Sähköstaattinen energia

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Sähköstaattinen energia"

Transkriptio

1 Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä fysiikassa. Sähkö- ja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen, se tekee työtä ja hiukkasen energia muuttuu. Kuten mekaniikassa, myös elektrodynamiikassa energia voidaan jakaa liike- ja potentiaalienergiaan. Sähköstaattinen energia on potentiaalienergiaa. Kun varaus q siirtyy pisteestä A pisteeseen B sähköstaattisessa kentässä, kenttä tekee työn W = B A B B F dl = q E dl = q ϕ dl = q(ϕ B ϕ A ). (4.1) A A Työn ja energian SI-yksikkö on joule (J), joka on sama kuin wattisekunti (Ws). Työ on myös varaus kertaa sähköinen potentiaali, jonka yksikkö on C tai elektronivoltti (e). Koska elektronin varaus on 1, C, on 1 e = 1, J. 4.1 arausjoukon potentiaalienergia arausjoukon sähköstaattisella energialla tarkoitetaan systeemin potentiaalienergiaa verrattuna tilanteeseen, jossa kaikki varaukset ovat äärettömän kaukana toisistaan. Energia saadaan laskemalla yhteen työ joka tehdään, kun kukin varaus tuodaan yksitellen paikalleen varausjoukkoon. Koska alunperin tarkasteltavassa systeemissä ei ole varauksia, ensimmäinen varaus q 1 saadaan pisteeseen r 1 ilman työtä, W 1 = 0. Toisen varauksen q tuominen merkitsee työntekoa voimaa F = q 1 r 1 /4πɛ 0 r 1 3 vastaan, joten varauksen sijoittamiseksi pisteeseen r on tehtävä työtä W = q 1q 4πɛ 0 r 1. (4.) 49

2 50 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA Kolmannelle varaukselle W 3 = q 3 ( q1 + q ) 4πɛ 0 r 31 4πɛ 0 r 3 ja niin edelleen kaikille N kappaleelle varauksia. Koko systeemin sähköstaattinen energia U on N N j 1 q U = W j = j q k. (4.3) 4πɛ 0 r jk k=1 Summaus voidaan järjestää uudelleen muotoon U = 1 ( N N k=1 ) q j q k, (4.4) 4πɛ 0 r jk missä merkitsee, että termit j = k jätetään pois. Energia voidaan siis ilmaista varaukseen j vaikuttavien kaikkien muiden varausten potentiaalin ϕ j = N k=1 q k 4πɛ 0 r jk (4.5) avulla: U = 1 N q j ϕ j. (4.6) Huom. Sähköstaattinen potentiaali ei siis ole aivan sama asia kuin potentiaalienergia. Se voidaan kuitenkin tulkita potentiaalienergiaksi yksikkövarausta kohti. Jatkossa myös staattiselle magneettikentälle ja dynaamisille sähkömagneettisille kentille tullaan johtamaan potentiaaliesityksiä ja oppimaan, että niille tällaista tulkintaa ei ole. 4. arausjakautuman sähköstaattinen energia Tarkastellaan seuraavassa jatkuvia varausjakautumia. Osa varauksista voi olla johteiden pinnalla ja lisäksi systeemissä saa olla eristeitä, mutta ne on oletettava lineaarisiksi. Syy tähän on, että epälineaarisilla eristeillä varaussysteemin kokoaminen riippuu tiestä, jota pitkin kukin varaus tuodaan äärettömyydestä tarkastelualueeseen. Suoraviivaisimmin energian lausekkeen saa yleistämällä diskreettien varausjakautumien tulokset jatkuville jakautumille eli muuttamalla summa integraaliksi: U = 1 ρ(r)ϕ(r) d. (4.7)

3 4.3. SÄHKÖSTAATTISEN KENTÄN ENERGIA 51 Tässä ei ole kirjoitettu erikseen näkyviin mahdollisia pintavarauksia tai diskreettejä pistevarauksia. Johdekappaleet on käytännöllistä käsitellä erikseen, sillä niiden varaukset Q j ovat kokonaan pinnoilla S j ja kunkin johteen potentiaali ϕ j on vakio: U = 1 S j σϕ ds = 1 Q jϕ j. (4.8) arausjakautuman sähköstaattinen energia on kaiken kaikkiaan U = 1 ρϕ d + 1 Q j ϕ j, (4.9) j missä jälkimmäisessä termissä summataan yli kaikkien johdekappaleiden. Koska johdekappaleen pinnalla on suuri määrä varauksia, ei johdekappaleita summattaessa kappaleen omaa osuutta (itseisenergiaa) voida jättää huomiotta, kuten edellä tehtiin yksittäisten varausten tapauksessa. Pistevarausten itseisenergia voidaan jättää huomiotta makroskooppisissa tarkasteluissa, mutta aikoinaan muotoiltaessa kvanttitason elektrodynamiikkaa tästä aiheutui varsin visaisia ongelmia. Kondensaattorin energia Oletamme kondensaattorit tutuiksi peruskurssilta (HT: kertaa asia, jos se on päässyt unohtumaan). Kondensaattorin varauksen ja potentiaalieron välistä suhdetta C = Q/ ϕ kutsutaan kondensaattorin kapasitanssiksi. Kondensaattorin energia voidaan ilmaista U = 1 Q ϕ = 1 C( ϕ) = 1 Q C. (4.10) 4.3 Sähköstaattisen kentän energia Edelläoleva tarkastelu edellyttää potentiaalin tuntemista koko systeemissä. Usein tunnetaan kuitenkin sähkökenttä ja halutaan määrittää sen avulla sähköstaattinen energia. Eristeissä ρ = D ja johteiden pinnalla σ = D n, jolloin U = 1 ϕ D d + 1 ϕ D n ds. (4.11) Tilavuusintegraali lasketaan alueessa, jossa D 0 ja pintaintegraali on summa kaikkien johteiden pintojen yli. Muotoillaan tilavuusintegraalin integrandia kirjoittamalla ϕ D = (ϕ D) D ϕ. Tässä oikean puolen S

4 5 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA jälkimmäinen termi on +D E ja ensimmäisen termin tilavuusintegraali voidaan muuttaa Gaussin lauseen avulla pintaintegraaliksi, jolloin saadaan U = 1 S+S ϕ D n ds + 1 D E d + 1 S ϕ D n ds. (4.1) Tässä pinta S + S on koko tilavuutta rajoittava pinta, joka muodostuu johteiden pinnoista S ja tilavuuden ulkopinnasta S. Molemmissa tapauksissa n osoittaa ulospäin tilavuudesta. iimeisen integraalin n puolestaan osoittaa johdekappaleista ulospäin eli tilavuuden sisään. Integraalit johdekappaleiden yli kumoavat siis toisensa. Pinnan S yli laskettava integraali häviää, kun pinta viedään kauas varausjakautumasta. Kaukana ϕ 1/r ja D(r) 1/r ja pinta-alkiolle puolestaan pätee ds r. Tällöin ϕ D n ds 1/r eli integraali katoaa r:n kasvaessa. (Huom. Tämä pätee vain staattisille kentille. Myöhemmin tutustutaan säteilykenttiin, jotka kuljettavat energiaa mukanaan äärettömyyksiin.) Energian lauseke on siis U = 1 D E d. (4.13) Tässä on koko avaruus sisältäen myös johdekappaleet, joiden sisällä E = 0. Lausekkeen integrandi on sähköstaattinen energiatiheys u = 1 D E. (4.14) Koska on oletettu lineaarinen väliaine, tämä voidaan kirjoittaa myös u = 1 ɛe = 1 D ɛ. (4.15) Huom. Sovellettaessa tätä formalismia systeemiin, jossa on pistevarauksia, niiden ääretön itseisenergia on vähennettävä eksplisiittisesti. HT: Laske homogeenisen varauspallon sähköstaattinen energia kolmella eri tavalla: kokoamistyöllä, energiatiheyttä integroimalla, potentiaalin ja varaustiheyden tuloa integroimalla. HT (vaikea): Kuuluuko sähköstaattinen energia hiukkasille vai kentälle? Toinen tapa johtaa tulos (4.14) on esitetty yksityiskohdittain CL:n luvussa 5.. Lähdetään liikkeelle varausjakautumasta ρ(r) ja tehdään siihen pieni häiriö δρ. Häiriöön liittyy työ δu = δρ(r)ϕ(r) d (4.16)

5 4.3. SÄHKÖSTAATTISEN KENTÄN ENERGIA 53 ja siirtymäkenttä δd, jolle (δd) = δρ, joten osittaisintegroimalla lauseketta (4.16) saadaan (HT) δu = ( δd)ϕ d = E δd d. (4.17) Tarkastellaan sitten yksinkertaista väliainetta (D = ɛe), jolloin E δd = 1 ɛδe, (4.18) joten δu = δ 1 ɛe d = δ 1 E D d (4.19) mistä saadaan U = 1 ɛe d = 1 E D d. (4.0) Tässä on oletettu, että tarkasteltava systeemi on mekaanisesti jäykkä, joten yksinkertaisellekin väliaineelle energiatiheyden lauseke (4.14) on vain approksimaatio. Epälineaarisille väliaineille energia on laskettava suoraan lausekkeesta (4.17). Tämä liittyy jälleen hystereesi-ilmiöön. Esimerkki. Ionikiteen sähköstaattinen energia Tarkastellaan tavallista ruokasuolaa (NaCl, kuva 4.1). Kokeellisesti tiedetään, että suolan hajottaminen Na + - ja Cl -ioneiksi vaatii energiaa 7,9 e molekyyliä kohti. Lasketaan, onko tämä sama kuin yhden molekyylin sähköstaattinen potentiaalienergia kaikkien muiden kiteen ionien kentässä Na+ Cl + a Kuva 4.1: NaCl-kiteen poikkileikkaus. Yhden Na + -ionin potentiaalienergia on U 1 = 1 N i=1 eq i 4πɛ 0 r i, (4.1)

6 54 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA missä q i on ±e (e = alkeisvaraus) ja r i on kunkin ionin etäisyys origoon sijoitetusta Na + -ionista. N voidaan turvallisesti olettaa äärettömäksi makroskooppisille kiteille. Koska halutaan yhden molekyylin potentiaalienergia U, on laskettava summa U = U 1 : U = i=1 eq i 4πɛ 0 r i. (4.) Röntgendiffraktiokokeista tiedetään, että ionit ovat kuutiohilassa, jossa kuution sivun pituus a on noin, m. Koska e /(4πɛ 0 a) 5, 1 e, niin suuruusluokan puolesta ollaan oikeilla jäljillä. Energian lauseke voidaan kirjoittaa summana U = e 4πɛ 0 a m,n,p= ( 1) m+n+p m + n + p, (4.3) missä ei pidä ottaa mukaan termiä m = n = p = 0. Numeerisesti saadaan U 1, 747 e /(4πɛ 0 a) 8, 91 e. Tämä on hieman liian suuri arvo, koska edellä ei otettu huomioon hyvin lähellä toisiaan olevien ionien välillä vallitsevaa poistovoimaa. Sen vaikutus pienentää molekyylin hajottamiseen tarvittavaa energiaa. Lisäksi pieni korjaus tulisi ottamalla huomioon kidevärähtelyistä johtuva liike-energia. Esimerkki. Eristekappaleen energia Oletetaan, että muuten tyhjässä avaruudessa on varausjakauman ρ 0 (r) aiheuttama sähkökenttä E 0. Tuodaan avaruuteen yksinkertaisesta aineesta muodostuva eristekappale 1 (permittiivisyys ɛ 1 ) siten, että alkuperäisen kentän E 0 aiheuttava varausjakauma ei muutu. Ennen eristekappaleen tuontia sähköstaattinen energia on U 0 = 1 E 0 D 0 d, (4.4) missä D 0 = ɛ 0 E 0. Kappaleen tuonnin jälkeen energia on U 1 = 1 E D d. (4.5) Energioiden erotus U = U 1 U 0 voidaan kirjoittaa muotoon U = 1 (E D 0 D E 0 ) d + 1 (E + E 0 ) (D D 0 ) d. (4.6) Jälkimmäisessä integraalissa voidaan kirjoittaa E + E 0 = ϕ (Tässä ϕ ei ole fysikaalinen potentiaali vaan jokin skalaarifunktio.) Integrandiksi tulee

7 4.4. SÄHKÖKENTÄN OIMAAIKUTUKSET 55 osittaisintegroinnin jälkeen lauseke ϕ (D D 0 ). Tämä on nolla, koska alkuperäinen varausjakauma ρ 0 oletetaan muuttumattomaksi. Energian muutos on siis U = 1 (E D 0 D E 0 ) d. (4.7) Huomataan vielä, että integroimisalue on ainoastaan 1, sillä sen ulkopuolella D = ɛ 0 E. Integrandiksi tulee siis 1 (ɛ 1 ɛ 0 )E E 0 = 1 P E 0 polarisoituman määritelmän perusteella. Ulkoiseen kenttään E 0 tuodun eristekappaleen energiatiheys on siten u = 1 P E 0. Tuloksen avulla voidaan päätellä, mihin suuntaan kappale pyrkii liikkumaan (HT). 4.4 Sähkökentän voimavaikutukset Sähkökenttä määriteltiin alunperin operatiivisesti voimavaikutuksen kautta. Johdetaan nyt voimavaikutus sähköstaattisesta energiasta. Oletetaan eristetyn systeemin kaikki energia sähköstaattiseksi energiaksi. oiman F tekemä työ systeemin pienessä siirroksessa dr on dw = F dr. (4.8) Koska systeemi on eristetty, tämä työ on tehtävä sähköstaattisen energian U kustannuksella: dw = du. (4.9) Koska du = U r dr = U dr, voima on energian gradientin vastaluku: F = U. (4.30) Jos voima puolestaan kiertää systeemiä kulman dθ verran (vrt. väkipyörä), tehty työ on dw = τ dθ, (4.31) missä τ on vääntömomentti, joka saadaan siis energian negatiivisena gradienttina kiertymäkulman suhteen: τ = U θ. (4.3) Q Koska systeemi on eristetty, gradientit lasketaan olettaen varaus Q vakioksi. Käytännössä sähköstaattiset systeemit eivät useinkaan ole eristettyjä, vaan muodostuvat esimerkiksi johdekappaleista, jotka pidetään kiinteässä potentiaalissa ulkoisen energialähteen (pariston) avulla. Siirtyköön osa systeemistä jälleen sähköisten voimien vaikutuksesta. Nyt dw = dw b du, (4.33)

8 56 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA missä dw b on pariston tekemä työ. Johdekappaleille U = (1/) j ϕ jq j. Koska ulkoinen paristo pitää johdekappaleet samassa potentiaalissa, saadaan du = 1 ϕ j dq j. (4.34) j Toisaalta paristosta saatava työ on yhtä suuri kuin työ, joka tarvitaan siirtämään varauksen muutos dq j nollapotentiaalista johdekappaleen potentiaaliin: dw b = ϕ j dq j = du (4.35) j eli voima on F = ( U) ϕ. (4.36) Alaindeksi ϕ viittaa siihen, että ulkoinen energialähde pitää johdekappaleiden potentiaalit vakioina siirroksen dr ajan. Huomaa merkkiero eristetyn systeemin voiman lausekkeeseen. Esimerkki. Levykondensaattorin sisällä olevaan eristepalkkiin vaikuttava voima Olkoon kondensaattorin levyjen sisällä koko kondensaattorin täyttävä eristepalkki, jonka permittiivisyys on ɛ (kuva 4.). Kondensaattorin levyjen etäisyys on d, niiden pituus L ja leveys w. Ulkoinen virtalähde pitää kondensaattorin jännitteen vakiona ϕ. Lasketaan, kuinka suuri voima vetää palkkia kondensaattoriin. d E F L x L x Kuva 4.: Eristepalkki levykondensaattorin sisällä. Kondensaattorissa on sekä ilmassa että eristeessä sama sähkökenttä E = ϕ/d, joten sen energiasisältö on U = 1 ɛe d (4.37)

9 4.5. MAXWELLIN JÄNNITYSTENSORI SÄHKÖSTATIIKASSA 57 jättämällä kondensaattorin reunavaikutukset huomiotta. Systeemin energia kuvan tilanteessa on oima U(x) = ɛ ( ϕ d ) wxd + ɛ 0 ( ) ϕ w(l x)d. (4.38) F x = U x = ɛ ɛ 0 w ( ϕ) = ɛ r 1 ɛ 0 E wd (4.39) d osoittaa kasvavan x:n suuntaan vastustaen ulosvetämistä. HT: Miten tämän voi selittää eristepalkkiin indusoituvien varausten avulla? d 4.5 Maxwellin jännitystensori sähköstatiikassa Tutustutaan lopuksi tyylikkääseen tapaan laskea voimavaikutukset jännitystensorin avulla. Oletetaan, että muuten tyhjässä avaruudessa on staattinen sähkökenttä E ja äärellisessä alueessa varausjakautuma ρ. Alueeseen vaikuttava kokonaisvoima on Coulombin lain mukaan F = ρ(r)e d = f(r) d, (4.40) missä f = ρe = ɛ 0 ( E)E on voimatiheys eli voima tilavuusalkiota kohti. Jälleen kerran pyritään muuttamaan tilavuusintegraali pintaintegraaliksi. Todetaan ensin, että f x = ɛ 0 ( 1 x(e x) + y (E y E x ) + z (E z E x ) E y y E x E z z E x ). (4.41) Koska sähköstaattinen kenttä on pyörteetön eli E = 0, niin x E y = y E x, y E z = z E y, z E x = x E z. (4.4) Saadaan f x = ɛ 0 ( x (E x 1 E ) + y (E y E x ) + z (E z E x )) (4.43) ja vastaava tulos muille komponenteille (HT). ektorilaskennasta tunnetaan divergenssiteoreeman sukuinen tulos ψ d = n ψ ds. (4.44) Tämän avulla saadaan kokonaisvoiman x-komponentiksi F x = f x (r)d = ɛ 0 (n x (Ex 1 E ) + n y E y E x + n z E z E x ) ds (4.45) S

10 58 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA ja koko vektoriksi F = (ɛ 0 (n E)E 1 ɛ 0nE ) ds. (4.46) S Alueeseen vaikuttava kokonaisvoima F voidaan siis korvata vain alueen pintaan S kohdistuvalla pintavoimalla F S, jonka pintatiheyden f S komponentti i on 3 fi S = T ij n j, (4.47) missä on määritelty Maxwellin jännitystensori T, jonka komponentit ovat T ij = ɛ 0 (E i E j 1 δ ije ). (4.48) oimatiheys voidaan esittää tensorin divergenssinä: 3 f i = j T ij. (4.49) oimien F ja F S ekvivalenssin toteamiseksi on vielä osoitettava niiden momenttien yhtäsuuruus mielivaltaisen pisteen suhteen. On siis näytettävä, että N = r f d on sama kuin NS = S r f S ds. Laskennallisesti suoraviivainen todistus perustuu jännitystensorin ja permutaatiosymbolin käyttöön (HT). Jännitystensoriin palataan magnetostatiikassa analogisella tavalla ja se tulee vastaan myös liikemäärän säilymislain yhteydessä. Esimerkki. Johdepalloon vaikuttava sähköstaattinen voima Asetetaan ohut johtava pallonkuori (säde a) homogeeniseen sähkökenttään E 0. Sähkökenttä määritettiin jo luvussa. Pallon pinnalla sähkökentällä on vain radiaalinen komponentti E r (r = a) = 3E 0 cos θ. Harjoitustehtävänä on osoittaa jännitystensorin avulla tai muulla tavalla päättelemällä, että staattisessa sähkökentässä olevaan johdekappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima on F = 1 σ s E ds, (4.50) S missä σ s on varaustiheys johteen pinnalla S. Symmetrian perusteella pallon ylempään puoliskoon (0 < θ < π/) vaikuttava voima on z-akselin suuntainen (F + e z ) ja alempaan puoliskoon (π/ < θ < π) vaikuttava voima on F = F +. Koska pallon pinnalla σ s = ɛ 0 E r (a), niin F + = e z 1 ɛ 0Er (a)e r ds = 9ɛ 0E 0 a = 9πɛ 0a E 0 4 π 0. dφ π/ 0 dθ sin θ cos 3 θ (4.51)

Sähköstaattinen energia

Sähköstaattinen energia Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä fysiikassa. Sähkö- ja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,

Lisätiedot

Sähköstaattinen energia

Sähköstaattinen energia Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä kaikessa fysiikassa. Sähköja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,

Lisätiedot

Elektrodynamiikka 2010 Luennot Elina Keihänen

Elektrodynamiikka 2010 Luennot Elina Keihänen Elektrodynamiikka 2010 Luennot 11.2.2010 Elina Keihänen Staattinen sähkökenttä - Eristepalkki levykondensaattorissa - Eristekappaleen energia - Maxwellin jännitystensori Staattinen magneettikenttä - Stationaariset

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali

Lisätiedot

Luku 5. Johteet. 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään E = 0 E = 0 E = 0

Luku 5. Johteet. 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään E = 0 E = 0 E = 0 Luku 5 Johteet 5.1 Johteiden vaikutus sähkökenttään Johteessa osa atomien elektroneista on ns. johde-elektroneja, jotka pääsevät vapaasti liikkumaan sähkökentän vaikutuksesta. Hyvässä johteessa (kuten

Lisätiedot

Potentiaali ja potentiaalienergia

Potentiaali ja potentiaalienergia Luku 2 Potentiaali ja potentiaalienergia 2.1 Sähköstaattinen potentiaali ja sähkökenttä Koska paikallaan olevan pistemäisen varauksen aiheuttamalla Coulombin sähkökentällä on vain radiaalikomponentti,

Lisätiedot

Coulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q

Coulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q Coulombin laki Kahden pistemäisen varatun hiukkasen välinen sähköinen voima F on suoraan verrannollinen varausten Q 1 ja Q 2 tuloon ja kääntäen verrannollinen etäisyyden r neliöön F = k Q 1Q 2 r 2, k =

Lisätiedot

Elektrodynamiikka, kevät 2008

Elektrodynamiikka, kevät 2008 Elektrodynamiikka, kevät 2008 Painovirheiden ja epätäsmällisyyksien korjauksia sekä pieniä lisäyksiä luentomonisteeseen Sivunumerot viittaavat vuoden 2007 luentomonisteeseen. Sivun 18 loppu: Vaikka esimerkissä

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Sähköstatiikka Coulombin laki ja sähkökentän

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén Luentoviikko 5 / versio 7. lokakuuta 2016 Luentoviikko 5 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset

Lisätiedot

Tarkastellaan yksinkertaista virtasilmukkaa, jossa kulkee virta I ja jonka V + E = IR (8.1)

Tarkastellaan yksinkertaista virtasilmukkaa, jossa kulkee virta I ja jonka V + E = IR (8.1) Luku 8 Magneettinen energia Oppimateriaali RMC Luku 1 ja CL 7.3; esitiedot KSII luvut 4 ja 5. Luvussa 4 todettiin, että staattiseen sähkökenttään liittyy tietty energia. Näin on myös magneettikentän laita,

Lisätiedot

2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9

2 Staattinen sähkökenttä Sähkövaraus ja Coulombin laki... 9 Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 5 1.4 Pari sanaa laskennasta......................

Lisätiedot

1 Johdanto Mikä tämä kurssi on Hieman taustaa Elektrodynamiikan perusrakenne Kirjallisuutta... 8

1 Johdanto Mikä tämä kurssi on Hieman taustaa Elektrodynamiikan perusrakenne Kirjallisuutta... 8 Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Mikä tämä kurssi on....................... 3 1.2 Hieman taustaa.......................... 4 1.3 Elektrodynamiikan perusrakenne................ 6 1.4 Kirjallisuutta...........................

Lisätiedot

1 Voima ja energia sähköstatiikassa

1 Voima ja energia sähköstatiikassa 1 Voima ja energia sähköstatiikassa ähköstatiikassa tarkastellaan levossa olevia sähkövarauksia. 1.6 ähkövaraus Ranskalainen fyysikko Charles Coulomb osoitti kokeillaan v. 1785, että sähköllä varattujen

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 6 / versio 14. lokakuuta 2015 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset

Lisätiedot

2 Eristeet. 2.1 Polarisoituma

2 Eristeet. 2.1 Polarisoituma 2 Eristeet Eristeissä kaikki elektronit ovat sitoutuneita atomeihin tai molekyyleihin, eivätkä voi siis liikkua vapaasti kuten johdeelektronit johteissa. Ulkoinen sähkökenttä aiheuttaa kuitenkin vähäisiä

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy

Lisätiedot

4. Gaussin laki. (15.4)

4. Gaussin laki. (15.4) Luku 15 Maxwellin yhtälöt 15.1 iirrosvirta Voidaan osoittaa, että vektorikenttä on yksikäsitteisesti määrätty, jos tunnetaan sen divergenssi, roottori ja reunaehdot. Tämän vuoksi sähkö- ja magneettikenttien

Lisätiedot

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua

766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri

Lisätiedot

Luku Sähköinen polarisoituma

Luku Sähköinen polarisoituma Luku 3 Sähkökenttä väliaineessa Tässä luvussa tutustutaan sähkökenttään väliaineessa (RMC luku 4, CL luku 4; esitiedot KSII luku 2, osa 2.9). Väliaineiden sähköisiin ja magneettisiin ominaisuuksiin tutustutaan

Lisätiedot

Magneettinen energia

Magneettinen energia Luku 11 Magneettinen energia 11.1 Kelojen varastoima energia Sähköstatiikan yhteydessä havaittiin, että kondensaattori kykenee varastoimaan sähköstaattista energiaa. astaavalla tavalla kela, jossa kulkee

Lisätiedot

RATKAISUT: 18. Sähkökenttä

RATKAISUT: 18. Sähkökenttä Physica 9 1. painos 1(7) : 18.1. a) Sähkökenttä on alue, jonka jokaisessa kohdassa varattuun hiukkaseen vaikuttaa sähköinen voia. b) Potentiaali on sähkökenttää kuvaava suure, joka on ääritelty niin, että

Lisätiedot

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause 91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 1 Maxwellin & Kirchhoffin laeista Piirimallin

Lisätiedot

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Peruskäsitteet Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet sähkövaraus teho ja energia potentiaali ja jännite sähkövirta Tarkoitus on määritellä sähkötekniikan

Lisätiedot

Elektrodynamiikka 2010 Luennot Elina Keihänen Magneettinen energia

Elektrodynamiikka 2010 Luennot Elina Keihänen Magneettinen energia Elektrodynamiikka 2010 Luennot 18.3.2010 Elina Keihänen Magneettinen energia Mainos Kesätyöpaikkoja tarjolla Planck-satelliittiprojektissa. Googlaa Planck kesätyöt Pääasiassa kolme vuotta tai kauemmin

Lisätiedot

Gaussin lause eli divergenssilause 1

Gaussin lause eli divergenssilause 1 80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän

Lisätiedot

SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017

SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä

Lisätiedot

Sähköstatiikasta muuta. - q. SISÄLTÖ Sähköinen dipoli Kondensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä

Sähköstatiikasta muuta. - q. SISÄLTÖ Sähköinen dipoli Kondensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä Sähköstatiikasta muuta SISÄLTÖ Sähköinen ipoli Konensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä Sähköinen ipoli Tässä on aluksi samaa asiaa kuin risteet -kappaleen alussa ja lopuksi vähän uutta asiaa luentomonisteesta.

Lisätiedot

SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017

SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä

Lisätiedot

Tarkastellaan yksinkertaista virtasilmukkaa, jossa kulkee virta I ja jonka vastus on R. Liitetään virtapiiriin jännitelähde V.

Tarkastellaan yksinkertaista virtasilmukkaa, jossa kulkee virta I ja jonka vastus on R. Liitetään virtapiiriin jännitelähde V. Luku 8 Magneettinen energia Luvussa 4 nähtiin, että staattiseen sähkökenttään liittyy tietty energia. Näin on myös magneettikentän laita, sillä Faradayn lain mukaan magneettikentän muuttaminen aiheuttaa

Lisätiedot

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET Kurssin esittely Sähkömagneettiset ilmiöt varaus sähkökenttä magneettikenttä sähkömagneettinen induktio virta potentiaali ja jännite sähkömagneettinen energia teho Määritellään

Lisätiedot

Elektrodynamiikka. Hannu Koskinen ja Ari Viljanen

Elektrodynamiikka. Hannu Koskinen ja Ari Viljanen Elektrodynamiikka Hannu Koskinen ja Ari Viljanen Kevät 2002 2 Tämä luentomoniste on päivitetty versio Hannu Koskisen kevään 2001 luennoista. Joidenkin asioiden käsittelyjärjestystä on muutettu, joitain

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot

Lisätiedot

on myös magneettikentän laita, sillä Faradayn lain mukaan magneettikentän muuttaminen aiheuttaa muutosta vastustavan voiman ja siten magneettikentän

on myös magneettikentän laita, sillä Faradayn lain mukaan magneettikentän muuttaminen aiheuttaa muutosta vastustavan voiman ja siten magneettikentän Luku 8 Magneettinen energia Luvussa 4 nähtiin, että staattiseen sähkökenttään liittyy tietty energia. Näin on myös magneettikentän laita, sillä Faradayn lain mukaan magneettikentän muuttaminen aiheuttaa

Lisätiedot

SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017

SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä

Lisätiedot

a P en.pdf KOKEET;

a P  en.pdf KOKEET; Tässä on vanhoja Sähkömagnetismin kesäkurssin tenttejä ratkaisuineen. Tentaattorina on ollut Hanna Pulkkinen. Huomaa, että tämän kurssin sisältö on hiukan eri kuin Soveltavassa sähkömagnetiikassa, joten

Lisätiedot

Luento 9: Potentiaalienergia

Luento 9: Potentiaalienergia Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta

Lisätiedot

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia

Luento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia 1 / 22 Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat

Lisätiedot

Varatun hiukkasen liike

Varatun hiukkasen liike Luku 15 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Liikeyhtälö on tullut esiin useaan otteeseen kurssin aikana aiemminkin. Yleisesti

Lisätiedot

Tarkastellaan yksinkertaista virtasilmukkaa, jossa kulkee virta I ja jonka V + E = IR (8.1)

Tarkastellaan yksinkertaista virtasilmukkaa, jossa kulkee virta I ja jonka V + E = IR (8.1) Luku 8 Magneettinen energia Luvussa 4 nähtiin, että staattiseen sähkökenttään liittyy tietty energia. Näin on myös magneettikentän laita, sillä Faradayn lain mukaan magneettikentän muuttaminen aiheuttaa

Lisätiedot

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan 3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 3 Tavoitteet Sähköpotentiaali Sähköpotentiaali Sähköpotentiaalin määrittäminen Tasapotentiaalipinnat Potentiaaligradientti

Lisätiedot

Varatun hiukkasen liike

Varatun hiukkasen liike Luku 16 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Liikeyhtälö on tullut esiin useaan otteeseen kurssin aikana aiemminkin. Yleisesti

Lisätiedot

VIELÄ KÄYTÄNNÖN ASIAA

VIELÄ KÄYTÄNNÖN ASIAA VIELÄ KÄYTÄNNÖN ASIAA Kurssin luentomuis8inpanot (ja tulevat laskarimallit) näkyvät vain kun olet kirjautunut sisään ja rekisteröitynyt kurssille WebOodin kauga Kurssi seuraa oppikirjaa kohtuullisen tarkkaan,

Lisätiedot

Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä

Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto.5.13 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä

Lisätiedot

Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi?

Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Oleteaan tyhjiö: ei virtoja ei varauksia Muutos magneettikentässä saisi aikaan sähkökentän. Muutos vuorostaan sähkökentässä saisi aikaan magneettikentän....ja niinhän

Lisätiedot

Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.

Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö. Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus

Lisätiedot

Coulombin laki ja sähkökenttä

Coulombin laki ja sähkökenttä Luku 1 Coulombin laki ja sähkökenttä 1.1 Sähkövaraus ja Coulombin voima Sähköisten ilmiöiden olemassaolo ilmenee niiden aiheuttamista mekaanisista vaikutuksista (osittain myös optisista vaikutuksista;

Lisätiedot

Kuvan 9.1 mukaisessa ajatuskokeessa varataan kondensaattoria sähkövirralla I. Ampèren lain mukaan S 1. kondensaattorilevyt

Kuvan 9.1 mukaisessa ajatuskokeessa varataan kondensaattoria sähkövirralla I. Ampèren lain mukaan S 1. kondensaattorilevyt Luku 9 Maxwellin yhtälöt Nyt meillä on koossa elektrodynamiikan peruspilarit sillä tasolla, jolla ne tunnettiin 1860-luvun alussa. Maxwell huomasi yhtälöissä piilevän teoreettisen ongelman: Mitä tapahtuu,

Lisätiedot

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä 1 / 37 Luennon sisältö Johdanto

Lisätiedot

&()'#*#+)##'% +'##$,),#%'

&()'#*#+)##'% +'##$,),#%' "$ %"&'$ &()'*+)'% +'$,),%' )-.*0&1.& " $$ % &$' ((" ")"$ (( "$" *(+)) &$'$ & -.010212 +""$" 3 $,$ +"4$ + +( ")"" (( ()""$05"$$"" ")"" ) 0 5$ ( ($ ")" $67($"""*67+$++67""* ") """ 0 5"$ + $* ($0 + " " +""

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän

Lisätiedot

Fysiikka 1. Kondensaattorit ja kapasitanssi. Antti Haarto

Fysiikka 1. Kondensaattorit ja kapasitanssi. Antti Haarto Fysiikka Konensaattorit ja kapasitanssi ntti Haarto 4..3 Yleistä Konensaattori toimii virtapiirissä sähköisen potentiaalin varastona Kapasitanssi on konensaattorin varauksen Q ja jännitteen suhe Yksikkö

Lisätiedot

Luku Ohmin laki

Luku Ohmin laki Luku 9 Sähkövirrat Sähkövirta määriteltiin kappaleessa 7.2 ja huomattiin, että magneettikenttä syntyy sähkövirtojen vaikutuksesta. Tässä kappaleessa tarkastellaan muita sähkövirtaan liittyviä seikkoja

Lisätiedot

niiden pinnalle indusoituva varausjakautuma muuttuu, mikä puolestaan muuttaa eristeeseen vaikuttavaa ulkoista kenttää.

niiden pinnalle indusoituva varausjakautuma muuttuu, mikä puolestaan muuttaa eristeeseen vaikuttavaa ulkoista kenttää. Luku 3 Sähkökenttä väliaineessa Edellä tarkasteltiin sähköstaattista kenttää tilanteissa, joissa oli annettuja varausjakautumia tai vapaita varauksia johdekappaleiden pinnalla. Läheskään kaikki aineet

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi?

Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Maxwell ja hänen yhtälönsä mitä seurasi? Oleteaan tyhjiö: ei virtoja ei varauksia Muutos magneettikentässä saisi aikaan sähkökentän. Muutos vuorostaan sähkökentässä saisi aikaan magneettikentän....ja niinhän

Lisätiedot

= ( F dx F dy F dz).

= ( F dx F dy F dz). 17 VEKTORIANALYYSI Luento 2 3.4 Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Asia on periaatteessa tuttua peruskurssilta, mutta laskennallinen

Asia on periaatteessa tuttua peruskurssilta, mutta laskennallinen Luku 2 taattinen sähkökenttä Tässä luvussa tutustutaan sähkövarausten aiheuttamaan staattiseen sähkökenttään. Asia on periaatteessa tuttua peruskurssilta, mutta laskennallinen käsittely on huomattavasti

Lisätiedot

Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:

Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida: 15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio

Lisätiedot

SÄHKÖ KÄSITTEENÄ. Yleisnimitys suurelle joukolle ilmiöitä ja käsitteitä:

SÄHKÖ KÄSITTEENÄ. Yleisnimitys suurelle joukolle ilmiöitä ja käsitteitä: FY6 SÄHKÖ Tavoitteet Kurssin tavoitteena on, että opiskelija ymmärtää sähköön liittyviä peruskäsitteitä, tutustuu mittaustekniikkaan osaa tehdä sähköopin perusmittauksia sekä rakentaa ja tutkia yksinkertaisia

Lisätiedot

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan

Lisätiedot

Luku 3. niiden pinnalle indusoituva varausjakautuma muuttuu, mikä puolestaan muuttaa eristeeseen vaikuttavaa ulkoista kenttää. E = 0. (3.

Luku 3. niiden pinnalle indusoituva varausjakautuma muuttuu, mikä puolestaan muuttaa eristeeseen vaikuttavaa ulkoista kenttää. E = 0. (3. Luku 3 Sähkökenttä väliaineessa Edellä tarkasteltiin sähköstaattista kenttää tilanteissa, joissa oli annettuja varausjakautumia tai vapaita varauksia johdekappaleiden pinnalla. Läheskään kaikki aineet

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

Fy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7

Fy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 Fy06 Koe 0.5.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 alitse kolme tehtävää. 6p/tehtävä. 1. Mitä mieltä olet seuraavista väitteistä. Perustele lyhyesti ovatko väitteet totta vai tarua. a. irtapiirin hehkulamput

Lisätiedot

Maailmankaikkeudessa on tietty määrä positiivisia ja negatiivisia sähkövarauksia.

Maailmankaikkeudessa on tietty määrä positiivisia ja negatiivisia sähkövarauksia. Luku 2 taattinen sähkökenttä Tässä luvussa tutustutaan sähkövarausten aiheuttamaan staattiseen sähkökenttään. Asia on periaatteessa tuttua peruskurssilta, mutta laskennallinen käsittely on huomattavasti

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

SATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 5 Laskuharjoitus 2 / Coulombin laki ja sähkökentänvoimakkuus

SATE1120 Staattinen kenttäteoria kevät / 5 Laskuharjoitus 2 / Coulombin laki ja sähkökentänvoimakkuus AT taattinen kenttäteoria kevät 6 / 5 Laskuharjoitus / Coulombin laki ja sähkökentänvoimakkuus Tehtävä Kaksi pistevarausta ja sijaitsevat x-tason pisteissä r x e x e ja r x e x e. Mikä ehto varauksien

Lisätiedot

Magneettikenttä ja sähkökenttä

Magneettikenttä ja sähkökenttä Magneettikenttä ja sähkökenttä Gaussin laki sähkökentälle suljettu pinta Ampèren laki suljettu käyrä Coulombin laki Biot-Savartin laki Biot-Savartin laki: Onko virtajohdin entisensä? on aina kuvan tasoon

Lisätiedot

F x y z. F voidaan ymmärtää kahden vektorin. Divergenssi. Vektorikentän F( x, y, z ) divergenssi määritellään

F x y z. F voidaan ymmärtää kahden vektorin. Divergenssi. Vektorikentän F( x, y, z ) divergenssi määritellään 31 VEKTORIANALYYSI Luento 5 Divergenssi F Vektorikentän F(, y, z ) divergenssi määritellään F F F y z y F z. Divergenssistä käytetään usein myös merkintää div, Divergenssi pistetulona, F div F. F voidaan

Lisätiedot

Elektrodynamiikka, kevät 2002

Elektrodynamiikka, kevät 2002 Elektrodynamiikka, kevät 2002 Painovirheiden ja epätäsmällisyyksien korjauksia sekä muita pieniä lisäyksiä luentomonisteeseen Tähän on korjattu sellaiset painovirheet ja epämääräisyydet, joista voi olla

Lisätiedot

a) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella

a) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella Jakso 2. Gaussin laki simerkki 2.1: Positiivinen varaus Q on jakautunut tasaisesti R-säteiseen palloon. Laske sähkökenttä pallon a) ulkopuolella ja b) sisäpuolella etäisyydellä r pallon keskipisteestä.

Lisätiedot

Luku Sähköinen polarisoituma

Luku Sähköinen polarisoituma Luku 3 Sähkökenttä väliaineessa Edellisessä luvussa tarkasteltiin sähköstaattista kenttää tilanteissa, joissa oli annettuja varausjakautumia tai vapaita varauksia johdekappaleiden pinnalla. Läheskään kaikki

Lisätiedot

Magneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Magneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Magneettikentät Haarto & Karhunen Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän Magneettikenttä aiheuttaa voiman liikkuvaan

Lisätiedot

(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G:

(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G: 7 VEKTORIANALYYSI Luento 11 7. Tilavuusintegraalit A 14.5 Funktion f( xyz,, ) tilavuusintegraali yli kolmiulotteisen alueen V on raja-arvo summasta V f( xyz,, ) V kun tilavuusalkiot V =. Tarkastellaan

Lisätiedot

FY6 - Soveltavat tehtävät

FY6 - Soveltavat tehtävät FY6 - Soveltavat tehtävät 21. Origossa on 6,0 mikrocoulombin pistevaraus. Koordinaatiston pisteessä (4,0) on 3,0 mikrocoulombin ja pisteessä (0,2) 5,0 mikrocoulombin pistevaraus. Varaukset ovat tyhjiössä.

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Staattinen magneettikenttä

Staattinen magneettikenttä Luku 5 Staattinen magneettikenttä Tässä luvussa tutustutaan liikkuvien sähkövarausten eli sähkövirtojen aiheuttamaan staattiseen magneettikenttään. Jos sähköstatiikka tuli opiskeltua huolellisesti, niin

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella

Lisätiedot

Eristeet. - q. Johdannoksi vähän sähköisestä dipolista. Eristeistä

Eristeet. - q. Johdannoksi vähän sähköisestä dipolista. Eristeistä risteet Johdannoksi vähän sähköisestä diolista Diolin muodostaa kaksi itseisarvoltaan yhtä suurta vastakkaismerkkistä varausta, jotka ovat lähellä toisiaan. +q - q a Jos diolin varauksien itseisarvo on

Lisätiedot

766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka

766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka 1 76633A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 3 5-3 Kuorimalli Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 011 Kuva 7-13 esittää, miten parillis-parillisten ydinten ensimmäisen

Lisätiedot

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2. 13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa

Lisätiedot

Elektrodynamiikka. Hannu Koskinen ja Ari Viljanen

Elektrodynamiikka. Hannu Koskinen ja Ari Viljanen Elektrodynamiikka Hannu Koskinen ja Ari Viljanen Kevät 2003 2 Tämä luentomoniste on päivitetty versio Ari Viljasen kevään 2002 luennoista, jotka puolestaan perustuivat Hannu Koskisen aiempiin luentoihin.

Lisätiedot

5 Kentät ja energia (fields and energy)

5 Kentät ja energia (fields and energy) 5 Kentät ja energia (fields and energy) Mansfield and O Sullivan: Understanding Physics, kappaleen 5 alkuosa 5.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton: vetovoima kahden kappaleen välillä on tai tarkemmin F m

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?

Lisätiedot

Suhteellisuusteorian perusteet, harjoitus 6

Suhteellisuusteorian perusteet, harjoitus 6 Suhteellisuusteorian perusteet, harjoitus 6 May 5, 7 Tehtävä a) Valo kulkee nollageodeettia pitkin eli valolle pätee ds. Lisäksi oletetaan valon kulkevan radiaalisesti, jolloin dω. Näin ollen, kun K, saadaan

Lisätiedot

Tfy Fysiikka IIB Mallivastaukset

Tfy Fysiikka IIB Mallivastaukset Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama

Lisätiedot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}

Lisätiedot

PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op)

PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) PHYS-A3131 Sähkömagnetismi (ENG1) (5 op) Sisältö: Sähköiset vuorovaikutukset Magneettiset vuorovaikutukset Sähkö- ja magneettikenttä Sähkömagneettinen induktio Ajasta riippuvat tasa- ja vaihtovirtapiirit

Lisätiedot

Sähköstatiikan laskuissa useat kaavat yksinkertaistuvat hieman, jos vakio C kirjoitetaan muotoon

Sähköstatiikan laskuissa useat kaavat yksinkertaistuvat hieman, jos vakio C kirjoitetaan muotoon 30 SÄHKÖVAKIO 30 Sähkövakio ja Coulombin laki Coulombin lain mukaan kahden tyhjiössä olevan pistevarauksen q ja q 2 välinen voima F on suoraan verrannollinen varauksiin ja kääntäen verrannollinen varausten

Lisätiedot

Harjoitus 2. 10.9-14.9.2007. Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen.

Harjoitus 2. 10.9-14.9.2007. Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen. SMG-1300 Sähkömagneettiset kentät ja aallot I Harjoitus 2. 10.9-14.9.2007 Nimi: Op.nro: Tavoite: Gradientin käsitteen sisäistäminen ja omaksuminen. Tehtävä 1: Harjoitellaan ensinmäiseksi ymmärtämään lausekkeen

Lisätiedot

12. Eristeet Vapaa atomi. Muodostuva sähköinen dipolimomentti on p =! " 0 E loc (12.4)

12. Eristeet Vapaa atomi. Muodostuva sähköinen dipolimomentti on p =!  0 E loc (12.4) 12. Eristeet Eristeiden tyypillisiä piirteitä ovat kovalenttiset sidokset (tai vahvat ionisidokset) ja siitä seuraavat mekaaniset ja sähköiset ominaisuudet. Makroskooppisen ulkoisen sähkökentän E läsnäollessa

Lisätiedot