Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Transkriptio

1 Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b]) D. Kun f : D R on integroituva pitkin polkuja [tj 1,t j ] kaikilla j = 1,..., k, niin funktion f polkuintegraali pitkin polkua on fds = fds + + fds. [t0,t 1 ] [tk 1,t k ] Huomautus Kun Määritelmässä funktio f on jatkuva, niin t1 tk fs = f((t)) (t) dt + + f((t)) (t) dt t 0 t k 1 = b a f((t)) (t) dt, missä Riemann-integraali lasketaan vastaavasti paloittain.

2 Esimerkki Olkoon kaikilla t [ 1, 1] ja olkoon (t) = ( t, t) f(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 2 kaikilla x 1, x 2 R. Silloin ei ole C 1 -polku, mutta on paloittain C 1 -polku ja 0 fds = f( t, t) d( t, t) 1 dt dt + f( t, t) d( t, t) dt dt = = = t t 2 ( 1, 1) dt + 0/ 1 4 t / 1 4 t t t 2 (1, 1) dt

3 Lause Olkoon : [a, b] R m ja : [c, d] R m injektiivisiä paloitttain C 1 -polkuja, joiden kuvajoukoille pätee ([a, b]) = ([c, d]). Jos f : D R m R on sellainen jatkuva funktio, että ([a, b]) D, niin fds = fds Huomautus Vastaava tulos on näytetty aiemmin, kun f 1 ja sekä ovat sileitä (Määr. 3.2,4) ja injektiivisiä polkuja (eli ([a, b]) on yksinkertainen sileä kaari (Määr ) ). Yllä oleva tulos pätee löysemmillä oletuksilla. Korjataan Määritelmää seuraavalla tavalla, joka poistaa eräitä muuttujanvaihdossa esiintyviä ongelmia: Määritelmä Olkoon C R m käyrä ja olkoot : [a, b] R m ja : [c, d] R m käyrän C parametriesityksiä. Parametriesitykset j ovar ekvivalentteja, jos löytyy sellainen surjektio φ : [a, b] [c, d], että φ on C 1 -funktio, (t) = φ(t) kaikilla t [a, b] ja joko φ (t) > 0 kaikilla t [a, b] tai φ (t) < 0 kaikilla t [a, b].

4 Polkuintegraalit yhtyvät myös ekvivalenteille C 1 -poluille (joiden ei tarvitse olla injektiivisiä, Määr ). Tämä vahvistaa Lausetta 3.2.3, jossa vastaava tulos näytettiin funktiolle f 1. Huom! myös Lauseessa kuvauksen φ tulee olla C 1! Lause Olkoon C R m käyrä, jolla on ekvivelentit parametriesitykset : [a, b] C ja : [c, d] C. Jos f : D R m R on sellainen funktio, että C D, niin fds = fds Todistus. Olkoot ja lauseen oletusten mukaiset. Ekvivalenttisuuden määritelmän nojalla löytyy sellainen ja aidosti monotoninen surjektio φ : [a, b] [c, d], että = φ. Tehdään polkuintegraalissa fds = d c f( (t)) (t) dt muuttujanvaihto t = φ(s), jolloin saadaan φ 1 (d) fds = f( (φ(s))) (φ(s)) φ (s)ds, φ 1 (c) missä (i) φ > 0 (aidosti kasvava) tai (ii) φ < 0 (aidosti vähenevä). Käsitellään ensin tapaus (i): fds = φ 1 (d)=b φ 1 (c)=a f( φ(s)) (φ(s))φ (s) ds = φ = }{{} ( φ) fds.

5 Vastaavasti (ii) fds = φ 1 (d)=a φ 1 (c)=b f( φ(s)) (φ(s)) φ (s) ( 1) ds = }{{} φ (s) fds. Seuraava määritelmä laajentaa kaaren käsitteen joukoille, joiden parametriesitykset eivät ole sileitä. Määritelmä Olkoon C R m. Joukko C on yksinkertainen kaaari, jos löytyy sellainen jatkuva bijektio : [a, b] C, että on paloittain C 1 -polku. Kuvausta sanotaan kaaren C yksinkertaiseksi parametriesitykseksi. Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari, jonka yksinkertainen parametriesitys on : [a, b] C. Funktion f (kaari-)integraali yli kaaren C on b fds = f((t)) (t) dt. (4.1.1) C a Kun f 1, integraalin (4.1.1) arvoa sanotaan kaaren C pituudeksi, jota merkitään l(c). Huomautus Lauseesta seuraa, että kaari-integraalin arvo ei riipu yksinkertaisen parametriesityksen valinnasta.

6 Esimerkki a) Olkoon C = {(x 1, x 2 ) R 2 : x 2 = x 1, x 1 [ 1, 1]}. Silloin C on yksinkertainen kaari, jonka yksinkertainen parametriesitys on (t) = (t, t ), kaikilla t [ 1, 1]. Funktion f(x 1, x 2 ) = x 2 1x 2 integraali yli kaaren C on 0 fds = t 2 t d(t, t ) 1 dt dt + t 2 t d(t, t ) dt dt = 1. 2 C 1 b) Olkoon C R 2 joukko, joka koostuu sellaisen origokeskisen neliön kolmesta sivusta, että neliön sivut, joiden pituus on 2, ovat koordinaattiakselien suuntaiset ja sivu, jolla x 2 = 1, ei sisälly joukkoon C. Laske funktion f(x 1, x 2 ) = x 1 + 3x 2 2 kaari-integraali yli kaaren C. Joukko C on yksinkertainen kaari, sillä (1, t 2), 1 t 3 (t) = (4 t, 1), 3 t 5 ( 1, 6 t), 5 t 7 on joukon C injektiivinen parametriesitys, joka on paloittain C 1 - polku. Tällöin fds = 1 + 3(t 2) 2 dt + 4 t + 3 dt (6 t) 2 dt C } 1 {{}} 3 {{}} 5 {{} =4 =6 0 =0

7 4.1.1 Vektorikentän polkuintegraali Määritelmä Olkoon f = (f 1,..., f m ) : D R m R m jatkuva vektorikenttä ja olkoon = ( 1,..., m ) : [a, b] R m sellainen (paloittain) C 1 -polku, että ([a, b]) D. Vektorikentän f (polku)integraali pitkin polkua on b b f d = f((t)) (t)dt = f 1 ((t)) 1(t) + + f m ((t)) m(t)dt Esimerkki Olkoon a a f(x 1, x 2 ) = 1 4 ( x 2, x 1 ) kaikilla x 1, x 2 R ja olkoon (t) = (t, t 2 ) kaikilla t [ 1, 1]. Silloin on C 1 -polku ja (t) = (1, 2t) t [ 1, 1]. Funktion f polkuintegraali pitkin polkua on 1 f d = f((t)) (t)dt = = = f(t, t 2 ) (1, 2t)dt 1 4 ( t2, t) (1, 2t)dt 1 t 2 + 2t 2 dt = 1 6.

8 Kuva 4.1: Vektorikentän f(x 1, x 2 ) = 1 4 ( x 2, x 1 ) arvot polulla (t) = (t, t 2 ).

9 Fysikaalinen tulkinta Luvun alussa todettiin, että reaaliarvoisen funktion polkuintegraali on funktion kuvaajan ja polun väliin jäävän alueen pinta-ala. Mikä on vektorikentän polkuintegraalin tulkinta? Fysiikassa vektorikentän f polkuintegraali pitkin polkua kuvaa voimakentän f tekemää työtä, kun voimakentässä f oleva hiukkanen siirtyy pisteestä (a) pisteeseen (b) pitkin polkua. Kuva 4.2: Vakiokentän f = (0, c) työtä tekevä komponentti riippuu hiukkasen liikkeen suunnasta. Kuvassa hiukkanen liikkuu matkan l pitkin eri suoria. Tapaus (a): kenttä ei tee työtä, Tapaus (c) Kentän tekemä työ on lc. Tapaus (b) kentän tekemä työ on l c cos(θ).

10 Esimerkiksi kun hiukkanen liikkuu vakiovoimakentässä f yksikkövektorin u suuntaan matkan l, niin vektorikentän tekemä työ on W = missä θ on vektorien f ja u välinen kulma eli }{{} l f cos(θ) }{{} matka työtä tekevä komponentti cos(θ) = f u f u. Tarkastellaan tapausta, jossa f ei ole vakiokenttä ja hiukkanen liikkuu pitkin polkua. Käytetään välin [a, b] jakoa P = {a = t 0 < < t k = b}. Väliarvolauseen (Lemma 3.4.1) nojalla löytyy sellainen piste p j [ j 1, t j ], että (t j ) (t j 1 ) = (p j )(t j t j 1 ). Arvioidaan hiukkasen rataa paloittain lineaarisella polulla kaikilla t [t j 1, t j ], missä j = 1,..., k. (t) (p j )(t t j ) + (t j 1 )

11 Hetkellä p j [t j 1, t j ] hiukkanen on pisteessä (p j ), jolloin siihen vaikuttaa voima f((p j )). Kun väli [t j 1, t j ] on hyvin lyhyt, niin voima f((t)) f((p j )) kaikilla t [t j 1, t j ]. Kun hiukkanen kulkee lineaarisesti pisteestä (t j 1 ) pisteeseen (t j ), sen kulkema matka on tj t j 1 (p j ) dt = (p j ) (t j t j 1 ). Vakiokentän f((p j )) tekemä työ, kun hiukkanen siirtyy pisteestä (t j 1 ) pisteeseen (t j ) lineeaarisesti, on W j = (p j ) (t j t j 1 ) f((p j )) cos(θ j ) missä cos(θ j ) = f((p j)) (p j ) f((p j )) (p j ) Kentän f tekemää kokonaistyötä voidaan approksimoida Riemannin summalla k W f((p j )) cos(θ j ) (p j ) (t j t j 1 ) (4.1.2) = j=1 k f((p j )) (p j )(t j t j 1 ). j=1 (4.1.2)

12 Vektorikentän polkuintegraalin ominaisuuksia Lause Olkoon f, g : D R m R m kaksi jatkuvaa funktiota ja olkoon : [a, b] R m sellainen (paloittain) C 1 -polku, että ([a, b]) D. Silloin (f + g) d = f d + g d ja cf d = c f d jokaisella c R. Todistus. Seuraa Riemannin integraalin vastaavista ominaisuuksista.

13 Lause Olkoon f : D R m R m jatkuva. Olkoon : [a, b] R m ja : [c, d] R m kaksi sellaista C 1 -polkua, että ([a, b]) D ja löytyy sellainen C 1 -funktio φ : [a, b] [c, d], että = φ. Silloin 1. Jos φ(a) = c ja φ(b) = d, niin f d = f d. 2. Jos φ(a) = d ja φ(b) = c, niin f d = f d. Todistus. Tarkastellaan kohta (1): Olkoon = φ. Tällöin b b F d = f((t)) (t)dt = f( φ) (φ(t))φ (t)dt. Muutujanvaihdolla s = φ(t) saadaan F d = Kohdan (2) todistus etenee vastaavasti. a d c a f( (s)) (s)ds.

14 Vektorikentän kaari-integraali Aiemmin nähtiin, että kaaren sileys ei ole välttämätöntä hyvin määritellylle integraalille. Tässä luvussa rajoitutaan kuitenkin esityksen yksinkertaistamiseksi sileisiin yksinkertaisiin kaariin. Palautetaan aluksi mieleen, että yksinkertaisen sileän kaaren kaikki sileät parametriesitykset ovat yksinkertaisia ja ekvivalentteja keskenään (Lause 3.2.4, jonka todistuksessa on helppo nähdä että differentioituva φ on myös C 1 -funktio). Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen sileä kaari ja olkoon C 1 -polut : [a, b] R m ja : [c, d] R m kaaren C sileitä parametriesityksiä. Parametriesitykset ja ovat aidosti ekvivalentteja, jos sellaisella C 1 -surjektiolla φ : [a, b] [c, d], että = φ pätee φ > 0. Esimerkki Olkoon Silloin parametriesitykset ja C = {(x 1, x 2 ) R 2 : x 2 = x 1, x 1 [0, 1]}. (t) = (t, t), t [0.1] (t) = (1 2t, 1 2t), t [0, 1/2] ovat ekvivalentteja mutta eivät aidosti ekvivalentteja, sillä φ(t) = 1 t 2 kuvaa välin [0, 1] välille [0, 1/2] ja (t) = (φ(t))., mutta φ (t) = 1/2 kaikilla t [0, 1].

15 Aidon ekvivalenttisuuden tutkimiseen on helpompikin tapa kuin funktion φ konstruointi: Lemma Olkoon C R m yksinkertainen sileä kaari ja olkoon C 1 -polut : [a, b] R m ja : [c, d] R m kaaren C sileitä parametriesityksiä. Parametriesitykset ja ovat aidosti ekvivalentteja, jos (a) = (c) (eli polkujen alkupisteet yhtyvät). Todistus. Yksinkertaisen sileän kaaren sileät parametriesitykset ovat ekvivalentteja (Lause 3.2.4), jolloin sellainen C 1 -bijektio φ : [a, b] [c, d], että = φ, on olemassa. Jos φ > 0, niin φ(a) = c, jolloin (a) = (c). Jos φ < 0, niin φ(a) = d, jolloin (a) = (d). Lause Olkoon f : D R m R jatkuva ja C R m sileä yksinkertainen kaari. Jos kaaren C sileät parametriesitykset : [a, b] R m ja : [c, d] R m ovat aidosti ekvivalentteja, niin f d = f d. Todistus. Väite seuraa lauseesta Huomautus Lauseen nojalla kaaren parametriesityksen polkuintegraalin merkki vaihtuu erilaisilla poluilla. Tämän perusteella on luonnollista jakaa kaaren parametriesitykset kahteen luokkaan.

16 Määritelmä Olkoon C yksinkertainen sileä kaari ja : [a, b] C sen sileä (yksinkertainen) parametriesitys. Yksinkertainen kaari C on suunnistettu päätepisteestä (a) päätepisteeseen (b), jos sen sileiksi parametriesityksiksi sallitaan vain sellaisia polkuja, joiden alkupiste on (a) ja loppupiste on (b). Suunnistettua kaarta merkintään C +. Lisäksi merkitään C sellaista suunnistettua kaarta, joka on suunnistettu päätepisteestä (b) päätepisteeseen (a) ja sanotaan, että C on suunnistettu vastakkaiseen suuntaan kuin C +. Huomautus Yksinkertaisella sileällä kaarella on ainoastaan kaksi suunnistusta. Määritelmä Olkoon C + R m suunnistettu sileä yksinkertainen kaari ja f : D R m R m sellainen jatkuva funktio, että C D. Funktion f (kaari-)integraali yli suunnistetun kaaren C + on b f ds = f((t)) (t)dt, C + a missä on suunnistetun kaaren C + jokin sileä parametriesitys.

17 Esimerkki Olkoon f(x 1, x 2 ) = (x 1 x 2, x 1 ) kaikilla x 1, x 2 R ja C = {(x 1, x 2 ) R 2 : x 2 = x 2 1, x 1 [ 1, 0]} Tällöin (t) = (t, t 2 ), t [ 1, 0] on käyrän C injektiivinen parametriesitys ja (t) = (1, 2t) 0. Täten C on sileä yksinkertainen kaari. Suunnistetaan kaari C pisteestä ( 1) = ( 1, 1) pisteesen (0) = (0, 0) ja merkitään suunnistettua kaarta C +. Kaari-integraali 0 0 fds = f(t, t 2 ) (1, 2t)dt = (t 3, t) (1, 2t)dt = 11 C Kuva 4.3: Yksinkertainen suunnistettu kaari C + (punainen käyrä). Kaaren C suunnistus merkitty nuolella.

18 Vektorifunktion kaari-integraalilla ja skalaarifunktion kaari-integraalilla on seuraava yhteys: Lause Olkoon C + R m yksinkertainen sileä suunnistettu kaari. Olkoon f : D R m R m sellainen jatkuva vektorikenttä, että C D. Silloin 1 f ds = f C + C 1ds (4.1.3) aina, kun on kaaren C + jokin sileä (yksinkertainen) parametriesitys. Todistus. Määritelmän mukaan sileä parametriesitys : [a, b] C toteuttaa ehdon (t) 0 kaikilla t [a, b]. Lisäksi Lauseen nojalla on injektiivinen, joten sen käänteiskuvaus 1 : C [a, b] on myös jatkuva. Erityisesti 1 : C R m on hyvin määritelty jatkuva kuvaus. Täten yhtälön (4.1.3) oikea puoli on jatkuvan reaalifunktion kaari-integraali. Jatkuvan funktion kaari-integraalin arvo on sama injektiivisille parametriesityksille (Lause 4.1.3). Täten kaari-integraali voidaan laskea käyttäen esimerkiksi sileää parametriesitystä, jolloin suoraan nähdään että C f 1 1ds = eli yhtälö (4.1.3) pätee. b a f((t)) 1 ((t) 1 ((t) (t) dt = b a f((t)) (t)dt

19 Määritelmä Yhtälössä (4.1.3) esiintyvää vektoria τ x := (t) (t), missä (t) = x eli t = 1 (x),nimitetään suunnistetun kaaren C + yksikkötangenttivektoriksi pisteessä x C. Esimerkki Suunistetun kaaren C +, missä C = ([0, 2π]) ja (t) = (t sin(t), t cos(t)) kaikilla t [0, 2π], yksikkötangenttivektori pisteessä x, kun x = (t 0 ), t 0 [0, 2π], on τ x = (sin(t 0 ) + t 0 cos(t 0 ), cos(t 0 ) t 0 sin(t 0 )) (sin(t0 ) + t 0 cos(t 0 )) 2 + (cos(t 0 ) t 0 sin(t 0 )) 2.

20 Kuva 4.4: Vasemmalla yksinkertaisen sileän suunnistetun kaaren C + yksikkötangenttivektoreita käyrän pisteisiin piirrettynä. Oikealla yksinkertaisen sileän suunnistetun kaaren C yksikkötangenttivektoreita käyrän pisteisiin piirrettynä.