ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

Transkriptio

1 ELECA4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa

2 Luentoviikko 2 Gaussin laki (YF 22) Oppimistavoitteet Varaus ja sähkövuo Sähkövuon laskeminen Gaussin laki Gaussin lain sovelluksia Varatut johdekappaleet Yhteenveto q d A r E 2 (26)

3 Oppimistavoitteet Tavoitteena on oppia miten määritetään pinnan sisällä olevan sähkövarauksen määrä tutkimalla sähkökenttää pinnalla mitä sähkövuo tarkoittaa ja miten vuo lasketaan miten Gaussin laki yhdistää suljetun pinnan läpi tulevan sähkövuon ja pinnan sisään jäävän varausmäärän miten Gaussin lakia käytetään symmetrisen varausjakautuman sähkökentän laskemiseen missä varatun johteen sähkövaraus majailee 3 (26)

4 Varaus ja sähkövuo Sähkövarauksen määrittämisestä Aiemmin laskettiin sähkökenttä tunnetusta varausjakaumasta, esim. pistevarauksen q sähkökenttä E = 1 q 4πε 0 r 2 r Entä toisin päin: Miten otetaan selville varaus, jos sähkökenttä tunnetaan? (Ja voisiko taidosta olla hyötyä?) E q 0 q Q? E 4 (26)

5 Varaus ja sähkövuo Sähkövuo ja pinnan sisään suljettu varaus Ympäröidään tuntematon varaus kuvitteellisella pinnalla kokonaan Kuvitteellinen pinta ei vaikuta kenttään Jos kenttävektorit osoittavat pinnalla poispäin, sanomme, että sähkövuo pinnan läpi on positiivinen (kuin neste virtaisi tilavuudesta pois); jos kenttävektorit osoittavat pinnalla sisäänpäin, sähkövuo on negatiivinen (sisäänvirtaus) Jos tilavuudessa ei ole nettovarausta, sähkövuo on nolla Jos lähteet ovat pinnan ulkopuolella, sähkövuo pinnan läpi on nolla Sähkövuo on verrannollinen pinnan sisällä olevaan nettovaraukseen pinnan koko ei vaikuta (kunhan varausmäärä pysyy samana) q Ω E 5 (26)

6 Nettosähkövuo Useamman varauksen yhteiskenttä tai vuo lasketaan superpositiolla (huom.: tässä nuolien määrä on tärkeä; suunnat ja pituudet ovat viitteelliset) q q q Kentän vuo ulospäin q q q q q = q q Kentän vuo sisäänpäin

7 Nettosähkövuo jatkoa q q q q Ei varausta sisällä Nettovaraus nolla Nettovaraus nolla nettovuo nolla Nettovuo suoraan verrannollinen tilavuudessa olevaan nettovaraukseen Tilauus ei vaikuta

8 Sähkövuon laskeminen Nestevirtausanalogia Tilavuusvirta (engl. volume flow rate) pinnan A läpi A v Tilavuusvirta dv dt = va A φ A pintaalavektori A = A n n v Tilavuusvirta dv dt = v } A cos {{ φ = v A } =A 8 (26)

9 Sähkövuon laskeminen Sähkökentän vuo pinnan läpi Rinnastetaan sähkökentän vuo ja nestevirtausanalogian tilavuusvirta Tasaisen sähkökentän E vuo suunnatun pinnan (engl. vector area) A = A n läpi on Φ E = E A = E A n, missä n on pinnan normaalivektori ja A on laakean pinnan pintaala Vuo on verrannollinen pinnan läpi kulkevien kenttäviivojen määrään Jos sähkökenttä ei ole vakio, kokonaisvuo saadaan integroimalla Vuo pienen pintaalkion d A = nda läpi on dφ E = E d A, joten sähkökentän vuo Φ E = E d A n E φ Sähkökentän vuo jaettuna pinnan alalla on yhtä suuri kuin sähkökentän normaalikomponentin keskiarvo pinnalla da 9 (26)

10 Sähkövuon laskeminen Esimerkki Laske sähkökentän vuo pistevarausta q = 3.0 µc ympäröivällä 0.20 m säteisellä pallopinnalla. d A Nyt E d A ja E = vakio pinnalla, joten E d A = E da: q r E = 1 q 4πε 0 r N 105 C Φ E = E d A = EA = N 4π (0.20 m)2 C E (N m 2 /C = V m) N m2 C 10 (26)

11 Gaussin laki Pistevaraus pallopinnan sisällä Edellisten päätelmien perusteella muotoiltu Gaussin laki sanoo, että sähkövuo suljetun pinnan läpi on verrannollinen pinnan sisällä olevaan nettovaraukseen täsmennetään verrannollisuus tarkastelemalla kuvitteellista Rsäteistä pallopintaa Pistevarauksen q kenttä etäisyydellä R on E = 1 q 4πε 0 R 2 Nyt E d A ja E = vakio pallopinnalla, joten kokonaisvuo Φ E = E d A = EA = 1 4πε 0 q R 2 (4πR2 ) = q ε 0 Vuo on riippumaton pallon R > 0 säteestä, minkä voi päätellä myös tutkimalla erisäteisten samankeskisten pallopintojen läpi kulkevien kenttäviivojen määrää 11 (26)

12 Gaussin laki Gaussin lain yleinen muoto Edellistä ajatusta voi jatkaa tilanteeseen, jossa varaus ja kuvitteellinen pallo on suljettu kokonaan mielivaltaisen muotoisen pinnan sisälle: vuo on yhä q/ε 0 (koska jokaisen pintapalan voi projisioida pallolle) Kuvitteellinen suljettu tarkastelupinta on nimeltään Gaussin pinta Jos Gaussin pinnan A sisällä on useita varauksia, Q encl = q 1 q 2 q 3... ja varausten synnyttämät sähkökentät summataan (encl = engl. enclosed, pinnan sisällä oleva ) Saadaan integraalimuotoinen Gaussin laki Φ E = E d A = Q encl ε 0 Sähkökentän kokonaisvuo suljetun pinnan läpi on pinnan sisällä oleva nettovaraus jaettuna ε 0 :lla. 12 (26)

13 Esimerkki Sähkökentän vuo suljettujen pintojen A, B, C ja D läpi Pinta A sisältää varauksen q: Φ E = q ε 0 Pinta B sisältää varauksen q: Φ E = q ε 0 Pinta C sisältää varaukset q ja q: A C B q q Φ E = q q ε 0 = 0 D (Miten tämä suhteutuu dipolin sähkökenttään? Dipolin sähkökenttähän on nollasta poikkeava?) Pinta D ei sisällä varauksia: Φ E = 0/ε 0 = 0 (miksi varauspari ei vaikuta?)

14 Gaussin lain sovelluksia Varatut johteet Gaussin laki pätee mille tahansa varausjakaumalle ja mille tahansa suljetulle pinnalle Lakia käyttäen voidaan määrittää joko varausjakauma tai sähkökenttä Varatussa johteessa ylimäärävaraus (vapaa varaus) jakaantuu pelkästään kappaleen pinnalle, päättely: Sähköstaattisessa tilanteessa varaukset eivät statiikan määritelmän mukaisesti liiku F varaukset = 0 johteen sisällä ei ole kenttää ( E = 0) Kappaleen sisällä olevalle mille tahansa Gaussin pinnalle (katkoviiva) pätee Φ E = E d A = Q encl = 0, koska E = 0 ε 0 Siten Q encl = 0 ja varaus voi olla vain johdekappaleen pinnoilla 14 (26)

15 Gaussin lain käyttäminen Esimerkki: varatun johdepallon kenttä Gaussin lakia voi käyttää sähkökentän määrittämiseen, jos probleema on niin symmetrinen, että voidaan helposti valita Gaussin pinta, jolla sähkökenttä on vakiosuuruinen ja kohtisuorassa pintaa vastaan niillä pinnan osilla, joilla sähkökentän vuo ei häviä. R r Johdepallolle annettu varaus (q) asettuu pallon pinnalle, ja pallon sisäsähkökenttä on nolla Symmetrian vuoksi varaus on jakautunut tasaisesti ja kenttä on poispäin pallon keskipisteestä (radiaalisuuntainen) sekä vakiosuuruinen r säteisellä pallopinnalla Jos Gaussin pinta on pallo r > R, Φ E = E (4πr 2 ) = q ε 0 E = q 4πε 0 r 2 Johteen pinnalla r = R ja E(R) = q/(4πε 0 R 2 ) Johteen sisällä r < R ja E = 0 (Q encl = 0)

16 Gaussin lain sovelluksia Varatun johdepallon kenttä R Gaussin pintojen osia, r = R, 2R, 3R E E(R) E(R)/4 E(R)/9 1R 2R 3R r 16 (26)

17 Gaussin lain sovelluksia Tasovarauksen sähkökenttä Pintavaraustiheys σ tasossa z = 0 E = ± k E(z) =? h/2 σ Valitaan Gaussin pinnaksi sylinteri säteellä a ja korkeudella h. Gaussin pinnan sisäpuolella Q encl = πa 2 σ. Sähkökentän vuo Gaussin pinnan läpi on E d A = E d A S kansi pohja E d A E d A sivu = E(h/2) πa 2 E( h/2) πa 2 0 = 2πa 2 E E = σ 2ε 0 E = σ σ 2ε 0 k z > 0 2ε 0 k z < 0 Huom: Ääretön taso ja tasainen pintavaraustiheys, [σ ] = C/m (26)

18 Gaussin lain sovelluksia Viivavarauksen sähkökenttä Äärettömän pitkä tasainen viivavaraus, jonka varaus pituusyksikköä kohti on λ λ Sähkökenttä on symmetrian takia radiaalisuuntainen E = E(r ) r. Valitaan Gaussin pinnaksi sylinteri säteellä r ja korkeudella L. L r E Gaussin pinnan sisäpuolella Q encl = λl. Sähkökentän vuo Gaussin pinnan läpi on E d A = E d A E d A S kansi pohja sivu E d A = 0 0 E(r ) A sivu = E(r ) 2πr L E = 1 2πε 0 λ r r 18 (26)

19 Peruslähteiden kenttiä Gaussin lain avulla johdettavia lausekkeita Pistevaraus q E = 1 q 4πε 0 r 2 r Ääretön viivavaraus λ E = 1 2πε 0 λ r r Ääretön tasovaraus σ E = σ 2ε 0 n Rsäteinen varauspallo (varauspilvi: tasainen varaustiheys 3Q/(4πR 3 ); ei johdepallo [sen sisällä E = 0]) E = 1 4πε 0 Q r 2 r, r > R E = 1 4πε 0 Qr R 3 r, r < R Huomaa: Mitta r on etäisyys varauksesta (niin kuin etäisyys pisteestä tai viivasta tai tasosta määritellään). Tasovarauksen kentän voisi kirjoittaa myös E = 1 σ 2ε 0 r 0 r, r = n. Normaalivektori n osoittaa varaustasosta poispäin molemmilla puolilla tasoa.

20 Kahden varatun levyn välinen kenttä Kaksi varattua levyä Pintavaraustiheydet σ ja σ Varaukset vetävät toisiaan puoleensa Varaus ja kenttä keskittynyt levyjen sisäpuolelle σ σ

21 Kahden varatun levyn välinen kenttä S 1 S 4 Ideaalitapauksessa levyt jatkuvat äärettömyyteen S 1 ja S 4 : E = σ ε 0 S 2 ja S 3 : E = 0 Toisaalta varatulle levylle E 1 = E 2 = σ 2ε 0 Superpositioperiaate: S 2 S 3 E = E 1 E 2 = σ ε 0 î levyjen välissä, 0 muualla

22 Esimerkki Kaksi varauspalloa Kaksi tasaisesti varattua palloa (±Q, säde R). Laske kentänvoimakkuus xakselilla kohdissa a) x = 0, b) x = R/2 c) x = R ja d) x = 3R y Q Q O R/2 R 3R x a) E v = 0, E o = E = 1 4πε 0 Q (2R) 2 î b) E v = Q 4πε 0 R/2 R 3 î, E o = 1 4πε 0 joten E = E v E o = 1 4πε 0 17Q 18R 2 î c) E v = E o = 1 Q 4πε 0 R 2 î, joten E = 1 2Q 4πε 0 R 2 î d) E v E o = 1 Q 4πε 0 (3R) 2 î 1 Q 4πε 0 R 2 ( î) = 1 8Q 4πε 0 9R 2 î Q ( 3 2 R ) 2 î,

23 Gaussin laki (YF 22) Varatut johdekappaleet Ontelo johteessa Nettovarattu johde: johteen sisällä sähkökenttä on nolla ja varaukset ovat johteen pinnalla Nettovaratussa johteessa tyhjä ontelo: Gaussin lain mukaisesti ontelon pinnalla ei ole varausta (Q encl = 0, koska E = 0) q Nettovaraukseton johde ja ontelossa varaus q: kokonaisvaraus Gaussin pinnan sisällä on nolla (koska E = 0) ontelon pinnalla on kokonaisvaraus q ja johteen ulkopinnalla kokonaisvaraus q 23 (26)

24 Faradayn häkki Johtava laatikko tasaisessa sähkökentässä Kenttä vetää elektroneja vasemmalle oikealle syntyy positiivinen pintavaraus Tasapainossa varauskertymien välinen sähkökenttä kumoaa ulkoisen kentän täysin häkin sisällä (jotta varauksiin kohdistuva voima on nolla) Koaksiaalikaapeli, elektroniikkalaitteiden kuoret, auton kori E = 0 Huomaa: Kuvassa virhe kenttäviivojen pitäisi osua kohtisuorasti reunoihin Jotta laatikon sisällä mahdollisesti oleva varaus saataisiin piilotetuksi ulkomaailmalta, laatikko pitäisi maadoittaa (miksi?)

25 Varatut johdekappaleet Kenttä johteen pinnalla Johteen pinnalla on pintavaraustiheys σ Mikä on johteen pinnalla olevan paikallisen sähkökentän E ja vastaavan paikallisen pintavaraustiheyden σ yhteys? Gaussin pinta = pieni sylinteri ( tonnikalapurkki ), joka on osittain johteen sisällä ja jonka pohja on pinnan suuntainen; pohjan pintaala A Johteen pinnalla sähkökenttä on kohtisuorassa pintaa vastaan (tasapainotilanne) Vuo pinnan A läpi: Φ E = E A = E A (Miksi vuo sylinterin kylkien läpi on nolla? Miksi vuo johteen sisällä olevan Gaussin pinnan osan läpi on nolla?) Gaussin pinnan sisällä varaus on Q encl = σ A Gaussin laki: E A = σ A ε 0 E = σ ε 0 = mielivaltaisen johdepinnan paikallinen sähkökenttä 25 (26)

26 Yhteenveto Yhteenveto luvusta 22 Keskeisiä käsitteitä Sähkökentän vuo (tai sähkövuo) Φ E Pinnan sisällä oleva nettovaraus Q encl Johteessa nettovaraus = pintavaraus Faradayn häkki Tärkeitä kaavoja Sähkökentän vuo Φ E = E d A = E da Gaussin laki E d A = Q encl ε 0 Peruslähteiden kentistä (s. 19) suuri osa löytyy kaavakokoelmasta. 26 (26)