VALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO
|
|
- Pertti Hakola
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt Työn tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus Tässä työssä tutit valoa aaltoliieenä. Ensimmäisessä osassa tutustut valon taipumiseen eli diffratioon, joa havaitaan, un valo ohdattuaan aallonpituutensa suuruusluoaa olevan esteen tai raon etenee myös aluperäisestä etenemissuunnastaan poieaviin suuntiin. Diffratio voidaan selittää äyttämällä Huygensin periaatetta, jona muaan valo etenee palloaaltorintamana siten, että uin aaltorintaman piste toimii uuden aleisaallon lähteenä. Eri pisteissä syntyvät palloaallot interferoivat ja muodostavat uuden aaltorintaman, joa on niiden yhteinen tangenttipinta. Kosa taipuminen selitetään aaltoliieelle ominaisen interferenssin avulla, valolla havaittavaa diffratioilmiötä voidaan pitää todisteena valon aaltoluonteesta. Diffratiomittaustesi perusteella pystyt määrittämään äyttämäsi raon leveyden. Työn toisessa osassa tutit valon polarisaatiota, jolla taroitetaan aaltoliieen amplitudin suuntariippuvuutta liieen etenemissuuntaan nähden ohtisuorassa suunnassa. Polarisaatio on ominaista vain poiittaiselle aaltoliieelle. Valolla havaittava polarisaatio on osoitus siitä, että valo on poiittaista sähömagneettista aaltoliiettä. Polarisaatiomittausissa muutat hehulampun lähettämän valon polarisaattorin avulla lineaarisesti polarisoidusi valosi, jossa sähöenttä värähtelee vain yhdessä valon etenemissuuntaa vastaan ohtisuorassa suunnassa. Tutit lineaarisesti polarisoidun valon äyttäytymistä analysaattorin avulla ja testaat Malusin lain paiansa pitävyyttä. 1. Oppimistavoitteet Tämä urssin viimeinen työ on esimeri varsinaisesta fysiian laboratoriotyöstä. Kurssin neljässä ensimmäisessä työssä eseistä oli erilaisten fysiian perusmittausvälineiden äytön opettelu seä moniin mittaustulosten äsittelyssä tarvittaviin menetelmiin tutustuminen. Tässä työssä ajatellaan sinun jo hallitsevan mittausvälineiden äyttöä, niin että esiössä ovat itse ilmiöt; valon diffratio ja polarisaatio. Työn tehtyäsi sinulla on äsitys siitä, mitä diffratio ja polarisaatio ovat ja uina täreä meritys näillä ilmiöillä on valittaessa mallia, jona avulla valon äyttäytymistä voidaan uvailla ja selittää. Opit myös soveltamaan diffratiota ja polarisaatiota uvaavia matemaattisia malleja. Kuten muutin opetuslaboratorion työt, tämä työ liittyy läheisesti johonin fysiian perus- tai aineopintourssiin eli tässä tapausessa ursseihin P Yleinen aaltoliieoppi ja 76639A Aaltoliie ja optiia. Jos siis haluat syventää tietämystäsi tässä työssä tutittavista ilmiöistä, voit tutustua näiden urssien luentomateriaaliin ja urssiirjallisuuteen.
2 . Työn teoriaa.1 Valon diffratio Tarastellaan seuraavassa diffratioilmiön teoriaa lyhyesti uvan 5.1 avulla, jossa diffratiooeen järjestelyä atsotaan ylhäältä päin. Pitää, apeaa raoa, jona leveys on D, valaistaan monoromaattisella valolla. Tällöin etäisyydellä L raosta olevalla varjostimella havaitaan valoisista ja tummista ohdista muodostuva diffratiouvio, joa syntyy, un raon eri pisteistä tulevat aleisaallot interferoivat. Diffratiouvion esellä on uvan 5.1 muaisesti hyvin iras ja leveä päämasimi, jona molemmin puolin symmetrisesti havaitaan sivumasimeja, joiden voimauus heienee siirryttäessä auemmas päämasimista. Masimien välissä olevat tummat juovat ovat minimejä, joiden ohdalla voimauus on pienimmillään, ilman taustavaloa nolla. Miäli valolähde ja varjostin ovat auana raosta, seä raoon tulevaa että varjostimelle saapuvaa aaltoa voidaan pitää tasoaaltoina. Tällöin on yseessä Fraunhoferin diffratio, joa on yleisemmän Fresnelin diffration ysinertaisempi erioistapaus. Jatossa esitymme vain tilanteeseen, jota voidaan tarastella Fraunhoferin diffrationa. P D q L X Kuva 5.1 Valon taipuminen apeassa raossa ja varjostimella havaittava diffratiouvio. Varjostimella havaittavan diffratiouvion voimauutta uvaava irradianssi I pisteessä P voidaan lasea jaamalla rao äärettömän moneen äärimmäisen apeaan osaan ja lasemalla joaisesta osasta tulevien aaltojen sähöentät yhteen. Kosa
3 Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 3 irradianssi on suoraan verrannollinen sähöentän amplitudin neliöön, saadaan myös irradianssi näin selville. Irradianssi I saadaan nyt muotoon sin b I ( b ) = I 0, (5.1) b missä pd sin q b = l (5.) ja I 0 on päämasimin voimauus, D on raon leveys, q on uvassa 5.1 näyvä taipumisulma ja l on äytetyn monoromaattisen valon aallonpituus. Jos taipumisulma q on pieni, voimme äyttää approsimaatiota X sin q» tanq =, L (5.3) missä X on tarastelupisteen P etäisyys diffratiouvion esiohdasta. Tällöin saamme yhtälöistä (5.1) ja (5.) irradianssille pisteessä P I = I( X ) = I 0 sin æ pd ç X è ll æ pd ö ç X è ll ø ö ø. (5.4) Kuva 5. esittää yhtälön (5.4) muaisen irradianssin vaihtelua X:n funtiona olmen erilevyisen raon tapausessa. Kuvasta huomataan, että mitä apeampi rao on, sitä laajemmalle alueelle diffratiouvio levittäytyy. X Kuva 5. Diffratiouvion irradainssi erilevyisille raoille. Yhtälöstä (5.4) voidaan lasea diffratiouvion minimien etäisyydet päämasimista asettamalla irradianssi nollasi. Näin saadaan. minimin etäisyydelle X min
4 4 I æ pd ö pd X min ) = 0 Þ sinç X min = 0 Þ X = p, = 1,,3,K è ll ø ll ( min Þ X ll min =, = 1,,3,K D (5.5) Diffratiomasimit löydettäisiin periaatteessa tavalliseen tapaan haemalla yhtälön (5.4) muaisen funtion masimiarvot derivoimalla yhtälö muuttujan X suhteen ja asettamalla derivaatta nollasi. Tällöin päädytään lauseeeseen, jota ei voida rataista analyyttisesti. Sivumasimien etäisyydet päämasimista saadaan uitenin lasettua melo tarasti äyttämällä approsimaatiota, jona muaan sivumasimit löytyvät minimien puolivälistä, ts l L 1 æ ( + 1)lL ll ö X = X min + ( X min - X min ) = + ç -. D è D D ø X ( + 1) ll =, = 1,,3,K D (5.6) Sivumasimien suhteelliset irradianssit saadaan sijoittamalla yhtälön (5.6) muaiset rataisut yhtälöön (5.4). Tällöin saadaan. sivumasimin irradianssisi I 4I ( + 1) p 0 I =. (5.7). Valon polarisaatio Valon polarisaatio on osoitus siitä, että valo on poiittaista sähömagneettista aaltoliiettä, jossa toisiaan vastaan ohtisuorasti värähtelevät sähöenttä ja magneettienttä värähtelevät ohtisuorasti myös valon etenemissuuntaa vastaan. Useat valolähteet, esimerisi hehulamput ja aurino lähettävät luonnollista eli polarisoitumatonta valoa, jossa sähöenttä (ja myös magneettienttä) värähtelee yhtä voimaaana aiissa valon etenemissuuntaa vastaan ohtisuorissa suunnissa. Polarisaatiotasoa on tapana tarastella valon sähöenttävetorin avulla. Polarisoitumatonta valoa uvataan piirrosissa usein uvan 5.3 tapaan piirtämällä näyviin valon etenemissuunta ja useita sitä vastaan ohtisuoria sähövetoreita, joiden pituus on sama. Luonnollinen valo voidaan muuttaa uvan 5.3 muaisesti lineaarisesti polarisoituneesi valosi, jossa sähöenttä värähtelee vain yhdessä valon etenemissuuntaa vastaan ohtisuorassa suunnassa, asettamalla valon eteen polarisaattori, joa päästää lävitseen vain polarisaatioaselinsa suunnassa värähtelevän valon. Tällöin luonnollisen
5 Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 5 valon voimauus pienenee puoleen. Polarisaattorit voidaan valmistaa esimerisi ns. diroistisista iteistä, jota polarisoivat valoa, osa niiden optiset ominaisuudet riippuvat idesuunnasta. Polarisaattori Luonnollinen valo I I 0 / 0 Polarisaatioaseli Lineaarisesti polarisoitunut valo Etenemissuunta Kuva 5.3 Luonnollisen valon muuttaminen lineaarisesti polarisoituneesi valosi polarisaattorin avulla. Tässä työssä valon polarisaatiota tutitaan uvassa 5.4 esitetyllä systeemillä, jossa äytössä on asi polarisoivaa levyä. Ensimmäinen levy eli polarisaattori muuttaa valolähteeltä tulevan luonnollisen valon lineaarisesti polarisoituneesi valosi, jossa värähtelyt tapahtuvat vain polarisaattorin polarisaatioaselin suunnassa ja jona sähöenttävetorin suuruus on E 0. Kun tällainen valo ulee jälimmäisen polarisoivan levyn eli analysaattorin autta, sähöenttävetorista jää jäljelle vain analysaattorin polarisaatioaselin suuntainen omponentti. Polarisaattori Analysaattori q E 0 E 0 cosq Luonnollinen valo Lineaarisesti polarisoitunut valo Polarisaatioaseli Polarisaatioaseli Etenemissuunta Analysaattorin läpi ulenut valo Kuva 5.4 Valon polarisaation tutiminen polarisaattorin ja analysaattorin avulla. Polarisaattorin synnyttämä lineaarisesti polarisoitunut valo voidaan jaaa ahteen omponenttiin; analysaattorin polarisaatioaselin suuntaiseen ja sitä vastaan ohtisuoraan. Analysaattori läpäisee vain polarisaatioaselinsa suuntaisen omponentin. Jos polarisaattorin ja analysaattorin polarisaatioaseleiden välinen ulma on uvan 5.4 muaisesti q, niin sähöenttävetorin suuruus E analysaattorin jäleen on E = cosq. (5.8) E 0
6 6 Kosa valon voimauus on verrannollinen sähöenttävetorin amplitudin eli suuruuden neliöön, analysaattorin läpi menneen valon irradianssisi I saadaan I = I cos q, (5.9) missä I on lineaarisesti polarisoituneen valon irradianssi ennen analysaattoria. Yhtälö (5.9) on nimeltään Malusin lai ja siitä nähdään, että analysaattorin läpi tulleen valon voimauus on pienimmillään, un polarisaattorin ja analysaattorin polarisaatioaselit ovat ohtisuorassa eli, un ulma q = 90 o. Voimauus on taas suurimmillaan, un polarisaatioaselit ovat yhdensuuntaiset eli, un q = 0 o. Kuva 5.5 esittää analysaattorin läpi uleneen valon suhteellista irradianssia ( I I ) polarisaattorin ja analysaattorin polarisaatioaselien välisen ulman q funtiona. I/I 1,00 0,80 0,60 0,40 0,0 0,00 q ( o ) Ennaotehtävät Kuva 5.5. Suhteellinen irradianssi polarisaattorin ja analysaattorin aseleiden välisen ulman funtiona. Tee seuraavat tehtävät ennen saapumistasi työvuorolle ja palauta rataisut ohjaajalle. 1. Johda sivumasimien intensiteeteille yhtälö (5.7) ja lase sen avulla ensimmäisen, toisen, olmannen ja neljännen sivumasimin irradianssit päämasimin irradianssin I 0 funtiona.. Osoita, että sivumasimien avulla saatavan raon leveyden suhteellisen virheen DD D yläraja saadaan yhtälöstä
7 Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 7 DD D Dl + l DL L + DX X ja että raon leveyden absoluuttisen virheen ylärajalle D D on voimassa yhtälö DD ( + 1) L ( + 1) l ( + 1) X ll Dl + DL + DX. X ( X ) 4. Mittauset 4.1 Raon leveyden määrittäminen diffratiomittausin Diffratiomittausissa äytettävän laitteiston osat on esitetty uvissa 5.6 a) ja b). Laitteistoon uuluvat (osat näyvät numeroituina myös uvassa): 1. Säteilylähde eli He-Ne-laser.. Pitä, apea rao, jona leveyttä voidaan säätää. 3. Ilmaisin, jona toimii otelon sisällä oleva valodiodi. Kotelossa on pieni sisäänmenoauo valoa varten. Ilmaisimen paiaa ohtisuorasti valon etenemissuuntaa vastaan sijaitsevalla mitta-asteiolla voidaan säätää pyörittämällä siirtoruuvia ammen avulla. 4. Yleismittari, jolla mitataan valodiodin havaitseman valon voimauuteen verrannollista jännitettä. Aloita mittauset säätämällä laitteisto ohjaajan avustusella. Pane laser ja jännitemittari päälle ja tarasta, että säde osuu hyvin seä raoon että ilmaisimen sisäänmenoauoon. Tuti ensin diffratiouviota äyttämällä vaaleaa pahvia tai paperia varjostimena ja tarasta, että diffratiouvio on vaaasuorassa ja että sivumasimit molemmin puolin päämasimia näyttävät yhtä voimaailta. Tuti sitten diffratiouviota ysityisohtaisemmin jännitemittarin avulla liiuttamalla detetoria mitta-asteiolla. Säädä tarvittaessa laserin ja raon paiaa ja raon leveyttä.
8 8 1. a).. b) Siirtoruuvin pyöritys Mittaasteio Kuva 5.6 Diffratiomittausten laitteisto a) laser ja rao, b) ilmaisin ja yleismittari. Siirrä varsinaisia raon leveysmittausia varten ilmaisin diffratiouvion neljännen ja viidennen minimin väliin. Kirjaa jännitemittarin luema seä ilmaisimen paia mittaasteiolla ( x alu ) mittauspöytäirjaan. Siirrä sitten ilmaisinta joo siirtoruuvin ierrosen tai sen puoliaan verran ohti diffratiouvion päämasimia ja havaitse jännitemittarin luema. Jata ilmaisimen siirtämistä oo mittaussarjan ajan sopivin siirtoruuvin ierrosen välein ja irjaa ussain mittauspisteessä valon voimauuteen verrannollinen jännite mittauspöytäirjaasi. Lopeta, un olet edennyt päämasimin toiselle puolelle neljännen ja viidennen minimin väliin. Ota loppupisteessä ylös seä jännitteen arvo että ilmaisimen paia mitta-asteiolla ( x ). Mittaa myös ilmaisimen ja raon välimata L metrimitalla. Kirjaa virheen arviointia varten myös ilmaisimen ja raon välimatan taruus mittauspöytäirjaan. Ota ylös myös laserin aallonpituus l virherajoineen l = ( 63,8 ± 0,1)nm. loppu 4. Polarisaatiomittauset Ysi polarisaatiomittausissa äytettävistä laitteistoista on esitetty uvassa 5.7. Laitteistoon uuluvat: 1. Valolähteenä äytettävä hehulamppu.
9 Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 9. Kasi polarisoivaa levyä, joista toinen on polarisaattori ja toinen analysaattori. Polarisoivien levyjen polarisaatioaseleiden suuntaa voidaan säätää. 3. Ilmaisimena toimiva valodiodi. 4. Yleismittari, jolla mitataan valodiodin havaitseman valon voimauuteen verrannollista jännitettä tai virtaa. 5. Optinen peni, johon valolähde, ilmaisin ja polarisoivat levyt on iinnitetty telineissään. Aloita tässäin mittauset säätämällä laitteisto ohjaajan neuvojen muaan. Aseta polarisaattori ja analysaattori valolähteen ja ilmaisimen väliin sopiville paioille siten, että ne ovat ohtisuorassa tulevaa valoa vastaan. Sytytä lamppu ja tarasta, että ilmaisin on taralleen valonsäteen ohdalla. Aseta mittausen alussa polarisaattorin polarisaatioaselin ulmaluemasi 0 o ja analysaattorin luemasi 90 o, jolloin aselien välinen ulma q on -90 o. Aloita varsinainen mittaus irjaamalla mittauspöytäirjaan ylös q-ulman arvoa -90 o vastaava yleismittarin luema. Tee sitten mittaussarja asvattamalla q - ulmaa 10 o välein välillä -90 o 90 o muuttamalla vain analysaattorin polarisaatioaselin suuntaa ja mittaa joaisella ulman arvolla valon voimauuteen verrannollinen jännite (tai virta). Valolähde otelossa Analysaattori Yleismittari Polarisaattori Polarisaatioaselien säätö Koteloitu valodiodi Optinen peni Kuva 5.7 Polarisaatiomittausten laitteisto.
10 10 5. Mittaustulosten äsittely ja tulosten luotettavuuden arviointi 5.1 Raon leveyden määrittäminen diffratiomittausista Tulosten äsittelyssä voit edetä seuraavasti: 1. Diffratiouvion piirtäminen: Piirrä ensin havaitut ( n, U ) - pisteparit millimetripaperille ja sitten pisteitä myötäillen diffratiouvio. Muista graafinen tasoitus eli älä piirrä diffratioäyrää suoraan mittauspisteestä toiseen, vaan piirrä mahdollisimman tasainen pisteitä myötäilevä äyrä. Valitse mittaaava niin, että sivumasimit näyvät uvassa riittävän oreina. (Vihje: Käytä sellaista mittaaavaa, että ensimmäinen sivumasimi täyttää uvaajan pystysuunnassa lähes oonaan, jolloin päämasimin huippu jää uvaajan ulopuolelle.). Minimien ja masimien paiojen määrittäminen: Määritä diffratiouviosta molemmin puolin päämasimia olevien minimien ja masimien ierrosluemat n mahdollisimman tarasti ja irjaa ne tauluoon. Muuta sitten mittausissa äyttämäsi siirtoruuvin ierrosluemat ohjaajan antamien neuvojen avulla x:n arvoisi eli luemisi, jota esittävät minimien ja masimien paioja valoa vastaan ohtisuorasti sijaitsevalla mitta-asteiolla ja irjaa paiat tauluoon. 3. Minimien ja masimien etäisyydet päämasimista: Lase yhtälöiden (5.5) ja (5.6) soveltamisessa tarvittavat minimien ja sivumasimien etäisyydet päämasimista (eli arvot X min ja X ).. minimin ja. sivumasimin etäisyydet saat päämasimin molemmin puolin sijaitsevien minimien ja sivumasimien paiojen x min ja x avulla yhtälöistä X min xmin ( oi.) - xmin (vas.) x (oi.) - x (vas.) = ja X =. Näin vältyt virheeltä, joa aiheutuisi epätarasta päämasimin esiohdan paiasta. 4. Raon leveys minimien avulla: Lase raon leveys havaittujen eri ertaluujen minimien etäisyysien avulla yhtälöä (5.5) soveltaen. Lase lopullinen raon leveys eri ertaluvun minimien avulla määritettyjen raon leveysien esiarvona. Arvioi unin ysittäisen raon leveyden virhe oonaisdifferentiaalimenetelmällä. Tässä lasussa etäisyysien X virherajalle pätee DX» Dx. Lase myös eri ertaluvun minimien avulla määritettyjen raon leveysien poieamat esiarvosta. Valitse lopputulosen virheesi suurin aiista edellä lasemistasi virheistä. 5. Raon leveys sivumasimien avulla: Lase toinen raon leveys virherajoineen samalla tavalla uin minimien avulla äyttäen eri ertaluujen sivumasimien etäisyysiä ja yhtälöä (5.6). 6. Masimien irradianssien suhteet: Määritä diffratiouviosta sivumasimien oreudet oiealla ja vasemmalla puolella havaittavien jänniteluemien esiarvona. Käytä päämasimin voimauutena suurinta havaittua jännitteen
11 Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 11 arvoa. Tee voimauusiin tarvittaessa taustaorjaus ohjaajan neuvojen muaan. Lase sitten suhteelliset irradianssit I 0 : I ja vertaa niitä ennaotehtävässä 1 yhtälön (5.7) avulla lasettuihin teoreettisiin arvoihin. 5. Polarisaatiomittausten äsittely Polarisaatiomittausten äsittely tehdään työvuoron aiana. Tällöin otetaan huomioon se, että ilmaisimelle pääsee taustavaloa myös tilanteessa, jossa polarisaattorin ja analysaattorin polarisaatioaseleiden välinen ulma on 90 o. Havaitut irradianssit I ovat siten muotoa hav I cos I tausta I = q +. Tulosten äsittelyssä voit edetä seuraavasti: 1. Taustaorjaus: Tee havaittuihin jännitteen tai virran arvoihin taustaorjaus lasemalla erotuset I hav - I tausta, missä I tausta on aseleiden välisen ulman q arvoa 90 o vastaava jännitteen (tai virran) arvo, un 0 o < q < 90 o ja I tausta on hav tausta ulman q arvoa -90 o vastaava jännitteen (tai virran) arvo, un -90 o < q < 0 o. Jos äyttämässäsi ilmaisimessa ei tarvittaisi taustaorjausta, tulisi näiden pienimpien jännitteen (tai virran) arvojen olla nollia. Nyt uitenin aiissa polarisaatiolaitteistoissa valoa pääsee detetorille myös analysaattorin ja polarisaattorin aseleiden ollessa ohtisuorassa ja sisi taustaorjaus on tarpeellinen.. Suhteelliset irradianssit: Lase sitten suhteelliset irradianssit eli taustaorjattujen irradianssien I - I suhteet havaittuun taustaorjattuun masimiirradianssiin ( I I - I ) =, missä I 0 on ulman arvolla 0 o havaittu jännite 0 tausta (tai virta). 3. Teoreettiset suhteelliset irradianssit: Lase myös Malusin lain (5.9) muainen teoreettinen suhteellinen irradianssi eri q - ulman arvoilla. (Vihje: I I = cos q.) 4. Suhteelliset irradianssit q -ulman funtiona: Piirrä äyrät, jota esittävät mitta- I - I I ja Malusin laista lasettuja ustulosten perusteella saatuja ( hav tausta ) ( q ) cos suhteellisia irradiansseja q - ulman funtiona. hav
12 1 6. Lopputuloset ja pohdintaa Ilmoita diffratiomittausten lopputulosina seä minimien että sivumasimien avulla saadut raon leveydet virherajoineen. Pohdi, umpi tulosista on luotettavampi ja misi. Esitä myös diffratioäyrän avulla määritetyt masimien irradianssien suhteet ja vertaa niitä teoreettisiin suhteisiin. Vertaa polarisaatiomittausten perusteella piirrettyä ja Malusin lain muaista uvaajaa toisiinsa. Mistä uvaajien mahdollinen erilaisuus voisi johtua?
VALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO
1 VALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO 1 Työn tavoitteet Tässä työssä tutkit valoa aaltoliikkeenä. Tutustut valon taipumiseen eli diffraktioon, joka havaitaan esimerkiksi, kun monokromaattinen valo kulkee
LisätiedotHARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ 1. yön tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus ässä työssä tutustut jasolliseen, määrätyin aiavälein toistuvaan liieeseen,
LisätiedotValon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa
Jväslän Ammattioreaoulu, IT-instituutti IXPF24 Fsiia, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pasi Repo Valon diffratio hdessä ja ahdessa raossa Laatija - Pasi Vähämartti Vuosiurssi - IST4S1 Teopäivä 2005-2-17 Palautuspäivä
Lisätiedot7 VALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO
7 VALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO 7.1 Valon luonne Valon mallit: Hiukkasmalli: Valo koostuu pienistä hiukkasista Aaltomalli: Valo on aaltoliikettä Aaltohiukkasdualismi: Valoa voidaan tarkastella sekä
Lisätiedot2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla
MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen
9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen
Lisätiedot2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
LisätiedotYHDEN RAON DIFFRAKTIO. Laskuharjoitustehtävä harjoituksessa 11.
YHDEN RAON DIFFRAKTIO Laskuharjoitustehtävä harjoituksessa 11. Vanha tenttitehtävä Kapean raon Fraunhoferin diffraktiokuvion irradianssijakauma saadaan lausekkeesta æsin b ö I = I0 ç b è ø, missä b = 1
LisätiedotPyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Meaniian jatourssi Fys10 Sysy 009 Jua Maalampi LUENTO 6 Harmonisen värähdysliieen energia Jousen potentiaalienergia on U ( x missä on jousivaio ja Dx on poieama tasapainosta. Valitaan origo tasapainopisteeseen,
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset
DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään
LisätiedotVALON DIFFRAKTIO YHDESSÄ JA KAHDESSA RAOSSA
1 VALON DIFFRAKTIO YHDESSÄ JA KAHDESSA RAOSSA MOTIVOINTI Tutustutaan laservalon käyttöön aaltooptiikan mittauksissa. Tutkitaan laservalon käyttäytymistä yhden ja kahden kapean raon takana. Määritetään
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
Lisätiedot9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
Lisätiedotja siis myös n= nk ( ). Tällöin dk l l
Tästä havaitaan, että jos nopeus ei riipu aallonpituudesta, ts. ei ole dispersiota, vg = v p. Tilanne on tällainen esimerkiksi tyhjiössä, missä vg = v p = c. Dispersiivisessä väliaineessa v p = c/ n, missä
Lisätiedotb 4i j k ovat yhdensuuntaiset.
MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä
LisätiedotJ1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6
MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato
LisätiedotS-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö
S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista
LisätiedotNaulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle
LAUSUNTO NRO VTT-S-04256-14 1 (6) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö ITW Construction Products Oy Jarmo Kytömäi Timmermalmintie 19A 01680 Vantaa 18.9.2014 Jarmo Kytömäi VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL
LisätiedotVakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.
1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi
LisätiedotEnnen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan
Lisätiedotd sinα Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila
Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 8: SPEKTROMETRITYÖ I Optinen hila Optisessa hilassa on hyvin suuri määrä yhdensuuntaisia, toisistaan yhtä kaukana olevia
LisätiedotKertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.
Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäöisyyslasenta IIa, syys loauu 019 / Hytönen 1. lasuharjoitus, rataisuehdotuset 1. ( Klassio ) Oloot A ja B tapahtumia. Todista lasuaavat (a) P(A B) P(A) + P(B \ A), (b) P(B) P(A B) + P(B \ A), (c)
LisätiedotHanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:
Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
LisätiedotLauri Puranen Säteilyturvakeskus Ionisoimattoman säteilyn valvonta
LC-577 Sähömagneettisten enttien ja optisen säteilyn biologiset vaiutuset ja mittauset Sysy 16 PINTAAJUIST SÄHKÖ- JA MAGNTTIKNTÄT Lauri Puranen Säteilyturvaesus Ionisoimattoman säteilyn valvonta SÄTILYTURVAKSKUS
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen
D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 9 Tavoitteet Valon luonne ja eteneminen Dispersio Lähde: https: //www.flickr.com/photos/fastlizard4/5427856900/in/set-72157626537669172,
LisätiedotSYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN
SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN Miten modulaation P S P B? 536A Tietoliienneteniia II Osa 4 Kari Käräinen Sysy 05 SEP VS. BEP D-SIGNAALIAVARUUDESSA Kullein modulaatiolle johdetaan
Lisätiedot23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen
3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto
FYSP103 / K2 FRAUNHOFERIN DIFFRAKTIO Työn tavoitteita havainnollistaa valon taipumiseen (diffraktio) ja interferenssiin liittyviä ilmiöitä erilaisissa rakosysteemeissä sekä syventää kyseisten ilmiöiden
LisätiedotVakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15
SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi
LisätiedotDISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa
Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa
LisätiedotNaulalevylausunto LL13 Combi naulalevylle
LAUSUNTO NRO VTT-S-0361-1 1 (5) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Lahti Levy Oy Asonatu 11 15100 Lahti 7.4.01 Simo Jouainen VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL 1001, 0044 VTT Puh. 00 7 5566, ax. 00 7 7003
LisätiedotMAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET
5 TLOUYRTTÄJÄN ELÄKELN UKEN VKUUTUKEN PERUTEET PERUTEDEN OVELTNEN Näitä perusteita soelletaan..009 lähtien maatalousrittäjän eläelain 80/006 YEL muaisiin auutusiin. VKUUTUKU Vauutusmasu uodelta on maatalousrittäjän
LisätiedotProjekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on
EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. Ryhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. Ryhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotKuva 1. Valon polarisoituminen. P = polarisaattori, A = analysaattori (kierrettävä).
P O L A R I S A A T I O VALON POLARISAATIO = ilmiö, jossa valon sähkökentän värähtelyt tapahtuvat vain yhdessä tasossa (= polarisaatiotasossa) kohtisuorasti etenemissuuntaa vastaan Kuva 1. Valon polarisoituminen.
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia
8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.
LisätiedotC (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)
http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.
LisätiedotProjekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on
EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. yhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. yhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta
LisätiedotYOUNGIN KOE. varmistaa, että tuottaa vaihe-eron
9 10. YOUNGIN KOE Interferenssin perusteella voidaan todeta, onko jollakin ilmiöllä aaltoluonne. Historiallisesti ajatellen Youngin (ja myös Fresnelin) kokeet 1800-luvun alussa olivat hyvin merkittäviä.
LisätiedotTehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
LisätiedotTalousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut
Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:
LisätiedotK-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä
Kesinäinen Henivauutusyhtiö IIIELLA TEKNIIKALLA LAKUPERUTE H-TUTKINTOA ARTEN HENKIAKUUTU REKURIIIELLA TEKNIIKALLA OIMAAOLO 2 AIKALAKU JA AKUUTUIKÄ Tätä lasuperustetta sovelletaan..25 alaen myönnettäviin
LisätiedotFYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 HILA JA PRISMA
FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT HILA JA PRISMA MIKKO LAINE 9. toukokuuta 05. Johdanto Tässä työssä muodostamme lasiprisman dispersiokäyrän ja määritämme työn tekijän silmän herkkyysrajan punaiselle valolle. Lisäksi
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,
Lisätiedot6 Lineaarisen ennustuksen sovelluksia
6 Lineaarisen ennustusen sovellusia Lineaarisella ennustusella on hyvin täreä asema monessa puheenäsittelyn sovellusessa. Seuraavassa on esitetty esimerejä siitä miten lineaarista ennustusta voidaan hyödyntää.
LisätiedotRATKAISUT: 21. Induktio
Physica 9 2. painos 1(6) ATKAISUT ATKAISUT: 21.1 a) Kun magneettienttä muuttuu johdinsilmuan sisällä, johdinsilmuaan indusoituu lähdejännite. Tätä ilmiötä utsutaan indutiosi. b) Lenzin lai: Indutioilmiön
Lisätiedot1974 N:o 622. Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. Liite 1.
1974 N:o 622 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) Muu
LisätiedotPerustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään
LisätiedotEPOP Kevät
EPOP Kevät 2012 16.1.2012 Projeti 1 Muutosilmiöt Piirianalyysi 1:ssä äsitellyt tasa- ja vaihtovirta-analyysit ovat jatuvan tilan menetelmiä, joissa oletetaan, että piirin herätteet (riippumattomat lähteet)
LisätiedotJoulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut
Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4
LisätiedotM y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y
36 5.3 Tuipaalutusen lasenta siitmämenetelmällä 5.3.1 Yleistä Jos paaluvoimia ei voida määittää suoaan tasapainohtälöistä (uten ohdassa 5.), on smsessä staattisesti määäämätön paalutus, jona paaluvoimien
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan
Lisätiedot2. Laskuharjoitus 2. siis. Tasasähköllä Z k vaipan resistanssi. Muilla taajuuksilla esim. umpinaiselle koaksiaalivaipalle saadaan = =
2 Lasuarjoitus 2 21 Kytentäimpedanssin asenta Mitä taroittaa ytentäimpedanssi? 5 ma:n suuruinen äiriövirta oasiaaiaapein vaipassa (uojoto) aieuttaa 1 mv:n suuruisen äiriöjännitteen 1 m:n mataa Miä on ytentäimpedanssin
Lisätiedot1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2)
. Harjoitusoe. a) Valitaan suorilta asi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) 0 0 0 Suoran yhtälö on y. Suora t: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) ( ) 0 Suoran yhtälö on y.
LisätiedotTodennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali
Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien
Lisätiedot(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA
Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi
Lisätiedot25 INTERFEROMETRI 25.1 Johdanto
5 INTERFEROMETRI 5.1 Johdanto Interferometrin toiminta perustuu valon interferenssiin. Interferenssillä tarkoitetaan kahden tai useamman aallon yhdistymistä yhdeksi resultanttiaalloksi. Kuvassa 1 tarkastellaan
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten
LisätiedotHeilurin differentiaaliyhtälö
LUKU 4 Heilurin differentiaaliyhtälö 4.. Konservatiiviset systeemit Fysiaalisissa sovellutusissa täreitä ovat ns. onservatiiviset systeemit. Ysiulotteinen onservatiivinen systeemi (tai onservatiivinen
LisätiedotRuuviliitoSTEN. Sisällysluettelo
RuuviliitoSTEN MITOITUS Sisällysluettelo 1 Yleistä... 1.1 Kansiruuvit... 1. Itseporautuvat ruuvit... Esiporaus... 3 Materiaalit... 3 4 Kuormitustapa... 4 5 Leiausrasitettu ruuvi... 4 5.1 Itseporautuvat
Lisätiedot[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.
ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi
02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin
LisätiedotNaulalevylausunto LL13 naulalevylle
LAUSUNTO NRO VTT-S-3259-12 1 (4) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Lahti Levy Oy Asonatu 11 151 Lahti 27.4.212 Simo Jouainen VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL 11, 244 VTT Puh. 2 722 5566, Fax. 2 722 73
Lisätiedot12.3 KAHDEN RAON DIFFRAKTIO. Yhden kapean raon aiheuttama amplitudi tarkastelupisteeseen P laskettiin integraalilla E = ò,
9 1.3 KAHDN RAON DIFFRAKTIO Yhden kapean raon aiheuttama amplitudi tarkastelupisteeseen P laskettiin integraalilla = ò, + / L ikssinq R e ds r - / missä s on alkion ds etäisyys raon keskipisteestä, ja
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
LisätiedotKuva 1. Ohmin lain kytkentäkaavio. DC; 0 6 V.
TYÖ 37. OHMIN LAKI Tehtävä Tutkitaan metallijohtimen päiden välille kytketyn jännitteen ja johtimessa kulkevan sähkövirran välistä riippuvuutta. Todennetaan kokeellisesti Ohmin laki. Välineet Tasajännitelähde
Lisätiedotfunktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysikaalisen kemian laboratorioharjoitukset I 1 Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja
Lisätiedotz z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0
TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 45/2017
KJR-C00 Kontinuumimeaniian perusteet viio 45/017 1. Oloon f t ) alojen onsentraatio [ f ] < g/m ) joessa joa riippuu siis seä paiasta että ajasta. Havaitsija on veneessä ja mittaa onsentraatiota suoraan
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
Lisätiedot4 Optiikka. 4.1 Valon luonne
4 Optiikka 4.1 Valon luonne 1 Valo on etenevää aaltoliikettä, joka syntyy sähkökentän ja magneettikentän yhteisvaikutuksesta. Jos sähkömagneettinen aalto (valoaalto) liikkuu x-akselin suuntaan, värähtelee
LisätiedotMiehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa
S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että
Lisätiedottermit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)
LisätiedotJäykistävän seinän kestävyys
Esimeri Jäyistävän seinän estävyys 1.0 Kuormitus Jäyistävän seinän ominaisuormat on esitetty alla olevassa uvassa. Laselman ysinertaistamisesi tarastellaan seinästä vain iuna-auon vasemman puoleista osaa,
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 019 Harjoitus 5B Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Jatoa Harjoitus 5A tehtävää 4). Moistee esimeri 3.3.3. muaa momettimeetelmä
LisätiedotAPTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET
APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPEUSTEET Koooma 28.3.2006. Viimeisin perustemuutos on ahistettu 16.1.2003. APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN LASKU-
LisätiedotLAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO
LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPITO TYÖOHJE 2009 Keianteniian osasto Tenillisen eian laboratorio BJ90A0900 Tenillisen eian ja tenillisen polyeerieian laboratoriotyöt Ohje: Irina Turu, Katriina Liiatainen,
Lisätiedot9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO
09 9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO Edellisissä kappaleissa olemme tutkineet valon heijastumista peileissä ja taittumista linsseissä geometrisen optiikan approksimaation avulla Approksimaatiossa valon aaltoluonnetta
LisätiedotEETU OJANEN SIGNAALIN ENNUSTAMINEN KALMAN-SUOTIMELLA. Kandidaatintyö
EETU OJANEN SIGNAALIN ENNUSTAMINEN KALMAN-SUOTIMELLA Kandidaatintyö Tarastaja: Lehtori Konsta Koppinen Jätetty tarastettavasi 11. tououuta 2009 2 TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tietoliienne-
LisätiedotELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 12: Tasokehän palkkielementti, osa 2.
/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO : Tasoehän palielementti, osa. NELJÄN VAPAUSASTEEN PALKKIELEMENTTI Kun ahden vapausasteen palielementin solmuihin lisätään loaalin -aselin suuntaiset siirtmämittauset,
LisätiedotTyö 2324B 4h. VALON KULKU AINEESSA
TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/5 Työ 2324B 4h. VALON KULKU AINEESSA TYÖN TAVOITE Työssä perehdytään optisiin ilmiöihin tutkimalla valon kulkua linssisysteemeissä ja prismassa. Tavoitteena on saada
LisätiedotM 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon
Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali
LisätiedotTyöntekijän eläkelain (TyEL) mukaisen eläkevakuutuksen erityisperusteet
Työnteijän eläelain (TyEL) muaisen eläeauutusen erityisperusteet 202 2 TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN (TYEL) MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET Voimaantulosäännöset Perusteen 20.2.2006 oimaantulosäännös
LisätiedotDiffraktio. Luku 36. PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman. Lectures by James Pazun
Luku 36 Diffraktio PowerPoint Lectures for University Physics, Twelfth Edition Hugh D. Young and Roger A. Freedman Lectures by James Pazun Johdanto Ääni kuuluu helposti nurkan taakse Myös valo voi taipua
LisätiedotVAIHTOVIRTAPIIRI. 1 Työn tavoitteet
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Sähkö- ja magnetismiopin laboratoriotyöt AHTOTAP Työn tavoitteet aihtovirran ja jännitteen suunta vaihtelee ajan funktiona. Esimerkiksi Suomessa käytettävä verkkovirta
LisätiedotKuten aaltoliikkeen heijastuminen, niin myös taittuminen voidaan selittää Huygensin periaatteen avulla.
FYS 103 / K3 SNELLIN LAKI Työssä tutkitaan monokromaattisen valon taittumista ja todennetaan Snellin laki. Lisäksi määritetään kokonaisheijastuksen rajakulmia ja aineiden taitekertoimia. 1. Teoriaa Huygensin
LisätiedotIII. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,
III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat
LisätiedotIris-säätöpelti EKO-SI
Iris-säätöpelti EKO-SI Kuvaus EKO-SI on iris-tyyppinen säätöpelti ilmamäärän mittaamiseen ja säätämiseen. Säätöpelti täyttää asiaanuuluvat AMA VVS- ja Kyl 09 seä tiiviysluoan C vaatimuset. Raenne EKO-SI
LisätiedotValon luonne ja eteneminen. Valo on sähkömagneettista aaltoliikettä, ei tarvitse väliainetta edetäkseen
Valon luonne ja eteneminen Valo on sähkömagneettista aaltoliikettä, ei tarvitse väliainetta edetäkseen 1 Valonlähteitä Perimmiltään valon lähteenä toimii kiihtyvässä liikkeessä olevat sähkövaraukset Kaikki
Lisätiedot