y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

Transkriptio

1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y suhteen ja jonka nopeus on σ y? (b) Miten parametri σ on valittava, jotta u(x, t) on lämpöyhtälön ratkaisu? Motivaatio: Esimerkki tasoaallosta. (a) Tarkastellaan funktion u tasa-arvopintoja {(x, t) R n R : u vakio}. Tällaiset muodostavat erityisesti pisteet x, joissa y x σ t c jollakin c C. Tämä on x:n suhteen (hyper)tason yhtälö, jossa taso on kohtisuorassa vektoria y vastaan. Etenemisnopeus voidaan laskea tarkastelemalla kahta pistettä (x 1, t 1 ), (x 2, t 2 ) R n R tasa-arvopinnalla. Näin saadaan { y x1 σ t 1 c y x 2 σ t 2 c y x 1 σ t 1 y x 2 σ t 2 y (x 2 x 1 ) σ(t 2 t 1 ) y x 2 x 1 y σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 σ y, missä x 2 x 1 y tarkoittaa vektorin x 2 x 1 vektorin y suuntaista komponenttia. Tasoaalto etenee siis vektorin y suuntaan nopeudella σ y. Nopeus ja suunta ovat vakioita, eli eivät riipu pisteestä (x, t) R n R. (b) Lämpöyhtälö on u t u 0. Derivoimalla t:n suhteen saadaan u t t ei(y x σt) t (i(y x σt)) ei(y x σt) iσe i(y x σt). Derivoimalla x j :n suhteen, j 1,..., n, saadaan u xj e i(y x σt) (i(y 1 x x n y n σt)) e i(y x σt) iy j e i(y x σt), 1

2 josta edelleen u xjx j ( iy j e i(y x σt)) iy j joten iy j iy j e i(y x σt) y 2 j e i(y x σt), (i(y 1 x x n y n σt)) e i(y x σt) u u x1x u xnx n ( y 2 1 y 2 n)e i(y x σt) y 2 e i(y x σt). Näin ollen u t u 0 iσe i(y x σt) y 2 e i(y x σt) iσ y 2 σ i y 2. u(x, t) on siis lämpöyhtälön ratkaisu, kun σ i y (Jatkoa edelliseen tehtävään) Miten parametri σ on valittava, jotta u(x, t) on Schrödingerin yhtälön iu t + u 0 ratkaisu? Motivaatio: Schrödingerin yhtälön ja lämpöyhtälön välinen yhteys. Tehtävässä 1 laskettujen osittaisderivaattojen avulla saadaan iu t + u 0 i( iσ)e i(y x σt) ( y 2 )e i(y x σt) σ y 2. u(x, t) on siis Schrödingerin yhtälön ratkaisu, kun σ y Näytä, että luennolla käsitellyllä Poissonin ytimellä P y (x) P (x, y) on seuraavat ominaisuudet: Γ((n + 1)/2) π (n+1)/2 (a) P y (x) y n P 1 (x/y) kaikilla y > 0, (b) R n P y (x) dx 1 kaikilla y > 0 ja (c) P y P z P y+z kaikilla y, z > 0. Ohje: Käytä Fourierin muunnoksen ominaisuuksia. y ( x 2 + y 2 ), x (n+1)/2 Rn, y > 0, 2

3 Motivaatio: Poissonin ytimen perusominaisuudet; Fourierin muunnoksen yhteys konvoluutioytimiin. (a) Todistus. Merkitään c n Γ((n + 1)/2)/π (n+1)/2, jolloin millä tahansa y > 0 saadaan P y (x) c n y ( x 2 + y 2 ) c n y (n+1)/2 ( y2 ( x/y 2 + 1) ) (n+1)/2 c n y y n+1( x/y ) (n+1)/2 y n P 1 (x/y). (b) Todistus. Millä tahansa y > 0 saadaan Fourierin muunnoksen avulla P y (x) dx P y (x)e ix 0 dx P y (0) e 0 y 1, R n R n koska luentomonisteen Lemman 3.23 perusteella P y (ξ) e ξ y. (c) Todistus. Luentomonisteen Lausetta 3.16 soveltaen Fourierin muunnokselle saadaan millä tahansa y, z > 0 ( P y P z )(ξ) P y (ξ) P z (ξ) e ξ y e ξ z e ξ (y+z) P y+z (ξ) kaikilla ξ, joten ottamalla tästä puolittain Fourierin käänteismuunnos saadaan P y P z P y+z Fourierin käänteismuunnoksen yksikäsitteisyyden perusteella. Tässä erityisesti P y+z L 1 (R n ) on rajoitettu ja jatkuva funktio ja P y+z L 1 (R n ), joten luentomonisteen Lause 3.13 on voimassa. 4. Jatkoa edelliseen tehtävään. (a) Näytä, että P (x, y) on harmoninen funktio ylemmässä puoliavaruudessa R n+1 (b) Näytä suoralla laskulla, että konvoluutio u(x, y) (P y f)(x) on harmoninen funktio ylemmässä puoliavaruudessa R n+1 Motivaatio: Harmonisuuden säilyminen konvoluutiossa. 3

4 (a) Todistus. Voidaan todistaa väite kahdella eri tavalla: suoralla laskulla tai hyödyntämällä Fourierin muunnosta ja luentomonisteen lausetta 3.5. Huomaa että kun käytetään lausetta 3.5 niin tarvitaan tietoa P :n osittaisderivaattojen integroituvuudesta, joten niiden laskeminen ei tässä tehtävässä voi välttää. Tästä syystä todistetaan ensin väite laskemalla osittaisderivaatat. Kaikilla j 1,..., n saadaan osittaisderivoimalla P (x, y) josta edelleen tulon derivointisäännöllä x 2 (x, y) j c n y (x x2 n + y 2 ) (n+1)/2 2x j ( (n + 1)/2)c n y (x x2 n + y 2 ) (n+1)/2+1 c n (n + 1)x j y (x x2 n + y 2 ) (n+3)/2, c n (n + 1)x j y (x x2 n + y 2 ) (n+3)/2 c n (n + 1)y (x x2 n + y 2 ) (n+3)/2 Vastaavasti muuttujan y suhteen saadaan josta edelleen + 2x j( (n + 3)/2)( c n (n + 1)x j y) (x x2 n + y 2 ) (n+3)/2+1 c n(n + 1)y ( x 2 + y 2 ) (n+3)/2 + c n(n + 1)(n + 3)x 2 j y ( x 2 + y 2 ) (n+5)/2. P y (x, y) c n y y ( x 2 + y 2 ) (n+1)/2 c n ( x 2 + y 2 ) + 2y( (n + 1)/2)c ny (n+1)/2 ( x 2 + y 2 ) (n+1)/2+1 y 2 (x, y) y c n ( x 2 + y 2 ) + c n(n + 1)y 2 (n+1)/2 ( x 2 + y 2 ), (n+3)/2 c n ( x 2 + y 2 ) + c n (n + 1)y 2 (n+1)/2 y ( x 2 + y 2 ) (n+3)/2 2y( (n + 1)/2)c n ( x 2 + y 2 ) + c n(n + 1)(2y) (n+1)/2+1 ( x 2 + y 2 ) (n+3)/2 + 2y( (n + 3)/2)( c n(n + 1)y 2 ) ( x 2 + y 2 ) (n+3)/2+1 3c n(n + 1)y ( x 2 + y 2 ) (n+3)/2 + c n(n + 1)(n + 3)y 3 ( x 2 + y 2 ) (n+5)/2. 4

5 Laskemalla toiset osittaisderivaatat yhteen saadaan n x P j y 2 c nn(n + 1)y ( x 2 + y 2 ) + c n(n + 1)(n + 3) x 2 y (n+3)/2 ( x 2 + y 2 ) (n+5)/2 + 3c n(n + 1)y ( x 2 + y 2 ) + c n(n + 1)(n + 3)y 3 (n+3)/2 ( x 2 + y 2 ) (n+5)/2 c n(n + 3)(n + 1)y + c n(n + 1)(n + 3)( x 2 + y 2 )y ( x 2 + y 2 ) (n+3)/2 ( x 2 + y 2 ) (n+5)/2 c n(n + 1)(n + 3)y ( x 2 + y 2 ) + c n(n + 1)(n + 3)y 0. (n+3)/2 ( x 2 + y 2 )(n+3)/2 Yllä laskettu pätee kaikilla (x, y) R n+1 +, joten P (x, y) on harmoninen funktio ylemmässä puoliavaruudessa R n+1 Vaihtoehtoinen todistus Fourierin puolella: Todistus. Osittaisderivaattojen lausekkeista nähdään että x:stä riippuvat funktiot xj P, 2 x j P ja 2 yp kuuluvat avaruuteen L 1 (R n ) kun kiinnitetään y > 0. Tästä seuraa että x n (x, y) + 2 P (x, y), y2 kuuluu avaruuteen L 1 (R n ) jokaisella y > 0. Tästä syystä voidaan Fouriermuuntaa ylläolevaa funktiota x:n suhteen. Jos Fourierin muunnos on 0 niin voidaan päätellä että myös alkuperäinen funktio on nollafunktio, eli P on harmoninen. Fourierin puolella derivointi muuttuu kertolaskuksi (luentomonisteen Lause 3.5 ehdot ovat tässä voimassa koska funktio ja sen derivaatat ovat integroituvia), joten Fourierin muunnosta hyödyntämällä saadaan kaikilla j 1,..., n 2 P y (ξ) iξ j Py (ξ) (iξ j ) 2 Py (ξ) ξ 2 j e ξ y. Muuttujan y suhteen derivointi puolestaan voidaan ottaa x:n suhteen otetun Fourierin muunnoksen ulkopuolelle, jolloin saadaan 2 P y y 2 (ξ) 2 P y (x)e ix ξ R y 2 dx 2 y 2 P y (x)e ix ξ dx n R n 2 y 2 P y (ξ) 2 y 2 e ξ y ( ξ ) 2 e ξ y. Huomaa derivaatan siirto ulos integraalista ei ole aina sallittua. Tässä tapauksessa sitä voidaan kuitenkin perustella dominoidun konvergenssin lauseen avulla. 5

6 Yksityiskohdat menevät tämän kurssin ulkopuolelle, mutta mainitaan että tässä on olennaista että mille tahansa y 0 > 0 löytyy ympäristö U siten että y- derivaatoilla on integroituva majorantti joka ei riipu parametrista y U. Yhdistämällä edelliset laskut saadaan Fuorierin muunnoksen F lineaarisuuden nojalla ( n F + 2 P y 2 ) (ξ) n 2 P y (ξ) + y y 2 (ξ) ξ 2 e ξ y + ξ 2 e ξ y 0. Koska nollafunktio on ainoa L 1 -funktio jonka Fourierin muunnos on 0, olemme osoittaneet että jokaisella y > 0 funktio x n (x, y) + 2 P (x, y), y2 on nollafunktio. Mutta tämä tarkoittaa että P on harmoninen funktio ylemmässä puoliavaruudessa R n+1 (b) Todistus. Merkitsemällä x n+1 y ja ottamalla osittaisderivoinnit integraalin sisälle saadaan n+1 2 n+1 u 2 ( ) x 2 (x, y) j x 2 P y (x z)f(z) dz j R n n+1 R x 2 (x z, y)f(z) dz n j n+1 R x 2 (x z, y) f(z) dz 0, n j sillä suluissa oleva lauseke on kohdan (a) perusteella 0 millä tahansa z R n. Tässä termi z funktiossa P, josta osittaisderivaatat lasketaan, ei muuta osittaisderivaattojen arvoa, vaan ainoastaan siirtää osittaisderivaattojen evaluoinnin toiseen pisteeseen, millä ei ole merkitystä, koska kohdan (a) perusteella funktion P harmonisuus pätee puoliavaruuden R n+1 + jokaisessa pisteessä. Siispä konvoluutio u(x, y) (P y f)(x) on harmoninen funktio ylemmässä puoliavaruudessa R n+1 Huomaa että myös tässä tehtävässä derivaattojen siirto integraalin sisälle on epätriviaali asia. Se kuitenkin onnistuu jos f on riittävän säännöllinen, esimerkiksi rajoitettu. Tämä takaa myös että konvoluutio on hyvin määritelty. 6

7 5. Oletetaan, että f C 0 (R n ). Näytä, että lim u(x, y) lim (P y f)(x) f(x) y 0 y 0 kaikilla x R n. Ohje: Ykkösen approksimaatio. Motivaatio: Konvoluution suppeneminen ykkösen approksimaationa. Todistus. Lauseen 3.19 perusteella riittää näyttää, että P y kuuluu "hyvien ytimien luokkaan", eli että se toteuttaa: (i) Jokaisella y > 0 pätee R n P y (x) dx 1, (ii) On olemassa M > 0 siten, että jokaisella y > 0 pätee R n P y (x) dx M, (iii) Jokaisella δ > 0 pätee lim P y (x) dx 0. y 0 x >δ Tässä ominaisuus (i) pätee tehtävän 3 (b) mukaan. Ominaisuus (ii) puolestaan pätee kohdan (i) perusteella automaattisesti vakiolla M 1, koska P y on ei-negatiivinen. Näytetään ominaisuus (iii). Olkoon δ > 0. Hyödyntämällä pallo-koordinaatteja voidaan laskea x >δ P y (x) dx cy cy Nyt Lauseen 3.19 mukaan kaikilla x R n. x >δ δ 1 ( x 2 + y 2 ) r n 1 dr y rn+1 dx cy (n+1)/2 lim (P y f)(x) f(x), y 0 δ x >δ 1 dx x n+1 r 2 dr cδ 1 y y

8 6. Tarkastellaan yhtälöä u + u f, missä f C0 (R n ). Johda sen ratkaisulle u esitys f(ξ) u(x) (2π) n eix ξ 1 + ξ 2 dξ. R n Motivaatio: Fourierin muunnoksen soveltaminen lineaariselle osittaisdifferentiaaliyhtälölle koko avaruudessa R n. Osittaisderivoinnit muuttuvat Fourierin puolella kertolaskuiksi luentomonisteen Lauseen 3.5 mukaan (jonka ehdot ovat varmasti voimassa, sillä f C0 (R n )), joten 2 u u (ξ) iξ j (ξ) (iξ j ) 2 û(ξ) ξj 2 û(ξ) kaikilla ξ R n ja j 1,..., n, mistä seuraa Fourierin muunnoksen lineaarisuuden perusteella n ( u(ξ) ξ 2 j û(ξ) ) ξ 2 û(ξ). Ottamalla tehtävän osittaisdifferentiaaliyhtälöstä puolittain Fourierin muunnos saadaan edelleen lineaarisuuden vuoksi josta ratkaisemalla ( ξ 2 û(ξ) ) + û(ξ) f(ξ), û(ξ) f(ξ) 1 + ξ 2. Ottamalla tästä puolittain Fourierin käänteismuunnos seuraa u(x) (2π) n R n f(ξ) 1 + ξ 2 eix ξ dξ kaikilla x R n Fourierin käänteismuunnoksen yksikäsitteisyyden perusteella (luentomonisteen Lauseen 3.13 ehdot ovat varmasti voimassa, sillä f C 0 (R n )). 8