kaikki ratkaisut. cos 2 x yleinen ratkaisu.

Transkriptio

1 Harjoitukset Jatkuu Määrää differentiaaliyhtälön y = 1 cos 2 x kaikki ratkaisut. 2. Olkoot D = {(x, y) R 2 y > 0} ja f : D R, f(x, y) = y. Osoita, että jokaiselle (x 0, y 0 ) D alkuarvotehtävällä y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, on yksi ja vain yksi ratkaisu y : R R. 3. Olkoon f : R 2 R, f(x, y) = y. Osoita, että jokaiselle x 0 R alkuarvotehtävällä y = f(x, y), y(x 0 ) = 0, on ainakin kolme eri ratkaisua ratkaisua y : R R. 4. Määrää jokaiselle (x 0, y 0 ) R 2 alkuarvotehtävän y = y 2, y(x 0 ) = y 0, maksimaalinen ratkaisu. 5. Määrää yhtälön y = 1 + y2 yleinen ratkaisu. 1 + x2 6. Määrää alkuarvotehtävän y = 1 y2 1 x 2, y(x 0) = y 0, ratkaisu, kun x 0 < 1 ja y 0 < Olkoon h: R R jatkuvasti derivoituva funktio. Oletetaan, että h:lla on nollakohdat y 1 < y 2. Osoita, että jos y : R on alkuarvotehtävän y = h(y), y(0) = y 0, ratkaisu ja y 1 < y 0 < y 2, niin y 1 < y(x) < y 2 kaikille x. 8. Olkoot a ja b positiivisia vakioita. a) Osoita, että yhtälön y = ay by 2 ratkaisulle y = y(x) on voimassa log y(x) log a by(x) = ax + C, missä C on integroismisvakio (log = ln = log e ). b) Olkoot 0 < y 0 < a/b ja y = y(x) se yhtälön y = ay by 2 ratkaisu, jolle y(0) = y 0. Osoita, että 0 < y(x) < a/b kaikille x > 0. c) Määrää b-kohdan ratkaisulle raja-arvo lim x y(x). (Tämä populaatioiden kasvua kuvaava yhtälö, ns. logistinen yhtälö, ja on peräisin hollantilaiselta matemaatikko-biologi Pierre François Verhulstilta ) Tähdellä * merkityt tehtävät ovat ylimääräisiä, eikä niitä oteta huomioon laskuharjoitushyvityksiä määrättäessä. 1 Yksinkertaisempi populaation kasvua kuvaava yhtälö y = ay on peräisin englantilaiselta pastori Thomas James Malthusilta 1798 (An Essay on the Principles of Population as It Affects the Future Improvement of Society).

2 Jatkuu 2 *9. Kertaa/täydennä tietojasi hyperbolisista funktioista (esimerkiksi Courantin ja Johnin kirjassa 2 kohdat 3.5 (s ), (s ; useita kohtia)). *10. Osoita, että yhtälön y = 1 y2 yksikköneliössä x < 1, y < 1, sijaitsevalle ratkaisulle y = y(x) on voimassa ar tanh y = ar tanh x + C, missä C on integroimisvakio. 1 x2 b 2 *11. Tutki yhtälön y y 2 = k ratkaisujen käyttäytymistä. Tässä k, a ja b ovat annettuja positiivisia vakioita. Huomaa, että yhtälön ratkaisukäyrä voi sijaita vain jossakin a 2 x2 viidestä alueesta: x < a ja y < b (yksi suorakaide) tai x > a ja y > b (neljä rajoittamatonta nurkka-aluetta). (Yhtälön varsin perusteellinen analyysi löytyy Lindelöfin vanhasta kirjasta 3, Luku I, 2, No ) ratkaisujen käyttäytymistä. Tässä k, a ja b ovat an- b 2 *12. Tutki yhtälön y + y 2 = k a 2 + x 2 nettuja positiivisia vakioita. *13. Kreikan kielen aakkosto a:sta o:hon. Iso ja pieni kirjain sekä nimi (suluissa mahdollinen vaihtoehtoinen muoto): A α alfa, B β beeta, Γ γ gamma, δ delta, E ε (tai ɛ) epsilon, Z ζ dzeeta, H η eeta, Θ θ (tai ϑ) theeta, I ι joota, K κ (tai κ) kappa, Λ λ lambda, M µ myy, N ν nyy, Ξ ξ ksii, O o omikron, Π π (tai ϖ) pii, P ϱ (tai ρ) rho, Σ σ (tai ς) sigma, T τ tau, Υ υ ypsilon, Φ ϕ (tai φ) fii, X χ khii, Ψ ψ psii, Ω ω oomega. 2 Richard Courant ja Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis, Volume I, Classics in Mathematics, Springer, Ernst Lindelöf, Differentiali- ja integralilasku ja sen sovellutukset III.1 Tavalliset differentiaaliyhtälöt. Mercatorin Kirjapaino Osakeyhtiö, 1935.

3 Harjoitukset Jatkuu Ratkaise yhtälö y = y2 + xy + x 2 x 2, x Olkoot f : R R jatkuva funktio ja a, b, c vakioita siten, että a 0 ja b 0. Osoita, että y on yhtälön y = f(ax + by + c) ratkaisu, jos ja vain jos funktio z(x) := a x+b y(x)+c toteuttaa separoituvan yhtälön z = a + bf(z). 3. Ratkaise yhtälö y = x + y 1, kun y + x 1. x + y + 1 Kulkeeko alkuehdon y(1) = 0 toteuttavan ratkaisun kuvaaja pisteen (2, 1) kautta? 4. Ratkaise alkuarvotehtävä y + 2 y = 0, y(0) = 1. 1 x2 5. a) Määrää alkuarvotehtävän y = k(y f(x)), y(0) = y 0, ratkaisu, kun k on positiivinen vakio, f(x) = a + b cos(ωx) sekä a, b ja ω ovat reaalisia vakioita. 1 b) Osoita, että ratkaisu voidaan esittää muodossa y(x) = a + (y 0 a)e kx + ce kx + d cos(ωx δ), missä c, d ja δ ovat vakioita. Määrää c, d ja δ. 6. Tarkastellaan ns. Bernoullin yhtälöä 2 y = A(x)y + B(x)y m, missä funktiot A, B : R ovat jatkuvia ja m Z, m > 1. Osoita, että y on Bernoullin yhtälön positiivinen ratkaisu, jos ja vain jos funktio z(x) = y(x) 1 m on lineaarisen yhtälön z = (1 m)a(x)z + (1 m)b(x) positiivinen ratkaisu. 7. Olkoot a positiivinen vakio ja q : ( 1, ) R jatkuva funktio sekä y lineaarisen alkuarvotehtävän y + ay = q(x), y(0) = 0 ratkaisu. Oletetaan, että q on rajoitettu, t.s. q(x) M kaikille x ( 1, ). 1 Yhtälö y = k(y f(x)) tunnetaan nimellä Newtonin jäähtymislaki. Funktio y kuvaa lämpötilaa ajan x funktiona; f(x) on ympäristön kappaleeseen kohdistama lämmitys/jäähdytys. Yhtälö on peräisin Sir Isaac Newtonilta 1600-luvun lopulta. Oleellisesti samaan differentiaaliyhtälöön Ly + Ry = f(x) päädytään seuraavanlaisessa sähköpiirissä: y = virran voimakkuus, L = itseinduktanssi, R = vastus ja f(x) = V cos(ωx) vaihtovirran jännite (taajuus ω). 2 Yhtälö Jakob Bernoullilta 1695, ratkaisu Johann Bernoullilta 1697.

4 Jatkuu 2 Osoita, että y(x) M a (1 e ax ) kaikille x (0, ). *8. Johann Bernoullilta on peräisin seuraava idea lineaarisen yhtälön y = A(x)y + B(x) ratkaisemiseksi: käytetään tulomuotoista yritettä y(x) = u(x) v(x). Tällöin y = A(x)y+B(x) u v+uv = A(x)uv+B(x) (u A(x)u)v = B(x) uv. Johann Bernoulli valitsi funktion u siten, että u A(x)u = 0, jolloin funktion v toteutettavaksi jää yhtälö v = B(x)/u(x). Osoita, että näiden yhtälöiden ratkaisuna saatava funktio y = uv antaa (oleellisesti) saman esityksen ratkaisulle y kuin mihin luennoissa päädyttiin. *9. Ratkaistessaan (Jakob) Bernoullin yhtälöä vuonna 1697 Johann Bernoulli esitti kaksi erilaista tapaa ratkaisun määräämiseen. Toinen tapa perustuu edellisen tehtävän kaltaiseen tulomuotoiseen yritteeseen. Olkoon y yhtälön y = A(x)y + B(x)y m (m Z, m > 1) ratkaisu. Käytetään y:n määräämiseksi yritettä y(x) = u(x) v(x). Osoita, että jos u on saman differentiaaliyhtälön ratkaisu kuin edellisen tehtävän funktio u, niin funktio v toteuttaa separoituvan differentiaaliyhtälön. *10. Ratkaise yhtälö y = 2xy + xy 2 (i) tehtävän 6 menetelmällä; ja (ii) tehtävän *9 menetelmällä. Hyödyllisiä kaavoja: e kx ω sin ωx + k cos ωx cos ωx dx = e kx, k 2 + ω 2 e kx sin ωx dx = ω cos ωx + k sin ωx k 2 + ω 2 e kx

5 Harjoitukset Jatkuu Millä kertoimia a, b, c ja d koskevalla ehdolla yhtälö ax+by+(cx+dy)y = 0 on eksakti? Kun yhtälö on eksakti, määrää ratkaisu implisiittisessä muodossa u(x, y) = C. 2. Osoita, että yhtälö 3x(xy 2) + (x 3 + 2y)y = 0 on eksakti. Määrää yhtälön kaikki ratkaisut (ratkaistussa muodossa y = y(x)). Selvitä myös ratkaisun maksimaalinen määrittelyväli eri tapauksissa. 3. Todista Lause 2.6.2: jos Q(x, y) 0 kaikilla (x, y) D ja funktio ( ) 1 P Q ϕ(x, y) = (x, y) (x, y) Q(x, y) y x riippuu vain muuttujasta x, niin µ(x) = e R ϕ(x) dx on yhtälön P (x, y) + Q(x, y)y = 0 integroiva tekijä. 4. Määrää alkuarvotehtävän { 1 2 y2 + 2ye x + (y + e x )y = 0, y(0) = 2, ratkaisu. [Vihje: Yhtälöllä on integroiva tekijä, joka riippuu vain muuttujasta x.] 5. Yhtälöllä cos x cos y 2 sin x sin y y = 0 on vain y:stä riippuva integroiva tekijä µ. Määrää µ ja ratkaisu implisiittisessä muodossa u(x, y) = C. 6. Yhtälöllä cos x cos y 2 sin x sin y y = 0 on vain x:stä riippuva integroiva tekijä µ. Määrää µ ja ratkaisu implisiittisessä muodossa u(x, y) = C. 7. Yhtälöllä 2xy y 2 y + (2xy x 2 x)y = 0 on integroiva tekijä µ, joka riippuu vain summasta x + y. Määrää µ. 8. Yhtälöllä 3y + (2x xy)y = 0 on integroiva tekijä µ, joka riippuu vain tulosta x y. Määrää µ ja ratkaisu implisiittisessä muodossa u(x, y) = C. *9. Yhtälöllä 3y + (2x xy)y = 0 on vain y:stä riippuva integroiva tekijä µ. Määrää µ ja ratkaisu implisiittisessä muodossa u(x, y) = C. *10. Osoita, että funktio µ(x, y) = integroiva tekijä. 1 y x f(y/x) on tasa-asteisen yhtälön y = f(y/x)

6 Jatkuu 2 *11. Etsi integroiva tekijä lineaariselle yhtälölle y + p(x)y = q(x), missä funktiot p, q : R ovat jatkuvia. Ratkaise saamasi yhtälö käyttäen eksaktien yhtälöiden ratkaisumenetelmää. Vertaa ratkaisua Lauseen mukaiseen ratkaisuun. [Vihje: Yhtälöllä on integroiva tekijä, joka riippuu vain muuttujasta x.] *12. Olkoot g : g R ja h: h R jatkuvia funktioita. Oletetaan, että h(y) 0 kaikille y h. Osoita, että separoituva yhtälö y = g(x)h(y) on yhtäpitävä jonkin eksaktin yhtälön kanssa. Määrää eksaktiin yhtälöön liittyvä funktio u. *13. Osoita, että jos θ := 1 ( P Q P y Q ) riippuu vain summasta x + y, niin yhtälöllä x P (x, y) + Q(x, y)y = 0 on integroiva tekijä µ, joka on (x + y):n funktio, µ = µ(x + y), ja että µ(s) = C e R θ(s) ds. 1 ( P *14. Osoita, että jos θ := yq xp y Q ) riippuu vain tulosta x y, niin yhtälöllä x P (x, y) + Q(x, y)y = 0 on integroiva tekijä µ, joka on (x y):n funktio, µ = µ(x y), ja että µ(s) = C e R θ(s) ds. *15. Yhtälöllä xy + x 2 y + y 3 + x 2 y = 0 on integroiva tekijä µ, joka on muotoa µ(x, y) = e x f(x 2 + y 2 ). Määrää µ. *16. Osoita, että myös funktio µ(x, y) = integroiva tekijä. 1 y (x 2 + y 2 ) on yhtälön xy + x2 y + y 3 + x 2 y = 0

7 Harjoitukset Jatkuu Osoita (yhtälöä ratkaisematta ja vetoamatta tehtävään 4), että yhtälön y = cos x cos y ratkaisu y : ( δ, δ) R, jolle y(0) = 0, on pariton funktio, t.s. y( x) = y(x) kaikille x ( δ, δ). 2. Osoita (yhtälöä ratkaisematta ja vetoamatta tehtävään 3), että yhtälön y = sin x sin y jokainen ratkaisu y : ( δ, δ) R on parillinen, t.s. y( x) = y(x) kaikille x ( δ, δ). 3. Olkoon f : R 2 R jatkuva funktio siten, että osittaisderivaatta 2 f = f on jatkuva. y Oletetaan, että f( x, y) = f(x, y) kaikille x R ja y R. Olkoon y : ( δ, δ) R yhtälön y = f(x, y) ratkaisu. Osoita, että y on parillinen. 4. Olkoon f : R 2 R jatkuva funktio siten, että osittaisderivaatta 2 f = f on jatkuva. y Oletetaan, että f( x, y) = f(x, y) kaikille x R ja y R. Olkoon y : ( δ, δ) R alkuarvotehtävän y = f(x, y), y(0) = 0, ratkaisu. Osoita, että y on pariton. 5. Ratkaise alkuarvotehtävä y = 2xy, y(0) = 1, Picardin peräkkäisten approksimaatioiden menetelmällä 1, t.s. laske ( ) y n (x) := 1 + x 0 f(t, y n 1 (t)) dt, n = 1, 2, 3,..., missä y 0 (x) 1 ja f(x, y) = 2xy, ja määritä rajafunktio lim n y n (x). [Ohje: Laske ensin funktiojonon pari ensimmäistä termiä ja arvaa niiden perusteella y n :n yleinen lauseke. Todista arvauksesi oikeaksi induktiolla.] 6. Olkoot y n, n = 0, 1, 2, 3,..., alkuarvotehtävän ( ) y = y 2, y(0) = 1, Picardin peräkkäisten approksimaatioiden menetelmällä ( ) määritellyt funktiot y n (x), missä y 0 (x) 1 ja f(x, y) = y 2. a) Osoita, että jokainen y n (x) on määritelty kaikille x R. b) Osoita, että alkuarvotehtävän ( ) ratkaisu y(x) ei ole määritelty kaikille x R. c) Suppeneeko jono (y n ) n=0 jollakin origokeskisellä välillä ( δ, δ) kohti alkuarvotehtävän ( ) ratkaisua y? 1 (Charles) Émile Picard (Traité d Analyse ). Abstraktissa muodossaan peräkkäisten approksimaatioiden menetelmä tunnetaan Banachin kiintopistelauseena (Stefan Banach 1922). Menetelmän toisen löytäjän, Ernst (Leonard) Lindelöfin (1890), mukaan menetelmä tunnetaan myös Picardin ja Lindelöfin menetelmänä. Differentiaaliyhtälön ratkaisun olemassaolo voidaan todistaa myös ns. Cauchyn ja Lipschitzin murtoviivamenetelmällä. Cauchyn ja Lipschitzin menetelmälle läheistä sukua ovat yhtälöiden numeeriseen ratkaisemiseen tarkoitetut Eulerin sekä Rungen ja Kuttan menetelmät. Peanon lauseena tunnettu olemassaolotulos puolestaan käyttää apuna Ascolin ja Arzelàn lausetta. Peanon lauseessa funktiosta f oletetaan vain jatkuvuus.

8 Jatkuu 2 Keskiviikkona ON luento (torstaina ei). Viimeinen luento pidetään keskiviikkona Viimeiset harjoitukset ovat tiistaina *7. Määrää alkuarvotehtävän y = cos x cos y, y(0) = 0, ratkaisu ratkaistussa muodossa y = y(x). Määrää ratkaisun maksimaalinen ratkaisuväli, ja osoita, että y on pariton. *8. Määrää alkuarvotehtävän y = sin x sin y, y(0) = y 0, ratkaisu ratkaistussa muodossa y = y(x) eri alkuarvoilla y 0. Määrää ratkaisun maksimaalinen ratkaisuväli, ja osoita, että y on parillinen. *9. Olkoon f : R 2 R, 2x, kun y x 2, f(x, y) = 2y/x, kun y < x 2, ja 2x, kun y x 2. Määritellään jono (y n ) n=0 samaan tapaan kuin Lauseen todistuksessa: y 0 (x) = x 2 ja y n (x) = x 0 f(t, y n 1 (t)) dt, kun n 1. Osoita, että jono (y n (x)) n=0 ei suppene millekään x 0. [Huomautus: a) f on jatkuva; b) alkuarvotehtävällä y = f(x, y), y(0) = 0, on yksikäsitteinen ratkaisu; vrt. seuraavaan tehtävään.] *10. Olkoot a ja b positiivisia lukuja ja f : [ a, a] [ b, b] R jatkuva funktio. Oletetaan, että f(x, y) < 0, kun xy > 0, ja f(x, y) > 0, kun xy < 0. Osoita, että alkuarvotehtävällä y = f(x, y), y(0) = 0, on yksikäsitteinen ratkaisu. [Vihje: Olemassaolo: osoita, että y = 0 on ratkaisu. Yksikäsitteisyys: käytä antiteesia: on olemassa ratkaisu y : [0, c] R siten, että y 0; tutki y:n minimiä ja maksimia; tarkastele vastaavalla tavalla ratkaisua välillä [d, 0], kun d < 0.] *11. Olkoot a > 0, b > 0, x 0, y 0 R sekä f : [x 0 a, x 0 + a] [y 0 b, y 0 + b] R jatkuva funktio. Osoita, että jos y : R toteuttaa integraaliyhtälön y(x) = y 0 + (x x 0 )y 1 + niin y toteuttaa alkuarvotehtävän x x 0 (x t) f(t, y(t)) dt, ( ) y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 ja y (x 0 ) = y 1. Myös käänteinen pätee (eli jos y toteuttaa alkuarvotehtävän ( ), niin y toteuttaa y.o. integraaliyhtälön). Miten soveltaisit Picardin peräkkäisten approksimaatioiden ideaa alkuarvotehtävän ( ) ratkaisun olemassaolon todistamiseen?

9 Harjoitukset Jatkuu Ratkaise yhtälö y y y = Ratkaise yhtälö y y + y = Minkä ensimmäisen kertaluvun separoituvan differentiaaliyhtälön yhtälön y +k sin y = 0 ratkaisu toteuttaa? Tässä k on positiivinen vakio. (Löytämääsi separoituvaa yhtälöä ei tarvitse ratkaista.) 4. Olkoot y 1 ja y 2 differentiaaliyhtälön y + p(x)y + r(x)y = 0 ratkaisuja, joilla on yhteinen nollakohta. Osoita, että {y 1, y 2 } ei voi olla ratkaisukanta. 5. Tarkastellaan vakiokertoimista homogeeniyhtälöä y + ay + by = 0, a, b R. a) Tutki millä ehdolla funktiot y 1 (x) = e λx ja y 2 (x) = xe λx, λ R, ovat yhtälön ratkaisuja? 2 b) Millä ehdolla y 3 (x) = sin(ωx), ω R, on yhtälön ratkaisu? c) Osoita, että jos y 3 on yhtälön ratkaisu, niin myös y 4 (x) = cos(ωx) on ratkaisu. 6. Olkoot y 1, y 2 : R homogeenisen yhtälön y + p(x)y + r(x)y = 0 ratkaisuja. Osoita, että funktioiden y 1 ja y 2 Wronskin determinantti 3 toteuttaa yhtälön W + p(x)w = 0. 4 W (x) := y 1 (x)y 2(x) y 1(x)y 2 (x) 7. Etsi kertaluvun pudotuksella 5 yhtälölle x 2 y 5xy + 9y = 0, x > 0, ratkaisukanta, kun tiedetään, että y 1 (x) = x 3 on eräs ratkaisu. 8. Osoita, että funktiot y 1 (x) = e x2 /2 ja y 2 (x) = e x2 /2 x 0 et2 /2 dt muodostavat yhtälön y + xy + y = 0 ratkaisukannan. Ratkaise alkuarvotehtävä y + xy + y = 0, y(0) = 0, y (0) = 1. 1 Luennolla tälle yhtälötyypille esitetty ratkaisumenetelmä on peräisin Jacopo Francesco Riccattilta vuodelta Riccatti käytti merkintää p = dy dx, jolloin y d2 dx = dp 2 dx = dp dy dy dx = dp dy p. 2 Idean eksponenttifunktioyritteen käytöstä vakiokertoimisille yhtälöille esitti Leonhard Euler kirjeessään Johann Bernoullille vuonna Euler julkaisi tuloksensa vuonna Determinantti on peräisin Josef Maria Hoëne-Wronskilta ( ). 4 Yhtälön W +p(x)w = 0 ratkaisulle saatava kaava W (x) = W (x 0 ) exp ( x x 0 p(t) dt ) tunnetaan Abelin kaavana norjalaisen Nils Henrik Abelin ( ) mukaan. Abel tutki mm. elliptisiä funktioita ja osoitti ensimmäisenä yhdessä Evariste Galois n ( ) kanssa, että viidennen asteen yhtälöä ei voi ratkaista rationaalisin laskutoimituksin ja juurenotoin. 5 Kertaluvun pudotus toisen, lineaarisesti riippumattoman ratkaisun löytämiseksi on peräisin Jean le Rond d Alembertilta ( ).

10 Keskiviikkona on luento (torstaina ei). Viimeinen luento pidetään keskiviikkona Viimeiset harjoitukset ovat tiistaina Loppukokeet ovat , ja Jatkuu 2 *9. Oletetaan, että funktiot y 1, y 2 : R R muodostavat homogeenisen yhtälön y + p(x)y + r(x)y = 0 ratkaisukannan. a) Osoita, että funktioiden y 1 ja y 2 nollakohdat ovat eristettyjä (eli ei ole olemassa nollakohtaa, jonka jokaisessa ympäristössä olisi muita nollakohtia). b) Oletetaan, että funktiolla y 2 on peräkkäiset nollakohdat x 1 < x 2 (siis y 2 (x 1 ) = y 2 (x 2 ) = 0 ja y 2 (x) 0, kun x (x 1, x 2 )). Osoita, että funktiolla y 1 on ainakin yksi nollakohta ξ välillä (x 1, x 2 ). c) Osoita, että funktiolla y 1 on vain yksi nollakohta välillä (x 1, x 2 ). [Vihje: Nollakohdan olemassaolo: Päättele Wronskin determinantin avulla, että y 1 saavuttaa erimerkkiset (ja nollasta eroavat) arvot pisteissä x 1 ja x 2. Nollakohdan löytämiseen tarvinnet Bolzanon lausetta 6. Huomaa, että y 2(x 1 ) 0 ja y 2(x 2 ) 0. Miksi? Nollakohtia on vain yksi: vaihda y 1 :n ja y 2 :n rooli.] 6 Bernard Bolzano Raja-arvon täsmällinen, δ-ε-määritelmä on peräisin Bolzanolta vuodelta Ansio raja-arvon ja jatkuvuuden määrittelemisestä nykyaikaisella tavalla annetaan yleensä kuitenkin Augustin Louis Cauchylle (vuonna 1821 julkaistut luennot Cours d Analyse).

11 Harjoitukset Olkoon λ R vakiokertoimisen homogeeniyhtälön y + ay + by = 0 karakteristisen yhtälön kaksinkertainen juuri. Tällöin y 1 (x) = e λx on homogeeniyhtälön eräs ratkaisu. Hae yhtälölle toinen lineaarisesti riippumaton ratkaisu yritteellä y 2 (x) = v(x)e λx. 2. Osoita, että jos ±ωi C, ω 0, ovat karakteristisen yhtälön λ 2 + aλ + b = 0 juuria, niin funktio y(x) = Kx cos(ωx) on yhtälön y + ay + by = A sin(ωx) ratkaisu jollakin K R. 3. Etsi differentiaaliyhtälölle y + 2y + y = e x, x > 0, ratkaisu vakioiden varioinnilla.1 x 4. Ratkaise yhtälö y + y = 1 cos x. 5. Osoita, että y 1 (x) = x on homogeeniyhtälön y + 1 y = 0 ratkaisu välillä (0, ). 4x2 Määrää tämän avulla yhtälön y + 1 4x y = 2 Axα, α R, yleinen ratkaisu. 6. Olkoot F : R R jatkuva funktio, U funktion F jokin integraalifunktio ja y = y(x) yhtälön y = F (y) ratkaisu. Osoita, että funktio E(x) := 1 2 y (x) 2 + U(y(x)) on vakio. Minkä ensimmäisen kertaluvun separoituvan differentiaaliyhtälön yhtälön y + k sin y = 0 ratkaisu toteuttaa? Tässä k on positiivinen vakio. 7. Olkoot F : R R jatkuva funktio ja ε positiivinen vakio. Olkoot U funktion F jokin integraalifunktio ja y = y(x) yhtälön y = F (y) εy ratkaisu. Osoita, että funktio E(x) := 1 2 y (x) 2 + U(y(x)) on vähenevä. 8. Olkoot a, b R annettuja vakioita. ja y = y(x) yhtälön x 2 y +a x y +b y = 0 ratkaisu välillä (0, ). Osoita, että funktio z(t) = y(e t ) toteuttaa vakiokertoimisen yhtälön 2 z + (a 1) z + b z = 0. Viimeinen luento pidetään keskiviikkona Harjoitukset 6 tiistaina ovat viimeiset. Loppukokeet ovat , ja Vakion variointimenetelmä (luennot, kohta 3.3.5) on peräisin Joseph Louis Lagrangelta ( ) vuosilta 1775 ja 1788 (Méchanique analytique). Valistunut arvaus (lause ) on puolestaan peräisin Leonhard Eulerilta vuodelta Yhtälö x 2 y + a x y + b y = q(x) tunnetaan Eulerin yhtälönä. Tosin Leonhard Eulerilta on matematiikkaan jäänyt niin monta kaavaa ja yhtälöä, ettei nimi ole kovin kuvaava.

12 Harjoitukset Xtra Jatkuu... *1. Määrää pyykkinarun differentiaaliyhtälön y = a 1 + (y ) 2 yleinen ratkaisu. (Kyseinen yhtälö kuvaa päistään kiinitetyn, vapaasti riippuvan langan muotoa (yhtälölle löytyy tavanomaiset fysikaaliset perustelut). Ratkaisun y = y(x) kuvaajaa kutsutaan yleensä ketjukäyräksi. 1 ) *2. Olkoot vakiokertoimisen homogeeniyhtälön y + ay + by = 0 karakteristisen yhtälön juuret λ = α ± iβ, β 0. Osoita, että funktiot muodostavat yhtälön ratkaisukannan. y 1 (x) = e αx sin βx ja y 2 (x) = e αx cos βx *3. Olkoon f : [ 1, 1] [ 1, 1] R, 0, kun x = 0 ja y 1, 2x, kun 0 < x 1 ja 1 y < 0, f(x, y) = 2x 4y/x, kun 0 < x 1 ja 0 y x 2, ja 2x, kun 0 < x 1 ja x 2 y 1. a) Osoita, että f on jatkuva ja f(x, y) 2. b) Määritellään jono (y n ) n=0 samaan tapaan kuin Lauseen todistuksessa: y 0 (x) = 0 ja y n (x) = x 0 f(t, y n 1 (t)) dt, kun n 1. Osoita, että jono (y n (x)) n=0 ei suppene millekään x 0. *4. Osoita yhtälöä ratkaisematta, että yhtälön y = e x2 sin x cos y ratkaisu y = y(x) on määritelty kaikille x R. *5. Olkoon y : R R yhtälön y = e x2 sin x cos y ratkaisu. Osoita yhtälöä ratkaisematta, että y on parillinen funktio, t.s. y( x) = y(x) kaikille x R. *6. Osoita, että funktiot y 1 (x) = sin x x cos x ja y 2 (x) = cos x + x sin x muodostavat yhtälön y (2/x)y + y = 0 ratkaisukannan. *7. Osoita, että funktiot y 1 (x) = (1/x) sin x ja y 2 (x) = (1/x) cos x muodostavat yhtälön y + (2/x)y + y = 0 ratkaisukannan. 1 Galileo Galilei väitti 1638, että vapaasti riippuva lanka on paraabeli. Pariakymmentä vuotta myöhemmin hollantilainen Christiaan Huygens totesi Galilein olevan väärässä. Oikean ratkaisun löysivät Gottfried Wilhelm Leibniz ja Johann Bernoulli infinitesimaalilaskennan avulla vuonna K. A. Poukan kirjassa Korkamman matematiikan alkeiskurssi (1934, viides laitos 1966) esitetään harhaanjohtavasti ketjukäyrän differentiaaliyhtälöksi yhtälöä y = vakio, jolloin y:n kuvaaja on paraabeli. Yhtälö y = vakio vastaa paremmin päistään kiinitetyn, tiukasti jännitetyn langan muotoa.

13 Jatkuu 2 *8. Ratkaise y + y = cot x. *9. Ratkaise y y = cosh x a) vakion varioinnilla; b) valistuneen arvauksen avulla. *10. Legendren 2 astetta yksi olevalla yhtälöllä (1 x 2 )y 2xy + 2y = 0, x < 1, on ratkaisu y 1 (x) = x. Määrää yhtälölle ratkaisukanta {y 1, y 2 }. *11. Olkoot y 1 ja y 2 differentiaaliyhtälön y + p(x)y + r(x)y = 0 ratkaisuja, joilla samassa pisteessä miminikohta (tai maksimikohta). Osoita, että {y 1, y 2 } ei voi olla ratkaisukanta. *12. Olkoot f = f(y, y ) kaksi kertaa jatkuvasti differentioituva funktio ja h(y, y ) := f(y, y ) + y f y (y, y ). Oletetaan, että y on Eulerin ja Lagrangen yhtälön 3 d f dx y (y(x), y (x)) f y (y(x), y (x)) = 0 ratkaisu. Osoita, että funktio x h(y(x), y (x)) on vakio. *13. Sovella edellisen tehtävän menetelmää Eulerin ja Lagrangen yhtälön ratkaisun määräämiseksi, kun f(y, y ) = y 1 + (y ) 2. *14. Osoita, että sarja y(x) = k=0 x 2k (k!) 2 suppenee kaikille x, ja että y toteuttaa differentiaaliyhtälön x 2 y + xy = 4x 2 y. [Tämä funktio tunnetaan nimellä modifioitu Besselin ensimmäisen lajin funktio I 0 (2x). Funktiolle I 0 (2x) ratkaisukannan antava pari K 0 (2x), modifioitu Besselin toisen lajin funktio, on mutkikkaampi käyttäytymiseltään eikä ole edes määritelty, kun x = 0.] 2 Adrien Marie Legendre ( ). Kun p on ei-negatiivinen kokonaisluku, on Legendren astetta p olevalla yhtälöllä (1 x 2 )y 2xy +p(p+1)y = 0 varsin mielenkiintoisia polynomiratkaisuja, jotka tunnetaan Legendren polynomien nimellä. 3 Leonhard Euler (Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti, 1744) ja Joseph Louis Lagrange (Essai d une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indéfinies, 1760). Eulerin jäämistöä jokapäiväiseen matematiikkaan ovat mm. merkinnät f(x) funktiolle, Σ summalle, e Neperin luvulle ja i imaginääriyksikölle. Eulerin merkintä- ja esitystapa näkyy vielä varsin hyvin koulumatematiikassa (vrt. Institutiones calculi differentialis, 1755). Euler julkaisi tavattoman paljon, joukossa Kirjeitä saksalaiselle prinsessalle fysiikasta ja filosofiasta (suom. ja toim. Johan Stén, 2007).