Sähköstatiikasta muuta. - q. SISÄLTÖ Sähköinen dipoli Kondensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä
|
|
- Jutta Heikkinen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Sähköstatiikasta muuta SISÄLTÖ Sähköinen ipoli Konensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä Sähköinen ipoli Tässä on aluksi samaa asiaa kuin risteet -kappaleen alussa ja lopuksi vähän uutta asiaa luentomonisteesta. Dipolin muoostaa kaksi itseisarvoltaan yhtä suurta vastakkaismerkkistä varausta, jotka ovat lähellä toisiaan. p +q - q a Jos ipolin varauksien itseisarvo on q ja etäisyys a, ipolin ipolimomentti on p qaeˆ. Yksikkövektorin ê suunta on negatiivisesta varauksesta kohti positiivista varausta. Kun ipoli joutuu sähkökenttään, positiivinen varaus pyrkii sähkökentän suuntaan ja negatiivinen varaus vastakkaiseen suuntaan. Jos ipoli on vinossa asennossa sähkökenttään nähen, siihen vaikuttaa voiman momentti p Dipolin potentiaalienergia sähkökentässä on U p.
2 Luentomonisteessa ipolia kuvataan seuraavalla tavalla: Kuvan merkintöjä käyttäen voiaan johtaa ipolin potentiaali ja sähkökenttä kaukana ipolista pallokoorinaatistossa: pcos 4 r p ja (cos uˆ sin uˆ ) 3 r 4 r Näitä yhtälöitä ei yleensä tarvitse osata ulkoa tentissä, mutta on hyvä osata johtaa nämä. Konensaattori Konensaattori koostuu kahesta johtavasta kappaleesta, jotka on asetettu toistensa lähelle ja jotka on eristetty toisistaan. Jos toiseen kappaleeseen tulee varaus ja toiseen varaus, sanotaan, että konensaattorin varaus on. Jos konensaattorin johekappaleien välillä on potentiaaliero, on konensaattorin kapasitanssi: C rilaisille konensaattoreille kapasitanssi määritetään laskemalla ensin Gausin lain avulla sähkökenttä kappaleien välissä: ilmatäytteiselle konensaattorille eristetäytteiselle konensaattorille S S S sis D S sis ( free) otentiaaliero lasketaan yhtälöllä: ( r ) ( r ) l, jonka jälkeen potentiaalieron ja varauksen avulla voiaan määrittää konensaattorin kapasitanssi yhtälöstä B B C.
3 Konensaattorin energialle voiaan johtaa yhtälö U Muistanet myös konensaattoreien kytkentäsäännöt: C C Sarjaan kykettyjen konensaattoreien kokonaiskapasitanssi lasketaan seuraavasti: C KOK C C Rinnakkain kytkettyjen konensaattoreien kokonaiskapasitanssi on: C KOK C C Sarjaan kyketyt konensaattorit: Rinnakkain kytketyt konensaattorit: Nämä kytkentäsäännöt voi johtaa siitä tieosta, että peräkkäisillä konensaattoreilla on sama varaus ja rinnakkain kytketyillä sama potentiaaliero. Monet konensaattorin kapasitanssilaskut palautuvat usean rinnan kytketyn tai sarjaan kytketyn konensaattorin laskuksi. simerkiksi levykonensaattoria, jonka levyt ovat vinossa toisiinsa nähen, voiaan kuvata hyvin monella äärettömän pienellä konensaattorilla, jotka on kytketty rinnakkain.
4 Sähköstaattisia laskentamenetelmiä Jos Gaussin lakia ei voi jossakin tilanteessa käyttää, voi sähkökentän yrittää laskea oissonin yhtälön avulla: missä Φ on potentiaali ja ρ varaustiheys. Sähkökenttä saaaan potentiaalista yhtälöllä. oissonin yhtälön ratkaisu on tavallista ifferentiaaliyhtälön ratkaisemista annetuilla alkuarvoilla. Seuraavat operaattorit ovat fysiikan tenteissä jaettavassa kaavakokelmassa: Suorakulmaisessa koorinaatistossa: x y z Sylinterikoorinaatistossa: ( r ) r r r r z cot allokoorinaatistossa: r r r r r r (sin ) Kun pistevaraus tai useampia pistevarauksia tuoaan lähelle johetta, johteeseen inusoituu varauskate, koska tuotu varaus vetää puoleensa (tai hylkii) johteen vapaita varauksia. oissakin tapauksissa tätä varauskatetta voiaan simuloia muutaman pistevarauksen avulla. Nyt sähkökentän ja voiman laskeminen on helppoa, sillä tarvitsee käyttää vain usean pistevarauksen yhtälöitä. Tätä kutsutaan kuvaläheperiaatteeksi eli peilikuvaperiaatteeksi. Tässä menetelmässä tarvitsee vain löytää sopivat kuvavaraukset eli peilivaraukset. eilivarauksien oikeellisuutta testataan esimerkiksi siten, että lasketaan niien aiheuttama potentiaali johteessa. Johteessahan potentiaalin täytyy olla vakio koko alueella. (Näin sähköstatiikassa - sähkövirtojen tapauksessa tilanne on erilainen.) oi käyttää myös sitä ehtoa, että sähkökentän täytyy olla kohtisuorassa johteen pintaa vastaan ja johteen sisällä nolla. eilikuvaperiaatteen käyttö selviää toivottavasti paremmin jäljempänä olevista esimerkeistä.,
5 simerkki : Kaksi vastakkaismerkkistä pistevarausta q =, μc ja q = -, μc sijaitsevat pisteissä r = (,5 u z )m ja r = (-,5 u z )m. pproksimoi näitä kahta varausta origoon sijoitetulla ipolilla p = q u z, missä =, m. Laske ipolin potentiaali ja sähkökenttä pisteessä r = (3u x + 4u z ) ipolille johettuja potentiaalin ja sähkökentän lausekkeita käyttäen. Ratkaisu:
6 simerkki : Tasolevykonensaattorin varaus on, nc. Levyjen pinta-ala on cm ja levyjen välinen etäisyys = mm. Mikä on konensaattorin energia? Mikä on levyjen välinen potentiaaliero? Ratkaisu: nergia sähkökentässä on: U Tarvitsemme siis sähkökentän konensaattorilevyjen välissä. Lasketaan yhen varatun tason aiheuttama sähkökenttä Gaussin lain avulla: alitaan Gaussin pinnaksi sylinteri, jonka päät ovat tason suuntaisia. Sylinterin vaippa on tasoa vastaan kohtisuorassa. Kirjoitetaan Gaussin lain vasen puoli: S S S S S S S S vaippa päät päät päät päät pää saatiin ottaa pois integraalimerkin sisältä, sillä sähkökentän itseisarvo on vakio Gaussin sylinterin päitten alueella. aipan kohalla pinta-alkiovektori ja sähkökenttä ovat kohtisuorassa, joten siellä integraalista tulee. Integraali: S kuvaa pelkkää päitten yhteistä pinta-alaa, joka on S. päät
7 Gaussin lain vasen puoli saatiin kuntoon. Nyt oikea puoli: Tarvitaan Gaussin pinnan sisään jäävää varaus. Sylinterin sisään jää tasosta alue, jonka pintaala on S. Jos tasolla on pintavaraustiheys eli varauskate σ, Gaussin pinnan sisään jää varaus sis = Sσ. Gaussin lain oikeaksi puoleksi tulee silloin: S Yhisteään Gaussin lain vasen ja oikea puoli, jolloin voiaan ratkaista sähkökentän lauseke: S S Sähkökenttä konensaattorilevyjen välissä koostuu kahen levyn aiheuttamista kentistä, jotka ovat yhensuuntaisia, koska levyjen varaukset ovat erimerkkiset. (Katso myöhemmin esitetty kuva!) Kokonaiskenttä konensaattorilevyjen välissä on: Lasketaan konensaattorin energia: U Koska sähkökenttä on konensaattorin levyjen välissä vakio, sähkökentän lauseke voitiin ottaa ulos integraalin lausekkeesta. Integraali tarkoittaa yksinkertaisesti levyjen välistä tilavuutta eli. araus pinta-alaa kohen on muotoon: jolloin energian lauseke saaaan U 9 3 ( C) ( m) 4 s ( m )(8.85 ) m.8 7 ( s) m s m m 3 C 7 J Yksikkötarkastelussa on hyvä muistaa, että s = J.
8 Lasketaan levyjen välinen potentiaaliero: x + _ ( ) ( x ) () / x ( ) 9 3 ( C) ( m) 4 s ( m )(8.85 ) m ( 565 l ) 6 ( C ) ( x)ˆ i x x simerkki 3: Tasolevykonensaattorin varaus on, nc. Levyjen pinta-ala on, cm ja levyjen välinen etäisyys =, mm. Levyjen välillä on eristeainetta, jonka eristevakio on ε =,. a) Mikä on konensaattorin kapasitanssi? b) Mikä on konensaattorin energia? c) Mikä on polarisoituma eristeaineessa? ) Mikä on polarisaatiovarauksen tiheys eristeaineessa? e) Mikä on varauskate eristeaineessa? Ratkaisu: a) Laskemme ensimmäiseksi sähkökentän konensaattorilevyjen välissä. aratun tason aiheuttama sähkökenttä voiaan laskea Gaussin lain avulla samalla tavalla kuin aikaisemmin, mutta nyt täytyy ottaa huomioon myös sähkökentän inusoimat varaukset eristeaineeseen. Käytämme Gaussin laista esitysmuotoa, jossa polarisaatiovaraukset on automaattisesti huomioitu: S D S f
9 ektori D kuvaa sähkövuon tiheyttä ja skalaari ρ f vapaitten varauksien tiheyttä. (Sähkökentän eristeaineeseen inusoimat varaukset eivät ole vapaita varauksia.) alitaan Gaussin pinnaksi sylinteri, jonka päät ovat tason suuntaisia. Sylinterin vaippa on tasoa vastaan kohtisuorassa. Kirjoitetaan Gaussin lain vasen puoli: D S D S D S DS DS D S D S S vaippa päät päät päät päät pää D saatiin ottaa pois integraalimerkin sisältä, sillä sähkökentän itseisarvo D on vakio Gaussin sylinterin päitten alueella. aipan kohalla pinta-alkiovektori ja sähkökenttä ovat kohtisuorassa, joten siellä integraalista tulee. Integraali S kuvaa pelkkää päitten yhteistä pinta-alaa, joka on S. päät Gaussin lain vasen puoli saatiin kuntoon. Nyt oikea puoli: f Tämä tarkoittaa Gaussin pinnan sisään jääviä vapaita varauksia. risteaineessa ei ole vapaita varauksia. Siellä ρ f on nolla. apaita varauksia on ainoastaan tasolla. Sylinterin sisään jää tasosta alue, jonka pinta-ala on S. Jos tasolla on varaustiheys σ, Gaussin pinnan sisään jää varaus sis = Sσ. Gaussin lain oikeaksi puoleksi tulee silloin: S
10 Yhistetään Gaussin lain vasen ja oikea puoli, jolloin voiaan ratkaista sähkövuon tiheyen lauseke: D S S D -kentän ja D-kentän välillä on yhteys: D risteaineessa varatun tason lähellä on siis sähkökenttä: D Konensaattorilevyjen välinen kenttä koostuu kahen varatun levyn kentistä, jotka ovat yhensuuntaisia, koska varaukset ovat erimerkkisiä. Lasketaan konensaattorilevyjen välinen potentiaaliero: x + _ ( ) ( x ) () ( ) / x l ( ) ( ) ( x)ˆ i x x Kapasitanssi on nyt: C 4 s ( m ) s m ( m) 3. 5pF
11 b) Lasketaan eristetäytteisen konensaattorin energia: U D D 9 ( s) s.4 J s 3.54 D-kenttä ja -kenttä ovat yhensuuntaisia. Siksi niien pistetulo on D. akiot otettiin ulos integraalin lausekkeesta, jolloin jäi integraali, joka tarkoittaa yksinkertaisesti levyjen välistä tilavuutta eli. ( ) c) Kun eristeaine joutuu sähkökenttään, tässä tapauksessa varatun konensaattorin levyjen väliin, siihen inusoituu pieniä ipoleja. Näitten ipolien määrää kuvaa polarisoituma. Huomaa, että tämä on vektorisuure! Kun sähkökenttä ja eristevakio tieetään, polarisoituma voiaan laskea: ( ) setetaan konensaattori koorinaatistoon seuraavan kuvan mukaisesti: C x olarisoituma on: + _ 9 ( ) ( s) C ( ) iˆ iˆ iˆ 5. iˆ ( ) 4 m m ) olarisaatiovarauksen tiheys on p iˆ x y ˆj kˆ z iˆ x
12 e) Inusoituneen polarisaatiovarauksen aiheuttama varauskate eristeen ulkopinnalla lasketaan yhtälöllä: p nˆ + - x lus-levyn puoleisella eristeen pinnalla: p nˆ iˆ ( iˆ) p C 5. m Miinus-levyn puoleisella pinnalla: p nˆ iˆ iˆ p C 5. m
13 simerkki 4: Tasolevykonensaattorin levyjen välissä on ilmaa. Levyjen välinen etäisyys on = 5 mm. lus-levy on potentiaalissa Φ = ja miinuslevy potentiaalissa Φ = -. Mikä on potentiaali ja sähkökenttä plus- ja miinus-levyjen välissä kohassa, joka on yhtä kaukana molemmista levyistä? Ratkaisu: Käytetään oissonin yhtälöä: setetaan plus-levy yz-tasoon: y x + _ Otetaan tasojen välistä mielivaltainen piste, jonka etäisyys plus-levystä on x. Lasketaan oissonin yhtälön avulla potetiaali tässä pisteessä: Nyt x koska on vain yksi muuttuja x. araustiheys ρ on levyjen välissä =. Saamme seuraavanlaisen ifferentiaaliyhtälön: x C Cx C x
14 Määritetään alkuehoista vakiot C ja C : ( ) C C C ( ) C C Lopullinen potentiaalin lauske konensaattorilevyjen välissä on: ( x ) x Sähkökenttä saaaan ehosta: iˆ iˆ x (Saatiin, että sähkökenttä on vakio konensaattorilevyjen välissä niin kuin pitää ollakin.) Sijoitetaan lopuksi lukuarvot: = 5 mm, Φ =, Φ = - ja x = ½. 5 mm =.5 mm.5mm 5mm 5 iˆ 5mm iˆ mm iˆ m iˆ simerkki 5: Hyvin pitkä johin on taivutettu L-kirjaimen muotoon. araus tuoaan lähelle johinta kuvan mukaisesti. Minkälaisilla peilivarauksilla voiaan kuvata johtimeen inusoitunutta varausta. a a
15 Ratkaisu: arauksen tuominen lähelle johinta aiheuttaa johtimessa varauksien liikettä, joka johtuu siitä, että :n aiheuttama potentiaali on eri suuri eri kohissa johinta. (erimmiltään on kyse sähköisestä vetovoimasta.) Jos johtimessa on potentiaaliero, varaukset alkavat liikkua. Ne liikkuvat niin kauan, että potentiaaliero tasoittuu. Nyt pitäisi löytää sellaiset pistevaraukset, että potentiaali tulee vakioksi koko johtimen alueella. Sen jälkeen laskuissa voiaan johtimeen inusoituneen varauksen (jonka jakaumaa emme tunne) sijasta käyttää näitä kuvitteellisia pistevarauksia. Helposti voimme keksiä, että tarvitaan varaukset vastakkaiselle puolelle molempia johtimenpuolikkaita: a - - Tämä ei vielä tuota vakiopotentiaalia johtimen molempiin puolikkaisiin, kun lasketaan yhtälöllä: i qi 4 r o i Lisätään systeemin vielä yksi varaus:
16 - - Nyt näien neljän pistevarauksen aiheuttama potentaali on vakio (= ) johtimen jokaisessa pisteessä. simerkki 6: Sylinterikonensaattori koostuu johtavasta sisäsylinteristä, jonka säe on R ja ohuesta ulkosylinteristä, jonka säe on R. Konensaattorin pituus on L. Sisä- ja ulkosylinterin väli on täytetty puoliksi eristemateriaalilla, jonka eristevakio on ε, siten, että sylinterin toisessa päässä on L/:n pituinen alue, joka on täynnä eristettä ja toinen pää on ilman eristettä. Laske tämän konensaattorin kapasitanssi. (Katso kuvaa!) L/ L/ i eristettä konensaattorin sisällä ristettä konensaattorin sisällä
17 Ratkaisu:
18 simerkki 7: a) Laske sähkökenttä, kun sähköstaattinen potentiaali on muotoa ax by c z missä a, b ja c ovat vakioita. b) Laske, millainen varaustiheys aiheuttaa a)-kohan mukaisen potentiaalin. Ratkaisu:
19 simerkki 8: a) Hyvin laaja tasomainen levy on asetettu siten, että tason alareuna on xztasossa. Levyn paksuus on. Levyn varaustiheys riippuu y-koorinaatista seuraavasti: Ky, missä K on vakio. Laske käyttäen oissonin yhtälöä potentiaali y:n funktiona alueessa <y <. Sähkökenttä xz-tasolla on y -akselin suuntainen ja suuruueltaan. b) Tarkista laskusi Gaussin lakia käyttäen. Ratkaisu: y x
20
21 simerkki 9: lla olevassa kuvassa näet ukkospilven varauksineen (jotka on kuvattu pistevarauksina) ja peilivaraukset johtavan maankuoren sisällä. a) Osoita, että peilivaraukset kuvaavat maahan inusoitunutta varausjakaumaa. b) Laske sähköstaattinen potentiaali sellaisen lentokoneen kohalla, jonka etäisyys varauksista on 5 km vaakasuunnassa ja joka on 8 kilometrin korkeuella.
22 Ratkaisu:
Eristeet. - q. Johdannoksi vähän sähköisestä dipolista. Eristeistä
risteet Johdannoksi vähän sähköisestä diolista Diolin muodostaa kaksi itseisarvoltaan yhtä suurta vastakkaismerkkistä varausta, jotka ovat lähellä toisiaan. +q - q a Jos diolin varauksien itseisarvo on
Lisätiedot766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua
7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri
LisätiedotJakso 5. Johteet ja eristeet Johteista
Jakso 5. Johteet ja eristeet Johteista Johteet ja eristeet käyttäytyvät sähkökentässä eri tavalla. Koska johteessa on vaaasti liikkuvia varauksia, ne siirtyvät joko sähkökentän suuntaan (ositiiviset varaukset)
Lisätiedota) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella
Jakso 2. Gaussin laki simerkki 2.1: Positiivinen varaus Q on jakautunut tasaisesti R-säteiseen palloon. Laske sähkökenttä pallon a) ulkopuolella ja b) sisäpuolella etäisyydellä r pallon keskipisteestä.
LisätiedotRATKAISUT: 18. Sähkökenttä
Physica 9 1. painos 1(7) : 18.1. a) Sähkökenttä on alue, jonka jokaisessa kohdassa varattuun hiukkaseen vaikuttaa sähköinen voia. b) Potentiaali on sähkökenttää kuvaava suure, joka on ääritelty niin, että
LisätiedotLuku 23. Esitiedot Työ, konservatiivinen voima ja mekaaninen potentiaalienergia Sähkökenttä
Luku 23 Tavoitteet: Määritellä potentiaalienergia potentiaali ja potentiaaliero ja selvittää, miten ne liittyvät toisiinsa Määrittää pistevarauksen potentiaali ja sen avulla mielivaltaisen varausjakauman
Lisätiedota P en.pdf KOKEET;
Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä ratkaisuineen. Tentaattorina on ollut Hanna Pulkkinen. Huomaa, että tämän kurssin sisältö on hiukan eri kuin Soveltavassa sähkömagnetiikassa, joten
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali
LisätiedotCoulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q
Coulombin laki Kahden pistemäisen varatun hiukkasen välinen sähköinen voima F on suoraan verrannollinen varausten Q 1 ja Q 2 tuloon ja kääntäen verrannollinen etäisyyden r neliöön F = k Q 1Q 2 r 2, k =
LisätiedotLuku 5. Johteet. 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään E = 0 E = 0 E = 0
Luku 5 Johteet 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään Johteessa osa atomien elektroneista on ns. johde-elektroneja, jotka pääsevät vapaasti liikkumaan sähkökentän vaikutuksesta. Hyvässä johteessa (kuten
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali
LisätiedotJakso 8. Ampèren laki. B-kentän kenttäviivojen piirtäminen
Jakso 8. Ampèren laki Esimerkki 8.: Johda pitkän suoran virtajohtimen (virta ) aiheuttaman magneettikentän lauseke johtimen ulkopuolella etäisyydellä r johtimesta. Ratkaisu: Käytetään Ampèren lakia C 0
LisätiedotTietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan
3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden
LisätiedotLuku 6. reunaehtoprobleemat. 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Reunaehdot. Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan
Luku 6 Sähköstatiikan reunaehtoproleemat 6.1 Laplacen ja Poissonin yhtälöt Kun sähkökentän lauseke E = φ sijoitetaan Gaussin lakiin, saadaan ( φ) = ρ ε 0, (6.1) josta 2 φ = ρ ε 0. (6.2) Tämä tulos on nimeltään
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi Kondensaattorit ja kapasitanssi
Sähköstatiikka ja magnetismi Konensaattorit ja kapasitanssi ntti Haarto 1.5.13 Yleistä Konensaattori toimii virtapiirissä sähköisen potentiaalin varastona Kapasitanssi on konensaattorin varauksen Q ja
LisätiedotSATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 5 Laskuharjoitus 2 / Coulombin laki ja sähkökentänvoimakkuus
AT taattinen kenttäteoria kevät 6 / 5 Laskuharjoitus / Coulombin laki ja sähkökentänvoimakkuus Tehtävä Kaksi pistevarausta ja sijaitsevat x-tason pisteissä r x e x e ja r x e x e. Mikä ehto varauksien
LisätiedotNäytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina
Jakso 1. iot-savartin laki, Ampèren laki, vektoripotentiaali Tässä jaksossa lasketaan erimuotoisten virtajohtimien aiheuttamien magneettikenttien suuruutta kahdella eri menetelmällä, iot-savartin lain
Lisätiedot766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN
766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PERUSTEHTÄVIÄ RATKAISUINEEN Laske nämä tehtävät, jos koet, että sinulla on aukkoja Soveltavan sähkömagnetiikan perusasioiden hallinnassa. Älä välitä tehtävien numeroinnista.
LisätiedotFysiikka 1. Kondensaattorit ja kapasitanssi. Antti Haarto
Fysiikka Konensaattorit ja kapasitanssi ntti Haarto 4..3 Yleistä Konensaattori toimii virtapiirissä sähköisen potentiaalin varastona Kapasitanssi on konensaattorin varauksen Q ja jännitteen suhe Yksikkö
LisätiedotVinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä
Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä Kun yhdistetään kahdella tavalla esitetty sähkökentän vuo, saadaan Gaussin laki: S d S Q sis Gaussin laki peustuu siihen, että suljetun pinnan läpi
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä
Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto.5.13 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä
LisätiedotPotentiaali ja potentiaalienergia
Luku 2 Potentiaali ja potentiaalienergia 2.1 Sähköstaattinen potentiaali ja sähkökenttä Koska paikallaan olevan pistemäisen varauksen aiheuttamalla Coulombin sähkökentällä on vain radiaalikomponentti,
LisätiedotYleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.
Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus
LisätiedotSähkökentät ja niiden laskeminen I
ähkökentät ja niiden laskeminen I IÄLTÖ: 1.1. Gaussin lain integaalimuoto ähkökentän vuo uljetun pinnan sisään jäävän kokonaisvaauksen laskeminen Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 12
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.
LisätiedotRATKAISUT: 19. Magneettikenttä
Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee
LisätiedotTfy Fysiikka IIB Mallivastaukset
Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama
LisätiedotDEE-11110 Sähkötekniikan perusteet
DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Peruskäsitteet Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet sähkövaraus teho ja energia potentiaali ja jännite sähkövirta Tarkoitus on määritellä sähkötekniikan
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELECA4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa Luentoviikko 2 Gaussin laki (YF 22) Oppimistavoitteet Varaus
LisätiedotMapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:
Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1 1. Eräs trigonometrinen ientiteetti on sin2x = 2sinxcosx Derivoimalla yhtälön molemmat puolet x:n suhteen, joha lauseke cos 2x:lle. Ratkaisu: Derivoiaan molemmat puolet,
LisätiedotMagneettikentät ja niiden määrittäminen
Magneettikentät ja niiden määrittäminen SSÄLTÖ: Magneettinen voima Varatun partikkelin liike sähkö- ja magneettikentässä Tasavirrat Magneettikentän voimavaikutus virtajohtimeen Magneettinen momentti iot-savartin
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Lisätiedot1 Johdanto Mikä tämä kurssi on Hieman taustaa Elektrodynamiikan perusrakenne Kirjallisuutta... 8
Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 6 1.4 Kirjallisuutta...........................
LisätiedotSATE2180 Kenttäteorian perusteet syksy / 5 Laskuharjoitus 5 / Laplacen yhtälö ja Ampèren laki
STE80 Kenttäteorian perusteet syksy 08 / 5 Tehtävä. Karteesisessa koordinaatistossa potentiaalin nollareferenssitaso on y = 4,5 cm. Määritä johteelle (y = 0) potentiaali ja varaustiheys, kun E = 6,67 0
Lisätiedot2 Eristeet. 2.1 Polarisoituma
2 Eristeet Eristeissä kaikki elektronit ovat sitoutuneita atomeihin tai molekyyleihin, eivätkä voi siis liikkua vapaasti kuten johdeelektronit johteissa. Ulkoinen sähkökenttä aiheuttaa kuitenkin vähäisiä
LisätiedotFY6 - Soveltavat tehtävät
FY6 - Soveltavat tehtävät 21. Origossa on 6,0 mikrocoulombin pistevaraus. Koordinaatiston pisteessä (4,0) on 3,0 mikrocoulombin ja pisteessä (0,2) 5,0 mikrocoulombin pistevaraus. Varaukset ovat tyhjiössä.
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan
LisätiedotTehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C
Tehtävä a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt =, 5 0 3 =, 5 0 3 C s protonin varaus on, 6 0 9 C Jaetaan koko virta yksittäisille varauksille:, 5 0 3 C s kpl = 9 05, 6 0 9 s b) di = Jd = J2πrdr,
Lisätiedot2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9
Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 5 1.4 Pari sanaa laskennasta......................
Lisätiedot&()'#*#+)##'% +'##$,),#%'
"$ %"&'$ &()'*+)'% +'$,),%' )-.*0&1.& " $$ % &$' ((" ")"$ (( "$" *(+)) &$'$ & -.010212 +""$" 3 $,$ +"4$ + +( ")"" (( ()""$05"$$"" ")"" ) 0 5$ ( ($ ")" $67($"""*67+$++67""* ") """ 0 5"$ + $* ($0 + " " +""
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen
LisätiedotAvaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät
11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit
Lisätiedotkaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ
58 VEKTORIANALYYSI Luento 9 Ortogonaaliset käyräviivaiset koordinaatistot Olemme jo monta kertaa esittäneet karteesiset x, y ja z koordinaatit uusia koordinaatteja käyttäen: x= xuvw (,, ), y= yuvw (,,
LisätiedotElektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018
Elektrodynamiikan tenttitehtäviä kl 2018 Seuraavista 30 tehtävästä viisi tulee Elektrodynamiikka I:n loppukokeeseen 6.3.2018. Koska nämä tehtävät ovat kurssin koetehtäviä, vihjeitä niiden ratkaisemiseen
LisätiedotSÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017
SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen
LisätiedotSMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän
LisätiedotPHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op)
PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) Sisältö: Sähköiset vuorovaikutukset Magneettiset vuorovaikutukset Sähkö- ja magneettikenttä Sähkömagneettinen induktio Ajasta riippuvat tasa- ja vaihtovirtapiirit
LisätiedotCoulombin laki ja sähkökenttä
Luku 1 Coulombin laki ja sähkökenttä 1.1 Sähkövaraus ja Coulombin voima Sähköisten ilmiöiden olemassaolo ilmenee niiden aiheuttamista mekaanisista vaikutuksista (osittain myös optisista vaikutuksista;
LisätiedotVektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
Lisätiedot4. Gaussin laki. (15.4)
Luku 15 Maxwellin yhtälöt 15.1 iirrosvirta Voidaan osoittaa, että vektorikenttä on yksikäsitteisesti määrätty, jos tunnetaan sen divergenssi, roottori ja reunaehdot. Tämän vuoksi sähkö- ja magneettikenttien
LisätiedotSÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017
SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä
LisätiedotSähköstatiikan laskuissa useat kaavat yksinkertaistuvat hieman, jos vakio C kirjoitetaan muotoon
30 SÄHKÖVAKIO 30 Sähkövakio ja Coulombin laki Coulombin lain mukaan kahden tyhjiössä olevan pistevarauksen q ja q 2 välinen voima F on suoraan verrannollinen varauksiin ja kääntäen verrannollinen varausten
LisätiedotMagneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän
3. MAGNEETTIKENTTÄ Magneettikenttä Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän Havaittuja magneettisia perusilmiöitä: Riippumatta magneetin muodosta, sillä on aina
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi
Sähköstatiikka ja magnetismi Johdatus magnetismiin Antti Haarto 19.11.2012 Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotFy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7
Fy06 Koe 0.5.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 alitse kolme tehtävää. 6p/tehtävä. 1. Mitä mieltä olet seuraavista väitteistä. Perustele lyhyesti ovatko väitteet totta vai tarua. a. irtapiirin hehkulamput
LisätiedotTÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA
TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotHarjoitus 2. 10.9-14.9.2007. Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen.
SMG-1300 Sähkömagneettiset kentät ja aallot I Harjoitus 2. 10.9-14.9.2007 Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen. Tehtävä 1: Harjoitellaan ensinmäiseksi ymmärtämään lausekkeen
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotDerivointiesimerkkejä 2
Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin
Lisätiedot= ( F dx F dy F dz).
17 VEKTORIANALYYSI Luento 2 3.4 Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin
Lisätiedot1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.
Matematiikan kurssikoe, Maa4 Vektorit RATKAISUT Sievin lukio Keskiviikko 12.4.2017 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL JA LASKIN/LAS- KINOHJELMAT OVAT SALLITTUJA! 1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti
LisätiedotSÄHKÖ KÄSITTEENÄ. Yleisnimitys suurelle joukolle ilmiöitä ja käsitteitä:
FY6 SÄHKÖ Tavoitteet Kurssin tavoitteena on, että opiskelija ymmärtää sähköön liittyviä peruskäsitteitä, tutustuu mittaustekniikkaan osaa tehdä sähköopin perusmittauksia sekä rakentaa ja tutkia yksinkertaisia
LisätiedotSähköpotentiaali. Haarto & Karhunen.
Sähköpotentiaali Haato & Kahunen www.tukuamk.fi Johantoa Kun vaaus q on sähkökentässä siihen vaikuttaa voima Saman suuuinen voima tavitaan siitämään vaausta matkan sähkökentän aiheuttamaa voimaa vastaan
LisätiedotMagneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi
Magneettikentät Haarto & Karhunen Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän Magneettikenttä aiheuttaa voiman liikkuvaan
LisätiedotVEKTORIT paikkavektori OA
paikkavektori OA Piste A = (2, -1) Paikkavektori OA = 2i j 3D: kuvan piirtäminen hankalaa Piste A = (2, -3, 4) Paikkavektori OA = 2i 3j + 4k Piste A = (a 1, a 2, a 3 ) Paikkavektori OA = a 1 i + a 2 j
LisätiedotSMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO
SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO LiikeJla vaiku5aa siihen, miten kentät syntyvät ja miten hiukkaset kokevat kenben väli5ämät vuorovaikutukset ja miltä kentät näy5ävät. Vara5u hiukkanen kokee sähkömagneebsen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) Polynomi P() = 3 + 8 on jaollinen polynomilla Q() = 3, jos = 3 on polynomin P nollakohta, eli P(3) = 0. P(3) = 3 3 3 + 8 3 = 54 08 + 54 = 0. Polynomi P on jaollinen polynomilla Q. b) Jaetaan
LisätiedotFysiikka 1. Coulombin laki ja sähkökenttä. Antti Haarto
ysiikka 1 Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto 7.1.1 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä voi syntyä
LisätiedotSähkömagneettinen induktio
ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä
Lisätiedot5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;
LisätiedotFYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ
FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ MIKKO LAINE 2. kesäkuuta 2015 1. Johdanto Tässä työssä määritämme Maan magneettikentän komponentit, laskemme totaalikentän voimakkuuden ja monitoroimme magnetometrin
LisätiedotSATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV
SATE2180 Kenttäteorian perusteet Faradayn laki ja sähkömagneettinen induktio Sähkötekniikka/MV Faradayn laki E B t Muuttuva magneettivuon tiheys B aiheuttaa ympärilleen sähkökentän E pyörteen. Sähkökentän
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotKun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla
LisätiedotFYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ
FYSA220/1 (FYS222/1) HALLIN ILMIÖ Työssä perehdytään johteissa ja tässä tapauksessa erityisesti puolijohteissa esiintyvään Hallin ilmiöön, sekä määritetään sitä karakterisoivat Hallin vakio, varaustiheys
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
LisätiedotVIELÄ KÄYTÄNNÖN ASIAA
VIELÄ KÄYTÄNNÖN ASIAA Kurssin luentomuis8inpanot (ja tulevat laskarimallit) näkyvät vain kun olet kirjautunut sisään ja rekisteröitynyt kurssille WebOodin kauga Kurssi seuraa oppikirjaa kohtuullisen tarkkaan,
LisätiedotSähköstaattinen energia
Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä fysiikassa. Sähkö- ja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
Lisätiedotc) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
LisätiedotSuorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009
Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden
Lisätiedot3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta
Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotKojemeteorologia. Sami Haapanala syksy 2013. Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto
Kojemeteorologia Sami Haapanala syksy 03 Fysiikan laitos, Ilmakehätieteien osasto Tuulen nopeuen ja suunnan mittaaminen Tuuli on vektorisuure, jolla on siis nopeus ja suunta Yleensä tuulella tarkoitetaan
LisätiedotSÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017
SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 6 / versio 14. lokakuuta 2015 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset
Lisätiedot