Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka
|
|
- Juuso Heino
- 9 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b) Rtkise epäyhtälö 6. ( ) 9. c) Geometrisen lukujonon kolme ensimmäistä termiä ovt,, 8. Määritä luku.. ) Määritä käyrälle b) Määritä funktion y kohtn piirretyn tngentin kulmkerroin. f ( ) e se integrlifunktio, jok kulkee pisteen (0, ) c) Määritä funktion g( ) cos kikki nollkohdt rdineiss lusuttuin. P kutt.. ) Kolmion khden sivun pituus on 7, cm j 8, cm sekä edellisen vstinen kulm 8,0. Lske jälkimmäisen sivun vstinen kulm. b) Yksikkösäteisen pllon sisällä on mhdollisimmn suuri kuutio. Kuink mont prosentti pllon tilvuus on suurempi kuin kuution tilvuus? Ann vstus yhden desimlin trkkuudell.. ) Määritä luku siten, että lukujen j välinen etäisyys on pienempi kuin? b) Lske pisteen A (, 5) etäisyys ympyrästä y y Tso T kulkee pisteiden A (0,,0 ), B (,0,0) j C (0,0,) kutt. Onko piste D (,, ) tsoll T? MAA tehtävät kevät 0
2 6. Vääpeli krjisee: Jonoon järjesty, jolloin tuvn 0 lokst ryntäävät stunnisesti jonoon. Millä todennäköisyydellä lokkiden Altosen j Bergin välissä on korkeintn yksi loks? 7. Pääsiäisen menoliikennettä trkkiltess hvittiin, että erään hvintopikn läpi keskipäivän jälkeen jneiden utojen lukumäärän y ilmisee kokeellinen likimääräismlli y( t) = - 0t + 50t t, 0 t 5, missä t on keskipäivästä kulunut ik tuntein. ) Montko uto ohitti hvintopikn kolmnnen trkkilutunnin ikn? b) Montko uto tunniss oli liikennevirrn suuruus klo 6.0? c) Määritä suurimmn liikennevirrn suuruus. 8. Millä välillä funktio f ( ) on vähenevä? Käyrälle y f () piirretään kohtn normli. Normli rjoitt koordinttikseleiden knss kolmion. Lske tämän kolmion pint-l. 9. Mik tllett vuodest 0 lken tilille, jonk nettokorko on,75 %, jok vuoden luss 000 euro. Minkä vuoden lopuss tilillä on päättyvän vuoden korkojen lisäämisen jälkeen yli euro? Tilillä ei ole muit tphtumi. 0. Funktion f ( ), 0 j g( ) kuvjt rjoittvt lueen, jonk pint-l olkoon A. Mitä rvoj A s, kun?. Wltteri päätti ost sekä tyrnimrjpurkkej, että kuivttu mustikk sisältäviä purkkej. Tyrnimrjpurkki mksoi 7, /purkki j mustikk, /purkki. Wltterin ostokset mksoivt yhteensä 5 0 snt. Muodost tilnnett kuvv Diofntoksen yhtälö j selvitä sen vull kuink mont mustikkpurkki Wltteri osti. MAA tehtävät kevät 0
3 . Mir pyöräilee puoli tunti j mitt hetkellisen nopeuden ( km/h) viiden minuutin välein pyöränsä nopeusmittrill. Tulokset ovt oheisess tulukoss. ik, min nopeus, km/h Arvioi tulosten perusteell Mirn pyöräilymtkn pituus käyttäen sekä Simpsonin sääntöä, että puolikssuunnikssääntöä. Mikä on rvioiden suhteellinen virhe, kun pyörän mtkmittri näytti jomtkksi 8,9 km?. Funktio F :R R on määritelty seurvsti F( ) 0, kun 0, kun 0. ) Määritä vkio siten, että F on jtkuvsti jkutuneen stunnismuuttujn X kertymäfunktio. ( pistettä) b) Lske todennäköisyydet PX ( ) j P( X ). ( pistettä) * ) Olkoon, b j c. Määritä yhtälön log log b log rtkisu mhdollisimmn yksinkertisess muodoss. b) Määritä ln lim e e y c) Todist, että jos 0 y, niin ln. y c tulkitsemll rj-rvo sopivksi erotusosmäärän rj-rvoksi. c b 5* ) Osoit, että yhtälöllä 0 on täsmälleen kolme relijuurt. b) Osoit, että jos eräs yhtälö juuri on, niin myös c) Osoit, että yhtälön erään juuren trkk rvo on kv cos cos cos. on yhtälön juuri. cos0 hyödyntäen MAA tehtävät kevät 0
4 Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Rtkisut j pisteytysohjeet. ) Rtkise yhtälö 6. b) Rtkise epäyhtälö ( ) 9. c) Geometrisen lukujonon kolme ensimmäistä termiä ovt,, 8. Määritä luku. Rtkisu ) Kertomll 6:ll sdn ( ) 6 b) Sdn 6 6 p = p c) Suhdeluku oltv vkio 8, 0 p 6 ti Vstus ) =- 0 b). ) Määritä käyrälle b) Määritä funktion c) ti y kohtn piirretyn tngentin kulmkerroin. f ( ) e se integrlifunktio, jok kulkee pisteen (0, ) c) Määritä funktion g( ) cos kikki nollkohdt rdineiss lusuttuin. Rtkisu ) Vstus ) b) y y kt P kutt. p y( ) ( ) f ( ) e F( ) e d ( ) e d e C p 0 F(0) e C C. Täten F ( ) e. c) cos 0 n p - b) F( ) n, n. n n e c), MAA Preliminääri kevät 0 Rtkisut Sivu
5 . ) Kolmion khden sivun pituus on 7, cm j 8, cm sekä edellisen vstinen kulm 8,0. Lske jälkimmäisen sivun vstinen kulm. b) Yksikkösäteisen pllon sisällä on mhdollisimmn suuri kuutio. Kuink mont prosentti pllon tilvuus on suurempi kuin kuution tilvuus? Ann vstus yhden desimlin trkkuudell. Rtkisu ) Siniluseen nojll 8, 7, 8, sin sin 8 0, sin sin 8 7, p sin (0, ) 56, ,7 ti 80 56, 7..., 75...,. ( suplementtikulm) b) Olkoon kuution sivun pituus. Pllon hlkisij on kuution vruuslävistäjä. Täten Tilvuuksien suhde. V V P K, ( ) Kosk, ,% niin pllon tilvuus on noin 7, % suurempi Vstus ) 56,7 ti, b) 7, %. ) Määritä luku siten, että lukujen - j välinen etäisyys on pienempi kuin? b) Lske pisteen A (, 5) etäisyys ympyrästä y y Rtkisu ) Lukujen b j c= + etäisyys on b c. Täten ( ) ( ) p b) 7 7. y 6 y 75 0 ( 8) 6 ( y 6) 6 75 ( 8) ( y 6) 5. Ympyrän keskipiste K = (8, - 6) j säde r 5. Pisteiden K j A välimtk d (8 ) ( 6 5) 6. MAA Preliminääri kevät 0 Rtkisut Sivu
6 Vstus 6 5 0, Kysytty etäisyys d r 6 5 0, ,. 5. Tso T kulkee pisteiden A (0,,0 ), B (,0,0) j C (0,0,) kutt. Onko piste D (,, ) tsoll T? Rtkisu Tson vektorimuotoinen yhtälö OP OA sab t AC, missä s, t. p Sdn OP j s( i j ) t( j k ) ( s) i ( s t) j ( t) k. Tson prmetrimuotoinen yhtälö on siten s y s t, s, t. z t Sijoitetn pisteen D koordintit yhtälöryhmään s s s t. Ktsotn toteutuuko keskimmäinen yhtälö t t. Tosi. Täten piste D on tsoll. Vstus Piste D on tsoll 6. Vääpeli krjisee: Jonoon järjesty, jolloin tuvn 0 lokst ryntäävät stunnisesti jonoon. Millä todennäköisyydellä lokkiden Altosen j Bergin välissä on korkeintn yksi loks? Rtkisu Ajtelln, että loks Altonen menee ensin jonoon. Tilnteen knnlt hänellä on kolme erilist pikk. ) Altonen on jonon päässä ) Altonen on jonon toisen ti toiseksi viimeisenä ) Altonen on muiss pikoiss. p Aloks Bergille jää suotuisi pikkoj kuvion mukisesti ) ) ) +p Todennäköisyydet P(")"), P(")") j P(")") +p MAA Preliminääri kevät 0 Rtkisut Sivu
7 Kysytty todennäköisyys on summ 7 0, % Vstus 7 8% 5 7. Pääsiäisen menoliikennettä trkkiltess hvittiin, että erään hvintopikn läpi keskipäivän jälkeen jneiden utojen lukumäärän y ilmisee kokeellinen likimääräismlli y( t) 0t 50t 500 t, 0 t 5, missä t on keskipäivästä kulunut ik tuntein. ) Montko uto ohitti hvintopikn kolmnnen trkkilutunnin ikn? b) Montko uto tunniss oli liikennevirrn suuruus klo 6.0? c) Määritä suurimmn liikennevirrn suuruus. Rtkisu ) y () y() ( ) ( ) p b) Derivtt kuv liikennevirrn suuruutt ( ) y t t t y( ) 0( ) 500 ( ) uto tunniss. c) Derivtn kuvj on lspäin ukev prbeli, jonk suurin rvo svutetn huipuss, joss derivtt on noll. 5 y ( t) 0t 500. y ( t) 0 t. Suurin liikennevirt on siten y ( ) 0( ) 500( ) , uto tunniss. Vstus ) 990 b) 0 uto tunniss c) 00 uto tunniss 8. Millä välillä funktio f ( ) on vähenevä? Käyrälle y f () piirretään kohtn normli. Normli rjoitt koordinttikseleiden knss kolmion. Lske tämän kolmion pint-l. Rtkisu Funktio on määritelty, kun 0. Derivtt f ( ) ( ) ( ) ( ) MAA Preliminääri kevät 0 Rtkisut Sivu
8 5,. ( ) ( ) Kosk nimittäjä on in positiivinen, niin osoittj määrää derivtn merkin 5 8 f ( ) 0, kun 0. Funktio on siis vähenevä välillä Kohtn piirretyn tngentin kulmkerroin kt f(). ( ) Joten normlin kulmkerroin Kosk f () on normlin yhtälö kn. Normli leikk y-kselin kohdss 7 j -kselin kohdss 7. Kolmion pint-l on siten 7 y ( ) y 7 7 9,0. Vstus Funktio on vähenevä välillä 8 j kolmion l on 9,0 pint-ln yksikköä 5 9. Mik tllett vuodest 0 lken tilille, jonk nettokorko on,75 %, jok vuoden luss 000 euro. Minkä vuoden lopuss tilillä on päättyvän vuoden korkojen lisäämisen jälkeen yli euro? Tilillä ei ole muit tphtumi. Rtkisu Rht tulevt vuodess,075-kertiseksi, joten tilillä on rh vuoden 0 n lopuss n, , n 0,,,... p Yhteensä rh on vuoden 0+ n lopuss n n, , , , Kyseessä on geometrinen summ, joss on n + yhteenlskettv j suhdeluku q,075. Sdn summksi n, n 000,075 (,075 ), (,075 n ) Asetetn epäyhtälö 7 58 ln( ) n 75 n 58, 075, 075 n 07 0, ln(, 075) MAA Preliminääri kevät 0 Rtkisut Sivu 5
9 n 9, Siten kysytty vuosi on 0. Vstus Vuoden 0 lopuss 0. Funktion f ( ), 0 j olkoon A. Mitä rvoj A s, kun? g( ) kuvjt rjoittvt lueen, jonk pint-l Rtki Käyrien leikkuspiste y y ( ) 0. 0 ti. Olkoon toinen leikkuspiste b, jolloin b Annetull välillä g( ) f ( ), joten pint-l b 0 b 0. p A( ) ( ) d /( ) ( b b ) + ( ). A( ) 0, joten funktio A on idosti vähenevä. Suurin rvo A() j pienin rvo Jtkuvn funktion A s kikki rvot A(). 6 [, ]. 6 Vstus [, ] 6. Wltteri päätti ost sekä tyrnimrjpurkkej, että kuivttu mustikk sisältäviä purkkej. Tyrnimrjpurkki mksoi 7, /purkki j mustikk, /purkki. Wltterin ostokset mksoivt yhteensä 5 0 snt. Muodost tilnnett kuvv Diofntoksen yhtälö j selvitä sen vull kuink mont mustikkpurkki Wltteri osti. Rtkisu tyrnimrjpurkit j y mustikkpurkit. Sdn yhtälö 7,, y 5, 7 y 5. etsitään lukujen 7 j suurin yhteinen tekijä Eukleideen lgoritmill MAA Preliminääri kevät 0 Rtkisut Sivu 6
10 , joten syt(7, ). Siten 9 7, 9, 9 j. Joten (9 ) ( 9) (7 ) 7 9 (7 ) 7. Täten ( 6799). Vertmll yhtälöön 7+ y= 5 sdn yksittäisrtkisu 0 = j y0 = 506. Difntoksen yhtälön kikki rtkisut ovt Kosk 0 j y0, niin 6799 n, n. y 056 n n 6,880...j n 6, Täten n6 y Vstus Diofntoksen yhtälö 7+ y= 5, purkki. Mir pyöräilee puoli tunti j mitt hetkellisen nopeuden ( km/h) viiden minuutin välein pyöränsä nopeusmittrill. Tulokset ovt oheisess tulukoss. ik, min nopeus, km/h Arvioi tulosten perusteell Mirn pyöräilymtkn pituus käyttäen sekä Simpsonin sääntöä, että puolikssuunnikssääntöä. Mikä on rvioiden suhteellinen virhe, kun pyörän mtkmittri näytti jomtkksi 8,9 km? Rtkisu ) 5 min h, joten Simpsonin kvn mukinen h. s simpson ( ) 9 8, p 6 Arvion suhteellinen virhe b) Puolisuunnikssäännön mukinen 9 8,9 6 00% 0,660...% 0,66%. 8,9 h. MAA Preliminääri kevät 0 Rtkisut Sivu 7
11 spuolis. ( ) 05,5 8, ,5 8,9 Arvion suhteellinen virhe 00%,87...%,%. 8,9 Vstus Simpson: Mtk 8,86 km, suhteellinen virhe 0,66 % Puolisuunnikssääntö: Mtk 8,79 km, suhteellinen virhe, %. Funktio F : R R on määritelty seurvsti F( ) 0, kun 0, kun 0. ) Määritä vkio siten, että F on jtkuvsti jkutuneen stunnismuuttujn X kertymäfunktio. ( pistettä) b) Lske todennäköisyydet PX ( ) j P( X ). ( pistettä) Rtkisu ) Funktio on jtkuvsti jkutuneen stunnismuuttujn X kertymäfunktio, jos sen derivtt F( ) f ( ) toteutt tiheysfunktion vtimukset f ( ) 0 kikill f ( ) d. 0, kun 0 F( ) ( ) ( ) 0, kun 0,kun 0 ( ),kun 0 p b) Ehdon nojll 0 j ehdon nojll f d d d 0 M M ( ) 0 lim ( ) 0 lim / M M 0 0 lim ( ). M M Siis. P( X ) F(). 6 P( X ) F() F() Vstus ) b) P( X ) j P( X ) 5 MAA Preliminääri kevät 0 Rtkisut Sivu 8
12 * ) Olkoon, b j c. Määritä yhtälön log log b log rtkisu mhdollisimmn yksinkertisess muodoss. b) Määritä ln lim e e y c) Todist, että jos 0 y, niin ln. y c tulkitsemll rj-rvo sopivksi erotusosmäärän rj-rvoksi. c b Rtkisu ) Logritmin määritelmän nojll sdn logcb logb c p b) Vstus ) Sdn edelleen c b ln ln ln ln e e e e ln ln e e Kun f ( ) ln, niin logc logb logb ( b ). Siis. e f ( e), missä f ( ) ln. f( ). Täten y y c) 0 y : 0 0. Merkitään. p f( e). e Täten väite s muodon ln, kun. Osoitetn, että funktio E( ) 0, kun. E( ) ln s vin positiivisi rvoj, kun. Funktio E ( ) on siten idosti ksvv, kun. Toislt lim E ( ) lim(ln ) 0, joten E ( ) 0, kun. b) Rj-rvo on e 5* ) Osoit, että yhtälöllä 0 on täsmälleen kolme relijuurt. b) Osoit, että jos eräs yhtälö juuri on, niin myös c) Osoit, että yhtälön erään juuren trkk rvo on kv cos cos cos. on yhtälön juuri. cos0 hyödyntäen MAA Preliminääri kevät 0 Rtkisut Sivu 9
13 Rtkisu ) Kolmnnen steen polynomifunktio P( ) on kikkill jtkuv j sillä voi oll enintään kolme juurt. P( ) ( ) ( ) 0 j P( ) ( ) ( ) 0, joten Bolznon luseen( jtkuv funktio ei voi viht merkkiään käymättä nolln kutt) nojll välillä - < < - on inkin yksi nollkoht. Vstvsti p P(0) = j P() = -, joten funktion merkki vihtuu myös välillä 0. Funktion merkki vihtuu myös välillä < <, sillä P() = - j P() =. Näin ollen jtkuvn funktion merkki vihtuu kolmsti, joten nollkohti on tsn kolme. b) Olkoon b. Tällöin b b b( b ) ( )(( ) ) 6 ( )( ) 6 9 p ( ) ( ) 0,sillä 0. c) Jos cos 0, niin 8cos 0 6cos 0 p sillä Toislt (cos 0 cos 0 ) cos( 0 ), cos cos cos. cos( 0 ) cos(0 ) ( ) 0. MAA Preliminääri kevät 0 Rtkisut Sivu 0
Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
Lisätiedot( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d
Lisätiedot4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
LisätiedotTee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!
MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
LisätiedotA-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.
MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
LisätiedotRistitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
LisätiedotKertaustehtävien ratkaisut
Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,
Lisätiedotlim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
Lisätiedot5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
LisätiedotAnalyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
Lisätiedot521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:
12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:
LisätiedotMITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?
MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
LisätiedotSinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
LisätiedotAnalyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P
Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
Lisätiedot2.2 Monotoniset jonot
Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
LisätiedotTehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi
Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,
LisätiedotPainopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
Lisätiedot1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
LisätiedotIntegraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
LisätiedotTasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.
KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli
Lisätiedot601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa
Lisätiedot1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95
9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
LisätiedotTEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
LisätiedotTekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
Lisätiedot6 Kertausosa. 6 Kertausosa
Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)
LisätiedotTehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
Lisätiedota = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki
Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on
Lisätiedot2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
LisätiedotR4 Harjoitustehtävien ratkaisut
. Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x
Lisätiedot5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
LisätiedotGeometrinen lukujono. Ratkaisu. a2 = 50 4 = 200 a3 = = 800 a4 = = 3 200
Geometrie lukujoo 7. Geometrise lukujoo esimmäie jäse o = 0 j peräkkäiste jäsete suhde =. Määritä lukujoo kolme seurv jäsetä. = 0 = 00 = 0 = 800 = 0 = 00 8. Geometrie lukujoo lk seurvsti: ), 0, 0, b) 000,
LisätiedotLINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat
(0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
Lisätiedot1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
LisätiedotMatematiikan peruskurssi. Seppo Hassi
Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
LisätiedotParaabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.
5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson
Lisätiedot.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek
S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
Lisätiedot5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)
5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotS Fysiikka III (EST), Tentti
S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen
Lisätiedot763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014
763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotMatemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi
Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
Lisätiedotsin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotMATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI
SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Ari Tuomenlehto - 0 - Lusekkeen käsittelyä Luseke j lusekkeen rvo Näkyviin merkittyä
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotPintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten
.4.8 intintegrli. He krtion z x + y sylinterin x + y y sisäpuolelle jäävän osn pint-l käyttämällä npkoordinttej x r cosθ j y r sinθ jolloin epäyhtälö x + y y on r sinθ. Rtkisu: Symmetrin nojll voidn trkstell
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka
Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5. a) Ratkaise epäyhtälö >. b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,
LisätiedotMuita määrätyn integraalin sovelluksia
Muit määrätyn integrlin sovelluksi Ekstr Pohint Auto kiihyttää tsisesti viiessä sekunniss vuhist 4 km/h vuhtiin 76 km/h. ) Muoost funktio, jok ilmisee uton vuhin v(t), kun on kulunut t sekunti kiihytyksen
LisätiedotTeoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta
Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
LisätiedotSisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät
LisätiedotNäytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.
Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
Lisätiedot