KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 45/2017

Transkriptio

1 KJR-C00 Kontinuumimeaniian perusteet viio 45/ Oloon f t ) alojen onsentraatio [ f ] < g/m ) joessa joa riippuu siis seä paiasta että ajasta. Havaitsija on veneessä ja mittaa onsentraatiota suoraan alapuoleltaan. Joen virtausnopeus on vaio v < vi. Muodosta havaitsijan näems onsentraation f muutosnopeudesta df / dt seuraavissa tapausissa: a) Vene on iinnitett paioilleen laituriin. b) Vene liiuu moottorin uljettamana suhteellisella nopeudella u < ui uj veteen nähden. c) Vene lipuu virran muana. 3 Vastaus df dt f df f f f < < v u) u t dt t df f < v f dt t. Kappaleen liieen uvaus on < X ty < Y t X ja < Z joissa on vaio. a) Lase nopeuden ja iihtvden omponentit Lagrange esitsessä. b) Millaista reittiä ulee partieli joa alutilanteessa t < 0 on pisteessä ) < 1 1) h. c) Määritä äänteinen uvaus ja rataise nopeuden omponentit Eulerin esitsessä. v Y a Y Vastaus v < t X a < X v 0 a 0 1 t < h t 1 v t t v < t 4 1 t v 0 3. Jännitsomponentit Karteesisen ) oordinaatiston annassa ovat [ ρ] < ρ Määritä appaleen pintaan g ) < 6< 0 vaiuttava tratio. Määritä mös tration omponentit tason normaalin ja tangentin suuntiin. Pinnan uloinen normaali n on funtion g ) gradientin suuntainen. T 5 ρ0 Vastaus ρ < 5 j 3 9 ρ n T 1 19ρ0 < 1 j ρt T 1 4ρ0 < 1 j Kuvan sauvat on iinnitett nivelillä tuiin ja toisiinsa raennetta uormittaa pstsuora voima ja ummanin sauvan poiipinta-ala on A. Määritä sauvan 1 jännits XY ) appaleoordinaatiston I J ) annassa. Miä Y 1 X α α

2 on sauvan 1 jännitsen esits iinteän oordinaatiston i j ) annassa? Vastaus T σ cos cot cos ρ < II < Asin j A cos sin j 3ρ 5. Kappalealioon vaiuttaa uvan muaiset jännitsomponentit. Esitä jännitstensori ρ σ ierretn ) oordinaatiston annassa un π < ο /4. Määritä mös suurin ja pienin normaalijännits seä niihin liittvät suunnat. Y π X ρ Vastaus T T T 1 σ I 0 I ρ 1 3 I I ρ < ρ ρ J 3 < < J j 3 7 j J J 6. Kaapelin ABC pituus on L. Kuorma P aapelin päässä aiheuttaa tasaisen venmän δ P. Miä on uorman P aiheuttama aapelin pituuden muutos? Todellisuudessa mös aapelin massa on otettava huomioon. Oletetaan että aapelin oman painon aiheuttama venmä mielivaltaisessa pisteessä B on verrannollinen pisteen B alapuolelle jäävän aapelin pituuteen. Jos pituuden muutos uorman P ja oman massan vaiutusesta on pisteessä A? Χ L miä on venmä aapelin läpäässä A B C P L g ΧL Vastaus δ < δp L 7. Määritä lineaarinen venmä un appaleen siirtmän u< ui uj u < u < ) ja u < 0. Kerroin on vaio. u omponentit ovat Vastaus T 0 σ δ j 1 < j Tarastellaan virtausta jona nopeusomponentit ovat v < 3 ) v < ja v < ). Määritä virtausen pörteiss ja muodonmuutosnopeuden esits ominaisarvohajotelman avulla. T 0 Vastaus ϖ < 5 j 0 T σ 1 d j < j

3 Oloon f t ) alojen onsentraatio [ f ] < g/m ) joessa joa riippuu siis seä paiasta että ajasta. Havaitsija on veneessä ja mittaa onsentraatiota suoraan alapuoleltaan. Joen virtausnopeus on vaio v < vi. Muodosta havaitsijan näems onsentraation f muutosnopeudesta seuraavissa tapausissa: a) Vene on iinnitett paioilleen laituriin. b) Vene liiuu moottorin uljettamana suhteellisella nopeudella u < ui uj veteen nähden. c) Vene lipuu virran muana. Konsentraatio on annettu iinteässä ) oordinaatistossa Eulerin esits). Koordinaatiston aseli osoittaa veden virtaussuuntaan osa v < vi. Havaitsijan näems muutosnopeudesta df / dt < lim Χf / Χ t riippuu funtion f derivaatoista ajan ja paian suhteen seä havaitsijan Χ t 0 nopeudesta. untion oonaisdifferentiaalissa f f f Χ f ) t < Χt Χ Χ t Χ riippuvat havaitsijan liieestä aiavälissä paiamuutoset Χ ja nopeuden omponentit iinteässä oordinaatistossa ovat päädtään tuloseen 3 v ja v jolloin Χ t. Jos havaitsijan Χ < vχ t ja Χ < vχ t df Χf f f f f < lim < v v < v f dt Χt t t jossa v on siis mittaajan/veneen nopeus. a) Jos vene on iinnitett laituriin v < v < 0 ja df dt f <. t b) Jos vene liiuu moottorin uljettamana suhteellisella nopeudella u < ui uj havaitsijan nopeus iinteän oordinaatiston suhteen v < v u ) i u j ja veteen nähden df f f f < v u) u dt t. c) Jos vene lipuu virran muana v < v v < 0 ja df f < v f dt t. Huom! Ainederivaatassa seurataan nestepartielia jolloin havaitsija ja vene lipuvat virran muana. C) ohdan muutosnopeus on siis ainederivaatta.

4 Kappaleen liieen uvaus on < X ty < Y t X ja < Z joissa on vaio. a) Lase nopeuden ja iihtvden omponentit Lagrange esitsessä. b) Millaista reittiä ulee partieli joa alutilanteessa t < 0 on pisteessä ) < 1 1) h. c) Määritä äänteinen uvaus ja rataise nopeuden omponentit Eulerin esitsessä. Kappaleen liieen uvaus on appaleen partielien ratojen parametriesits aia on äräparametri). Kappaleoordinaatit XYZ ) identifioivat partielin. Tässä appaleen liieen uvaus on 1 t 0 X < t 1 0 Y Z a) Nopeuden ja ja iihtvden omponentit saadaan appaleen paiavetorin r < i j osittaisderivaattoina ajan suhteen. Kiinteän oordinaatiston antavetorit ovat vaioita joten derivaatta puree vain omponentteihin v 1 0 t X 0 t 0 X ty v t 1 0 Y t 0 0 < < Y tx t < v Z 0 0 0Z 0 a v 0 0 X Y a v 0 0 < < Y X t <. a Z 0 v b) Tietn partielin rata saadaan liieen uvausesta pitämällä appaleoordinaatteja vaioina määrittävät partielin). Alutilanteessa t < 0 iinteä oordinaatisto ja appaleoordinaatisto htvät joten partieli X Y Z) < ) < 1 1) h. Partielin radan parametriesits 1 t t < t 1 0 h < h t Jos aia eliminoidaan ahdesta ensimmäisestä htälöstä saadaan havainnollisempi esits < 5 h )/ ja < 1. Partieli liiuu pitin suoraa < 5 h )/ tasolla < 1. c) Käänteinen uvaus saadaan rataisemalla aineoordinaatit XYZ ) tilaoordinaattien ) funtioina aia on vain parametri). Kosa uvaus on lineaarinen ja ääntvä

5 1 t 0 X < t 1 0 Y Z 1 1 t 0 t X 1 Y < t 1 0 < t 4. 1 t Z Nopeuden omponentit Eulerin esitsessä saadaan lasemalla ensisi omponentit Lagrange esitsessä ja eliminoimalla tämän jäleen aineoordinaatit appaleen liieen äänteisuvausen avulla v X v t < Y v 0 0 0Z ja X t 1 Y < t 4 1 t Z v t t 1 t v t < t t 1 4 < 1 4. t t v

6 Jännitsomponentit Karteesisen ) oordinaatiston annassa ovat [ ρ] < ρ Määritä appaleen pintaan g ) < 6< 0 vaiuttava tratio. Määritä mös tration vetoriomponentit tason normaalin ja tangentin suuntiin. Pinnan uloinen normaali n on funtion g ) gradientin suuntainen. Tration vetori) ja jännitsen tensori) välinen relaatio on ρ < n ρ jossa n on pinnan uloinen normaali. Määritetään alusi n. Pinnan g ) < 6< 0 gradientti g on normaalin suuntainen muttei välttämättä siön mittainen) g < i j T 1 g 1 1 n < < i j ) < 1 j g Komponenttimatriisin avulla saadaan jännitstensorin esits T T σ ρ < ρ < ρ j [ ] j j j. Pintaan vaiuttava tratio eli voima pinta-alasiöä ohden T T T T σ 1 ρ n 1 j j ) 0 ρ ρ ρ ρ j < < < j < 5 j T i i i j i Edellä on ätett tulosta j j < j i j j j < < [ I]. i j Esitetään tratio vielä normaalisuuntaisen ja tangentiaalisuuntaisen vetorin summana ρ n T T T T ρ0 1 19ρ n ρ) n 1 j j 5 ) 1 j 0 < < < 1 j

7 T T T ρ0 ρ0 4ρ0 ρt < ρ ρn < ) j < 1 j Tration normaali ja tangentiaaliosuusien summa on tratio ρ < ρn ρt ohtisuoria ρ n ] ρ t. ja osuudet ovat

8 Kuvan sauvat on iinnitett nivelillä tuiin ja toisiinsa raennetta uormittaa pstsuora voima ja ummanin sauvan poiipinta-ala on A. Määritä sauvan 1 jännits XY ) appaleoordinaatiston I J ) annassa. Miä on sauvan 1 jännitsen esits iinteän oordinaatiston i j ) annassa? Nivelsauva antaa vain aselinsa suuntaisia voimia. Rataistaan alusi sauvavoimat statiian einoja ättäen. Tässä riittää tarastella voiman uormittaman nivelen voimatasapainoa. Vapaaappaleuvion avulla saadaan Y 1 X α α < N1cos Ncos < 0 < N1sin Nsin < 0 N 1 < N <. sin N1 N Voiman ja vastavoiman lain muaan sauvaan 1 vaiuttaa htä suuri mutta vastaaissuuntainen voima N < N1 < / sin sauvasta ulospäin). Kosa etumeri on negatiivinen sauvavoima on negatiivinen ja siis puristusta. Jännits on voima jaettuna pinta-alalla. Kappaleoordinaatiston nollasta eroava omponentti muut omponentit ovat nollia) ρ XX < Asin T I ρxx ρxy ρxz I σ ρ J ρyx ρyy ρ < YZ J < II. Asin K ρzx ρzy ρ ZZ K Jännittensori tunnetaan tässä appaleoordinaatiston annassa. Kiinteän oordinaatiston esits saadaan lausumalla appaleoordinaatiston antavetorit iinteän oordinaatiston antavetoreiden avulla ja sijoittamalla jännitstensorin appaleoordinaatiston esitseen. Kuvan perusteella I cos sin 0 J sin cos 0 < j I < i cos jsin. K Sijoitetaan appeleoordinaatiston esitseen T cos cot cos 0 σ ρ i cos jsin ) i cos jsin ) j cos sin 0 < < j Asin A Tai ρ < cos cot ρ < sin ja ρ < ρ < cos. A A A

9 3ρ Kappalealioon vaiuttaa uvan muaiset jännitsomponentit. Esitä jännitstensori ρ σ ierretn ) oordinaatiston annassa un π < ο /4. Määritä mös suurin ja pienin normaalijännits seä niihin liittvät suunnat. Y π X ρ Kuvasta voidaan päätellä jännitstensorin omponentit appaleoordinaatiston annassa. Komponentin ensimmäinen indesi viittaa pinnan uloisen normaalin suuntaan ja toinen tration omponentin suuntaan. Siis T T I ρxx ρxy ρxz I I 0 ρ 0 I T σ I 0 ρ I ρ J ρyx ρyy ρ YZ J J ρ 3ρ 0 < < J < J ρ 3ρ. J K ρzx ρzy ρ ZZ K K K Jännittensori tunnetaan tässä siis appaleoordinaatistossa. Kiinteän oordinaatiston esits saadaan lausumalla appaleoordinaatiston antavetorit iinteän oordinaatiston antavetoreiden avulla ja sijoittamalla jännitstensorin appaleoordinaatiston esitseen. Kuvan perusteella cosπ sinπ I < j sinπ cosπ J I cosπ sinπ < J sinπ cosπ. j Sijoitetaan matriisitulon transponointisääntö T T T [ a][ b]) < [ b] [ a] ) π < ο /4 T T σ ρ ρ 1 3 ρ < j 1 1 < ρ 3ρ 1 1 j j 3 7. j Suurin ja pienin normaalijännits seä niihin liittvät suunnat saadaan jännitsen omponenttimatriisin ominaisarvotehtävän rataisuna. Ominaisarvot ovat samat ummassain oordinaatistossa mutta suunnat eivät. Tarastellaan vaia appaleoordinaatiston omponenttimatriisia. Alusi ominaisarvot 0 κ ρ det < 0 κ)3 ρ κ) ρ < 0 ρ 3ρ κ κ {4 ρ ρ}. Sitten ominaissuunnat κ < ρ : ρ ρ n 4ρ ρ n 0 ρ 3ρ 4ρ n < < ρ ρ n n 1 n < κ < ρ : 0 ρ ρ n ρ ρ n 0 ρ 3ρ ρ n < < ρ 4ρ n n n <. 1

10 Jännitsen appaleoordinaatiston esitsen ominaisarvohajotelma [ ρ] < [ n][ κ][ n] T T 1 σ I 0 ρ I I 1 4ρ 0 1 I ρ < < J ρ 3ρ J J 1 0 ρ 1. J 1

11 Kaapelin tasaisen venmän ABC pituus on L. Kuorma P aapelin päässä aiheuttaa δ P. Miä on uorman P aiheuttama aapelin pituuden muutos? Todellisuudessa mös aapelin massa on otettava huomioon. Oletetaan että aapelin oman painon aiheuttama venmä mielivaltaisessa pisteessä B on verrannollinen pisteen B alapuolelle jäävän aapelin pituuteen. Jos pituuden muutos uorman P ja oman massan vaiutusesta on pisteessä A? Χ L miä on venmä aapelin läpäässä A B C P L g Venmä aapelin suunnassa on siirtmän derivaatta du L L du δ < δ d < d < u L) u0) <ΧL d 0 0 d. Jos vennä on vaio aapelin pituuden muutosesi tulee Χ L < δ L. P P Venmä pisteessä B etäisdellä ripustuspisteestä on verrannollinen alapuolella olevan osan pituuteen eli δ g ) < L ) jossa on verrannollisuuserroin. Tiedetään että voiman ja oman painon aiheuttama pituuden muutos 1 Χ L <ΧL Χ L < L L d < L L L P g δp ) δ 0 p Χ LδpL <. L Voiman ja oman painon aiheuttama venmä pisteessä A Χ L δpl ΧL δ < δp δg0) < δp L 0) < δp < δp. L L

12 Määritä lineaarinen venmä un appaleen siirtmän u< ui uj u < u < ) ja u < 0. Kerroin on vaio. u omponentit ovat Lineaarinen venmä on siirtmän gradientin smmetrinen osa. Komponenttimatriisi on tällöin smmetrinen u 1 u u 1 u ) u ) T T δ δ δ i 1 u u u 1 u u δ j δ ) < δ δ j < j ) j. δ δ δ 1 u 1 u u u ) u ) Diagonaalialiot uvaavat ainealion pituusmuutosia suhteellista venmää oordinaattiaselien suunnissa). Loput alioista uvaavat ainealion ulmamuutosia. Siirtmäomponentit ovat u < u < ) ja u < 0. Venmät saadaan derivoimalla T T i δ δ δ 0 σ δ j δ δ δ j j 1 < < j δ δ δ

13 Tarastellaan virtausta jona nopeusomponentit ovat v < 3 ) v < ja v < ) on vaio). Määritä virtausen pörteiss muodonmuutosnopeus ja sen esits ominaisarvohajotelman avulla. Nesteen inematiiassa täreitä suureita ovat mm. virtausnopeus vt ) ja nestealion muodonmuotosnopeus iinteälle aineelle suureet olivat siirtmä ja muodonmuutos). Kehitetään nestealion nopeus Talorin sarjasi paian suhteen tietllä ajanhetellä) ja jaetaan nopeuden gradientti smmetriseen ja antismmetriseen osaan: 1 1 v < v0 v < v0 { [ v v)] c [ v v)]} c < v0 ϖ d σ. Ainealio oletetaan pienesi jolloin suhteellinen paiavetori < r r 0 on mös pieni ja sarjan asi ensimmäistä termiä uvaavat nopeutta ainealiossa riittävän tarasti. Edellä on ätett antismmetrisen tensorin a σ assosioidun vetorin a σ σ äsitettä: Jos a < ac löt a s.e. σ b a < a b! b. Antismmetrisellä toisen ertaluvun tensorilla a σ on olme riippumatonta omponenttia jota ovat vetorin a omponentit ja ääntäen T 0 a a σ a < j a 0 a j a a 0 a< ai a j a. ja Lopullinen muoto osoittaa että nestealion liie oostuu translaatiosta v 0 pörteisdestä ϖ nestealion ulmanopeus) ja muodonmuutosnopeudesta d σ. Pörteisden ja muodonmuutosnopeuden omponenttiesitset ovat 1 v v 1 0 v ) v ) T i σ 1 v v 1 v v ϖ j ) 0 < ) j 1 v 1 v v v ) ) 0 1 v v ) 1 v v ϖ < ) j 1 v v ) T v 1 v v 1 v ) v ) T i σ 1 v v v 1 v v d j ) < ) j. 1 v 1 v v v ) v ) Annetun virtausnopeuden omponentit olivat v < 3 ) v jolloin pörteiss ja muodomuutosnopeus < ja v < )

14 T 0 ϖ < 5 j 0 ja T 0 1 σ d j < j 1 0. Muodonmuutosnopeuden ominaisarvot ja suunnat saadaan omponenttimatriisin ominaisarvoina ja suuntina. Rataistaan ensin ominaisarvot κ 0 det 0 κ 0 < κ)3 4 κ κ ) < 0 0 κ κ { 3} Sitten vastaavat suunnat κ 1 < : κ < : κ 3 < 3: n n < n n n < n n n < n n 0 { n} 1 < n < 1 n 0 n 1 { n} < n < 0 n 1 n 1 { n} 3 < n < 0. n 1 1 Ominaisarvohajotelmasi [ d] < [ n][ κ][ n] tulee [ d] < < T σ 1 d j < j