3 Integraali ja derivaatta

Transkriptio

1 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R, (3.1) G() = f(t) t, I, f(t) t. Siis jokist muuttujn rvo vst jokin tietty reliluku, jok on kyseessä olevn integrlin rvo. Esimerkki 3.1. Olkoon f() = 3, kun [, 5]. Vkiofunktion f on Riemnnintegroituv välillä [, 5] (j smll jokisell välin [, 5] suljetull osvälillä). Jos =, niin ehon (3.1) funktioksi sn G: [, 5] R, Jos ts = 2, niin G() = 3 t = 3 ( ) = 3. j jos = 5, niin G() = G() = t = 3 ( 2) = 3 6, 3 t = 3 ( 5) = Luse 3.1. Ehon (3.1) funktio G on jtkuv välillä I. Toistus. Olkoon I. Vlitn mielivltinen ε >. Olkoon eelleen [, b] jokin sellinen välin I suljettu osväli, että on välin [, b] sisäpiste (jos on välin I päätepiste, vlitn = ti b = ). Riemnn-integroituvn funktion f on rjoitettu välillä [, b]. Siis on olemss sellinen M >, että f(t) M t [, b]. 44

2 Jos nyt + h [, b], niin G( + h) G() = = = +h f(t) t f(t) t +h f(t) t + f(t) t f(t) t +h f(t) t +h f(t) t +h M t = M ( + h) = M h < ε in, kun h < δ = ε M. Siis jtkuvuuen määritelmän1 nojll funktio G on jtkuv pisteessä j siis myös välillä I. Esimerkki 3.2. Olkoon, kun 1 <, f() = 1, kun 1, j [ 1, ]. Porrsfunktion f on Riemnn-integroituv välillä [ 1, 1] (j jokisell sen suljetull osvälillä). Jos nyt <, niin f(t) t = t =, j jos, niin f(t) t = t + 1 t = + 1 ( ) =. 1 Jos =, trkstelln oikelt jtkuvuutt, j jos = b, trkstelln vsemmlt jtkuvuutt. 45

3 Siis ehon (3.1) funktioksi sn G: [ 1, 1] R, G() = f(t) t =, kun 1 <,, kun 1. Luse 3.2. Jos funktio f on jtkuv välillä I, niin ehon (3.1) funktio G on pitsi jtkuv myös erivoituv välillä I j G () = f() I. Toistus. Olkoon I. Olkoon eelleen [, b] jokin sellinen välin I suljettu osväli, että on välin [, b] sisäpiste (jos on välin I päätepiste, vlitn = ti b = ). Olkoon + h [, b] (h ). Kosk f on jtkuv välillä [, b], niin integrlilskennn välirvoluseen nojll on olemss sellinen ξ h ], + h[ (jos h > ) ti ξ h ] + h, [ (jos h < ), että G( + h) G() h = 1 h = 1 h ( +h f(t) t +h f(t) t ) f(t) t IVAL = 1 h f(ξ h) (( + h) ) = f(ξ h ). Lisäksi ξ h, kun h. Kosk f on jtkuv välillä [, b], niin tällöin lim h G( + h) G() h = lim h f(ξ h ) = lim f(ξ ξh h) = f(). Täten erivtn määritelmän 1 nojll funktio G on erivoituv pisteessä j siis myös välillä I j G () = f() I. 1 Jos =, trkstelln oikenpuoleist erivtt, j jos = b, trkstelln vsemmnpuoleist erivtt. 46

4 Huomutus 3.3. Luseess 3.2 (kuten yleisestikin) erivoituvuus suljetun välin I päätepisteissä (ti puolivoimen välin toisess päätepisteessä) trkoitt oikenpuolisen (välin lkupiste) ti vsemmnpuolisen (välin loppupiste) erivtn olemssolo. Huomutus 3.4. Luseen 3.2 tulos voin esittää myös seurvss muooss. Jos funktio f on jtkuv välillä I j I, niin Esimerkki 3.3. Kosk f(t) t = f() I. f(t) = t 1 + sin t on jtkuv kikill t R, niin luseen 3.2 nojll ( t 1 + sin t) t = 1 + sin R. Huomutus 3.5. Jos funktio f on jtkuv välillä I j I, niin f(t) t = Huomutus 3.6. Vikk funktio ( G() = f(t) t ) = f() I. f(t) t. riippuu pisteen vlinnst, niin erivtt G () ei riipu pisteen vlinnst. Toistus. Kosk 1 f(t) t = 2 f(t) t + f(t) t = vkio + f(t) t 1, 2 I, niin 1 f(t) t = f(t) t 1, 2 I. 2 47

5 Huomutus 3.7. Olkoon h() = yh.funktio {}}{ G(r()) = r() f(t) t, missä r() on funktion f jtkuvuuslueeseen 1 kuuluv erivoituv funktio. Tällöin h () = r() f(t) t = r () G (r()) = r () f(r()). Eelleen vstvin oletuksin r 2 () r 1 () f(t) t = ( r 1 () f(t) t + r 2 () f(t) t ) = r 1() f(r()) + r 2() f(r 2 ()) = r 2() f(r 2 ()) r 1() f(r 1 ()). Esimerkki 3.4. Kosk 1 + t 2 on jtkuv kikill t R, niin huomutuksen 3.7 nojll t2 t = R. Esimerkki 3.5. Vstvsti kuin esimerkissä 3.4 sn huomutuksen 3.7 nojll 3 2 sin t t = 3 sin 3 2 sin 2. Sm tulos stisiin tietysti myös hjoittmll integrli ensin osiin 3 2 sin t t = 2 sin t t + 3 sin t t = 3 sin t t 2 sin t t j erivoimll sitten näin sut integrlit. 1 Jos r on erivoituv pisteessä j G on erivoituv pisteessä r(), niin yhistetty funktio G r on erivoituv pisteessä. 48

6 Esimerkki 3.6. Määritetään Nyt lim 1 os t 2 t. lim os t 2 t =, joten käytetään l Hospitlin sääntöä. Kosk os t 2 t = os 2, niin lim 1 os t 2 t = H lim os 2 1 = 1. 49

7 3.2 Integrlifunktio Määritelmä 3.1. Olkoon funktio f määritelty välillä I. Jos on olemss sellinen funktio F, että F () = f() I, niin F on funktion f integrlifunktio (primitiivi, ntierivtt) välillä I. Esimerkki 3.7. Funktio F () = log on funktion f() = 1 välillä I = R +, sillä tällöin D(log ) = 1. integrlifunktio Huomutus 3.8. Jos on olemss sellinen F, että F () = f() kikill I, niin F on jtkuv välillä I. Huomutus 3.9. Luseen 3.2 (s. 46) nojll välillä I jtkuvll funktioll f on inkin yksi integrlifunktio välillä I, nimittäin funktio F () = f(t) t, I. Huomutus 3.1. Jos funktio ei ole jtkuv välillä I, niin funktioll ei välttämättä ole integrlifunktiot kyseisellä välillä, vikk funktio olisi Riemnn-integroituv välillä I (ks. esimerkki 3.2, s. 45). 1 Luse Jos F on funktion f integrlifunktio välillä I, niin funktion f kikkien integrlifunktioien joukko välillä I on funktiojoukko {F + C C R}. Toistus. 1 : Jokinen muoto F + C olev funktio on funktion f integrlifunktio välillä I, sillä = {}}{ D(F + C) = D(F ) + D(C) = D(F ) = f. 2 : Olkoon G jokin funktion f integrlifunktio välillä I eli G () = f() I. Tällöin D(G() F ()) = f() f() = I, 1 Vihtoehtoisesti voitisiin kutsu sivun 44 ehon (3.1) funktiot G funktion f integrlifunktioksi. Tällöin integrlifunktio j primitiivi (ntierivtt) merkitsisivät eri si j kikill Riemnn-integroituvill funktioill olisi integrlifunktio. Jtkuvill funktioill tällisi eroj ei synny, joten käsitteitä ei tällä kurssill erotell. 5

8 joten integrlilskennn perusluseen nojll G F on vkio. Siis on olemss sellinen C R, että G() F () = C I. Täten G = F + C. Luse 3.12 (Integrlilskennn pääluse 1 ). Olkoon funktio f jtkuv välillä [, b] j F jokin sen integrlifunktio tällä välillä. Tällöin b f() = F (b) F (). Toistus. Kosk f on jtkuv välillä [, b], niin huomutuksen 3.9 nojll funktio G() = f(t) t on funktion f integrlifunktio välillä [, b]. Siis luseen 3.11 nojll jokinen funktion f integrlifunktio välillä [, b] voin esittää muooss Nyt joten F () = F () = f(t) t + C, C R. f(t) t + C = C, f(t) t = F () F () Sijoittmll tähän lusekkeeseen = b sn b f(t) t = F (b) F (). [, b]. 1 Luse tunnetn myös nimellä nlyysin perusluse ti trkemmin snotttun nlyysin perusluse, os II. Tällöin nlyysin perusluseen os I on luse 3.2 (s. 46). 51

9 Huomutus Luseen 3.12 tulos pätee myös, kun b. Jos b =, niin yhtälön kumpikin puoli on noll, j jos b <, niin b f() = b f() = (F () F (b)) = F (b) F (). Huomutus Funktion f jtkuvuuen sijst luseess 3.12 riittää olett (hrjoitustehtävä), että f on Riemnn-integroituv välillä [, b] j F on on sellinen välillä [, b] jtkuv j välillä ], b[ erivoituv funktio, että Huomutus Usein merkitään F () = f() ], b[. F (b) F () = / b F (). Tällöin luseen 3.12 tulos voin esittää muooss Esimerkki 3.8. Kosk b f() = / b F (). D(e ) = e R, niin e on funktion e (jokin) integrlifunktio (millä thns välillä I R). Kosk e on jtkuv millä thns välillä I R, niin luseen 3.12 nojll b e = / b e = e b e = e b 1 b R. Esimerkki 3.9. Vstvsti D(log ) = 1 >, joten 1 = / 1 log = log log 1 = log ( > ). Esimerkki 3.1. Kosk niin D( 2 π 1 π os 2 ) = 2 π ( sin π 2 ) π 2 sin π 2 = / 1 2 π os π 2 52 = sin π 2 R, = ( 2 π 1) = 2 π.

10 Huomutus Yhteyet kurssien Anlyysi 1 j 2 joienkin perusluseien välillä: A A 1 A 2 A 3 A 4 B1 B 2 B 3 C 1, missä A = R:n täyellisyysksioom, A 1 = Suljetull välillä jtkuvn funktion ominisuuet, 1 A 2 A 3 A 4 B 1 B 2 B 3 C 1 = Rollen luse, = Differentililskennn välirvoluse, = Integrlilskennn perusluse, = Jtkuvn funktion integroituvuus, = Integrlilskennn välirvoluse, = Jtkuvn funktion integrlifunktion erivoituvuus, = Integrlilskennn pääluse. 1 Suljetull välillä jtkuv funktio on kyseisellä välillä rjoitettu j svutt suurimmn sekä pienimmän rvons j jokisen niien välissä olevn rvon. Eelleen suljetull välillä jtkuv funktio on tällä välillä tsisesti jtkuv. 53