infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

Transkriptio

1 infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma klo Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina. Tällä viikolla sähköinen harjoitustentti moodlessa jolla voi harjoitella. Aihealue: Kaikki tavalliset laskaritehtävät, ei syventäviä osia. Potenssisarja Suppenemissäde Taylorin sarja, Maclaurinin sarja Taylorin sarjojen derivointi ja integrointi Funktion approksimointi Taylorin polynomilla Jäännöstermi approksimoinnissa CDH: Luku 8, Prujut206: Luvut , Prujut2008: s Potenssisarja Suppenemissäde 2 Potenssisarjan S = a n = c n (x x 0 ) n termeissä esiintyy x:n yhä korkeampia potensseja. Sarjan suppenemista voi tutkia suhdetestillä, jonka mukaan suppeneminen edellyttää lim a n+ n a n < Suhdetestin perusteella lim c n+ (x x 0 ) n+ c n (x x 0 ) n < n = x x 0 < lim n c n c n+ Suppenemissäde kertoo kuinka laajalla välillä x 0 :n ympäristössä sarja suppenee. 3 4

2 Taylorin sarja Taylorin sarja Edellisellä viikolla havaittiin, että geometrisen sarjan tapauksessa q n = q < q Kääntäen tämä tarkoittaa, että funktio f (x) = x = x n x < on esitettävissä äärettömänä sarjana. Kysymys: onko jokin muukin funktio esitettävissä sarjana? Oletetaan, että funktio f (x) on esitettävissä äärettömänä potenssisarjana ainakin jollain välillä x 0 :n ympäristössä: f (x) = c n (x x 0 ) n = c 0 + c (x x 0 ) + c 2 (x x 0 ) Kysymys: Kuinka löydetään kertoimet c n? Asettamalla x = x 0 saadaan f (x 0 ) = c 0 sillä kaikki termit, jossa esiintyy (x x 0 ) n kuolevat. Taylorin sarja 5 Taylorin sarja 6 Derivoimalla yhtälön molemmat puolet saadaan f (x) = c n n(x x 0 ) n n= = c + 2c 2 (x x 0 ) + 3c 3 (x x 0 ) Asettamalla yo. x = x 0 saadaan Derivoimalla yhtälön molemmat puolet toiseen kertaan päästään käsiksi seuraavaan kertoimeen: f (x) = c n n(n )(x x 0 ) n 2 n=2 = 2c c 3 (x x 0 ) + 4 3c 4 (x x 0 ) Asettamalla taas x = x 0 saadaan f (x 0 ) = c 2 f (x 0 ) = c 2 7 8

3 Taylorin sarja Taylorin sarjan integrointi ja derivointi Yleisesti kerroin c n saadaan määritettyä laskemalla f (x):n n:nnes derivaatta pisteessä x 0 : Suppenemissäteen sisällä Taylorin sarjaa voi derivoida ja integroida termeittäin, esim. c n = n! f (n) (x 0 ) Tämän perusteella funktio f (x) on pisteen x 0 ympäristössä on suppenemissäteen sisällä esitettävänä potenssisarjana f (x) = f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n x x 0 < n! Sarjaa kutsutaan funktion Taylorin sarjaksi kehityspisteessä x 0. Jos kehityspiste on origo kutsutaan sarjaa Maclaurinin sarjaksi. d dx f (x) = d dx c n (x x 0 ) n = c n n(x x 0 ) n Tätä voi käyttää esim. f (x):n Taylorin sarjan johtamiseen jos f (x):n sarjakehitelmä tunnetaan. Samaa ideaa voi soveltaa integroitaessa. Derivoitaessa ja integroitaessa Taylorin sarjaa sen suppenemissäde säilyy. (Kokeile osoittaa suoraan laskemalla!) Taylorin polynomi 9 Funktion approksimointi 0 Funktion katkaistua Taylorin sarjaa kutsutaan Taylorin polynomiksi: f (x) = = c n (x x 0 ) n N c n (x x 0 ) n + n=n+ = T N (x) + N (x) c n (x x 0 ) n Suppenemissäteen sisällä Taylorin sarja suppenee, joten ilmeisesti lim N N(x) = 0 Jäännöstermi on sitä pienempi, mitä korkeampi on Taylorin polynomin kertaluku N. Tämä mahdollistaa funktion approksimoinnin f (x) = T N (x) + N (x) T N (x) T N on N:nnen asteen Taylorin polynomi ja N on jäännöstermi. Approksimaatio on sitä tarkempi, mitä lähempämä ollaan kehityspistettä x 0 ja paranee N:n kasvaessa. 2

4 Funktion approksimointi 2ln(2 +x) T 3 (x) 4 2 Jäännöstermi Jäännöstermille voidaan johtaa useita eri lausekkeita, joista käyttökelpoisin lienee Lagrangen muoto: N (x) = f (n) (c) (n + )! (x x 0) n+ c [x 0, x] Tämän avulla voidaan arvioida kuinka suuri virhe tehdään, kun funktiota approksimoidaan Taylorin polynomilla: N f (n) (c) (n + )! (x x 0) n+ 4 Suppenemissäde = 2, siis x < 2. Jäännöstermi 3 Jäännöstermi 4 Olkoon nyt f (x) = + x. Tälle f (x) = 2 ( + x) 2 f (x) = 4 ( + x) 3 2 joten funktio voidaan esittää. asteen Taylorin polynomin avulla: + x = + 2 x + (x) + 2 x Tässä approksimaatiossa tehdään virhe, joka suurimmillaan on (x) 4 ( + c) 3/2 x2 2 x 2 8 Esim. pisteessä x = 0, 2 approksimaatio antaa + x + x 2 =, Arvio virheestä 0, 22 = 0, Tarkka tulos olisi ollut + 0, 2 =

5 Binomin Taylorin sarja e x, sin x, cos x, ln( + x), /( x) funktioiden ohella tärkeä (=törmäät tähän usein) on funktion f (x) = ( + x) s Taylorin sarja origon ympäristössä. Laskemalla tämän derivaattoja saadaan f (x) = ( + x) s f (0) = f (x) = s( + x) s f (0) = s f (x) = s(s )( + x) s 2 f (0) = s(s ) f (n) (x) = s(s )... (s n + )( + x) s n f (n) (0) = s(s )... (s n + ) Binomin Taylorin sarja n:nnen derivaatan kerroin voidaan kirjoittaa muotoon f (n) (0) = s! (s n)! Kun s on kokonaisluku on ensimmäiset s derivaattaa olemassa, loput ovat nollia. Ylläoleva pätee myös silloin, kun s ei ole kokonaisluku kunhan kertoma määritellään esim laskareissa esiintyvän gamma-funktiona Γ(n):n avulla. Näin olen binomin Taylorin sarja x = 0 ympäristössä on ( + x) s = = s! (s n)!n! xn ( ) s x n x < n Binomin Taylorin sarja approksimointi 7 Taylorin sarjat fysiikassa, esim. Newtonin gravitaatiolain mukaan kahden pallosymmetrisen kappaleen välinen gravitaatiopotentiaalienergia on 8 Erittäin usein sarjaa käytetään approksimointiin pienillä x:n arvoilla: + x = + x ( + x) 3/2 = 3 2 x +... U(r) = GMm r missä M ja m ovat kappaleiden massat ja r keskipisteiden välinen etäisyys. Maan pinnalla, säteen etäisyydellä keskipisteestä tämä on ( x) = + x +... Tutkimatta tarkemmin jäännöstermiä voidaan todeta, että approksimaatio on hyvä, kun :seen lisättävä termi on. Korkeudella h pinnasta U() = GMm U( + h) = GMm + h = GMm + h = GMm ( h )

6 Taylorin sarjat fysiikassa, esim. Jos korkeus h voidaan viimeinen termi kehittää Taylorin sarjaksi ja approksimoida potentiaalienergiaa sen Taylorin polynomilla. Käyttämällä binomisarjaa (tai geometrista sarjaa) saadaan U( + h) = GMm ( h ) +... = GMm U 0 + mgh + (GM 2 )mh... missä sulkutermi tunnistetaan putoamiskiihtvyydeksi g pinnalla ja U 0 on jokin vakio. Potentiaalienergia siis kasvaa pinnan lähettyvillä lineaarisesti korkeuden funktiona. Koska dynamiikan kannalta vain potentiaalienergian muutoksilla on väliä valitaan tässä approksimaatiossa usein U 0 = 0. Taylorin sarjat fysiikassa, esim. 3 Matemaattisen heilurin liikeyhtälöksi saadaan d 2 ϕ dt 2 = ω2 sin ϕ Tällä ei ole alkeisfunktioin lausuttavaa ratkaisua ϕ(t). (atkaisu toki on!) Sen sijaan, jos tarkastellaan heiluria, jonka poikkeamat tasapainoasemasta ovat pieniä ϕ, voidaan sinifunktio approksimoida. asteen Taylorin polynomilla sin x = x x x, x 3! ja liikeyhtälö tulee muotoon d 2 ϕ dt 2 = ω2 ϕ joka Mapu II:sen työkaluilla on suoraviivaisesti ratkaistavissa. (ja VuKalla sen ratkaisu oli jo esillä) 2 23 Taylorin sarjat fysiikassa, esim. 2 Suhteellisuusteoriassa hiukkasen kokonaisenergia on E = mc2 v2 c 2 = E 0 + K missä v on hiukkasen vauhti. Laskareissa tarkastelette tämän Taylorin sarjaa ja johdatte millainen termi pienillä vauhdin arvoilla (v c) kineettinen energia K = K(v) on. Taylorin sarjat oikopolkuja Taylorin sarjaa laskiessa voi käyttää hyväkseen aiempia tuloksia. Esim. geometrisen sarjan tapauksessa y(x) = y n y(x) < y(x) = + y(x) + (y(x))2 + (y(x)) Suppenemissäde x:n funktiona saattaa olla eri kuin y:n funktiona. Tämä on tutkittava erikseen

7 Taylorin sarjat oikopolkuja Esim y(x) = x + x 2. Tällöin huomaa, että approksimoinnissa on kerättävä mukaan x:n potenssit kaikista termeistä! (x + x 2 ) = + (x + x2 ) + (x + x 2 ) 2 + (x + x 2 ) = + x + x 2 + [ x 2 + 2x 3 + x 4] + [ x ] +... = + x + 2x 2 + 3x 3 + O(x 4 ) Tässä tapauksessa ei olisi riittänyt approksimoida (x + x 2 ) + (x + x2 ) +... sillä osa x 2 termeistä tulisi vielä seuraavista geometrisen sarjan termeistä mukaan. 25