Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Transkriptio

1 Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011

2

3 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt pitkälti iempien luentomuistiinpnojeni mukist esitystä. Esitän kiitokseni H.L. Wietsm:lle (Vsn yliopisto, mtemttisten tieteiden litos), jok on suorittnut tekstin puhtksikirjoituksen LTeX-muotoon j piirtänyt monisteess esiintyvät kuvt. Vsss 30 syyskuut 2011 Seppo Hssi

4

5 v Sisältö Esipuhe Sisältö iii v 1 Johdnto Joukko-opilliset merkinnät Logiikn symboleist Reliluvuist j -funktioist Reliluvuist Reltiot j funktiot Yhden muuttujn relifunktiot Relifunktion rj-rvo Jtkuvuus Funktion derivtt Tvllisimpien funktioiden derivttoj Derivtn ominisuuksi Funktion äärirvot Implisiitti- j prmetrimuotoisen funktion derivointi Sovelluksi Integrlilskent Integrlifunktio Integroimismenetelmiä Määrätty integrli Epäoleellinen integrli Määrätyn integrlin sovelluksi Relilukusrjoist Relilukujonot j -srjt sekä niiden suppeneminen Potenssisrjt Differentiliyhtälöistä Ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälöt Lineriset differentiliyhtälöt Kompleksiluvuist Kompleksiluvut Eksponenttifunktio kompleksitsoss

6

7 1 Luku 1: Johdnto 1.1 Joukko-opilliset merkinnät Joukko muodostuu lkioist. Joukkoj merkitään yleensä isoill j lkioit pienillä kirjimill. Esimerkiksi: A, kuuluu joukkoon A j / A, ei kuulu joukkoon A. Seurvt lukujoukot ovt käytössä: N = {0, 1, 2,...} luonnollisten lukujen joukko Z = {0, ±1, ±2,...} kokonislukujen joukko Q = {/b :, b Z, b 0} rtionlilukujen joukko R reliluvut, eli rtionlilukujen joukko täydennettynä irrtionliluvuill, kuten 2, π, e C = { + ib :, b R} kompleksiluvut (missä i 2 = 1) Typpillisiä lukujoukkojen osjoukkoj ovt mm. : Z + = {1, 2, 3,...} positiiviset kokonisluvut Z = { 1, 2, 3,...} negtiiviset kokonisluvut R + = {x R : x > 0} positiiviset reliluvut R = {x R : x < 0} negtiiviset reliluvut Usein esiintyviä joukkoj ovt relikselin välit: [, b] = {x R : x b} suljettu väli ], b[ = {x R : < x < b} voin väli [, b[ = {x R : x < b} puolivoin väli ], b] = {x R : < x b} puolivoin väli Tällöin j b ovt välin päätepisteitä, muut pisteet ovt välin sisäpisteitä (Mhdollisesti =, b = ). Tyypillisiä merkintöjä: merk. sisältö luetn A B jokinen A:n lkio on myös B:n lkio A on B:n osjoukko A = B A B j B A A j B ovt sm joukko A B {x : x A ti x B} A:n j B:n yhdiste A B {x : x A j x B} A:n j B:n leikkus A \ B {x A : x / B} A:n j B:n erotus joukko, joss ei ole yhtään lkiot tyhjä joukko Esimerkki ) {1, 2} = {2, 1} j {1, 2, 3} = {1, 2, 1, 3}; b) R 0 + = R + {0} = {x R : x 0} = [0, ) eli ei-negtiiviset reliluvut; c) A A j A mille thns joukolle A;

8 2 Luku 1. Johdnto d) [, b) {b} = [, b] j [, b) {b} =. Yhdistettä, leikkust j erotust voidn hvinnollist ns. Venn-digrmmeill: A B A B A B A B A B Kuv 1.1: Venn-digrmmej. A\B Järjestetyt joukot: Kun joukko {, b} järjestetään, sdn järjestetty pri (, b). Kksi järjestettyä pri (, b) j (c, d) ovt smt (identtiset), jos = c j b = d. Vstvsti määritellään n-lkioiset järjestetyt joukot ( 1,..., n ) j niiden yhtäsuuruus. Joukkojen A 1,..., A n tulojoukko eli krteesinen tulo on joukko: A 1 A 2... A n = {( 1, 2,..., n ) : 1 A 1, 2 A 2,..., n A n }. Jos A := A 1 = A 2 =... = A n, merkitään lyhyesti A n = A 1 A 2... A n. Esimerkki R 2 = {(x, y) : x, y R} on relilukutso j R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R}, 3-ulotteinen relilukuvruus. 1.2 Logiikn symboleist merk. sisältö luetn disjunktio ti konjuktio j. Huom. usein käytetään vin pilkku :n sijst negtio ei/vstkoht olemssolo kvnttori on olemss kikki kvnttori kikill = impliktio jos... niin ekvivlenssi jos j vin jos/joss johtopäätös siis/siten/täten Mtemttiset väittämät ilmistn tyypillisesti lusein, joit seurv kvio ilmentää: merk. sisältö luetn p = q impliktioit jos p on tosi, niin q on tosi p q ekvivlenssej p = q j q = p Tässä p j q sisältävät väittämän, joill on totuusrvo: tosi/epätosi.

9 1.2. Logiikn symboleist 3 Esimerkki ) Luse x = 3 = x 2 = 9 (x R) on tosi. Sen sijn luse x = 3 x 2 = 9 (x R) on epätosi, kosk impliktio = on selvästi epätosi. b) Luse on tosi. ( > b) (b > c) = > c (, b, c R) c) Luse x Z y Z s.e. x + y 0 on tosi. Nimittäin, jos x 0 Z on mielivltisesti vlittu, niin y:ksi kelp esimerkiksi luku y 0 = x 0. (y:n vlint riippuu tässä vlitust x 0 :st.) d) Luse x Z s.e. y Z x + y 0 on epätosi. Nimittäin vlitnp x 0 Z miten thns niin esim. vlint y 0 = x 0 1 nt x 0 + y 0 = 1 < 0. Seurv päättelysääntö esiintyy usein todistustehtävien yhteydessä. Kontrposition perite: (p = q) ( q = p).

10 4 Luku 1. Johdnto

11 5 Luku 2: Reliluvuist j -funktioist 2.1 Reliluvuist Relilukujen ominisuudet voidn plutt tiettyihin perusominisuuksiin, jotk voidn esittää ksiomein: A) Algebrlliset ominisuudet; kunt-ksiomt B) Järjestysominisuudet; järjestysksiomt C) Täydellisyysominisuus; täydellisyysksiom Koht A) pitää sisällään R:n yhteenlsku - j kertolskusäännöt: A1) x + y = y + x yht. lsk. vihdntlki A2) (x + y) + z = x + (y + z) yht. lsk. liitäntälki A3) 0 R s.e. x R x+0=x on olemss noll-lkio A4) x R y R s.e. x+y = 0 y on x:n vstluku A5) xy = yx kertolskun vihdntlki A6) (xy)z = x(yz) kertolskun liitäntälki A7) x(y + z) = xy + xz osittelulki A8) 1 R s.e. 1 0 j x R 1 x = x on olemss ykköslkio A9) x R \ {0} y R s.e. x y = 1 y = 1/x on x:n käänteisluku Koht B) liittää R:ään järjestysreltion <, jok toteutt seurvt ksiomt: B1) Jokisell x, y R täsmälleen yksi reltioist x = y, x < y j y < x on voimss B2) x < y j y < z x < z (trnsitiivisuus) B3) Jos x < y, niin kikille z R pätee x + z < y + z B4) Jos x > 0 j y > 0, niin xy > 0. Koht C) erott relilukujen joukon olennisesti rtionlilukujen joukost. C) Täydellisyysksiom: Jokisell ylhäältä rjoitetull epätyhjällä R:n osjoukoll on pienin ylärj. (Tähän pltn myöhemmin.) Kikki relilukuj koskevt lskusäännöt j ominisuudet voidn joht edellä olevist ksiomist. Esimerkki x = 0, x R. Todistus: x x + 0 x = (x + 0) x = x x = x x + 0 j vähentämällä molemmill puolill x x sdn väite: x = x = 0.

12 6 Luku 2. Reliluvuist j -funktioist Relilukujen joukko sdn täydentämällä rtionlilukujen joukko Q irrtionliluvuill (päättymättömät jksottomt desimliluvut). Jokist reliluku voidn pproksimoid mielivltisen trksti rtionliluvuill. Tämä mhdollist relilukujen konstruoinnin rtionliluvuist lähtien ljentmll joukko Q kikkien Q:n ns. perusjonojen eli Cuchy n jonojen rj-rvoill. Tällisi rtionlilukujonoj ovt päättymättömät jonot joill on seurv ominisuus: (x n ) = (x 1, x 2, x 3,...), ϵ > 0 (ϵ Q) n ϵ N s.e. x n x m < ϵ, kun n, m > n ϵ. Emme pneudu kyseiseen konstuktioon tämän yksityiskohtisemmin. Seurv esimerkki osoitt, että Q on R:n ito osjoukko. Esimerkki / Q. Todistus: Teemme vstoletuksen: m/n Q (m, n Z) s.e. (m/n) 2 = 2. Voimme olett, että m/n on supistetuss muodoss. Johdmme ristiriidn. Nyt yhtäpitävästi m 2 = 2n 2. Siten 2 on luvun m 2 tekijä j siis myös luvun m tekijä (muutoin m = 2p + 1, p Z, jolloin m 2 = 4p 2 + 4p + 1 = 2(2p 2 + 2p) + 1 olisi 2:ll joton). Tällöin 4 on luvun m 2 tekijä j yhtälön m 2 = 2n 2 nojll luku 2 on luvun n 2 j edellä olevn nojll siis myös luvun n tekijä. Näin ollen luku 2 on lukujen m j n yhteinen tekijä, mikä on ristiriidss oletuksen knss. Väite on todistettu. Itseisrvo: Relliluvun x itseisrvo x määritellään seurvsti: { x, kun x 0; x = x, kun x < 0. Määritelmästä seur helposti mm. seurvt ominisuudet: 1) x 0 2) x = x 3) xy = x y 4) x y = x (y 0) y 5) x 2 = x 2 x = x 2 6) x < y y < x < y (tässä y > 0) 7) x > y x < y ti x > y Esimerkki Rtkise epäyhtälö x 2 x < 2x. Rtkisu: Kohdn 7) nojll x > 0 j edelleen x 2 x < 2x 2x < x 2 x < 2x x 2 + x > 0 j x 2 3x < 0 (x > 0 x < 1) j 0 < x < 3 0 < x < 3.

13 2.1. Reliluvuist 7 Seurvt itseisrvo koskevt epäyhtälöt ovt tärkeitä. Luse (Kolmioepäyhtälöt) Kikill x, y R pätee Todistus. Hrj. teht. x y x + y x + y. Itseisrvoepäyhtälöiden käsittelyssä voi usein käyttää seurv: x < y x 2 < y 2, x, y R. Ljennettu relilukujoukko: Usein relilukujen joukko ljennetn ääretön-symboleill j, merk. R = R { } { }. Nämä symbolit esiintyvät etenkin rj-rvo trkstelujen yhteydessä j niihin liitetään seurvt lskusäännöt: 1) x + = x ( ) =, x R 2) x + ( ) = x =, x R 3) x/ = x/( ) = 0, x R 4) x > 0: x = j x ( ) = 5) x < 0: x = j x ( ) = 6) + = = ( ) ( ) = 7) ( ) + ( ) = ( ) = ( ) = 8) Järjestys: x R: < x < Huom. Määrittelemättä jäävät mm., / j 0. Esimerkki Kun x, niin f(x) = 1/(x + 2) 0, sillä x + 2 j 1/(x + 2) 1/ = 0. Supremum j infimum: Reliluku M on joukon A R ylärj, jos x A pätee x M. Tällöin snotn, että A on ylhäältä rjoitettu. Vstvsti määritellään joukon lrj j lhlt rjoitettu joukko. Olkoon A R:n osjoukko j merkitään B A = {x R : x on A:n ylärj}. Jos B A, on B A :ssä täydellisyysksiomn nojll pienin lkio, jok on A:n pienin ylärj eli supremum, merk. sup A. Jos joukoll A on suurin lkio mx A (ts. mx A A j x A pätee x mx A), niin se on myös A:n pienin ylärj: mx A = sup A. Esimerkki A = {x R : x < 1}. Tällöin sup A = 1 / A. Rtionlilukujen joukko ei toteut täydellisyysksiom. Esimerkiksi joukko A = {x Q : x 2 < 2} on epätyhjä j ylhäältä rjoitettu Q:ss (2 on eräs A:n ylärj), mutt A:ll ei ole pienintä ylärj Q:ss. Sen sijn R:ssä supremum löytyy: sup A = 2. Seurv luse on yhtäpitävä joukon A pienimmän ylärjn määritelmän knss. Luse Luku g on joukon A supremum jos j vin jos seurvt kksi ehto on täytetty:

14 8 Luku 2. Reliluvuist j -funktioist i) x A: x g; ii) ϵ > 0 x A s.e. x > g ϵ. Esimerkki A = {x R : x = 2n 3 n, n Z +}. Tällöin sup A = 2. Todistus. i) n Z + pätee 2n 3 n ii) Osoitetn, ettei pienempää A:n ylärj ole: = 2 3 n < 2. Siis 2 on A:n ylärj. ϵ > 0 n Z + Tämän todistmiseksi hvitn, että 2n 3 n s.e. 2n 3 n > 2 ϵ. > 2 ϵ 3 n > ϵ n > 3 ϵ. Joukon A suurin lrj eli infimum, merk. inf A, voidn määritellä joukon C A = {x R : x on A:n lrj} suurimpn lkion, kun C A. Sen olemssolo voidn joht täydellisyysksiomst soveltmll supremumin olemssolo joukkoon E = {x R : x A} j hvitsemll, että inf A = sup E. Jos joukoll A on pienin lkio min A, niin se on myös A:n suurin lrj: min A = inf A. Luseen vstine infimumille s seurvn muodon. Luse Luku g on joukon A infimum jos j vin jos seurvt kksi ehto on täytetty: i) x A: x g; ii) ϵ > 0 x A s.e. x < g + ϵ. Jos joukko A ei ole ylhäältä (lhlt) rjoitettu, voidn käyttää merkintää sup A = (vst. inf A = ). 2.2 Reltiot j funktiot Reltiot: Olkoot A j B epätyhjiä joukkoj. Jokinen tulojoukon A B osjoukko R on reltio joukost A joukkoon B. Jos A = B snotn, että R A A on reltio A:ss. Esimerkki R = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1} on R R:n osjoukkon reltio R:ssä. Reltiolle R A B voidn määritellä käänteisreltio R 1 seurvsti: R 1 = {(y, x) : (x, y) R}. Esimerkki R = {(x, y) : y = x 2, x R} on reltio R R 0 +:ss (R 0 + = R + {0}). Sen käänteisreltio R 1 = {(y, x) : y = x 2, x R} = {(y, x) : y R 0 + j x = ± y} on reltio R 0 + R:ssä. Tässä R vst neliöön korotust, R 1 neliöjuuren otto.

15 2.2. Reltiot j funktiot 9 Funktiot: Reltio f joukost A joukkoon B on funktio eli kuvus, jos se toteutt seurvt kksi ehto: i) x A y B s.e. (x, y) f; ii) x A, y, z B pätee: (x, y) f j (x, z) f = y = z. Siis jokist A:n lkiot x vst reltioss f yksikäsitteinen joukon B lkio. Snotn, että f on funktio/kuvus joukost A joukkoon B j merk. f : A B. Jos (x, y) f, merkitään y = f(x) j snotn, että x on (vp) muuttuj j y funktion f rvo pisteessä x. Usein funktio määritellään ntmll kuvussääntö f : x y. Nimityksiä: Olkoon f : A B. Tällöin: 1) A(= M f ) on f:n määrittelyjoukko eli lähtöjoukko; 2) f(a) = {y B : y = f(x), x A} on f:n kuvjoukko eli rvojoukko; 3) Reltiot {(x, y) : x A, y = f(x)} snotn f:n kuvjksi; 4) f on injektio, jos x, y A pätee: f(x) = f(y) = x = y; 5) f on surjektio, jos f(a) = B, ts. y B x A: y = f(x); 6) f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huomioit: ) Funktiot f j g ovt smoj eli identtiset jos niillä on sm määrittelyjoukko, ts. M f = M g j f(x) = g(x) x M f. b) Jokisell funktioll f : A B on olemss käänteisreltio f 1 B A. Se määrittelee kuvuksen B A, jos j vin jos f on bijektio. Tällöin snotn, että f 1 : B A on f:n käänteiskuvus. Siten käänteiskuvus f 1 on olemss, jos j vin jos yhtälöllä y = f(x) on yksikäsitteinen rtkisu x A jokisell y B. Esimerkki f : R R 0 +, y = x 2. Tällöin f:llä ei ole käänteikuvust R 0 + R. Kuvus f : A A, f(x) = x, x A, on A:n identtinen kuvus, jot merk. usein f = Id A. Yhdistetty kuvus: Olkoot f : A B j g : B C kuvuksi. Niiden yhdistetty kuvus g f määritellään kvll g f : A C, (g f)(x) = g(f(x)), x A. Snotn, että f on sisäfunktio j g ulkofunktio.

16 10 Luku 2. Reliluvuist j -funktioist A B C f g x f(x) (g f)(x) Kuv 2.1: f:n j g:n yhdistetty kuvus. Esimerkki (x 1) 2, 2 x + 1, sin 2 (x 3 ) j log(x 2 + 1). Seurvt tulokset ovt tyypillisiä: i) Jos f : A B j g : B C ovt bijektioit, niin myös g f : A C on bijektio. Niiden käänteiskuvuksille pätee: (g f) 1 = f 1 g 1. ii) Jos f : A B on bijektio, niin f f 1 = Id B j f 1 f = Id A. iii) Jos kuvuksille f : A B j g : B A pätee g f = Id A j f g = Id B, niin f j g ovt bijektioit j f 1 = g, g 1 = f. 2.3 Yhden muuttujn relifunktiot Olkoon f : A B funktio. Jos A j B ovt R:n osjoukkoj snotn, että f on yhden relisen muuttujn relirvoinen funktio, lyhyesti relifunktio. Esimerkki f : R R +, f(x) = e x j g : R + R, g(x) = ln(x). (g = f 1 ) Usein relifunktiot määritellään muuttujien x j y välisillä yhtälöillä. Erotetn kolme eri tpust. A) Eksplisiittinen esitys: y = f(x). Tässä x:n j y:n väliset yhtälöt on nnettu ti rtkistu y:n suhteen. B) Implisiittinen esitys: F (x, y) = 0. Muuttujien x j y väliset yhtälöt ovt rtkisemttomss muodoss. Prit (x, y), jotk toteuttvt yhtälön F (x, y) = 0 muodostvt in reltion. Erikseen on vrmistettv esim. lähtö- ti kuvjoukko sopivsti rjoittmll, että ehto F (x, y) = 0 todell määrittelee funktion. C) Prmetriesitys: x = u(t) j y = v(t). Tässä x j y riippuvt relisest prmetrist t. Jälleen on erikseen vrmistettv, että prit (x, y) = (u(t), v(t)) määrittelevät funktion. Jos prmetrin t eliminointi onnistuu, sdn funktiolle ekplisiittinen ti implisiittinen esitys. Esimerkki Yhtälö 2x+3y = 6 määrittelee funktion f : R R. Vstvt esitykset ovt: ) y = 2 3x + 2 (eksplisiittinen esitys);

17 2.4. Relifunktion rj-rvo 11 b) 2x + 3y 6 = 0 (implisiittinen esitys); c) x = 3t 1 j y = 2t (t R) (eräs prmetriesitys). 2.4 Relifunktion rj-rvo Rj-rvon määrittelemiseksi otetn käyttöön pisteen ϵ-ympäristö, jok määritellään pisteessä x 0 R joukkon U ϵ (x 0 ) = {x R : x x 0 < ϵ}. Tässä ϵ > 0 on yleensä pieni positiivinen luku. Pisteen x 0 ito ϵ-ympäristö sdn poistmll piste x 0 sen ϵ-ympäristöstä: U ϵ(x 0 ) = {x R : 0 < x x 0 < ϵ} = U ϵ (x 0 ) \ {x 0 }. Olkoon funktio f määritelty josskin pisteen x 0 idoss ympäristössä U (x 0 ). Funktioll f on rj-rvo pisteessä x 0, jos jokist ϵ > 0 kohti on olemss δ = (δ ϵ ) > 0 siten, että 0 < x x 0 < δ = f(x) < ϵ. Määritelmän voi kirjoitt yhtäpitävästi muotoon ϵ > 0 δ > 0 s.e. f(u δ (x 0)) U ϵ (). y + ɛ y = f(x) U ɛ () f(x 0 ) = f(u δ (x 0 )) ɛ x 0 δ x 0 x0 + δ x U δ (x 0 ) Kuv 2.2: Rj-rvo; luvun δ = (δ ϵ ) > 0 vlint. Kun f:llä on x 0 :ss rj-rvo merkitään lim f(x) =. x x 0 Rj-rvoehdon todistmiseksi pyritään epäyhtälöstä f(x) < ϵ johtmn ehto δ = δ ϵ :lle.

18 12 Luku 2. Reliluvuist j -funktioist Esimerkki ) Jos f(x) = c (vkio) x R, niin lim x x0 f(x) = c, x 0 R. Nimittäin ϵ > 0: f(u δ (x 0)) = {c} U ϵ (c), olip δ > 0 vlittu miten thns. b) f(x) = x + b, x R j 0. Todistetn, että lim x x0 f(x) = x 0 + b. Nyt f(x) (x 0 + b) = x x 0 = x x 0, joten vlitsemll δ = ϵ/ (> 0) sdn ϵ > 0: 0 < x x 0 < δ = f(x) (x 0 + b) < ϵ = ϵ; c) Funktio f(x) = x 2 sin(1/x) ei ole määritelty pisteessä x = 0. Kuitenkin lim x 0 f(x) = 0. Olkoon ϵ > 0 mielivltinen. Tällöin f(x) 0 = x 2 sin(1/x) = x 2 sin(1/x) x 2 1 < ϵ, kun x < ϵ. Siis voidn vlit δ = ϵ. Jos funktioll f on rj-rvo pisteessä x 0, niin se on yksikäsitteisesti määrätty. Luse Jos lim x x0 f(x) = j lim x x0 f(x) = b, niin = b. Todistus. Olkoon ϵ > 0 mielivltinen. Oletuksen nojll δ > 0 s.e. f(x) < ϵ j f(x) b < ϵ, kun 0 < x x 0 < δ. Tällöin kolmioepäyhtälön (Luse 2.1.4) nojll b = (f(x) ) (f(x) b) f(x) + f(x) b < ϵ + ϵ = 2ϵ. Kosk ϵ > 0 oli mielivltinen, on oltv b = 0 eli b =. Funktioille voidn määritellä myös toispuoleiset rj-rvot. Funktioll f on oikenpuoleinen rj-rvo pisteessä x 0, merk. lim x x0 + f(x) =, jos ϵ > 0 δ > 0 s.e. 0 < x x 0 < δ = f(x) < ϵ. Vstvsti määritellään vsemmnpuoleinen rj-rvo: lim x x0 f(x) =, jos ϵ > 0 δ > 0 s.e. 0 < x 0 x < δ = f(x) < ϵ. Määritelmistä seur välittömästi: lim x x0 f(x) = lim x x0 + f(x) = = lim x x0 f(x). Rj-rvoj määritettäessä seurvt lskusäännöt ovt hyödyllisiä. Luse Olkoot funktioill f j g rj-rvot pisteessä x 0. Tällöin: i) lim x x0 (cf(x) + b) = c lim x x0 f(x) + b (tässä c, b R); ii) lim x x0 (f(x) + g(x)) = lim x x0 f(x) + lim x x0 g(x);

19 2.5. Jtkuvuus 13 iii) lim x x0 f(x)g(x) = (lim x x0 f(x)) (lim x x0 g(x)); iv) lim x x0 f(x) g(x) = lim x x 0 f(x) lim x x0 g(x), kun lim x x 0 g(x) 0. Todistus. Todistukset voidn perust suorn määritelmään. Rj-rvon määritelmä voidn ljent myös tpuksiin x 0 = ± j = ±. Esimerkiksi: lim f(x) =, jos ϵ > 0 M > 0 x s.e. x > M = f(x) < ϵ; lim f(x) =, jos M > 0 δ > 0 x x 0 s.e. 0 < x x 0 < δ = f(x) > M. Vstvsti voidn määritellä toispuoleiset rj-rvot: lim f(x) =, jos M > 0 δ > 0 s.e. 0 < x x 0 < δ = f(x) > M; x x 0 + lim f(x) =, jos M > 0 δ > 0 s.e. 0 < x 0 x < δ = f(x) < M; x x 0 jne., kuten myös rj-rvot lim x ± f(x) = ±. Esimerkki lim (x + x 1)3 =, 1 lim x 0+ x =, { lim 1 x 0 x =, f(x) = 1 0, kun x 0+; 3 1 x + 1 1, kun x 0. Huom! Luseen tulokset (lskusäännöt) ovt voimss myös toispuoleisille j epäolennisille rj-rvoille. Tällöin rj-rvolskuiss on huomioitv symboleit j koskevt rjoitukset niillä lskettess. 2.5 Jtkuvuus Olkoon funktio f määritelty pisteen x 0 eräässä ympäristössä U(x 0 ). Tällöin f on jtkuv pisteessä x 0, jos lim x x 0 f(x) = f(x 0 ). Jos f ei ole jtkuv pisteessä x 0 snotn, että f on epäjtkuv pisteessä x 0. Tällöin f:llä ei ole rj-rvo pisteesä x 0 ti ko. rj-rvo on olemss, mutt erisuuri kuin f(x 0 ). Rj-rvo koskevst Luseest seur välittömästi Luse Jos f j g ovt jtkuvi pisteessä x 0, niin myös funktiot c f + b (c, b R), f + g, f g j f/g (kun g(x 0 ) 0) ovt jtkuvi pisteessä x 0. Voidn määritellä myös funktion toispuoleinen jtkuvuus. Funktio f on oikelt jtkuv pisteessä x 0, jos lim x x 0 + f(x) = f(x 0) j vsemmlt jtkuv pisteessä x 0, jos lim f(x) = f(x 0). x x 0

20 14 Luku 2. Reliluvuist j -funktioist Vstvst rj-rvo koskevst tuloksest seur: f on jtkuv x 0 :ssä f on sekä oikelt että vsemmlt jtkuv x 0 :ssä. Jtkuvuuden j rj-rvon määritelmät yhdistämällä sdn f:n jtkuvuudelle pisteessä x 0 seurv krkteristio: ϵ > 0 δ > 0 s.e. x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < ϵ eli ϵ > 0 δ > 0 s.e. f(u δ (x 0 )) U ϵ (f(x 0 )). Esimerkki ) Itseisrvofunktio f(x) = x on jtkuv x R. b) Funktio f(x) = (2x+ x )/(x 3) on jtkuv pisteissä x R \{3} eli määrittelyjoukossn. Funktiot f snotn jtkuvksi voimell välillä ], b[, jos f on jtkuv välin ], b[ jokisess pisteessä. Vstvsti f on jtkuv suljetull välillä [, b], jos se on jtkuv välillä ], b[ j lisäksi toispuoleisesti jtkuv välin [, b] päätepisteissä. Esimerkki Polynomit P (x), sin x, cos x j e x ovt jtkuvi R:ssä, ln x on jtkuv R + :ss. Rtionlifunktiot P (x)/q(x) ovt jtkuvi väleillä/pisteissä, joiss Q(x) 0. Smoin tn x on jtkuv väleillä/pisteissä, joiss x π/2+nπ, n Z, j cot x on jtkuv väleillä/pisteissä, joiss x nπ, n Z. Luse Jos f on jtkuv pisteessä x 0 j g on jtkuv pisteessä y 0 = f(x 0 ), niin yhdistetty funktio g f on jtkuv pisteessä x 0 : lim x x 0 (g f)(x) = lim x x 0 g(f(x)) = g( lim x x 0 f(x)) = g(f(x 0 )) = (g f)(x 0 ). Todistus. Olkoon ϵ > 0. Funktion g jtkuvuuden nojll δ > 0 s.e. (2.1) y y 0 < δ = g(y) g(y 0 ) < ϵ. Toislt f:n jtkuvuuden nojll luku δ > 0 kohti on olemss δ > 0 s.e. (2.2) x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < δ. Tässä f(x 0 ) = y 0, joten voimme sovelt impliktiot (2.1) rvoll y = f(x). Siten yhdistämällä (2.2) j (2.1) sdn väite: ϵ > 0 δ > 0 s.e. x x 0 < δ (2.2) {}}{ = f(x) f(x 0 ) } {{ } =y 0 < δ (2.1) {}}{ = g(f(x)) g(y 0 ) < ϵ. } {{ } =g(f(x 0 )) Seurv jtkuvi funktioit koskev tulos on tärkeä. Luse (Bolznon luse) Jos f on jtkuv suljetull välillä [, b] j s välin päätepisteissä erimerkkiset rvot (ts. f() f(b) < 0), niin on olemss inkin yksi piste ξ, < ξ < b, siten että f(ξ) = 0.

21 2.6. Funktion derivtt 15 Todistus. Geometrisesti ilmeinen; yksityiskohdt käsitellään luennoill (todistus perustuu täydellisyysksiomn). Bolznon luseest voidn helposti joht seurv jtkuvn funktion rvoj koskev tulos. Luse Jos f on jtkuv suljetull välillä [, b] j luku c on rvojen f() j f(b) välissä, niin on olemss inkin yksi piste ξ, < ξ < b, s.e. f(ξ) = c. Todistus. Sovelletn Bolznon lusett funktioon g(x) = f(x) c. Yksityiskohdt jätetään hrj. tehtäväksi. Luse Suljetull välillä [, b] jtkuv funktio f on sekä ylhäältä että lhlt rjoitettu. Lisäksi f svutt suurimmn j pienimmän rvons välillä [, b], ts. x 1, x 2 [, b] siten, että f(x 1 ) f(x) f(x 2 ), x [, b]. Todistus. Tämäkin tulos voidn todist supremum-trksteluill, ts. relilukujen täydellisyysksiomst käsin (yksityiskohdt käsitellään luennoill). Esimerkki Funktioll f(x) = 1/(sin 2 x + 2) on suurin rvo välillä [ 1, 1]. Nimittäin sin x j siten myös sin 2 x + 2 j edelleen f(x) on jtkuv välillä [ 1, 1], kosk nimittäjällä ei ole nollkohti. Luse = väite. Itse siss: sin 2 x eli f(x) 1/2 j f(0) = 1/ Funktion derivtt Derivtn määritelmä perustuu rj-rvon käsitteeseen. Olkoon funktio f määritelty pisteen x 0 R eräässä ympäristössä. Tällöin f on derivoituv pisteessä x 0, jos erotusosmäärällä f(x 0 + h) f(x 0 ), h 0 h on äärellinen rj-rvo, kun h 0. Tätä rjrvo snotn f:n derivtksi pisteessä x 0 j merk. f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. h 0 h y f(x) f(x 0 ) x 0 x y = f(x) Oheinen kuv hvinnollist derivtn määritelmää. h = x x 0 Kuvioss suorn S kulmkerroin on f(x) f(x 0) x x 0. Kun x x 0 suorn kulmkerroin lähestyy pisteeseen (x 0, f(x 0 )) piirretyn tngentin kulmkerroint, mikä nt derivtlle geometrisen tulkinnn: f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0. S x Esimerkki f(x) = x 2. Tällöin h 0: f(x 0 + h) f(x 0 ) h joten f (x 0 ) = lim h 0 (2x 0 + h) = 2x 0. = (x 0 + h) 2 x 2 0 h = x hx 0 + h 2 x 2 0 h = 2x 0 + h,

22 16 Luku 2. Reliluvuist j -funktioist Funktion y = f(x) derivtlle käytetään myös merkintöjä df(x) dx, dy(x) dx, Df(x), y (x). Jos funktio f on derivoituv esim. välin ], b[ jokisess pisteessä, derivtt määrittelee uuden funktion f :], b[ R, x f (x). Tätä derivttfunktiot f merk. usein myös df dx, dy dx, Df, y. Derivtn määritelmästä nähdään, että jos f on derivoituv pisteessä x 0, niin kikill h 0: lim f(x 0 + h) f(x 0 ) = lim h lim f(x 0 + h) f(x) h 0 h 0 h 0 h = 0 f (x 0 ) = 0. Siten, jos f on derivoituv pisteessä x 0, niin se on myös jtkuv pisteessä x 0. Käänteinen väite ei päde, ts. funktion jtkuvuus ei tk sen derivoituvuutt. Esimerkki Itseisrvofunktio f(x) = x on jtkuv x R. Kun x 0 = 0, sdn f(x 0 + h) f(x 0 ) h = h { 1, kun h < 0; h = 1, kun h > 0. Siten erotusosmäärällä ei ole rj-rvo pisteessä x 0 = 0. Esimerkin tpuksess funktioll f(x) = x on erisuuret toispuoleiset derivtt pisteessä x 0 = 0. Yleisesti funktion f oikenpuoleinen derivtt pisteessä x 0 määritellään erotusosmäärän oikenpuoleisen rj-rvon: f (x 0 +) = lim h 0+ f(x 0 + h) f(x 0 ). h Vstvsti f:n vsemmnpuoleinen derivtt pisteessä x 0 on rj-rvo f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ). h Siten f on derivoituv pisteessä x 0, jos j vin jos sillä on olemss toispuoleiset derivtt pisteessä x 0 j ne ovt keskenään yhtäsuuret. Kuten jtkuvuuden yhteydessä voidn määritellä funktion derivoituvuus voimell j suljetull välillä. Derivoimissääntöjä: Seurvt derivoimissäännöt voidn joht suorn määritelmästä. Luse Olkoot f j g derivoituvi pisteessä x. Tällöin: i) (c f(x)) = c f (x), c R vkio; ii) (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x); iii) (f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x); iv) ( f(x) g(x) ) = f (x)g(x) f(x)g (x) (g(x)) 2, g(x) 0. Luseen kohdt i) j ii) merkitsevät, että derivointi on linerinen opertio; ts. D(f + bg) = Df + b Dg. Yhdistetyn funktion derivoituvuutt koskee seurv tulos.

23 2.6. Funktion derivtt 17 Luse Jos f on derivoituv pisteessä x 0 j g on derivoituv pisteessä y 0, missä y 0 = f(x 0 ), niin yhdistetty funktio g f on derivoituv pisteessä x 0 j D((g f)(x 0 )) = g (f(x 0 )) f (x 0 ) (Ketjusääntö). Todistus. Merk. u(y, y 0 ) = (g(y) g(y 0 ))/(y y 0 ) g (y 0 ), jolloin u(y, y 0 ) 0 kun y y 0. Kun y = f(x), sdn (g f)(x) (g f)(x 0 ) g(y) g(y 0 ) lim = lim x 0 x x 0 x 0 x x 0 = lim(g f(x) f(x 0 ) (y 0 ) + u(y, y 0 ) ) lim = g (y x 0 } {{ } 0 ) f (x 0 ), x 0 x x 0 0, kun y y 0 sillä, kun x x 0, niin myös y = f(x) f(x 0 ) = y 0, kosk f derivoituvn on myös jtkuv pisteessä x 0. Seurv tulos liittyy käänteisfunktion derivoituvuuteen. Olkoon f määritelty pisteen x 0 eräässä ympäristössä j oletetn, että f:llä on käänteisfunktio f 1, jok on määritelty eräässä pisteen y 0 = f(x 0 ) ympäristössä. Luse Olkoot f j f 1 kuten yllä j oletetn, että f 1 on jtkuv pisteessä y 0 = f(x 0 ) j että f:llä on pisteessä x 0 derivtt f (x 0 ) 0. Tällöin f 1 on derivoituv pisteessä y 0 j Todistus. Merk. y = f(x) j y 0 = f(x 0 ). Tällöin D(f 1 (y 0 )) = 1 f (x 0 ) = 1 f (f 1 (y 0 )). f 1 (y) f 1 (y 0 ) x x 0 lim = lim y y 0 y y 0 y y 0 f(x) f(x 0 ) = lim 1 x x 0 f(x) f(x 0 ) = 1 f (x 0 ), x x 0 sillä f 1 :n jtkuvuuden nojll pisteessä y 0 pätee y y 0 = x = f 1 (y) f 1 (y 0 ) = x 0. Huom. 1. Jos f 1 :n derivoituvuus pisteessä y 0 tiedetään jo etukäteen, sdn käänteisfunktion derivoimissääntö suorn Luseen vull: Määritelmän mukn joten derivointi puolittin nt eli (f 1 f)(x) = x, (f 1 ) (f(x 0 )) f (x 0 ) = 1 (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ), f (x 0 ) 0. Huom. 2. Käänteisfunktion f 1 jtkuvuutt pisteessä y 0 = f(x 0 ) ei priori trvitse olett; se seur myös suorn oletuksest f (x 0 ) 0.

24 18 Luku 2. Reliluvuist j -funktioist 2.7 Tvllisimpien funktioiden derivttoj Trigonometristen funktioiden derivtt: Eksponenttifunktio: e x : R R +. D sin x = cos x, D tn x = 1 cos 2 x = 1 + tn2 x, D cos x = sin x, D cot x = 1 sin 2 x = 1 cot2 x. e x+h e x lim h 0 h = e x e h 1 lim = h 0 h }{{} e x 1 = e x. vtii toki perustelun! Siis De x = e x. Tässä kntluku e on ns. Neperin luku, jok voidn määritellä rj-rvon ( e = lim n, n Z +. n n) Itse siss e = ( lim x x R \ {0}. x ± x) Kun kntlukun on > 0, sdn x = e x ln, joten missä käytettiin ketjusääntöä (Luse 2.6.4). D x = e x ln ln = x ln, Logritmifunktio: ln x : R + R. ln x on e x :n käänteisfunktio. Luse = D ln x = Logritmifunkio kntlukun > 0 ( 1): log x = log e ln x, 1 (De y = 1 ) y=ln x e ln x = 1 x. Yhdistetyn funktion derivointisääntö nt edelleen: Yleinen potenssifunktio: x, R. Esimerkki D(log x) = log e x. D(ln x ) = 1 x j D(log x ) = log e x, x 0. x = e ln x, Dx = e ln x ( 1 x ) = x x = x 1. ) f(x) = x x, x > 0. Kirjoitetn x x = e x ln x. Tällöin Df(x) = D(e x ln x ) = e x ln x D(x ln x) = x x (1 ln x + x 1 x ) = xx (ln x + 1).

25 2.8. Derivtn ominisuuksi 19 b) D(ln(ln(x 2 + 1))) = 1 ln(x 2 +1) 1 x x. Arkusfunktiot: Trigonometriset funktiot eivät ole jksollisin kääntyviä koko R:ssä. Sopivill R:n osväleillä käänteisfunktiot sdn kuitenkin määriteltyä j niitä kutsutn rkusfunktioiksi. 1) rcsinx (l. rcsin x:n päähr) y = rcsinx x = sin y j y [ π/2, π/2] ts. kyseessä on sin y:n käänteisfunktio välillä y [ π/2, π/2]. Derivtt sdn käänteisfunktion derivointisäännöllä: y (x) = Siis D(rcsinx) = 1 1 x 2 ; 2) rccosx (l. rccos x:n päähr) 1 d dy sin y = 1 cos y = 1 1 sin 2 y = 1. 1 x 2 y = rccosx x = cos y j y [0, π]. Derivtt sdn käänteisfunktion derivointisäännöllä: Vstvsti sdn: D(rccosx) = 3) rctnx (l. rctn x:n päähr) 1 sin y = cos 2 y = 1. 1 x 2 y = rctnx x = tn y j y ] π/2, π/2[, D(rctnx) = x 2 ; 4) rccotx (l. rccot x:n päähr) y = rccotx x = cot y j y ]0, π[, D(rccotx) = x Derivtn ominisuuksi Derivtt kertoo funktion loklist käyttäytymisestä. Luse Olkoon f derivoituv pisteessä x 0. Tällöin: i) Jos f (x 0 ) > 0, niin on olemss ϵ > 0 siten, että { f(x) < f(x0 ), kun x 0 ϵ < x < x 0 ; f(x) > f(x 0 ), kun x 0 < x < x 0 + ϵ;

26 20 Luku 2. Reliluvuist j -funktioist ii) Jos f (x 0 ) < 0, niin on olemss ϵ > 0 siten, että { f(x) > f(x0 ), kun x 0 ϵ < x < x 0 ; f(x) < f(x 0 ), kun x 0 < x < x 0 + ϵ; iii) Jos f:llä on lokli minimi ti mksimi pisteessä x 0, niin f (x 0 ) = 0. Todistus. i) Kosk f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 j f (x 0 ) > 0 on olemss ϵ > 0 siten, että f(x) f(x 0 ) x x 0 > 0, kun 0 < x x 0 < ϵ. Tämä nt kohdn i). Vstvsti todistetn koht ii). Koht iii) seur kontrpositioll kohdist i) j ii). Luse (Rollen luse) Oletetn, että funktio f on i) jtkuv suljetull välillä [, b]; ii) derivoituv voimell välillä ], b[; iii) f() = f(b). Tällöin on olemss inkin yksi piste ξ ], b[ siten, että f (ξ) = 0. Todistus. Jos f on vkio välillä [, b], on f (x) = 0, x [, b], j väite on selvästi voimss. Muuss tpuksess f s välillä ], b[ rvoj, jotk ovt esim. suurempi (pienempiä) kuin f() = f(b). Tällöin Luseen nojll f jtkuvn funktion s mksimin (minimin) pisteessä ξ [, b] j nyt välttämättä ξ, b; ts. < ξ < b. Nyt Luse 2.8.1, koht iii):n mukn f (ξ) = 0. Luse (Välirvoluse) Oletetn, että f on i) jtkuv suljetull välillä [, b]; ii) derivoituv voimell välillä ], b[. Tällöin on olemss inkin yksi piste ξ ], b[ s.e. f (ξ) = f(b) f(). b Todistus. Sovelletn Rollen Lusett funktioon h(x) = f(x) f() f(b) f() (x ). b Tällöin h (ξ) = 0 jollekin ξ ], b[ j väite seur derivoimll h(x):n luseke. (Yksityiskohdt: Hrj. teht.)

27 2.8. Derivtn ominisuuksi 21 Välirvoluse on tärkeä väline mtemttisess nlyysissä. Sillä on useit tärkeitä sovelluksi j seuruksi. Luse (Integrlilskennn perusluse). Oletetn, että i) f on jtkuv suljetull välillä [, b]; ii) f on derivoituv voimell välillä ], b[; iii) f (x) = 0 kikill x ], b[. Tällöin f on vkio koko välillä [, b]. Todistus. Olkoon x ], b[ mielivltinen. Soveltmll välirvolusett välillä [, x] sdn f(x) f() = f (ξ)(x ), ξ ], x[. Oletuksen iii) mukn f (ξ) = 0, joten f(x) = f(). Rj-rvolskuiss seurv tulos on hyödyllinen. Luse (l Hospitlin sääntö) Olkoot f j g jtkuvsti derivoituvi pisteen josskin ympäristössä U δ () =] δ, + δ[. Jos f() = g() = 0, niin f(x) lim x g(x) = lim f (x) x g (x) ( R). Todistus. Kosk f() = g() = 0, sdn f(x) lim x g(x) = lim x f(x) f() x g(x) g() x = f () g (). Huom.! Derivtn jtkuvuudest voidn luopu soveltmll välirvolusett. Esimerkki b) lim x 0 sin x x c) lim x 0 x 2 1 cos x ) lim x 0 e x 1 x l H. {}}{ = lim x 0 cos x 1 = cos(0) = 1; l H. {}}{ = lim x 0 2x sin x = 2 lim x 0 l H. {}}{ = lim x 0 D(e x 1) Dx = lim x 0 e x 1 = 1; 1 sin x x Välirvoluse voidn yleistää seurvn muotoon. b) {}}{ = 2 1 = 2. Luse (Yleistetty välirvoluse) Oletetn, että f j g ovt i) jtkuvi suljetull välillä [, b]; ii) derivoituvi voimell välillä ], b[;

28 22 Luku 2. Reliluvuist j -funktioist iii) g (x) 0 kikill x ], b[. Tällöin on olemss inkin yksi piste ξ ], b[ s.e. Todistus. Hrj. teht. f(b) f() g(b) g() = f (ξ) g (ξ). Yleistetyn välirvoluseen vull sdn l Hospitlin säännölle seurv yleisempi versio. Luse (l Hospitlin sääntö) Olkoot f j g jtkuvi välillä [, b] j derivoituvi välillä ], b[, j olkoot f() = g() = 0 sekä g (x) 0 kikill x ], b[. Tällöin f (x) f(x) lim x + g = c ( R) = lim (x) x + g(x) = c. Todistus. Olkoon x ], b[ mielivltinen. Sovelletn Lusett välillä [, x]: f(x) g(x) = f(x) f() g(x) g() = f (ξ) g (ξ), ξ ], x[. Kun x +, niin myös ξ +, mistä väite seur. Tässä g(x) g() = 0, kosk g (x) 0 x ], b[. Luse Olkoon funktio f(x) jtkuv pisteessä x 0 j lisäksi derivoituv pisteen x 0 josskin idoss ympäristössä 0 < x x 0 < δ (δ > 0). Jos derivtn oikenpuoleinen rj-rvo lim x x0 + f (x) on olemss, niin f(x):llä on oikenpuoleinen derivtt pisteessä x 0 j f (x 0 +) = lim f (x). x x 0 + Todistus. Sovelletn välirvolusett; yksityiskohdt esitetään luennoill. Huom. Vstv tulos pätee myös vsemmnpuoleiselle rj-rvolle/derivtlle j siten erityisesti: jos f(x) on jtkuv pisteessä x 0, niin lim x x 0 f (x) f (x 0 ) j f (x 0 ) = lim x x 0 f (x). Tällöin f on jtkuvsti derivoituv pisteessä x 0. Huom, että f:n jtkuvuutt koskevst oletuksest Luseess ei void luopu. 2.9 Funktion äärirvot Funktioll f on lokli mksimi (vst. minimi) pisteessä x 0, jos f(x 0 ) on f:n suurin (vst. pienin) rvo josskin x 0 :n ympäristössä U δ (x 0 ) =]x 0 δ, x 0 + δ[. Luseen 2.8.1, kohdn iii) mukn, jos f on derivoituv pisteessä x 0, niin välttämätön ehto f:n loklille äärirvolle on, että f (x 0 ) = 0. Käänteinen väite ei ole voimss. Esimerkki f(x) = x 3, f (x) = 3x 2, joten f (0) = 0, mutt 0 ei ole f:n äärirvokoht.

29 2.9. Funktion äärirvot 23 Luse Olkoon f derivoituv (rjoitetull ti rjoittmttomll) välillä I (I R). Jos f (x) 0 (vstvsti f (x) > 0) kikiss I:n sisäpisteissä, niin f on ksvv (vstvsti idosti ksvv) välillä I. Todistus. Olkoot x, y I j x < y. Välirvoluseen nojll f(y) f(x) = f (ξ)(y x), x < ξ < y. Siten f (ξ) 0 = f(y) f(x) j vstvsti f (ξ) > 0 = f(y) > f(x). Vstvsti: f (x) 0 x I = f vähenevä välillä I; f (x) < 0 x I = f idosti vähenevä välillä I. Luseest sdn f:lle seurv äärirvotesti. Luse Jos f on jtkuv pisteessä x 0 j derivoituv pisteen x 0 josskin idoss ympäristössä U δ (x 0 ) j f (x) viht merkkiään pisteessä x 0, niin f:llä on lokli äärirvo pisteessä x 0 : + = lokli mx, + = lokli min. Todistus. Luse sovellettun väleillä ]x 0 δ, x 0 ] j [x 0, x 0 + δ[. Käänteinen tulos ei tskn ole voimss. Itse siss f:n j f :n käyttäytyminen loklin äärirvokohdn x 0 ympäristössä stt oll vrsin epäsäännöllistä. Myös funktion f toist derivtt f, jok liittyy käyrän kuperuuteen, voidn käyttää pun loklien äärirvojen määrityksessä. Käyrä y = f(x) on välillä I kuper lspäin (vst. kuper ylöspäin), jos käyrä ei missään välin I pisteessä ole minkään tngenttins lpuolell (yläpuolell). Luse Jos f:n derivtt f on välillä I idosti ksvv (vst. vähenevä), niin käyrä y = f(x) on kuper lspäin (vst. kuper ylöspäin). Todistus. Pisteessä x 1 I olevn tngentin yhtälö on y = t(x) = f(x 1 ) + f (x 1 )(x x 1 ). Olkoon x 2 I (x 2 x 1 ). Välirvoluseen nojll f(x 2 ) f(x 1 ) = f (ξ)(x 2 x 1 ), missä ξ on pisteiden x 1 j x 2 välissä. Nyt f idosti ksvv = f(x 2 ) f(x 1 ) = f (ξ) (x 2 x 1 ) > f (x 1 ) (x 2 x 1 ), eli f(x 2 ) > f(x 1 ) + f (x 1 ) (x 2 x 1 ) = t(x 2 ). Siis y = f(x) on kuper lspäin. Vstvsti todistetn väitteen toinen os.

30 24 Luku 2. Reliluvuist j -funktioist y y = f(x) d y = t(x) x 1 x 2 x Oheinen kuv hvinnollist Luseen tulost j sen todistust. Yhdistämällä Luseet j sdn Seurus Jos f (x) > 0 (vst. f (x) < 0) x I, niin käyrä y = f(x) on kuper lspäin (vst. ylöspäin). Toisen derivtn vull sdn seurv äärirvotesti. Luse Olkoon f derivoituv pisteen x 0 josskin ympäristössä j khdesti derivoituv pisteessä x 0. Tällöin: i) Jos f (x 0 ) = 0 j f (x 0 ) < 0, niin f:llä on lokli mksimi x 0 :ss; ii) Jos f (x 0 ) = 0 j f (x 0 ) > 0, niin f:llä on lokli minimi x 0 :ss. Todistus. Luse = f (x) viht merkkiään pisteessä x 0, joten väite seur Luseest Huom. Pistettä x 0, joss f (x 0 ) = 0 j joss f (x) viht merkiään snotn f:n käännepisteeksi. Yhteenveton voidn todet, että suljetull välillä jtkuvll funktioll f on suurin j pienin rvo (Luse 2.5.7). Se svutetn joko f:n lokliss äärirvokohdss ti välin päätepisteessä. Loklej äärirvokohti välillä I voivt oll:

31 2.10. Implisiitti- j prmetrimuotoisen funktion derivointi 25 (1) pisteet, joiss f (x 0 ) = 0; (2) pisteet x 0, joiss f ei ole derivoituv; (3) pisteet x 0, joiss f on epäjtkuv Implisiitti- j prmetrimuotoisen funktion derivointi Implisiittifunktion derivointi: Jos yhtälö F (x, y) = 0 määrittelee jonkin funktion y = f(x), voidn f:n derivtt f (x) usein sd derivoimll suorn lusekett F (x, f(x)). Esimerkki nt ) F (x, y) = y 2 x = 0. Merkitään y = y(x), jolloin derivointi puolittin 2y(x) y (x) 1 = 0 y (x) = 1 2y. Tässä y 2 = x, joten y = ± x j sijoitus nt y (x) = 1 ±2 x. b) F (x, y) = y e xy = 0. Määrätään käyrän y = e xy pisteeseen (0, 1) piirretyn tngentin yhtälö. Nyt y (x) = e xy(x) (1 y(x) + xy (x)) = e xy(x) (y(x) + xy (x)). Siten y(0) = 1 = y (0) = e 0 (1 + 0 y (0)) = 1. Tngentin yhtälö on: y 1 = 1 (x 0) y = x + 1. Kuten esimerkit osoittvt derivtn lusekkeeseen jää F (x, y):n derivoinnin jälkeen y, jonk rvo on erikseen selvitettävä. Prmetrimuotoisen funktion derivointi: Olkoot x = x(t) j y = y(t). Jos funktioll x(t) on käänteisfunktio ϕ = x 1, ϕ(x) = t jollkin sopivll prmetrin t sisältävällä välillä, niin pri (x(t), y(t)) määrittelee funktion y = f(x): y(t) = y(ϕ(x)) = (y ϕ) (x). } {{ } =f Johdetn luseke y:n derivtlle y = f (x). Yhdistetyn funktion j käänteisfunktion derivointisääntöjen mukn y (x) = f (x) = y (ϕ(x)) ϕ (x) = y 1 (t) x (t). Siis y (x) = f (x) = y (t) x (t). Yhtäpitävästi: dy dy dx = dt. (Mikä osoitt, että differentileill voidn lske kuten luvuill.) Tulos osoitt, että funktion y = f(x) derivtt voidn lske selvittämättä itse funktion f(x) lusekett! dx dt

32 26 Luku 2. Reliluvuist j -funktioist Esimerkki Olkoot x(t) = t 3 t j y(t) = 2 t 2. Määritetään käyrän (x(t), y(t)) pisteeseen (x(2), y(2)) piirretyn tngentin yhtälö. Nyt joten { x (t) = 3t 2 1; y (t) = 2t, dy dx = y (2) t=2 x (2) = 4 11 on tngentin kulmkerroin ko. pisteessä. Lisäksi x(2) = 6 j y(2) = 2, j tngentin yhtälöksi sdn: y ( 2) = 4 (x 6) 11y + 4x = Sovelluksi Differentilikehitelmä: Funktion derivoituvuus pisteessä x voidn esittää yhtäpitävästi ns. differentilikehitelmän vull: (2.3) f(x + h) f(x) = h + h ϵ(h), missä on vkio, jok ei riipu h:st, j ϵ(h) on josskin pisteen h = 0 ympäristössä määritelty funktio, jok toteutt ehdot: lim h 0 ϵ(h) = ϵ(0) = 0. Nimittäin jkmll (2.3) puolittin h sdn f(x + h) f(x) = + ϵ(h), kun h 0, h joten f on derivoituv pisteessä x j f (x) =. Kääntäen f:n derivoituvuus pisteessä x = (2.3): vrt. Luseen todistus. Differentilikehitelmä (2.3) osoitt, että y funktiot f voidn pproksimoid pisteen x lähellä linerisell kuvuksell (f:n pisteessä y = f(x) x olevll tngentill). f(x + h) ɛ(h) h Lisäksi pproksimtio prnee, kun h = f(x) f (x) h x 0. Termiä f (x)h kutsutn f:n differentiliksi pisteessä x (lisäyksen h suhteen) j f(x) x x + h x merkitään df. Se kirjoitetn usein muodoss df = f dx. h = x Ko. pproksimtiot voidn käyttää rvioitess esim. mittusvirheiden vikutust. Olkoon x rgumentin x virhe. Tällöin funktion f:n bsoluuttinen virhe on f(x) f (x) x j suhteellinen virhe on f(x) f(x) f (x) f(x) x. Esimerkki Jos r = 0.1 cm on ympyrän säteen r = 10 cm mittusvirhe, niin ln A = πr 2 virhe A = 2πr r = 2π cm 6.3cm 2 j suhteellinen virhe A A = 2πr r = πr 2 2 r r = = 0.02.

33 2.11. Sovelluksi 27 Välirvoluse mhdollist virherviointien tekemisen myös väleillä, jos käytettävissä on rvio funktion derivtlle. Nimittäin, jos f täyttää välirvoluseen ehdot, niin f(x) = f (ξ) x, ξ ], b[, missä f(x) = f(b) f() j x = b. Siten f (x) < M x ], b[ = f(x) M x. Esimerkki Määrätään virhe, jok syntyy lskettess funktion f(x) = 1 x rvo pisteessä x = π (= ), kun käytetään likirvo π Rtkisu: Nyt f (x) = 1. Välillä x < x < 3.142, johon π kuuluu, sdn derivtlle rvio f (x) 1 0, 102. (3.14) 2 Siten f 0, 102 (π 3.14) < 0, 102 0, 002 (< ). Kiintopisteiterointi: Luse Olkoon f : [0, 1] [0, 1] jtkuv j derivoituv. Tällöin: i) ξ [0, 1] siten, että f(ξ) = ξ. Jos lisäksi f (x) K < 1 x ]0, 1[, niin ii) f:n kiintopiste ξ on yksikäsitteisesti määrätty j iii) jos x 0 [0, 1] j määritellään jono x n+1 = f(x n ), n = 0, 1, 2,..., niin lim x n = ξ. n Todistus. i) Merkitään h(x) = f(x) x. Tällöin h(x) on jtkuv x [0, 1]. Jos f(0) = 0 ti f(1) = 1, niin kohdn i) väite pätee selvästi. Muuss tpuksess f(0) > 0 j f(1) < 1. Yhtäpitävästi: { h(0) = f(0) 0 > 0; h(1) = f(1) 1 < 0. Bolznon luse = ξ ]0, 1[ siten, että h(ξ) = 0 eli f(ξ) ξ = 0 f(ξ) = ξ. Siis jok tpuksess ξ [0, 1] sitten, että f(ξ) = ξ. ii) Tehdään vstoletus: ξ 1, ξ 2, ξ 1 < ξ 2, siten, että f(ξ 1 ) = ξ 1 j f(ξ 2 ) = ξ 2. Välirvoluseest sdn nyt: η, ξ 1 < η < ξ 2 siten, että f (η) = f(ξ 2) f(ξ 1 ) ξ 2 ξ 1 = ξ 2 ξ 1 ξ 2 ξ 1 = 1. Ristiriit, kosk oletuksen mukn f (x) < 1, x ]0, 1[. Siis ξ on yksikäsitteisesti määrätty. iii) Jos x n = ξ jollkin n N, niin väite on selvä. Jos ts x n ξ, n N, niin välirvoluseest seur η n (x n 1 :n j ξ:n välissä) siten, että: x n ξ = f(x n 1 ) f(ξ) = f (η n )(x n 1 ξ) = f (η n ) x n 1 ξ K x n 1 ξ, n = 1, 2,...

34 28 Luku 2. Reliluvuist j -funktioist Siten x n ξ K x n 1 ξ K K x n 2 ξ K 3 x n 3 ξ K n x 0 ξ, n N. Tässä K < 1, joten K n 0, kun n. Niinpä Ts. lim n x n = ξ. lim x n ξ lim n n Kn x 0 ξ = 0. Huom! Vstv tulos pätee myös, kun f : [, b] [, b]. Luse Olkoon f jtkuvsti derivoituv välillä [, b] j olkoon ξ ], b[ piste, joss f(ξ) = ξ nd f (ξ) < 1. Tällöin on olemss väli [c, d] ], b[ siten, että ξ ]c, d[ j jono x n+1 = f(x n ), n = 0, 1, 2,... suppenee kohti pistettä ξ, ts. lim n x n = ξ, kun x 0 [c, d]. Todistus. Kosk f (ξ) < 1 j f on jtkuv on olemss väli [c, d] = [ξ δ, ξ + δ] ], b[ siten, että ξ ]c, d[ j f (x) < 1, x [c, d]. Osoitetn, että f([c, d]) [c, d]. Olkoon v [c, d] mielivltinen. Jos v = ξ, niin f(v) = v [c, d]. Jos ts v ξ, niin välirvoluseen nojll f(v) f(ξ) v ξ = f (η), η v:n j ξ:n välissä. Tällöin f(v) f(ξ) = f (η) v ξ < v ξ }{{} =ξ eli f(v) ξ < v ξ. Näin ollen f(v) [c, d], ts. f([c, d]) [c, d]. Kosk f j f ovt jtkuvi suljetull välillä [c, d], f svutt mksimins K < 1 josskin välin [c, d] pisteessä, ts. f (x) K < 1, x [c, d]. Nyt Luse = väite. Yhtälön rtkiseminen Newtonin menetelmällä: Tehtävänä on yhtälön f(x) = 0 rtkiseminen numeerisesti muodostmll rtkisulle mielivltisen trkkoj likirvoj tilnteess, joss yhtälöä ei void rtkist eksplisiittisesti. Trkstelln ns. Newtonin menetelmää. Olkoon f khdesti derivoituv välillä [, b] j f (x) > 0 sekä f (x) > 0 x ], b[, jolloin f on idosti ksvv j käyrä y = f(x) on kuper lspäin. Jos f() < 0 j f(b) > 0, niin yhtälöllä f(x) = 0 on täsmälleen yksi juuri välillä ], b[. Olkoon x 0 ], b[ mielivltinen piste, joss f(x 0 ) 0. Pisteessä (x 0, f(x 0 )) käyrän y = f(x) tngentin yhtälö on y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ). Kosk käyrä y = f(x) on kuper lspäin, ko. tngentti on käyrän lpuolell j leikk x- kselin lähempänä yhtälön f(x) = 0 rtkisu kuin x 0 (vrt. Kuv 2.3): y = 0 x = x 1 := x 0 f(x 0) f (x 0 ).

35 2.11. Sovelluksi 29 y y = f(x) x2 x1 x0 x Kuv 2.3: Newtonin menetelmän itertioskel. Toistetn sm päätely pisteessä (x 1, f(x 1 )), jolloin päädytään ko. pisteessä olevn tngentin j x-kselin leikkuspisteeseen x 2, jok on jälleen lähempänä yhtälön f(x) = 0 rtkisu kuin rvo x 1. Näin jtken muodostuu jono (2.4) x n+1 = x n f(x n) f, n = 0, 1, 2,..., (x n ) jok on lskev j lhlt rjoitettu luvull, jok on yhtälön y = f(x) rtkisu (y = f(x) kuper lspäin). Olkoon X R := inf n N {x n } ts. x R = lim n x n ( ], b[). Kosk f j f ovt jtkuvi j f (x) > 0 x ], b[, seur plutuskvst (2.4): x R = lim x n+1 = lim x f(x n ) n lim n n n f (x n ) = x R f(x R) f (x R ) f(x R ) = 0. Siis: Jonon (x n ) n=0 rj-rvon on yhtälön y = f(x) yksikäsitteinen juuri x R: f(x R ) = 0. Funktiot f koskevi oletuksi voidn lieventää soveltmll kiintopisteitertiot; vrt. Luseet j Esimerkiksi Luseest sdn seurv tulos: Olkoon f jtkuv yhtälön f(x) = 0 juuren x = x R josskin ympäristössä j olkoon f (x R ) 0. Tällöin jonolle (2.4) pätee lim n x n = x R, kun lkurvo x 0 vlitn riittävän läheltä luku x R. Perustelu: Merkitään g(x) = x f(x) f (x). Tällöin: i) g(x) on hyvinmääritelty j jtkuvsti derivoituv, sillä f (x) 0, kun x x R < δ j ( f g (x) (x) = 1 f (x) f(x)f ) (x) (f (x)) 2 = f(x)f (x) (f (x)) 2, missä f (x) on jtkuv;

36 30 Luku 2. Reliluvuist j -funktioist ii) g(x R ) = x R f(x R) f (x R ) = x R 0 f (x R ) = x R; iii) g (x R ) = f(x R)f (x R ) (f (x R )) = 0 < 1. 2 Luse = jono x n+1 = g(x n ) (= x n f(x n) f (x n) ) suppenee kohti g:n kiintopistettä x R = g(x R ) ts. yhtälön f(x) = 0 rtkisu x = x R.

37 31 Luku 3: Integrlilskent 3.1 Integrlifunktio Olkoot f j F välillä I määriteltyjä funktioit. Jos F (x) = f(x), x I, snotn, että F on funktion f integrlifunktio välillä I. Merkintä: F (x) = f(x)dx. Esimerkki F (x) = ln x on fuktion f(x) = 1 x (x > 0) integrlifunktio, kosk F (x) = 1 x, x > 0. Luse Olkoon F (x) = f(x) x I. Tällöin välillä I derivoituv funktio G on f:n integrlifunktio välillä I, jos j vin jos C R s.e. G(x) = F (x) + C, x I. Todistus. Jos G(x) = F (x) + C, x I, niin G (x) = F (x) + 0 = f(x), x I. Siis G = F + C on f:n integrlifunktio C R. Kääntäen, jos G (x) = f(x), x I, niin D[G(x) F (x)] = G (x) F (x) = f(x) f(x) = 0, x I. Nyt Luseen (integr. lskennn perusluse) nojll G(x) F (x) = C (vkio) eli G(x) = F (x) + C. Integrlifunktio on siis yksikäsitteisesti määrätty integroimisvkiot C R ville. Integrlifunktio on välillä I derivoituv j siten myös jtkuv funktio. Usein integrlifunktio joudutn määrittelemään osväleillä. Esimerkki Olkoon Tällöin esimerkiksi funktio f(x) = F (x) = { 0, kun x 0; 1, kun x > 0. { 0, kun x 0; x, kun x > 0, toteutt ehdot { F (x) = 0, kun x < 0; F (x) = 1, kun x > 0, mutt { F (0 ) = 0; F (0+) = 1. Ts. F on jtkuv, mutt ei derivoituv pisteessä x = 0. Määritelmän mukn F on f:n integrlifunktio väleillä I, jotk eivät sisällä pistettä x = 0. Luse (Integroinnin linerisuus) Integrlifunktioille pätee:

38 32 Luku 3. Integrlilskent i) (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx; ii) f(x)dx = f(x)dx, R vkio. Todistus. Seur vstvist derivtn ominisuuksist. Esimerkki x( ( x 1)dx = 2 Perusintegrlej: x 3/2 dx ) ( 2 xdx = 2 5 x5/2 1 ) 2 x2 + C = 4 5 x2 x x 2 + C. (1) x dx = 1 +1 x+1 + C, 1; (2) 1 dx = ln x + C, x 0; x (3) sin xdx = cos x + C; (4) cos xdx = sin x + C; (5) dx cos 2 x = (1 + tn 2 x)dx = tn x + C, x (2k+1)π 2, k Z; (6) dx sin 2 x = (1 + cot 2 x)dx = cot x + C, x kπ, k Z; (7) e x dx = e x + C; (8) x dz = x log e + C = x ln + C; (9) dx 1 x 2 = rcsinx + C, x < 1; (10) dx = rctnx + C. 1 + x2 Ottmll huomioon yhdistetyn funktion derivoimissääntö sdn (11) f (x)e f(x) dx = e f(x) + C; (12) f (x)dx f(x) = ln f(x) + C; (13) tn xdx = ln cos x + C; (14) cot xdx = ln sin x + C; (15) dx 1 + x 2 = ln(x x 2 ) + C; (16) dx 1 x 2 = 1 ( ) 1 + x 2 ln + C, x < 1. 1 x

39 3.2. Integroimismenetelmiä Integroimismenetelmiä Rtionlifunktion integrointi: Rtionlifunktion P (x)/q(x) (P (x) j Q(x) polynomej) integroimiseksi stetn se jkolskull ensin muotoon P (x) R(x) = H(x) + Q(x) Q(x), missä H(x) j R(x) ovt polynomej siten, että R(x):n steluku on pienempi kuin Q(x):n steluku. Tässä H(x) on polynomin helppo integroid. Termin R(x)/Q(x) integroiminen suoritetn muodostmll sille ns. osmurtokehitelmä seurvien sääntöjen vull. A) Jos Q(x):n kikki juuret ovt relisi j niiden kertluku on 1, voidn R(x)/Q(x) esittää muodoss: R(x) Q(x) = R(x) (x 1)... (x x n ) = A 1 x x A n x x n, missä vkiot A 1,..., A n on erikseen määrättävä. Tämän jälkeen jokinen termi A i /(x x i ) voidn integroid logritmifunktion vull. Esimerkki Olkoon f(x) = (5x + 3)/(x 2 1). Siten f:n juuret ovt 1 j 1. Siis 5x + 3 x 2 1 = A 1 x 1 + A 2 x + 1 = A 1(x + 1) + A 2 (x 1) = (A 1 + A 2 )x + (A 1 A 2 ) (x 1)(x + 1) x 2 1 j rtkisemll sdn nyt A 1 = 4 j A 2 = 1. Siis 5x + 3 x 2 1 = 4 x x + 1. B) Juuren x = R kertluku on n > 1. Tällöin Q(x):n ko. juurt setetn vstmn luseke B 1 x + B 2 (x ) B n (x ) n.. Nyt juuret ovt x = 0 kertluvultn 2 j x = 1 kertluvul- 1 Esimerkki tn 1. Niinpä 1 = x 3 x 2 x 2 (x 1) 1 x 3 x 2 = A x + B x 2 + C Ax(x 1) + B(x 1) + Cx2 = x 1 x 2 (x 1) Rtkisemll: Siis 1 x 3 x 2 = 1 x + 1 x x 1. A + C = 0 A + B = 0 B = 1 A = 1 B = 1 C = 1. = (A + C)x2 + (B A)x B x 2. (x 1) C) Q(x):llä on kompleksinen juuripri x = ± ib (i 2 = 1). Jos juuriprin kertluku on 1, setetn pri vstmn luseke Ax + B x 2 + px + q,

40 34 Luku 3. Integrlilskent missä vkiot A, B R on määrättävä j missä x 2 + px + q = (x ) 2 + b 2 (= (x ( + ib))(x ( ib))). Jos juuriprin x = + ib kertluku on n, lusekkeeksi setetn Esimerkki x + 2 x 3 + x = x + 2 x(x 2. Juuret ovt x = 0 kertluvultn 1 j x = ±i kertlu- + 1) vultn 1. Siis Rtkisemll: Siis x + 1 x 3 + x = 2 x + 1 2x x A 1 x + B 1 x 2 + px + q + A 2x + B 2 (x 2 + px + q) A nx + B n (x 2 + px + q) n. x + 2 x 3 + x = A x + Bx + C x = (A + B)x2 + Cx + A x(x ) A + B = 0 C = 1 A = 2 B = 2 C = 1 A = 2. Kun lusekkeen R(x)/Q(x) osmurtokehitelmä on muodostettu Q:n juurien vull, integroidn siinä olevt termit perusintegrlien vull. Esimerkki x + 3 x 3 x 2 x + 1 dx. Nimittäjän nollkohdt: x3 x 2 x + 1 = (x 1) 2 (x + 1) = 0 x = 1 (kertluku 2) j x = 1. Osmurtokehitelmäksi sdn 2x + 3 x 3 x 2 x + 1 = x (x 1) x + 1. Integrointi nt 2x + 3 x 3 x 2 x + 1 dx = x 1 dx (x 1) 2 dx x + 1 dx = 1 4 ln x x ln x C 4 = 1 4 ln x + 1 x 1 5 2x 2 + C. Osittisintegrointi: Luse (Osittisintegrointi) f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx. Todistus. Tulon derivointisäännön D(f g) = f g + f g integrointi nt f(x)g(x) = f (x)g(x)dx + f(x)g (x)dx, mistä väite heti seur.

41 3.2. Integroimismenetelmiä 35 Osittisintegroinniss funktiot f j g pyritään vlitsemn niin, että f(x)g (x)dx olisi helpompi lske kuin f (x)g(x)dx. Esimerkki ) Määrätään (3x 7)e x dx. Asetetn f (x) = e x j g(x) = 3x 7, jolloin f(x) = e x j g (x) = 3. Siten osittisintegrointikv nt (3x 7)e x dx = (3x 7) ( e x ) 3 ( e x )dx = (3x 7)e x + 3 e x dx = (7 3x)e x 3e x + C = (4 3x)e x + C. b) Määrätään ln x dx. Tulkitn integroitv funktio ln x tulon 1 ln x. Asetetn f (x) = 1 j g(x) = ln x, jolloin f(x) = x j g (x) = 1/x. Tällöin ln dx = x ln x x 1 dx = x ln x 1 dx = x ln x x + C. x Integrointi sijoituksell (eli muuttujn vihto): Sijoitusmenetelmässä integrli fdx lsketn ottmll käyttöön uusi muuttuj sijoituksell x = g(t). Funktion g on oltv derivoituv j monotoninen (inkin jollkin osvälillä, joss muuttujnvihto sovelletn). Luse Olkoon x = g(t) muuttujn t suhteen derivoituv j bijektiivinen (idosti ksvv ti vähenevä) funktio. Tällöin f(x)dx = f(g(t)) g (t)dt. Todistus. Olkoon F (x) funktion f(x) integrlifunktio. Sijoitetn x = g(t) j derivoidn t:n suhteen käyttämällä yhdistetyn funktion derivointisääntöä: d dt F (g(t)) = f(g(t)) g (t). Integroimll t:n suhteen sdn f(x)dx = F (x) = F (g(t)) = f(g(t)) g (t)dt. Muistisääntö: Jos x = g(t), niin dx dt = g (t) eli dx = g (t)dt. Siis, jos x korvtn g(t):llä, on differentili dx korvttv integrliss differentilill g (t)dt. Huom! Kun integrli on lskettu sijoituksen x = g(t) vull, on F (x):n selvittämiseksi plttv lkuperäiseen muuttujn x sijoituksell t = g 1 (x). Tämä onnistuu, sillä g(t):n bijektiivisyys tk käänteisfunktion olemssolon (vlitull osvälillä). Huom, että tulos on usein helppo trkist derivoimll j stu integrlifunktion luseke stt oll voimss myös pun käytetyn osvälin (joss vlittu g monotoninen) ulkopuolell. Sijoitusmenetelmää sovelletn usein seurvsti: