DIFFERENTIAALIYHTÄLÖN NUMEERISESTA RATKAISEMISESTA 2 1,5 0,5 -0,5 -1,5-2

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "DIFFERENTIAALIYHTÄLÖN NUMEERISESTA RATKAISEMISESTA 2 1,5 0,5 -0,5 -1,5-2"

Timo-Jaakko Keskinen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Differentiaaliyhtälön numeerisesta ratkaisemisesta Olkoot D R 2 alue ja r, f, g : D R jatkuvia funktioita. Differentiaaliyhtälön y r(x, y) suuntaelementtikenttä on kuvaus D R 2, (x, y) (, r(x, y)). Suuntaelementtikenttä havainnollistetaan piirtämällä pisteeseen (x, y) lyhyt jana, jonka suuntavektori on (, r(x, y)). Jos y on yhtälön y r(x, y) ratkaisu, niin sen kuvaajan tangenttivektori pisteessä x on (, y (x)) (, r(x, y(x))). Jos f ja g ovat kahden muuttujan polynomeja ja r(x, y) g(x, y)/f(x, y) on rationaalifunktio, jonka nimittäjällä on nollakohtia, kasvavat vektorit (, r(x, y)) suuriksi nimittäjän nollakohtien lähellä. Jos (, r(x, y)) korvataan yhdensuuntaisella vektorilla f(x, y) (, r(x, y)), muuttuvat piirrettävät vektorit vektoreiksi (f(x, y), g(x, y)), jossa esiintyvät lausekkeet ovat kaikkialla siistejä. Nimittäjän nollakohdissa, eli kun f(x, y), on piirrettävän vektorin ensimmäinen komponentti, mutta toinen komponentti g(x, y) voi olla nollasta eroava. Vektori on tällöin y-akselin suuntainen. Differentiaaliyhtälöiden numeeriseen ratkaisemiseen tarkoitetut ohjelmat saattavat tällaisissa ongelmatilanteissa toimia väärin. Yleisesti käytetty Rungen ja Kuttan menetelmä (alla Mathematica-ohjelmalle koodattuna) on eräs tällainen. RungeKuttaSolve[f_, {x_, y_}, {x_, y_}, h_, ntot_]: NestList[RKStep[f, {x, y}, #, h]&, {x, y}, ntot] RKStep[f_, {x_, y_}, {xn_, yn_}, h_]: Block[{k, k2, k3, k4}, k h*n[f/.{x->xn, y->yn}] ; k2 h*n[f/.{x->xn+h/2, y->yn+k/2}]; k3 h*n[f/.{x->xn+h/2, y->yn+k2/2}]; k4 h*n[f/.{x->xn+h, y->yn+k3}]; Return[{xn + h, yn + (k + 2k2 + 2k3 + k4)/6}] ]

2 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖN NUMEERISESTA RATKAISEMISESTA 2, ,5-2 -,5 - -,5 2 Origokeskisen r-säteisen ympyrän yhtälöstä x 2 + y 2 r 2 saadaan derivoimalla 2x + 2y(x) y (x), joten origokeskisille ympyröille saadaan differentiaaliyhtälö y x/y. Tässä siis r(x, y) x/y, f(x, y) y ja g(x, y) x. Huomaa alkuehtopisteen (.9,.) kautta kulkevan ratkaisukäyrän omituinen sik-sakkäyttäytyminen, kun käyrä törmää x-akseliin. (Kuva on piirretty Applen Grapher.app- (eli Piirturi-) ohjelmalla.), ,5-2 -,5 - -,5 2 Ympyrän suuntaelementtikenttä (, x/y) muutettuna vektorikentäksi (y, x). Vastaavan differentiaaliyhtälöparin x y, y x, ratkaisukäyrä on ongelmaton.

3 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖN NUMEERISESTA RATKAISEMISESTA 3 Myös vektoriarvoiseen funktioon (x, y) (f(x, y), g(x, y)) voidaan luonnollisella tavalla liittää differentiaaliyhtälö, tai oikeastaan differentiaaliyhtälöryhmä dx f(x, y) ( ) dt dy g(x, y) dt missä nyt x ja y ajatellaan muuttujan t funktioiksi. Jos t (x(t), y(t)) on differentiaaliyhtälöryhmän ( ) ratkaisu, jolle (x(t ), y(t )) (x, y ) ja f(x, y ), saadaan muodollisesti jakamalla dy dx dy dt dt dx dy / dx g(x, y) dt dt f(x, y). Differentiaaliyhtälöryhmän ( ) ratkaisu antaa siis ratkaisun alkuperäiselle differentiaaliyhtälölle. Tarkemmin päättely tapahtuu seuraavasti: Koska dx(t dt ) f(x, y ), on t x(t) aidosti monotoninen jossain pisteen t ympäristössä. Tällä funktiolla t x(t) on tällöin käänteisfunktio ξ τ(ξ), joten yhdistetylle funktiolle ỹ : ξ y(τ(ξ)) saadaan yhdistetyn funktion ja käänteisfunktion derivoimissääntöjen avulla (kun t τ(ξ), eli x(t) ξ) ỹ (ξ) dy(τ(ξ)) dξ y (τ(ξ))τ (ξ) y (t) x (t) g(x(t), y(t)) f(x(t), y(t)) g(ξ, ỹ(ξ)) f(ξ, ỹ(ξ)). Helppona muistisääntönä siirtymiselle differentiaaliyhtälöstä differentiaaliyhtälöryhmään voidaan pitää seuraavaa lavennusta: dy dx dy/dt dx/dt g(x, y) f(x, y), jonka jälkeen osoittajat asetetaan samoiksi ja vastaavasti nimittäjät samoiksi. Esimerkiksi origokeskisten ympyröiden differentiaaliyhtälöparin x y, y x, ratkaisulle on x y x, joten x(t) A cos t + B sin t ja y(t) x (t) A sin t + B cos t, eli vektoriarvoisena funktiona (x(t), y(t)) cos t (A, B) + sin t (B, A). Tarkastellaan vaikka hetkellä t pisteen (, y ), y, kautta kulkevaa käyrää. Tällöin A ja B y sekä x(t) y cos t, y(t) y sin t. Funktion t x(t) käänteisfunktio ξ τ(ξ) on τ(ξ) arccos(ξ/y ) ja y(τ(ξ)) y sin(τ(ξ)) ±y cos2 (τ(ξ)) ±y (ξ/y ) 2 ± y 2 ξ 2 (etumerkki valitaan alkuehdon y merkin mukaan). Luonteva yleistys reaaliarvoiselle differentiaaliyhtälölle y r(x, y) saadaan seuraavasti (tässä tason tapauksessa; yleistys useampiulotteiseen tilanteeseen on selvä): Vektorikenttä tason alueessa D R 2 on kuvaus F : D R 2, F (x, y) (f(x, y), g(x, y)), (x, y) D missä f ja g ovat joukossa D määriteltyjä reaaliarvoisia funktioita. Vektorikentän F : D R 2 integraalikäyrä välillä I R on kuvaus z : I R 2 siten, että { x (t) f(x(t), y(t)) z(t) D ja z (t) F (z(t)) kaikille t I, t.s. y (t) g(x(t), y(t))

4 PLANEETTALIIKKEESTÄ 4 Planeettaliikkeestä Ks. [2, luku 6, 2], [3, luku 6, 6..a, 6..b ja 6..e], [4, luku III, 3 5] Keskeisvoiman F vaikutuksessa liikkuvan hiukkasen (massa m) radan määrää differentiaaliyhtälöpari (hiukkasen paikka (x, y) on ajan t funktio) m x x () r F (r) m y y missä r x 2 + y 2. r F (r) Kun hiukkasen paikka esitetään napakoordinaattien (r, θ) avulla { x r cos θ y r sin θ missä r ja θ ovat ajan funktioita. Suoralla laskulla nähdään, että kiihtyvyyden (x, y ) radiaalinen ja sitä vastaan kohtisuora komponentti ovat (x (t), y (x, y) (t)) r (t) r(t) θ (t) 2 ja r (x (t), y ( y, x) (t)) r(t) θ (t) + 2 r (t) θ (t) r Yhtälöt () saavat napakoordinaattien (r, θ) avulla muodon { m (r (t) r(t) θ (t) 2 ) F (r) (2) m (r(t) θ (t) + 2 r (t) θ (t)) Siis Kun jälkimmäinen yhtälöistä (2) kertotaan puolittain termillä r(t)/m, saadaan r(t) 2 θ (t) + 2 r(t) r (t) θ (t) d dt (r(t)2 θ (t)). (3) r(t) 2 θ (t) vakio : h Kurssilla Integraalilaskenta 2 käy selville, että origosta pisteeseen (x(t), y(t)) piirrettyjen säteiden ja polun t (x(t), y(t)) rajoittaman alueen pinta-ala parametrin liikkuessa välillä [t, t], on A(t) t Tehdään vielä seuraava muuttujanvaihto: Tällöin ja r (t) v (θ(t)) θ (t) v(θ(t)) 2 t 2 r(t)2 θ (t) dt 2 h (t t ). v(θ(t)) : r(t). r (t) h v (θ(t)) θ (t) h v (θ(t)) v (θ(t)) r(t) 2 θ (t) h v (θ(t)) h r(t) 2 h2 v (θ(t)) v(θ(t)) 2.

5 Siis ensimmäinen yhtälöistä (2) saa muodon PLANEETTALIIKKEESTÄ 5 v (θ) + v(θ) F (/v(θ)) m h 2 v(θ) 2 Oletetaan, nyt että F on muotoa (painovoimalaki; k positiivinen vakio) (4) F (r) k m r 2 Tällöin F (/v) k m v 2, joten edellinen yhtälö saa muodon Tämän yhtälön ratkaisut ovat missä B ja ω ovat vakioita. Siis (5) r v (θ) + v(θ) k h 2 v(θ) k + B cos(θ ω), h2 h 2 /k + e cos(θ ω), missä e : B h 2 /k. Saatu napaetäisyyden kaava kertoo, että hiukkasen rata on kartioleikkaus eli ellipsi, paraabeli tai hyperbeli, jonka toinen polttopiste on origossa, ja jonka eksentrisyys on e. Käyrä on ellipsi, paraabeli tai hyperbeli sen mukaan, onko e <, e tai e >. Oletetaan nyt, että e <. Olkoot 2a ja 2b ellipsin isoakselin ja pikkuakselin pituudet. Tällöin 2a on etäisyyden r suurimman ja pienimmän arvon summa, t.s. 2a h2 k ( e + e ) 2h 2 k ( e 2 ) Eksentrisyydelle e on b 2 a 2 ( e 2 ) h 2 a/k. Olkoon T aika, joka hiukkaselta kuluu, kun se kiertää ellipsin kerran ympäri. Koska ellipsin pinta-ala on π a b, saadaan pintanopeuden (3) nojalla joten h T A(t 2 + T ) π a b, T 2 4π2 a 2 b 2 h 2 4π2 a 2 h 2 a h 2 k 4π2 k Keplerin lait: (i) planeetat liikkuvat pitkin ellipsin muotoista rataa, jonka toisessa polttopisteessä on aurinko; (ii) auringosta planeettaan piirretty säde pyyhkäisee samansuuruiset pinta-alat yhtä pitkinä aikaväleinä; (iii) planeetan kiertoajan neliöt suhtautuvat toisiinsa kuten rataellipsin isoakselin kuutiot. a3 Johannes Kepler (57 63); Astronomia nova 69. Kepler löysi lakinsa Tycho Brahen (546 6) tekemien tarkkojen mittausten pohjalta.

6 Kirjallisuutta [] Martin Braun: Differential equations and their applications, neljäs laitos, Springer, 993. [2] Earl A. Coddington: An introduction to ordinary differential equations, Dover Publications, Inc, 989. [3] Richard Courant ja Fritz John: Introduction to calculus and analysis, Volume II/2, uusintapainos vuoden 989 laitoksesta, Classics in Mathematics, Springer, 2. [4] Ernst Lindelöf: Diffentiali- ja integralilasku ja sen sovellutukset III. Tavalliset differentiaaliyhtälöt, Mercatorin kirjapaino, 935. [5] Brahe [6] Kepler 6

Samankaltaiset tiedostot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016