Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä
|
|
- Niko Salonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio, kun x R \ Q f(x) =, kun x Q ei ole Riemnn-integroituv millään välillä [, b] Tehtävä 3. Käytä osittisintegrointi j lske integrlit.. ln x. x sin x 3. x rctn x 4. e x cos x Tehtävä 4. Lske sopiv sijoitust käyttäen.. 9. ln x+ x e x e x Tehtävä 5. Integroi.. (x 4 + 5x 3 x + x 3). e 3x 3. sin x cos x 4. sin x 5. sin (ln x) Tehtävä 6. Olkoon funktio f jtkuv välillä [, ] Osoit, että i jos funktio f on prillinen, niin f(x) = f(x).
2 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 ii jos funktio f on priton, niin f(x) =. Tehtävä 7. Missä seurvss päättelyssä on vikn? x = / ln x = = Mikä on oike tp lske tämä epäoleellinen integrli? Tehtävä 8. Esitä j todist integrlilskennn perusluse. Tehtävä 9. Lske integrlit x (4x +) x 4x + 4x + Tehtävä. Tutki epäoleellisten integrlien suppenemist x+sin x x 3 +x cos x e x Tehtävä. Lske rj-rvo lim sin x. Mitä voit sno tämän lskun perusteell epäoleellisen integrlin suppenemisest? sin x
3 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 3 / 9 Tehtävä. Integroi.. x+ x x. x (x 3) x(x+)(x +) 3
4 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 4 / 9 Vtivmpi tehtäviä Tehtävä 3. Osoit, että jos f on jtkuv ei-negtiivinen funktio välillä [, b] j b f(x) =, niin f(x) = kikill x [, b]. Päteekö tulos ilmn funktion f jtkuvuutt? Tehtävä 4. Osoit, että jos funktiot f j g ovt jtkuvi välillä [, b] b j f(x) = b g(x), niin on olemss sellinen piste t [, b], että f(t) = g(t). Päteekö tämä tulos ilmn oletust funktioiden jtkuvuudest? Tehtävä 5. Integroi. x 9 x. 9 x 3. x x 9 + x 5. 9 x 6. 9+x Tehtävä 6. Osoit, että funktio kun x f(x) = kun x = on integroituv välillä [, ]. Miksi kertymäfunktio G(x) = x f(x). ei ole funktion f integrlifunktio tällä välillä? Osoit, että funktioll f ei ole integrlifunktiot välillä [, ]. Tehtävä 7. Tutki funktion x sin kun x x F (x) = kun x = 4
5 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 5 / 9 derivttfunktiot F (x) = f(x) kiinnittäen erityishuomiot pisteeseen x =. Onko tällöin F on funktion f integrlifunktio? Onko f integroituv välillä, jok sisältää pisteen x =? Tehtävä 8.. Olet, että funktio f on jtkuv välillä [, b].. Olet, että funktio f on integroituv välillä [, b]. Osoit molemmiss tpuksiss, että jos m f(x) M in, kun x [, b], niin m(b ) b f(x) M(b ). Tehtävä 9. Esitä j todist yleistetty integrlilskennn välirvoluse. Tehtävä. Todist seurv suhdetestin ljennus. Olkoon f(x) j g(x) positiivisi j integroituvi funktioit kikill väleillä [, ], missä < <, j Jos epäoleellinen integrli f(x) suppenee. f(x) lim x + g(x) =. g(x) suppenee, niin myös epäoleellinen integrli 5
6 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 6 / 9 Vinkkejä perustehtäviin Tehtävä. Osoit, että ylä- j lsummien rvot ovt smt riippumtt välin [, b] jost. Tehtävä. Käytä pun tieto siitä, että jokisell relivälillä on rtionlij irrtionlilukuj. Tehtävä 3.. Sovell osittisintegrointi kerrn j yritä päästä eroon logritmifunktiost.. Sovell osittisintegrointi khdesti. 3. Huom, että D rctn x = +x. 4. Sovell osittisintegrointi khdesti. Tehtävä 4.. Tee sijoitus t = x.. Tee sijoitus t = e x. Tehtävä 5.. Integroi suorn.. Käytä esimerkiksi sijoitust t = 3x ti lske suorn. 3. Huom, että D sin x = cos x. 4. Käytä trigonometrist kv cos(x) = sin x. 5. Käytä sijoitust t = ln x j osittisintegrointi. Tehtävä 6. J integrointi khteen osn j käytä sijoitust t = x sopivsti. Tehtävä 7. Mieti toteutuuko määrätyn integrlin määritelmän oletukset. Tehtävä 8. Sovell välirvolusett. Tehtävä 9.. Suor lsku.. Suor lsku. 3. Huomioi, että integrndi on prillinen funktio. J integrndi khteen osn. Tehtävä.. Todist rvio x > sin x sopivll välillä j käytä sitä.. J integrli khteen osn j käytä mjornttiperitett. 3. Suor lsku. 4. J integrointi kolmeen osn sopivsti, jolloin rviointi käy helpommksi j käytä mjornttiperitett. 6
7 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 7 / 9 Tehtävä. Rj-rvo on suor lsku. Mieti miten epäoleellinen integrli on määritelty. Tehtävä. Osmurtokehitelmän tekemisen jälkeen jäljellä on vin suor lsku. Luentomonisteess on ohjeet erityyppisten osmurtojen integroimiseen. 7
8 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 8 / 9 Vinkkejä vtivmpiin tehtäviin Tehtävä 3. Tee vstoletus j osoit, että tällöin yläsummien täytyy oll jotkin positiivist vkiot suurempi. Tehtävä 4. Sovell edellistä tehtävää funktioon f g. Tehtävä 5.. Huomioi sisäfunktion derivtt.. Käytä sijoitust x = 3 sin t. 3. Tee sijoitus t = x + x Käytä sopiv sijoitust ti lske ensimmäisen kohdn tpn. 5. Käytä sopiv sijoitust. 6. Käytä sopiv sijoitust. Tehtävä 6. Osoit integroituvuus näyttämällä, että jokist luku ɛ > kohti on olemss välin jko, jonk yläsummn rvo on pienempi kuin tämä luku. Olet, että funktiolle olisi olemss integrlifunktio j tutki mitä siitä seur. Tehtävä 7. Lske derivttfunktio j sovell pisteeseen x = määritelmää sellisenn. Tehtävä 8.. Käytä integrlilskennn välirvolusett.. Käytä tehtävää pun. Tehtävä 9. Käytä pun sitä, että jtkuv funktio svutt suljetull välillä kikki rvot mksimins j miniminsä välistä. Arvioi tällä tvoin funktiot f(x)g(x) j niiden integrli. Tehtävä. Käytä rj-rvon määritelmää j mjornttiperitett. 8
9 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 9 / 9 Perustehtävien rtkisut Tehtävä. Olkoon D = {x, x, x,..., x n } mielivltinen välin [, b] jko, missä = x, b = x n j x < x <... < x n. Kosk funktio f oli vkiofunktio, niin f(x) = c kikill x b. Täten l- j yläsummn rvot ovt smt, sillä c = sup f(x) = inf f(x) kikill x b. Lisäksi (x x ) + (x x ) (x n x n ) = x n x = b. Täten n s D = c(x i+ x i ) = c(b ) = S D. i= Täten funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b] j b f(x) = c(b ). Tehtävä. Olkoon luvut < b mielivltisi. Olkoon lisäksi D = {x, x, x,..., x n } mielivltinen välin [, b] jko, missä = x, b = x n j x < x <... < x n. Kosk kikill väleillä [x i, x i+ ], i =,,..., n on sekä rtionli- että irrtionlipisteitä, niin inf f(x) = j sup f(x) =. x [x i,x i+ ] x [x i,x i+ ] Kosk jko D oli mielivltinen, niin jokinen lsumm s D =. Lisäksi jokinen yläsumm on S D = b. Täten sup s D = = inf S D, joten funktio f ei ole Riemnn-integroituv välillä [, b]. Tehtävä 3. Sovelletn osittisintegroinnin kv f g = fg fg.. Vlitn f(x) = x j g(x) = ln x. Tällöin f (x) = j g (x) = x. Siis ln x = x ln x x = x ln x x + C. x Derivoimll tulos sdn vhvistuttu oikeksi. 9
10 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9. Sovelletn osittisintegrointi khdesti. Ensiksi x sin x = x cos x + x cos x, missä vlittiin f(x) = cos x j g(x) = x. Lisäksi x cos x = x sin x sin x = x sin x + cos x + C, vlinnoill f(x) = sin x j g(x) = x. Täten x sin x = x sin x + cos x x cos x + C. Kvn sijoitettiin uusi vkio C = C puhtsti esteettisistä syistä. 3. Vlitn g(x) = rctn x j f(x) = x. Tällöin x rctn x = x rctn x x + x Nyt x = +x =, joten +x +x +x x + x = + x = x rctn x + C. Siis x rctn x = x rctn x x + rctn x + C, missä C = C. 4. Vlitsemll f(x) = e x j g(x) = cos x sdn, että e x cos x = e x cos x e x sin x. Nyt vstvsti e x sin x = e x sin x + e x cos x. Siis e x cos x = e x cos x + 4 e x sin x 4 e x cos x.
11 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Siirtämällä termi sdn, että e x cos x vsemmlle puolelle j kertomll luvull e x cos x = 5 e x sin x 5 e x cos x + C. Vikk tulos näyttää ik monimutkiselt, niin sen oikeellisuuden voi todet derivoimll. Tehtävä 4.. Tehdään sijoitus t = x. Tällöin integoimisvälillä [, 9] on x = t j siten = tdt. Alrj on edelleen j ylärj muuttuu luvuksi 3. Täten 9 3 x + x = = = 3 tdt t + t dt t + 3/ ln(t + ) = (ln 4 ln ) = ln.. Tehdään sijoitus t = e x. Tällöin dt = e x eli = dt t. Integroimisrjt muuttuvt, niin että ylärj on e = e j lrj on e ln = e ln = 4. Täten ln e e x e = x = = 4 e 4 e 4 dt t(t ) t dt t dt (t )(t + ). Lskemll osmurtokehitelmä integoitvlle sdn, että (t )(t + ) = A t + B t + t(a + B) + A B =, (t )(t + )
12 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 missä A = j B =. Siis e 4 dt (t )(t + ) = e ( dt e 4 t dt 4 t + ) = / e / e ln(t ) ln(t + ) 4 4 = ( ln(e ) ln 3 ln(e + ) + ln 5 ) = ( ) 5(e ln ). 3(e + ) Täten ln e x e = ( ) 5(e x 4 ln ). 3(e + ) Tehtävä 5.. Suorn integroimissääntöjä soveltmll sdn, että (x 4 + 5x 3 x + x 3) = x x 3 x + = 5 x x4 3 x3 + x 3x + C. x 3. Sijoitus t = 3x on dierentioituv bijektio, joten se ei tuot mitään ongelmi. Nyt x = t 3 j = dt. Siis 3 e 3x = 3 et dt = 3 et + C = 3 e 3x + C. 3. Kosk D sin x = cos x, niin integrointi on muoto f(x)f (x) = f (x)+ C. Siis sin x cos x = sin x + C. 4. Kosk sin x = ( cos x), niin sin x = ( cos x) = x sin(x) + C. 4
13 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 3 / 9 5. Tehdään sijoitus t = ln x, jok on derivoituv bijektio, joten sijoitus on luvllinen. Tällöin x = e t j = e t dt. Näin integointi sdn muotoon sin (ln x) = e t sin t dt. Käytetään osittisintegrointi j sdn, että e t sin t dt = e t sin t e t cos t dt j vstvsti e t cos t dt = e t cos t + e t sin t dt. Siten e t sin t dt = e t sin t e t cos t e t sin tdt eli e t sin t dt = ( e t sin t e t cos t ). Pltn sijoituksell lkuperäiseen muuttujn j tulokseksi sdn sin (ln x) = e t sin t dt = ( e t sin t e t cos t ) + C = ( e ln x sin(ln x) e ln x cos(ln x) ) + C = x (sin(ln x) cos(ln x)) + C, missä trvittv integroimisvkio C on lisätty yhtälöön vst tässä viimeisessä viheess Tehtävä 6.. Jos funktio f on prillinen, niin f(x) = f( x). Kosk integrointi voidn suoritt osiss, niin f(x) = = f(x) + f(x) + f(x) f(x) 3
14 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 4 / 9 Tehdään vsemmnpuoliseen integrliin sijoitus t = x. f(x) = f( t) dt = f(t) dt. Kosk integoinniss integroitvll muuttujll ei ole käytännön merkitystä, niin korvtn edellisessä tuloksest muuttuj t muuttujll x j tehdään sijoitus j sdn väite f(x) = f(x). Jos funktio f on priton, niin f(x) = f( x). Jkmll integrointi ts osiin sdn, että f(x) = = f(x) + f(x) + f(x) f(x) Sijoittmll t = x vsemmnpuoleinen integrli muuttuu muotoon f(x) = f( t) dt = f(t) dt. Täten f(x) =. Nämä tulokset ovt voimss myös silloin, kun f on vin integroituv. Tällöin todistus voidn suoritt trkstelemll Riemnnin summi. Tässä todistuksess jtkuvuutt trvitn vrmistss sijoitusten oikeellisuus. Tehtävä 7. Funktio f(x) = x j lim x x ei ole integroituv välillä [, ], sillä lim = x + x =. Siten funktio f ei ole rjoitettu välillä [, ]. Täten x on epäoleellinen integrli. Oike tp on kirjoitt x = x + x, missä molemmt ost ovt hjntuvi epäoleellisi integrlej. 4
15 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 5 / 9 Tehtävä 8. Integrlilskennn perusluse snoo, että välillä [, b] jtkuv, välillä ], b[ derivoituv funktio f, jolle f (x) = kikill x ], b[, on vkiofunktio välillä [, b]. Oletetn, että funktio f on jtkuv välillä [, b], derivoituv välillä ], b[ j f (x) = kikill x ], b[. Olkoon x ], b[ mielivltinen. Välirvolusett voidn sovelt tälle välille j täten on olemss sellinen piste x ], x[, että f(x) f() = f (x )(x ) = (x ) = Täten f(x) = f() kikill x ], b[. Jtkuvuuden perusteell myös f() = lim x b = f(b). Siis f on vkiofunktio välillä [, b]. Tehtävä 9.. Integroitv funktio x (4x +) on rjoitettu välillä [, [, joten integrlin knnlt ino ongelm on käyttäytyminen äärettömyydessä. Nyt kun. x (4x + ) = 8. Vstvsti kuten edellä x 4x + = 8 8x (4x + ) = / ( 4x + ) 8 = ( ) ( ) = 8, = 8 = 8 8x 4x + / ln 4x +, ( ln(4 + ) ) 5
16 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 6 / 9 kun. Siis integrli hjntuu. 3. Integrndi on prillinen funktio, joten 4x + = 4x +, mikäli se suppenee. Lsketn tämä epäoleellinen integrli tekemällä sijoitus t = x. Tällöin t = 4x j dt =, mutt integroimisrjt vin puolittuvt. Siis kun. Siis Tehtävä. 4x + = = t + dt / rctn t π = π 4, 4x + = π.. Tutkitn funktiot f(x) = x sin x. Se on jtkuv j derivoituv sekä f (x) = cos x. Kun < x, niin funktio f on idosti ksvv j positiivinen. Täten x > sin x, kun x eli x + sin x > x + x = x kun x ], [. Kosk epäoleellinen integrli hjntuu, niin minornttiperitteen nojll myös epäoleellinen integrli x hjntuu. x + sin x 6
17 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 7 / 9. Jetn epäoleellisen integrlin trksteleminen khteen osn merkitsemällä x3 + x = x3 + x + x3 + x. Osoitetn, että molemmt osintegrlit suppenevt jolloin myös koko integrli suppenee. Oletetn, että < x. Nyt x + x 3 = x + x > x + = x eli <, x + x 3 x kun < x. Kosk integrli x suppenee, niin myös integrli x + x 3 suppenee mjornttiperitteen nojll. Oletetn, että x. Tällöin x + x 3 x 3 j mjornttiperitteen nojll integrlin integrlin suppeneminen. x + x 3 x 3 suppenemisest seur 3. Nyt ongelmi iheutt vin äärettömät integroimisrjt. Jetn integrli khteen osn. Tällöin cos x + b cos x = / b/ sin x + sin x = sin(b) sin(). Kosk funktioll f(x) = sin x ei ole rj-rvoj kummsskn äärettömyydessä, niin integrli hjntuu. 7
18 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 8 / 9 4. Jetn integroimisväli ], [ osväleihin ], ], [, ] j [, [, joiss trkstelu suoritetn. Kun x, niin x x j. Kosk e x e x / e = e x = e e x e kun, niin epäoleelliset integrlit e x j e x suppenevt mjornttiperitteen nojll. Kosk e x = e x + e x + e x j jokisell osintegrlill on äärellinen rvo, niin integrli suppenee. Tässähän keskimmäinen integrli ei ole epäoleellinen, joten se utomttisesti suppenee. Tehtävä. Nyt kyseessä ei ole epäoleellinen integrli, vn integrlin vull määritelty rj-rvo. Suorn lskemll huomtn, että / lim sin x = lim cos x = lim ( cos + cos( )) = lim =. Epäoleellisesti integrlist sin x edellinen lsku ei sno mitään, kosk nyt rjnkäynnit äärettömyydessä pitää ott erikseen. Siis sin x = sin x + sin x Kumpikin osintegrli hjntuu, kosk funktioll cos x ei ole rj-rvo äärettömyydessä. 8
19 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 9 / 9 Tehtävä.. Kosk x x = x(x ), niin lsketn osmurtokehitelmä x + x(x ) = A x + B x Ax A + Bx =. x(x ) Kertomll puolittin termillä x(x ) j settmll x:n yhtäsuurien potenssien kertoimet smoiksi, sdn rtkistvksi yhtälöt A + B = j A =. Rtkisut ovt A = j B =. Siis x + x x = x + x = ln x + ln x + C = ln (x ) x + C.. Ensinnäkin supistetn yhteinen tekijä pois eli x (x 3) x(x + )(x + ) = x(x 3) (x + )(x + ). Kosk x + ei hjo enää relisiin tekijöihin, niin osmurtokehitelmä on muoto x 3x (x + )(x + ) = A x + + Bx + C x + = Ax + A + Bx + Bx + Cx + C (x + )(x + ) Rtkistv epäyhtälö on siis = A + B 3 = B + C = A + C. jonk rtkisut ovt A = 9, B = 9 ( x (x 3) x(x + )(x + ) = 9 = 9 j C = 5 9. Siten x + + x + 9 x + 5 ) 9 9 x + x x + 9 x +. 9
20 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Selvästi x + = ln x + + C. Kosk x = 4 4x = 4 D(x + ), niin x x + = 4 ln x + + C. Hnklin integrointi on viimeinen. Tehdään sijoitus t = x, jolloin t = x j dt =. Siis x + = dt t + = rctn t + C 3 = rctn x + C 3. Lopult sdn siis (yhdistetään vkiot suorn yhdeksi vkioksi C) x (x 3) = ln x + x(x + )(x + ) ln x + 9 = 9 rctn x + C ln x + 8 ln x rctn x + C.
21 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Vtivmpien tehtävien rtkisut Tehtävä 3. Oletuksen perusteell f(x) kikill x [, b]. Tehdään vstoletus, että olisi sellinen x [, b], että f(x ) >. Vlitn ɛ = f(x ) >. Funktion f jtkuvuuden perusteell on olemss sellinen δ >, että f(x) f(x ) < ɛ in, kun x x δ j x [, b]. Merkitään I δ = [x δ, x + δ] [, b]. Lisäksi luku δ > voidn vlit niin pieneksi, että välin I δ pituus on vähintään δ, kosk x [, b]. Jos x I δ, niin ɛ 3ɛ < f(x) <. Nyt voidn tehdä rvio b = f(x) f(x) I δ I δ ɛ ɛ δ >, mikä on ristiriit. Epäyhtälön ensimmäisessä rvioss integroimisväliä pienennetään, jolloin integrlin rvo tietenkin pienenee. Toisess rvioss käytetetään funktion f lrj välillä I δ. Kolmnness käytetään hyväksi tieto, että välin I δ pituus on vähintään δ lskettess vkiofunktion integrli. Näiden rvioiden täsmällinen perustelu voidn suoritt Riemnnin summien vull, mutt yksinkertisuuden vuoksi sivutetn nämä päättelyt selvinä. Merkintä I δ f(x) trkoitt funktion f integroimist yli välin I δ. Tulos ei päde ilmn jtkuvuuden oletust. Vstesimerkiksi käy funktio, kun x = f(x) =, kun x. Tällöin f(x) =, mutt f(x) integroimisvälillä. Tehtävä 4. Oletuksen perusteell b (f(x) g(x)) = b f(x) b g(x) =.
22 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Kosk funktiot f j g ovt jtkuvi j integroituvi, niin myös funktio f g jtkuv j integroituv välillä [, b]. Mikäli funktio f g viht merkkiään pisteessä x [, b], niin (f g)(x) = eli f(x) = g(x), joten väite on todistettu. Voidn siis olett, että f g ei vhd merkkiään välillä [, b]. Tällöin jompi kumpi funktioist f g ti g f on positiivinen j edellistä tehtävää voidn sovelt tähän funktioon. Siis f(x) g(x) = kikill x [, b], mistä väite seur. Tskn väite ei päde ilmn jtkuvuutt. Vstesimerkiksi voidn ott funktiot f(x) j, kun x g(x) =, kun x >. Nyt f(x) = Tehtävä 5. g(x) =, mutt f(x) g(x) kikill x [, ].. Kosk D(9 x ) = x, niin integrndiin sdn muotoiltu sisäfunktion derivtt. Siis x 9 x = x 9 x = 3 (9 x ) 3 + C = 3 9 x 3 + C. Tehdään sijoitus x = 3 sin t, missä π t π. Nyt t = rcsin x 3 j = 3 cos tdt. Lisäksi sin t = cos t = cos t = cos t, kosk välillä
23 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 3 / 9 [ π, π ] kosini on ei-negtiivinen. Siis 9 x = 9 9 sin t 3 cos t dt = 9 sin t cos t dt = 9 cos t dt = 9 ( + cos t)dt, missä viimeisin rivi sdn kvst cos t = cos t. Täten 9 x = 9 dt + 9 cos t dt 4 = 9 t + 9 sin t + C 4 = 9 rcsin x sin t cos t + C = 9 rcsin x x cos t + C = 9 rcsin x ( x ) x + C, 3 kosk cos t = sin t = x. Tuloksen oikeellisuuden voi trkist 9 suorittmll derivoinnin. Sijoituksess ei kuitenkn tehty mitään luvtont, kosk 3 sin t on derivoituv bijektio, kun π t π. 3. Tehdään sijoitus t = x+ x + 9. Nyt korottmll yhtälö t x = x + 9 toiseen sdn sievennyksen jälkeen x = t 9. t Tästä derivoimll puolittin ts sdn = t t (t 9) dt = t +9dt. (t) t 3
24 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 4 / 9 Siis x + 9 = (t x) t + 9 dt t ( ) = t t 9 t + 9 dt t t ( ) t + 9 = t4 9 dt t 4t 3 t 9 = dt + t dt t 4 dt + = 4 t + 9 ln t 8 t 8 8t + C 8 4t 3 dt = 8 (x + x + 9) + 9 x ln + x (x + x + 9) + C. Lventmll smnnimisiksi j neliöt lskemll sdn, että 8 (x+ x + 9) 8 8(x+ x +9) = x x + 9, joten x + 9 = x x x ln + x C. Sijoitus t = x + x + 9 on derivoituv bijektio j myös derivoimll voidn trkist, että tulos on todellkin oike. 4. Vstvsti kuin ensimmäinenkin tehtävä ti vihtoehtoisesti sijoituksell t = 9 + x j dt = x x 9 + x = t dt = 3 t 3 + C = 3 ( t) 3 + C = 3 ( 9 + x ) 3 + C. Vikk sijoitus t = 9 + x ei ollutkn bijektio, niin lopputulos on oike. Vstuksen stu funktio on todellkin hluttu integrlifunktio, kosk sen derivtt on integrndi. 4
25 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 5 / 9 5. Käytetään sm sijoitust x = sin t kuin tämän tehtävän toisess kohdss. Täten 3 cos t = 9 x 3 cos t dt = dt = t + C = rcsin x 3 + C. 6. Käytetään sijoitust t = x + x + 9 kuten kolmnness kohdess. Nyt = t x t (t x) dt t + 9 = t (t t 9) dt t t + 9 = t 3 t 3 9t dt t + 9 = t 3 9t dt t + 9 = t(t 9) dt dt = t = ln t + C = ln x + x C. Tehtävä 6. Olkoon D = {x, x, x,..., x n } mielivltinen välin [, ] jko, missä x =, x n = j x < x <... < x n. Jos väli [x i, x i+ ], missä i =,,..., n, sisältää origon x =, niin sup f(x) =, x [x i,x i+ ] muutoin pienin ylärj funktion rvolle on selvästi. Lisäksi inf f(x) = kikill välin [, ] osväleillä. Siis funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, ], jos 5
26 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 6 / 9 inf S D =. Luku on selvästi eräs lrj yläsummien joukolle. Osoitetn, että se on suurin lrj. Olkoon ɛ > mielivltinen. Nyt on olemss sellinen jko D, että ɛ > x i+ x i j ]x i, x i+ [ eräällä i Z +. Siis < S D = (x i+ x i ) = x i+ x i < ɛ. Täten inf S D = j funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, ] j Nyt funktio G(x) = f(x) =. x f(x), kun x [, ]. Lisäksi se on derivoituv välillä ], [, mutt se ei ole funktion f integrlifunktio, sillä G () = = f(). Oletetn, että funktio F on funktio f integrlifunktio. Täten F (x) = f(x) kikill x ], [. Erityisesti F () = f() = j F (x) = f(x) =, kun. Derivoituvn funktion F on jtkuv. Integrlilskennn perusluseen nojll c, kun < x < F (x) = d, kun < x <. Jtkuvuuden perusteell F () = lim F (x) = lim F (x) eli F () = c = d. Tällöin x + F () = lim h F (h) F () h x = = f(), mikä on ristiriit. Täten funktioll f ei ole integrlifunktiot välillä [, ]. Tehtävä 7. Kun x, niin D x sin x = x sin x + x cos x D x = x sin x x 3 x cos x = x sin x x cos x. 6
27 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 7 / 9 Kun x =, niin F () = lim h F (h) F () h = lim h h sin h h = lim h h sin h =, sillä h sin h h, kun h. Siis x sin F x (x) = f(x) = cos kun x x x kun x = Siis funktion f integrlifunktio on F. Kuitenkn funktio f ei ole integroituv millään välillä, jok sisältää pisteen x =, sillä funktio f ei ole tällöin rjoitettu. Esimerkiksi jos x n = πn, niin eli cos( ) = πn x n x n f(x n ) = πn, kun n. Siis funktio f tulee svuttmn mielivltisen pieniä rvoj lähestyttäessä pistettä x = Siis funktioll voi oll integrlifunktio, vikk se ei olisikn integroituv. Tehtävä 8.. Jos funktio f on jtkuv välillä [, b], niin integrlilskennn välirvoluseen nojll on olemss sellinen t [, b], että b f(x) = f(t)(b ). Kosk m f(t) M oletuksen nojll, niin väite sdn tätä soveltmll yllä olevn yhtälöön.. Nyt todistus on hiemn hnklmpi, kosk joudutn turvutumn Riemnnin summiin. Jos funktio f on integroituv välillä [, b], niin b f(x) = sup s D = inf S D. 7
28 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 8 / 9 Tehtävän perusteell vkiofunktiot m(x) m j M(x) M ovt integroituvi välillä [, b] sekä b m(x) = m(b ) j b M(x) = M(b ). Olkoon D mielivltinen välin [, b] jko. Oletuksen perusteell m f(x i ) M j m f(x i+ ) M, kikill jon D jkopisteissä x i j x i+, joten funktion m välin [, b] jokinen yläsumm ovt pienempiä ti yhtä suuri kuin funktion f vstv lsumm j funktion M jokinen lsumm ovt suurempi ti yhtäsuuri kuin funktion f vstv yläsumm. Täten m(b ) = b m(x) sup s D = b f(x) = inf S D b Tehtävä 9. Oletetn, että funktio f on jtkuv välillä [, b] j funktio g on M(x) = M(b ). integroituv välillä [, b]. Oletetn lisäksi joko g(x) ti g(x) kikill x [, b]. Tällöin on olemss sellinen t [, b], että b f(x)g(x) = f(t) b g(x). Tehdään luseen vtimt oletukset j trkstelln tpust g(x) kikill x [, b]. Kosk funktio f on jtkuv suljetull välillä [, b], niin sillä on mksimirvo M j mininirvo m tällä välillä. Täten mg(x) f(x)g(x) Mg(x) kikill x [, b] eli Jos b m b g(x) b f(x)g(x) M b g(x) =, niin edellisen rvion nojll myös b g(x). f(x)g(x) =. Näin väite olisi tosi mielivltisell t [, b]. Kosk g(x), niin voidn olett 8
29 Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu 9 / 9 jtkoss, että b g(x) >. Siis m b f(x)g(x) b g(x) M. Kosk f oli jtkuv välillä [, b], niin se s kikki rvot suurimmn rvons M j pienimmän rvons m väliltä. Siis on olemss sellinen t [, b], että f(t) = b f(x)g(x) b, g(x) jost väite seur. Vstvsti todistetn tpus g(x) kikill x [, b]. Tehtävä. Rj-rvon f(x) lim x + g(x) = määritelmän perusteell kiinnitettyä luku > ɛ > kohti on olemss sellinen luku δ >, että jos x < δ, niin f(x) g(x) < ɛ. Tällöin ɛ < f(x) g(x) < ɛ j kosk f(x), g(x) > kikill > x >, niin Siis jos epäoleellinen integrli < f(x) < ɛg(x). δ g(x) suppenee, niin mjornttiperitteen nojll myös epäoleellinen integrli δ f(x) suppenee, kosk luku > ɛ > oli kiinnitetty j sillä kertominen ei vikut suppenemiseen. Siis epäoleellinen integrli f(x) = δ f(x) + δ f(x), suppenee, kosk oletuksen perusteell funktio f on integroituv välillä [δ, ]. 9
II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
LisätiedotSisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät
Lisätiedot5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
LisätiedotAnalyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
Lisätiedot2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
Lisätiedot3 Integraali ja derivaatta
3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
Lisätiedot7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
Lisätiedota = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
Lisätiedoti 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +
I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
Lisätiedot2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.
2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
LisätiedotViikon aiheet. Pinta-ala
info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu
LisätiedotSarjat ja integraalit
Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
LisätiedotMääritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
Lisätiedot4. Reaalifunktioiden määrätty integraali
6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot
LisätiedotTEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions
LisätiedotRiemannin integraalista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
LisätiedotSisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15
Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,
LisätiedotKertausta ja täydennystä
LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
LisätiedotIntegraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
LisätiedotPertti Koivisto. Analyysi C
Pertti Koivisto Anlyysi C TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 TAMPERE 28 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 JOULUKUU 28 Pertti Koivisto Anlyysi
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
LisätiedotAnalyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P
Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................
Lisätiedot521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:
12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:
LisätiedotLebesguen integraali - Rieszin määritelmä
Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki
Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn
LisätiedotNumeerinen integrointi.
Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun
LisätiedotPertti Koivisto. Analyysi B
Pertti Koivisto Anlyysi B TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 TAMPERE 8 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 JOULUKUU 8 Pertti Koivisto Anlyysi
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
LisätiedotAnalyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto
Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,
Lisätiedot1+kx 2, x [0, 1] 4. f k (x) = (sin x) k, x R Tehtävä 2. Osoita suoraan määritelmään perustuen, että funktiojono (f k ), missä
Funtiojonojen j -srjojen tehtävät, 11. syysuut 5, sivu 1 / 19 Perustehtäviä Tehtävä 1. Tuti seurvien funtiojonojen (f (x)) suppenemist. pisteittäistä j tsist 1. f (x) = cos x, x R. f (x) = 1 1+x, x R 3.
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Integrointi Integrointi on derivoinnin käänteistoimitus: jos funktion F(x) derivtt on f (x), niin funktion f (x) integrli on F(x). Täten, kosk esimerkiksi funktion x + e x derivtt
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
LisätiedotNumeerinen integrointi
Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)
Lisätiedot2.2 Monotoniset jonot
Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (
Lisätiedot.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek
S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn
LisätiedotMatemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi
Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt
LisätiedotMatematiikan peruskurssi. Seppo Hassi
Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät
LisätiedotSinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
LisätiedotANALYYSIN TEORIA A JA B
ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,
Lisätiedotlim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
LisätiedotANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen
ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpnoj syksyltä 2005 20. lokkuut 2005 Sisältö 1. Esitietoj 2 1.1. Riemnn-integrli............................ 2 1.2. Derivtt................................. 4 1.3.
LisätiedotRiemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua
Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5
LisätiedotSarjojen tasainen suppeneminen
Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................
Lisätiedot4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotTee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!
MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
LisätiedotANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2
ANALYYSI 2 Cmill Hollnti _ M M x x 2 x 3 x 4 x b Tmpereen yliopisto 200 2 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemnn-integrli 5 2.. Pint-lt j porrsfunktiot....................... 5 2... Pint-l rj-rvon.......................
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista
Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti,
LisätiedotNeliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on
4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void
LisätiedotS Fysiikka III (EST), Tentti
S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P
Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4
LisätiedotIntegraalilaskennasta lukiossa ja lukion oppikirjasarjoissa
Integrlilskennst lukioss j lukion oppikirjsrjoiss Mtemtiikn pro grdu -tutkielm Mikko Huttunen Helsingin yliopisto 14. mliskuut 2013 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
LisätiedotNewtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1
LisätiedotEsimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.
8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
LisätiedotANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen
ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten
LisätiedotPainopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
LisätiedotMika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014
Mik Hirvenslo Insinöörimtemtiikk B 4 Sisältö Rj-rvo j jtkuvuus....................................................... 5. Differentili- j integrlilskennn kehityksestä............................. 5. Relilukujen
LisätiedotMS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia
MS-AX Di erentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto 24..26 Kiitokset Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovirheiden korjuksist. Sisältö Nämä klvot sisältävät otsikoss
LisätiedotPolynomien laskutoimitukset
Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää
Lisätiedot1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa
Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
Lisätiedot1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa
Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Pekk Alestlo Alto-yliopisto.9.26 Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oheislukemist. Luennoill voidn käsitellä
Lisätiedot4 Taso- ja avaruuskäyrät
P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen
Lisätiedot