LUKU 4 Heilurin differentiaaliyhtälö 4.. Konservatiiviset systeemit Fysiaalisissa sovellutusissa täreitä ovat ns. onservatiiviset systeemit. Ysiulotteinen onservatiivinen systeemi (tai onservatiivinen systeemi, jolla on ysi vapausaste; liie x-aselilla) on muotoa (4.) x = F (x) oleva differentiaaliyhtälö, missä F : I R on reaaliaselin välillä I annettu jatuva funtio ja x = x(t) on ajan t funtio. Yhtälö voidaan esittää myös ensimmäisen ertaluvun differentiaaliyhtälöryhmänä { x = y (4.) y = F (x) Tämän differentiaaliyhtälöryhmän rataisuäyriä t (x(t), y(t)) utsutaan differentiaaliyhtälön (4.) faasiäyrisi. Yhtälön fysiaalisen taustan vuosi äytetään usein seuraavia nimitysiä: T = T (y) = y = x x U = U(x) = F (ξ) dξ x E = E(x, y) = T + U liie-energia potentiaalienergia oonaisenergia Potentiaalienergian määrittävä ominaisuus on du = F (x). Vaio x dx valitaan siten, että U häviää sopivassa pisteessä, U(x ) =. Jos integraali F (ξ) dξ suppenee, x äytetään tätä usein potentiaalienergiana. Tällöin U(x), un x. Lause 4.. Koonaisenergia on vaio pitin liierataa, E(x(t), x (t)) = vaio. Todistus. Oloon x = x(t) rataisu. Tällöin d dt E(x(t), x (t)) = d x (t) + du dt dx (x(t))x (t) = x (t)x (t) F (x(t))x (t) =. Nimitys onservatiinen syntyy edellisen lauseen ominaisuudesta: englannin conservative juontaa juurensa verbiin conserve, säilyttää. Konservatiivisen systeemin rataisulle on siis x + U(x) = E = vaio, josta saadaan x = ± (E U(x)). Saatu yhtälö on separoituva ja sen rataisulle x = Viimesi muutettu..7.
ϕ(t), jolle ϕ(t ) = x, on 4.. HEILURI ϕ(t) dx t t = ± x (E U(x)) Lause 4.. Koonaisenergian tasa-arvoäyrät { } (x, y) y + U(x) = E ovat sileitä tasoäyriä luuunottamatta mahdollisesti pisteitä (x, y), joissa F (x) = ja y = (tasapainotila). Todistus. Koonaisenergian osittaisderivaatat ovat E x = ( y ) x + U(x) = U (x) = F (x) E y = ( y ) y + U(x) = y Implisiittifuntiolauseen (äsitellään urssilla Differentiaalilasenta ) nojalla tasaarvoäyrä E(x, y) = E on sileä tasoäyrä (eli se on joaisen pisteensä ympäristössä esitettävissä jatuvasti derivoituvan funtion uvaajana y = y(x) tai x = x(y)), jos joaiselle äyrän pisteelle (x, y) on voimassa E E (x, y) tai (x, y). x y 4.. Heiluri Esimeri 4.3 (Harmooninen osillaattori). Jos F (x) = x, R vaio, on potentiaalienergia vadraattinen, U(x) = x /. Tasaenergiaäyrät ovat tällöin toisen asteen äyriä E = y +x. Nämä ovat ellipsejä, jos >, ja hyperbelejä, jos <. Fysiaalisesti luonnollisessa tilanteessa on >. Harmoonisen osillaattorin yhtälö x = x on rataistu aiemmin lineaarisena, vaioertoimisena yhtälönä. Rataistaan yhtälö energian säilymisperiaatteen avulla. Kosa x = E x, on ±(t + C) = = = dt = E dx E x dξ E ξ dξ ξ E sijoitetaan x = ξ = arcsin ξ = ( ) arcsin x E Siis E x = ± sin( t + C). ( ) Rataisun muodosta ±(t + C) = arcsin E x voisi päätellä, että rataisu on määritelty vain äärelliselle aiavälille, osa arcsin ξ on määritelty vain, un ξ. Lisäsi arcsin ξ [ π, π]. Toisaalta, un rataisu irjoitetaan muotoon
4.. HEILURI 3 Kuva. Heiluri. 3-4 6 8 - - -3 Kuva. Heilurin differentiaaliryhmän θ = y, y = sin θ vetorienttä. E x = ± sin( t + C), nähdään, että x = x(t) on määritelty aiille t R ja x(t) E /. Esimeri 4.4 (Heiluri). Oletetaan, että massa m on iinnitetty massattoman, l:n pituisen langan päähän. Lana poieutetaan ulman θ verran tasapainoasemastaan ja päästetään heilumaan. Hiuaseen vaiuttava painovoiman tangentiaalinen omponentti on mg sin θ. Toisaalta hiuasen iihtyvyys on x = lθ. Newtonin lain muaan on mlθ = mg sin θ eli θ + g sin θ =. l Jos heilahdusulma θ on pieni, θ, on sin θ θ, joten ulma θ toteuttaa harmoonisen osillaattorin yhtälön, missä = g/l. Jos := g/l ja F (θ) = sin θ, on U(x) = cos θ. Energian tasa-arvoäyrät ovat y cos θ = E, un y = θ. Faasiäyrät ovat siis säännöllisiä tasoäyriä luuunottamatta pisteitä (θ, y), joissa y = ja sin θ =, t.s. (nπ, ), n Z. Pisteissä (nπ, ), n Z, on E =, ja pisteissä ((n + )π, ), n Z, on E =. Faasiäyrät, joilla E =, oostuvat vain erillisistä pisteistä (nπ, ), n Z, osa y cos θ =, jos ja vain jos y = (cos θ ). Tässä cos θ vain, un cos θ =, joten θ = nπ, n Z ja y =. Tarastellaan ysityisohtaisemmin ahta aluarvotehtävää.. Alusi oletetaan, että hiuanen on aluhetellä paioillaan ja muodostaa ulman θ tasapainoasemansa anssa, t.s. θ() = θ ja θ () =. Kosa y cos θ =
4.. HEILURI 4 3 - - -3-4 6 8 Kuva 3. Heilurin faasiäyriä y cos θ = E. Faasiäyrä, jolle jäävät pisteet θ = (n + )π, y =, n Z, on orostettu piirtämällä se vaaleanharmaana. E, on cos θ = E, ja y = cos θ cos θ. Kun oletetaan, että θ <, on Tästä saadaan t t = θ dt = θ Valitaan uusi muuttuja ϕ siten, että dt = (cos θ cos θ ) /. θ (cos θ cos θ ) = / θ ( sin θ sin θ )/. sin θ = sin θ sin ϕ. Kun ϕ = π/, saa θ suurimman arvonsa θ. Hieman työläiden trigonometristen lasujen jäleen saadaan t = θ θ ( sin θ sin θ )/ = π/ ϕ ( sin θ sin ϕ) /.. Hieman helpompi tapaus on tilanne, jossa hiuanen on aluhetellä tasapainotilassa ja se napautetaan vauhtiin, t.s. θ() = ja θ () = θ. Ehdosta y cos θ = E saadaan nyt θ = E, ja y = θ + (cos θ ) = θ sin θ. Siis y = θ = ±θ m sin θ, missä m = 4/θ, joten ±θ t = t θ dt = θ m sin θ θ/ = m sin ϕ, missä on sijoitettu θ = ϕ. Saatu integraali on ns. ensimmäisen lajin elliptinen integraali, jota yleensä meritään F (θ m) := θ m sin ϕ.
4.. HEILURI 5 Kun oletetaan, että θ >, on edellä valittava y = θ = +θ..., joten rataisulle on θ t = F ( θ m). Kyseinen elliptinen integraali F (θ m) on määritelty, un m sin ϕ (välin päätepisteet vaativat hieman tarempaa tarastelua). Saatua rataisua voidaan verrata harmoonisen osillaattorin rataisuun t = arcsin(ωx), missä ξ dx arcsin ξ =. x Harmooniselle osillaattorille saatiin rataisu muotoon x = (/ω) sin( t) sen tiedon perusteella, että yseisellä integraalilla on äänteisfuntio sin t. Ensimmäisen lajin elliptisille integraaleille tilanne on vastaava: funtiolla θ F (θ m) on äänteisfuntio, Jacobin amplitudi, jota meritään am t = am(t m), t = F (θ m) am(t m) = θ. Tämä nähdään derivaatasta: funtiolle θ F (θ m) on F (θ m) θ = m sin ϕ >, un m sin ϕ >. Siis, jos m <, on θ F (θ m) määritelty ja aidosti asvava oo reaaliaselilla. Lisäsi sen uvajouo on R, joten Jacobin amplitudi on määritelty oo reaaliaselilla. Tilanne, jossa m on hanalampi. Voidaan uitenin osoittaa, että tällöinin am(θ m) on määritelty aiille θ R, mutta θ am(θ m) on jasollinen. Jaso löydetään vastaavalla päättelyllä, jolla sinin jaso löydetään arussiniä tarastelemalla. Ensinnäin, funtio θ F (θ m) on aidosti asvava, un sin θ < / m (vrt. ξ arcsin ξ on aidosti asvava, un ξ < ). Kun sin θ m = / m, eli θ m = arcsin(/ m), on t m := F (θ m m) F :n suurin arvo välillä [ θ m, θ m ] (vrt. arcsin = π/ on arussinin suurin arvo). Funtion t am(t m) jaso on 4t m = 4F (θ m m) (vrt. sinin jaso on 4 arcsin = π). Siis heilurin aluarvotehtävän θ() = ja θ () = θ rataisulle on θ t = θ/ m sin ϕ joten rataisu θ = θ(t) voidaan esittää muodossa θ = am(θ t/ m). = F (θ/ m) Huomattaoon, että myös heilurin aluarvotehtävän θ() = θ ja θ () = rataisu voidaan esittää ensimmäisen lajin elliptisen integraalin avulla, t = π/ ( sin θ sin ϕ) = ( F ( π m) F (ϕ m)), / ϕ Carl Gustav Jacob Jacobi (84 85). Nyyinen merintätapa osittaisderivaatalle lienee peräisin Jacobilta vuodelta 87: Tämän sijasta me sasalaiset äytämme Jacobin muaisesti pyöreätä osittaisderivaatalle. (Karl Weierstrass, 874.) Anglosasisissa maissa äsin tai oristeellisemmalla irjasinlajilla irjoitetussa testissä d-irjaimen yläsaara on ollut tapana taivuttaa vasemmalle ylös. Vastaava esiintyy edelleen venäjän ielessä äsin irjoitettaessa tai ursiiviirjasimella irjoitetussa testissä. Myös Jacobin determinantti on C. G. J. Jacobilta. Joseph Liouville osoitti 835, että elliptisiä integraaleja ja monia muita intgraaleja ei yleensä voida esittää aleisfuntioiden avulla.
4.. HEILURI 6.5 3 4 5 6 3 4 5 6 -.5 - - - 8 6 4 8 6 4 3 4 5 6 3 4 5 6 - - Kuva 4. Heilurin aluarvotehtävän θ() = ja θ () = θ rataisuäyriä: ylemmässä uvaparissa m > (evyt töytäisy), alemmassa uvaparissa m < (voimaas töytäisy) (muista: m = 4g/lθ ). Pasut äyrät ovat taroja rataisuja, ohuet linearisoidun yhtälön rataisuja. missä m = sin θ ja sin θ = sin θ sin ϕ. Rataisu on jälleen esitettävissä Jacobin amplitudin avulla. Vaia elliptiset integraalit tuntuisivat alusi oudoilta, ei niillä laseminen ole vaieaa. Ne on määritelty valmiisi useimpiin matemaattisiin valmisohjelmistoihin uten Mathematicaan. Suureet t = F (ϕ m) ja ϕ = am(t m) saadaan Mathematicassa omennoilla EllipticF[phi,m] JacobiAmplitude[t,m] Huomattaoon, että sijoitusella t = sin θ saadaan elliptinen integraali muutettua rationaalifuntion juurilauseeen integraalisi, F (ϕ m) = ϕ ( m sin θ ) sin ϕ / ( = ( t )( mt ) ) / dt. Kuvassa 4 on vertailtu heilurin aluarvotehtävän θ() = ja θ () = θ rataisuäyriä, jota on määrätty Jacobin amplitudin avulla (pasut äyrät), ja pienille heilahdusille taroitetun, linearisoidun yhtälön θ = θ rataisuäyriä θ(t) = θ sin( t) (ohuet äyrät). Tarasteltaessa uvaa 3 nähdään, että pisteet θ = (n + )π, y =, n Z, sisältävä äyrä (uvassa vaaleanharmaa) faasitason ahteen osaan. Pisteet θ = nπ, y =, n Z, sisältävässä osassa faasiäyrät ovat suljettuja, un taas näiden alueiden ulopuolella ulevat äyrät eivät ole. Mutta millainen on äyrä, joa tämän tason jaon teee? Tämä nähdään helposti toteamalla, että nämä äyrät vastaavat arvoa m = (ja E = ). Suoraan lasemalla nähdään, että F (θ ) = log tan θ +. tan θ
4.3. VARIAATIOLASKENNAN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 Tästä nähdään, että heilurin rataisuäyrille, joille θ t/ = F (θ/ ), on t +, un θ π. Vastaavasti t, un θ π+. Tämä taroittaa, että äyrä, jona energia on E =, ei pääse äärellisessä ajassa pisteisiin θ = (n + )π, y =, t.s. rataisuäyrä, joa lähtee alueessa (n )π < θ < (n + )π, y >, olevalta äyrältä, pysyy oo ajan tässä alueessa. Erityisesti se ei voi jataa uluaan y-aselin alapuolelle. Käyttäytymisestä pisteissä θ = nπ, y =, n Z voidaan sanoa jotain rataisematta yhtälöä aluunaan. Nimittäin, funtio (θ, y) (y, sin θ) on jatuvasti derivoituva (osittaisderivaattamielessä). Caychyn lauseen ysiäsitteisyysominaisuuden nojalla aluarvotehtävällä θ = y, y = sin θ, θ(t ) = nπ, y(t ) =, on ysiäsitteinen rataisu. Toisaalta, vaiofuntio θ(t) = nπ, y =, toteuttaa tämän yhtälön. Siis, jos rataisu (θ, y) osuu pisteeseen (nπ, ) jollain hetellä, on rataisuäyrä piste (nπ, ), eli rataisuäyrät eivät voi ulea pisteiden (nπ, ) läpi. 4.3. Variaatiolasennan differentiaaliyhtälöt Variaatiolasenta on analyysin osa-alue, jona eseisimmät ongelmat johtavat differentiaaliyhtälöhin. Tarastellaan muotoa I(y) := b a f(x, y(x), y (x)) dx olevaa integraalia. Tässä f on jossain R 3 :n osajouossa määritelty annettu funtio (ns. variaatiointegraalin I(y) ydin) ja y on välillä [a, b] R määritelty funtio, joa pyritään määräämään tietyn ääriarvoperiaatteen muaan. Ysinertaisin mieleniintoinen esimeri on b I(y) = + y (x) dx, a jona geometrinen meritys on selvä: I(y) on funtion y = y(x) uvaajan aarenpituus. Tässä f(x, y, y ) = + y. Variaatiolasennan perusongelma on löytää integraalin y I(y) minimoiva funtio y = y m, t.s. funtio y m siten, että I(y m ) I(y) aiille funtioille y. Tästä ominaisuudesta voidaan johtaa ns. Eulerin ja Lagrangen yhtälö 3 d f dx y (x, y(x), y (x)) f y (x, y(x), y (x)) =. Tässä esiintyvät derivaattamerinnät taroittavat seuraavaa: (i) Derivaatassa f (x, y(x), y y (x)) funtio f(x, y, y ) derivoidaan y-muuttujan suhteen ja muuttujien y ja y paialle sijoitetaan y(x) ja y (x). (ii) Derivaatassa d f (x, y(x), y (x)) funtio f(x, y, y ) derivoidaan y -muuttujan dx y suhteen ja muuttujien y ja y paialle sijoitetaan y(x) ja y (x). Saatu x:n funtio derivoidaan x:n suhteen. 3 Leonard Euler (Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti, 744) ja Joseph Louis Lagrange (Essai d une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indéfinies, 76).
4.3. VARIAATIOLASKENNAN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 8 Esimeri 4.5. Oloon f(x, y, y ) = y + y. Tällöin f y (x, y(x), f y (x)) = + y, y (x, y(x), y y (x)) = y + y d f dx y (x, y(x), y (x)) f y (x, y(x), y (x)) = = d ( y (x) ) y(x) + y dx (x) = + y (x) y(x) y (x) ( + y (x) + y (x) ) 3 Kyseessä oleva variaatiointegraali I(y) = b a y(x) + y (x) dx on vaiota π vaille äyrän y = y(x), a x b, x-aselin suhteen pyörähtäessään muodostaman pinnan pinta-ala. Eulerin yhtälön + y (x) y(x) y (x) = rataisut määräävät siis pyörähdyspinnan, jona pinta-ala on minimaalinen (ainain jossain yllä täsmentämättä jääneessä mielessä). Edellisen esimerin differentiaaliyhtälö on melo vaiea rataista suoraan. Eräillä variaatiolasennan yhtälöillä on uitenin ns. ensimmäisiä integraaleja, joiden avulla rataiseminen saattaa onnistua helpommin. Funtiota h = h(x, y, y ) utsutaan yhtälön G(x, y, y, y ) = ensimmäisesi integraalisi, jos h(x, y(x), y (x)) on vaio joaiselle yhtälön G(x, y, y, y ) = rataisulle y = y(x). Jos variaatiointegraalin ydin f ei riipu esplisiittisesti muuttujasta x, f = f(y, y ), on Eulerin yhtälöllä ensimmäinen integraali h(y, y ) = f(y, y ) + y f y (y, y ) Esimeri 4.6. Jatetaan edellisen esimerin tarastelua. Tässä f ei riipu x:stä, f(y, y ) = y + y, joten yhtälöllä on ensimmäinen integraali h(y, y ) = y + y + y y y = y + y + y Eulerin yhtälön + y (x) y(x) y (x) = rataisu y = y(x) toteuttaa siis yhtälön y(x) = c, + y (x) missä c on vaio. Rataisemalla tämä ensimäisen ertaluvun differentiaaliyhtälö y :n suhteen, saadaan separoituva yhtälö, jona rataisu antaa aluperäisen Eulerin yhtälön rataisun. Rataisusi saadaan y(x) = c cosh(x/c + c). Tätä äyrää utsutaan etjuäyräsi.