dl = 0,1 l = 0,1 dm 3 = 10 cm 3. Jäätelöpallon säde voidaan ratkaista tilavuuden avulla. Merkitään jäätelöpallon sädettä kirjaimella r r 3 r 3, cm Lasketaan pallon pinta-ala. 4 r 4 (3, cm) 117, cm 118 cm

98 80. Muutetaan arvot desimetreiksi. 7,0 mm = 0,07 dm 4,5 m = 45 dm 3,7 m = 37 dm Lasketaan veden määrä. 3 3 V 45 dm 37 dm 0,07 dm 116,55 dm 117 dm 117 l

99 81. 1 m 1 m 5 m 3 m Lasketaan ensin suora särmiön muotoinen alue, jonka mitat ovat 1 m 1 m 5 m. 3 3 V1 1 m 1 m 5 m 300 m dm Lasketaan jäljelle jäänyt kolmiomuotoisen lieriön tilavuus. 1 V p h m 5 m 1 m 300 m dm 3 3 Lasketaan tilavuudet yhteen. V V dm dm dm l

100 8. Lasketaan ensin harjakaton tilavuus. Harjakattoinen talo muodostuu suorasta särmiöstä sekä kolmion muotoisesta lieriöstä. Lasketaan särmiön tilavuus. 3 V1,0 m 14,0 m 3,0 m 985,6 m Kolmiomuotoisen lieriön korkeus on 4,8 m 3,0 m = 1,6 m, leveys on 14 m ja syvyys on m. Lasketaan tämän tilavuus. 1 V 1,6 m 14 m m 49,48 m 3 Lasketaan harjakattoisen talon tilavuus. V V V harjakattoinen 1 985,6 m 49,48 m 135,08 m Lasketaan tasakattoisen talon tilavuus. 3 Vtasakattoinen,0 m 14,0 m 4,8 m 1 484,56 m

101 Lasketaan, kuinka monta prosenttia suurempi on tasakattoinen talon tilavuus harjakattoiseen talon tilavuuteen verrattuna. V tasakattoinen V V harjakattoinen harjakattoinen 1 484,56 m 1 35,08 m ,08 m 0, ,0 0,% 3 3

102 83. Paperirullan poikkileikkaus muodostuu kahdesta sisäkkäisestä ympyrästä. Pienemmän ympyrän säde on 4,5 cm : =,5 cm. Suuremman ympyrän säde on 1 cm : = 6,0 cm. Paperirulla on muodoltaan ympyrälieriö. Lieriön korkeus on sama kuin paperirullan leveys (3,0 cm). V paperirulla (6,0 cm) 3,0 cm = 601,38... cm 3 Myös paperirullan ontto sisäosa on suora ympyrälieriö, jonka korkeus on 3,0 cm. V sisäosa (,5 cm) 3,0 cm 365, cm 3 Paperirullan paperiosan tilavuus on V paperirulla V 601, cm 365, cm sisäosa , cm 00 cm, dm 3 3 3

103 84. Lautasliinarenkaan poikkileikkaus muodostuu kahdesta sisäkkäisestä ympyrästä. Pienemmän ympyrän säde on 3, cm : = 1,6 cm Suuremman ympyrän säde on 1,6 cm +,0 mm = 1,6 cm + 0, cm = 1,8 cm Lautasliinarengas on muodoltaan ympyrälieriö. Lieriön korkeus on 1,5 cm. V lautaliinarengas (1,8 cm) 1, 5 cm 15, cm 3 Myös lautasliinarenkaan ontto sisäosa on suora ympyrälieriö, jonka korkeus on 1,5 cm. V sisäosa (1, 6 cm) 1,5 cm 1, cm 3 Hopeisen renkaan tilavuus on V lautasliinarengas V 15,68... cm 1, cm sisäosa 3, cm Lautasliinarenkaan tiheys ρ lasketaan massan m ja tilavuuden V avulla. m V

104 Jos tilavuus ja tiheys tunnetaan, massa saadaan näiden tulona. m V Lasketaan lautasliinarenkaan massa. m 10,5 g/cm 3, cm , g 34 g

105 85. Koristeena olevan pallon säde on 3,0 mm = 0,3 cm ja tilavuus on V pallo 4 (0,3 cm) 3 3 0, cm 3 Sormuksen poikkileikkaus muodostuu kahdesta sisäkkäisestä ympyrästä. Pienemmän ympyrän säde on,0 cm : = 1,0 cm. Suuremman ympyrän säde on, cm : = 1,1 cm. Sormus on muodoltaan ympyrälieriö, jonka korkeus on sormuksen leveys 5,0 mm = 0,5 cm. V sormus (1,1 cm) 0, 5 cm 1, cm 3 Myös sormuksen ontto sisäosa on ympyrälieriö, jonka korkeus on 0,5 cm. V sisöosa (1, 0 cm) 0,5 cm 1, cm 3 Sormuksen tilavuus on V V V 0, cm 1, cm 1, cm pallo sormus sisäosa 0, cm

106 Sormuksen tiheys ρ lasketaan massan m ja tilavuuden V avulla. m V Jos tilavuus ja tiheys tunnetaan, massa saadaan näiden tulona. m V Lasketaan sormuksen massa. m 4,54 g/cm 0, cm 3 3, g,0 g

107 86. Merkitään särmiön pohjan lyhyempää särmää kirjaimella x, jolloin pidempi särmä on x 3. Muodostetaan särmiön tilavuuden yhtälö ja ratkaistaan siitä x. V x ( x 3) x 36 x x 6, tai x 3, Pituus on aina positiivista, joten x 3, ,3 (cm). Särmiön pohjan lyhyempi särmä on 3,3 cm ja pidempi särmä on 3,3 cm + 3,0 cm = 6,3 cm.

108 87. Lasin tilavuus on 1,8 dl = 0,18 l = 0,18 dm 3 = 180 cm 3. Merkitään kartion korkeutta kirjaimella x, jolloin pohjaympyrän säde on x 1, 5 : 0, 75x. Muodostetaan ympyräkartion tilavuuden yhtälö ja ratkaistaan siitä x. 1 (0,75 ) , x V x x x 6, cm 6,7 cm

109 88. Merkitään lasin alaosan kartion pohjaympyrän sädettä kirjaimella x, jolloin yläosan säde on x. laosan pinta-ala on alaosa x 5, 4 16,964 x... cm Yläosan pinta-ala on 1 yläosa 4 ( x ) 5,13 x... cm Muodostetaan lasin pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä x , x 5,13... x x, cm tai x, cm Koska pituus on aina positiivista, x, cm. laosan kartion halkaisija on x, cm 4, cm. Yläosan halkaisija on 4, cm 8, cm 8, 9 cm.

110 89. Piirretään tilanteesta havainnollistava kuva. r Purkissa olevien kuulien säde on sama kuin ympyrälieriön pohjan säde ja ympyrälieriön korkeus on 4r. Kuulien tilavuus on 4 8 Vkuulat r r Ympyrälieriön tilavuus on V h lieriö p r 4 r 4r 3 Kuulien tilavuus koko rasian tilavuudesta on V V kuulat lieriö r 3 3 0, ,66...% 67% 3 4 r 4

111 90. Vesikourun säde on 1,5 cm : = 6,5 cm ja sen pinta-ala on 1 (6, 5 cm) 61, cm 0, dm 5 min 5 60 s 300 s Kun tiedetään aika ja nopeus, voidaan laskea matka. matka nopeus aika Vesi liikkuu viidessä minuutissa matka 0,09 m/s 300 s 7 m 70 dm 70 dm:n pitkän vesikourun tilavuus on V h 3 3 p 0, dm 70 dm 165, dm 166 dm 166 l

112 91. lustan pinta-ala on alusta 1 m 1 m 144 m Lasketaan särmiön piiri vaipan pinta-alaa varten. psärmiö 1,0 m 1,0 m 1,0 m 1,0 m 4,0 m Särmiön vaipan pinta-ala on särmiö p h 4,0 m 6,3 m 5, m Teoksen pinta-ala on alusta m 4 5, m 44,8 m 45 m vaippa

113 9. Muutetaan arvot samoiksi yksiköiksi.,40 m = 4,0 dm 6,50 m = 65,0 dm 10,0 cm = 1,00 dm Betonipohjan tilavuus on 3 V 4,0 dm 65,0 dm 1,00 dm 1560 dm Betonin tiheys ρ lasketaan massan m ja tilavuuden V avulla. m V Jos tilavuus ja tiheys tunnetaan, massa saadaan näiden tulona. m V 3 3 m 1,50 kg/dm 1650 dm 340 kg

114 93. a) Lasketaan ensin ympärysmitaltaan 68 cm olevan pallon pinta-ala ja tilavuus. Muodostetaan pallon kehän pituuden yhtälö ja ratkaistaan siitä säde r. 68 cm r r 10,8... cm Pallon pinta-ala on 1 4 (10,8... cm) 1471, cm 1470 cm 14,7 dm Pallon tilavuus on V (10,8 cm) 5309, cm 5310 cm 5,31 dm 3 Lasketaan ympärysmitaltaan 70 cm olevan pallon pinta-ala ja tilavuus. Muodostetaan pallon kehän pituuden yhtälö ja ratkaistaan siitä säde r. 70 cm r r 11, cm Pallon pinta-ala on 4 (11, cm) 1559, cm 1560 cm 15,6 dm

115 Pallon tilavuus on V 4 (11, cm) 579, cm 5790 cm 5,79 dm Pallon pinta-ala vaihtelee välillä 14,7 dm 15,6 dm. Pallon tilavuus vaihtelee välillä 5,31 dm 3 5,79 dm 3. b) Lasketaan kuinka paljon suurempi on suurimman sääntöjen mukaisen pallon tilavuus pienimpään sääntöjen mukaiseen palloon verrattuna. V V V ,79... dm 5, dm 3 0, ,091 9,1 % 5, dm

116 94. Mittariin on satanut vettä 0,50 dl = 0,05 l = 0,05 dm 3 = 50 cm 3. Mittarin pohjan halkaisija on 4,5 cm, joten pohjan säde on 4,5 cm : =,5 cm. Merkataan lieriön korkeutta kirjaimella x. Muodostetaan lieriön tilavuuden yhtälö ja ratkaistaan siitä x. V h p 50 cm (, 5 cm) x x 3, cm x 3,1 cm 31 mm

117 95. Merkataan kartion pohjaympyrän sädettä kirjaimella x, jolloin kartion korkeus on x + cm. Muodostetaan kartion tilavuuden yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x 3 V 35 x p h 3 x x 3 ( ) ( ) x, (cm),7 cm Kartion korkeus on,7 cm +,0 cm = 4,7 cm.

118 96. Lasketaan ensin koko kartion tilavuus, sen jälkeen lasketaan pienen kartion tilavuus. Lasin tilavuus on kartioitten erotus. Piirretään tilanteesta havainnollistava kuva. 8,0 cm 6,5 cm 15 cm 4,5 cm 15 cm 6,5 cm = 8,5 cm Suuren kartion pohjan säde on 8,0 cm : = 4,0 cm. Suuren kartion tilavuus on V1 3 (4,0 cm) 15 cm 51,37... cm 3

119 Pienen kartion pohjan säde on 4,5 cm : =,5 cm. Pienen kartion tilavuus on V (,5 cm) 8,5 cm 45,06... cm 3 3 Lasin tilavuus on 3 3 V V 51,37... cm 45,06... cm ,65... cm 10 cm 0,1 dm 0,1 l,1 dl

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 AVARUUSGEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. Muovinappulan tilavuus on V = 1 cm cm 4 cm = 8 cm 3 = 8000 mm 3. Tulostus kestää 3 8000 mm 3 800 s 10 mm / s =. Muutetaan aika minuuteiksi ja sekunneiksi. 800 s 13,333...

Lisätiedot

Kartio ja pyramidi

Kartio ja pyramidi Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät 6. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala. ( T ) 1. Täytä taulukko m 12 1,45 0,805 2. Täytä taulukko mm 12345 4321 765 23,5 7. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala.( T )

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o. KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90. Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 )

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 ) Avaruusgeometria Lieriö 4. a) 0 0 1 7 00 (cm ) 7 00 cm 7, dm 7, l b) A p h 0 15 450 (cm ) 5. Kuution särmän pituus on a 1, cm. a) a 1, 1,78 1,7 (cm ) b) A 6a 6 1, 8,64 8,6 (cm ) 16 6. r d 8 (cm) A p h

Lisätiedot

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º. K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen. MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ. Isto Jokinen 013 SISÄLTÖ 1.Pinta-alojen laskeminen.tilavuuksien laskeminen PINTA-ALOJEN LASKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pinta-alojen

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen. MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ. Isto Jokinen 013 SISÄLTÖ 1.Pinta-alojen laskeminen.tilavuuksien laskeminen PINTA-ALOJEN LASKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pinta-alojen

Lisätiedot

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360.

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360. 9. Särmiä pitkin matka on a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on a + a + a a a Matkojen suhde on 0,577, eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on a 00 % 57,7 % 4, % lyhyempi. Vastaus: 4, % 0. Tilavuus

Lisätiedot

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja.  nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 YMPYRÄ POHDITTAVAA 1. Piin likiarvo yhden desimaalin tarkkuudella on 3,1. Lasketaan piin likiarvoja vaihe vaiheelta, kunnes saavutetaan haluttu tarkkuus. 1 π = 4 = 4 1 1 1 π = 4 =,66... 1 3 1 1 1 π =

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI

HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI 1 SISÄLTÖ HUOLTOMATEMATIIKKA, MATERIAALI 1) Murtoluvut ) Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus 3) Tasokuvioiden pinta-alat ja piirit 4) Kappaleiden tilavuudet 5) Suorakulmainen kolmio ja Pythagoran lause 6) Suorakulmaisen

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 3. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen

7.lk matematiikka. Geometria 3. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 7.lk matematiikka Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 15. Kolmio... 4 16. Nelikulmiot... 8 17. Monikulmiot... 12 18. Pituuksien ja pinta-alojen muutokset... 16 19. Pinta aloja

Lisätiedot

OA5 Yli esteiden Nimi

OA5 Yli esteiden Nimi O5 A Yli esteiden Nimi Kappale 1 1. Täydennä edeltävä ja seuraava luku. 3 999 9 499 5 729 4 001 9 501 5 731 4 000 9 500 5 730 44 999 17 559 20 998 45 001 17 561 21 000 45 000 17 560 20 999 2. Jatka lukujonoja.

Lisätiedot

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Tehnyt 9B Tarkistanut 9A

Tehnyt 9B Tarkistanut 9A Tehnyt 9B Tarkistanut 9A Kuitinmäen koulu Syksy 2006 Avaruusgeometrian soveltavia tehtäviä... 3 1. Päästäänkö uimaan?... 3 2. Mummon kahvipaketti... 3 3. Tiiliseinä... 4 4. SISUSTUSTA... 5 5. Kirkon torni...

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9] 2016 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 9] Avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille 1 SISÄLLYSLUETTELO 9. KURSSIN SISÄLTÖ... 3 9.0.1 MALLIKOE 1... 4 9.0.2 MALLIKOE 2...

Lisätiedot

MAB2. Kertaustehtävien ratkaisut. 120. a) α = 15 16 1. β = 95 58 45. 95 o 58. b) α = 11,9872 0,9872 = 0,9872 60 = 59,232 0,232 = 0,232 60 = 13,92

MAB2. Kertaustehtävien ratkaisut. 120. a) α = 15 16 1. β = 95 58 45. 95 o 58. b) α = 11,9872 0,9872 = 0,9872 60 = 59,232 0,232 = 0,232 60 = 13,92 MAB Kertaustehtävien ratkaisut 10. a) α = 15 16 1 16 1 15 60 β = 95 58 45 600 15,669 95 58 45 95,979 60 600 b) α = 11,987 0,987 = 0,987 60 = 59, 0, = 0, 60 = 1,9 α = 11 59 1,9 = 11 59 14 β = 95,4998 0,

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

Avaruusgeometrian perusteita

Avaruusgeometrian perusteita Avaruusgeometrian perusteita Määritelmä: Kolmiulotteisen avaruuden taso on sellainen pinta, joka sisältää kokonaan jokaisen sellaisen suoran, jonka kanssa sillä on kaksi yhteistä pistettä. Ts. taso on

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria. 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41

Lisätiedot

1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ

1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ 1.1. RATIONAALILUVUN NELIÖ 1. Käyttäen tietoa a = a a laske: a) 8 b) ) c) 0, d) ) 1 e) 1) f) +,) g) 7 h) ) i). Laske näiden lukujen neliöt: 17 9 1,6 1. Laske: ) a) ) b). Laske a, kun 5) 1 ) 11 11 81. j)

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

Neeviikuu 6B: Opettajan oppaan liitteet

Neeviikuu 6B: Opettajan oppaan liitteet Neeviikuu 6B: Opettajan oppaan liitteet KOPIOINTIPOHJAT 1. Kertotaulukortti 2 2. Jaollisuusliuska 1 100 3 3. Senttimetripaperi 4 4. Kymmenjärjestelmätaulukko 5 5. Hämähäkinverkko peilaamiseen 6 6. 360-ruudukko

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Arkkitehtimatematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Arkkitehtimatematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Arkkitehtimatematiikan koe..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x =? (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat

Lisätiedot

PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA

PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA Pyörädyskappaleen pinta syntyy, kun funktion kuvaaja pyörätää suoran ympäri., suomennos Matti Pauna LIERIÖ JA KARTIO Lieriöt ja kartiot ovat yksinkertiaisimpia

Lisätiedot

Tekijä MAA3 Geometria

Tekijä MAA3 Geometria Tekijä MAA3 Geometria 29.9.2016 240 Kuva voidaan piirtää esimerkiksi GeoGebran 3D-piirtoalueessa. Piirtäminen voidaan esimerkiksi aloittaa piirtämällä suorakulmio pohjaksi ja syöttämällä sen jälkeen kartion

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 1 Monikulmiot Ennakkotehtävät 1. a) Taitetaan paperi kuvan mukaisesti lyhyempi sivu pidemmän sivun suuntaisesti. Kulma 45 on puolet suorasta kulmasta. 45 b) Kulma muodostuu a-kohdan taitoksen mukaan. 135

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA 4..005 OSA 1 Laskuaika 30 min Pistemäärä 0 pistettä 1. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Minkä säännön mukaan lukujono muodostuu? 1 4 5 1 1 1

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu / pistettä Kuvasta huomataan, että + + 5 + 7 = 44 Kuinka paljon tämän mukaan on + + 5 + 7 + 9 + + + 5 + 7? A) 44 B) 99 C) 444 D) 66 E) 49 Ratkaisu: Kuvan havainnollistuksen

Lisätiedot

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten 1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α 180 5 155 b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia,

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Aluksi. Avaruuskappaleista. Lieriö. MAB2: Avaruuskappaleita 6

Aluksi. Avaruuskappaleista. Lieriö. MAB2: Avaruuskappaleita 6 MAB: Avaruuskappaleita 6 Aluksi Tässä luvussa emme tyydy enää pelkkään tasoon. Aiheena ovat nyt avaruuskappaleet eli kolmiulotteiset kappaleet. Tarkastelemme lieriötä eli sylinteriä, kartiota, särmiötä,

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Trigonometria Ennakkotehtävät. a) Mäessä korkeus kasvaa metriä jokaista vaakasuunnassa edettyä 0 metriä kohden eli jyrkkyys prosentteina on : 0 = 0, = 0 %. b) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Kun

Lisätiedot

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus. KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt

Lisätiedot

= A h, joten poikkipinta-alaksi saadaan. Rännin tilavuus V. 80 dm. 90 dm = 0,888... dm 0,89 dm 902 V. Poikkipinta-alan pitää olla. 0,89 dm.

= A h, joten poikkipinta-alaksi saadaan. Rännin tilavuus V. 80 dm. 90 dm = 0,888... dm 0,89 dm 902 V. Poikkipinta-alan pitää olla. 0,89 dm. Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 149 901 a on lieriö b ei ole, ojat eivät ole ytenevät c on d ei ole, lieriön määritelmän eto suora liikkuu suuntansa säilyttäen ja alaa louksi lätöaikkaansa käymättä

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

Copyright Isto Jokinen 2013 MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. Isto Jokinen 2013 SISÄLTÖ. Pinta-alojen laskeminen

Copyright Isto Jokinen 2013 MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. Isto Jokinen 2013 SISÄLTÖ. Pinta-alojen laskeminen Copyright Isto Jokinen 01 MTEMTIIKK Matematiikkaa pintakäsittelijöille POJ. Isto Jokinen 01 SISÄLTÖ Pinta-alojen laskeminen Tilavuuksien laskeminen Prosenttilaskut Käyttö opetuksessa tekijän luvalla 1

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain.

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. OSA 3: GEOMETRIAA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. G. GEOMETRIAA Hannu ja

Lisätiedot

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet 3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet Ennakkotehtävät. a) Matkapuhelimen etäisyys tukiasemasta A on 5 km. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on tukiasema A ja säde 5 km (5 ruudun sivua). Matkapuhelin

Lisätiedot

Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600

Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600 Tekijä 3 Geometria 7.10.016 47 Kartta on yhdenmuotoinen kuva maastosta, jolloin kartan pituudet ja maaston pituudet ovat suoraan verrannollisia keskenään. Merkitään reitin pituutta kartalla kirjaimella

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2004 4 200= 2004 800= 1204 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellinen tiedekunta Ympäristöekonomia Kansantaloustiede ja matematiikka

Maatalous-metsätieteellinen tiedekunta Ympäristöekonomia Kansantaloustiede ja matematiikka 1. Selitä mitä tarkoittavat a) M2 b) vaihtoehtoiskustannus. Anna lisäksi esimerkki vaihtoehtoiskustannuksesta. (7 p) Vastaus: a) Lavea raha. (1 p) M1 (Yleisön hallussa olevat lailliset maksuvälineet ja

Lisätiedot

Ammattimatematiikan tuki

Ammattimatematiikan tuki Ammattimatematiikan tuki 1) Kuinka monta prosenttia a) 350 grammaa on 15 kilogrammasta b) 20 euroa on 260 eurosta c) 15 minuuttia on 3 tunnista d) 80 senttiä on 20 eurosta e) 56 senttimetriä on 3,2 metristä?

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot