Vektorirvoisten funktioiden nlyysiä LuK-tutkielm Arttu Hrtikk 2330325 Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Syksy 2016
Sisältö Johdnto 2 1 Vektorivruus 3 1.1 Normi j normivruus...................... 5 2 Linerikuvus 6 3 Vektorirvoisen funktion (Frechet'n) derivtt 9 3.1 Ketjusääntö............................ 12 3.2 Välirvoluse j sen seurukset................. 13 Lähdeluettelo 16 1
Johdnto Tutkielmssni ljennetn normli relinlyysi vektorirvoisten funktioiden nlyysiksi. Pohjtietoin on hyvä oll ymmärrys linerilgebrst j relinlyysistä. Tutkielmn luss määritellään iheeseen liittyvää peruskäsitteistöä, kuten vektorivruus, vektori, normi, normivruus, linerikuvus j funktioiden jtkuvuus. Määrittelyjen tueksi olen ottnut muutmi ymmärrettäviä esimerkkejä rtkisuineen. Näiden peruskäsitteiden ymmärtäminen helpott itse nlyysiosion määritelmien, esimerkkien j luseiden ymmärtämistä. Anlyysiosioss määritellään vektorirvoisten funktioiden derivtt eli Frechet'n derivtt. Tässä määritelmässä huomion rvoist on, että se ei kerro itse funktion derivtn lskemisest mitään. Määritelmässä kerrotn vin, että derivtt on jokin linerikuvus, jok täyttää määritelmän ehdon. Frechet'n derivtn ymmärtämisen helpottmiseksi vertn sitä normliin derivtn määritelmään eli erotusosmäärän rj-rvoon. Yhteistä tutulle derivtlle j vektorirvoisten funktioiden derivtlle on se, että molemmt ovt yksikäsitteisiä j derivoituvuus implikoi jtkuvuuden. Relinlyysistä tutut ketjusääntö j dierentililskenn välirvoluse voidn kirjoitt myös vektorirvoisten funktioiden tpuksess. Erityisesti välirvoluse on tärkeä funktioiden nlyysissä j optimointi ongelmien rtkisemisess. Tuttu välirvolusett j vektorirvoisten funktioiden välirvolusett vertilln myös keskenään, jott ymmärretään niiden erot j smnkltisuudet. Tutkielmn viimeisessä esimerkissä tulee hyvin esille vektorirvoisen välirvoluseen käyttö. Normi käytetään erityisesti Freshet'n derivtn määritelmässä j välirvoluseess. Sitä käytetään, jott vektoreit voidn vertill keskenään. Tvllisten relilukujen vertminen keskenään onnistuu helposti ilmn normi, mutt jos otetn vektorivruudeksi vikk Euklidinen vruus R n ei siellä olevi vikkp viisiuloitteisess vruudess olevi vektoreit voi mitenkään vertill ilmn Euklidist normi. Tutkielmss olen käyttänyt kht teost, Debnthin j Mikusinskin kirjoittm kirj "Hilbert spces with pplictions"j Depreen j Swrtz kirjoittm teost "Introduction to rel nlysis". 2
1 Vektorivruus Määritelmä 1.1. Vektorivruudell trkoitetn epätyhjää joukko E, johon on määritelty kksi lskutoimitust: lkioiden summ j kunnn F sklrill kertominen siten, että seurvt ehdot toteutuvt kikill x, y, z E j, b F: 1. x + y = y + x (vihdnnisuus) 2. (x + y) + z = x + (y + z) (liitännäisyys) 3. On olemss sellinen 0 E, että 0 + x = x (nollvektori) 4. On olemss sellinen x E, että x + ( x) = 0 (vstvektori) 5. On olemss sellinen 1 F, että 1x = x (ykköslkio) 6. (bx) = (b)x (sklrien tulon vihdnnisuus) 7. ( + b)x = x + bx (sklrien summn osittelu) 8. (x + y) = x + y (osittelulki) Joukoll F trkoitetn yleensä joko relilukujen joukko R ti kompleksilukujen joukko C. Joukon E lkioit kutsutn vektoreiksi. Jos F = R, niin E on relinen vektorivruus j jos F = C, niin E on kompleksinen vektorivruus. Esimerkki 1.2. Vektorist puhuttess, käsitetään se koskemn erityisesti vruudess R n ti C n,joss n Z + olevi lkioit ( 1, 2,..., n ). Määritelmän mukn vektori on kuitenkin minkä thns vektorivruuden lkio. Yksinkertisimpi vektorivruuksi ovt relilukujen ti kompleksilukujen joukko ti, vikk vin joukko {0}. Relilukujen joukko on vektorivruus, jos lskutoimituksiksi määritellään relilukujen yhteenlsku j sklrikertolskuksi relilukujen kertolsku. Nämä lskutoimitukset toteuttvt selvästi kikki määritelmän khdeksn koht. Esimerkki 1.3 (Funktioiden muodostm vektorivruus). Olkoon F kikkien kuvusten R R joukko. Jos f F, g F j R, niin kuvukset f + g j f määritellään seurvsti: f + g : R R, x f(x) + g(x) j f : R R, x f(x) Osoitetn että joukko F, joss yhteenlsku j sklrikertolsku määritellään pisteittäin, on vektorivruus. 3
Todistus. 1. Vihdnnisuus: f + g = g + f, f, g F j x R. Nyt (f + g)(x) = f(x) + g(x) j (g + f)(x) = g(x) + f(x). Kosk rvot f(x) j g(x) ovt relilukuj, niin ne ovt vihdnnisi. Eli kuvukset (f + g)(x) j (g + f)(x) ovt yhtäsuuret. 2. Liitännäisyys: (f + g) + h = f + (g + h), f, g, h F j x R. Nyt (f + g)(x) + h(x) = f(x) + g(x) + h(x) = f(x) + (g + h)(x). 3. Nollvektori: Funktioll on olemss nollvektori, jok on vkiofunktio 0(x) = 0, kikill x R. Osoitetn, että se on nollvektori käyttämällä vektorivruuden yhteenlsku. Nyt (f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x) + 0 = f(x). 4. Vstvektori: Osoitetn, että funktion f F vstvektori on f. Osoitetn siis, että f + ( f) = 0, eli silloin f(x) on funktion f(x) vstvektori, kikill x R. Eli (f + ( f))(x) = f(x) + ( f(x)) = 0. 5. Ykköslkio sklritulon suhteen: Funktioll on olemss sklritulon suhteen ykköslkio 1 R siten, että (1f(x)) = 1f(x) = f(x). 6. Sklrien tulon vihdnnisuus: Siis (bf(x)) = bf(x) = (b)(f(x)). Kosk, b j f(x) ovt relilukuj, niin osittelulit ovt voimss. 7. Sklrien summn osittelu: Osoitetn, että ( + b)f = f + bf. Nyt (( + b)f)(x) = ( + b)f(x) = f(x) + bf(x) = (f + bf)(x). Käyttämällä sklritulo j yhteenlsku hyväkseen stiin todistettu sklrien summn osittelulki. 8. Osittelulki: Osoitetn, että (f + g) = f + g. Nyt ((f + g)(x)) = (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x). Kosk funktioiden f j g rvot f(x) j g(x) ovt relilukuj, osittelulit ovt voimss. 4
1.1 Normi j normivruus Määritelmä 1.4. Kuvust x x, jok sett jokisen vektorivruuden lkion vstmn reliluku, kutsutn normiksi, jos se täyttää seurvt ehdot: 1. x = 0, jos j vin jos x = 0 2. λx = λ x, kikill x E j λ F 3. x + y x + y, kikill x, y E Huomutus 1.5. Koht 3. kutsutn kolmioepäyhtälöksi. Sen nojll 0 = 0 = x x x + x = 2 x, eli x 0 kikill x E. Huom, että kohdst 2. seur, että 0 = 0. Kolmioepäyhtälön toist suunt x y x ± y, käytetään myös usein. Se on seurus kohdist 2. j 3. Huomutus 1.6. Normin käsite on tutun itseisrvon yleisempi muoto. Itseisrvo ilmisee yleisesti vektorin pituutt ti etäisyyttä jostkin. Normi ilmisee vektorin etäisyyttä origost äärellisuloitteisiss vruuksiss. Määritelmä 1.7. Joisskin vektorivruuksiss on määritelty normi. Tällisi vektorivruuksi kutsutnkin normivruuksiksi. Normivruutt merkitään prill (E, ), joss E on vektorivruus j on vektorivruuden normi. Jotkut vektorivruudet miellämme suorn normivruuksiksi. Esimerkiksi vektorivruus R n voidn vrust Euklidisell normill x = x 2 1 + + x 2 n. Normill on bsoluuttisi rvoj reliluvuiss j kompleksiluvuiss. Näissä sitä voidnkin hyödyntää esimerkiksi etäisyyksien rvioinniss j rjrvojen määrittelyssä. Esimerkki 1.8. Euklidinen normi: z = ( z 1 2 + + z n 2 ), z = (z 1,..., z n ) C n Tämä on normi joukoss C n j tätä normi kutsutn Euklidiseksi normiksi. Vektorivruudell C n on myös muit normej kuten z = z 1 + + z n ti z = mx{ z 1,..., z n }. 5
Esimerkki 1.9. Vrustetn Esimerkin 1.3 vektorivruus normill f = sup f(x). x R Oletetn, että funktiot f j g ovt jtkuvi. Osoitetn, että näin sdn normivruus. Todistus. 1. Osoitetn, että f = 0, jos j vin jos f(x) = 0. Nyt sup x R f(x) = 0, silloin f(x) = 0, jost seur, että f(x) = 0, eli funktion normi f = 0, jos j vin jos f(x) = 0. 2. Käyttämällä supremumin lskusääntöjä sdn, että f = sup x R f(x) = sup f(x) = f. x R Tämän perusteellä kerroin voidn ott normin sisäpuolelt pois. 3. Osoitetn, että f + g f + g (kolmioepäyhtälö) toteutuu funktion normiss. Supremumin lskusääntöjen vull sdn, että f + g = sup x R f(x) + g(x) sup x R f(x) + sup g(x) = f + g. x R Kohtien 1.-3. perusteell f = sup x R f(x) on esimerkin 1.3 normi. 2 Linerikuvus Määritelmä 2.1. Olkoon V j W vektorivruuksi. Kuvust L : V W snotn linerikuvukseksi, jos seurvt ehdot täyttyvät: 1. L(v + w) = L(v) + L(w), kikill v, w V 2. L(v) = L(v), kikill v V j F. Linerikuvust merkitään L L(V, W ). Esimerkki 2.2. Kuvus L : R R on linerinen, jos on olemss sellinen R, että L(x) = x kikill x R. Todistus. R 1. L(x + y) = (x + y) = x + y = L(x) + L(y), kikill x, y j 2. L(λx) = λx = λx = λ(l(x)), kikill λ, x R 6
Esimerkki 2.3. Kuvus K : R R, K(x) = x + 5 ei ole linerinen. Todistus. 1. K(x + y) = x + 5 + y = K(x) + K(y) 5 K(x) + K(y) 2. K(x) = x + 5 K(x) = x + 5 Eli yksinkertinen funktio K(x) = x + 5 ei ole linerikuvus, vikk sen kuvj ksv linerisesti. Esimerkki 2.4. Olkoon X = Y = C(, b) vrustettu normill sup x T (x) j olkoot T : X X määritelty (T u)(x) = Osoitetn, että kuvus on linerinen. Todistus. 1. 2. T (u + v)(x) = = = K(x, s)u(s)ds. K(x, s)(u(s) + v(s))ds [K(x, s)u(s) + K(x, s)v(s)]ds K(x, s)u(s)ds + T (cu)(x) = = c K(x, s)cu(s)ds K(x, s)v(s)ds = (T u)(x) + (T v)(x) K(x, s)u(s)ds = c(t u)(x) Kohtien 1. j 2. nojll (T u)(x) = K(x, s)u(s)ds on linerikuvus. Määritelmä 2.5 (Jtkuvuus). Kuvus T L(X, Y ) on jtkuv pisteessä x X, jos kikill ε > 0 löytyy sellinen δ > 0, että T (x) T (y) < ε, kun y Y j y x < δ. Kuvus on jtkuv, jos se on jtkuv jokisess pisteessä x X Määritelmä 2.6 (Tsinen jtkuvuus). Funktio f : S 1 S 2 on tsisesti jtkuv joukoss S 1, jos kikill ε > 0 on olemss δ > 0 siten, että f(x) f(y) < ε, kun x y < δ. 7
Luse 2.7. Olkoon X, Y linerisi normivruuksi j kuvus T : X Y on linerinen. Seurvt kohdt ovt silloin yhtäpitäviä: 1. T on jtkuv vruudess X 2. T on jtkuv pisteessä x = 0 3. { T x : x 1} on rjoitettu osjoukko joukoss R 4. On olemss sellinen M 0, että T x M x kikill x X 5. T on tsisesti jtkuv vruudess X Huomutus 2.8. Linerikuvust pisteessä x merkitään yleisesti T x. Se voidn kirjoitt myös tutummin T (x). Huomutus 2.9. Linerivruuksien X j Y normit ovt yleisesti erilisi, kuitenkn erilisi normej ei merkitä yksinkertisuuden vuoksi eri tvoill. Todistus. Osoitetn kohdt 1.-5 yhtäpitäviksi siten, että jokinen koht implikoi seurvn kohdn j koht 5. implikoi kohdn 1. Selvästi nähdään, että kohdst 1. seur koht 2. Oletetn, että koht 2. on voimss, mutt koht 3. ei ole voimss. Silloin on olemss sellinen jono {x k } X, että x k 1 j T x k k. Määritetään y k = x k /k. Silloin y k 0. Kuitenkin T y k = (1/k) T x k 1 j niinpä jono {T y k } ei mene nolln. Siitä seur, että T ei ole jtkuv pisteessä 0. Oletetn, että koht 3. voimss j M = sup{ T x : x 1}. Jos x = 0 sillon koht 4. on selvästi voimss. Jos x 0 määritellään y = x/ x. Silloin y = 1 j T y M. Toisin snoen (1/ x ) T x M j koht 4. toteutuu. Jos koht 4. on voimss, silloin kikille x, y X pätee T x T y = T (x y) M x y. Tästä seur, että T on tsisesti jtkuv j koht 5. on voimss. Välittömästi nähdään, että koht 5. implikoi kohdn 1. Määritelmä 2.10 (Operttorin normi). Olkoon T L(X, Y ). Määritellään T = sup{ T x : x 1}. Huom, että T x T x kikill x X (luseen 2.7 kohdt 3. j 4.). Huom myös, että käytössä ei ole erityistä merkintätp operttorin normille. 8
3 Vektorirvoisen funktion (Frechet'n) derivtt Ennen Frechet'n derivtn määritelmää on hyvä plutell tuttu relifunktioiden derivtt, jok määritellään seurvsti f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x) = lim. h 0 h Tämän määritelmän vull funktioille pystytään lskemn derivtt suorn. On syytä huomt, että Frechet'n derivtt ei pystytä kuitenkn lskemn suorn määritelmän vull. Määritelmä 3.1 kertoo vin sen, että derivtt on olemss tietyin ehdoin. Määritelmä 3.1. Funktio f on Frechet derivoituv pisteessä x, jos on olemss sellinen linerikuvus T : X Y, että f(x + h) f(x) T (h) lim h 0 h = 0. (1) Derivtt T (h) merkitään df(x) ti f (x) eli T (h) = f (x) = df(x) Huomutus 3.2. Frechetn derivtn määritelmä ei kerro miten funktion f derivtt f löydetään. Luse 3.3 käsittelee derivtn yksikäsitteisyyttä j Lusess 3.4 todistetn, että derivoituvuudest seur kuvuksen jtkuvuus. Luse 3.3. Oletetn, että T 1 j T 2 L(X, Y ) j toteuttvt seurvn ehdon: Silloin T 1 = T 2. f(x + h) f(x) T i (h) lim h 0 h = 0, i = 1, 2 Todistus. Olkoon A = T 1 T 2 j h X mielivltinen. Nyt A(h) = f(x + h) f(x) T 1 (h) [f(x + h) f(x) T 2 (h)] f(x + h) f(x) T 1 (h) + f(x + h) f(x) T 2 (h). Siitä seur, että A(h) / h 0, kun h 0. Näin ollen, jos h 0 j h X, silloin A(th) / th 0, kun t 0. Mutt A(th) / th on riippumton t:stä, kosk A(th) th = T 1(th) T 2 (th) th = tt 1h tt 2 h th = T 1h T 2 h. h Niinpä A(th) = 0 j A = 0 eli T 1 = T 2. 9
Luse 3.4. Jos f on derivoituv pisteessä x, niin f on myös jtkuv pisteessä x. Eli funktion derivoituvuudest seur funktion jtkuvuus. Todistus. Yhtälöstä (1) seur f(x + h) f(x) df(x)(h) / h 1, kun h on riittävän pieni. Käyttämällä kolmioepäyhtälöä sdn f(x + h) f(x) df(x) h h f(x + h) f(x) df(x)(h) h 1, j edelleen f(x + h) f(x) h + df(x) h 0, kun h 0. Esimerkki 3.5. Olkoon D R n j f = (f 1,..., f m ) : D R m. Oletetn, että f on derivoituv pisteessä x D, eli jokinen f i (i = 1,..., m) on derivoituv pisteessä x. Osoitetn, että df(x)(e j ) = (D j f 1 (x),..., D j f m (x)), j = 1,..., n. Todistus. Jos T : R n R m on linerinen, niin se voidn tulkit mtriisin. Tässä j = 1,..., n, olkoon T (e j ) = m i=1 t ije i j olkoon [T ] mtriisi [t ij ], i = 1,..., m j j = 1,..., n. Huom, että T e j koordintit tulevt näkyviin j:n pystysrkkeess mtriisiss [T ]. Jos x = n j=1 x je j R n,, silloin ( n m n ) T (x) = x j T (e j ) = x j t ij e j, j=1 toisin snoen, T (x) on trnspoosi x 1 [T ]x t = [t ij ]. x n i=1 j=1 = (T (x)) t. Kosk f on derivoituv pisteessä x, niin mtriisin derivtt df pisteessä x on D 1 f 1 (x) D n f 1 (x) [ ] fi df(x) =. = (x),. x j D 1 f m (x) D n f m (x) Tätä mtriisi kutsutn f:n Jcobin mtriisiksi pisteessä x. Oletetn m = n. Jos f on kirjoitettu komponentti muodoss: 10
y 1 = f 1 (x 1,..., x n ),. y n = f n (x 1,..., x n ), silloin Jcobin mtriisin determinntti on (y 1,..., y n ) (x 1,..., x n ) = (f 1,..., f n ) (x 1,..., x n ) j se on nimetty f:n Jcobin determinntiksi pisteessä x. Esimerkki 3.6. Esimerkissä 2.4 todistettiin, että integrlioperttori (T u)(x) = K(x, s)u(s)ds on linerikuvus. Lsketn integrlioperttorin derivtt. Ensin lsketn T (u + h) T (u), kun h X on mielivltinen. [T (u + h) T (u)](x) = = = K(x, s)[u(s) + h(s)]ds K(x, s)[u(s) + h(s) u(s)]ds K(x, s)h(s)ds = (T h)(x) K(x, s)u(s)ds Huom, että tulokseksi stiin sm integrlioperttori funktion h suhteen. Seurvksi edellisen lskun sijoitetn se Määritelmään 1 derivtn piklle j trkistetn onko kyseessä integrlioperttorin derivtt T (u + h) T (u) K((x, s)h(s)ds h = 0. Kosk yhtälö on tott kikill h 0, se on Frechet derivtt integrlioperttorille. Se voidn kirjoitt DT (h) = K((x, s)h(s)ds. Huomutus 3.7. Yleisesti trkstelln Frechetn derivtn määritelmässä olev erotust f(x + h) f(x) j pyritään siitä päättelemään derivtt, kuten edellisessä esimerkissäkin tehtiin. Luse 3.8. Jos T L(X, Y ), niin dt = T = T. 11
Todistus. Jos T linerikuvus, niin sen Frechetn derivtt on T, kosk T (x + h) T (x) T (h) lim h 0 h = lim h 0 T (x) + T (h) T (x) T (h) h = 0. 3.1 Ketjusääntö Luse 3.9. Olkoon X, Y j Z normitettuj vektorivruuksi, j D X, j f : D Y derivoituv pisteessä x 0 D. Oletetn, että kuvus g : G Z, missä f(d) G Y, on derivoituv pisteessä f(x 0 ). Silloin F = g f on derivoituv pisteessä x 0 j df (x 0 ) = dg(f(x 0 ))df(x 0 ). Todistus. Olkoon y 0 = f(x 0 ), A = df(x 0 ) j B = dg(y 0 ). Määritellään u(x) = f(x) f(x 0 ) A(x x 0 ), v(y) = g(y) g(y 0 ) B(y y 0 ), x D y G r(x) = F (x) F (x 0 ) BA(x x 0 ), x D. Näytetään, että df (x 0 ) = BA. Riittää näyttää, että r(x) / x x 0 0, kun x x 0. Nyt r(x) = g(f(x)) g(y 0 ) B(f(x) y 0 ) + B[f(x) f(x 0 ) A(x x 0 )] = v(f(x)) + B(u(x)). (2) Olkoon ε > 0, silloin on olemss selliset η > 0, δ > 0, että v(y) ε y y 0, kun y y 0 < η, j f(x) y 0 < η j u(x) < ε x x 0, kun x x 0 < δ. Silloin j v(f(x)) ε f(x) y 0 = ε u(x) + A(x x 0 ) ε 2 x x 0 + ε A x x0, B(u(x)) B u(x) ε B x x0, kun x x 0 < δ. Niin kvn (2) mukn, r(x) / x x 0 0, kun x x 0. 12
3.2 Välirvoluse j sen seurukset Ennen vektorirvoisten funktioiden välirvoluseen määritelmää plutetn mieleen tuttu dierentililskennn välirvoluse, jok määritellään seurvsti f(b) f() = f (c)(b ). Tutun välirvoluseen(val) j luseen 3.10 välirvoluseen(vval) suurimpi eroj on se, että VVAL:ss käytetään normej (vektoreiden etäisyyksiä) j yhtäsuuruden sijll käytetään epäyhtälöä. Normej käytetään, kosk vektoreit ei voi muuten verrt keskenään. VVAL:ss käytetään epäyhtälöä, kosk on tilnteit, joss yhtäsuuruus ei päde. Välirvolusett käytetään yleisesti optimointiongelmien rtkisuiss. Luse 3.10. Olkoon, b R, Y normitettu vektorivruus j kuvus ϕ : [, b] Y on jtkuv välillä [, b] j derivoituv välillä (, b). Silloin on olemss sellinen ζ (, b), että ϕ(b) ϕ() ϕ (ζ) (b ). Todistus. Olkoon L = (b )/3, M = ϕ(b) ϕ(). Määritellään g : [, + 2L] Y siten, että g(s) = ϕ(s + L) ϕ(s). Kosk niin ϕ(b) ϕ() = g() + g( + L) + g( + 2L), M g() + g( + L) + g( + 2L). (3) Osoitetn, että g(s 1 ) M/3, jos < s 1 < + 2L. Tehdään vstoletus, eli g(s) < M/3, kikill < s < + 2L. Kuvus s g(s) on jtkuv, jolloin g() M/3 j g( + 2L) M/3. Tästä tulee ristiriit tuloksen (3) knss. Olkoon t 1 = s 1 + L. Huomtn, että < s 1 < t 1 < b, t 1 s 1 = (b )/3 j g(s 1 ) = ϕ(t 1 ) ϕ(s 1 ) M/3. Päättely voidn toist osvälillä [s 1, t 1 ]. Tästä iheutuu kksi jono {s k } j {t k } välille (, b) siten, että t k s k = (b )/3 k, [s k, t k ] (s k 1, t k 1 ) j ϕ(t k ) ϕ(s k ) M/3 k. Tällöin, ϕ(t k ) ϕ(s k ) (t k s k ) ϕ(b) ϕ(). (b ) Olkoon {ζ} = k=1 [s k, t k ]. Voidn osoitt, että tästä seur ϕ (ζ) ϕ(b) ϕ(). (b ) 13
Seurus 3.11. Jos ϕ luseess 3.10 on sellinen, että M = sup{ ϕ (t) : < t < b}, niin ϕ(b) ϕ() M(b ). Määritelmä 3.12 (Konveksi joukko). Joukko D on konveksi joukko, jos kikill x, y D pätee x + (1 )y D kikill [0, 1]. Seurus 3.13. Olkoon D konveksi j voin joukko j olkoon f : D Y derivoituv D:ssä. Jos x, y j x 0 D, niin 1. f(y) f(x) y x sup{ df(ζ) : ζ [x, y]} 2. f(y) f(x) df(x 0 )(y x) y x sup{ df(ζ) df(x 0 ) : ζ [x, y]}. Tässä [x, y] = {ty + (1 t)x : 0 t 1} on jn vruudess D. Todistus. 1. Asetetn ϕ : [0, 1] Y kvll ϕ(t) = f(ty + (1 t)x). Tällöin ϕ(0) = f(x) j ϕ(1) = f(y). Ketjusäännön vull sdn, ϕ (t) = df(ty + (1 t)x)(y x). Seurust 3.11 soveltmll sdn väite. Eli eli ϕ(1) ϕ(0) sup ϕ (t) t (0,1) f(y) f(x) sup df(ty + (1 t)x)(y x) t (0,1) sup df(ty + (1 t)x) y x t (0,1) = y x sup{ df(ζ) : ζ [x, y]}. 2. Seur kohdst 1. soveltmll funktioon x f(x) df(x 0 )(x). Esimerkki 3.14. Mitkä pisteet ζ (0, 1) toteuttvt vektorirvoisenfunktion välirvoluseen ϕ(b) ϕ() ϕ (ζ) (b ), funktiolle ϕ(t) = (t t 2, t t 3 ), 0 t 1? 14
Todistus. Lsketn ensin funktion ϕ derivtt. Derivtt on ϕ (t) = (1 2t, 1 3t 2 ) Lsketn seurvksi derivtn normi ϕ (t) = (1 2t, 1 3t 2 ) = (1 2t)2 + (1 3t 2 ) 2 = 2 4t 2t 2 + 9t 4. Lsketn sitten epäyhtälön vsen puoli, kun oletetn, että b = 1 j = 0. Eli ϕ(1) ϕ(0) = ([1 1 2 0+0 2 ], [1 1 3 0+0 3 ]) = 0. Nyt epäyhtälöstä sdn, että 0 2 4t 2t 2 + 9t 4 = (1 2t) 2 + (1 3t 2 ) 2. Huomtn, että edellinen yhtälö on in idosti positiivinen, kosk nämä kksi binomin neliötä ovt nolli eri pisteissä. Tästä johtuen yhtälön yhtäsuuruus ei ole koskn voimss. Välirvoluse eli epäyhtälö 0 2 4t 2t 2 + 9t 4. toteutuu kikill välin (0, 1) pisteissä. Huomutus 3.15. Tämä esimerkki osoitt, että vektorirvoisten funktioiden tpuksiss välirvoluseen yhtäsuuruus ei in päde siksi trvitn epäyhtälö. 15
Lähdeluettelo [1] Debnth L j Mikusinski p, Hilbert spces with pplictions, Acdemic Press, 2005, 3rd edition [2] Depree J D j Swrtz C W, Introduction to rel nlysis, Wiley, 1988 16