Juuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Juuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty"

Transkriptio

1 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K. a) Alapaineiden pienin arvo on ja suurin arvo 74, joten vaihteluväli on [, 74]. b) Alapaineiden keskiarvo on , c) Alapaineiden keskihajonta on ( ) (6 ) (67 )... (74 ) ,6. K. a) Kirjoitetaan tiedot taulukkolaskentaohjelmaan. Piirretään ohjelmalla pylväskuvio. b) Piirretään ympyräkuvio, järjestetään osat suuruusjärjestykseen.

2 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. a) Taulukkolaskentaohjelman avulla saadaan heittäjän A tulosten keskiarvoksi 78,6 m ja keskihajonnaksi,09 m sekä vastaavasti heittäjän B tulosten keskiarvoksi 8,4 m ja keskihajonnaksi,8 m. b) Heittäjän A tulosten keskiarvo on pienempi kuin heittäjän B tulosten keskiarvo. Toisaalta heittäjän A tulosten keskihajonta,09 m on selvästi pienempi kuin heittäjän B tulosten keskihajonta,8 m. Heittäjän A voidaan siis arvioida olevan tasaisempi eli varmempi heittäjä omalla tasollaan. K4. Piirretään ohjelmalla viivakuvio. Vuosina vuosittaisten rekisteröintien määrä kasvoi noin :sta yli :een. Vuosina vuosittaisten rekisteröintien määrä romahti alle puoleen aiemmasta.

3 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. Lasketaan luokkien todelliset ylärajat ja suhteelliset summafrekvenssit taulukkoon. Luokan 0-4 vuotta todellinen yläraja on vuotta, koska kaikki alle - vuotiaat kuuluvat luokkaan 0-4. Luokkien todelliset ylärajat ovat siis, 0, 4, 60, 7 ja 0. Lisätään piirtämistä varten ensimmäiselle riville ensimmäisen luokan todellinen alaraja 0 ja sitä vastaava suhteellinen summafrekvenssi 0 %. Piirretään kertymäkuvaaja viivakuviona, jossa luokan ylärajan kohdalla on luokan suhteellinen summafrekvenssi. a) Kertymäkuvaaja leikkaa 0 %:n vaakatason noin 4 vuoden kohdalla, joten mediaani-ikä oli noin 4 vuotta. b) Kertymäkuvaaja leikkaa 7 %:n vaakatason noin 4 vuoden kohdalla, joten 7 % oli nuorempia kuin 4 vuotta.

4 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K6. a) Palloja on yhteensä kahdeksan, joten P(punainen) 0,6. 8 b) Kun yksi punainen pallo on nostettu, jäljellä on seitsemän palloa, joista neljä on punaisia. Kertolaskusäännöllä saadaan P(kaksi punaista) = P(. punainen ja. punainen) 4 0, Toinen tapa: 8 Kahdeksasta pallosta voidaan valita kaksi 8 Viidestä punaisesta pallosta voidaan valita kaksi eri tavalla. 0 eri tavalla. Siispä nostettaessa kaksi palloa todennäköisyys, että molemmat ovat punaisia, on P(kaksi punaista) 0 0, c) Neljästä pallosta sinisiä ja punaisia on yhtä monta täsmälleen siinä tapauksessa, että punaisia on kaksi ja sinisiä kaksi. Viidestä punaisesta pallosta voidaan valita kaksi 0 eri tavalla ja kolmesta sinisestä pallosta voidaan valita kaksi eri tavalla. Tuloperiaatteen mukaan kaksi punaista ja kaksi sinistä palloa voidaan siis valita 0 = 0 eri tavalla. 8 Kaikkiaan kahdeksasta pallosta voidaan valita neljä 70 4 eri tavalla. Niinpä P(kaksi punaista ja kaksi sinistä) 0 0,

5 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty d) Tapahtuman saadaan ainakin yksi punainen vastatapahtuma on ei saada yhtään punaista eli saadaan kolme sinistä. Tämän todennäköisyys saadaan kertolaskusäännöllä: P(. sininen ja. sininen ja. sininen) Kysytty todennäköisyys on siten P(ainakin yksi punainen) 0, Toinen tapa: Tapahtuman saadaan ainakin yksi punainen vastatapahtuma on ei saada yhtään punaista eli saadaan kolme sinistä. Kolmesta sinisestä pallosta voidaan valita kolme vain yhdellä tavalla, ja kaikista 8 6 eri tavalla. Niinpä kahdeksasta pallosta voidaan valita kolme P(kaikki kolme sinisiä). 8 6 Kysytty todennäköisyys on siten P(ainakin yksi punainen) 0, K7. a) Riippumattomien tapahtumien kertolaskusäännöllä tapahtuman molemmat lyövät juoksun todennäköisyydeksi saadaan P(A lyö juoksun ja B lyö juoksun) = P(A lyö juoksun) P(B lyö juoksun) = 0,4 0, = 0,47 0,. b) Tapahtuma vain toinen lyö juoksun koostuu kahdesta erillisestä tapahtumasta: A lyö juoksun ja B ei sekä B lyö juoksun ja A ei. Riippumattomien tapahtumien kertolaskusäännön ja erillisten tapahtumien yhteenlaskusäännön avulla saadaan P(vain toinen lyö juoksun) = P(A lyö juoksun ja B ei tai B lyö juoksun ja A ei) = 0,4 ( 0,) + 0, ( 0,4) = 0,476 0,48.

6 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Riippumattomien tapahtumien kertolaskusäännöllä saadaan tapahtuman kumpikaan ei lyö juoksua todennäköisyydeksi P(kumpikaan ei lyö juoksua) = P(A ei lyö juoksua ja B ei lyö juoksua) = ( 0,4) ( 0,) = 0,77 0,8. d) Tapahtuman ainakin toinen lyö juoksun vastatapahtuma on kumpikaan ei lyö juoksua, jonka todennäköisyys laskettiin c-kohdassa. Niinpä P(ainakin toinen lyö juoksun) = 0,77 = 0,6 0,6. K8. a) Kaikki kirjaa voivat olla keskenään! eri järjestyksessä. Kun matematiikan kirjat ovat vierekkäin, matematiikan kirjoista ensimmäinen voi olla hyllyssä ensimmäisenä, toisena, kolmantena tai neljäntenä: MMMMMMMMMMRRR RMMMMMMMMMMRR RRMMMMMMMMMMR RRRMMMMMMMMMM Matematiikan kirjat voivat olla keskenään 0! eri järjestyksessä ja ruotsin kirjat jäljellä olevilla paikoilla! eri järjestyksessä. Kysytty todennäköisyys on siis 40!! 0, ,04.! 4 b) Matematiikan kirjojen keskinäinen järjestys on nyt määrätty, vaihtoehtoja ei ole kuin yksi. Kuten a-kohdassa, matematiikan kirjoista ensimmäinen voi olla neljällä eri paikalla ja ruotsin kirjat jäljellä olevilla paikoilla! eri järjestyksessä, joten kysytty todennäköisyys on 4! 9, , , ! 94900

7 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K9. Piirretään neliö ja väritetään siitä suotuisa osa eli ne alueet, joissa pisteen etäisyys lähimmästä nurkasta on korkeintaan puolet neliön sivun pituudesta. Suotuisa kuvion osa muodostuu neljästä ympyrän neljänneksestä. Jos neliön sivun pituus on a, sen pinta-ala on a, ympyrän säde on a ja ympyrän neljänneksen pinta-ala silloin a π a 4 π. 4 π 4 a. Suotuisan osan pinta-ala on Kysytty todennäköisyys on π a a π 0, ,79. 4

8 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K0. Vektorin u ai bj pituus on a b. Pituus on enintään 4 täsmälleen silloin, kun pituuden neliö a + b 6. Esitetään kahden nopan heiton mahdolliset lopputulokset eli silmälukuparit (a, b) taulukkona ja merkitään taulukkoon silmälukuparin kohdalle saadun vektorin pituuden neliö a + b Suotuisia silmälukupareja on taulukon mukaan kahdeksan. Yhteensä silmälukupareja on 6, joten kysytty todennäköisyys on 8 0,... 0,. 6 9

9 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. Kyse on toistokokeesta, jossa toistojen eli kahden arpakuution heittojen lukumäärä on kuusi. Lasketaan toiston onnistumisen eli tuloksen silmälukujen summa on vähintään 9 todennäköisyys yhdellä kahden arpakuution heitolla. Esitetään kahden arpakuution heiton mahdolliset lopputulokset eli silmälukuparit taulukkona ja merkitään taulukkoon silmälukuparin kohdalle silmälukujen summa Taulukon perusteella tapahtuman silmälukujen summa on vähintään 9 kannalta suotuisia silmälukupareja on 0. Yhteensä silmälukupareja on 6, joten toiston onnistumisen todennäköisyys on 0 0, Todennäköisyys, että kolmessa heitoista silmälukujen summa on vähintään 9, saadaan toistokokeen kaavalla: 6 P(kolme onnistumista) 7 0, ,

10 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. a) Oppilaita on yhteensä 4, joten yhteen ryhmään valitaan. Tämä 4 voidaan tehdä 7046 eri tavalla. Toisen ryhmän oppilaat tulee valittua samalla. Pojat ovat samassa ryhmässä, kun yhteen ryhmään on valittu kaikki pojat ja lisäksi kaksi tyttöä eri tavalla. 0 Tämä voidaan tehdä Todennäköisyys, että kaikki pojat ovat samassa ryhmässä, on siis , , b) Ryhmissä on yhtä monta poikaa täsmälleen siinä tapauksessa, että toiseen on valittu poikaa ja 7 tyttöä. Tuloperiaatteen mukaan tämä voidaan tehdä eri tavalla. 7 Kysytty todennäköisyys on siis , ,

11 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. a) Todennäköisyys voittaa 0 euron lahjakortti on 0,0 ja todennäköisyys voittaa 0 euron lahjakortti on 0, Todennäköisyys jäädä ilman voittoa on , Nettovoitto X saadaan, kun arvalla saadusta voitosta vähennetään arvasta maksettu hinta euroa. Näin ollen P( X 4), 0 P( X ) ja 0 P( X ). Nettovoiton odotusarvo on E( X ) 4 euroa. 0 0 b) Nettovoiton keskihajonta on D( X ) (4 ( )) ( ( )) ( ) euroa.

12 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K4. Esitetään kahden nopan heiton mahdolliset lopputulokset eli silmälukuparit taulukkona ja merkitään taulukkoon silmälukuparin kohdalle silmälukujen summa eli satunnaismuuttujan X arvo Satunnaismuuttujan X mahdolliset arvot ovat,,,. Taulukon perusteella saadaan eri arvojen todennäköisyydet: P( X ) 0, ,08 6 P( X ) 0,0... 0,0 6 8 P( X 4) 0, ,08 6 P( X ) 4 0,... 0, 6 9 P( X 6) 0, ,4 6 P( X 7) 6 0, ,7 6 6 P( X 8) 0, ,4 6 P( X 9) 4 0,... 0, 6 9 P( X 0) 0, ,08 6 P( X ) 0,0... 0,0 6 8 P( X ) 0, ,08 6

13 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Tämä on satunnaismuuttujan X jakauma, joka voidaan esittää myös taulukkomuodossa: P(X = ) Piirretään pistetodennäköisyydet koordinaatistoon vastaavan arvon kohdalle: 6

14 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K. Kun taskussa olevista yhteensä neljästä kolikosta valitaan kaksi, nimellisarvojen summa voi olla,0 euroa, euroa,,0 euroa tai euroa. Lasketaan arvojen todennäköisyydet. ) Summaksi saadaan,0 euroa, kun toinen valituista kolikoista on euron kolikko ja toinen 0 sentin kolikko. Tämän todennäköisyys on P(summa on,0 euroa) 0,. 4 6 Sama tulos saadaan kerto- ja yhteenlaskusäännön avulla laskemalla P(. euron ja. 0 sentin kolikko, tai. 0 sentin ja toinen euron kolikko). 4 4 ) Summaksi saadaan euroa vain siinä tapauksessa, että molemmat valitut ovat euron kolikoita. Tämän todennäköisyys on P(summa on euroa) 0, Sama tulos saadaan kertolaskusäännön avulla laskemalla P(. euron ja toinen euron kolikko). 4 6 ) Summaksi saadaan,0 euroa, kun toinen valituista kolikoista on kahden euron kolikko ja toinen 0 sentin kolikko. Tämän todennäköisyys on P(summa on,0 euroa) 0, Sama tulos saadaan kerto- ja yhteenlaskusäännön avulla laskemalla P(. kahden euron ja. 0 sentin kolikko, tai. 0 sentin ja toinen kahden euron kolikko)

15 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty ) Summaksi saadaan euroa, kun toinen valituista kolikoista on kahden euron kolikko ja toinen euron kolikko. Tämän todennäköisyys on P(summa on euroa) 0,. 4 6 Sama tulos saadaan kerto- ja yhteenlaskusäännön avulla laskemalla P(. kahden euron ja. euron kolikko, tai. euron ja toinen kahden euron kolikko). 4 4 Summan odotusarvo on,0,0, euroa. 6 6 K6. a) Tilannetta voidaan ajatella toistokokeena, jossa toistoja on ja onnistumisen todennäköisyys on 80 % = 0,80. Onnistumisten eli pidettyjen luentojen lukumäärä noudattaa binomijakaumaa, ja kunkin lukumäärän k = 0,,,, todennäköisyys saadaan ohjelman avulla jakaumasta Bin(; 0,8) tai laskemalla binomitodennäköisyyden eli toistokokeen kaavalla P( onnistumista) k k k 0,80 0,80. k Todennäköisyys, että professori ehtii pitää kaikki viisi luentoa, on 0,80 = 0,768 0, = %. b) Tapahtuma vain yksi viidestä luennosta jää pitämättä on sama kuin ehtii pitää vain neljä luentoa, jonka todennäköisyys on 0,804 ( 0,8) = 0,4096 0,4 = 4 %. c) Binomijakaumaa Bin(n, p) noudattavan satunnaismuuttujan odotusarvo on np. Koska luentojen lukumäärä noudattaa binomijakaumaa parametrein ja 0,8, lukumäärän odotusarvo on 0,80 = 4.

16 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K7. Funktio on tiheysfunktio, jos se toteuttaa kaksi ehtoa: ) sen arvot ovat einegatiivisia ja ) sen kuvaajan ja -akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on. Osoitetaan, että f toteuttaa nämä ehdot. π π ) Riittää tutkia funktion arvoja välillä, koska sen ulkopuolella funktion f arvo on nolla. Kosini on yksikköympyrän kehäpisteen - π π koordinaatti, joten kun, on cos 0 ja siksi myös f( ) cos 0. Ensimmäinen ehto siis toteutuu. ) Funktion f kuvaajan ja -akselin väliin jää alue vain välillä π π. Kuten edellä todettiin, funktio f on ei-negatiivinen, joten alueen pinta-ala saadaan määrättynä integraalina cos d sin ( ). / Siis funktio f toteuttaa toisenkin ehdon. Niinpä f on tiheysfunktio. Kysytty todennäköisyys P( X ) on funktion f kuvaajan ja 4 4 π π -akselin väliin välillä jäävän alueen pinta-ala. 4 4 Pinta-ala saadaan tiheysfunktion määrättynä integraalina kyseisellä välillä: π π 4 4 P π X π f( ) d cos d 0, , π π 4 4

17 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K8. Normitetaan X ja käytetään standardinormaalijakauman N(0, ) kertymäfunktiolle Φ taulukoituja arvoja. Koska X ~ N(8, ), satunnaismuuttuja standardinormaalijakaumaa N(0, ). Z X 8 noudattaa Lasketaan kysytty todennäköisyys Z:n kertymäfunktion Φ avulla: P(7 X 0) P Z P( Z ) =P( Z ) P( Z ). P(Z ) = Φ() saadaan taulukosta: Φ() 0,84. Symmetrian avulla saadaan P( Z ) P( Z ) P( Z ) ( ) 0,69 0,08 Niinpä P(7 X 0) 0,84 0,08 = 0,8 0,. Myös ohjelman avulla saadaan P(7 X 0) 0,8, kun X ~ N(8, ). K9. Olkoon X lentomatkan kesto minuutteina, jolloin X ~ N(44, ). Kysytty todennäköisyys on P(X 0). Ohjelman avulla saadaan P(X 0) 0,69 0,69 eli todennäköisyys, että lento on perillä ennen kello :ä, on noin 0,69.

18 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty K0. Olkoon pistemäärää kuvaava satunnaismuuttuja X, jolloin X ~ N(0,;,). Etsitään luvut a (arvosanan 0 pisteraja) ja b (hyväksytyn eli arvosanan pisteraja), joille P(X a) = 0, ja P(X < b) = 0,0. Ohjelman avulla saadaan a 44,4 44 ja b,6776. Arvosanan 0 pisterajaksi pitäisi siis asettaa 44 pistettä ja arvosanan pisterajaksi pistettä.

19 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Kirjoitetaan keskiarvolle lauseke :n avulla ja ratkaistaan yhtälöstä. e π 4 e π 4π e :4 π e 4 abc b) Keskiarvo on ennen muutosta ja muutoksen jälkeen a0 b0 c0 abc0 abc 0. Keskiarvo siis kasvaa kymmenellä. Mediaani on suuruusjärjestyksessä keskimmäinen luvuista a, b ja c. Kun jokaiseen lukuun lisätään 0, lukujen keskinäinen järjestys ei muutu. Keskimmäinen on siis sama kuin aiemmin, johon on lisätty 0, eli myös mediaani kasvaa 0:llä.

20 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Valitaan luokiksi cm, 6-69 cm, cm, 7-79 cm ja cm. Lasketaan, kuinka monta pituutta kuhunkin luokkaan kuuluu ja kirjoitetaan luokkien frekvenssit taulukkomuotoon. Luokka frekvenssi Lasketaan luokkien summafrekvenssit laskemalla yhteen luokan ja sitä edeltävien luokkien frekvenssit. Luokka frekvenssi summafrekvenssi b) Piirretään kertymäkuvaaja merkitsemällä summafrekvenssi luokan todellisen ylärajan kohdalle ja yhdistämällä pisteet. Luokkien todelliset ylärajat ovat 64,; 69,; 74,; 79, ja 84, cm. Ensimmäisen luokan todellisen alarajan 9, kohdalle tulee frekvenssi 0.

21 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Mediaanipituuden ylittää puolet oppilaista eli 8 ja alittaa myös 8 oppilasta. Kuvasta mediaani arvioidaan etsimällä se pituus, jonka kohdalla kertymäkuvaaja leikkaa vaakatason 8; tämä on noin 7 cm. Oppilaita on yhteensä 6, joten mediaanipituus on pituusjärjestyksessä kahden keskimmäisen pituuden keskiarvo. Luokan pituusjärjestyksessä 8. ja 9. oppilaan pituudet ovat 70 ja 7 cm, joten aineiston todellinen mediaani on 70, cm. Kertymäkuvaajasta arvioitu mediaani on siis, cm suurempi kuin aineiston todellinen mediaani.

22 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla: Niiden oppilaiden osuus, jotka pitävät suklaasta tai ovat musikaalisia, on 60 % + 70 % 0 % = 80 %. Niinpä niiden opiskelijoiden osuus, jotka eivät pidä suklaasta eivätkä ole musikaalisia, on 00 % 80 % = 0 %. Todennäköisyys, että satunnaisesti valittu koulun oppilas ei pidä suklaasta eikä ole musikaalinen, on sama kuin näiden osuus kaikista oppilaista eli 0 % = 0,0. TAI Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla: Niiden oppilaiden osuus, jotka pitävät suklaasta tai ovat musikaalisia, on 0 % + 0 % + 0 % = 80 %. Niinpä niiden opiskelijoiden osuus, jotka eivät pidä suklaasta eivätkä ole musikaalisia, on 00 % 80 % = 0 %. Todennäköisyys, että satunnaisesti valittu koulun oppilas ei pidä suklaasta eikä ole musikaalinen, on sama kuin näiden osuus kaikista oppilaista eli 0 % = 0,0

23 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) b) c) 0! ! 876 4!!!! 8! 876! 87 6!!! 6 6! 64! 4 4! 6 4! 4!! d) 6

24 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kaksinumeroisessa positiivisessa kokonaisluvussa ensimmäinen numero on jokin luvuista,,, 9, ja toinen numero on jokin luvuista 0,,, 9 ja jokainen näistä numeroista on yhtä todennäköinen. Todennäköisyys, että ensimmäinen numero on tai, on siis P(ensimmäinen numero on tai ) Vastaavasti P(toinen numero on tai ). 9 0 Lisäksi todennäköisyys, että sekä ensimmäinen että toinen numero on tai, on P(ensimmäinen on tai ja toinen on tai ) Niinpä P(ainakin toinen on tai ) Muita tapoja: P(ainakin toinen on tai ) P(kumpikaan ei ole tai ) Sama tulos saadaan myös luettelemalla sopivat luvut. Kaksinumeroisia positiivisia kokonaislukuja ovat luvut 0,,, 99, joita on 90. Ne luvut, joissa ainakin toinen numeroista on tai, ovat 0,,,, 4,, 6, 7,8, 9 (0 kpl) 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9 (0 kpl),, 4, 4,,, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9 (7 = 4 kpl) Kyseisiä lukuja on yhteensä 4 kappaletta. Niinpä kysytty todennäköisyys on

25 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Käytetään kannattavuuden mittarina odotusarvoa. Lasketaan odotusarvo kummassakin tilanteessa: siinä, jossa kilpailija vastaan ensin helppoon kysymykseen ja myös siinä, jossa hän vastaa ensin vaikeaan kysymykseen. Olkoon X = kilpailijan voittama rahasumma, kun hän vastaa ensin helppoon kysymykseen. Muodostetaan satunnaismuuttujan X jakauma ja lasketaan sen odotusarvo. (euroa) P(X = ) 0 0, (vastaa väärin helppoon) 00 0, 0,8 = 0,4 (vastaa oikein helppoon ja väärin vaikeaan 600 0, 0, = 0, (vastaa oikein molempiin) Nyt E(X) = 0, 0 + 0, , 600 = 40. Olkoon sitten Y = kilpailijan voittama rahasumma, kun hän vastaa ensin vaikeaan kysymykseen. Muodostetaan satunnaismuuttujan Y jakauma ja lasketaan sen odotusarvo. y (euroa) P(Y = y) 0 0,8 (vastaa väärin vaikeaan) 400 0, 0, = 0, (vastaa oikein vaikeaan ja väärin helppoon 600 0, 0, = 0, (vastaa oikein molempiin) Nyt E(Y) = 0, , , 600 = 00. Koska satunnaismuuttujan Y odotusarvo on suurempi, kilpailijan kannattaa siis vastata ensin vaikeaan kysymykseen.

26 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty C on lopullinen voittaja, jos ) C voittaa seuraavat kolme peliä, tai ) seuraavista kolmesta pelistä C voittaa kaksi ja A yhden, ja lisäksi seitsemännen pelin voittaa C. Tapahtumat ja ovat erilliset. Koska pelaajat ovat yhtä taitavia, jokaisella on sama todennäköisyys voittaa peli: P(A voittaa pelin) P(B voittaa pelin) P(C voittaa pelin), ja eri pelikierroksilla voitot eivät riipu toisistaan. Tapahtuman todennäköisyys on kertolaskusäännön mukaan. Tapahtuma koostuu erillisistä tapahtumista, ACCC, CACC ja CCAC joista jokaisen todennäköisyys on 4. Niinpä kysytty todennäköisyys on 4 P(C on lopullinen voittaja) 0, ,074. 7

27 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktio on f tiheysfunktio, jos ) sen arvot ovat ei-negativisia ja ) sen kuvaajan ja -akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on. ) Funktion lausekkeista nähdään, että ei-negatiivisuus toteutuu silloin kun a 0. ) Pinta-alaa muodostuu vain välillä 0 < e. Etsitään sellainen einegatiivinen luku a, että e 0 f ( )d. e e e 0 0 f ( )d d a d ln 0 ln ln) / / a a ea a a a 0 0 Koska luku täyttää ehdon a 0, funktio f on tiheysfunktio silloin kun a. Kertymäfunktio F saadaan integroimalla tiheysfunktiota f ja käyttämällä integroimisvakioiden määräämiseen tietoja F(0) = 0 ja F(e) = sekä sitä, että F on jatkuva kaikkialla., kun 0 0, kun 0, kun 0 Integroidaan funktio f( ), kun e, kun e 0, muulloin 0, kun e osissa. < 0: F( ) 0dC 0 < < : F( ) d D < < e: F( ) d lne > e : F( ) 0dG

28 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Koska F(0) = 0 ja funktio F on jatkuva, täytyy olla lim F( ) lim F( ) 0: 0 0 lim F( ) lim C C, siis C = D, siis D = 0. lim F( ) lim ( D) 0 0 Koska F(e) = ja funktio F on jatkuva, täytyy olla lim F( ) lim F( ) : e e lim F( ) lim ( ln E) ln ee E, mistä E e e lim F( ) li m( G) G, siis G =. e e Tarkistetaan vielä funktion F arvo ja jatkuvuus kohdassa = kun C = 0, D = 0, E ja G = : lim F( ) lim( ) lim F( ) lim ( ln ) ln 0 Siis kertymäfunktio on 0, kun 0,, kun 0, F( ) ln, kun e,, kun e. Kysytty todennäköisyys on kertymäfunktion avulla laskettuna P( X ) P( X ) F() F( ) ln 0 ln 0, ,8.

29 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kun yksi pallo on siirretty laatikosta A laatikkoon B, tapahtuman laatikosta B saadaan valkoinen pallo todennäköisyys riippuu siitä, minkä värinen pallo siirrettiin. Jaetaan tapahtuma laatikosta B saadaan valkoinen pallo siirretyn pallon värin mukaan kahteen erilliseen osaan: : siirretään valkoinen pallo ja saadaan valkoinen pallo, sekä : siirretään musta pallo ja saadaan valkoinen pallo. Lasketaan kummankin todennäköisyys. P(siirretään valkoinen pallo ja saadaan valkoinen) 8 8 P(siirretään musta pallo ja saadaan valkoinen) 4 8 Koska tapahtumat ovat erillisiä, kysytty todennäköisyys on 0,7 0, Sellaisia kortteja, joissa ainakin yksi puoli on musta, on = 90. Koska nostetulla kortilla on ainakin yksi musta puoli, on nostettu yksi näistä 90:stä. Jokaisen kortin todennäköisyys tulla nostetuksi on sama. Niinpä todennäköisyys, että nostetun kortin toinenkin puoli on musta, on todennäköisyys, että nostetuksi tuli yksi 40:stä kokonaan mustasta kortista eli , , Toinen tapa: P(molemmat puolet mustia toinen puoli on musta) P(molemmat puolet on mustia ja toinen puoli on musta) P(toinen puoli on musta) P(molemmat puolet on mustia) P(toinen puoli on musta) , ,

30 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty APUVÄLINEET SALLITTU. a) Kokeen teki kaikkiaan = 0 osallistujaa. Koska jokaisessa ryhmässä arvosanojen summa on arvosanojen keskiarvo kerrottuna ryhmän koolla, saadaan kaikkien osallistuneiden keskiarvoksi 7 7,8 40 8, 7,97 7, ,99. 0 b) Lasketaan arvosanojen keskiarvo taulukkolaskentaohjelmalla tai matematiikkaohjelmalla: Keskiarvo on 7,7894 7,8. Lasketaan keskihajonta matematiikkaohjelmalla: Keskihajonta on,466,46.. a) Kirjoitetaan tiedot taulukkolaskentaohjelmaan, järjestetään tiedot osuuden mukaan suuruusjärjestykseen ja piirretään ympyräkuvio. b) Piirretään pylväskuvio. Pylväskuviota varten tietoja ei ole tarpeen järjestää suuruusjärjestykseen, vaan luokka muu voi olla viimeisenä.

31 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Tilannetta voidaan ajatella toistokokeena, jossa toistoja eli henkilöitä on 0 ja onnistumisen eli tapahtuman henkilö on puolueen kannattaja todennäköisyys jokaisella toistolla on % = 0,. Onnistumisten eli kannattajien lukumäärä noudattaa binomijakaumaa Bin(0; 0,). Ohjelman avulla saadaan P(kannattajia on ) = 0, ,044. Sama tulos saadaan, kun kysytty todennäköisyys lasketaan toistokokeen kaavalla: 0 0 P(kannattajia on ) 0, 0, 0, 0,77 0, ,044. b) Merkitään kannattajien lukumäärää 0 henkilön otoksessa satunnaismuuttujalla X. Kuten a-kohdassa, koska X ~ Bin(0, ), ohjelman avulla saadaan P(X 8) = 0,000 0,000. Toinen tapa: Toistokokeen kaavaa käyttäen saadaan erillisten tapahtumien yhteenlaskusäännön avulla P(X 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 0) , 0,77 0, 0,77 0, 0, , 0,77 00, 0,77 0, 0, 000 c) Ohjelman avulla saadaan P(X ) = 0,9 0,9. Toinen tapa: Toistokokeen kaavaa käyttäen saadaan erillisten tapahtumien yhteenlaskusäännön avulla P(X ) = P(X = 0) + P(X = ) , 0,77 0, 0, ,77 00,0,77 0,9. d) Ohjelman avulla saadaan P(X ) = 0,967 0,9. Toinen tapa: P(X ) = P(X = 0) = 0,77 0 = 0,967 0,9.

32 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kahteen eri joukkueeseen jäsenet voidaan valita eri tavalla. Kun joukkueet on valittu, lepäämään jäävä henkilö on myös määritetty. Ajatellaan rantalentopallokentän puoliskoja nimillä A ja B. Kun ensin valitaan joukkue puolelle A kaikkien 7 henkilön joukosta, ja toinen joukkue puolelle B loppujen 4:n joukosta, niin toinen tapa saada nämä täsmälleen samat joukkueet toisiaan vastaan on valita ensin joukkue puolelle A ja joukkue puolelle B. Näin ollen erilaisten joukkueparien lukumäärässä 40 samat kaksi joukkuetta esiintyvät parina kaksi kertaa. Siis erilaisia kahden joukkueen ja yhden lepäävän pelaajan mahdollisuuksia on Jos yksi peli kestää puoli tuntia, 70 peliin menee tuntia; niinpä pelaajat eivät ehdi käydä kaikkia vaihtoehtoja läpi vuorokauden eli 4 tunnin aikana.. a) Pelaaja voittaa euroa todennäköisyydellä ja häviää yhden euron 7 todennäköisyydellä 6. Voiton odotusarvo on siis 7 6 ( ) 0, ,0 euroa b) Pelaaja voittaa euroa todennäköisyydellä ja häviää yhden euron 7 4 todennäköisyydellä. Voiton odotusarvo on siis ( ) euroa c) Pelaaja voittaa euron todennäköisyydellä 8 ja häviää yhden euron todennäköisyydellä. Voiton odotusarvo on siis ( ) euroa

33 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Olkoon n turistien lukumäärä. Tapahtuman A = ainakin yksi turisti kuuluu veriryhmään O vastatapahtuma on A = yksikään ryhmän turisteista ei kuulu veriryhmään O. Tämän todennäköisyys on n n P A ( 0,0) 0, 70, joten P(A) = 0,70 n. Etsitään pienin luku n, jolle P(A) > 99 = 0,99 eli jolle 0,70 n > 0,99, mistä saadaan epäyhtälö 0,70 n < 0,00. Ratkaistaan ensin yhtälö 0,70 n = 0,00 logaritmin avulla: n 0,70 0,00 n log0,7 0,00 n 4,8... Mitä useampia turisteja ryhmässä on, sitä todennäköisempää on, että heistä ainakin yksi kuuluu veriryhmään O. Kun turisteja on tai enemmän, todennäköisyys on yli 99 promillea.

34 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Maalitaulun säde on 60 0 (cm), joten sen pinta-ala on π0 900π (cm ). 900π π 0 Kymmenen pisteen alueen pinta-ala on π, joten 4 todennäköisyys, että heitto osuu 0 pisteen alueeseen, on π. 900π 6 Tapahtuman viidestä heitosta ainakin yksi osuu 0 pisteen alueeseen vastatapahtuma on yksikään viidestä heitosta ei osu 0 pisteen alueeseen, jonka todennäköisyys on 869 0, Todennäköisyys, että viidestä heitosta ainakin yksi osuu 0 pisteen alueeseen on siis 0,4747 = 0,6 0,. b) Todennäköisyys, että heitto osuus 00 pisteen ympyrään, on π0. Tilannetta voidaan ajatella toistokokeena, jossa toistoja eli 900π 9 heittoja on viisi ja onnistumisen todennäköisyys on. 9 Onnistumisten eli 00 pisteen ympyrään osumisten lukumäärä noudattaa binomijakaumaa Bin(, ). 9 Todennäköisyys, että onnistumisia tulee kolme, saadaan ohjelman avulla tai laskemalla 640 0, , c) Kahdella heitolla saadaan yhteensä 00 pistettä kolmella eri yhdistelmällä: , ja Jokainen yhdistelmä voidaan saada kahdella eri tavalla, ensin suurempi ja sitten pienempi pistemäärä tai toisinpäin. Pistemäärien 60, 70 ja 80 alueilla on sama pinta-ala π0 π0 00π, joten näillä pistemäärillä on sama todennäköisyys 00π. 900π 9

35 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Siis P(60) P(70) P(80). 9 Pistemäärien 0, 0 ja 40 alueilla on sama pinta-ala kuin pistemäärällä 0, joka laskettiin jo kohdassa a. Näiden pistemäärien todennäköisyydet ovat siis P(0) P(0) P(40) P(0). 6 Erillisten tapahtumien yhteenlaskusäännöllä saadaan P(kahdella heitolla 00) = P(80 ja 0) + P(0 ja 80) + P(70 ja 0) + P(0 ja 70) + P(60 ja 40) + P(40 ja 60) , ,09. 4

36 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kaikkia alkeistapauksia vastaa suorakulmio, jossa ja y. Tämän suorakulmion pinta-ala on = 4. Tapahtumaa " y e " vastaa se käyrän y e osa, joka jää e e suorakulmion alueelle. Käyrän pinta-ala on nolla, joten tapahtuman on nolla. y e todennäköisyys e b) Tapahtumaa A = " y e " vastaa suorakulmion se osa, joka jää e käyrän y e alapuolelle. e Selvitetään ensin, missä käyrä y e leikkaa neliön yläreunan eli e suoran y = : e e e e e e : e ln Haluttu alue muodostuu siis suorakulmiosta välillä ln sekä käyrien y e ja y = väliin jäävästä alueesta välillä ln. e

37 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sen sijaan tapahtuman A vastatapahtuma A muodostuu käyrien y e ja y = väliin jäävästä alueesta välillä ln. Koska e se saadaan laskettua kerralla, lasketaan tapahtumaa A vastaavan alueen pinta-ala. e e e e e ln ln ln ln ln e / d d ( e )d e Näin ollen 4 e ln P( A) ln 0,6. 4 4e

38 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään = henkilön A saapumisaika ja y = henkilön B saapumisaika minuutteina kello 9 jälkeen. Alkeistapauksia ovat siis lukuparit (, y), joissa 0 60 ja 0 y 60. Kaikkia alkeistapauksia kuvaa neliö, jonka sivun pituus on 60 ja pinta-ala 60 = 600. Tapahtuman A ja B ovat kahvilassa samaan aikaan vastatapahtuma on A ja B eivät ole kahvilassa samaan aikaan. Tämä tarkoittaa, että A saapuu yli minuuttia myöhemmin kuin B tai vastaavasti B saapuu yli minuuttia myöhemmin kuin A; siis > y + tai y > +. Vastatapahtuman kannalta suotuisa osa kuviota koostuu kahdesta kolmiosta, joissa toisessa > y + eli y < ja toisessa y > +. Kummankin kolmion kanta on 4 ja korkeus samoin 4, joten vastatapahtuman todennäköisyys on 44 9 P(A ja B eivät ole kahvilassa samaan aikaan) Niinpä kysytty todennäköisyys on 9 7 P(A ja B ovat kahvilassa samaan aikaan). 6 6

39 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Selvitetään ensin se kahvimäärä, jolla kahvin pinta on 0,7 cm:n päässä mukin reunasta. Muki on katkaistun ympyräkartion muotoinen. Katkaistun kartion tilavuus saadaan vähentämällä kokonaisen kartion tilavuudesta katkaistun osan tilavuus. Hahmotellaan siis poikkileikkauskuva tilanteesta ja täydennetään kartio kokonaiseksi. Merkitään mukin sädettä kahvin pinnan korkeudella kirjaimella r, sekä katkaistun osan korkeutta kirjaimella. Nyt kahvin tilavuus kuutiomillilitroina on π r (9 ) π. Ratkaistaan r ja. Kuvan kolmiot ABC ja ADE ovat kk-lauseen nojalla yhdenmuotoiset, sillä niissä on molemmissa suora kulma ja yhteinen kulma A. Vastinosien suhteista saadaan yhtälö 00, josta = 0 (mm). Samoin yhdenmuotoisten kolmioiden avulla voidaan ratkaista r. r r 4, (mm) Kahvin tilavuus, kun pinta yltää 7 mm päähän reunasta, on siis π 4, (9 0) π 0 498,49... mm 4,9... cm. Kahviautomaatin laskemaa kahvimäärää (kuutiosenttimetreinä) kuvaa satunnaismuuttuja X ~ N(μ, ). Tehtävänä on määrätä odotusarvo μ siten, että P(X > 4,9 ) = 0,00, eli että P(X 4,9 ) = 0,99. Ratkaistaan ohjelman avulla numeerisesti yhtälö Normaalijakauma(,, 4,9 ) = 0,99, jolloin ratkaisuksi saadaan =,4 cm. Keskiarvoksi tulee siis säätää noin cm.

Juuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Kertaus K. a) Alapaineiden pienin arvo on ja suurin arvo 74, joten vaihteluväli on [, 74]. b) Alapaineiden keskiarvo on 6676870774

Lisätiedot

Juuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 0 Thtävin ratkaisut Kustannusosakyhtiö Otava päivittty 9..08 Kokoavia thtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Kirjoittaan kskiarvoll lausk :n avulla ja ratkaistaan yhtälöstä. π 4 π 4π :4 π 4 a b

Lisätiedot

4 Todennäköisyysjakauma

4 Todennäköisyysjakauma Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 Todennäköisyysjakauma. a) Pistevaihtoehdot ovat,, ja 0. Heittoyritys tuottaa k pistettä silloin, kun kyseessä on k pisteen heitto

Lisätiedot

TODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS

TODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS TODENNÄKÖISYYS JA TILASTOT MAA6 KERTAUS Klassinen todennäköisyys P suotuisten alkeistapausten lkm kaikkien alkeistapausten lkm P( mahdoton tapahtuma ) = 0 P( varma tapahtuma ) = 1 0 P(A) 1 Todennäköisyys

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

ikä (vuosia) on jo muuttanut 7 % 46 % 87 % 96 % 98 % 100 %

ikä (vuosia) on jo muuttanut 7 % 46 % 87 % 96 % 98 % 100 % Testaa taitosi 1 1. Noppaa heitetään kahdesti. Merkitse kaikki alkeistapaukset koordinaatistoon. a) Millä todennäköisyydellä ainakin toinen silmäluvuista on 3? b) Mikä on a-kohdan tapahtuman vastatapahtuma?

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat

Lisätiedot

A-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.

A-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. MAA6 koe 26.9.2016 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja

Lisätiedot

10 Todennäköisyyslaskenta ja tilastot

10 Todennäköisyyslaskenta ja tilastot 0 Todennäköisyyslaskenta ja tilastot 0. Todennäköisyys ja kombinatoriikka LUVUN 0. YDINTEHTÄVÄT 00. a) Ensimmäisen nopan heitossa on kuusi alkeistapausta, joista tapahtumalle suotuisia on yksi. Kysytty

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 6.3.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13 Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 2 x 2 3 2 3 x 1 4, (b) (x + 1)(x 2)

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin!

Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! MAA6 Kurssikoe 1.11.14 Jussi Tyni ja Juha Käkilehto Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A-OSIO: Laske kaikki

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

a) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja

a) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1.10.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287

Lisätiedot

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta - tehtävät

Todennäköisyyslaskenta - tehtävät Todennäköisyyslaskenta - tehtävät Todennäköisyyslaskentaa käsitellään Pitkän matematiikan kertauskirjan sivuilla 253 276. Klassinen todennäköisyys Kombinatoriikka Binomitodennäköisyys Satunnaismuuttuja,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ YLIOPPILSTUTKINTO- LUTKUNT..7 MTEMTIIKN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ -osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan ruudukkoon.

Lisätiedot

Huippu 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. Ensimmäiselle paidalle on 5 vaihtoehtoa, toiselle 4, kolmannelle 3 ja niin edelleen. Axel voi pitää paitoja 5! = 0:ssä eri järjestyksessä. Vastaus: 0:ssä eri järjestyksessä K.

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2

2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2 HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

A-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat:

A-Osio. Ei saa käyttää laskinta, maksimissaan tunti aikaa. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat: MAA6 Loppukoe 26..203 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! Lue ohjeet huolella! A-Osio. Ei saa

Lisätiedot

b) Jos Ville kaataisikin karkit samaan pussiin ja valitsisi sieltä sattumanvaraisen karkin, niin millä todennäköisyydellä hän saisi merkkarin?

b) Jos Ville kaataisikin karkit samaan pussiin ja valitsisi sieltä sattumanvaraisen karkin, niin millä todennäköisyydellä hän saisi merkkarin? MAA1-harjoituskoe RATKAISUT 1. Villellä on kaksi karkkipussia. Ensimmäisessä pussissa on 3 salmiakkiufoa, 2 merkkaria ja 5 liitulakua. Toisessa pussissa on 5 merkkaria, 3 liitulakua ja 4 hedelmäkarkkia.

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

30A02000 Tilastotieteen perusteet

30A02000 Tilastotieteen perusteet 30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi

Lisätiedot

V ar(m n ) = V ar(x i ).

V ar(m n ) = V ar(x i ). Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia

Lisätiedot

riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa.

riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa. 12.11.2015/1 MTTTP5, luento 12.11.2015 Luku 4 Satunnaisotos, otossuure ja otosjakauma 4.1. Satunnaisotos X 1, X 2,, X n on satunnaisotos, jos X i :t ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa. Sanonta

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia

Lisätiedot

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla? 6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla

/1. MTTTP5, luento Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla 17.11.2016/1 MTTTP5, luento 17.11.2016 3.5.5 Normaalijakauma (jatkuu) Binomijakaumaa voidaan approksimoida normaalijakaumalla likimain Jos X ~ Bin(n, p), niin X ~ N(np, np(1 p)), kun n suuri. 17.11.2016/2

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä palamisaikaa?

Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä palamisaikaa? 21.3.2019/1 MTTTP1, luento 21.3.2019 7 TILASTOLLISEN PÄÄTTELYN PERUSTEITA Miten voidaan arvioida virheellisten komponenttien osuutta tuotannossa? Miten voidaan arvioida valmistajan kynttilöiden keskimääräistä

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.

Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8. HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..

Lisätiedot

Kertaustesti Perheessä on neljä lasta, joista valitaan arpomalla kaksi tiskaajaa. Millä todennäköisyydellä nuorin joutuu tiskaamaan?

Kertaustesti Perheessä on neljä lasta, joista valitaan arpomalla kaksi tiskaajaa. Millä todennäköisyydellä nuorin joutuu tiskaamaan? Kertaustesti 1 Nimi: 1. a) Noppaa heitetään kerran. Millä todennäköisyydellä saadaan silmäluku 2? b) Noppaa heitetään kaksi kertaa peräkkäin. Millä todennäköisyydellä molemmilla heitoilla saadaan silmäluku

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo.

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Kertaus Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Luokiteltu aineisto. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Hajontaluvut luokittelemattomalle

Lisätiedot

Todennäköisyys ja tilastot Tehtävien ratkaisut Kertaustehtävät. Kertaustehtävien ratkaisut

Todennäköisyys ja tilastot Tehtävien ratkaisut Kertaustehtävät. Kertaustehtävien ratkaisut Ratkaisuista Nämä Todennäköisyys ja tilastot -kurssin kertaustehtävien ja -sarjojen ratkaisut perustuvat oppikirjan tietoihin ja menetelmiin. Kustakin tehtävästä on yleensä vain yksi ratkaisu, mikä ei

Lisätiedot

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin)

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin) 1/10 Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Ratkaise

Lisätiedot

Tilastollinen aineisto Luottamusväli

Tilastollinen aineisto Luottamusväli Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden

Lisätiedot

c) A = pariton, B = ainakin 4. Nyt = silmäluku on5 Koska esim. P( P(A) P(B) =, eivät tapahtumat A ja B ole riippumattomia.

c) A = pariton, B = ainakin 4. Nyt = silmäluku on5 Koska esim. P( P(A) P(B) =, eivät tapahtumat A ja B ole riippumattomia. Tehtävien ratkaisuja 4. Palloja yhteensä 60 kpl. a) P(molemmat vihreitä) = P((1. pallo vihreä) ja (. pallo vihreä)) = P(1. pallo vihreä) P(. pallo vihreä 1. pallo vihreä) = 0.05 (yleinen kertolaskusääntö)

Lisätiedot

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4. HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden

Lisätiedot

Kertaustehtäviä Pakassa on jäljellä 50 korttia, joista 11 on herttoja Alkeistapauksia ovat silmälukuparit, joita on 36 kappaletta.

Kertaustehtäviä Pakassa on jäljellä 50 korttia, joista 11 on herttoja Alkeistapauksia ovat silmälukuparit, joita on 36 kappaletta. 0. Pakassa on jäljellä 50 korttia, joista on herttoja. P(kolmas kortti hertta) 50 0,22 02. Alkeistapauksia ovat silmälukuparit, joita on kappaletta. a) Kuvion perusteella pistesumma 4 saadaan tavalla.

Lisätiedot

PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA

PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA Pyörädyskappaleen pinta syntyy, kun funktion kuvaaja pyörätää suoran ympäri., suomennos Matti Pauna LIERIÖ JA KARTIO Lieriöt ja kartiot ovat yksinkertiaisimpia

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

12 TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIA

12 TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIA 12 TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIA ALOITA PERUSTEISTA 493A. a) Vaatekoon mahdollisia havaintoarvoja ovat esimerkiksi S, M, L tai 36, 42, 52. Tällaiset muuttujan arvot ovat diskreettejä. Vastaus: diskreetti b) Lämpötila-asteikko

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot