Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Transkriptio

1 Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =. Millinen on lukun? Onko se luonnollinen, kokonis- vi rtionlinen luku? Mitä ilmeisemmin luku ei ole inkn luonnollinen luku ti kokonisluku (pituus näyttäisi olevn ykkösen j kkkosen välillä). Entäpä rtionlinen luku? 0 Määritelmä, Irrtionliset luvut: Irrtionliset luvut ovt lukuj, joiden desimlikehitelmä on päättymätön j jksoton. Esim.,44 3 on irrtionliluku. Määritelmä, Reliset luvut: Relisten lukujen joukko R (Rel numers) muodostuu rtionli- j irrtionliluvuist. Reliluvut voidn smist lukusuorn pisteisiin eli jokist relilukuj vst tietty yksikäsitteinen lukusuorn piste. Snotn, että reliluvut peittävät lukusuorn ukottomsti. Z, = 9 Q 5 N ,3 R π 3,4 R Irrtionliluvut, kuten ti π, ovt trkkoj j täsmällisiä rvoj. Irrt.luvuille voidn muodost mielivltisen trkkoj rtionlisi likirvoj, joiden vull määritetään lskutoimitukset irrt.luvuille!

2 Luse eli teoreem (Theorem), relilukujen lskulkej:. Yhteenlskun vihdntlki + = +. Kertolskun vihdntlki = 3. Osittelulki + c = + c 4. Yhteenlskun liitäntälki + + c = + + c 5. Kertolskun liitäntälki c = c.. Tulon nollsääntö = 0 joss = 0 ti = 0 joss = jos j vin jos (yleinen lyh.) Eli täysin smt kuin rtionlilukujen! Liitäntälin nojll summ j tulo merkitään ilmn sulkuj, siis + + c = + + c = + + c c = c = c Määritelmä, vst- j käänteisluku: Reliluvun j sen vstluvun summ on noll + = 0. Snotn, että noll on yhteenlskun neutrlilkio. Nolln lisäämisellä ei ole vikutust relilukuun : + 0 =. Reliluvun ( 0) j sen käänteisluvun tulo on yksi =. Snotn, että ykkönen on kertolskun neutrlilkio. Ykkösen kertomisell ei ole vikutust relilukuun : =. : ) Luvun vstluku on, kosk + = 0. Muist: =. ) Luvun Muist: 7 π käänteisluku on 7 π = 7 π. 7 π, kosk 7 π 7 π =.

3 Luse, vstluvun ominisuuksi: vstluvut 0. Luvun vstluvun vstluku on = luku itse. Summn vstluku on vst- + = + lukujen summ = 3. Vähennyslskun määritelmä = + 4. Tulon merkkisäännöt = = = 5. Erotus ositteluliss c = c Luse, käänteisluvun ominisuuksi: käänteisluvut 0,, käänteisluvut 0. Nollst erovn luvun käänteisluvun käänteisluku on luku itse. Tulon käänteisluku on käänteislukujen tulo =, 0 = 3

4 Relilukujen järjestys: Khdelle reliluvulle x j y pätee täsmälleen yksi seurvist kolmest vihtoehdost:. < : Tällöin luku on lukusuorll luvun oikell puolell j erotus > 0 ti < 0.. = : Tällöin luku on sm luku kuin luku j lukusuorll ne vstvt sm pistettä. Erotus = 0. = 3. > : Tällöin luku on lukusuorll luvun vsemmll puolell j erotus < 0 ti > 0. Vstlukujen järjestys kääntyy, eli > jos j vin jos <. Siis 7 > 5 jos j vin jos 7 < 5. Tämä on tosi, OK. Lukusuorn välit: Niiden relilukujen joukko, jotk ovt. Suurempi ti yhtä suuri kuin j pienempi ti yhtä pieniä kuin merkitään lukusuorll (huom tummennetut päätypllot). Kyseistä väliä merkitään myös kksoisepäyhtälöllä x ti välin merkinnällä, eli x,.. Mikäli toinen pääty ei kuulu väliin, merkitään voninen päätypllo. Kksoisepäyhtälömerkintänä < x j välimerkintänä,. 3. Mikäli trkstelln puoliääretöntä väliä, esim. x <, niin välimerkinnässä käytetään ääretön-symoli (ei ole luku!),. 4

5 Määritelmä, itseisrvo: Reliluvun x itseisrvo x ilmoitt luvun etäisyyden origost. Positiivisen luvun itseisrvo on luku itse. Negtiivisen luvun itseisrvo on luvun vstluku. Nolln itseisrvo on noll. Eli etäisyys x = x 0 = x, kun x 0, x, kun x < 0. = = = Itseisrvo = etäisyystulkint 0 : ) Luvun itseisrvo = =, kosk < 0. ) Luvun itseisrvo =, kosk 0. Sievennä ) x + ) 3x ) x + siis ) = x +, kun x + 0, eli x eli x x +, kun x + < 0, eli x < eli x < x + = x +, kun x x, kun x <. siis 3x = 3x, kun 3x 0, eli 3x eli x 3 3x, kun 3x < 0, eli 3x < eli x < 3 3x = 3x, kun x 3 3x +, kun x <. 3 5

6 Huomtko mitä määritelmä snoo? Määritelmä, itseisrvo: Siis "jotin" = x = x, kun x 0, x, kun x < 0. "jotin", kun se "jotin" 0, "jotin", kun se "jotin" < 0. x 3 = x + 3 = x 3, kun x 3 0, eli kun x 3, x 3, kun x 3 < 0, eli kun x < 3. = 3 x x + 3, kun x + 3 0, eli kun x 3, x + 3, kun x + 3 < 0, eli kun x < 3. = x 3 Itseisrvo etäisyytenä Jos kutsutn luvun x lukusuorll olev vstinpistettä pisteeksi x, niin itseisrvo x ilmoitt pisteen etäisyyden origost. x = x 0 ) Pisteen 3 etäisyys origost on 3 x 0 j vst. pisteen 4 etäisyys origost on 4. ) Pisteen 5 etäisyys pisteestä vst. 3 on 5 = 4 j 5 3 = 8. Pisteiden j välisen jnn pituus eli pisteiden j etäisyys on, kun 0 =, kun < 0, : =, kun 0 eli kun, kun < 0 eli kun <. < :

7 Pisteiden x j välisen jnn pituus on x. Jos x, niin jnn pituus on x j jos x <, niin jnn pituus on x, siis x, kun x 0, eli kun x x = x, kun x < 0, eli kun x <. = x x : x x x < : x x Määritä ne lukusuorn pisteet x, jotk ovt ) etäisyydellä 3 pisteestä j ) etäisyydellä 4 pisteestä. ) ) 4 4 x = 3, kun x ) Siis x = 3 x = x = 3, kun x < x = 4 x =. ) Siis x = 4 ti x = 4 x = 3 x = 5. 3 Määritä ne lukusuorn pisteet x, joill ) x > 3 j ) x 0,8. Huom onko yhtäsuuruus mukn vi ei! ) x > 5 ti x < ), x,8. 7

8 Yhtälöt j epäyhtälöt POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Yleistä Määritelmä, luseke: Merkittyä lskutoimitust, joss on yksi ti usempi tuntemton (x, y, z, t, ) ti pelkkää luku snotn lusekkeeksi. x, 5x + π, 3 x + 3, 8,4 Määritelmä, yhtälö: Kun kksi lusekett setetn yhtäsuuruusmerkillä = yhtäsuuriksi, sdn yhtälö. 5x = 4x, 3x = x Yhtälöt sisältävät muuttujn, usein x, j sitä muuttujn x rvo, jok toteutt yhtälön snotn yhtälön rtkisuksi eli yhtälön juureksi. Huomutus Yleisesti muuttujin käytetään kkosten loppupään kirjimi x, y, z, j vkioin kkosten lkupään kirjimi,, c,. Toki poikkeuksi on. 5x = 4x, 5 = 4 0 = 8 8 = 8 x = toteutt tämän yhtälön Identtisesti tosi yhtälö toteutuu kikill muuttujn x rvoill, x R. Identtisesti epätosi yhtälö ei toteudu millään muuttujn x rvoill, x R. Yleisesti käytössä olevt kvnttorit: kikill, jokisell = (eng. ll ), on olemss = (eng. exist ) Yhtälön rtkisemisell trkoitetn kikkien rtkisujen etsimistä. Tällöin käytetään sieventämistä, nolln lisäämistä (esim. +5 5), ykkösellä kertomist (esim. ), lskulkien käyttöä jne. 8

9 Rtkise yhtälö 5x = 4x. 5x = 4x + =0 4x 5x + = 4x + x = ekvivlenssinuoli Useimmiten yhtälöt rtkistn llekkin lskemll, siis 5x = 4x +, 4x 5x 4x = x = Molempi tpoj s käyttää, suositus on llekkin -menettelyllä. Määritelmä, epäyhtälö: Kun khden lusekkeen väliin kirjoitetn <, >,, ti, sdn epäyhtälö. 5x 4x, 3x x Ensimmäisen steen yhtälö Määritelmä: Yhtälöä, jok on ti voidn sieventää muotoon x + = 0,, R, 0 snotn lineriseksi eli ensimmäisen steen yhtälöksi. Linerinen = lineris (lt.) = viivoist tehtyä. Yhtälön kuvj on suor, eli muuttujn x ste on yksi. Ensimmäisen steen yhtälö voidn rtkist khdell tvll: - lgerllisesti, kirjn esimerkit (sievennykset jne.), - grfisesti, kirjn esimerkit (piirretään suor etsitään suorn j x-kselin leikkuskoht). Molemmt tvt pitää ost! POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Rtkise yhtälöt x = 3x 7x j 7x+ = 0. Tehdään lgerllisesti. Grfisesti koneell. Plutetn mieleen, että muoto = c olevst yhtälöstä päästään d eteenpäin ristiin kertomll, siis = c d = c, kun, d 0. d 9

10 Tätä hyödyntäen sdn: Huom! Sulut, eli koko osoittj pitää kerto! 7x 3 x 5 = 3x 4 4 x = 5 3x 8x = 5x 7x + 0 = 3x x = 0 = 0 7x = 7x + 3 7x = 3 7x + 4x 4 = x + 3 7x = 7 x = näin voidn siis tehdä (miinuksen voi siirtää osoittjn ti nimittäjään, mutt ei molempiin). Tpn on nt vstus muodoss x =jotin, eikä jotin = x, mutt ei väliä. 7 0