7. Menetysjärjestelmät

lueto7.ppt S-38.45 Leeteora perusteet Kevät 25

Ssältö Kertausta: ysertae leeteoreette mall Posso-mall asaata, palvelota Sovellus vrtaava dataletee malltamsee vuotasolla Erlag-mall asaata, palvelota < Sovellus puhelletee malltamsee ruoverossa Bommall asaata <, palvelota Egset-mall asaata <, palvelota < Sovellus puhelletee malltamsee ltytäverossa 2

Ysertae leeteoreette mall Asaata saapuu esmäär opeudella λ asaasta per aays. /λ esmääräe asaade välaa Asaata palvellaa :lläraasella palvelalla Ku palvela palvelee esm. opeudella asaasta per aays. / esmääräe asaaa palveluaa Järestelmässä o + m asaaspaaa vähtää palvelupaaa a oretaa m odotuspaaa Estyvät asaaat ode saapuessa ärestelmä o täys meetetää λ + m 3

Ääretö ärestelmä Ääretö määrä palvelota a palvelupaoa, e yhtää odotuspaaa m Yhtäää asaasta e meetetä, eä eeää tarvtse edes odottaa palveluu pääsyä. Estoto ärestelmä. Tällase hypotettse ärestelmä aalyys o tyypllsest huomattavast helpompaa u vastaava todellse ärestelmä, ossa vo olla va äärelle määrä palvelota. Josus tämä o aoa tapa saada edes approsmatvsta tetoa vastaavasta todellsesta ärestelmästä. λ 4

Puhdas meetysärestelmä Äärelle määrä palvelota <, palvelupaoa, e yhtää odotuspaaa m Jos asaaa saapuessa a palvelat ovat äytössä el ärestelmä o s. estotlassa use puhutaa myös täydestä ärestelmästä, ysee asaas postuu oo ärestelmästä pääsemättä palveluu olleaa. Järestelmä o ss estolle hävölle a estyvä asaas meetetää. Käyttää oema palvelu laadu aalta ostava suure o esm todeäösyys, että ärestelmä o täys asaaa saapuessa λ 5

Posso-mall M/M/ Määrtelmä: Posso-mall o seuraavalae ysertae leeteoreette mall: ääretö määrä rppumattoma äyttää saapumste välaat IID oudattae Expλ-aaumaa odotusarvolla /λ saapumsprosess o ss Posso-prosess testeetllä λ ääretö määrä palvelota palveluaat IID oudattae Exp-aaumaa odotusarvolla / e odotuspaoa m Huom. Kedall meröllä yseessä o M/M/ -oomall ääretö ärestelmä, ss estoto Mertä: a λ/ leetesteett 7

Tlasrtymäaavo Tar. ärestelmässä oleve asaade lm:ää Xt aa t futoa Oletetaa, että Xt olla hetellä t Lyhyellä aavälllä t, t+h] vo tapahtua seuraavaa: t:llä λh + oh systeem saapuu uus asaas aheuttae tlasrtymä + os >, t:llä h + oh ou systeemssä oleva asaaa palvelu päättyy aheuttae tlasrtymä Prosess Xt o selväst Marov-prosess tlasrtymäaavoaa λ λ 2 2 λ 3 Huom. Prosess Xt o pelstymätö s-prosess äärettömällä tla-avaruudella S {,,2,...} 8

Tasapaoaauma Lähdetää leelle loaalesta tasapaoyhtälöstä: λ + + λ a + + + a!,,,2,k LBE Sovelletaa stte aaumaehtoa: a! a! a a e e N 9

Tasapaoaauma 2 Tasapaotlateessa systeemssä oleve asaade lm X oudattaa ss Posso-aaumaa: X Possoa P{ X } E[ X ] a, D 2 a! e a [ X ] a,,,2, K Huom. Isestvsyys palveluaa aauma suhtee: Itse asassa tulos pätee ylesemm: espoetaalse palveluaaaauma sasta vodaa palveluaalle valta mä tahasa aauma, oa odotusarvo o / tätä saotaa sestvsyydes palveluaa aauma suhtee Vomme ss M/M/ -mall sasta tarastella ylesempää M/G/ -malla

Ssältö Kertausta: ysertae leeteoreette mall Posso-mall asaata, palvelota Sovellus vrtaava dataletee malltamsee vuotasolla Erlag-mall asaata, palvelota < Sovellus puhelletee malltamsee ruoverossa Bommall asaata <, palvelota Egset-mall asaata <, palvelota < Sovellus puhelletee malltamsee ltytäverossa

Sovellus vrtaava dataletee malltamsee vuotasolla Posso-mall soveltuu vrtaava vaoopeusse dataletee uvaamsee vuotasolla asaas vaoopeuse UDP-vuo λ uuse vode saapumstesteett vuota per aays. h / esmääräe vuo esto aays. a λ/ leetesteett r ysttäse vuo bttopeus datays. per aays. N atvste vode luumäärä oudattae Possoa-aaumaa Ku vode yhtee lähetysopeus Nr ylttää l opeude C r, btteä atoaa hävösuhde p loss ertoo adoee letee osuude oo leteestä: p + E[ Nr C ] E[ N ] loss a E[ Nr] E[ N ] a! + + e a 2

Multplesotumsetu Lasetaa tarottu lee a ste että hävösuhde p loss < % Multplesotumsetua uvaa yhdelle apasteettysölle tarotu letee määrä a/ apasteet futoa.8 ormeerattu lee a/.6.4.2 2 4 6 8 apasteett 3

Erlag-mall M/M// Määrtelmä: Erlag-mall o seuraavalae ysertae leeteoreette mall: ääretö määrä rppumattoma äyttää saapumste välaat IID oudattae Expλ-aaumaa odotusarvolla /λ saapumsprosess o ss Posso-prosess testeetllä λ äärelle määrä palvelota < palveluaat IID oudattae Exp-aaumaa odotusarvolla / e odotuspaoa m Huom. Kedall meröllä yseessä o M/M// -oomall puhdas estoärestelmä, ss estolle Mertä: a λ/ leetesteett 5

Tlasrtymäaavo Tar. ärestelmässä oleve asaade lm:ää Xt aa t futoa Oletetaa, että Xt olla hetellä t Lyhyellä aavälllä t, t+h] vo tapahtua seuraavaa: os <, t:llä λh + oh systeem saapuu uus asaas aheuttae tlasrtymä + os >, t:llä h + oh ou systeemssä oleva asaaa palvelu päättyy aheuttae tlasrtymä Prosess Xt o selväst Marov-prosess tlasrtymäaavoaa λ λ λ 2 λ Huom. Prosess Xt o pelstymätö s-prosess äärellsellä tla-avaruudella S {,,2,,} 6

Tasapaoaauma Lähdetää ällee leelle loaalesta tasapaoyhtälöstä: λ + + λ a + + + a,,!, K, LBE Sovelletaa stte aaumaehtoa: a! a! N 7

Tasapaoaauma 2 Tasapaotlateessa systeemssä oleve asaade lm X oudattaa ss s. atastua Posso-aaumaa: P{ X } a a!!,,, K, Huom. Isestvsyys palveluaa aauma suhtee: Tulos pätee ällee ylesemm: espoetaalse palveluaa-aauma sasta vodaa palveluaalle valta mä tahasa aauma, oa odotusarvo o / Vomme ss M/M// -mall sasta tarastella ylesempää M/G// -malla 8

Aaesto Aaesto B t se osuus aasta, ollo systeem o täys t, että systeem o melvaltasea aaheteä täys el tlassa : B t : P{ X } a! a! 9

Kutsuesto Kutsuesto B c de saapuve utsue osuus, ota meetetää t, että saapuva asaas meetetää t, että asaaa saapuessa systeem o täys el tlassa Posso-prosess PASTA-omasuude muaa: saapuva asaas äee systeem tasapaossa. Tästä päättelemme, että utsuesto o Erlag-mallssa täsmällee sama u aaesto: B c B t a! a! Kute aemm o o todettu, tämä o s. Erlag estoaava 2

Sovellus puhelletee malltamsee ruoverossa Erlag-mall soveltuu puhelletee uvaamsee ruoverossa, ossa yhtä lä uormttave äyttäe luumäärä o hyv suur asaas puhelu utsu λ uuse utsue saapumstesteett utsua per aays. h / esmääräe utsu esto el ptoaa aays. a λ/ leetesteett l apasteett Ku uude utsu saapuessa oo l apasteett o äytössä, utsu estyy utsuesto B c ertoo tämä tapahtuma todeäösyyde B c a! a! 22

Multplesotumsetu Lasetaa tarottu lee a ste että utsuesto B c < % Multplesotumsetua uvaa yhdelle apasteettysölle tarotu letee määrä a/ apasteet futoa.8 ormeerattu lee a/.6.4.2 2 4 6 8 apasteett 23

Bommall M/M/// Määr. Bommall o seuraavalae ysert. leeteor. mall: äärelle määrä rppumattoma asaata < asaaat o-off-tyyppsä ss välllä outlata a välllä palvelussa outeoloaat IID oudattae Exp-aaumaa odotusarvolla / oaselle asaalle oma palvela palveluaat IID oudattae Exp-aaumaa odotusarvolla / e odotuspaoa m Huom. Kedall meröllä: M/M/// -oomall o. systeem o estoto vaa äärelle O-off tyyppe asaas: outlaaa palvelussa 25

O-off-tyyppe asaas Mer. X t:llä asaaa,2,, tlaa hetellä t Idesot: tla outlaaa, tla palvelussa Lyhyellä aavälllä t, t+h] vo tapahtua seuraavaa: osx t, t:llä h + oh asaas srtyy palveluu aheuttae tlasrtymä osx t, t:llä h + oh asaaa palvelu päättyy aheuttae tlasrtymä Prosess X t o selväst Marov-prosess tlasrtymäaavoaa Huom. Prosess Xt o pelstymätö s-prosess äärellsellä tla-avaruudella S {,} 26

27 7. Meetysärestelmät O-off-tyyppe asaas 2 Prosess X t tasapaoaauma lasemses lähdetää leelle loaalsta tasapaoyhtälöstä: Jaaumaehdo muaa: Tasapaotlateessa ysttäse asaaa tla X oudattaa ss Beroull-aaumaa ostumstodeäösyydellä /+ tarottu lee o tässä tapausessa /+ Tästä votas suoraa päätellä osa asaaat oletettu tosstaa rppumattoms, että oo systeem tla X so. systeemssä oleve asaade lm: tasapaoaauma o B, /+-aauma + + + +,

Tlasrtymäaavo Tar. ärestelmässä oleve asaade lm:ää Xt aa t futoa Oletetaa, että Xt olla hetellä t Lyhyellä aavälllä t, t+h] vo tapahtua seuraavaa: os <, t:llä h + oh ou outlaa olevsta asaasta srtyy palveluu aheuttae tlasrtymä + os >, t:llä h + oh ou systeemssä oleva asaaa palvelu päättyy aheuttae tlasrtymä Prosess Xt o selväst Marov-prosess tlasrtymäaavoaa 2 2 Huom. Prosess Xt o pelstymätö s-prosess äärellsellä tla-avaruudella S {,,,} 28

29 7. Meetysärestelmät Tasapaoaauma Lähdetää ällee leelle loaalesta tasapaoyhtälöstä: Sovelletaa stte aaumaehtoa: LBE + + N + + 29,,,,!!! K + +

3 7. Meetysärestelmät Tasapaoaauma 2 Tasapaotlateessa systeemssä oleve asaade lm X oudattaa ss bomaaumaa: Huom. Isestvsyys palveluaa a outeoloaa aauma suhtee: Tässä tapausessa tulos o sestv seä palveluaa että outeoloaa aauma suhtee Vomme ss M/M/// -mall sasta tarastella ylesempää G/G/// - malla 2 2 ] [, ] [,,,, } {, B + + + + + + + X D X E X P X K

Egset-mall M/M/// Egset-mall o seuraavalae ysertae leeteor. mall: äärelle määrä rppumattoma asaata < asaaat o-off-tyyppsä ss välllä outlata a välllä palvelussa outeoloaat IID oudattae Exp-aaumaa odotusarvolla / vähemmä palvelota u asaata < palveluaat IID oudattae Exp-aaumaa odotusarvolla / e odotuspaoa m Oletus: Estotlateessa so. systeem ollessa Kedall meröllä: M/M/// -oomall täys asaaa halutessa palveluu o. asaas o. systeem o estolle alottaa uude outeoloaso. Huom. O-off tyyppe asaas: outlaaa palvelussa oute esto! oute 32

Tlasrtymäaavo Tar. ärestelmässä oleve asaade lm:ää Xt aa t futoa Oletetaa, että Xt olla hetellä t Lyhyellä aavälllä t, t+h] vo tapahtua seuraavaa: os <, t:llä h + oh ou outlaa olevsta asaasta srtyy palveluu aheuttae tlasrtymä + os >, t:llä h + oh ou systeemssä oleva asaaa palvelu päättyy aheuttae tlasrtymä Prosess Xt o selväst Marov-prosess tlasrtymäaavoaa +2 + 2 Huom. Prosess Xt o pelstymätö s-prosess äärellsellä tla-avaruudella S {,,,} 33

34 7. Meetysärestelmät Tasapaoaauma Lähdetää ällee leelle loaalesta tasapaoyhtälöstä: Sovelletaa stte aaumaehtoa: LBE + + N 34,,,,!!! K + +

Tasapaoaauma 2 Tasapaotlateessa systeemssä oleve asaade lm X oudattaa ss s. atastua bomaaumaa: P{ X } + + + +,, K, Tarottu lee o tässä tapausessa /+ Huom. Isestvsyys palveluaa a outeoloaa aauma suhtee: Tässä tapausessa tulos o sestv seä palveluaa että outeoloaa aauma suhtee Vomme ss M/M/// -mall sasta tarastella ylesempää G/G/// - malla 35

Aaesto Aaesto B t se osuus aasta, ollo systeem o täys t, että systeem o melvaltasea aaheteä täys el tlassa : B t : P{ X } 36

Kutsuesto Kutsuesto B c de saapuve utsue osuus, ota meetetää t, että saapuva asaas meetetää t, että asaaa saapuessa systeem o täys el tlassa Kosa Egset-mallssa saapumsprosess e ole Posso-prosess mse?, myösää PASTA-omasuutta e voda hyödytää utsuestoa lasettaessa Kute tullaa seuraavsta alvosta äemää, Egset-mallssa tosaa äy, että saapuva asaaa äemä tlaaauma poeaa edellä ohdetusta tasapaoaaumasta so. prosess Xt statoaarsesta aaumasta Tästä taas seuraa, että Egset-mallssa utsu- a aaesto poeavat tosstaa 37

38 7. Meetysärestelmät Kutsuesto 2 Mer. *:llä t:ttä, että saapuva asaas äee systeem tlassa Tarastellaa ptää aaasoa,t: Tästä aasta systeem vettää esmäär aa T tlassa, mä aaa saapuu esmäär T asaasta ota ss a äevät systeem tlassa Kae aaa aavälllä,t saapuu esmäär Σ T asaasta Nä olle T T,,,, * K

Kutsuesto 3 Vodaa osottaa osota! että *,,, K, Ku rppuvuus asaade lm:stä mertää esplsttsest äyv, saamme seuraava tulose: *,,, K, Tos saoe saapuva asaas äee sellase systeem tasapaossa, ossa o ys asaas vähemmä hä tse! 39

Kutsuesto 4 Valtsemalla saamme utsuestolle aava B c t * B Egset-mallssa ss utsuesto : asaaa systeemssä o sama u aaesto : asaaa systeemssä: B c B t Tämä o Egset estoaava 4

Sovellus puhelletee malltamsee ltytäverossa Egset-mall soveltuu puhelletee uvaamsee ltytäverossa, ossa yhtä lä uormttave äyttäe luumäärä o ohtalae asaas puhelu utsu uuse utsue saapumstesteett per outlas äyttää / esmääräe utsu esto el ptoaa aays. äyttäe luumäärä l apasteett Ku uude utsu saapuessa oo l apasteett o äytössä, utsu estyy utsuesto B c ertoo tämä tapahtuma todeäösyyde B c 42

Multplesotumsetu Oletetaa, että ltytälä uormttaa äyttäää Lasetaa tarottu lee /+ ste että utsuesto B c < % Multplesotumsetua uvaa yhdelle apasteettysölle tarotu letee määrä /+ apasteet futoa.8 ormeerattu lee /+.6.4.2 2 4 6 8 apasteett 43

THE END 44