4 Todennäköisyysjakauma

Transkriptio

1 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Todennäköisyysjakauma. a) Pistevaihtoehdot ovat,, ja 0. Heittoyritys tuottaa k pistettä silloin, kun kyseessä on k pisteen heitto ja se onnistuu. P( pistettä) 0, 0, 0,0 0,0 P( pistettä) 0,6 0, 0,0 0,0 P( piste) 0,9 0,7 0,6 0, Lasketaan P(0 pistettä) komplementin eli vastatapahtuman avulla: P(0 pistettä) P( tai tai pistettä). Koska tapahtumat " pistettä", " pistettä" ja " piste" ovat erillisiä, saadaan P(0 pistettä) (0,0 + 0,0 + 0,6) 0, 0,. b) Yksi heittoyritys voi tuottaa,, tai 0 pistettä a-kohdassa lasketuilla todennäköisyyksillä. Tämän perusteella voidaan arvioida, että koripalloilijan a:sta yrityksestä noin 0,0a tuottaa pistettä, 0,0a tuottaa pistettä, 0,6a tuottaa pisteen ja 0,a ei tuota pisteitä lainkaan. Yhteensä a yritystä tuottaa siis arviolta 0,0a + 0,0a + 0,6a + 0,a 0 0,97a 0,97a pistettä, joten keskimäärin jokainen heittoyritys tuottaa noin 0,97 pistettä.

2 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Esitetään silmälukuparit taulukkona ja merkitään kunkin silmälukuparin kohdalle sitä vastaava voittosumma euroina (negatiivinen, jos joudutaan maksamaan) Todennäköisyys, että joudutaan maksamaan, on taulukon perusteella 0 eli paljon suurempi kuin todennäköisyys, että voitetaan. 6 6 Voitettavat ja maksettavat summat kuitenkin vaihtelevat eri silmälukupareilla, joten tämän perusteella ei vielä voida päätellä, kannattaisiko pelaaminen. Lasketaan vielä, voisiko pelaaminen useamman kerran käydä kannattavaksi, eli voisivatko harvoin tulevat suuret voitot kattaa usein tulevat pienet tappiot. Lasketaan erilaisten mahdollisten lopputulosten todennäköisyydet: P(maksetaan 6 euroa) 0 6 P(maksetaan euroa) 8 6 P(maksetaan euroa) 6 6 P(maksetaan euroa) 6 P(maksetaan euroa) 6 P(voitetaan euroa) P(voitetaan 0 euroa) P(voitetaan 8 euroa) P(voitetaan 6 euroa) P(voitetaan euroa) P(voitetaan euroa) 6

3 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Jos pelattaisiin a kertaa ja silmälukuparit esiintyisivät todennäköisyyksien mukaisesti, yhteenlaskettu voittosumma olisi 0 a ( 6) + 8 a ( 6 ) + a ( ) + a ( ) + a ( ) a + a 0 + a 8 + a 6 + a + a a 6,7 a. Tappiota tulisi siis noin,7 euroa peliä kohti. Tämän perusteella voidaan arvioida, että pelaaminen ei kannata.

4 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Diskreetti jakauma YDINTEHTÄVÄT 0. a) Pelaaja voi voittaa parittoman silmäluvun verran eli, tai euroa, tai hävitä euroa. Siten satunnaismuuttujan X arvot eli pelaajan mahdolliset voittosummat euroina ovat,, ja. b) Lasketaan arvojen todennäköisyydet: P( X ) P(silmäluku on ) 6 P( X ) P(silmäluku on ) 6 P( X ) P(silmäluku on ) 6 P( X ) P(silmäluku on parillinen) 6 Tämä on satunnaismuuttujan X jakauma. Esitetään jakauma vielä taulukkona: x P(X x) 6 6 c) Tapahtuma X on "voittosumma on euroa", ja sen todennäköisyys on P( X ). 6 Tapahtuma X on "voittosumma on euroa" eli "pelaaja menettää euroa", ja sen todennäköisyys on P( X ). Tapahtuma X on "voittosumma on enintään euroa", ja sen todennäköisyys on P( X ) P( X ) + P( X ) + P( X )

5 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Todennäköisyys nostaa numeron neljä sisältävä lappu on sama kuin tällaisten lappujen osuus kaikista lapuista, joten P( X ). b) c) d) P( X ) P( X ) + P( X ) + P( X ) + + P( X > ) P( X ) + P( X 6) P( X ) P( X ) + P( X ) + P( X ) + P( X ) + P( X ) Toinen tapa: Koska satunnaismuuttujan X mahdolliset arvot ovat,,,, ja 6, tapahtuman X vastatapahtuma on X 6, jonka todennäköisyys on jakaumataulukon mukaan P( X 6). Niinpä 0 P( X ) P( X 6) e)

6 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Pistetodennäköisyyksien summa on yksi, joten P( X ) ( + + ) b) Koska e < ja π >, saadaan erillisten tapahtumien yhteenlaskusäännön mukaan P( X ) P( X ) + P( X ) + P( X e) c)

7 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Tilannetta voidaan ajatella toistokokeena, jossa toistoja on kolme ja "onnistumisen" eli vasenkätisyyden todennäköisyys on jokaisella toistolla sama,. Toistokokeessa onnistumisten lukumäärä noudattaa 0 binomijakaumaa. b) Vasenkätisiä voi olla kolmesta henkilöstä 0,, tai eli satunnaismuuttujan X mahdolliset arvot ovat 0,, ja. Lasketaan eri arvoja vastaavat pistetodennäköisyydet toistokokeen kaavalla. 0 P( X 0) ,79 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) P( X ) 9 0, ( )( ) ( ) P( X ) 9 7 0, ( )( ) ( ) P( X ) 9 0, Tämä on satunnaismuuttujan X jakauma. Esitetään jakauma vielä taulukkona: x P(X x) 0 0,79 0, 0,07 0,00 Satunnaismuuttujan X todennäköisin arvo on 0, koska sitä vastaava pistetodennäköisyys 0,79 on suurin.

8 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Neljällä heitolla voidaan saada 0,,, tai klaavaa eli satunnaismuuttujan X mahdolliset arvot ovat 0,,, ja. Yhdellä heitolla klaavan todennäköisyys on. Lasketaan satunnaismuuttujan X eri arvojen todennäköisyydet binomitodennäköisyyden kaavalla. 0 P( X 0) 0,06 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 6 P( X ) 0, 6 ( )( ) ( ) P( X ) 6 0,7 6 8 ( )( ) ( ) P( X ) 0, 6 0 ( )( ) ( ) P( X ) 0,06 6 Tämä on satunnaismuuttujan X jakauma. Esitetään jakauma vielä taulukkona ja piirretään pistetodennäköisyydet koordinaatistoon. x P(X x) 0 0, , 0,7 8 0, 0, 06 6 b) Tapahtuma X on "saadaan enintään kaksi klaavaa". Tämän todennäköisyys on P( X ) P( X 0) + P( X ) + P( X ) ,687 0,69.

9 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 06. a) Pistetodennäköisyyksien summa on yksi, joten P( X ) ( + + ). 6 0,. 0 Pisteen Q koordinaatit ovat siis ( ) b) Taulukkoon kootaan satunnaismuuttujan X mahdolliset arvot ja näitä vastaavat pistetodennäköisyydet: x P(X x) c) Koska tehtävän satunnaismuuttujalle X tapahtuma "0 X < 6" on sama kuin "X tai X ", saadaan erillisten tapahtumien yhteenlaskusäännön avulla P(0 X < 6) P( X ) + P( X )

10 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Virkkeessä on kymmenen sanaa, joten kukin sana tulee poimituksi todennäköisyydellä. 0 Vokaalien lukumäärät eri sanoissa ovat,,,,,,,, ja 6. Satunnaismuuttujan X "vokaalien määrä valitussa sanassa" mahdolliset arvot ovat siis,,, ja 6. Arvojen todennäköisyydet ovat P( X ), 0 P( X ), 0 P( X ), 0 P( X ) 0 ja P( X 6). 0 Taulukkomuodossa esitettynä jakauma on siis x P(X x)

11 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) P(X ) on todennäköisyys, että satunnaismuuttujan X arvo on kolme. Todennäköisyyslaskurilla saadaan P(X ) 0,0987 0,099. Sama tulos saadaan myös toistokokeen kaavalla: P( X ) 8 ( )( ) ( ) 0, b) Todennäköisyyslaskurilla P(X 0) 0,976, P(X ) 0,9, P(X ) 0,96, P(X ) 0,0987 ja P(X ) 0,0. Jakauma taulukkomuodossa: x P(X x) 0 0,976 0,9 0,96 0,0987 0,0 Todennäköisyyslaskurin havainnollistus pistetodennäköisyyksistä: Kuvasta ei voi lukea todennäköisyyksiä, vaan niitä varten tarvitaan edellä oleva taulukko.

12 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Toinen tapa: Lasketaan todennäköisyydet toistokokeen kaavalla: 0 P( X 0) 6 ( )( ) ( ) ( ) 0, ( )( ) ( ) P( X ) 8 0,9 7 8 ( )( ) ( ) P( X ) 6 8 0, P( X ) 8 0,0987 (laskettiin jo a-kohdassa) 8 0 P( X ) ( )( ) ( ) ( ) 0,0 8 ja piirretään pistetodennäköisyydet koordinaatistoon.

13 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kyseessä on toistokoe, jossa toistojen lukumäärä on ja onnistumisen eli yhdellä heitolla kuutosen saamisen todennäköisyys on. 6 Viidellä heitolla saatujen kuutosten lukumäärä noudattaa siis binomijakaumaa parametrein n ja p. Todennäköisyyslaskurilla saadaan 6 P(X 0) 0,08, P(X ) 0,09, P(X ) 0,608, P(X ) 0,0, P(X ) 0,00 ja P(X ) 0,000. Esitetään jakauma vielä taulukkomuodossa: x P(X x) 0 0,0 0,0 0,6 0,0 0,00 0,000 Todennäköisyyslaskurin antamat likiarvot kahdelle ensimmäiselle todennäköisyydelle näyttävät olevan hyvin lähellä toisiaan. Tarkistetaan, ovatko todennäköisyydet samat: P( X 0) ( )( ) 0 ( ) ja P( X ) ( )( ) ( ) Tarkat arvot ovat samat, P(X 0) P(X ) 0,09. Kuutosten todennäköisimmät lukumäärät ovat siis 0 ja.

14 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Myös muut pistetodennäköisyydet voidaan laskea ilman laskuria, jolloin saadaan kaikille pistetodennäköisyyksille tarkat arvot. P( X 0) 0, (laskettu edellä) P( X ) 0, (laskettu edellä) P( X ) 6 ( )( ) ( ) 0, ( )( ) ( ) P( X ) 0, ( )( ) ( ) P( X ) 0, ( )( ) ( ) P( X ) 0, b) Tapahtuma X tarkoittaa, että saatujen kuutosten lukumäärä on kaksi, eli että viidestä heitosta kaksi on kuutosia ja loput muita kuin kuutosia. Tapahtuma X tarkoittaa, että kuutosia on kaksi, kolme tai neljä. Todennäköisyyslaskurilla P(X ) 0,608 0,6 ja P( X ) 0,96 0,0. Tarkat arvot saataisiin a-kohdassa laskettujen tarkkojen arvojen avulla: P( X ) ja P( X ) P( X ) + P( X ) + P( X )

15 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Tilannetta voidaan ajatella toistokokeena, jossa toistojen eli henkilöiden lukumäärä on viisi ja onnistumisen eli "on hyttysten suosima" todennäköisyys on jokaisella toistolla %. Siten X noudattaa binomijakaumaa Bin(; 0,). Todennäköisyyslaskurilla saadaan P(X 0) 0,0, P(X ) 0,, P(X ) 0,7, P(X ) 0,6, P(X ) 0,097 ja P(X ) 0,009. Jakauma taulukkomuodossa: x P(X x) 0 0,0 0, 0,7 0,6 0,097 0,009 Ilman laskuria pistetodennäköisyydet voidaan laskea toistokokeen kaavalla: 0 P( X 0) 0, 0, 0,67 0,0... 0,0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P( X ) 0, 0, 0,9... 0, P( X ) 0, 0, 0, ,7 P( X ) 0, 0, 0,6... 0,6 P( X ) 0, 0, 0, ,097 0 P( X ) 0, 0, 0, 0, ,009

16 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Tapahtuma X tarkoittaa, että seurueessa on vain yksi hyttysten suosima henkilö. Vastaavasti tapahtuma X tarkoittaa, että seurueessa on vähintään kaksi hyttysten suosimaa henkilöä. Todennäköisyyslaskurilla saadaan P(X ) 0, 0, ja P(X ) 0, 0,. Ilman laskuria käytetään a-kohdassa laskettuja pistetodennäköisyyksiä: P(X ) 0,9 0, P(X ) P(X ) + P(X ) + P(X ) + P(X ) 0,7 + 0,6 + 0,09 + 0,00 0, 0, Jälkimmäinen voidaan laskea myös vastatapahtuman X < avulla: P(X ) P(X < ) (P(X 0) + P(X )) (0, + 0, ) 0, 0,.. Koska jakaumassa A on P(X ) 0,, sitä vastaa joko kertymäfunktio I tai kertymäfunktio II. Koska P(X ) 0,, kertymäfunktio I ei käy, vaan ainoa vaihtoehto on kertymäfunktio II. Myös loput kaksi pistetodennäköisyyttä vastaavat kertymäfunktion II arvojen lisäyksiä, joten jakaumaa A vastaa kertymäfunktio II. Vastaavasti jakauman B pistetodennäköisyydet vastaavat kertymäfunktion III arvojen muutoksia ja jakauman C pistetodennäköisyydet kertymäfunktiota I.. Jakauman A pistetodennäköisyydet vastaavat kertymäfunktion II arvojen lisäyksiä, jakauman B puolestaan kertymäfunktion I ja jakauman C pistetodennäköisyydet kertymäfunktion III arvojen lisäyksiä.

17 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) P(X 0) F(0) 0, P( < X 0) F(0) F() 0,70 0, 0, b) Koska 0 < 0, on F() 0,. Tämä on tapahtuman X todennäköisyys eli F() P(X ). c) P(X > ) P(X ) F() 0,70 0,0.. a) Koska satunnaismuuttujan X pienin arvo on, kertymäfunktion arvo on nolla kaikilla x <. Kohdassa x kertymäfunktion arvo hyppää nollasta arvoon F() P(X ) P(X ) 0,. Kertymäfunktion arvo on 0, välillä x <. Seuraavan kerran kertymäfunktion arvo muuttuu kohdassa x : F() P(X ) P(X ) + P(X ) 0, + 0, 0,. Kertymäfunktion arvo on 0, välillä x <. Kohdassa x kertymäfunktion arvo hyppää jälleen: F() P(X ) P(X ) + P(X ) + P(X ) 0, + 0, + 0, 0,. Kertymäfunktion arvo on 0, välillä x <. Kohdassa x saadaan vastaavasti F() P(X ) P(X ) + P(X ) + P(X ) + P(X ) 0, + 0, + 0, + 0, 0,8. Kertymäfunktion arvo on 0,8 välillä x <. Koska satunnaismuuttujan suurin mahdollinen arvo on viisi, on F(x) kaikilla x. Tämä nähdään myös laskemalla pistetodennäköisyyksien summa:

18 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty F() P(X ) P(X ) + P(X ) + P(X ) + P(X ) + P(X ) 0, + 0, + 0, + 0, + 0, ja lisäksi kaikilla x > on F(x) P(X x), koska satunnaismuuttujan X arvo on korkeintaan viisi. Kertymäfunktion F lauseke on siis 0, kun x < 0,, kun x < 0,, kun x < F( x) 0,, kun x < 0,8, kun x <, kun x. b) P(X ) F() 0, P( < X ) F() F() 0,8 0, 0,6. c) F() P(X ) 0,.

19 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Esitetään silmälukuparit taulukkona ja merkitään kunkin silmäluvun kohdalle sitä vastaava voitto Lasketaan taulukon avulla eri voittosummien todennäköisyydet. Kun taulukossa olevasta voiton arvosta vähennetään pelipanos,, saadaan silmälukuparia vastaava satunnaismuuttujan X arvo. P( X,) P(ei voittoa) 8 0, 6 9 P( X 0,) P(voitto euroa) 6 0, 6 9 P( X,) P(voitto euroa) 0, 6 P( X,) P(voitto 7 euroa) 0,0 6 Nämä ovat satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyydet. Esitetään jakauma vielä taulukkona: x P(X x), 0, 9 0, 0, 9, 0, 6, 0,0 6

20 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertymäfunktion lauseke on näin ollen 0, kun x <, 0,, kun, x 0, 9 F( x) < + 0,66, kun 0, x <, ,97, kun, x <, 6 6, kun x,. b) Havainnollistetaan X:n jakaumaa merkitsemällä pistetodennäköisyydet koordinaatistoon: Havainnollistetaan X:n kertymäfunktiota F piirtämällä sen kuvaaja koordinaatistoon:

21 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään ensin tilanteesta kuva ja merkitään kuvaan satunnaismuuttujan X arvot eri alueissa. Koko kuvio on suorakulmio, jonka pinta-ala on π. Tapahtuman X kannalta suotuisa alue on käyrien y sin x ja y sin x väliin jäävä alue, jonka pinta ala on π π π (s in x ( sin x)) dx sin xdx ( cos x) ( cos π ( cos0)). 0 0 Niinpä satunnaismuuttuja X saa arvon todennäköisyydellä P( X ) 0, ,6. π π 0 / Symmetrian vuoksi kaksi muuta mahdollista arvoa, 0 ja, ovat yhtä todennäköisiä; siis P(X 0) P(X ) ja siksi PX ( ) P( X 0) π π 0, ,8. π π Koska P(X 0) P(X ), myös P( X ) 0,8. π Esitetään vielä X:n jakauma taulukkona: x P(X x) 0 π π π π π

22 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 7. a) Diskreetin satunnaismuuttujan arvoja vastaavat pistetodennäköisyydet näkyvät kertymäfunktion kuvaajassa hyppäyksinä kyseisissä kohdissa. Kertymäfunktion arvot muuttuvat kohdissa,, ja ; nämä ovat siis satunnaismuuttujan X mahdolliset arvot. Arvojen todennäköisyydet ovat P( X ), 8 P( X ), 8 8 P( X ) 7 ja 8 8 P( X ) b) Lasketaan pistetodennäköisyydet kuten a-kohdassa ja piirretään kuva. Satunnaismuuttujan mahdollisia arvoja ovat nyt,, 0 ja. Arvojen todennäköisyydet ovat P(X ) 0,, P(X ) 0, 0, 0,, P(X 0) 0,8 0, 0,6 ja P(X ) 0,8 0,.

23 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Lasketaan satunnaismuuttujan X eri arvojen (,, ja ) todennäköisyydet: P( X ) f() 0, 0 P( X ) f() 7 0, 0 P( X ) f() 7 0, 0 P( X ) f() 0, 0 b) Esitetään vielä jakauma taulukkona: x P(X x) 0, 0, 0, 0,

24 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Merkitään X "puhelimeen tunnin aikana saapuneiden viestien lukumäärä". Koska X noudattaa Poissonin jakaumaa parametrilla k 0 0 λ 0, pistetodennäköisyydet saadaan kaavalla P( X k) e, k! jossa k 0,,, Niinpä todennäköisyys, että puhelimeen ei tunnin aikana saavu yhtään viestiä, on P( X 0) e 0 e 0, ! b) 0 e 0 P( X ) 0, ,08.! c) Tapahtuma X tarkoittaa, että X tai X 6 tai X 7 tai Eri mahdollisuuksia on äärettömän monta. Sen sijaan vastatapahtuma X < koostuu tapahtumista X, X, ja X. Nämä tapahtumat ovat erillisiä, joten P( X < ) P( X 0) + P( X ) P( X ) e + e e 0 0!!! 0,96... Näin ollen kysytty todennäköisyys on P(X ) P(X < ) 0,96 0,08 0,08. Samat tulokset saadaan myös ohjelman avulla. 0. a) Merkitään X "museossa ensimmäisen tunnin aikana vierailevien asiakkaiden lukumäärä". Tiedetään, että X noudattaa Poissonin jakaumaa parametrilla λ, joten todennäköisyyslaskurilla saadaan P(0 X 0) 0, ,86. b) Todennäköisyyslaskurilla saadaan P(X 0) 0,866 0,87. c) Todennäköisyyslaskurilla saadaan P(X 0) 0, ,998.

25 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kuutonen voi esiintyä ensimmäisen kerran ensimmäisellä heitolla, tai toisella heitolla, tai kolmannella heitolla, tai Satunnaismuuttuja X voi siis saada minkä tahansa positiivisen kokonaislukuarvon,,, b) Todennäköisyys, että heti ensimmäisellä heitolla tulee kuutonen, on P( X ). 6 Todennäköisyys, että ensimmäinen kuutonen saadaan vasta toisella heitolla, on P( X ) P(. heitolla ei kuutosta ja. heitolla kuutonen) Vastaavasti ( ) P( X ), P( X ) ( ) ja n ( ) n P( X n). n 6 6 6

26 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Tapahtuma X n koostuu erillisistä tapahtumista X, X, ja X n. Erillisten tapahtumien yhteenlaskusäännöllä saadaan P( X n) P( X ) + P( X ) P( X n) n + ( ) + ( ) ( 6) 6 Tämä on geometrinen summa, jossa ensimmäinen jäsen on a ja 6 suhdeluku q. Niinpä geometrisen summan kaavalla 6 n q Sn a saadaan q n 0 n ( 6 ) n P( X n) ( 6 ). n n Etsitään pienin kokonaisluku n, jolle ( 6 ) > 0,9 eli jolle ( ) Vastaavan yhtälön ( ) n 6 n < 0,. 6 n 0, 6 ratkaisu on log 0,,69... Pienin kokonaisluku n, jolle P(X n) > 0,9, on siis. 6

27 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Diskreetin jakauman odotusarvo YDINTEHTÄVÄT. a) Satunnaismuuttujan X odotusarvo on E( X ) ,. 8 8 b) Satunnaismuuttujan X keskihajonta on D( X ) , ,0. ( ) ( ) ( ) ( ). a) Satunnaismuuttujan X mahdolliset arvot ovat, ja 0. Lasketaan näiden todennäköisyydet: P( X ) P(kaksi kruunaa) P( X ) P(yksi kruuna) P(. on kruuna ja. ei, tai. ei ole kruuna ja. on) + P( X 0) P(ei yhtään kruunaa) Satunnaismuuttujan X odotusarvo on E( X ) + ( ) b) Tuhannella kierroksella odotettavissa oleva tulos on 000 E(X) 0. Pelaajan voi siis odottaa olevan lähellä tasatilannetta, ei voitolla eikä tappiolla.

28 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Merkitään X "arvalla saatu nettovoitto" (euroina) eli summa, joka saadaan, kun arvan voitosta vähennetään arvan hinta. Satunnaismuuttujan X mahdolliset arvot ovat siten , 00 99, 0 9, ja 0 sekä 0. Lasketaan eri arvojen todennäköisyydet. P( X 999) P(voitto on 000 euroa) P( X 99) P(voitto on 00 euroa) P( X 9) P(voitto on 0 euroa) P( X ) P(voitto on euroa) P( X 0) P(voitto on euro) P( X ) P(ei voittoa) Satunnaismuuttujan X odotusarvo on E( X ) ( ) ,. Pelaajan nettovoiton odotusarvo on siis 0, euroa eli senttiä. b) Voittavia arpoja on 70 0, joten arpoja, joissa ei ole voittoa, on kappaletta. Jotta vähintään yhdessä arvassa varmuudella olisi voitto, arpoja tulisi ostaa vähintään yksi enemmän kuin voitottomia arpoja on eli 9 8.

29 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Olkoon X "silmälukujen summa". Esitetään silmälukuparit taulukkona ja merkitään kunkin parin kohdalle silmälukujen summa eli satunnaismuuttujan X arvo Silmälukupareja on yhteensä 6. Satunnaismuuttujan X mahdolliset arvot ovat,,,, 0. Lasketaan eri arvojen todennäköisyydet taulukon perusteella: P( X ) P( X ) P( X ) 8 P( X ) 6 P( X 6) 6 P( X 7) 6 P( X 8) 8 P( X 9) P( X 0)

30 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Satunnaismuuttujan X odotusarvo on E( X ) a) Väite on epätosi. Kymmenen toiston jälkeen satunnaismuuttujien arvojen keskiarvo on lähellä odotusarvoa a suurella todennäköisyydellä, mutta tasan a vain erikoistapauksissa, eikä yleisesti täysin varmasti edes lähellä lukua a. b) Väite on tosi. On mahdollista, että esimerkiksi noppaa heitettäessä saadaan peräkkäin vaikkapa tuhat ykköstä. Tällöin tulosten keskiarvokin on yksi, joka ei ole lähellä nopanheiton tuloksen odotusarvoa ,. (Mainitun tapahtuman todennäköisyys on hyvin pieni, mutta aidosti nollaa suurempi kuitenkin.) c) Väite on epätosi. Jos satunnaiskokeella on useita mahdollisia lopputuloksia, kokeen tuloksen perusteella määräytyvän satunnaismuuttujan odotusarvosta ei voida päätellä yksittäisen kokeen lopputulosta.

31 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 7. a) Tapahtuman "ainakin yksi hyökkääjistä tekee maalin" vastatapahtuma on "kukaan ei tee maalia", jonka todennäköisyys on P(kukaan ei tee maalia) P(. ei tee) P(. ei tee) P(. ei tee) ( 0,6) ( 0,7) ( 0,) 0,00. Siten P(ainakin yksi tekee maalin) P(kukaan ei tee maalia) 0,00 0,997 0,96. b) Olkoon X maalien lukumäärä. Kolmella yrityksellä maaleja voi syntyä 0,, tai. Lasketaan ensin eri maalimäärien todennäköisyydet. Maalien lukumäärä on nolla, kun kukaan hyökkääjistä ei tee maalia: P(X 0) ( 0,6) ( 0,7) ( 0,) 0,00 Yksi maali syntyy joko niin, että. hyökkääjä tekee maalin, mutta. ja. eivät tee maalia; tai niin, että. ei tee,. tekee ja. ei; tai niin, että. ei tee,. ei tee ja. tekee. Nämä tapahtumat ovat erillisiä, joten P(X ) 0,6 ( 0,7) ( 0,) + ( 0,6) 0,7 ( 0,) + ( 0,6) ( 0,7) 0, 0,7 Vastaavasti kaksi maalia voi syntyä kolmella eri tavalla, yksi hyökkäjistä ei tee maalia ja muut kaksi tekevät: P(X ) 0,6 0,7 ( 0,) + 0,6 ( 0,7) 0, + ( 0,6) 0,7 0, 0,7

32 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kolme maalia syntyy vain silloin, kun kaikki kolme hyökkääjää tekevät maalin: P(X ) 0,6 0,7 0, 0,6 Maalien lukumäärän odotusarvo on E(X) P(X 0) 0 + P(X ) + P(X ) + P(X ) 0, ,7 + 0,7 + 0,6,9. 8. Olkoon X pelaajan nettovoitto euroina eli pelaajan mahdollisesti kassasta nostama rahamäärä, josta on vähennetty kassaan maksettu panos euroa. Mahdolliset X:n arvot ovat siis, ja. Lasketaan näiden todennäköisyydet. P( X ) P(pallot ovat samanväriset) P(molemmat punaisia tai molemmat vihreitä) + 0, P( X ) P(yksi punainen ja yksi vihreä) P(. punainen ja. vihreä, tai. vihreä ja. punainen) + 0, P( X ) P(palloista yksi on musta) P(. musta, tai. ei musta ja. musta) + 8 0, (Saman tuloksen saa myös laskemalla P(X ) P(X ).) Satunnaismuuttujan X odotusarvo on siten E( X ) + + ( ) 0,

33 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Havainnollistetaan jakaumaa piirtämällä kuva todennäköisyyslaskurilla. Tästä kuvasta pistetodennäköisyyksien arvoja ei pysty lukemaan. Tarvitaan myös todennäköisyyslaskurin antamat X:n jakauman pistetodennäköisyyksien likiarvot: x P(X x) Yllä lasketut pistetodennäköisyydet koordinaatistossa: b) Todennäköisyyslaskurilla saadaan P( X ) 0,0 0,0. X Bin,, sen odotusarvo on, ja 0, ,97. c) Koska ( ) keskihajonta ( )

34 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Tapahtuma "ei myöhästy kertaakaan" on sama kuin "on kaikkina viitenä aamuna ajoissa", jonka todennäköisyys on P(ei myöhästy kertaakaan) ( ) 0,0777 0, 08. Myöhästymisen todennäköisyys on jokaisena aamuna sama: P(myöhässä). Kyse on siis toistokokeesta, joten P(opiskelija myöhästyy kahtena aamuna) ( ) ( ) ( ) 6 6 0,6 0,. Toinen tapa: Tilannetta voidaan ajatella toistokokeena, jossa toistoja on viisi ja onnistumisen eli myöhästymisen todennäköisyys on P(myöhässä). Olkoon X myöhästymisten lukumäärä viikossa, jolloin X Bin (, ). Todennäköisyyslaskurilla saadaan P(X 0) 0,0777 0,08 ja P(X ) 0,6 0,. b) Koska X Bin (, ), odotusarvo on.

35 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kyseessä on toiston toistokoe, jossa onnistumisen eli kotivoiton todennäköisyys on 0,8. Olkoon X kotivoittojen lukumäärä ottelussa, jolloin X ~ Bin(; 0,8) ja sen odotusarvo on siksi E(X) 0,8 6,. b) Merkki on oikein, jos tulos on kotivoitto ja on veikattu kotivoittoa, tai tulos on tasapeli ja on veikattu tasapeliä, tai tulos on vierasvoitto ja on veikattu vierasvoittoa. Koska eri tulosten (,, ) todennäköisyyksien summa on yksi, sattumanvaraisesti veikattu merkki on oikein todennäköisyydellä P(merkki oikein) P(tulos ) + P(tulos ) + P(tulos ) ( P(tulos ) + P(tulos ) + P(tulos ) ). Olkoon X oikeiden merkkien lukumäärä, jolloin X Bin (, ) odotusarvo on,. Todennäköisyyslaskurilla saadaan P(X ) 0,0006 0,000., ja sen

36 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Olkoon X yhdellä tikalla saatu pistemäärä. Koska taulun säde on mm 70, mm, koko taulun pinta-ala on π 70, mm. Kunkin tuloksen todennäköisyys on sitä vastaavan osumakohdan pinta-alan osuus koko taulun pinta-alasta. Lasketaan eri tulosten todennäköisyydet: π ( ) 06, P( X 0) 0, , 0 π 70, 9070, ( ) ( ) π + 7 π P( X 9) 88 0, ,00 π 70, 9070, π (,) π (,) P( X 8) 6 0, ,00 π 70, 9070, π ( 68,) π (,) P( X 7) 00 0, ,070 π 70, 9070, π ( 8,) π ( 68,) P( X 6) 68 0, ,090 π 70, 9070, π ( 0,) π ( 8,) P( X ) 96 0, , π 70, 9070, π ( 9,) π ( 0,) P( X ) 77 0, , π 70, 9070, π ( 6,) π ( 9,) P( X ) 0, , π 70, 9070, π (,) π ( 6,) P( X ) 90 0, ,7 π 70, 9070, π ( 70,) π (,) P( X ) 08 0, ,9 π 70, 9070, Tuloksen odotusarvo on E(X) P(X 0) 0 + P(X 9) P(X ),897,9.

37 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Pelin suunnittelija voi odottaa olevansa pelin jälkeen euroa voitolla, jos jokaisessa pelissä pelaaja häviää keskimäärin ,0 euroa Jos pelipanosta ei huomioida, pelaajan voiton odotusarvo on 0, , , ,. Etsitään pelin panos x, joka toteuttaa yhtälön 0, x 0,0. 0, x 0,0 x 0, + 0,0 0,0 Yhden pelin panokseksi pitää asettaa 0,0 euroa eli 0 senttiä.. Tilannetta voidaan ajatella toistokokeena, jossa toistoja on 60 ja "onnistumisen" eli pojan (tai vastaavasti tytön) syntymisen todennäköisyys on 0, (vastaavasti 0, 0,87). Syntyneiden poikien lukumäärä noudattaa binomijakaumaa parametreilla 60 ja 0,, syntyneiden tyttöjen lukumäärä puolestaan parametrein 60 ja 0,87. Poikien lukumäärän odotusarvo on 60 0, 0,78 ja tyttöjen 60 0,87 9,. Todennäköisyys, että syntyy yhtä monta tyttöä ja poikaa on samalla todennäköisyys, että poikia syntyy 0. Todennäköisyyslaskurilla tai binomitodennäköisyyden kaavalla saadaan 60 0 P(0 poikaa) 0, 0,87 0, ,0. 0 ( ) 0

38 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Haarautumiskohdissa vaihtoehdot ovat tasavertaiset, joten jos polku haarautuu kahtia, kummankin haaran todennäköisyys tulla valituksi on, ja jos kolmeen osaan, kunkin haaran todennäköisyys on. Pelaaja voi saavuttaa pistemäärän 0 kahdella tavalla: ) valitsemalla ensimmäisessä risteyskohdassa keskimmäisen kolmesta ja tämän jälkeen vasemmanpuoleisen kahdesta, tai ) valitsemalla ensimmäisessä risteyskohdassa oikeanpuoleisen kolmesta ja tämän jälkeen vasemmanpuoleisen kolmesta. Nämä tapahtumat ovat erilliset, joten yhteenlaskusäännöllä saadaan P(0 pistettä) P(ensin keskelle, sitten vasemmalle) + P(ensin oikealle, sitten vasemmalle) + 8 0,8.

39 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Lasketaan ensin muidenkin pistemäärien todennäköisyydet puumallista. P(0 pistettä) P(ensin oikealle, sitten keskelle) 9 P(0 pistettä) P(ensin vasemmalle, sitten ei enää tarvitse valita) + P(ensin keskelle, sitten vasemmalle) + P( pistettä) P(ensin oikealle, sitten oikealle) 9 Nyt pistemäärän odotusarvo on P(0 pistettä) 0 + P(0 pist.) 0 + P(0 pist.) 0 + P( pist.)

40 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Lasketaan ensin todennäköisyys, että pelaaja voittaa eli että nappulaa jää kokonaan ruudun sisälle. Tarkastellaan yhtä ruutua, ja siellä kolikon keskipisteen sijaintia. Nappula jää kokonaan ruudun sisälle silloin, kun pelinappulan pohjaympyrän keskipiste on kauempana kuin säteen eli mm päässä kaikista ruudun reunoista. Tämä tarkoittaa, että keskipiste on ruudun keskellä olevassa neliössä, jonka sivun pituus on 0 mm mm mm 0 mm. Todennäköisyys, että pelaaja voittaa, on siis ( ) 0 mm. 0 mm 6 ( ) Olkoon voiton määrä x euroa pelaajan voittaessa. Pelin tuloksen (euroina) odotusarvo on tällöin P(pelaaja häviää) ( 0,0) + P(pelaaja voittaa) x. Pelaaja häviää todennäköisyydellä. 6 6 Odotusarvo on nolla, kun ( 0,0) + x x 7, Peli on reilu, kun voitto on 7 euroa 0 senttiä.

41 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 7. a) Satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyydet ovat P( X ) P(silmäluku on, tai ) ja 6 P( X ) P(silmäluku on, tai 6), 6 joten sen odotusarvo on E(X) P(X ) ( ) + P(X ) ( ) +, (euroa) ja keskihajonta ( ) ( ) D( X ) +, (euroa). Satunnaismuuttujan Y pistetodennäköisyydet ovat P( Y ) P(silmäluku on, tai ) ja 6 P( Y ) P(silmäluku on, tai 6), 6 joten sen odotusarvo on E(Y) P(Y ) + P(Y ) +, (euroa) ja keskihajonta ( ) ( ) D( Y ) + 0, (euroa). b) Pelissä B voiton keskiarvo sadalla kierroksella vaihtelee enemmän.

42 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Olkoon satunnaismuuttuja X onnenpyörän pelaajalle antama voitto euroina, jossa pelimaksua ei ole huomioitu. Merkitään päävoittoa euroina kirjaimella x. Todennäköisyys, että pelaaja voittaa päävoiton, on punaisen sektorin keskuskulman ( astetta) suhde koko ympyrän keskuskulmaan (60 astetta) eli P( X x). 60 Vastaavasti yhden euron voiton todennäköisyys saadaan vihreiden sektoreiden osuutena ympyrästä eli P( X ) ja ilman voittoa jäämisen todennäköisyys sinisten sektoreiden osuutena: P( X 0) Olkoon satunnaismuuttuja Y yhden pyöräytyskerran tuotto huvipuistolle. Tuotto-odotus 70 asiakkaalta on tällöin 70 E(Y) ja yhtälöstä 70 E(Y) 0 saadaan E( Y ). Kun pelaaja ei pyöräytyskerrallaan voita mitään, pyöräytys tuottaa huvipuistolle euroa; siis P( Y ) P( X 0). Vastaavasti päävoiton pyöräyttäminen tarkoittaa huvipuistolle tappiota x euroa eli "tuottoa" (x ) x euroa, joten P( Y x) P( X x). Yhden euron voiton pyöräytyksessä huvipuistolle jää kahden euron pelimaksusta tuottoa yksi euro eli P( Y ) P( X ).

43 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Satunnaismuuttujan Y odotusarvo on siis E( Y) + ( x) + 8 x. Ratkaistaan päävoitto x yhtälöstä 8 x 8 x 8 x 0 E( Y ) : Päävoiton kasvattaminen heikentää pelin kannattavuutta huvipuiston kannalta. Päävoitto voi siis olla korkeintaan 0 euroa, jotta liiketoiminta olisi kannattavaa. 9. Merkitään p P(X ) ja p P(X ). Pistetodennäköisyyksien summa on yksi, joten + + p+ p. Lisäksi odotusarvon p + p tiedetään olevan. Ratkaistaan puuttuvat 0 pistetodennäköisyydet p ja p saadusta yhtälöparista: + + p + p p + p 0 Saadaan p ja p. 0

44 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kääntäen verrannollisuus tarkoittaa, että satunnaismuuttujan arvon ja sen todennäköisyyden tulo on vakio k, eli P( X ) k, P( X ) k ja P( X ) k. Yhtälöistä saadaan todennäköisyydet P( X ) k, P( X ) k ja P( X ) k. Koska pistetodennäköisyyksien summa on yksi, saadaan yhtälö k + k + k 6 6k+ k+ k 6 k 6 k 6 Siis P( X ) 6, P( X ) ja P( X ). Esitetään jakauma vielä taulukkona: x P(X x) 6 Jakauman odotusarvo on ,6.

45 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Satunnaismuuttujan X mahdollisia arvoja on 00. Koska jokainen on yhtä k todennäköinen, P( X ) jokaisella k,,, 00. Niinpä 00 satunnaismuuttujan X odotusarvo on 00 E( X ) ( ) Summa on geometrinen summa, jossa ensimmäinen jäsen on a, suhdeluku q ja jäsenten lukumäärä n 00. n q Geometrisen summan kaavalla Sn a saadaan. q Siis E( X ) ( ) ( ) ( ) 00 ( ) 00 ( )

46 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Jatkuva jakauma YDINTEHTÄVÄT. a) Funktio f ei ole tiheysfunktio, koska sen kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala ei ole (vaan ). Funktio g ei ole tiheysfunktio, koska sen kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala ei ole (vaan suurempi). Funktio h ei ole tiheysfunktio, koska se saa negatiivisia arvoja. b) Funktio k on tiheysfunktio, koska se ei saa missään negatiivisia arvoja ja lisäksi sen kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on.

47 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Funktio f on tiheysfunktio, jos sen arvot ovat ei-negatiivisia ja sen kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on. Funktion f arvo on nolla eli ei-negatiivinen välin x ulkopuolella, joten riittää tarkastella tilannetta kyseisellä välillä. Selvitetään, missä kohdissa alaspäin aukeava paraabeli y ( x ) leikkaa x-akselin. ( x ) 0 : x 0 x x ± Nollakohtien x ja x välissä alaspäin aukeava paraabeli on x- akselin yläpuolella eli ( x ) > 0. Näin ollen f(x) > 0 kaikilla < x <. Kaikkialla muualla funktion f arvo on nolla, joten f ei siis saa negatiivisia arvoja missään. Lasketaan sitten funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala. Pinta-alaa kertyy vain välillä x. Pinta-ala on ( x )dx ( x )dx ( ) / x x (8 ( 8 )). Koska funktio f ei saa negatiivisia arvoja ja lisäksi sen kuvaajan ja x- akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on yksi, se on tiheysfunktio.

48 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Lasketaan kysytyt todennäköisyydet tiheysfunktion avulla: /( x x ) (0 0 ( ( ) ) P( X 0) ( x )d x ( x )dx 0 0 /( x x ) 0 (8 (0 0)) 6 P(0 X ) ( x )d x ( x )dx

49 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Todennäköisyys P(X a) P(X < a) on sama kuin tiheysfunktion kuvaajan ja x-akselin väliin välillä x < a jäävän alueen pinta-ala eli P(X a) 0,7. b) Todennäköisyys P(X < b) P(X b) on sama kuin tiheysfunktion kuvaajan ja x-akselin väliin välillä x b jäävän alueen pinta-ala. Tämä koostuu kahdesta osasta, joiden pinta-alat voidaan laskea yhteen: P(X < b) P(X b) P(X < a) + P(a X b) 0,7 + 0,9 0,76. c) Lasketaan tapahtuman X > a todennäköisyys a-kohdassa selvitetyn vastatapahtuman X a todennäköisyyden avulla: P(X > a) P(X a) 0,7 0,6. d) Lasketaan tapahtuman X b todennäköisyys b-kohdassa selvitetyn vastatapahtuman X < b todennäköisyyden avulla: P(X b) P(X < b) 0,76 0,.

50 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kuvassa A on funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin välillä a x b jäävän alueen pinta-ala. Kun f on satunnaismuuttujan X tiheysfunktio, tämä pinta-ala on sama kuin todennäköisyys P(a X b), joka on sama kuin P(a < X b). Siis kuvaan A sopivat merkinnät II ja VI. Kuvassa B on funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin välillä x > b jäävän alueen pinta-ala, joka on sama kuin todennäköisyys P(X > b) eli merkintä V. Kuvassa C on funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin välillä x < b jäävän alueen pinta-ala, joka on sama kuin todennäköisyys P(X b) eli merkintä I. Kuvassa D on funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin väleillä x < a ja x > b jäävän kaksiosaisen alueen pinta-ala, joka on sama kuin todennäköisyys P(X < a tai X > b). Tapahtuman "X < a tai X > b" vastatapahtuma on tapahtuma a X b, jonka todennäköisyys näkyy kuvassa valkoisen alueen pinta-alana. Siis kuvaan merkittyä (väritettyä) pinta-alaa vastaa todennäköisyys P(X < a tai X > b) P(a X b) eli merkintä III. 6. a) Todennäköisyys P(X ) on kertymäfunktion F arvo kohdassa x, joka on noin 0,6. b) P(X < ) P(X ) F() 0,8 0,. c) P( < X ) P(X ) P(X ) 0,8 0,7 0,.

51 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 7. a) b) Tapahtumien todennäköisyydet saadaan tiheysfunktion f kuvaajan ja x- akselin väliin jäävinä pinta-aloina vastaavilla väleillä. Pinta-alaa kertyy vain välillä 0 x, sillä muualla f saa arvon nolla. P( x ) f ( x)dx xd x ( 0 ) / x 0 / x Tiheysfunktion f lauseke muuttuu kohdassa x, joten väli < x on käsiteltävä kahdessa palassa. P( < x ) f ( x)dx d ( ) x x+ x+ dx /( x ) ( / x x ) / x /( x x) ( ) ( ) Tapahtuman X > todennäköisyys saadaan nyt ilman integrointia vastatapahtuman avulla. P(X > ) P(X ) ( P(X ) + P( < X )) 9 ( ) 0

52 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktio f on tiheysfunktio, jos sen arvot ovat ei-negatiivisia ja sen kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on. Funktion f arvo on nolla eli ei-negatiivinen välin 0 x ulkopuolella, joten riittää tarkastella tilannetta kyseisellä välillä. Tarkastellaan funktiota välillä 0 x derivaatan avulla. Etsitään ensin derivaatan nollakohdat: D( x + x + ) x + 0, mistä saadaan x ± ± 0,8. Derivaatan nollakohdista välillä [0, ] on vain Tehdään funktion f kulkukaavio välillä [0,]. 0 f (x) + f(x) Lasketaan funktion f arvo kohdissa x 0 ja x. f(0) ja f() + + Kulkukaavion ja laskettujen arvojen perusteella funktion arvot ovat positiivisia, kun 0 x. Funktio f ei siis saa negatiivisia arvoja missään.

53 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Lasketaan sitten funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala. Pinta-alaa kertyy vain välillä 0 x. Pinta-ala on 0 ( x x ) x / ( x x x) d + + ( + + ( )). Koska funktio f ei saa negatiivisia arvoja ja lisäksi sen kuvaajan ja x- akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on yksi, se on tiheysfunktio.

54 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktio f on tiheysfunktio, jos sen arvot ovat ei-negatiivisia ja sen kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on. Funktion f arvo on nolla eli ei-negatiivinen välin 0 x ulkopuolella, joten riittää tarkastella tilannetta kyseisellä välillä. Eksponenttifunktio g(x) e x on kasvava, joten e x < e e kaikilla 0 x <. Näin ollen e e x > 0 eli funktion f arvot ovat positiivisia, kun 0 x <. Lisäksi f() e e 0, joten f ei siis saa negatiivisia arvoja missään. Lasketaan sitten funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala. Pinta-alaa kertyy vain välillä 0 x. Pinta-ala on 0 d ( 0 ). 0 x x ( ) / ( ) 0 e e x ex e e e e e Koska funktio f ei saa negatiivisia arvoja ja lisäksi sen kuvaajan ja x- akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on yksi, se on tiheysfunktio. Lasketaan vielä kysytty todennäköisyys tiheysfunktion avulla. x x e P( < X ) ( e e ) dx ( ) ( ). / ex e e e e e e

55 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Symmetrian vuoksi funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alasta puolet on y-akselin vasemmalla ja puolet oikealla puolella. Siis P( X 0). b) Symmetrian vuoksi funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin välillä [, ] jäävän alueen pinta-alasta, joka on 0,68, puolet on y-akselin 0,68 vasemmalla ja puolet oikealla puolella eli P(0 < X ) 0,. Siispä P(X ) P(X 0) + P(0 < X ) 0, + 0, 0,8. c) P(X ) P(X < ) P(X ) 0,8 0,6. d) Kuten kohdissa a ja b, symmetrian vuoksi P( X 0) ja 0,68 P( X < 0) 0,, joten P(X ) P( X < 0) + P(X 0) 0, + 0, 0,8. Saman tuloksen saa symmetrian ja b-kohdan avulla myös laskemalla P(X ) P(X ) 0,8. e) P( < X 0) P( < X < ) + P( X 0) P( X ) + P( X 0) 0, + 0, 0,8. f) Symmetrian vuoksi P(0 X ) P( X 0) P( < X 0), joka laskettiin e-kohdassa, joten P(0 X ) 0,8. Niinpä P( X > ) P( X 0) P(0 X ) 0,8 0,0.

56 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) ) Todennäköisyys P(X > 0,) on tiheysfunktion f kuvaajan ja x-akselin väliin välillä x > 0, jäävän alueen pinta-ala. Koska f(0,) 0,6 ja tiheysfunktion kuvaaja on välillä x > 0, ensin laskeva suora, joka leikkaa x-akselin kohdassa x, ja sen jälkeen itse x-akseli, mainittu alue on kolmio, jonka korkeus on 0,6 ja kanta 0, 0,6. Niinpä 0,6 0,6 pinta-alaksi saadaan P( X > 0,) 0,8. ) Luetaan kertymäfunktion kuvaajalta arvo F(0,) 0,8. Tämä on todennäköisyys P(X 0,), joten kysytty todennäköisyys saadaan vähentämällä kertymäfunktion arvo ykkösestä: P(X > 0,) P(X 0,) F(0,) 0,8 0,. b) Tiheysfunktion avulla: luetaan kuvaajalta arvot f( 0,) 0,8 ja f() 0 sekä lisäksi f(0). Kysytty todennäköisyys eli funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin välillä 0, < x jäävän alueen pinta-ala saadaan laskemalla yhteen välillä 0, < x 0 muodostuvan puolisuunnikkaan ja välillä 0 < x muodostuvan kolmion pinta-alat. Siispä 0,8 + P( 0, < X ) 0, + 0,68. Kertymäfunktion avulla: luetaan kuvaajalta arvot F( 0,) 0, ja F(). Kysytty todennäköisyys on P( 0, < X ) F() F( 0,) 0, 0,7.

57 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertymäfunktio F on tiheysfunktion f (eräs) integraalifunktio välillä 0 < x <. Kuvassa A tiheysfunktio f on välillä 0 < x < vakio, joten kertymäfunktio F on tällä välillä ensimmäisen asteen polynomi, jonka kuvaaja on suora. Siis kuvan A tiheysfunktiota vastaa kuvan II kertymäfunktio. Kuvassa B tiheysfunktion f kuvaaja on välillä 0 < x < suora, joten tällä välillä tiheysfunktio f on ensimmäisen asteen polynomi. Siispä kertymäfunktio F on tällä välillä toisen asteen polynomi, jonka kuvaaja on paraabeli. Siis kuvan B tiheysfunktiota vastaa kuvan I kertymäfunktio. Kuvassa C tiheysfunktion f arvot ovat lähellä nollaa välin 0 < x < päätepisteiden lähellä ja suurempia välin keskiosassa. Kertymäfunktiossa F tämän pitäisi näkyä siten, että sen arvot kasvavat hitaammin välin päätepisteiden lähellä ja jyrkemmin välin keskiosassa. Kuvan C tiheysfunktiota vastaa kuvan III kertymäfunktio.

58 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Koska satunnaismuuttujan X arvot ovat välillä [0, ], sen tiheysfunktio on nolla tämän välin ulkopuolella. Välillä [0, ] tiheysfunktion arvot ovat einegatiivisia ja määrätty integraali on yksi. Etsitään tämän perusteella kaikki sopivat vakiot a. 0 ( ) / ( ) f ( x)dx x + a d x x + a x + a (0+ 0) + a a a a a 0 0 a + a a + a a a+ 0 a Löydettiin a, jolloin x + a x + 0 kaikilla 0 x ja X:n a x+, kun 0 x, tiheysfunktio on siis f( x) 0, kun x< 0 tai x>. Kysytty todennäköisyys on 0 ( x ) x ( x x) P(0 X ) d (0 0). + /

59 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktio f on tiheysfunktio, jos sen arvot ovat ei-negatiivisia ja määrätty dx. Etsitään tämän perusteella kaikki sopivat integraali ax( x ) vakiot a. 0 0 ( ) ax x ( ) 0 dx ax ax dx / ( a x ax ) 0 a 8 a (0 0) a a a Koska x 0, kun x tai x, niin ylöspäin aukeava paraabeli x saa negatiivisia arvoja kaikilla 0 < x < ja arvon nolla välin päätepisteissä. Koska myös 0 x kaikilla 0 x, on lausekkeiden tulolle voimassa ( ) 0 x x kaikilla 0 x. 0 x Siispä ( x f x ) 0, kun 0 x, ( ) on tiheysfunktio. 0, kun x< 0 tai x>,

60 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kysytty todennäköisyys on P(0 < X ) ( x( x ) ) dx 0 ( x + x) dx 0 / ( x x ) (0 + 0)

61 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktio f on tiheysfunktio, jos sen arvot ovat ei-negatiivisia ja määrätty integraali vakiot a. π π cos x a dx. Etsitään tämän perusteella kaikki sopivat π cos x a dx π π a cos x dx π π a / sin x a sin sin a( ( )) a a a π ( π ( π )) Tarkistetaan sitten lausekkeen cos x merkki, kun π x π eli kun π x π. Kosinin on kehäpisteen x-koordinaatti. Näin ollen π π välillä x pätee cos x 0. Siis cos x 0 välillä π x π eli välillä π x π. Molemmat ehdot, funktion ei-negatiivisuus ja pinta-ala, toteutuvat, kun cos x, kun π x π, a, joten funktio f ( x) on 0, kun x< π tai x> π, tiheysfunktio.

62 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktio f on tiheysfunktio, jos sen arvot ovat ei-negatiivisia ja määrätty integraali ( ax + d ) x. Etsitään tämän perusteella kaikki sopivat vakiot a. 0 0 ( ) / ( ) ax + dx a x + x a + (0+ 0) a + a + a 0 Tarkistetaan funktion merkki, kun a. Kuvaaja laskeva suora ja leikkaa x-akselin kohdassa x : + 0. Siis välillä 0 x pätee 0. x + y x+ on Funktio x+, kun 0 x, f( x) 0, kun x< 0 tai x>, on tiheysfunktio. Selvitetään kertymäfunktion F lauseke välillä 0 x integroimalla tiheysfunktiota f ja määräämällä integroimisvakiot siten, että F(0) 0 ja F(). ( x + )dx x + x+ C Jotta olisi F(0) 0, täytyy siis olla C 0 C 0 Tällöin myös ehto F() toteutuu, koska + +.

63 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Selvitetään sitten kertymäfunktion lauseke välin 0 x ulkopuolella. Koska tiheysfunktion f ja x-akselin väliin jää pinta-alaa vain välillä 0 x, on P(X x) 0, kun x < 0. Siispä myös F(x) 0, kun x < 0. Vastaavasti kaikilla x > on P(X x) ja siksi F(x), kun x >. Siis kertymäfunktio on 0, kun x < 0, Fx x+ x x, kun x >. ( ), kun 0, 7. Selvitetään kertymäfunktion F lauseke välillä x e integroimalla tiheysfunktiota f ja määräämällä integroimisvakiot siten, että F() 0 ja F(e ). d d ln x x x x x + C Jotta olisi F() 0, täytyy siis olla ln + C 0 C 0 Tällöin myös ehto F(e ) toteutuu, koska ln e. Selvitetään sitten kertymäfunktion lauseke välin x e ulkopuolella. Koska tiheysfunktion f ja x-akselin väliin jää pinta-alaa vain välillä x e, on P(X x) 0, kun x <. Siispä myös F(x) 0, kun x <. Vastaavasti kaikilla x > e on P(X x) ja siksi F(x), kun x > e. Siis kertymäfunktio on 0, kun x, F x x < x< e, kun x e. ( ) ln, kun, Kysytty todennäköisyys on kertymäfunktion avulla P(0 < X ) F() F(0) ln 0 ln 0, ,.

64 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 8. a) Koska renkaat ovat yhtä leveitä, niitä on kymmenen ja taulun säde on 0 cm, tapahtuma "osuu 0:een" on sama kuin 0 r (cm) ja vastaavasti "osuu 9:ään tai 0:een" on sama kuin 0 r (cm). Kysytty todennäköisyys saadaan integroimalla tiheysfunktiota: P(0 r ) ( 00 r ) dr /( 00r r ) 0 ( 00 (0 0) ) ,96. b) Kyseessä on toistokoe, jossa toistoja on viisi ja onnistumisen eli 9:ään tai 0:een osumisen todennäköisyys on 96 0,96. Tapahtuman 000 "ainakin osuu 9:ään tai 0:een" todennäköisyys on P(osuu tai osuu tai osuu ) P(osuu ) + P(osuu ) + P(osuu ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 96 0, , 96 0, , 96 0, ,8. Sama tulos saadaan todennäköisyyslaskurilla jakaumasta Bin(; 0,96), koska toistokokeessa onnistumisten lukumäärä noudattaa binomijakaumaa.

65 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Tiheysfunktion kuvaaja on välillä 0 x 0 nouseva suora, joka kulkee 0, kautta eli suora, jonka kulmakerroin on pisteiden (0, 0) ja ( ) 0 0 ja joka kulkee origon kautta. Suoran yhtälö on siten y 0 00 Tällä välillä tiheysfunktion lauseke on siis f ( x) x. 00 x. 00 Vastaavasti välillä 0 x 0 tiheysfunktion kuvaaja on laskeva suora, 0, ja (0, 0) kautta. Näiden pisteiden kautta joka kulkee pisteiden ( ) kulkevan suoran kulmakerroin on ja yhtälö näin ollen y 0 ( x 0) eli y x + Tällä välillä tiheysfunktion 00 lauseke on siis f( x) x Muualla kuin näillä väleillä tiheysfunktio on nolla. Niinpä tiheysfunktio on x, kun 0 x 0, 00 f( x) x+, kun 0 < x 0, 00 0, kun x< 0 tai x> 0. Selvitetään kertymäfunktion F lauseke integroimalla tiheysfunktiota f erikseen eri väleillä ja määräämällä integroimisvakiot siten, että F(0) 0 ja F(0). Välillä 0 x 0: xdx x + C Jotta F(0) 0, täytyy olla C 0 eli F x ( ) x, 00 kun 0 x 0. Välillä 0 < x 0: ( x + )dx x + x+ D Jotta F(0), on oltava D, mistä saadaan D. 00 Siis F( x) x + x, kun 0 < x Koska tiheysfunktion f ja x-akselin väliin jää pinta-alaa vain välillä 0 x 0, on P(X x) 0, kun x < 0. Siispä myös F(x) 0, kun x < 0. Vastaavasti kaikilla x > 0 on P(X x) ja siksi F(x), kun x > 0.

66 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Siis kertymäfunktio on 0, kun x < 0, x, kun 0 x 0, 00 F( x) x x, kun 0 x 0, 00 + <, kun x > 0. Lasketaan vielä odotusarvo ja keskihajonta ohjelman avulla. Odotusarvo on ( ) x f ( x)dx x xdx+ x x+ dx 0 ja keskihajonta 0 ( x 0 ) f( x)dx ( ) ( ) ( ) x 0 xdx+ x 0 x+ dx ,08.

67 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Funktio f on tiheysfunktio, jos sen arvot ovat ei-negatiivisia ja määrätty integraali a ( x + x + 8 x ) d x. Etsitään tämän perusteella kaikki 0 sopivat vakiot a. 8 a( x + x + 8x) dx a/ ( x + x + x ) a 0 0 Yhtälöstä a 8 ratkaistaan a. 8 Tarkistetaan vielä, että funktion f arvot ovat ei-negatiivisia löydetyllä vakion arvolla a. Ratkaistaan funktion f nollakohdat: 8 ( x + x + 8x) 0 8 x( x + x+ 8) 0 x 0 tai x + x+ 8 0 x 0 tai x tai x Välillä 0 < x < ei ole nollakohtia ja funktio f on polynomifunktiona jatkuva, joten se ei vaihda merkkiään tällä välillä. Koska esim. f () 9 > 0, funktion arvot pysyvät positiivisina välillä 0 < x <. 8 Muualla funktion f arvo on nolla, joten f ei saa missään negatiivisia arvoja. Niinpä f on tiheysfunktio, kun a. 8

68 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Satunnaismuuttujan X odotusarvo on E( X) x f ( x)dx x ( x + x + 8x) dx, ja keskihajonta DX ( ) ( x E( x)) f( x)dx ( ) ( x ) x + x + 8x dx 9 9 0, ,87.

69 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Taulun säde on 0 cm ja kokonaispinta-ala A π 0 00π (cm ). Todennäköisyys, että tikka osuu korkeintaan x cm päähän reunasta on taulun ulkoreunalla olevan x cm levyisen renkaan pinta-alan osuus kokonaispinta-alasta: P(etäisyys reunasta x) π 0 π (0 x) 00π 0x x 00 x x. 00 Tämä on satunnaismuuttujan x kertymäfunktio välillä 0 x 0 (cm). Etäisyys ei voi olla negatiivinen, joten F(x) P( x x) 0, kun x < 0. Toisaalta etäisyys taulun reunasta on varmasti korkeintaan taulun säde 0 cm, joten F(x) P( x x), kun x > 0. Kertymäfunktion lauseke on siis 0, kun x < 0, F( x) x x, kun 0 x 0, 00, kun x > 0. Tiheysfunktio saadaan derivoimalla kertymäfunktion lauseketta vastaavilla avoimilla väleillä: D(0) 0, kun x< 0, x x x D f ( x) D 00, kun 0 < x< 0, 0 () 0, kun x> 0. Kohdissa x 0 ja x 0 tiheysfunktion arvo voidaan valita vapaasti. 0, kun x < 0, Valitaan tiheysfunktioksi f( x) x, kun 0 x 0, 0 0, kun x > 0.

70 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Satunnaismuuttujan x odotusarvo on 0 0 E( x) 0 x f ( x)dx ( x x ) dx,.., ja keskihajonta Dx ( ) 0 ( ( )) ( )d x Ex f x x 0 0 ( ) x x x 0 ( ) d ,70...,6.

71 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Hahmotellaan tilanteesta kuva. Pyörähdyskappaleen tilavuus saadaan integroimalla poikkileikkausympyrän pinta-alaa välillä 0 y h, missä h on kappaleen korkeus. Poikkileikkausympyrän säde on funktion kuvaajan pisteen (x, f(x)) etäisyys y-akselista, eli r x. Poikkileikkausympyrän pinta-ala on siis πr πx πy. Pokaalissa olevan nesteen määrän (tilavuuden) V ja nestepinnan korkeuden h välillä on siis yhteys h h π π d /(π ). 0 0 V y y y h Tästä saadaan nestepinnan korkeudeksi h V. π Koska nesteen määrä V noudattaa tasajakaumaa välillä [0, 0], sen, kun 0 v 0, tiheysfunktio on fv () v 0 0, kun v< 0 tai v> 0, 0, kun v < 0, ja kertymäfunktio F ( ) V v v, kun 0 v 0, 0, kun v > 0. Tehtävänä on selvittää nestepinnan korkeuden X kertymäfunktion F ( y) P( X y) lauseke. X Koska nestepinnan korkeudeksi saatiin aiemmin h V, niin nyt π

72 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty P( X y) P V y. π Ratkaisemalla epäyhtälöstä π V y tilavuus V saadaan edelleen π π P V y P( V y ) FV ( y ). π Siis F ( ) ( π ) π X y FV y y välillä 0 y M, missä M on nesteen 0 suurin mahdollinen korkeus. Koska nesteen suurin mahdollinen tilavuus on 0, saadaan yhtälöstä h V suurin korkeus: π M 0 0. π π Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on siis 0, kun x < 0, π 0 0 π, kun x 0 >. π F( x) x, kun 0 x, Tiheysfunktio saadaan derivoimalla kertymäfunktiota vastaavilla avoimilla väleillä: D(0) 0, kun x< 0, π π π D() 0, kun x 0 >. π f( x) D x x, kun 0 < x<, Kohdissa x 0 ja x 0 tiheysfunktion arvo voidaan valita vapaasti. π Satunnaismuuttujan X tiheysfunktioksi saadaan siis funktio 0, kun x< 0 tai x> 0, f( x) π π x, kun 0 x 0. 0 π

73 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Normaalijakauma YDINTEHTÄVÄT 6. a) Olkoon satunnaismuuttuja X osallistujan testitulos (metreinä), jolloin X noudattaa normaalijakaumaa parametreilla μ 0 ja σ 0 eli X ~ N(0, 0). Todennäköisyyslaskurilla saadaan P(X > 700) 0,86 6 %. Testiin osallistuneista noin 6 % juoksi yli 700 metriä. b) Todennäköisyyslaskurilla saadaan P(X < 000) 0,86 6 %. Testiin osallistuneista noin 6 % juoksi alle 000 metriä. Sama tulos saadaan myös symmetrian ja a-kohdan perusteella: koska tulokset 000 ja 700 ovat yhtä kaukana odotusarvosta 0, on P(X < 000) P(X > 700) 0,86 6 %. c) Todennäköisyyslaskurilla saadaan P(000 X 700) 0, %. Testiin osallistuneista noin 68 % juoksi metriä. Sama tulos saadaan myös a- ja b-kohtien avulla: P(000 X 700) P(X > 700) P(X < 000) 0,86 0,86 0, %. 6. a) Olkoon satunnaismuuttuja X kahvin määrä paketissa (grammoina), jolloin X noudattaa normaalijakaumaa parametreilla μ 0 ja σ 0 eli X ~ N(0, 0). Todennäköisyyslaskurilla saadaan P(X < 0) 0,86 6 %. Kahvipaketeista noin 6 % on massaltaan alle 0 grammaa. b) Todennäköisyyslaskurilla saadaan P(X > 0) 0,07, %. Kahvipaketeista noin, % on massaltaan yli 0 grammaa. c) Todennäköisyyslaskurilla saadaan P(00 X 0) 0,77 8 %. Kahvipaketeista noin 8 % on massaltaan 00 0 grammaa.

74 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Olkoon satunnaismuuttuja X testin tulos, jolloin X ~ N(8, 7). Etsitään pistemäärä n, jolle P(X > n) 0,. Todennäköisyyslaskurilla saadaan n 6,98 7. Siis pistemäärä, jonka ylittää 0 % testin tuloksista, on 7 pistettä. 66. a) Olkoon satunnaismuuttuja X lampun kestoikä (tunteina), jolloin X noudattaa normaalijakaumaa parametreilla μ 000 ja σ 00 eli X ~ N(000, 00). Etsitään kestoikä a, jolle P(X < a) 0,9. Todennäköisyyslaskurilla saadaan a 697, Siis 9 % lampuista kestää vähemmän kuin 7000 tuntia. b) Etsitään kestoikä a, jolle P(X > a) 0,60. Todennäköisyyslaskurilla saadaan a 69, Siis 60 % lampuista kestää yli 700 tuntia. c) Etsitään kestoikä a, jolle P(X > a) 0,0. Todennäköisyyslaskurilla saadaan a 76, 700. Parhaat % lampuista kestävät vähintään 700 tuntia. 67. Olkoon satunnaismuuttuja X autoilijan nopeus (km/h) mittauspisteessä, jolloin X noudattaa normaalijakaumaa parametreilla μ 69, ja σ 7, eli X ~ N(69,; 7,). Todennäköisyyslaskurilla saadaan P(X > 70) 0,67 0,67. Autoilijoista noin 6,7 % ajoi yli sallitun nopeusrajoituksen.

75 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kuvassa C väritetty alue vastaa todennäköisyyttä P(Z <,). Koska Z noudattaa standardinormaalijakaumaa eli Z ~ N(0, ), taulukon avulla saadaan P(Z <,) P(Z,) Φ(,0) 0,9. b) Kuvassa A väritetty alue vastaa todennäköisyyttä P(Z 0,7). Tapahtuman Z 0,7 vasta- eli komplementtitapahtuma on Z < 0,7, jonka todennäköisyys saadaan taulukon avulla: P(Z < 0,7) P(Z 0,7) Φ(0,7) 0,77. Niinpä kysytty todennäköisyys on P(Z 0,7) P(Z < 0,7) 0,66. c) Kuvassa B väritetty alue vastaa todennäköisyyttä P(Z ). Symmetrian vuoksi tapahtuman Z todennäköisyys on sama kuin tapahtuman Z todennäköisyys, joka saadaan komplementtisäännön ja taulukon avulla kuten b-kohdassa: P(Z ) P(Z ) P(Z < ) P(Z ) Φ() 0,8 0,87. d) Kuvassa D väritetty alue vastaa todennäköisyyttä P(Z > 0,). Symmetrian vuoksi tapahtuman Z > 0, todennäköisyys on sama kuin tapahtuman Z < 0, todennäköisyys, joka saadaan taulukon avulla: P(Z > 0,) P(Z < 0,) P(Z 0,) Φ(0,) 0, a) Koska P(Z a) Φ(a), etsitään lukua a, jolle Φ(a) 0,6. Taulukosta löydetään Φ(0,8) 0,60 0,6. Koska taulukossa arvot Φ(0,7) 0,606 ja Φ(0,9) 0,6 ovat selvästi kauempana arvosta 0,6 kuin Φ(0,8) 0,60, arvioidaan, että a 0,8. b) Koska P(Z a) P(Z < a) P(Z a) Φ(a), etsitään lukua a, jolle Φ(a) 0, eli Φ(a) 0,67. Taulukosta löydetään Φ(0,) 0,6700. Tämän perusteella arvioidaan, että a 0,.

76 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 70. a) Kuvassa B väritetty alue vastaa todennäköisyyttä P(0, < Z ). Koska Z noudattaa standardinormaalijakaumaa eli Z ~ N(0, ), taulukoitujen kertymäfunktion arvojen avulla saadaan P(0, < Z ) P(Z ) P(Z 0,) Φ() Φ(0,) 0,977 0,69 0,88. b) Kuvassa D väritetty alue vastaa todennäköisyyttä P(, < Z <,). Symmetrian vuoksi tämä on sama kuin P(0 < Z <,), joka saadaan kertymäfunktion arvojen avulla: P(, < Z <,) P(0 < Z <,) P(0 < Z,) (Φ(,) Φ(0)) (0,9 0,000) 0,866. c) Kuvassa C väritetty alue vastaa todennäköisyyttä P( 0, Z 0). Symmetrian vuoksi tämä on sama kuin P(0 Z 0,), joka saadaan kertymäfunktion arvojen erotuksena: P( 0, Z 0) P(0 Z 0,) P(0 < Z 0,) Φ(0,) Φ(0) 0,987 0,000 0,0987. d) Kuvassa A väritetty alue vastaa todennäköisyyttä P(0 Z <,), Todennäköisyys saadaan kertymäfunktion arvojen erotuksena: P(0 Z,) P(0 < Z,) Φ(,) Φ(0) 0,89 0,000 0,9.

77 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Piirretään tilanteesta mallikuva. Symmetrian vuoksi P(, < Z 0) on sama kuin P(0 Z <,). Todennäköisyys P(0 Z <,) saadaan kertymäfunktion arvojen erotuksena: P(, < Z 0) P(0 Z <,) P(0 < Z,) P(Z,) P(Z 0) Φ(,) Φ(0) 0,989 0,000 0,89.

78 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Piirretään tilanteesta mallikuva. Symmetrian vuoksi P(, Z < 0,) on sama kuin P(0, < Z,), joka saadaan kertymäfunktion arvojen erotuksena: P(, Z < 0,) P(0, < Z,) Φ(,) Φ(0,) 0,9 0,69 0,7.

79 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Etsitään lukua a, jolle Φ(a) P(Z a) P(Z < a) 0,. Piirretään avuksi mallikuva. Arvo 0, on vähemmän kuin 0,, joten a < 0. Määritetään luku a vastalukunsa a avulla. Symmetrian vuoksi P(Z < a) P(Z > a) 0,. Siis P(Z a) 0, 0,86, eli Φ( a) 0,86. Taulukosta löydetään Φ(,08) 0,899. Tämän perusteella arvioidaan, että a,08 eli että a,08.

80 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Piirretään mallikuva tilanteesta P(Z > a) 0,7. Etsitään lukua a, jolle Φ(a) P(Z a) P(Z > a) 0,7 0,8. Tämä on vähemmän kuin 0,, joten a < 0. Määritetään luku a vastalukunsa a avulla, joka on positiivinen. P(Z > a) P(Z < a) Φ( a) 0,7 Taulukosta löydetään Φ(0,8) 0,790 ja Φ(0,9) 0,7. Näistä ensimmäinen on selvästi lähempänä arvoa 0,7 kuin jälkimmäinen, joten voidaan arvioida, että a 0,8 eli että a 0,8.

81 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Piirretään mallikuva tilanteesta P( a Z a) 0,. Symmetrian vuoksi P( a Z a) P(0 Z a) 0,, mistä saadaan P(0 Z a) 0,7. Edelleen koska P(Z 0) 0,, saadaan P(Z a) P(Z 0) + P(0 Z a) 0, + 0,7 0,67. Etsitään siis lukua a, jolle Φ(a) 0,67. Taulukosta löydetään Φ(0,) 0,6700. Voidaan siis arvioida, että a 0,. Toinen tapa: Selvitetään luku a tapahtuman " a Z a" vastatapahtuman "Z < a tai Z > a" ja symmetrian avulla. P(Z < a tai Z > a) P( a Z a) P( a < Z a) 0, 0,66. Symmetrian vuoksi P(Z > a) on tästä puolet eli 0, ja niinpä P(Z a) 0, 0,67. Etsitään siis lukua a, jolle Φ(a) 0,67. Taulukosta löydetään Φ(0,) 0,6700. Voidaan siis arvioida, että a 0,.

82 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Normittamalla saadaan satunnaismuuttuja Z X 0 jolloin satunnaismuuttujan X arvoa vastaava arvo 0. Niinpä P(X < ) P(Z < ) Φ() 0,8. b) P( < X 0) 0 X ( ) ( Z ) P < P < c) Todennäköisyys saadaan laskemalla kertymäfunktion Φ arvojen erotus. P ( < Z ) P( Z,...) P( Z 0,...) Φ(,..) Φ (0,..) 0,908 0,69 0,789 0,8. Kertymäfunktion arvoa kohdissa ja ei löydy taulukosta, joten joudutaan käyttämään kertymäfunktion arvoja kohdissa 0, ja,. Tämän vuoksi käytettyjen arvojen neljä desimaalia eivät kaikki ole oikein, joten myös vastausta on pyöristettävä. P(00 < X 0) 00 0 X ( ) ( Z ) P < P < 0 Symmetrian perusteella P( < Z 0 ) P( 0 Z < ) Todennäköisyys saadaan laskemalla kertymäfunktion Φ arvojen erotus. Φ(, ) Φ(0) 0,908 0, 0,08 0,.

83 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Olkoon X väestöstä satunnaisesti poimitun henkilön pistemäärä testissä, jolloin X ~ N(00, ). Etsitään lukua a, jolle P(X a) 0,98. Ohjelman avulla löydetään a 0,806 Jäseneksi pääsee siis pistemäärällä. 7. Olkoon X keksipakkauksen massa grammoina, jolloin X ~ N(0, 6). Ohjelman avulla saadaan P(X < 00) P(X 00) 0, % ja P(00 X 0) 0,889 9 %. 76. a) Olkoon X kokeen pistemäärä, jolloin X ~ N(8,; 8,0). Etsitään lukua a, jolle P(X a) 0 0,0. Ohjelman avulla löydetään a,9. Kysytty läpäisyraja on pistettä. b) Etsitään lukua a, jolle P(X a) 0,. Ohjelman avulla löydetään a 8, 8. Kysytty kiitettävän arvosanan raja on 8 pistettä.

84 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Olkoon X väestöstä satunnaisesti poimitun henkilön älykkyysosamäärä, jolloin oletuksen mukaan X ~ N(00, ). Etsitään lukua a, jolle P(00 a X 00 + a) 0,. Piirretään mallikuva tilanteesta. Koska jakauma on symmetrinen odotusarvon 00 suhteen ja koska rajat 00 a ja 00 + a ovat yhtä kaukana odotusarvosta, niin P(X > 00 + a) P(X < 00 a) 0,. Ohjelman avulla löydetään P(X 89,88 ) 0,, joten a 0 ja kysytty väli siis suunnilleen [90, 0]. Tarkistus ohjelman avulla näyttää, että P(90 X 0) 0,9 ja P(89 X ) 0,6 ja vaikkapa P(89,88 X 0,) 0,00 Väli, johon täsmälleen puolet väestöstä kuuluu, voidaan selvittää vain jollakin halutulla tarkkuudella, ei tarkasti. 78. Olkoon satunnaismuuttuja X osallistujista satunnaisesti poimitun henkilön pistemäärä matematiikan ylioppilaskokeessa, jolloin oletuksen mukaan X ~ N(; 9,). Etsitään lukua a, jolle P(X a) 0,0. Ohjelman avulla löydetään a 7,66 8. Kysytty laudaturin pisteraja on siis 8 pistettä.

85 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Piirretään mallikuva tilanteesta annetuilla tiedoilla X ~ N(0, ), P( X ) 0,68 ja P( X ) 0,9. Kumpikin annettu väli on symmetrinen odotusarvon 0 suhteen, joten normaalijakauman symmetrisyyden vuoksi 0,68 P( X 0) P(0 X ) 0, ja 0,9 P( X 0) P(0 X ) 0, 7. Niinpä P( X ) P(0 X ) P(0 X < ) 0,7 0, 0,. b) Selvitetään todennäköisyys symmetrian avulla. Tapahtuman X vastatapahtuman todennäköisyys on P(X < tai X > ) P( X ) 0,9 0,0. 0,0 Jakauman symmetrian vuoksi P( X < ) P( X > ) 0,0. Niinpä P(X ) P(X > ) 0, Olkoon X ajomäärä kilometreinä, jonka satunnaisesti valittu kyseisen valmistajan kesärengas kestää turvallisena, jolloin valmistajan tutkimuksen mukaan X ~ N(6 000, 00). Ohjelman avulla saadaan P(X 0 000) 0,09.

86 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Olkoon X betonisäkin massa kilogrammoina, jolloin X ~ N(μ; 0,9) ja odotusarvo μ pitäisi valita siten, että P(X ) 0,9 eli että P(X < ) 0,0. Ratkaistaan ohjelmalla keskiarvo μ, jolle P(X < ) 0,0, kun keskihajonta on 0,9. Saadaan μ 6,8 6,. (Ratkaistaan numeerisesti yhtälö Normaalijakauma(x, 0.9, ) 0,0.) TAI Normitetaan satunnaismuuttuja X ja esitetään todennäköisyys P(X ) standardinormaalijakauman avulla. X μ μ μ P( X ) P P Z 0,9 0,9 0,9 Symmetrian vuoksi P μ Z P μ Z μ μ P Z > < < Φ 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 Etsitään luku a, jolle Φ(a) 0,9. Taulukon mukaan Φ(,69) 0,9. μ Ratkaistaan odotusarvo μ yhtälöstä,69, jolloin saadaan 0,9 μ 0,9,69 + 6,80 6,. Betonisäkin tavoiteltavaksi massaksi on siis säädettävä 6, kg.

87 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Olkoon X aika kuukausina, jonka kiharrin toimii vioittumatta, jolloin X ~ N(7,6;,).Todennäköisyys, että kiharrin joutuu takuukorjaukseen eli vioittuu vuoden kuluessa on P(X < ). Ohjelman avulla saadaan P(X < ) P(X ) 0,096 9,6 %. Tämän perusteella noin 9,6 % kihartimista joutuu takuukorjaukseen. b) Ohjelman avulla saadaan P(X > ) P(X ) 0,068 6,8 %. Tämän perusteella noin 6,8 % kihartimista toimii vioittumatta yli vuotta. 8. Olkoon X satunnaisesti valitun huhtikuun vuorokauden keskilämpötila Celsius-asteina kyseisellä mittausasemalla, jolloin X ~ N(6,0; σ). Tehtävänä on etsiä sellainen keskihajonta σ, että P(,0 X 9,0) 0,90. Koska rajat,0 ja 9,0 ovat yhtä kaukana odotusarvosta 6,0, on 0,90 P( X <,0) P( X > 9,0) 0,0. Ratkaistaan keskihajonta σ tiedon P(X 9,0) 0,9 avulla. Ratkaistaan ohjelmalla keskihajonta σ, jolle P(X < 9) 0,9, kun odotusarvo on 6. Saadaan σ,8,8. (Ratkaistaan numeerisesti yhtälö Normaalijakauma(6, x, 9) 0,9.) TAI Normitetaan satunnaismuuttuja X ja esitetään todennäköisyys P(X 9,0) standardinormaalijakauman avulla. X 6,0 9,0 6,0,0,0 P( X 9,0) P( ) P( Z ) Φ ( ) 0,9. σ σ σ σ Taulukon mukaan Φ(,69) 0,9, joten,0,69, josta saadaan σ σ,889,8. Siis kysytyn keskilämpötilan keskihajonta on noin,8 astetta.

88 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sadevesiastian pohjan säde on 6 cm, joten astian tilavuus on π ,6 cm 6,0 litraa. Koska mm sade tuo astiaan 8 litraa vettä, astia täyttyy, kun sademäärä ylittää 6,0..., mm. 8 Olkoon X kuukauden sademäärä paikkakunnalla, jolloin X ~ N(, 9). Ohjelman avulla saadaan P(X >,76) 0,86 0,8. Astia siis täyttyy kuukauden aikana todennäköisyydellä 0,8. 8. Lasketaan ensin pallon säde r, kun pallon tilavuus V p π r on tavoitteena oleva 000 litraa eli 000 dm, ratkaisemalla r yhtälöstä π 000. r Saadaan r 000 0, (dm) eli r 06,078 cm, jolloin π tavoiteltu halkaisija on d r,6 cm, cm. Lasketaan sitten hyväksyttyjen tilavuuksien rajat. V ala (litraa) ja V ylä (litraa) Ratkaistaan näitä vastaavat säteet. π rala 9 r 9 ala 0,66... (dm) 0,66... (cm) π π rylä 06 r 06 ylä 0,66... (dm) 06,6... (cm) π Saadaan siis hyväksymisrajoja vastaavat halkaisijat d ala r ala, cm, cm ja d ylä r ylä,07 cm, cm.

89 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Lasketaan sitten todennäköisyys, että tuotettu säiliö hyväksytään. Olkoon X säiliön halkaisijan poikkeama (senttimetreinä) tavoitellusta arvosta d,6 cm, jolloin X ~ N(0;,7) ja toteutunut halkaisija on d + X. Tämän pitää olla yllä laskettujen arvojen d ala ja d ylä välissä eli on oltava d ala d + X d ylä, mikä voidaan kirjoittaa muotoon d ala d X d ylä d. Säiliö siis hyväksytään, jos poikkeama X on arvojen d ala d,,6 0,9 (cm) ja d ylä d,07,6 0,99 (cm) välissä. Ohjelman avulla saadaan P( 0,9 X 0,99) 0,0066 0,0. Prosessissa siis syntyy hyväksyttävä säiliö todennäköisyydellä 0,0.

90 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 86. a) Ratkaistaan ohjelman avulla numeerisesti yhtälö Normaalijakauma(x,., 7.) 0. ja saadaan tulos x 9,096 9,0. Odotusarvo on siis noin 9,0. Toinen tapa: Normitetaan satunnaismuuttuja X ja sen arvo 7,, jolloin saadaan X μ 7, μ 7, μ 7, μ P( X < 7,) P P Z P Z < <,,,,, missä Z ~ N(0; ). Ohjelman avulla löydetään P(Z 0,99) 0,, joten on oltava 7, μ 0, 99., Tästä saadaan μ 7, +, 0,99 9,096 9,0. b) Ratkaistaan ohjelman avulla numeerisesti yhtälö Normaalijakauma(0, s, 7.) 0. ja saadaan tulos s,689,7. Keskihajonta on siis noin,7. Toinen tapa: Normitetaan satunnaismuuttuja X ja sen arvo 7,, jolloin saadaan 7, 0,, P( 7,) P X 0 X < ( < ) P( Z < ) P ( Z ), σ σ σ σ missä Z ~ N(0; ). Ohjelman avulla löydetään P(Z 0,99) 0,, joten on oltava, 0,99. σ, Tästä ratkaistaan σ,689...,7. 0, 99

91 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Olkoon X pakkauksen massa grammoina, jolloin X ~ N(μ, 70) tuntemattomalla odotusarvolla μ. Pakkauksen massa poikkeaa keskiarvosta yli 00 g, kun X < μ 00 tai X > μ Tämän vastatapahtuma on "pakkauksen massa poikkeaa keskiarvosta korkeintaan 00 g" eli μ 00 X μ + 00 eli 00 X μ 00. Koska X ~ N(μ, 70), niin X μ ~ N(0, 70) ja ohjelman avulla saadaan P( 00 X μ 00) 0,886 0,8. Kysytty todennäköisyys on siis P(X < μ 00 tai X > μ + 00) P( 00 X μ 00) 0,886 0, 0,. 88. Tapahtuman "saapuu klo 9.00 jälkeen" vastatapahtuma on "saapuu klo 9.00 mennessä" ja se koostuu erillisistä tapahtumista A "pysäköi lähelle ja saapuu klo 9.00 mennessä" ja B "pysäköi kauemmas ja saapuu klo 9.00 mennessä". Tapahtuma A toteutuu siinä tapauksessa, että työpaikan pysäköintialueella on tilaa ja henkilö saapuu sinne klo 8. mennessä (koska sieltä kävelyyn kuluu minuuttia). Tapahtuma B toteutuu siinä tapauksessa, että työpaikan pysäköintialueella ei ole tilaa ja henkilö saapuu sinne klo 8. mennessä (koska tämän jälkeen häneltä kuluu + 0 minuuttia päästä työpaikalle). Olkoon X saapumisajan poikkeama minuutteina keskiarvosta 8.0. Koska saapumisaika noudattaa normaalijakaumaa keskihajonnalla min, poikkeama X ~ N(0, ). Ohjelman avulla saadaan P(saapuu 8. mennessä) P(X ) 0,8 ja P(saapuu 8. mennessä) P(X ) 0,87. Erillisten tapahtumien yhteenlaskusäännön ja riippumattomien tapahtumien kertolaskusäännön avulla saadaan P(saapuu klo 9.00 mennessä) 0,6 0,8 + 0, 0,87 0,609. Edelleen P(saapuu klo 9.00 jälkeen) 0,609 0,976 0,0.

92 Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Olkoon X pakkauksen massa (grammoina), jolloin P(X > 60) 0,977 ja P(X < 70) 0,9 ja lisäksi tiedetään, että X on normaalisti jakautunut eli että X ~ N(μ, σ) joillakin tuntemattomilla parametreilla μ ja σ. Normitetaan satunnaismuuttuja X ja sen arvot 60 ja 70, jolloin saadaan X μ 60 μ 60 μ P( X > 60) P P Z > > 0,977 ja σ σ σ X μ 70 μ 70 μ P( X < 70) P P Z < < 0,9, σ σ σ missä Z ~ N(0; ). Ohjelman avulla löydetään P(Z,99) 0,977 ja P(Z 0,9986) 0,9, joten on oltava 60 μ,99 ja σ 70 μ 0,9986. Ratkaistaan μ ja σ yhtälöparista σ 60 μ,99 σ 70 μ 0,9986. σ Saadaan σ 0,0 ja μ 80,08 (grammaa). Siis pakkausten keskimääräinen massa on noin 80 g ja massan keskihajonta noin 0 g.