YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA

Transkriptio

1 YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q

2 KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE Ma 45.4 At Node 438 Mi.9 At Node 38 Kuorirakee TO STRESS CONTOURS OF SE Ma 339. At Node 86 Mi.5454 At Node 346

3 KOLMIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA STR ESS CONTOURS OF SE Ma.6 At No de 6679 M i.7375e-3 At N ode 6963 STRESS CONTOURS OF SE Ma.443 At Slice Node 7 Mi.3 At Slice Node 435 3

4 KANNATTIMEN JÄNNITYSTILA oikkileikkaukse rasitukset isteide A ja B jäitskomoetit T Q N N t T 4

5 JÄNNITYSVEKTORI Kotiuumihoteesi: Kaalee materiaalitilauude jokaisessa isteessä o materiaalia. ΔM ΔF ΔA Jäitsektori: lim ΔA ΔF ΔA df dn df dq Normaali- ja leikkausjäitsektori: dn dq df dn dq dn dq 5

6 JÄNNITYSTILAN KÄSITE Määritelmä: Kaikkie istee kautta asetettuje ita-alkioide i jäitsektoreide i (ääretötä) joukkoa kutsutaa tämä istee jäitstilaksi. istee jäitstila hallitaa tädellisesti, ku tuetaa se kolmee eri itaelemettii liittät jäitsektorit. Näiksi itaelemeteiksi alitaa e elemetit, joide ormaalit osoittaat koordiaattiakseleide -, - ja -suutii. KOORDINAATTISUUNTIEN JÄNNITYSVEKTORIT d d d istee kohdalta leikattua differetiaalise ietä suorakulmaista särmiötä d d d saotaa jäitselemetiksi. Se tahoilla aikuttaat koordiaattisuutii liittät jäitsektorit. 6

7 JÄNNITYSKOMONENTIT Koordiaattisuutie jäitsektorit jaetaa komoetteihisa: ositiiiste tahoje jäitsektorit: Negatiiiste tahoje jäitsektorit: i j k i j k i j k i j k i j k i j k Merkiät: Jäitskomoeti esimmäie alaideksi ilmaisee itaelemeti ormaali suua ja toie jäitkse suua. Normaalijäitksillä ämä suuat oat samat, jote iillä kätetää ai htä alaideksiä. Merkkisäätö: Jäitselemeti ositiiise taho jäitskomoetti o ositiiie, jos se aikuttaa koordiaattiakseli ositiiisee suutaa. Negatiiise taho jäitskomoetti o ositiiie, jos se aikuttaa koordiaattiakseli egatiiisee suutaa. 7

8 JÄNNITYSKOMONENTIT Momettitasaaiosta seuraa leikkausjäitste arittaie htäsuuruus: d d d arittaisesta htäsuuruudesta seuraa, että istee jäitstila tutemisee riittää kuusi jäitskomoettia: JÄNNITYSMATRIISI [ S] 8

9 VINON SUUNNAN JÄNNITYSVEKTORI Koordiaattisuutie jäitsektorit ja iide komoetit i j k i j k i j k k i j Suua jäitsektori Suua ormaali l l i m j k m Suutakosiit i j k l, m, ita-alasuhteet l m 9

10 Tetraedri oimatasaaioehto m l Vio suua jäitsektori ja se komoetit koordiaattiakseleide suuissa m l m l m l m l Matriisimuoto m l m l m l m l { } [ ]{ } S Komoetit ormaali ja leikkausia suuissa Matriisimuoto { } { } { } { } T { } { } { } { } { } T

11 ÄÄJÄNNITYKSET JA -SUUNNAT istee kohdalla suutaa liittää itaelemettii kohdistuu leesä sekä ormaalijäitsektori että leikkausjäitsektori. itaelemettiä, joho kohdistua leikkausjäitsektori, saotaa äätasoksi ja se ormaali suutaa ääsuuaksi. äätasoo kohdistuu ai ormaalijäits ja sitä saotaa ääjäitkseksi.

12 ÄÄJÄNNITYKSET JA -SUUNNAT Yleie jäitselemetti: 3 ääjäitselemetti: Jokaisessa jäitstilassa o (aiaki) ksi sellaie suorakulmaise jäitselemeti aseto, että se kaikki tahot oat äätasoja, särmät ääsuutia ja jäitkset ääjäitksiä. ääjäitkset oat jäitstila ormaalijäitkse ääriaroja. Algebrallisee suuruusjärjestksee laitettuja ääjäitksiä merkitää I, II, III, jolloi I II III.

13 ÄÄJÄNNITYSTEN JA ÄÄSUUNTIEN MÄÄRITYS äätasossa o leikkausjäitskomoetti. Jäitsektori o tällöi ormaali suutaie eli Taso ormaalijäitstä saotaa ääjäitkseksi ja ormaali suutaa ääsuuaksi. Ottamalla kättöö matriisiesits saadaa { } [ S ]{ } [ S ] { } { } Kseessä o jäitsmatriisi omiaisarotehtää, jossa o omiaisaro ja { } omiaisektori. Edellä olea matriisihtälö o auki kirjoitettua l m l m l m Saatu htälö o ääsuua suutakosiie homogeeie htälörhmä. Suutakosieille ätee l m, jote triiaaliratkaisu l m ei kelaa. Homogeeisella htälörhmällä o ei-triiaali ratkaisu ai, jos se kerroimatriisi determiatti o olla, josta seuraa karakteristie htälö 3

14 Kehittämällä determiatti saadaa ääjäitkselle htälö, joka o muotoa kolmae astee 3 I I I3 Kertoimet I, I ja I 3 oat jäitstila ääiariatit ja iide lausekkeet oat I I I 3 det[ S] Yllä olealla kolmae astee htälöllä o aia kolme reaalijuurta, joita merkitää, ja 3. ääjäitksiä o aia kolme ja e oat leesä erisuuria. Jäitstilaa saotaa sliterimäiseksi, jos kaksi ääjäitksistä o htä suuria. allomaisessa jäitstilassa kaikki kolme ääjäitstä oat htä suuria. Ku ääjäitkset tuetaa, ääsuuat ratkeaat suutakosiie htälörhmästä ja ksikköektoriehdosta i i l i m i i i l i m i i i,, 3 ääsuuat { } i, i,, 3 oat kohtisuorassa toisiaa astaa. 4

15 MAKSIMILEIKKAUSJÄNNITYS Leikkausjäitkse absoluuttie maksimiaro eli ääleikkausjäits o ma ( I III ) ääleikkausjäits esiit se jäitselemeti tahoissa, joka saadaa kiertämällä ääjäitselemettiä 45 keskimmäise ääjäitkse II suua märi. ääleikkausjäitselemetti: k ( I III ) II ma ( I III ) k ( I III ) II ääleikkausjäitkse esiitmistahoissa aikuttaa ormaalijäits: k ( I III ) 5

16 TASOJÄNNITYSTILA [ S] S [ ] ϕ 6

17 TASOJÄNNITYSTILA Tasaaioehdot: cos si cos cos si si cos si si cos cos si si cos cos cos si si Kiertokaaat: cos si ( si cos )si cos si cos si cos ( cos si ) Trigoometria mukaa oat oimassa kaaat cos [ cos() ] si [ cos() ] si cos si() Sijoittamalla ämä kiertokaaoihi seuraa ( ) ( ) cos() ( ) si() cos() si() 7

18 Otetaa kättöö akiot R, ϕ ja seuraaasti: ( ) R cos(ϕ ) R si(ϕ ) R k k ( ) ta(ϕ ) R si(ϕ ) Kiertokaaat meeät t muotoo k R R[ cos(ϕ )cos() si(ϕ )si()] [ cos(ϕ )si() si(ϕ )cos()] Trigoometriste fuktioide summakaaoje aulla saadaa ielä muoto k R cos( ϕ ) R si( ϕ ) ääsuuissa o, mistä seuraa si( ϕ ) ϕ tai ϕ π ϕ tai ϕ π / ääjäitksie lausekkeiksi tulee k R k R Nähdää mös, että mi( ) ma( ) ääjäitkset esiität toisiaa astaa kohtisuorissa tasoissa ja oat ormaalijäitkse ääriaroja. 8

19 , 3 Ku ääjäitkset, o järjestett algebrallisee suuruusjärjestksee, kätetää iistä merkitöjä. I II III I II,, III. Tällöi o siis oimassa Leikkausjäitkse ääriarot -tasossa saautetaa, ku π π si( ϕ ) ± ϕ tai ϕ ϕ π / 4 tai ϕ π / 4 Leikkausjäitkse ääriaroiksi tulee äissä suuissa mi( ma( ) R ) R ( ) ( ) 3 Normaalijäits ei ole olla leikkausjäitkse ääriarosuuilla, aa saa kummallaki suualla aro. k 3 k ma elemetti R o 45 R -taso ma ei ole älttämättä absoluuttie ääriaro, joka o k ma I III 9

20 MOHRIN YMYRÄ C(, ) B(, ) ϕ A(, ) 3 D(, ) LAATIMINEN JA KÄYTTÖ:. koordiaat isto, alasäi.. Sijoitetaa koordiaatistoo isteet A(, ) ja B(, ). 3. iirretää halkaisija AB, lödetää keskiiste O (aia akselilla) ja säde R OA. iirretää Mohri mrä. 4. iirretää isteestä A aakasuora, joka leikkaa mrää aassa N. Sijoitetaa -koordiaatisto origo aaa, oikealle suutaa NA ja lösäi suutaa NB. 5. Nähdää ääjäitkset ja, ääsuuta ϕ ja -taso ma taso suutaa liittät jäitskomoetit ähdää lukemalla aassa olea kulma kiertee koordiaatisto akseleide ja Mohri mrä leikkausisteide koordiaatit.

21 KOLMEN MOHRIN YMYRÄN ESITYS mi 3 3 ma