2 Epäoleellinen integraali

Transkriptio

1 ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli (log ) p Myönteisessä tpuksess määritä integrlin rvo.. Osoit, että integrlin π sin epäoleellisuus on näennäistä siinä mielessä, että integroitv funktio voidn muunt Riemnn-integroituvksi määrittelemällä sille nollss jokin rvo. 4. Määritä (c) ( ) π π tn 5. Määritä Vihje: + 4 = ( )( ) = ( ). 6. Esitä epäoleellinen integrli Riemnn-integrlien rj-rvojen summn.

2 7. Olkoon f jokisell välin [, b[ suljetull osvälillä Riemnn-integroituv funktio. Oletetn lisäksi, että jokist positiiviluku ε > kohti on olemss sellinen piste c ], b[, että z f() < ε z in, kun c z, z < b. Osoit, että epäoleellinen integrli b f() Vihje: Cuchyn suppenemisehto (lukujonoille). 8. Tutki, suppeneeko epäoleellinen integrli log. 9. Tutki mjorntti- j minornttiperitteit käyttäen, suppeneeko epäoleellinen integrli π + cos + sin.. Osoit, että toinen epäoleellisist integrleist suppenee j toinen hjntuu. e j e.. Tutki mjorntti- j minornttiperitteit käyttäen, suppeneeko epäoleellinen integrli + 4 sin.. Tutki mjorntti- j minornttiperitteit käyttäen, suppeneeko epäoleellinen integrli + (c) sin.. Tutki, millä vkion s rvoill epäoleellinen integrli s log ( + )

3 4. Tutki mjorntti- j minornttiperitteit käyttäen, suppeneeko epäoleellinen integrli e e cos (c) e e 5. Tutki mjorntti- j minornttiperitteit käyttäen, suppeneeko epäoleellinen integrli rcsin. Vihje: Rj-rvo lim + rcsin. 6. Tutki, suppeneeko epäoleellinen integrli. sin π log ( + ) e sin (c) e Oletetn, että funktio f on jtkuv j ei-negtiivinen välillä ], [. Osoit, että epäoleelliset integrlit f() j ( ) f() suppenevt (ti hjntuvt) smnikisesti. 8. Olkoon f sellinen välillä [, 4] jtkuv funktio, että f() =. Tutki, suppeneeko epäoleellinen integrli 4 9. Osoit, että epäoleellinen integrli f(). sin(log ). Olkoot f j g sellisi funktioit, että f j g ovt Riemnn-integroituvi välillä [, c] kikill c [, b[ j epäoleelliset integrlit b f () suppenevt. Osoit, että epäoleellinen integrli j b g () Vihje: (f ± g). b f()g()

4 . Määritä Vihje: + + = ( + ) +.. Tutki, suppeneeko epäoleellinen integrli e log +. Myönteisessä tpuksess määritä epäoleellisen integrlin rvo. Vihje: Kun, niin = ( + +).. Millä vkion k rvoill epäoleellinen integrli e k suppenee? Mikä on tällöin epäoleellisen integrlin rvo? 4. Olkoon Osoit, että hjntuu. f() =, kun k Z + : [k, k + ],, muulloin. f() 5. Tutki mjorntti- j minornttiperitteit käyttäen, suppeneeko epäoleellinen integrli log( + ) tn + (c) Osoit mjorntti- j minornttiperitteit käyttäen, että toinen epäoleellisist integrleist + log j log suppenee j toinen hjntuu.

5 7. Olkoon funktio f jtkuv kikill j Osoit, että epäoleellinen integrli lim f() log =. e f() 8. Tutki, millä vkion rvoill epäoleellinen integrli e 9. Tutki epäoleellisen integrlin suppenemist sekä käyttäen mjorntti- j minornttiperitteit että käyttäen osmäärätestiä (luse.5).. Määritä kikki vkion s rvot, joill epäoleellinen integrli suppenee s Tutki, suppeneeko epäoleellinen integrli sin (log( + 4) log ).. Osoit, että toinen epäoleellisist integrleist ( ) ( log( + ) log j log( + ) log( ) ) suppenee j toinen hjntuu.. Tutki, suppeneeko epäoleellinen integrli cos + sin cos(e ) +.

6 4. Olkoon f sellinen kikill jtkuv funktio, että suppenee itseisesti. Osoit, että suppenee kikill >. f()e f()e 5. Määritä e 5 6. Osoit, että epäoleellinen integrli Vihje: Käytä funktiot e mjornttin. e 7. Määritä e 5 8. Tutki, suppeneeko epäoleellinen integrli Tutki, millä vkion p R rvoill epäoleellinen integrli p ( + ) p 4. Osoit, että epäoleellinen integrli ( sin ) q (p, q R) p suppenee täsmälleen silloin, kun q + < p < q +.