Tehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla.

Transkriptio

1 Tehtävä.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. x = (a + b cos(θ)) cos(ψ) y = (a + b cos(θ)) sin(ψ) = b sin(θ), a > b, θ π, ψ π Figure. Toruksen hajoituskuva Oletetaan, että hiukkaseen vaikuttaa ainoastaan sen pinnalla pitävä holonominen reaktiovoima. Osoitetaan, että hiukkasen liike toruksen uloimmalla ekvaattorilla on stabiilia, ja että sen liike sisemmällä ekvaattorilla on epästabiilia. Osoitetaan lisäksi, että pieni häiriö uloimman ekvaattorin radalla aiheuttaa rataan häiriön, jonka jälkeen rata leikkaa ekvaattorin jaksollisesti π [b(a + b)] välein, ja että pieni häiriö sisemmän ekvaattorin rataan aiheuttaa muutoksen siten että se leikkaa uloimman ekvaattorin kulmassa arctan( b/a). Kineettisen energian lausekkeeksi saadaan T = m (ẋ + ẏ + ż ) = m [b θ + ψ (a + b cos(θ)) ].

2 Kineettisen energian T osittaisderivaatoiksi muuttujien θ, ψ, θ, ψ suhteen saadaan T θ = b ψ sin(θ)(a + b cos(θ)) T θ = b θ T ψ = T ψ = ψ(a + b cos(θ)). Lagrangen liikeyhtälöt holonomiselle systeemille ovat siis () Toisinsanoen liikeyhtälöt ovat d dt [b θ] + b ψ sin(θ)(a + b cos(θ)) = d [ dt ψ(a ] + b cos(θ)) =. () d dt [b θ] + b ψ sin(θ)(a + b cos(θ)) = ψ(a + b cos(θ)) = c c R. Todetaan ensin että toruksen ulompi ekvaattori θ = on liikeyhtälöiden ratkaisu. Tällöin nimittäin ylempi yhtälö häviää, ja liikeyhtälö supistuu muotoon ψ(a + b) = c. Vastaavasti sisempi ekvaattori θ = π on ratkaisu. Tällöin vastaavasti ylempi yhtälö häviää, ja hiukkasen liikeyhtälö supistuu muotoon ψ(a b) = c. Molemmilla yhtälöillä on ratkaisu, jossa ψ on lineaarinen funktio ajan t suhteen. Entä sitten pieni häiriö? Tämä voidaan toteuttaa sopivien alkuehtojen avulla. Oletetaan, että hiukkasta häiritään hetkellä t =. Sopivat alkuehdot uloimman ekvaattorin θ = tapauksessa ovat esimerkiksi ψ() = ψ() = a θ() = θ() = ε Tässä ε edustaa "pientä häiriötä". Lisäksi täytyy valita ψ(), koska tällöin liikeyhtälöt surkastuisivat muotoon b θ =, jonka ratkaisut ovat ympyröitä tasossa

3 3 ψ = vakio. Vastaavasti sopivat alkuehdot edustamaan pientä häiriötä sisemmän ekvaattorin ψ = π tapauksessa ovat ψ() = π ψ() = a θ() = θ() = ε Muokataan sitten liikeyhtälöitä siten, että ne tulevat muotoon (3) Jos tämä esitetään systeeminä saadaan θ = ω = f b θ + ψ sin(θ)(a + b cos(θ)) = ψ(a + b cos(θ)) b θ ψ sin(θ)(a + b cos(θ)) = ψ = ω = f ω = ω sin(θ)(a + b cos(θ)) = f 3 b ω = bω ω sin(θ) () (a + b cos(θ)) = f. Entä sitten stabiilisuus? Oletetaan, että tarkoitetaan Liapunovin stabiilisuutta. Merkitään ẏ = ( θ, ψ, ω, ω ), ja f = (f, f, f 3, f ). Liikeyhtälösysteemin ẏ = f ainoa kriittinen piste on ω =, ω =. Linearisoidaan liikeyhtälöt origossa käyttämällä Taylorin kehitelmää ẏ = f f() + J(f)()y = J(f)()y. Jos lasketaan vektorin f Jacobin matriisi J(f) pisteessä ω =, ω = saadaan linearisoidun systeemin kerroin matriisi J(f)(θ, ψ,, ) =. Matriisin J(f)(θ, ψ,, ) spektri kriittisissä pisteissä on Linearisoitu systeemi on siis Λ(J(f)(θ, ψ,, )) = {,,, } θ = ω Näin ollen ψ = ω ω = ω = θ = ω = ψ = ω =.

4 Joten linearisoidun systeemin ratkaisut ovat θ = ω ()t + θ() ψ = ω ()t + ψ(). Lineaarisen systeemin ratkaisut ovat kriittisissä pisteissä epästabiileja, tulevatko sitten alkuperäisen systeemin kriittiset pisteet olemaan stabiileja, vai epästabiileja?. Eräs tapa lähestyä ongelmaa on vielä tarkastella kulman θ määrääviä yhtälöitä ensin differentiaalimuodossa. Alkuperäisistä liikeyhtälöistä voidaan ratkaista ψ, ja sijoittaa se ylempään yhtälöön. Tällöin saadaan dθ = ω dt c sin(θ) dω = b(a + b cos(θ)) dt 3 Oletetaan sitten, että ω. Differentiaalit dω ja dθ ovat funktioita muuttujista ω ja θ, mutta myös muuttujasta dt. Liikeyhtälöistä saadaan edelleen dt = dθ/ω. Näin ollen ja edelleen c sin(θ) dω = ω b(a + b cos(θ)) dθ, 3 dω dθ = c sin(θ) ω b(a + b cos(θ)). 3 Tämä on ensimmäisen kertaluvun separoituva differentiaaliyhtälö. Integroimalla saadaan ω = ω dω = c sin(θ) b (a + b cos(θ)) dθ + D 3 c = + D, D R. 8b (a + b cos(θ)) Faasitasossa (θ, ω ) ratakäyrät toteuttavat siis yhtälön ω + (a + b cos(θ)) = Db c. Kun otetaan huomioon alkuehdot θ() = (ulompi ekvaattori), ja θ() = π saadaan vakiot c, ja D esitettyä alkuehtojen θ(), ja ψ() avulla. Ulomman ekvaattorin ratakäyrät ovat ω + (a + b cos(θ)) = θ()b + ψ() ψ()(a b) Sisemmän ekvaattorin ratakäyrät ovat ω + (a + b cos(θ)) = θ()b + ψ() ψ()(a b).

5 5 Kysymys kuuluukin voiko tarpeeksi pienillä vakion c ja D arvoilla radat olla sulkeutuvia? c ω = ± D b (a + b cos(θ)). Kulmalle θ saadaan siis separoituva yhtälö dθ dt = ± c D b (a + b cos(θ)). Integroimalla saadaan ± dθ = t + E, E R. c D b (a+b cos(θ)) Jos tämä onnistuttaisiin integroimaan saataisiin funktio t = t(θ), joten integroinnin jälkeen olisi vielä löydettävä käänteisfunktio θ = θ(t), ja tämän jälkeen vielä ratkaisut, joilla on jakso T, siten että θ(t + T ) = θ(t). Integraalifunktiota ei kuitenkaan löytyne äärellisenä summana alkeisfunktioita, joten ehkä kysymyksessä on jokin tunnettu erikoisfunktio (esim. elliptiset funktiot?). Piirtämällä radat faasitasoon havaitaan että tarpeeksi pienillä alkunopeuksien arvoilla uloimmalta ekvaattorilta lähtevät radat ovat sulkeutuvia käyriä missä lisäksi kulma θ pysyy rajoitettuna joten ulompi ekvaattori on stabiili tasapainopiste systeemille. Lisäksi sisemmältä ekvaattorilta lähteville käyrille θ kasvaa rajatta joten sisempi ekvaattori on epästabiili. Tehdään liikeyhtälöiden lyhyt numeerinen analyysiä. Valitaan parametreiksi a ja b a = 3 b =. Valitaan menetelmäksi Rungen-Kutta-Fehlberg. Menetelmä on 5 kertaluvun eksplisiittinen ratkaisija neljännen asteen interpolantilla. Tarkastellaan aikaväliä t [, 8] (/ tuntia). Askelsäätö on valittu siten, että numeeriselle ratkaisulle θ, ja ψ on laskentapisteissä voimassa virhearvio θ(t) θ(t) < + c 8 D b (a b) = + 8 D c 8 ψ(t) ψ(t) < + c 8 (a b) = + 8 c, t [, 8]. 8

6 6 Otetaan ulomman ekvaattorin tapauksessa alkuehdoiksi ψ() =. rad s ψ() = θ() = θ() =. rad s Sisemmän ekvaattorin tapauksessa muutetaan vain alkuehto θ() = π. Ratkaisemalla liikeyhtälöt numeerisesti voidaan piirtää häirityt radat, sekä -koordinatit kulman ψ funktiona ulomman ja sisemmän ekvaattorin tapauksessa psi..6.8 Figure. -koordinaatti kulman ψ funktiona ulomman ekvaattorin tapauksessa

7 7 y x Figure 3. Häiritty rata ulomman ekvaattorin tapauksessa psi.5 Figure. -koordinaatti kulman ψ funktiona sisemmän ekvaattorin tapauksessa Seuraavissa kuvissa on valittu kymmenen kertaa pienemmät alkukulmanopeudet, ja asetettu θ() = ψ() =.rad/s, lisäksi simulaatioaika on t [, 7] ( tuntia). Muut alkuehdot on pidetty samoina kuin ulomman ekvaattorin tapauksessa.

8 8 y x.8 Figure 5. Häiritty rata sisemmän ekvaattorin tapauksessa psi..6.8 Figure 6. -koordinaatti kulman ψ funktiona, kun θ() = ψ() =.rad/s

9 9 y x Figure 7. Häiritty rata, kun θ() = ψ() =.rad/s