Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt
|
|
- Ritva Salo
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 SMG-00 Piirianalyysi II Harjoitustehtävät Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen, jos T u u T u T u, jossa ja ovat vaioita ja u ja u ovat järjestelmän T asi eri sisäänmenoa (a) Järjestelmän ulostuloa on yleensä tapana meritä y:llä, jota ei uitenaan yllä olevasta lineaarisuuden määritelmästä löydy Mitä termit lineaarisuuden määritelmässä edustavat järjestelmän ulostuloa? (b) Maailmalla Kuninaan paluu on suosittu elouva, mutta Suomessa nuo asi sanaa taroittavat sitä esän 004 heteä, jolloin Jari Litmanen palasi Veiausliigaan FC Lahden riveissä Tarastellaan järjestelmää, jona sisäänmeno u on Litmasen peliaia ysittäisessä otiottelussa, ja ulostulo y on yseisen ottelun yleisömäärä Jos Jari ei pelaa minuuttiaaan, atsomossa on 000 silmäparia Jos Jari pelaa täydet 90 minuuttia, atsojia on 0000 Oletetaan, että yleisömäärän riippuvuus Litmasen peliminuuteista noudattaa suoran yhtälöä Ono järjestelmä lineaarinen? Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmän sisäänmeno on ondensaattorin virta, ja ulostulo on ondensaattorin yli oleva jännite Millä ehdolla yseinen järjestelmä on lineaarinen? 3 Järjestelmien lineaarisuus: Tarastellaan oheista ytentää, jona sisäänmeno on lähdejännite u(t) ja ulostulo vastusen R yli oleva jännite y(t) Tarastele piirin lineaarisuutta, un (a) R = R (b) R = u(t)/r R u(t) R y(t) 4 Differenssiyhtälöt: (a) Teemu ostaa jänisaupasta asi vastasyntynyttä jänistä, joista toinen on uros ja toinen naaras Jänöset ovat tehoaita lisääntymään, miä paljastuu ahden uuauden uluttua jäleläisparin (uros ja naaras) syntyessä Oletetaan, että ysiään jänö ei uole, ja oletetaan lisäsi aiien jänisparien saavan uros- ja naaraspoiasen joa uuausi saavutettuaan ensin suuypsyyden uuaudessa Muodosta pitäorvaparisuntien luumäärää uvaava differenssiyhtälö Differentiaaliyhtälöt: (b) Tarastellaan oheista ytentää, jona sisäänmeno on lähdejännite u(t) ja ulostulo virta i(t) Muodosta järjestelmää uvaava differentiaaliyhtälö R i(t) u(t) L
2 5 Järjestelmien lineaarisuus: Vastus R on ytetty jännitelähteen u(t) anssa sarjaan Ono järjestelmä lineaarinen, un sisäänmeno on u(t) ja ulostulo on vastusen ottama teho p(t)? Luu : Lineaaristen differenssiyhtälöiden rataiseminen aiatasossa Homogeeniset differenssiyhtälöt: Tarastellaan differenssiyhtälöä Ay By Cy 0 Hae yleinen rataisu y :lle, un (a) A =, B = - ja C = - (b) A =, B = - ja C = /4 (c) A =, B = - ja C = / Epähomogeeniset differenssiyhtälöt: Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y D 0 Hae yleinen rataisu y :lle, un (a) D = (b) D = 5 (c) D = 3 Epähomogeeniset differenssiyhtälöt: Rataise oheista lohoaaviota uvaava differenssiyhtälö, un u = 4 ja y 0 = 4 u y 3 4 Epähomogeeniset differenssiyhtälöt: Alex Ferguson on laittanut Dimitar Berbatovin rangaistuspotuurssille, osa Dimitar teee tällä hetellä pilusta maalin säälittävällä 0%:n todennäöisyydellä Berbatov on uitenin nopea oppimaan, ja piluurssilla ollessaan hänen taitonsa ehittyy siten, että maalinteotodennäöisyys noudattaa yhtälöä P P 000, jossa taroittaa uuautta Kuina monta uuautta Dimitarin on vietettävä urssilla, jotta hän teee joaisesta pilusta maalin? Huomaa, että yseessä on disreettiaiainen järjesjestelmä, eli saa ainoastaan oonaisluuarvoja 5 Epähomogeeniset differenssiyhtälöt, oonaisrataisu: Muodosta oonaisrataisu oheista lohoaaviota uvaavalle differenssiyhtälölle, un y, 0 u u 0, 0 3 6
3 6 Impulssivaste ja onvoluutiosumma: Tarastellaan samaa järjestelmää uin tehtävässä 5 Muodosta järjestelmän impulssivaste ja lase ulostulo onvoluutiosumman avulla Miä on y 3 :n arvo? Tulio sama tulos uin tehtävässä 5? 7 Disreettiaiajärjestelmien tilamuuttujaesitys: Tarastellaan edelleen samaa järjestelmää uin tehtävässä 5 Valitse viiveelementtien jäleiset tilat tilamuuttujisi ja muodosta järjestelmän tilamuuttujaesitys Ono järjestelmä stabiili? 8 Disreettiaiajärjestelmän stabiilisuus: Tehtävässä 7 esitettiin disreettiaiajärjestelmän stabiilisuusehto tilamatriisin ominaisarvojen avulla Miten voit tarastella stabiilisuutta tehtävän 5 differenssiyhtälön rataisusta? Mitä järjestelmän stabiilisuus siis taroittaa? 9 Impulssivaste ja onvoluutiosumma: Barcelonan jalapallojouueen hyöääjät suorittavat Cooperin testiä Tapahtuma poieaa uitenin hieman totutusta, sillä joaisella hyöääjällä on selässään puolustaja, joa pyrii estämään hyöääjän etenemisen Tarastellaan paria Messi - Puyol Messi juosee, ja Puyol yrittää laittaa hanttiin Kuina monta minuuttia Messi pystyy etenemään, un hänen nopeutensa v noudattaa minuuttien funtiona differenssiyhtälöä v v u? Muodosta järjestelmän impulssivaste ja lase onvoluutiosumman avulla Messin nopeus, un järjestelmän sisäänmeno u = Taroitus on siis selvittää, uina monennella minuutilla Puyol alaa repiä Messiä taasepäin, jolloin Lionelin nopeus muuttuu siis negatiivisesi 0 Konvoluutiosumma: Andrey ostaa Tapsantorilta järjestelmän muttei ymmärrä mitään sen toiminnasta Hän pyytää apua Arsenelta, joa huomaa järjestelmän yljessä luevan: h 0, 0 b, 0 Auta tyimiesasioa ja määritä lausee järjestelmän ulostulolle y, un sisäänmenolle pätee u 0, 0 a, 0 Diagonalisointi: Diagonalisoi oheinen järjestelmä, jolle muodostettiin tilamuuttujaesitys tehtävässä 7 Mitä iloa diagonalisoinnista on?
4 y u 0,, 0 0 u 3 6 Luu 3: Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden rataiseminen aiatasossa 3 Homogeeniset differentiaaliyhtälöt: Hae yleinen rataisu differentiaaliyhtälölle d y t dy t A By t 0, un (a) A = 4, B = 7/4, (b) A =, B = 3 Homogeeniset differentiaaliyhtälöt: Hae yleinen rataisu tehtävän 3 yhtälölle, un A = ja B = 5/4 Karateristisen yhtälön juuret ovat nyt omplesiluuja Mihin imaginääriysiö j atoaa homogeenisen yhtälön rataisusta? 33 Homogeeniset differentiaaliyhtälöt: Hae yleinen rataisu differentiaaliyhtälölle 3 d d d y t y t y t 0 t t t 3 d d 4 d 34 Homogeeniset differentiaaliyhtälöt (oonaisrataisu): Rataise v(t) C = 05 F, L = 8 H, R = 0, v(0) = 0 V ja i L (0) = -5 ma i C i L i R C L R v(t) 35 Epähomogeeniset differentiaaliyhtälöt (oonaisrataisu): Alla olevan uvan ytin S on aui, un t < 0 Tällöin piiri on tasapainotilassa, eli virta i(t) on vaio Ajanhetellä t = 0 ytin suljetaan Määritä virta i(t), un t 0 i(t) E L R S R 36 Epähomogeeniset differentiaaliyhtälöt (yleinen oonaisrataisu): Rataise differentiaaliyhtälö y t 4y t 4y t f t, un (a) f t e t, (b) f t 5t, t (c) f t sin t, (d) f t e 5t sin t
5 37 Epähomogeeniset differentiaaliyhtälöt (oonaisrataisu): Legendaariseen maineeseen noussut lasuvarjohyppy on monen mielestä Joerin ventti -nimisen untopiirin rasain liie Kyseinen liie on asivaiheinen Ensin ponnistetaan lattiasta ylös, ja laipisteen saavuttamisen jäleen leijaillaan taaisin lattialle Suorituseen valmistautuvaa henilöä voidaan uvata oheiselle meaanisella järjestelmällä Lytyssä oleva jousi (jousivaio ) uvaa untoilijan (massa m) ouussa olevia polvia, jota sinoavat hänet irti lattiasta Gravitaatio taas pitää huolen siitä, ettei untoilija lyö päätään liiuntahallin attoon x(t) uvaa untoilijan massaesipisteen sijaintia suoritusen aiana lepotilanteeseen verrattuna Kun ilmanvastusta ei oteta huomioon, tilannetta uvaavasi differentiaaliyhtälösi saadaan Newtonin II lain muaisesti 0 m m x(t) xt mg mxt Rataise x(t), un m = 70 g, = 000 N/m, g = 98 m/s, x(0) = -0 m ja x 0 0 m/s Mallin oieellisuutta on mahdollista tarastella liiuntahallissa torstaisin lo 7-8 Misi malli ei uvaa todellista tilannetta? 38 Epähomogeeniset differentiaaliyhtälöt (oonaisrataisu): Oheisen järjestelmän sisäänmeno on lähdevirta i(t) ja ulostulo jännite y(t) Muodosta ulostulon lausee, un sisäämeno i(t) = 0, un t < 0, ja i(t) = e -t sin(t), t 0 R =, C = mf i(t) R C y(t) 39 Jatuva-aiajärjestelmän impulssivaste: Muodosta tehtävän 38 järjestelmälle impulssivaste 30 Jatuva-aiajärjestelmän tilamuuttujaesitys: Kirjoita tilamuuttujaesitys oheiselle piirille i(t) Järjestelmän sisäänmeno on lähdejännite v(t) ja ulostulo vastusen R yli oleva jännite Käytä v(t) tilamuuttujina ondensaattorin yli olevaa jännitettä v C (t) ja äämin virtaa i(t) Ono järjestelmä stabiili, un R =, C = nf ja L = mh? Mistä jatuvaaiajärjestelmien stabiilisuusehto tulee? L R C v C (t) 3 Epälineaarisen yhtälön rataiseminen (Newton-Raphson): Rataise oheisen ytennän omponenttien yli olevat jännitteet Newton- Raphson -algoritmilla ahden desimaalin taruudella, un I = A, R = 05 ja diodin virta i D noudattaa lauseetta i D = e 0U -, missä U on diodin yli oleva jännite R R I R I
6 3 Jatuva-aiajärjestelmän impulssivaste: Diego Forlan antaa vapaapotua Tarastellaan palloa, joa ennen vaparia lepää liiumattomana nurmella Sillä hetellä, un Forlanin jala osuu palloon, siihen ohdistuu impulssimainen voima (t), josta seuraa pallon iihtyvyys h(t), ysiönä m/s Järjestelmää uvaava yhtälö on dht 000 h t 00 t Rataise pallon iihtyvyys h(t) Luu 4: Lineaaristen differenssiyhtälöiden rataiseminen Z-muunnosen avulla 4 Z-muunnosen muodostaminen: Hae määritelmään perustuen seuraavien termien Z-muunnoset, un 0 Termin x Z-muunnos on X(Z) (a) a (vaio) (b) (/3) (c) x +3 (d) x -3 (e) 4 Differenssiyhtälön rataiseminen aiatasossa: R Ana on matalla Hinustaniin ja rahaa säästääseen päättää ylittää Kamalajan aavion amelilla Ahmedin vesihuoltis Kamalajan aavion laitamilla myy vettä tasalitroittain pöyristyttävällä 0 centin litrahinnalla, joten Roope päättää lasea tarvittavan veden määrän Jotta Roope ehtii liietapaamiseen, amelin matanopeuden täytyy olla 0 m/h Vuoraamelin huoltoirjasta löytyvistä vedenulutustilastoista Roope näee em matanopeuden aiheuttaman vedenhäviin olevan,5 l/h Toisaalta ulolämpötilasta ja tuulioloista johtuen 5 % ameliin tanatusta vesimäärästä haihtuu joa tunti Kuina monta litraa vettä Roopen täytyy tanata amelinsa yttyröihin, jotta tanattu vesi ei lopu esen 50 m:n matalla? 43 Differenssiyhtälön rataiseminen Z-muunnosen avulla: Rataise tehtävän differenssiyhtälö Z-muunnosen avulla 44 Z-muunnosen muodostaminen: Hae u :n Z-muunnos U(Z), un u sin a, 0, missä a on vaio 45 Differenssiyhtälön rataiseminen Z-muunnosen avulla: Rataise y Z-muunnosen avulla, un y 0 = 0 ja y y 4 46 (a) Z-muunnosen muodostaminen: Muodosta y :n Z-muunnos Y(z), un y u, 0, ja Z{u } = U(z) (b) Loppuarvoteoreema: Disreettiaiajärjestelmän ulostulon y Z-muunnos Y(z) on
7 Y z 5z 0 z 05 z z z z Määritä lim y 47 Impulssivasteen määrittäminen Z-muunnosen avulla: Rataise oheisen differenssiyhtälön impulssivaste Z-muunnosen avulla y y y 3u u 48 Siirtofuntion H(z) määrittäminen: Järjestelmän ulostulo on 5 y, 0, ja sisäänmeno u, 0 Määritä impulssivasteen h Z-muunnos H(z), jota siirtofuntiosiin utsutaan 49 Siirtofuntion H(z) hyödyntäminen: Lase ulostulo y tehtävän 48 järjestelmälle, un järjestelmän sisäänmeno on u 3, 0 40 Siirtofuntion H(z) hyödyntäminen: Valeaosen Haa vahvistaa rivejään Erityisesti juosuvoimalle on tarvetta, joten päävalmentaja Ristilä ostaa Roberto Carlosin Venäjän valioliigaa pelaavasta FK Anzi Mahatsalasta Kyseisellä pelaajalla on perinteisesti tapana toimia seä alimpana puolustajana että hyöäysen ärenä, minä seurausena hän juosee useamman maratonin yhden ottelun aiana Roberto saapuu Valeaoselle ontissa, jona rahtiirjasta Haan päävalmentaja luee uuden vahvistusensa siirtofuntion olevan H z 08z 8z Koittaa ensimmäinen pelipäivä Ristilä antaa Carlosille luvan juosta, ja Carloshan juosee Kun päävalmentajan lupa edustaa järjestelmän sisäänmenoa ja on u =, un 0, muodosta ulostulon y lausee Ulostulo y uvaa Carlosin juosemaa ilometrimäärää ottelun aiana, un edustaa uluneita peliminuutteja Kuina monen minuutin jäleen ensimmäinen maraton täyttyy? 4 Impulssivasteen h Z-muunnos H(z): Järjestelmän sisäänmeno u ja ulostulo y ovat u 5, un 0, 0, un 0 y 500, un 5 0, un 5 Muodosta järjestelmän siirtofuntio H(z) ja impulssivaste h 4 Siirtofuntion H(z) hyödyntäminen asadiytennässä: Kasi identtistä järjestelmää on ytetty sarjaan Ysittäisen järjestelmän impulssivaste h = (/), 0 Jos ensimmäisen järjestelmän sisäänmeno on u = (asel), miä on jälimmäisen järjestelmän ulostulo y?
8 43 Differenssiyhtälöt & Z-muunnos: Rataise tehtävä 9 (Messi & Puyol) Z-muunnosella Järjestelmää uvaava yhtälö on v v u, jossa v edustaa ulostuloa ja sisäänmeno u = Taroitus on siis muodostaa järjestelmän impulssivaste h ja rataista v, joa uvaa Messin nopeutta minuuttien funtiona Aluarvo v 0 = 0 Luu 5: Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden rataiseminen Laplacemuunnosen avulla 5 Laplace-muunnos: Hae määritelmään perustuen seuraavien termien Laplace-muunnoset, un i(t):n Laplace-muunnos on I(s) (a) a (vaio) (b) 3t (c) / e t 5 Laplace-muunnos: Rataise Laplace-muunnosella differentiaaliyhtälö di t i t t, un i(0) = 0 A (d) d i t 53 Raúl Gonzáles: Raúl on erran antanut harhasyötön Tuosta onnettomasta hetestä lähtien todennäöisyys onnistuneelle syötölle p(t) on noudattanut differentiaaliyhtälöä p t 5p t 75 Rataise p(t) Laplace-muunnosella, un p(0) = 097 Millä todennäöisyydellä Raúl antaa onnistuneen syötön, un tuosta synästä virheestä on ulunut 05 s? 54 Differentiaaliyhtälöt & Laplace-muunnos: Oheisen RLC-piirin ytin suljetaan, un t = 0 s Kun ytin on aui, ondensaattorin yli on 40 V:n jännite Rataise Laplace-muunnosen avulla ondensaattorin yli oleva jännite ajan funtiona, v C (t) U = 00 V, R = 50, L = 0 mh, C = 5 F U R L C 55 Differentiaaliyhtälöt & Laplace-muunnos: Rataise oheinen differentiaaliyhtälöpari, un x(0) = ja y(0) = 0 xt 4xt yt yt x t y t y t 0
9 56 Siirtofuntio: Muodosta tehtävän 5 järjestelmän siirtofuntio H(s), un i(t) edustaa järjestelmän ulostuloa ja aselfuntio (t) edustaa järjestelmän sisäänmenoa Varmista lisäsi tehtävässä 5 saatu ulostulo H(s)U(s):n avulla 57 Siirtofuntio ja loppuarvoteoreema: Jatuva-aiajärjestelmää uvaavasi siirtofuntiosi on saatu s H s s s s 3 Rataise järjestelmän ulostulo y(t), un sisäänmeno u t loppuarvoteoreemalla lim t 4e t y t Varmista tulos aiatason rataisusta t Lase vielä 58 The Science of Soccer: Kuvitellaan, että jalapallon törmäystä maalin tolppaan voidaan uvata homogeenisella differentiaaliyhtälöllä dbt cp 0 bt m, un 0 t t max Yhtälössä b on pallon muodonmuutosen syvyys, c pallon ehän pituus, p erotus pallon sisällä olevasta paineesta ja ympäröivästä ilmanpaineesta ja m pallon massa Tarastellaan SMG:n wirallista tyy-palloa, jolle m = 044 g, c = 0703 m, p = N/m (083 atm) ja t max = 8 ms Rataise Laplace-muunnosen avulla pallon muodonmuutos b(t), un Risto ampuu pallon tolppaan maltillisella 87 m/h:n nopeudella Tarastelun aluhetellä pallo on juuri osumassa tolppaan, eli b(0) = 0 m 59 Laplace-muunnos: Tarastellaan indutanssiltaan 50 mh:n äämiä Ajatellaan sitä järjestelmänä, jona sisäänmeno on äämin yli oleva jännite u L (t) ja ulostulo äämin virta i L (t) Rataise Laplace-muunnosen avulla i L (t), un u L (t) noudattaa lauseetta ul t sin t V, jossa = 00 Oleta äämin tasavirtaomponentti nollasi Aluarvo i L (0) on pääteltävissä u L (t):stä, vaia vaatiiin hieman pähäilyä 50 Differentiaaliyhtälöt & Laplace-muunnos: Rataise tehtävä 37 (lasuvarjohyppy) Laplace-muunnosella Rataise siis x(t) differentiaaliyhtälöstä x t mg mx t,
10 jossa m = 70 g, = 000 N/m, g = 98 m/s, x(0) = 0 m ja x 0 0 Luu 6: Jasolliset funtiot ja Fourier'n sarjaehitelmä 6 Fourier'n esponenttisarja: Esitä oheinen jasollinen jännitesignaali Fourier'n esponenttisarjana v(t) (V) 5 0 t (ms) 6 Taajuusvaste: Järjestelmää, jona sisäänmeno on u(t) ja ulostulo y(t), uvaava differentiaaliyhtälö on y t y t 4y t u t 3u t Määritä järjestelmän taajuusvaste 63 Taajuusvaste: Järjestelmän taajuusvasteesi on saatu H j 3 3 j j j Muodosta järjestelmää uvaava differentiaaliyhtälö 64 Taajuusvasteen hyödyntäminen järjestelmän ulostulon määrittämisessä: Tarastellaan oheista ytentää, jona sisäänmeno on lähdejännite u(t) ja ulostulo ondensaattorin yli oleva jännite y(t) Muodosta ulostulon lausee, un R L sisäänmenosi syötetään tehtävän 6 sahalaitasignaali R = 000, L = 50 mh, C = 00 F u(t) C y(t)
Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt
SMG-00 Piirianalyysi II Luentomonisteen harjoitustehtävien vastauset Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen,
Lisätiedot2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla
MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un
LisätiedotRATKAISUT: 21. Induktio
Physica 9 2. painos 1(6) ATKAISUT ATKAISUT: 21.1 a) Kun magneettienttä muuttuu johdinsilmuan sisällä, johdinsilmuaan indusoituu lähdejännite. Tätä ilmiötä utsutaan indutiosi. b) Lenzin lai: Indutioilmiön
Lisätiedot2. Laskuharjoitus 2. siis. Tasasähköllä Z k vaipan resistanssi. Muilla taajuuksilla esim. umpinaiselle koaksiaalivaipalle saadaan = =
2 Lasuarjoitus 2 21 Kytentäimpedanssin asenta Mitä taroittaa ytentäimpedanssi? 5 ma:n suuruinen äiriövirta oasiaaiaapein vaipassa (uojoto) aieuttaa 1 mv:n suuruisen äiriöjännitteen 1 m:n mataa Miä on ytentäimpedanssin
Lisätiedotjärjestelmät Luku 2 Diskreettiaikaiset järjestelmät - aikataso DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen
DEE- Lineaariset järjestelmät Luu 2 Disreettiaiaiset järjestelmät - aiataso DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26 Diseettiaiainen vs jatuva-aiainen Jatuvan signaalin u(t) nätteistäminen disreetisi
Lisätiedotjärjestelmät Diskreettiaikaiset järjestelmät aikatason analyysi DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen
DEE- Lineaariset järjestelmät Disreettiaiaiset järjestelmät aiatason analsi DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen Disreettiaiaiset järjestelmät 7 3 5 Lineaaristen, vaioertoimisten differenssihtälöiden
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen
D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa
LisätiedotEksponentti- ja logaritmiyhtälö
Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,
LisätiedotProjekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on
EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. Ryhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. Ryhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana
LisätiedotEnnen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen
Lisätiedot2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Meaniian jatourssi Fys10 Sysy 009 Jua Maalampi LUENTO 6 Harmonisen värähdysliieen energia Jousen potentiaalienergia on U ( x missä on jousivaio ja Dx on poieama tasapainosta. Valitaan origo tasapainopisteeseen,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi
02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen
9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan
LisätiedotProjekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on
EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. yhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. yhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen
/ ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usean vapausasteen systeein liieyhtälöien johto Lagrangen yhtälöillä JOHDANO Kirjoitettaessa liieyhtälöitä suoraan Newtonin laeista äytetään systeeistä irrotettujen osien tai
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan
LisätiedotKertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.
Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.
LisätiedotVakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.
1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2
Lisätiedot[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.
ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -
Lisätiedotjärjestelmät Luento 8
DEE-111 Lineaariset järjestelmät Luento 8 1 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214 Luento 7 - Recap Z-muunnos ja sen ominaisuudet Lineaaristen dierenssiyhtälöiden käsittely Alku- ja loppuarvot
LisätiedotHanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:
Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset
DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään
Lisätiedot1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2)
. Harjoitusoe. a) Valitaan suorilta asi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) 0 0 0 Suoran yhtälö on y. Suora t: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) ( ) 0 Suoran yhtälö on y.
LisätiedotDISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa
Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa
LisätiedotRATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine
Physica 9. painos (6). Lämpötila ja paine :. Lämpötila ja paine. a) Suure, jolla uvataan aineen termoynaamista tilaa. b) Termoynaamisen eli absoluuttisen lämpötila-asteion ysiö. c) Alin mahollinen lämpötila.
LisätiedotTehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
LisätiedotS Piirianalyysi 2 1. Välikoe
S-55.0 Piirianalyyi. Välioe 9.3.007 ae tehtävät eri paperille uin tehtävät 3 5. Muita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanumero, urin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Muita
Lisätiedot± r = 1e 2 2 ±
SMG- Piirianalyysi II Ehdotuset harjoitusen asi rataisuisi 3 (a) d y ( t) dy ( t) 7 4 y ( t) 4 r + + = y(t) = e rt r r ( ) + 4r + 7 / 4 = KY ± r = 4 4 4 7 / 4 e rt + 4 e rt + 7 / 4 e rt = : e rt r = /
LisätiedotLAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO
LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPITO TYÖOHJE 2009 Keianteniian osasto Tenillisen eian laboratorio BJ90A0900 Tenillisen eian ja tenillisen polyeerieian laboratoriotyöt Ohje: Irina Turu, Katriina Liiatainen,
LisätiedotKun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla
LisätiedotTyö ja energia. Haarto & Karhunen.
Työ ja energia Haarto & Karhunen Voiman teemä työ Voiman F teemä työ W määritellään voiman F ja uljetun matan s pistetulona. Siis uljetun matan s ja matan suuntaisen voiman omponentin tulona. W = F s =
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:.
AMMATIKKA top 7..005 MATEMATIIKAN KOE. ateen ammatillien oulutuen aiien alojen yteinen matematiia ilpailu Nimi: Oppilaito:. Koulutuala:... Luoa:.. Sarjat: MERKITSE OMA SARJA. Teniia ja liienne:... Matailu-,raitemu-
LisätiedotTalousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut
Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:
LisätiedotSattuman matematiikkaa III
Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université
LisätiedotVakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15
SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
LisätiedotMiehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa
S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että
LisätiedotPerustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään
LisätiedotIII. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,
III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat
Lisätiedotjärjestelmät Luento 4
DEE- Lineaarise järjeselmä Lueno 4 Lineaarise järjeselmä Riso Mionen 3.7.4 Lueno 3 - Recap Lineaarisen differenssiyhälöiden raaiseminen Impulssivaseen äsie Impulssivase ja onvoluuiosumma Lineaarise järjeselmä
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi Mekaniikan kertausta
Sähöstatiia ja magnetismi Meaniian etausta Antti Haato 17.05.013 Newtonin 1. lai Massan hitauden lai Jatavuuden lai Kappaleen nopeus on vaio tai appale pysyy paiallaan, jos siihen ei vaiuta voimia. Newtonin
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäöisyyslasenta IIa, syys loauu 019 / Hytönen 1. lasuharjoitus, rataisuehdotuset 1. ( Klassio ) Oloot A ja B tapahtumia. Todista lasuaavat (a) P(A B) P(A) + P(B \ A), (b) P(B) P(A B) + P(B \ A), (c)
LisätiedotHeilurin differentiaaliyhtälö
LUKU 4 Heilurin differentiaaliyhtälö 4.. Konservatiiviset systeemit Fysiaalisissa sovellutusissa täreitä ovat ns. onservatiiviset systeemit. Ysiulotteinen onservatiivinen systeemi (tai onservatiivinen
LisätiedotAPTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET
APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPEUSTEET Koooma 28.3.2006. Viimeisin perustemuutos on ahistettu 16.1.2003. APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN LASKU-
LisätiedotTyöntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet
Työnteijän eläelain (TyEL) muaisen eläeauutusen erityisperusteet 202 2 TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN (TYEL) MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET Voimaantulosäännöset Perusteen 20.2.2006 oimaantulosäännös
LisätiedotLuento 2 / 12. SMG-1200 Piirianalyysi II Risto Mikkonen
SMG-00 Piirianalsi II Lento / SMG-00 Piirianalsi II Risto Mionen 6.8.03 ) ( ) ( ) ( L L L L L ) ( ) ( Additiiviss Homogeeniss ) ( ) ( ) ( L L L Lineaariss 6.8.03 SMG-00 Piirianalsi II Risto Mionen Aiainvarianttiss
LisätiedotJ1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6
MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato
LisätiedotLuku 7 Työ ja energia. Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia
Luku 7 Työ ja energia Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia Tavoitteet: Selittää työn käsite Mallittaa voiman tekemä työ Mallittaa liike-energian ja työn keskinäinen riippuvuus Esitiedot Newtonin lait
Lisätiedotjärjestelmät Luku 1 Johdanto; termit ja käsitteet 1 DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Luu Johdanto; termit ja äsitteet DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen DEE-00 Lineaariset järjestelmät I+II periodi Luennot, Risto Mionen, SH 3 Harjoituset, Tiina
LisätiedotEPOP Kevät
EPOP Kevät 2012 16.1.2012 Projeti 1 Muutosilmiöt Piirianalyysi 1:ssä äsitellyt tasa- ja vaihtovirta-analyysit ovat jatuvan tilan menetelmiä, joissa oletetaan, että piirin herätteet (riippumattomat lähteet)
Lisätiedot4.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotHARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ 1. yön tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus ässä työssä tutustut jasolliseen, määrätyin aiavälein toistuvaan liieeseen,
LisätiedotLuku kahden alkuluvun summana
Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
LisätiedotNopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
LisätiedotPyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi
LisätiedotErään piirikomponentin napajännite on nolla, eikä sen läpi kulje virtaa ajanhetkellä 0 jännitteen ja virran arvot ovat. 500t.
DEE- Piirianalyysi Harjoitus / viikko 4 Erään piirikomponentin napajännite on nolla, eikä sen läpi kulje virtaa ajanhetkellä jännitteen ja virran arvot ovat t Kun t, v te t 5t 8 V, i te t 5t 5 A, a) Määritä
Lisätiedot1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot
1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen
LisätiedotXXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut
XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki
Lisätiedot3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus
30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,
Lisätiedot1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot
1 Tieteellinen esitystapa, yksiköt ja dimensiot 1.1 Tieteellinen esitystapa Maan ja auringon välinen etäisyys on 1 AU. AU on astronomical unit, joka määritelmänsä mukaan on maan ja auringon välinen keskimääräinen
LisätiedotS SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen
S-55.103 SÄHKÖTKNKKA 7.5.004 Kimmo Silvonen Tentti: tehtävät 1,3,5,7,9 1. välikoe: tehtävät 1,,3,4,5. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,10 Oletko muistanut vastata palautekyselyyn? Voit täyttää lomakkeen nyt.
Lisätiedot1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
Lisätiedot7.1 Taustamelun estimoinnista
7 Puheen ehostus Puheen ehostamisea taroitetaan seaisia menetemiä, joia puheen aatua pyritään parantamaan. Kuuostaa ysinertaiseta, mutta mitä sitten taroitetaan aadua? Siä voidaan taroittaa ainain seeyttä
LisätiedotM 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon
Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali
LisätiedotSMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA
SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Vaihtosähkön teho kompleksinen teho S pätöteho P loisteho Q näennäisteho S Käydään läpi sinimuotoisiin sähkösuureisiin liittyviä tehotermejä. Määritellään kompleksinen teho, jonka
Lisätiedot3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta
Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate
LisätiedotELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 12: Tasokehän palkkielementti, osa 2.
/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO : Tasoehän palielementti, osa. NELJÄN VAPAUSASTEEN PALKKIELEMENTTI Kun ahden vapausasteen palielementin solmuihin lisätään loaalin -aselin suuntaiset siirtmämittauset,
LisätiedotMAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET
5 TLOUYRTTÄJÄN ELÄKELN UKEN VKUUTUKEN PERUTEET PERUTEDEN OVELTNEN Näitä perusteita soelletaan..009 lähtien maatalousrittäjän eläelain 80/006 YEL muaisiin auutusiin. VKUUTUKU Vauutusmasu uodelta on maatalousrittäjän
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 45/2017
KJR-C00 Kontinuumimeaniian perusteet viio 45/017 1. Oloon f t ) alojen onsentraatio [ f ] < g/m ) joessa joa riippuu siis seä paiasta että ajasta. Havaitsija on veneessä ja mittaa onsentraatiota suoraan
LisätiedotESIM. ESIM.
1 Vierintäita f r lasetaan samannäöisellä aavalla uin liuuitain: Ihmisunnan erästä suurimmista esinnöistä eli pyörää äytetään sen taia, että vierintäitaerroin µ r on paljon pienempi uin liuuitaerroin:
LisätiedotDiplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut
A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi
Lisätiedot(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon:
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2429 Systeemien Identifiointi 2 harjoituksen ratkaisut Yhtälö voitaisiin ratkaista suoraankin, mutta käytetään Laplace-muunnosta tehtävän ratkaisemisessa
LisätiedotInteraktiiviset menetelmät
Interatiiviset menetelmät. Johdanto. Interatiivinen SWT-menetelmä 3. GDF-menetelmä 4. Yhteenveto Optimointiopin seminaari - Kevät 000 /. Johdanto Interatiivisissa menetelmissä päätösenteijä ja analyytio
Lisätiedot(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA
Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi
Lisätiedottermit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta
LisätiedotYhden vapausasteen värähtely - harjoitustehtäviä
Dynaiia 1 Liie luuun 8. g 8.1 Kuvan jousi-assa syseeissä on = 10 g ja = 2,5 N/. Siiryä iaaan saaisesa asapainoaseasa lähien. luheellä = 0 s assa on saaisessa asapainoaseassaan ja sillä on nopeus 0,5 /
Lisätiedot5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89.
5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät: a) ( ) z + 3, b) 2 [ z 2 + ( 1) ], c) a) Koo omplesitaso; b) z =, R = 1; c) z = i, R = 4. 85.
LisätiedotValon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa
Jväslän Ammattioreaoulu, IT-instituutti IXPF24 Fsiia, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pasi Repo Valon diffratio hdessä ja ahdessa raossa Laatija - Pasi Vähämartti Vuosiurssi - IST4S1 Teopäivä 2005-2-17 Palautuspäivä
Lisätiedotl s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0
1.1 i k l s, c p Tasajännite kytketään hetkellä t 0 johtoon, jonka pituus on l ja jonka kapasitanssi ja induktanssi pituusyksikköä kohti ovat c p ja l s. Mieti, kuinka virta i käyttäytyy ajan t funktiona
Lisätiedotz z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0
TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä
LisätiedotM y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y
36 5.3 Tuipaalutusen lasenta siitmämenetelmällä 5.3.1 Yleistä Jos paaluvoimia ei voida määittää suoaan tasapainohtälöistä (uten ohdassa 5.), on smsessä staattisesti määäämätön paalutus, jona paaluvoimien
LisätiedotNormaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
LisätiedotVALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA
VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA ARI LEHTONEN 1. Laajennettu Euleideen algoritmi 1.1. Jaoyhtälö. Oloot r 0, r 1 Z, r 0 r 1 > 0. Tällöin on olemassa ysiäsitteiset luvut q 1 ja r 2 Z siten, että r 0 = q
LisätiedotS SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen
S55.0 SÄHKÖTEKNKKA 9.5.000 Kimmo Silvonen Tentti: tehtävät,,5,8,9. välikoe: tehtävät,,,4,5. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,0 Oletko muistanut vastata palautekyselyyn Voit täyttää lomakkeen nyt.. aske virta.
LisätiedotRATKAISUT: Kertaustehtäviä
Phyica 1 uuditettu paino OPETTAJAN OPAS 1(9) Kertautehtäiä RATKAISUT: Kertautehtäiä LUKU 3. Luua on a) 4 eriteää nueroa b) 3 eriteää nueroa c) 7 eriteää nueroa. 4. Selitetään erieen yhtälön olepien puolien
LisätiedotC (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)
http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.
LisätiedotKun annettu differenssiyhtälö z-muunnetaan puolittain, saadaan: 1 1 z Y z zy z z/4 4
DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoits 8, rataisehdotset Tämän harjoitsen ideana on opetella -mnnosen ättöä differenssihtälöiden rataisemisessa. Lisäsi ätetään -mnnosen ehäpä hödllisintä ominaistta, eli
LisätiedotMittalaitetekniikka. NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014
Mittalaitetekniikka NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014 1 1. VAIHTOSÄHKÖ, PERUSKÄSITTEITÄ AC = Alternating current Jatkossa puhutaan vaihtojännitteestä. Yhtä hyvin voitaisiin tarkastella
LisätiedotHarjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1
Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen säätötekniikkaan Takaisinkytkennän
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 17: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, impulssikuormitus ja Duhamelin integraali
7/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 7: Yhn vapausasn paovärähly, impulssiuormius ja Duhamlin ingraali IMPULSSIKUORMITUS Maanisn sysmiin ohisuva jasoon hrä on usin ajasa riippuva lyhyaiainn uormius. Ysinraisin
Lisätiedot