Laskennan mallit (syksy 2007) Harjoitus 5, ratkaisuja

Transkriptio

1 58226 Lskennn mllit (syksy 27) Hrjoitus 5, rtkisuj. Muodostetn NF kielelle : ε ε Muunnetn DF:ksi: {,,} {,} {,} {,} Luennoll (s. 5) stiin kielelle seurv DF:

2 Poistmll tästä svuttmttomt tilt sdn Tulos on sm, kuin jos edellisen sivun utomtiss yhdistettäisiin tilt {,,} j {,}. (Tämä ei ole sttum.) 2

3 2. Kielelle sdn seurv NF: ε Lskentpuu syötteelle : 3

4 Lskentpuu syötteelle : 4

5 3. Luse: Jos kkoston Σ kieli on säännöllinen, niin myös kieli R on. Todistus: Olkoon säännöllinen j M = (Q,Σ,δ,q,F) sen tunnistv DF. Muodostetn NF kääntämällä DF:n M siirtymien suunnt j lisäämällä lkutil, jost on ε-siirtymät DF:n hyväksyviin tiloihin. Täsmällisemmin olkoon N = ( ˆQ,Σ, ˆδ, ˆq, ˆF), missä ˆq Q on uusi til ˆQ = Q { ˆq } ˆF = { q } siirtymäfunktio on seurv: ˆδ(ˆq, ε) = F ˆδ(ˆq, ) = kun Σ ˆδ(q,ε) = kun q Q ˆδ(q,) = { r δ(r,) = q } kun q Q j Σ. Selvästi N tunnist kielen R. Tunnetusti jos kieli voidn tunnist NF:ll, se on säännöllinen. Edellä esitetty on riittävä vstus tehtävään. Jos hlu perustell trkemmin, miksi L(N) = R, sen voi tehdä seurvsti: Olkoon ensin v R. Siis v = w R jollkin w = w...w n, missä w i Σ. Kosk M hyväksyy merkkijonon w, siinä on tilt r,...,r n, missä r = q r n F j r i = δ(r i,w i ) kun i =,...,n. Muodostetn jono s,...,s n+ tiloj NF:ss N, missä s = ˆq j s i = r n i+ kun i =,...,n +. Muodostetn lisäksi jono y = (y,...,y n+ ) Σ n+ ε, missä y = ε j y i+ = w n i+ kun i =,...,n. Nyt y y 2 y 3...y n+ = εw n w n...w = v. Lisäksi s = ˆq on utomtin N lkutil s = r n F, joten s ˆδ(ˆq,ε) = ˆδ(s,y ) kikill i =,...,n pätee s i = r n i+ = δ(r n i,w n i+ ) = δ(s i+,y i+ ), joten s i+ ˆδ(s i,y i+ ). Siis (s,...,s n+ ) on eräs mhdollinen utomtin N tiljono syötteellä v. Kosk lisäksi s n+ = r = q ˆF, niin N hyväksyy merkkijonon v. Olkoon toislt v = v...v n jokin merkkijono, jonk N hyväksyy. Määritelmän mukn on olemss m n, jono (y,...,y m ) Σ m ε j jono (s,...,s m ) ˆQ m+, missä v = y...,y m s = ˆq s i+ ˆδ(s i,y i+ ) kun i =,...,m j s m ˆF. Kosk utomtiss N ei ole siirtymiä lkutiln ˆq eikä muit ε-siirtymiä kuin lkutilst lähtevät, voidn päätellä m = n +, y = ε j y i+ = v i kun i =,...,n. Määritellään r i = s n+ i kun i =,...,n. Kosk s n+ ˆF = { q }, pätee r = q. 5

6 Kosk s ˆδ(s,y ), pätee r n = s ˆδ(s,y ) = ˆδ(ˆq,ε) = F. Kosk s i+ ˆδ(s i,y i+ ), pätee s i = δ(s i+,y i+ ) eli r n+ i = δ(r n i,v i ) kikill i =,...,n. Toisin snoen r j+ = δ(r j,v n j ), kun j =,...,n. Siis tiljono (r,...,r n ) osoitt, että M hyväksyy merkkijonon w = v n v n...v, joten w. Kosk voidn kirjoitt v = w R, missä w, pätee v R. Olemme osoittneet, että N hyväksyy merkkijonon v, jos j vin jos v R. 4. () Väite: Jos kieli on säännöllinen, niin myös PREFIX() on. Todistus: Olkoon säännöllinen kieli j M = (Q,Σ,δ,q,F) sen tunnistv DF. Olkoon F niiden tilojen joukko, joist joht siirtymäketju johonkin hyväksyvään tiln: F = { q Q jollkin z Σ pätee δ (q,z) F }, missä δ on luentojen sivuill 3 3 määritelty yleistetty siirtymäfunktio. Muodostetn utomtti M = (Q,Σ,δ,q,F ). ino ero lkuperäiseen utomttiin M on siis hyväksyvien tilojen joukon ljentuminen. Selvästi M tunnist kielen PREFIX(). Edellä esitetty on riittävä vstus tehtävään. Jos hlu perustell trkemmin, miksi L(M ) = PREFIX(), sen voi tehdä esim. seurvsti: Olkoon w PREFIX(). Siis on olemss selliset x j z Σ, että x = wz. Merkitään q = δ (q,w). Kosk x, niin δ (q,x) F. Toislt δ (q,x) = δ (δ (q,w),z) = δ (q,z). Siis δ (q,z) F, joten q F, j M hyväksyy merkkijonon w. Olkoon toislt w L(M ). Merkitään q = δ (q,w). Kosk q F, on olemss z, joll δ (q,z) F. Tällöin δ (q,wz) = δ (q,z) F, joten wz j siis w PREFIX(). () Väite: Jos kieli on säännöllinen, niin myös SUFFIX() on. Todistus: Olkoon w = w...w n mielivltinen merkkijono. Todetn ensin, että w SUFFIX() on olemss merkit z,...,z k Σ joill z...z k w...w n on olemss merkit z,...,z k Σ joill w n...w z k...z R w R PREFIX( R ). Siis SUFFIX() = (PREFIX( R )) R. Olkoon nyt säännöllinen. Tehtävän 3 nojll R on säännöllinen. Tästä seur edelleen kohdn () nojll, että PREFIX( R ) on säännöllinen. Soveltmll uudestn tehtävää 3 nähdään, että (PREFIX( R )) R on säännöllinen. Edellä todetun mukisesti (PREFIX( R )) R on sm kieli kuin SUFFIX(). 6