ANALYYSI I, kevät 2009

Transkriptio

1 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo Monotoniset jonot Osjonot Cuchyn jono Funktion rj-rvo j jtkuvuus Peruskäsitteitä Funktion rj-rvo Funktion jtkuvuus Funktion tsinen jtkuvuus Srjt Srjn suppeneminen Suppenemistestejä positiivitermisille srjoille Itseisesti suppenevt srjt Vuorottelevt srjt

2 5 Riemnnin integrli 7 5. Integrlin perusominisuuksi Anlyysin perusluse Epäoleelliset integrlit 89 7 Funktiojonot j -srjt Pisteittäinen j tsinen suppeneminen Jonon j srjn derivoiminen j integroiminen Potenssisrjt Potenssisrjn suppeneminen Potenssisrjn summfunktion ominisuuksi

3 Relilukujen peruskäsitteitä Usein trkstelun kohteen ovt nnetun joukon A R, A, mksimi j minimi sekä ylä- j lrjt, erityisesti pienin ylärj (supremum) j suurin lrj (infimum). Määritelmä.. Olkoon A R, A. Reliluku M R snotn joukon A mksimiksi (eli suurimmksi rvoksi), jos (i) x M kikill x A j (ii) M A. Merkitään M = mx A. Vstvsti reliluku m R snotn joukon A minimiksi (eli pienimmäksi rvoksi), jos (i) x m kikill x A j (ii) m A. Merkitään m = min A. Huomutus.2. Mksimi j minimi ovt yksikäsitteisiä, mikäli ne ovt olemss. Perustelu: Olkoot M = mx A j M = mx A. Nyt x M kikill x A. Tällöin M M, sillä M A. Toislt x M kikill x A j siten M M, kosk M A. Siis M = M. Minimi todistetn smll tvll (hrjoitustehtävä). Määritelmä.3. Olkoon A R, A. (i) Joukko A snotn ylhäältä rjoitetuksi, jos on olemss sellinen M R, että x M kikill x A. Tällist luku M snotn joukon A ylärjksi.

4 (ii) Joukko A snotn lhlt rjoitetuksi, jos on olemss sellinen m R, että x m kikill x A. Tällist luku m snotn joukon A lrjksi. (iii) Joukko A snotn rjoitetuksi, jos se on sekä ylhäältä että lhlt rjoitettu. Huomutus.4. () Jos joukoll on mksimi ti minimi, niin se on vstvsti joukon ylä- ti lrj. (2) Toisin kuin mksimi j minimi, joukon ylä- j lrjt eivät ole yksikäsitteisiä. Esimerkki.5. Määritellään joukko A = {x n } induktiivisesti n= x =, x n+ = x2 n + 2 2x n, n =, 2,... Tutkitn joukon A rjoittuneisuutt. Rtkisu: Nyt x = j siten x 2 = = 3 2 =,5 x 3 =, ,5,47 x 4 =, ,47,442. Väite : x n 2, n = 2, 3,... (x = ) Todistus: Selvästi x n+ = xn + 2 x n x n+ = x2 n + 2 = x2 n + ( 2) 2 2x n 2x n > 0 kikill n =, 2,... (x = ). Lisäksi 2x n 2 = 2 2x n sillä x n 0, kun n =, 2,... Edellä on käytetty ekvivlenssiin 2 + b 2 2b ( b) 2 0 perustuv rviot x 2 n + ( 2) 2 2 2x n. Siten x n 2, kun n = 2, 3,... Siis x n = x kikill n =, 2,..., joten A on lhlt rjoitettu j min A =. 2

5 Väite 2: x n+ x n, n = 2, 3,... Todistus: Väite voidn yhtäpitävästi muutt seurvn muotoon: x n+ x n x2 n + 2 x n 2x n x 2 n + 2 2x 2 n (x n > 0) x 2 n 2 x n 2 (x n > 0). Kosk x n 2 > 0, kun n = 2, 3,..., niin myös x n+ x n, n = 2, 3,... Tästä seur, että x n x 2 = 3 kikill n =, 2,..., joten A on ylhäältä 2 rjoitettu j mx A = 3. 2 Siis x x n x 2 kikill n =, 2,..., joten A on rjoitettu. Vroitus: Ei ole olemss yleistä menetelmää todist, että nnettu joukko on rjoitettu. Ain sitä ei ole helppo nähdä. Huomutus: Käytännössä joukon rjoittuneisuus knntt usein todist seurvn kriteerin vull: Joukko A R, A, on rjoitettu jos j vin jos on olemss sellinen K 0, että x K kikill x A. Perustelu: : Oletetn, että m x M kikill x A. Kosk m mx{ m, M }, niin x m m mx{ m, M } kikill x A j Siten x M M mx{ m, M } kikill x A. mx{ m, M } x mx{ m, M } kikill x A, eli x mx{ m, M }. Täten esimerkiksi vlint K = mx{ m, M } kelp. : Jos x K jokisell x A (K 0), niin K x K jokisell x A. Siten K on joukon A lrj j K sen ylärj. Siis A on rjoitettu. Määritelmä.6. Olkoon A R, A. Luku M R snotn joukon A pienimmäksi ylärjksi eli supremumiksi, jos 3

6 (i) x M kikill x A j (ii) jos x M kikill x A, niin M M. (Koht (i) kertoo sen, että M on ylärj j (ii) sen, että M on ylärjoist pienin.) Merkitään M = sup A. Vstvsti luku m R snotn joukon A suurimmksi lrjksi eli infimumiksi, jos (i) x m kikill x A j (ii) jos x m kikill x A, niin m m. (Koht (i) kertoo sen, että m on lrj j (ii) sen, että m on lrjoist suurin.) Merkitään m = inf A. Määritelmän merkitys: Kosk ylä- j lrjt eivät ole yksikäsitteisiä, pyritään vlitsemn niille prs mhdollinen edustj. Huomutus.7. () Jos joukoll A on mksimi, niin mx A = sup A. Vstvsti jos joukoll A on minimi, niin min A = inf A. Supremun j infimum ovt mksimin j minimin korvikkeit. Perustelu: Olkoon M = mx A. Silloin x M kikill x A, joten M on ylärj. Oletetn, että x M kikill x A. Kosk M A, niin M M, joten M on pienin ylärj. Infimum todistetn smn tpn (hrjoitustehtävä). (2) Mikäli supremum ti infimum on olemss, niin se on yksikäsitteinen. Perustelu: Olkoot M = sup A j M = sup A. Nyt M M, kosk M on ylärj j M on pienin ylärj. Toislt M M, kosk M on ylärj j M on pienin ylärj. Siis M = M. Infimum todistetn smn tpn (hrjoitustehtävä). Esimerkki.8. Olkoon A = ]0, [. Määrätään sup A j inf A. Rtkisu: Olkoon M =. Osoitetn, että sup A = M =. (i) x M kikill x A, joten M on joukon A ylärj. 4

7 (ii) Olkoon M R sellinen, että x M kikill x A. Kosk 2 A, niin M 2 > 0. Osoitetn, että M M. Vstoletus: M < M. Tällöin 0 < M <, joten M + < 2 j 2M = M + M < M +, ts. M < M + 2 <. Siis M + M 2 A j M + M 2 joten M ei voi oll joukon A ylärj. Ristiriit. Siis vstoletus on väärä j M M. > M, Kohtien (i) j (ii) nojll M = sup A. Olkoon m = 0. Osoitetn, että inf A = m =. (i) x m kikill x A, joten m on joukon A lrj. (ii) Olkoon m R sellinen, että x m kikill x A. Kosk A, niin 2 m. 2 Osoitetn, että m m. Vstoletus: m > m. Nyt 0 = m < m, 2 joten m 2 A j m 2 < m, joten m ei voi oll joukon A lrj. Ristiriit. Siis vstoletus on väärä j m m. Kohtien (i) j (ii) nojll m = inf A. Yleensä sup A ei kuulu joukkoon A. Seurvn luseen nojll se kuuluu joukkoon A täsmälleen silloin kun se on joukon A mksimi. Vstvt väitteet pätevät myös infimumille j minimille. Luse.9. Olkoon A R, A j M = sup A. Silloin joukoll A on mksimi (jok on M) jos j vin jos M A. Olkoon m = inf A. Silloin joukoll A on minimi (jok on m) jos j vin jos m A. Todistus. : Oletn, että Q = mx A on olemss. Tällöin x Q in, kun x A (ts. Q toteutt supremumin ehdon (i)), j Q A. Olkoon M joukon A mikä thns ylärj, jolloin x M in, kun x A. Kosk 5

8 Q A, niin erityisesti Q M j Q toteutt supremumin ehdon (ii). Siis Q on joukon A pienin ylärj eli Q = M = sup A. : Oletetn, että M A. Tällöin lisäksi x M kikill x A, joten M on joukon A mksimi. Infimumi j minimiä koskev väite todistetn vstvsti. Täydellisyysksioom. Olkoon A R, A. Jos A on ylhäältä rjoitettu, niin joukoll A on pienin ylärj (eli sup A on olemss). Jos A on lhlt rjoitettu, niin joukoll A on suurin lrj (eli inf A on olemss). Täydellisyysksioomn merkitys: Vikk rjoitetull joukoll ei yleensä ole mksimi eikä minimiä, niin sillä kuitenkin on pienin ylärj j suurin lrj. Huomutus.0. Täydellisyysksioom on erittäin tärkeä relilukujen ominisuus, jot esimerkiksi rtionliluvuill ei ole: Joukoll A = {x Q x 0, x 2 < 2} ei ole supremumi joukoss Q. Todistuksen ide: Kosk A j A on ylhäältä rjoitettu, niin täydellisyysksioomn nojll on olemss M = sup A R. Lisäksi M 2 = 2 (hrjoitustehtävä). Kosk M / Q j supremum on yksikäsitteinen, niin joukoll A ei ole pienintä ylärj joukoss Q. Siten Q ei toteut täydellisyysksioom. Intuitio: Täydellisyysksioom tk, ettei relikseliss ole reikiä. Reliluvut R voidn määritellä järjestettynä kuntn, jok sisältää rtionliluvut Q j toteutt täydellisyysksioomn. Krkesti snottun kikki relilukujen ominisuudet, jotk liittyvät täydellisyysksioomn ovt nlyysiä, muut lgebr. Ongelm: Täydellisyysksioom ei nn mitään keino löytää supremumi ti infimumi. Käytännössä ensin on tehtävä (hyvä) rvus j sitten todistettv se oikeksi. Merkintöjä: sup A = A ei ole ylhäältä rjoitettu. inf A = A ei ole lhlt rjoitettu. sup = inf = 6

9 (mikä thns luku on tyhjän joukon ylä- j lrj). Käytännössä supremum knntt yrittää määrittää seurvn luseen vull. Luse.. Oletetn, että A R, A, A on ylhäältä rjoitettu j että M on joukon A ylärj. Silloin M = sup A jos j vin jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen x A, että x > M ε. Todistus. : Oletetn, että M = sup A j tehdään vstoletus: On olemss sellinen ε > 0, että x M ε kikill x A = M ε on joukon A ylärj j M ε < M = M ei ole pienin ylärj. Ristiriit. : Oletetn, että M on joukon A ylärj, jolle luseen ehto pätee. Jos M < M, niin vlitn ε = M M > 0. Nyt on olemss sellinen x A, että x > M ε = M (M M ) = M. Siis M ei ole joukon A ylärj, joten M on joukon A pienin ylärj. Vstv tulos pätee myös infimumille: Luse.2. Oletetn, että A R, A, A on lhlt rjoitettu j että m on joukon A lrj. Silloin m = inf A, jos j vin jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen x A, että x < m + ε. Esimerkki.3. Olkoon A = { 2 n =, 2,... }. Osoit, että sup A = 2. n Rtkisu: Merkitään M = 2. Nyt 2 n joukon A ylärj. 2, n =, 2,..., joten M = 2 on Olkoon ε > 0. Vlitn n niin, että 2 n > 2 ε n > ε. Silloin 2 n A j 2 n > M ε. Siten M = sup A. 7

10 Huom: Esimerkissä ei käytetä vstoletust (toisin kuin edellä). Vstoletus sisältyy luseeseen.. Seurvksi todistetn ilmeiseltä tuntuv väite, että luonnollisten lukujen joukko N ei ole rjoitettu. Tätä ominisuutt on jo käytetty esimerkeissä. Väite ei seur joukon R lgebrllisist (ts. sen lskutoimitusten) ominisuuksist vn todistuksess käytetään täydellisyysksioom. Luse.4 (Arkhimedeen ominisuus). Jokist x R kohti on olemss sellinen n N, että x < n. Todistus. Vstoletus: On olemss sellinen x R, että n x kikill n N. Selvästi voidn olett, että x 2. = x on joukon N ylärj, joten N on ylhäältä rjoitettu = on olemss M = sup N R (täydellisyysksioom) = M ei ole joukon N ylärj, kosk M on pienin ylärj = on olemss sellinen m N, että m > M (M ei ole ylärj) = m + > M j m + N = M ei voi oll joukon N ylärj. Ristiriit. Kolmnnen j neljännen viheen voi perustell myös vlitsemll A = N j ε = luseess.. Huomutus.5. Arkhimedeen ominisuudest seur, että jokist x > 0 kohti on olemss sellinen n N että n < x (eli n > x ). Arkhimedeen ominisuutt käyttämällä voidn todist seurv luse. Luse.6. Khden erisuuren reliluvun välissä on in rtionliluku, ts. rtionliluvut ovt tiheässä joukoss R. Todistus. Olkoot x, y R sellisi, että y x > 0. Osoitetn, että on olemss sellnen m n Q, että x < m n < y. (Ide: Etsitään riittävän suuri luku n N, jott väli ]nx, ny[ sisältää inkin yhden kokonisluvun m.) 8

11 Nyt y x > 0, joten Arkhimedeen ominisuuden nojll löytyy sellinen n N, että n > y x. Kosk y x > 0, niin n < y x. Olkoon A = {k Z k > x} = {k Z k > xn} (n > 0). Arkhimedeen ominisuuden nojll A. Nyt n( x) R, joten Arkhimedeen n ominisuuden nojll löytyy sellinen p N, että p > n( x) = p n < x = p, (p + ), (p + 2),... / A. Siten A on lhlt rjoitettu kokonislukujen joukko, joten inf A on olemss. Vlitn ε = luseess.2. Tällöin on olemss sellinen m A, että m < inf A + eli m < inf A. Siis m A j m / A, eli m > x j n (m ) x. Näin ollen n joten x < m n < y. m n = m + n n x + n < x + (y x) = y, Seurus.7. Khden erisuuren reliluvun välissä on in irrtionliluku. Todistus. Olkoot luvut x j y sekä y > x. Luseen.6 nojll välillä ]x 2, y 2[ on rtionliluku m n, ts. x 2 < m n < y 2 = x < m n + 2 < y. Lisäksi m n + 2 R\Q, sillä 2 R\Q. Seurus.8. Khden erisuuren reliluvun välissä on äärettömän mont rtionli- j irrtionliluku. Todistus. Olkoot luvut x j y, y > x. Tehdään vstoletus: Lukujen x j y välissä on n kpplett rtionlilukuj. Väli ]x, y[ voidn jk osväleihin, joit on (n + ) kpplett. Luseen.6 nojll jokisell osvälillä on inkin yksi rtionliluku, joten väliltä ]x, y[ löytyy n + rtionliluku. Tämä on ristiriidss vstoletuksen knss, joten lukujen x j y välissä on ääretön määrä rtionlilukuj. Irrtionlilukuj koskev väite todistetn smll tvll käyttämällä seurust.7. 9

12 Luse.9 (sisäkkäisten välien perite). Jos [, b ] [ 2, b 2 ] ovt sisäkkäisiä suljettuj välejä ( n, b n R, n =, 2,...), niin [ n, b n ] n= (eli on olemss sellinen x R, että x [ n, b n ] kikill n =, 2,...) Huomutus.20. () Sisäkkäisten välien perite kertoo smn kuin täydellisyysksioomkin eli ettei relikselill ole reikiä. Voidn todist, että sisäkkäisten välien perite on yhtäpitävä täydellisyysksioomn knss. (2) Luseen knnlt on olennist, että välit ovt suljettuj, esimerkiksi ] [ 0, =. n n= Perustelu: Vstoletus: ] n= 0, n[. Tällöin on olemss sellinen x R, että x ] 0, n[ in, kun n =, 2,... Tälle luvulle x pätee siis 0 < x < eli n < in, kun n =, 2,... Tämä on ristiriidss n x Arkhimedeen ominisuuden knss. Huom, että n= [0, ] = {0} (hrjoitustehtävä). n (3) Luseen knnlt on olennist, että välit ovt rjoitettuj: (hrjoitustehtävä). [n, [ = n= Luseen.9 todistus. Merkitään I n = [ n, b n ]. Tällöin I n I kikill n =, 2,... = n b n b n =, 2,... = A = { n n =, 2,...} on ylhäältä rjoitettu j A = on olemss M = sup A R (täydellisyysksioom) Kosk M = sup A on joukon A ylärj, niin n M kikill n =, 2,... Väite: M b n kikill n =, 2,... 0

13 Perustelu: Todistetn, että jokinen b n, n =, 2,..., on joukon A ylärj. Oletetn, että n on kiinnitetty. Siten k b n jokisell k =, 2,... k n = I k I n = k b k b n k < n = I n I k = k n b n. = b n on joukon A ylärj = M b n, kosk M on pienin ylärj = n M b n kikill n =, 2,... = M [ n, b n ]. n= Esimerkki.2. Olkoon x R. Vlitn, b Q, < b niin, että x [, b ]. Jetn väli [, b ] khteen osn keskipisteestä + b 2 j vlitn näistä väli [ 2, b 2 ] niin, että 2, b 2 Q, 2 < b 2 j x [ 2, b 2 ]. Jtketn näin. Kun [ n, b n ] on vlittu, niin jetn se khteen osn keskipisteestä n + b n 2 j vlitn näistä seurv väli [ n+, b n+ ], n+, b n+ Q, n+ < b n+ niin, että x [ n+, b n+ ]. Siis 2 n+ x b n+ b 2 b. Näin sdn jono suljettuj sisäkkäisiä välejä [, b ] [ 2, b 2 ],

14 joiden pituudet b n n = b n n 2 = = b 2 n 0, kun n. Lisäksi {x} = [ n, b n ]. n= Näin jokinen reliluku sdn määriteltyä rtionlipäätepisteisten välien vull. 2

15 2 Lukujonoist 2. Lukujonon rj-rvo Määritelmä 2.. Relilukujono (x n ) = x, x 2, x 3,... on kuvus x: Z + R, missä x(n) = x n. Määritelmän trkoitus: Jokist luku n =, 2,... setetn vstmn reliluku x n. Määritelmää käytetään myös joukon Z + äärettömille osjoukoille numeroimll niiden lkiot uudelleen. Vroitus: Jono (x n ) ei s smist joukkoon Esimerkiksi ovt eri jonoj vikk {x n n =, 2,...}. (x n ) = 0,, 0,,... (y n ) =, 0,, 0,... {x n n =, 2,...} = {y n n =, 2,...} = {0, }. Jonoiss esimerkiksi termien järjestystä ei s muutt! Määritelmä 2.2. Jonon (x n ) snotn suppenevn kohti luku R, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että x n < ε in, kun n n ε. Tällöin snotn, että on jonon (x n ) rj-rvo j merkitään lim x n = ti x n, kun n. Jos jono ei suppene kohti mitään luku, niin snotn, että se hjntuu. Määritelmän trkoitus: Kikki termit x n ovt mielivltisen lähellä pistettä, kun n on riittävän suuri. 3

16 Huomutus 2.3. Suppenevn jonon rj-rvo on yksikäsitteinen luku. Jono ei siis voi supet kohti kht eri luku. Perustelu: Vstoletus: Olkoot = lim x n j b = lim x n sekä b. Vlitn ε = b. Tällöin määritelmän 2.2 nojll on olemss selliset n 2 ε, n ε Z +, että x n < ε, kun n n ε, j x n b < ε, kun n n ε. Kolmioepäyhtälön nojll on voimss rvio b = b x n + x n b x n + x n < ε + ε = 2ε = b, kun n mx{n ε, n ε}. Tämä on ristiriit, joten = b. Huomutus 2.4. Rj-rvon määritelmä ei nn keino määrittää rjrvo. Käytännössä ensin on tehtävä vlistunut rvus siitä, mikä rj-rvo on j sitten on todistettv, että se on rj-rvo. Tässä on sm vikeus kuin täydellisyysksioomn käytössä. Lemm 2.5. Suppenev jono (x n ) on rjoitettu, eli on olemss sellinen reliluku M > 0, että x n M kikill n =, 2,... Todistus. Olkoon = lim x n. Tällöin ε > 0 n ε Z + siten, että x n < ε, kun n n ε. Vlitn ε =, jolloin Toislt Siis n Z + siten, että x n <, kun n n = x n x n + x n + < +, kun n n. x n mx{ x, x 2,..., x n }, kun n n. x n mx{ +, x,..., x n } kikill n =, 2,..., j väite pätee, kun vlitn siinä M = mx{ +, x,..., x n }. 4

17 Huomutus 2.6. Käänteinen väite ei päde. Siitä, että jono on rjoitettu, ei seur, että se suppenee. Esimerkiksi jono (x n ) = 0,, 0,,... hjntuu vikk se on rjoitettu. Lemm 2.5 voidn kuitenkin käyttää jonon hjntumisen näyttämiseen. Esimerkiksi jono (x n ), x n = n, n =, 2,..., ei ole rjoitettu, joten se ei suppene. Huomutus 2.7. Rj-rvoille pätevät seurvt lgebrlliset ominisuudet (hrjoitustehtävä): Jos jonot (x n ) j (y n ) suppenevt sekä lim x n = j lim y n = b, niin (i) lim (x n + y n ) = + b, (ii) lim (x n y n ) = b, (iii) lim (x n y n ) = b, x n (iv) lim = y n b, kun y n 0, n =, 2,..., j b 0. Vroitus: Siitä, että summjono (x n + y n ) suppenee, ei voi päätellä, että lkuperäiset jonot (x n ) j (y n ) suppenevt. Jos esimerkiksi x n = ( ) n j y n = ( ) n+, n =, 2,..., niin x n + y n = 0 kikill n =, 2,... Näin ollen lim (x n + y n ) = 0, mutt jonot (x n ) j (y n ) eivät suppene. Luse 2.8 (epäyhtälön säilymisen perite). Olkoot (x n ) j (y n ) sellisi suppenevi jonoj, että x n y n kikill n =, 2,.... Silloin lim x n lim y n. Vroitus: Aito epäyhtälö ei välttämättä säily rjnkäynnissä: x n < y n = / lim x n < lim y n. Esimerkiksi x n = 0, y n =, n =, 2,... Tällöin n x n < y n, n =, 2,..., mutt lim x n = 0 = lim y n. 5

18 Todistus. Merkitään = lim x n j b = lim y n. Olkoon ε > 0, jolloin on olemss selliset n ε j n ε, että x n < ε 2, kun n n ε, j y n b < ε, kun n n 2 ε. Kosk x n x n j y n b y n b, niin x n < ε 2 j y n b < ε 2, kun n mx{n ε, n ε} = n ε = b = ( x n ) + (y n b) + (x n y n ) < ε }{{} 2 + ε 2 = ε, kun n n ε 0 = b < ε kikill ε > 0. Täten b 0, eli lim x n = b = lim y n. Luse 2.9 (suppiloperite). Oletetn, että (x n ), (y n ) j (z n ) ovt sellisi jonoj, että x n y n z n kikill n =, 2,... Jos (x n ) j (z n ) suppenevt kohti sm luku eli niin myös (y n ) suppenee j lim x n = = lim z n, lim y n =. Todistus. Olkoon ε > 0 mielivltinen, jolloin on olemss selliset n ε j n ε, että Kosk niin Siis x n < ε, kun n n ε, j z n < ε, kun n n ε. x n x n < ε, kun n n ε, j z n z n < ε, kun n n ε, ε < x n y n z n < + ε, kun n mx{n ε, n ε} = n ε. joten lim y n =. y n < ε, kun n n ε, 6

19 Huomutus 2.0. Suppiloperittess on tärkeää, että jonot (x n ) j (z n ) suppenevt kohti sm luku. Esimerkiksi jonoille x n =, y n = ( ) n j z n =, kun n =, 2,..., on voimss lim x n = = lim z n j x n y n z n, mutt (y n ) hjntuu. 2.2 Monotoniset jonot Määritelmä 2.. Jono (x n ) snotn (i) ksvvksi, jos x n+ x n kikill n =, 2,..., idosti ksvvksi, jos x n+ > x n kikill n =, 2,..., (ii) väheneväksi, jos x n+ x n kikill n =, 2,..., idosti väheneväksi, jos x n+ < x n kikill n =, 2,..., (iii) monotoniseksi, jos se on ksvv ti vähenevä, idosti monotoniseksi, jos se on idosti ksvv ti idosti vähenevä. Luse 2.2 (monotonisen konvergenssin luse). Monotoninen jono suppenee jos j vin jos se on rjoitettu. Lisäksi pätee: (i) Jos (x n ) on ksvv j rjoitettu, niin lim x n = sup{x n n =, 2,...}. (ii) Jos (x n ) on vähenevä j rjoitettu, niin lim x n = inf{x n n =, 2,...}. Todistus. : Jos jono (x n ) suppenee, niin lemmn 2.5 nojll se on rjoitettu. : Todistetn koht (i). Olkoon (x n ) ksvv j rjoitettu. = M R siten, että x n M n =, 2,... = sup{x n n =, 2,...} = R (täydellisyysksioom) 7

20 Osoitetn, että = lim x n. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Luseen. nojll on olemss sellinen n ε, että x nε > ε. Kosk jono (x n ) on ksvv, niin x n x nε > ε kikill n n ε = ε < x n < + ε kikill n n ε ( on ylärj) = ε < x n < ε kikill n n ε = x n < ε n n ε = = lim x n. Koht (ii) todistetn vstvll tvll (hrjoitustehtävä). Huomutus 2.3. () Edellä monotonisuusoletus on olenninen. Esimerkiksi jono x n = ( ) n, n =, 2,..., on rjoitettu, mutt se ei suppene. (2) Voidn osoitt, että monotonisen konvergenssin luse on yhtäpitävä täydellisyysksioomn knss (hrjoitustehtävä). 2.3 Osjonot Määritelmä 2.4. Jono (y k ) snotn jonon (x n ) osjonoksi, jos on olemss selliset luvut n < n 2 <..., että y k = x nk kikill k =, 2,... Määritelmän trkoitus: Osjono sdn lkuperäisestä jättämällä pois sen lkioit j numeroimll sdun jonon lkiot uudelleen smss järjestyksessä. Huomutus 2.5. () Jono (x n ) on sellinen kuvus x: Z + R, että x(n) = x n. Olkoot n k Z + sellisi, että n < n 2 <... Tällöin on olemss kuvus σ : Z + {n, n 2,...}, σ(k) = n k. 8

21 Osjono (x nk ) on yhdistetty kuvus x σ : Z + R, (x σ)(k) = x(σ(k)) = x(n k ) = x nk. (2) Huom, että in n k k. Esimerkki 2.6. Olkoot x n =, n =, 2,... Seurvss on eräitä jonon n (x n ) osjonoj: ( ) (y k ) = (x 2k ) = = 2k 2, 4, 6,... ( ) (y k ) = (x 2k ) = =, 2k 3, 5, 7,... ( ) (y k ) = (x 2 k) = = 2 k 2, 4, 8, 6,... ( (y k ) = (x k! ) = =, k!) 2!, 3!,... Seurvt jonot eivät ole jonon (x n ) osjonoj: 2,, 4, 3, 6, 5,..., 0, 3, 0, 5, 0,...,, 2, 2, 3, 3,... Luse 2.7. Jos jono (x n ) suppenee kohti luku, niin sen jokinen osjono suppenee kohti luku. Kääntäen jos jonon (x n ) jokinen osjono suppenee, niin myös (x n ) suppenee. Todistus. Oletetn, että lim x n =. Olkoon (y k ) jonon (x n ) osjono j y k = x nk, n k k. Kosk lim x n =, niin jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε, että x n < ε kikill n n ε. 9

22 Jos k n ε, niin n k k n ε j Siten lim k y k =. y k = x nk < ε, kun k n ε. Käänteinen väite on selvä, sillä (x n ) on itsensä osjono. Huomutus 2.8. Luse 2.7 nt keinon todist, että jono hjntuu. Riittää löytää osjono, jok ei suppene, ti kksi osjnono, jotk suppenevt eri lukuj kohti. Vroitus: Kuitenkn siitä, että jokin osjono suppenee ei voi päätellä, että lkuperäinen jono suppenee. Luse 2.9 (Bolznon Weierstrssin luse). Rjoitetull jonoll on suppenev osjono. Todistus. Olkoon jono (x n ) rjoitettu. Tällöin on olemss selliset m, M R, että m x n M kikill n =, 2,... Merkitään = m j b = M. Silloin x n [, b ] kikill n =, 2,... Jetn väli [, b ] khteen osn keskipisteestään c = + b. 2 Tällöin inkin toinen väleistä [, c ], [c, b ] sisältää äärettömän mont jonon (x n ) lkiot, sillä jos molemmt sisältäisivät vin äärellisen mont jonon lkiot, niin koko jonoss olisi vin äärellisen mont lkiot. (Huom, että {x n n =, 2,...} voi oll äärellinen joukko, mutt sitä ei s smist jonoon (x n ). Esimerkiksi jonon (x n ) =, 2,, 2,... lkiot muodostvt joukon {x n n =, 2,... } = {, 2}.) Vlitn näistä väli, joss on äärettömän mont jonon lkiot j merkitään sitä [ 2, b 2 ]. Jtketn näin. Olkoon c k = k + b k 2 välin [ k, b k ] keskipiste j vlitn väleistä [ k, c k ], [c k, b k ] se, jok sisältää äärettömän mont jonon lkiot. Merkitään vlittu väliä [ k+, b k+ ]. 20

23 Kosk välit [ k, b k ], k =, 2,..., ovt sisäkkäisiä suljettuj välejä, niin sisäkkäisten välien peritteen (luse.9) nojll on olemss sellinen x 0 R, että x 0 [ k, b k ]. Toislt, kosk välien [ k, b k ] pituus niin b k k = b k k 2 = = b 2 k 0, kun k, [ k, b k ] = {x 0 }. Konstruoidn sitten suppenev osjono. Vlitn n =, jolloin x n [, b ]. Vlitn sitten luvut n k+ induktiivisesti niin, että n k+ > n k j x nk+ [ k+, b k+ ]. Tämä on mhdollist, sillä jokinen väli [ k+, b k+ ] sisältää äärettömän mont jonon (x n ) lkiot. Nyt x nk, x 0 [ k, b k ], joten Siis x nk x 0 b k k = b 2 k 0, kun k. x 0 = lim k x nk j (x nk ) kelp suppenevksi osjonoksi. Huomutus () Suppenev osjono ei ole yksikäsitteinen. Esimerkiksi jonoll x n = ( ) n, n =, 2,... on suppenevt osjonot (x 2k ) =,,... j (x 2k ) =,,... (2) Bolznon Weierstrssin luse yleistää monotonisen konvergenssin luseen. Bolznon Weierstrssin luseen nojll erityisesti jokisell rjoitetull monotonisell jonoll on suppenev osjono j monotonisuudest seur, että lkuperäinenkin jono suppenee. (3) Bolznon Weierstrssin luse voidn todist myös monotonisen konvergenssin luseen vull, sillä jokisell jonoll (ilmn mitään ehtoj!) on in monotoninen osjono (hrjoitustehtävä). (4) Voidn todist, että Bolznon Weierstrssin luse on yhtäpitävä täydellisyysksioomn knss (hrjoitustehtävä). 2

24 Esimerkki 2.2. Osoitetn, että jokist [0, ] kohti on olemss sellinen jonon (x n ) = 2, 3, 2 3, 4, 2 4, 3 4, 5, 2 5, 3 5, 4 5,... osjono, jok suppenee kohti luku. Jonon (x n ) lkiot ovt muoto m, missä k =, 2,... j m =, 2,..., k, k + olevi rtionlilukuj. Nämä luvut on järjestetty ryhmiin, joill on sm nimittäjä k +, kun k =, 2,... Selvästi jono (x n ) käy lävitse (numeroi) kikki välin ]0, [ rtionlipisteet, toisin snoen {x n n =, 2,...} = Q ]0, [. Olkoon [0, ]. Hluttu, luku kohti suppenev, osjono löytyy, kun todistetn seurv väite: Jokist k =, 2,... kohti on olemss sellinen x nk Q ]0, [, että x nk < k j n k > n k. Todistus: Vlitn n =, jolloin x n = 2 j x n <. Oletetn sitten, että indeksit n < n 2 < < n k on vlittu niin, että x nj <, j =, 2,..., k. j Väli ] k +, + [ ]0, [ k + on epätyhjä, joten seuruksen.8 nojll se sisältää äärettömän mont rtionliluku. Siten on olemss sellinen n k+ > n k, että x nk+ < k +. Näin jono (x nk ) sdn määriteltyä induktiivisesti. Jokist k =, 2,... kohti on siis olemss sellinen x nk, että x nk < k. 22

25 Tästä seur, että lim x n k =. k Seurvt käsitteet ovt tärkeitä nlyysin jtkokursseill. Olkoon (x n ) rjoitettu jono, ts. on olemss sellinen M > 0, että x n M kikill n N. (i) Määritellään uusi jono ( n ) settmll Tällöin n = sup{x k k n} = sup x k. k n n+ = sup{x k k n + } = sup x k n k n+ (jos A B, niin sup A sup B), joten jono ( n ) on vähenevä. Lisäksi M x k M kikill k = M n = sup x k M k n = n M kikill n, kikill n joten jono ( n ) on rjoitettu. Luseen 2.2 nojll ( n ) suppenee j lim n = inf{ n n =, 2,... }. Tälle rj-rvolle (ns. limes superior) käytetään merkintää lim n = lim sup k n x k = lim sup (ii) Muodostetn vstvsti jono (b n ), jolle b n = inf k n x k, n =, 2,... Jono (b n ) on ksvv j kuten edellä nähdään, että b n M kikill n. Siten luseen 2.2 nojll (b n ) suppenee j lim b n = sup{b n n =, 2,... }. Tälle rj-rvolle (ns. limes inferior) käytetään merkintää lim b n = lim inf x k = lim inf x n. k n Huomutus Olkoon (x n ) rjoitettu jono sekä U = lim sup x n j L = lim inf x n. Todistukset sivuutten minitn, että tällöin (i) L U, x n. 23

26 (ii) on olemss sellinen osjono (x nk ), että lim k x nk = U, (iii) on olemss sellinen osjono (x nl ), että lim l x nl = L, (iv) Jono (x n ) suppenee jos j vin jos L = U. Esimerkki Merkitään U = lim sup x n j L = lim inf x n. () Olkoon x n = ( ) n, n =, 2,... Tällöin U = j L =. j jono (x n ) hjntuu (vert huomutuksen 2.22 kohtn (iv)). (2) Olkoon x n = n, n =, 2,... Tällöin U = L =, joten huomutuksen n kohdn (iv) mukn myös lim x n = (hrjoitustehtävä). (3) Olkoon x n = n(+( ) n ), n =, 2,... Tällöin L = 0 j U ei ole olemss (hrjoitustehtävä). Lisäksi seurvt rj-rvo koskevt sit ovt keskeisiä. Näitä on jo epäsuorsti sovellettu esimerkeissä j lskuhrjoituksiss. Määritelmä. Jonon (x n ) snotn hjntuvn kohti ääretöntä, merkitään lim x n = +, jos j vin jos jokist M R kohti on olemss sellinen N Z +, että x n > M, kun n N. Merkintä lim x n = määritellään muuten smll tvll, mutt ehto x n > M korvtn ehdoll x n < M. Luse (Vertiluperite). Jos jono ( n ) hjntuu j lim n = + sekä on olemss sellinen N, että n b n kikill n N, niin myös jono (b n ) hjntuu j lim b n = Cuchyn jono Määritelmä Jono (x n ) snotn Cuchyn jonoksi, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että x n x m < ε in, kun n, m n ε. Määritelmän trkoitus: Kikki jonon termit x n toisin, kun n on riittävän suuri. ovt mielivltisen lähellä 24

27 Huomutus () Vikk Cuchyn jonon määritelmä näyttää melkein smlt kuin jonon rj-rvon määritelmä, siinä on vin jonon termejä eikä mhdollist rj-rvo. (2) Ehto voidn kirjoitt muodoss: x n x n+p < ε in, kun n n ε j p Z +. Vroitus: Cuchyn ehto ei voi kirjoitt seurvsti: jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että x n x n+ < ε in, kun n n ε eli Esimerkiksi käy jono lim (x n x n+ ) = 0. (x n ) =, 2, 2, 2 3, 22 3, 3, 3 4, 32 4, 33 4,... Silloin lim (x n x n+ ) = 0, mutt (x n ) ei ole Cuchyn jono (jono (x n ) ei myöskään suppene). Esimerkki Osoitetn, että (x n ), x n = n+2, n =, 2,..., on Cuchyn n jono. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Tällöin kolmioepäyhtälön nojll x n x m = n + 2 n m + 2 m = mn + 2m (mn + 2n) nm = 2m 2n nm 2 n + 2 m < ε 2 + ε 2 = ε, kun n, m > 4 ε. Siten n ε voidn vlit (esimerkiksi) pienimmäksi kokonisluvuksi, jok on suurempi kuin 4 ε. Luse 2.27 (Cuchyn suppenemiskriteeri). Relilukujono (x n ) suppenee jos j vin jos se on Cuchyn jono. Todistus. : Oletetn, että jono (x n ) suppenee j = lim x n. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Tällöin on olemss sellinen n ε, että 2 x n < ε 2 kikill n n ε 2. 25

28 Siten x n x m x n + x m < ε 2 + ε 2 = ε kikill n, m n ε 2, eli (x n ) on Cuchyn jono. : Olkoon (x n ) Cuchyn jono. Osoitetn ensin, että jono (x n ) on rjoitettu. Kosk (x n ) on Cuchyn jono, niin luku ε = kohti on olemss sellinen n, että x n x m <, kun n, m n = x n x n + x n x n x n +, kun n n. Lisäksi x n mx{ x,..., x n }, kun n < n. Täten x n mx{ x,..., x n, x n + } = M kikill n =, 2,... eli jono (x n ) on rjoitettu. Bolznon Weierstrssin luseen (luse 2.9) nojll jonoll (x n ) on suppenev osjono (x nk ). Merkitään = lim k x nk j osoitetn, että tämä on myös jonon (x n ) rj-rvo. Kolmioepäyhtälön nojll x n x n x nk + x nk. jokisell n, k Z. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Kosk (x n ) on Cuchyn jono, niin on olemss sellinen n ε, että x n x nk < ε 2, kun n, n k n ε. Kosk jono (x nk ) suppenee, niin on olemss sellinen n ε, että x nk < ε 2, kun n k n ε. Vlitn kiinteä n k mx{n ε, n ε}. Silloin eli = lim x n. x n < ε 2 + ε 2 = ε, kikill n n ε, 26

29 Huomutus () Todistuksest nähdään, että Cuchyn jono suppenee jos j vin jos sillä on yksikin suppenev osjono. Sm ominisuus pätee monotonisille rjoitetuille jonoille, mutt ei mielivltisille (rjoitetuille) jonoille. (2) Cuchyn suppenemiskriteeri on yhtäpitävä täydellisyysksioomn knss (hrjoitustehtävä). Esimerkki Osoitetn, että jono (s n ), s n = n ( ) k+ k = ( )n+, n =, 2,..., n suppenee, toisin snoen lim s n = ( )k+ k on olemss. Tehdään tämä osoittmll, että (s n ) on Cuchyn jono. Olkoon ε > 0. Olkoon luksi m > n j osoitetn, että s m s n < kikill n =, 2,... n+ Trkstelu on prs jk khteen osn sen mukn, onko m n prillinen vi priton:. Jos m = n + 2p (eli m n on prillinen luonnollinen luku), niin n+2p s m s n = s n+2p s n = ( ) k+ k k=n+ = n + n m m = n + n m m = ( n + n + 2 ) n + 3 < n + kikill n =, 2,... ( m 2 ) m m 2. Jos m = n + 2p + (eli m n on priton luonnollinen luku), niin n+2p+ s m s n = s n+2p+ s n = ( ) k+ k k=n+ = n + n m 2 m + m 27

30 = n + = n + < n + n m 2 m + ( m n + 2 ) n + 3 kikill n =, 2,... ( m m ) Näiden khden kohdn nojll s m s n < n + < n < ε, kun n > ε. Jos toislt n m, niin vihtmll edellä lukujen n j m roolit nähdään, että s n s m < m + < m < ε, kun m > ε. Tästä seur, että s n s m < ε, kun n, m > ε, joten (s n ) on Cuchyn jono j suppenee Cuchyn kriteerin nojll. Lisätieto: Jonon (s n ) rj-rvo on ns. lternoiv hrmoninen srj, johon pltn myöhemmin srjoj trkstelevss luvuss. Voidn osoitt, että tämä rj-rvo on ( ) k+ = ln 2. k Huomutus () Kurssill Anlyysi III tutkitn täydellisiä vruuksi, jotk määritelmänsä nojll ovt sellisi, että jokinen Cuchyn jono suppenee. (2) Reliluvut voidn konstruoid käyttämällä rtionlilukujen Cuchyn jonoj: Olkoot (x n ), (y n ) Cuchyn jonoj, missä x n, y n Q, n =, 2,... Määritellään ekvivlenssireltio Cuchyn jonoille settmll (x n ) (y n ) lim (x n y n ) = 0. Reliluvut voidn nyt määritellä tämän ekvivlenssin ekvivlenssiluokkin. 28

31 3 Funktion rj-rvo j jtkuvuus 3. Peruskäsitteitä Kerrtn luksi peruskäsitteitä kurssist PM I. Funktio f : A B on sääntö, jok liittää jokiseen määritysjoukon eli lähtöjoukon A = D f lkioon x yksikäsitteisesti jonkin mlijoukon B lkion y, merkitään y = f(x). Joukko R f = {y B y = f(x), x A} on funktion f kuv- eli rvojoukko. Tätä merkitään usein myös f(a). Funktiot f : A B snotn () surjektioksi, jos R f = B, (2) injektioksi, jos on voimss ehto x x 2 = f(x ) f(x 2 ), (3) bijektioksi, jos se on injektio j surjektio. Injektion ehdon voi ilmist myös muodoss f(x ) = f(x 2 ) = x = x 2. Huomutus 3.. Ellei toisin minit, niin tällä kurssill käytetään seurv sopimust: Kun funktio f on nnettu lusekkeen, niin sen määritysjoukko D f on ljin mhdollinen relilukujen osjoukko, joss luseke on mielekäs. Esimerkiksi funktion f(x) = + x 3 x+5 määritysjoukko on D f = {x R x > 5 j x 3}. Olkoon E perusjoukko j A, B E. Tällöin (i) A = {x E x / A} on joukon A komplementti, (ii) A B = {x E x A ti x B} on joukkojen A j B unioni eli yhdiste, (iii) A B = {x E x A j x B} on joukkojen A j B leikkus, 29

32 (iv) A\B = {x E x A j x / B} on joukkojen A j B (joukkoopillinen) erotus. Unionille, leikkukselle j komplementille pätevät De Morgnin lit: (A B) = A B, (A B) = A B. Näiden todistus jätetään hrjoitustehtäväksi. Määritelmä 3.2. Pisteen x 0 R (ε-säteiseksi) ympäristöksi snotn väliä ]x 0 ε, x 0 + ε[ (ts. siinä ovt ne x R, joiden etäisyys pisteestä x 0 on (idosti) pienempi kuin ε). Joukko A R snotn voimeksi, jos jokisell joukon A pisteellä on ympäristö, jok sisältyy joukkoon A. Joukko A R snotn suljetuksi, jos sen komplementti on voin. A = R\A = {x R x / A} Määritelmä 3.3. Pistettä x 0 R snotn joukon A R ksutumispisteeksi, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen piste x A, että x x 0 j x x 0 < ε. Määritelmän trkoitus: x 0 on joukon A R ksutumispiste, jos jokinen pisteen x 0 ympäristö ]x 0 ε, x 0 + ε[ sisältää joukon A pisteen, jok ei ole x 0. Luse 3.4. Piste x 0 R on joukon A R ksutumispiste jos j vin jos on olemss sellinen jono (x n ), että x n A, x n x 0 kikill n =, 2,... j lim x n = x 0. Todistus. : Olkoon x 0 R joukon A ksutumispiste. Tällöin jokist n =, 2,... kohti on olemss sellinen x n A, x n x 0, että Jonolle (x n ) pätee nyt lim x n = x 0. x n x 0 < n. 30

33 : Oletetn, että x n A, x n x 0 kikill n =, 2,... j lim x n = x 0 = ε > 0 n ε siten, että x n x 0 < ε, kun n n ε = ε > 0 pätee x nε A, x nε x 0 j x nε x 0 < ε = x 0 on joukon A ksutumispiste. Suljettu joukko voidn luonnehti myös seurvll tvll (tulost ei todistet tällä kurssill). Seurus 3.5. Joukko A R on suljettu jos j vin jos A sisältää kikkien suppenevien jonojens rj-lkiot. Huomutus 3.6. Luseen 3.4 nojll seurus 3.5 sdn seurvn muotoon: Joukko A R on suljettu jos j vin jos A sisältää kikki ksutumispisteensä. 3.2 Funktion rj-rvo Määritelmä 3.7. Olkoon A R, f : A R funktio j x 0 R joukon A ksutumispiste. Luku R snotn funktion f rj-rvoksi pisteessä x 0, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) < ε in, kun 0 < x x 0 < δ j x A. Tällöin merkitään f(x), kun x x 0, ti lim x x 0 f(x) =. Huomutus 3.8. () Määritelmässä δ riippuu vin luvust ε j pisteestä x 0. (2) Funktion ei trvitse oll määritelty pisteessä x 0 j vikk se olisikin määritelty, niin sen rvo pisteessä x 0 ei vikut rj-rvoon. Tämä on tärkeää myös derivtn määritelmässä (ks. PM I): f : R R on derivoituv pisteessä x 0 R, jos f(x) f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 on olemss. Huom, että erotusosmäärää ei ole määritelty pisteessä x = x 0. 3

34 (3) Jos rj-rvo on olemss, se on yksikäsitteinen (todistus hrjoituksen). Luse 3.9 (funktion rj-rvon jonokrkteristio). Jos f : A R, x 0 on joukon A ksutumispiste j R, niin seurvt väitteet ovt yhtäpitäviä: (i) lim x x0 f(x) =, (ii) Jokiselle jonolle (x n ), jolle x n A, x n x 0 kikill n =, 2,... j lim x n = x 0, pätee lim f(x n) =. Todistus. (i) (ii) : Olkoon lim f(x) =. Olkoot lisäksi x n A, x n x 0 x x0 kikill n =, 2,... j lim x n = x 0. Osoitetn, että lim f(x n ) =. Olkoon ε > 0. Kosk lim x x0 f(x) =, niin on olemss sellinen δ > 0, että f(x) < ε in, kun 0 < x x 0 < δ j x A. Kosk lim x n = x 0, niin on olemss sellinen n δ, että Siten 0 < x n x 0 < δ, kun n n δ (oletetuksen mukn x n x 0 ). joten lim f(x n ) =. f(x n ) < ε, kikill n n δ, (ii) (i) : Tehdään vstoletus: (i) ei toteudu eli on olemss sellinen ε > 0, että jokist δ > 0 kohti on olemss x A, jolle 0 < x x 0 < δ j f(x) ε. Vlitn δ n = n, n =, 2,... Tällöin jokist n Z + kohti on olemss sellinen x n A, että 0 < x n x 0 < n j f(x n) ε. Täten lim x n = x 0, mutt jono (f(x n )) ei suppene kohti luku. Tämä on ristiriit. 32

35 3.3 Funktion jtkuvuus Määritelmä 3.0. Olkoon A R, f : A R j x 0 A. Funktiot f snotn jtkuvksi pisteessä x 0, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(x 0 ) < ε, kun x x 0 < δ j x A. Funktiot f snotn jtkuvksi joukoss A, jos se on jtkuv joukon A jokisess pisteessä. Jos funktio ei ole jtkuv, sitä snotn epäjtkuvksi. Huomutus 3.. () Jtkuvuus on lokli ominisuus: vin se, mitä tphtuu pisteen x 0 mielivltisen pienessä ympäristössä vikutt funktion f jtkuvuuteen pisteessä x 0. (2) Jos f ei ole määritelty pisteessä x 0, niin ei ole mielekästä tutki funktion f jtkuvuutt pisteessä x 0. Esimerkki 3.2. () Olkoon f : R \ {} R, f(x) = x. Usein funktion f snotn olevn epäjtkuv pisteessä, vikk sitä ei ole määritelty pisteessä. (2) Olkoon g : R \ {0} R, g(x) =. Usein funktion g snotn olevn epäjtkuv pisteessä 0, vikk sitä ei ole määritelty nollss. (Jos x funktiolle määritellään rvo nollss, niin stu funktio on väistämättä epäjtkuv joukoss R.) (3) Olkoon h: ] π, [ π sin x 2 2 R, h(x) = tn x =. Funktio h on jtkuv cos x välillä ] π, [ π 2 2. Jtketn h jksollisesti joukkoon A = {x R x π 2 + kπ, k Z} settmll h(x+π) = h(x). Nyt h : A R on jtkuv (eikä epäjtkuv, kuten sttisi luull). Luse 3.3 (jtkuvuuden jonokrkteristio). Funktio f : A R on jtkuv pisteessä x 0 A jos j vin jos lim f(x n) = f(x 0 ) kikill jonoill (x n ), joille pätee x n A, n =, 2,... j lim x n = x 0. 33

36 Todistus. Kuten luse 3.9 rj-rvolle. Huomutus 3.4. () Luseen 3.3 väitteessä on pieniä eroj vstvn luseeseen 3.9 verrttun: lukujonon (x n ) termi voi oll myös x 0 eikä pisteen x 0 trvitse oll ksutumispiste. (2) Luseen ehto voidn myös kirjoitt muodoss: lim f(x) = f(x 0 ), x x 0 jolloin yhtälön vsemmn puolen täytyy oll olemss j oiken puolen täytyy oll määritelty. Tämä on kurssill PM I esiintynyt määritelmä jtkuvuudelle. (3) Jos x 0 A ei ole joukon A ksutumispiste, niin on olemss sellinen ε > 0, että ]x 0 ε, x 0 + ε[ A = {x 0 }. Tällisiss, ns. eristetyissä, pisteissä f on utomttisesti jtkuv määritelmän 3.0 nojll. Esimerkki 3.5. Esimerkkejä erityyppisistä epäjtkuvuuksist: () hyppäysepäjtkuvuus pisteessä 0: {, x 0, f(x) =, x < 0; (2) krkminen äärettömyyteen pisteessä 0: { x f(x) =, x 0, 0, x = 0; (3) heilhteluepäjtkuvuus pisteessä 0: { sin x f(x) =, x 0, 0, x = 0. Esimerkki 3.6 (vrsin ptologinen tpus). Olkoon f : ]0, [ R, f(x) = {, n jos x = m, n > 0, syt(n, m) = (supistettu muoto), n 0, jos x ]0, [ \ Q. 34

37 Seurvss on muutmi funktion f rvoj: ( f = n) ( n, f ) ( n ) = f = n n n, ( 2 ) ( 3 f = 0, f = 2 7) ( 4 ( 2 f = f = 7 6) 3) 3. Lisäksi jos f( m n ) = n, niin f( m n ) = f(n m n ) = n. Huom, että jos n Z +, niin lukuj x ]0, [, joille f(x), on vin n äärellinen määrä. Näin on, sillä jos f(x), niin n x = p q, missä q n. Tästä seur, että q n j p n, joten lukuj 0 < x <, joille pätee f(x) on korkeintn n(n ) kpplett. n Osoitetn, että tämä ns. Dirichlet n funktio f on jtkuv jokisess irrtionlipisteessä j epäjtkuv jokisess rtionlipisteessä. Väite sdn, kun todistetn, että lim x x 0 f(x) = 0 kikill x 0 ]0, [. Olkoon ε > 0. Silloin on olemss sellinen n, että n < ε. Kosk f(x) vin äärellisen monell (korkeintn n(n )) muuttujn n x rvoll, niin on olemss sellinen δ > 0, että ]x 0 δ, x 0 + δ[ ei sisällä pisteitä x ]0, [ Q, x x 0, joille f(x). Tästä seur, että n f(x) 0 = f(x) < n < ε, kun 0 < x x 0 < δ, sillä tällisille x joko f(x) = 0 ti f(x) = jollkin q > n. Siten lim f(x) = 0 q x x 0 kikill x 0 ]0, [. Näin ollen f on jtkuv täsmälleen niissä pisteissä x 0, joiss f(x 0 ) = 0. Voidn todist, että ei ole olemss funktiot, jok olisi jtkuv jokisess rtionlipisteessä j epäjtkuv jokisess irrtionlipisteessä. Tätä ei todistet tällä kurssill. Seurvss on lueteltu muutmi jtkuvien funktioiden perusominisuuksi. 35

38 () Alkeisfunktiot ovt jtkuvi määrittelyjoukossn. Alkeisfunktioit ovt polynomit, rtionli-, eksponentti-, logritmi-, potenssi-, trigonometriset j ns. lgebrlliset funktiot sekä näistä äärellisellä määrällä funktioiden peruslskutoimituksi, kääntämisiä j yhdistämisiä sdut funktiot. Alkeisfunktioit ovt siis esimerkiksi x 2 x 3,, x 3 +2 ex, log 3 (4x + ), x 2, cos(3x), x j rcsin ( tn x+ln x 2 ) ( 2 3 )x + 5 x 4 +sin x. (2) Jos funktiot f j g ovt jtkuvi pisteessä x 0, niin myös funktiot f f ± g, cf (c R), fg, g (g(x 0) 0), f, min{f, g}, mx{f, g} ovt jtkuvi pisteessä x 0. (3) Jos f on jtkuv pisteessä x 0 j g on jtkuv pisteessä f(x 0 ), niin yhdistetty funktio g f on jtkuv pisteessä x 0. Esimerkiksi funktio f(x) = x on jtkuv pisteessä x 0 0 j funktio g(x) = sin x on jtkuv pisteessä f(x 0 ) = x 0, joten funktio (g f)(x) = sin x on jtkuv pisteessä x 0 0. (4) Suppiloperite funktioille: Jos f, g, h: A R ovt sellisi funktioit, että f j g ovt jtkuvi pisteessä x 0 A, j f(x) h(x) g(x) kikill x A f(x 0 ) = h(x 0 ) = g(x 0 ), niin myös h on jtkuv pisteessä x 0. Tämä tulos seur suorn luseist 2.9 j 3.3. Määritelmä 3.7. Funktiot f : A R snotn rjoitetuksi, jos sen kuvjoukko R f = f(a) = {y R y = f(x) jollkin x A} on rjoitettu eli on olemss sellinen vkio M 0, että f(x) M kikill x A. Luse 3.8. Suljetull j rjoitetull välillä [, b] määritelty jtkuv funktio f : [, b] R on rjoitettu. 36

39 Todistus. Tehdään vstoletus: f ei ole rjoitettu. Tällöin jokist n Z + kohti on olemss sellinen x n [, b], että f(x n ) > n. Kosk x n [, b] kikill n =, 2,..., niin jono (x n ) on rjoitettu. Bolznon Weierstrssin luseen nojll sillä on suppenev osjono (x nk ), eli lim k x n k = x 0 jollkin x 0 R. Kosk x nk b kikill k =, 2,..., niin epäyhtälön säilymisen peritteen nojll x 0 b, ts. x 0 [, b] (tässä on olennist, että väli on suljettu). Edelleen, kosk lim x n k = x 0, x 0 [, b] j f on jtkuv välillä [, b], k niin jtkuvuuden jonokrkteristion nojll lim f(x n k ) = f(x 0 ). k Tästä seur, että (f(x nk )) on suppenevn jonon rjoitettu. Tämä on ristiriit, sillä f(x nk ) > n k, k =, 2,..., missä n k, kun k. Huomutus 3.9. Edellisessä luseess on olennist, että väli on suljettu: funktio f : ]0, [ R, f(x) = on jtkuv välillä ]0, [, mutt ei ole x rjoitettu. Toislt on olennist, että funktio on jtkuv: funktio { x f : [0, ] R, f(x) =, 0 < x,, x = 0 ei ole rjoitettu suljetull välillä [0, ]. Kertus: Funktio f : A R svutt suurimmn rvons joukoss A R, jos mx f(a) on olemss eli on olemss sellinen x 0 A, että f(x) f(x 0 ) kikill x A. Silloin f(x 0 ) = mx x A f(x) = sup f(x). x A 37

40 Vstvsti f svutt pienimmän rvons joukoss A, jos min f(a) on olemss eli on olemss sellinen x 0 A, että Silloin f(x) f(x 0 ) kikill x A. f(x 0 ) = min f(x) = inf f(x). x A x A Luse 3.20 (Weierstrssin mx-min-luse). Suljetull j rjoitetull välillä [, b] määritelty jtkuv funktio f : [, b] R svutt suurimmn j pienimmän rvons. Todistus. Luseen 3.8 nojll funktio f on rjoitettu. Täydellisyysksioomn nojll sup f(x) = M R x [,b] on olemss. Osoitetn seurvksi, että on olemss sellinen x 0 [, b], että f(x 0 ) = M (jolloin M = mx x [,b] f(x)). Luseen. nojll jokist n Z + kohti on olemss sellinen x n [, b], että M n < f(x n) M. Kosk x n b kikill n =, 2,..., niin (x n ) on rjoitettu jono. Bolznon Weierstrssin luseen nojll tällä on suppenev osjono (x nk ), joten rjrvo lim x n k = x 0 R k on olemss. Kosk x nk b kikill k =, 2,..., niin epäyhtälön säilymisen peritteen nojll x 0 b, joten x 0 [, b] (tässä on olennist, että väli on suljettu, vrt. luseen 3.8 todistukseen). Kosk M n k < f(x nk ) M kikill k =, 2,..., niin suppiloperitteen nojll lim f(x n k ) = M. k Kosk f jtkuv pisteessä x 0, niin jtkuvuuden jonokrkteristion nojll f(x 0 ) = lim k f(x nk ) = M. Minimiä koskev väite todistetn vstvll tvll (hrjoitustehtävä). 38

41 Huomutus 3.2. Edellisessä luseess on olennist, että väli on suljettu: funktio f : ]0, [ R, f(x) = x on jtkuv, mutt ei svut suurint eikä pienintä rvo välillä ]0, [. Huom, että inf f(x) = 0 j sup f(x) =, x ]0,[ x ]0,[ mutt minimiä ti mksimi ei ole olemss. On myös olennist, että väli on rjoitettu: funktio f : [, [ R, f(x) = x on jtkuv, mutt ei svut pienintä rvo välillä [, [. Huom, että inf f(x) = 0. x [, [ Luse Oletetn, että f : [, b] R on jtkuv. Jos f() < 0 < f(b) ti f() > 0 > f(b), niin on olemss sellinen x 0 ], b[, että f(x 0 ) = 0. Todistus. Oletetn, että f() < 0 < f(b) (tpuksen f() > 0 > f(b) voi tämän jälkeen hoit trkstelemll funktiot g = f, jok on jtkuv j jolle g() < 0 < g(b)). Väitteen voi todist khdell eri tvll: käyttämällä täydellisyysksioom suorn ti jonojen j suljettujen välien peritteen vull. Olkoon A = {x [, b] f(x) < 0}. Kosk A, niin A. Lisäksi A [, b] on (ylhäältä) rjoitettu, joten x 0 = sup A on olemss. Osoitetn, että f(x 0 ) = 0. Jos f(x 0 ) < 0, niin on olemss sellinen δ > 0, että f(x) < 0 kikill x x 0 < δ (ks. hrjoituksen 6 tehtävä 2). Erityisesti f(x 0 + δ ) < 0, ts. 2 x 0 + δ A eikä x 2 0 ole joukon A ylärj. Jos f(x 0 ) > 0, niin on olemss sellinen δ > 0, että f(x) > 0 kikill x x 0 < δ. Lisäksi x 0 on joukon A ylärj, joten x / A kikill x ]x 0 δ, b]. Tällöin kuitenkin x 0 δ 2 on joukon A ylärj eikä x 0 voi oll pienin ylärj. Näin ollen on oltv f(x 0 ) = 0. Toinen tp todist väite on käyttää jonoj j iemmst tuttu puolitusmenetelmää. Olkoon I = [, b ], missä = j b = b j sen keskipiste c = + b. 2 39

42 Jos f(c ) = 0, niin hettu piste on löydetty j x 0 = c. Jos f(c ) 0, niin joko f(c ) > 0 ti f(c ) < 0. Jos f(c ) > 0, niin vlitn 2 = j b 2 = c. Jos f(c ) < 0, niin vlitn 2 = c j b 2 = b. Kummsskin tpuksess siis I 2 = [ 2, b 2 ] I j f( 2 ) < 0 < f(b 2 ). Jtketn näin: jos välit I, I 2,..., I n on vlittu kuten edellä j c n = n + b n 2 on välin I n = [ n, b n ] keskipiste, niin vlitn väli I n+ = [ n+, b n+ ] I n siksi välin I n = [ n, b n ] puolikkksi, jolle f( n+ ) < 0 < f(b n+ ). Jos f(c n ) = 0 jollkin n Z +, niin vlitn x 0 = c n j väite on todistettu. Jos vlintprosessi ei pysähdy vn f(c n ) 0 kikill n Z +, niin smme jonon sisäkkäisiä suljettuj välejä I n = [ n, b n ], joille pätee I I 2 I 3..., f( n ) < 0 < f(b n ), n =, 2,... Suljettujen välien peritteen nojll on olemss Välien pituudet x 0 I n. n= b n n = b 0, kun n. 2n Kosk n x 0 b n kikill n =, 2,..., niin 0 x 0 n b n n = b 2 n j 0 b n x 0 b n n = b 2 n. Tässä b 2 n 0, kun n, joten suppiloperitteen nojll lim n = x 0 = lim b n. Kosk f on jtkuv pisteessä x 0, niin jtkuvuuden jonokrkterition nojll lim f( n) = f(x 0 ) = lim f(b n ). 40

43 Kosk f( n ) < 0 kikill n =, 2,..., niin epäyhtälön säilymisen peritteen nojll f(x 0 ) = lim f( n ) 0. Toislt f(b n ) > 0 kikill n =, 2,..., joten Tästä seur, että f(x 0 ) = 0. f(x 0 ) = lim f(b n ) 0. Luse 3.23 (Bolznon luse). Oletetn, että f : [, b] R on jtkuv. Jos y R on sellinen luku, että inf f(x) y sup f(x), x [,b] x [,b] niin on olemss sellinen x 0 [, b], että f(x 0 ) = y. Todistus. Weierstrssin luseen (luse 3.20) mukn on olemss selliset x, x 2 [, b], että inf f(x) = min f(x) = f(x ) y f(x 2 ) = mx f(x) = sup f(x). x [,b] x [,b] x [,b] x [,b] Jos x = x 2, niin f(x ) f(x) f(x 2 ) = f(x ) kikill x [, b], joten f(x) = f(x ) kikill x [, b] j f on vkiofunktio. Oletetn sitten, että x < x 2 (tpus x > x 2 todistetn smll tvll). Funktio on jtkuv, g : [, b] R, g(x) = f(x) y g(x ) = f(x ) y 0 j g(x 2 ) = f(x 2 ) y 0. Jos g(x k ) = 0 toisell k =, 2, niin vlitn x 0 = x k. Muutoin g(x ) < 0 j g(x 2 ) > 0. Tällöin luseen 3.22 nojll on olemss sellinen x 0 [x, x 2 ], että g(x 0 ) = 0 eli f(x 0 ) = y. 4

44 Huomutus () Bolznon luse snoo käytännössä sen, että jtkuv funktio svutt inkin kerrn kikki rvot miniminsä j mksimins välillä. (2) Bolznon luseess on olennist, että funktio f on jtkuv j se että relikseliss ei ole reikiä. Esimerkiksi rtionliluvuill ei ole edellisten khden luseen ominisuutt: Jos f : Q [0, 2] Q, f(x) = x 2 2, niin f(0) = 2 j f(2) = 2, mutt ei ole olemss sellist luku x 0 Q [0, 2], että f(x 0 ) = Funktion tsinen jtkuvuus Olkoot A R j f : A R jtkuv joukoss A. Tällöin f on jtkuv jokisess pisteessä t A. Siten jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(t) < ε, kun x t < δ j x A. Kuitenkin δ riippuu yleensä pisteestä t. Siis sm δ ei yleensä kelp kikille pisteille t A. Yleensä δ riippuu luvust ε, funktiost f j pisteestä t. Esimerkki Olkoon f : ]0, ] R, f(x) = cos. Tällöin f on jtkuv x joukoss ]0, ], erityisesti pisteessä t ]0, ]. Oletetn, että jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(t) < ε kikille x, t ]0, ], x t < δ, ts. oletetn ettei δ riipu pisteestä t. Vlitn sellinen n, että Olkoot x = 2nπ δ > 2nπ. j t = Nyt 0 < t < x < δ, joten x t < δ, mutt (2n + )π. f(x) f(t) = cos(2nπ) cos((2n + )π) = 2. Jos vlitn 0 < ε < 2, niin ei ole olemss sellist luku δ > 0, jolle pätee f(x) f(t) < ε kikille x, t ]0, ], x t < δ. Siis δ riippuu pisteestä t olennisell tvll. 42

45 Määritelmä Funktiot f : A R snotn tsisesti jtkuvksi joukoss A, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(t) < ε kikill x, t A j x t < δ. Määritelmän trkoitus: Funktio f : A R on tsisesti jtkuv joukoss A, jos funktion rvot ovt mielivltisen lähellä toisin in, kun muuttujn rvot ovt riittävän lähellä toisin. Siis funktion rvot eivät s muuttu liin nopesti (ti jos ne muuttuvt hyvin nopesti, niin muutoksen on tphduttv riittävän pienellä välillä). Huomutus () Tsinen jtkuvuus määritellään joukoss A, ei pisteittäin kuten jtkuvuus. (2) Jos f on tsisesti jtkuv joukoss A, niin f on jtkuv joukoss A (kiinnitetään t = x 0 määritelmässä 3.26). Käänteinen väite ei päde esimerkin 3.25 vloss. Luse Jtkuv funktio f : [, b] R on tsisesti jtkuv suljetull j rjoitetull välillä [, b]. Todistus. Tehdään vstoletus: funktio f ei ole tsisesti jtkuv välillä [, b]. Tästä seur, että on olemss sellinen ε > 0, että jokist δ > 0 kohti on olemss selliset pisteet x, t [, b] (jotk riippuvt luvust δ), että x t < δ j f(x) f(t) ε. Vlitn δ = n, n =, 2,..., jolloin jokist n kohti on olemss selliset x n, t n [, b], että x n t n < n j f(x n) f(t n ) ε. Jono (x n ) on rjoitettu, joten Bolznon Weierstrssin luseen (luse 2.9) nojll sillä on suppenev osjono (x nk ). Olkoon x 0 = lim k x nk. Kosk x nk b kikill k =, 2,..., niin epäyhtälön säilymisperitteen nojll x 0 b eli x 0 [, b]. 43

46 Lisäksi t nk x 0 t nk x nk + x nk x 0 < n k + x nk x 0 k + x n k x 0 0, kun k (huom, että n k k), joten lim k t nk = x 0. Kosk f on jtkuv, niin jtkuvuuden jonokrkteristion (luse 3.3) nojll lim f(x n k ) = f(x 0 ) = lim f(t nk ). k k Täten on olemss sellinen k ε Z +, että f(x nk ) f(x 0 ) < ε 2 j f(t nk ) f(x 0 ) < ε 2 kikill k k ε. Siten ε f(x nk ) f(t nk ) f(x nk ) f(x 0 ) + f(x 0 ) f(t nk ) < ε 2 + ε 2 = ε, kikill k k ε. Ristiriit. 44

47 4 Srjt 4. Srjn suppeneminen Määritelmä 4.. Olkoon (x k ) relilukujono. Muodostetn uusi jono (s n ), jolle n s n = x k = x + x x n, n =, 2,... Jono (s n ) snotn jonoon (x k ) liittyväksi ossummien jonoksi ti srjksi. Jos jono (s n ) suppenee eli on olemss sellinen S R, että lim s n = S, niin snotn että srj suppenee. Tällöin luku S snotn srjn summksi j merkitään n x k = lim x k = lim s n = S. Jos srj ei suppene, niin snotn, että se hjntuu. Huomutus 4.2. () Srj merkitään x k riippumtt siitä, suppeneeko se. (2) Jos srj x k suppenee, niin sen ossummien jono (s n ) suppenee, ts. rj-rvo lim s n = S on olemss. Tällöin jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε, että s n S = k=n+ x k < ε kikill n nε. Tästä nähdään, että srj suppenee, jos j vin jos sen häntäos voidn stt mielivltisen pieneksi. Lemm 4.3. Jos srj x k suppenee, niin lim x k = 0. k Todistus. Srj x n = s n s n, n = 2, 3,..., niin x k suppenee, joten on olemss lim s n = S R. Kosk lim x n = lim (s n s n ) = lim s n lim s n = S S = 0. 45

48 Huom, että tässä myös rj-rvo lim s n on olemss j on S. Huomutus 4.4. () Ominisuudest lim k x k = 0 ei seur srjn suppeneminen! Esimerkiksi hrmoninen srj lim = 0. k k k x k hjntuu vikk (2) Yleisesti srjn suppeneminen riippuu siitä, että kuink nopesti x k menee nolln luvun k ksvess. Seurus 4.5. Jos lim x k 0 (ti rj-rvo ei ole olemss), niin x k k hjntuu. Esimerkki 4.6. () Srj (2) Toislt srjt k k + lim k ( ) k j eivät ole olemss. hjntuu, sillä k k + = 0. ( cos k π ) hjntuvt, sillä rj-rvot 2 ( lim k ( )k j lim cos k π ). k 2 Luse 4.7 (Cuchyn kriteeri srjoille). Srj suppenee, jos j vin jos sen ossummien jono (s n ) on Cuchyn jono eli jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε, että s n s m < ε, kun n, m n ε. Todistus. Seur suorn Cuchyn kriteeristä jonoille. Huomutus 4.8. () Ossummien jono (s n ) on Cuchyn jono, jos j vin jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε Z +, että s n s m = m k=n+ x k < ε, kun m > n nε. 46

49 (2) Tämän kriteerin vull on jo osoitettu kppleess 2.4, että ( ) k+ j k 2 k suppenevt j että hjntuu. Trkstelln seurvksi eräitä keskeisiä srjoj. Todistetn sitä ennen yksi trpeellinen lemm. Lemm 4.9. Jos <, niin lim n = 0. Jos =, niin lim n =. Muulloin jono ( n ) hjntuu. Todistus. Olkoon ensin <. Tällöin n = n < n =, joten jonot ( n ) j ( n ) ovt rjoitettuj. Lisäksi jono ( n ) on vähenevä, sillä n+ = n < n. Siten jono ( n ) suppenee j k lim n = inf{ n n =, 2,...}. Merkitään tätä infimumi (j rj-rvo) m j osoitetn, että on m = 0. Selvästi 0 on lrjn lkioille n, j infimumin määritelmän ehto (i) toteutuu. Oletetn, että m > 0. Kosk m > m = inf{ n n =, 2,...}, niin on olemss sellinen n Z +, että n < m. Tällöin n+ < m = m, mikä on ristiriidss luvun m määrittelyn knss. Näin ollen m = 0 j hrjoituksen 2 tehtävän 5c nojll myös lim n = 0. Jos =, niin ( n ) =,,... ti ( n ) =,,,,... eikä jono ( n ) suppene. Jos >, niin = + x jollkin x > 0. Tällöin n ( ) n n ( ) n ( + x) n = x k n k = + nx + x k > + nx, k k k=0 kikill n Z +, joten n > nx kikill n Z +. Tässä x > 0, joten jono ( n ) ei ole rjoitettu. Myöskään jonot ( n ) j ( n ) eivät siten voi oll rjoitettuj. 47 k=2

50 Luse 4.0. Geometrinen srj x k = + x + x , x R, k=0 suppenee, jos j vin jos x <. Jos x <, niin srjn summ on k=0 x k = x. Todistus. : Oletetn, että x < j osoitetn, että Nyt k=0 x k = x. s n = + x + x x n xs n = x + x x n + x n+. j Vähentämällä nämä puolittin toisistn sdn s n xs n = x n+, joten s n = xn+, n = 0,,... x Huom, että nyt x 0. Kosk x <, niin lemmn 4.9 mukn lim xn+ = 0, j k=0 Siten srj (s n ) suppenee. x k x n+ = lim s n = lim x =, x <, x : Oletetn, että x. Tällöin jono (x k ) ei suppene nolln, kun k, j srj k=0 xk hjntuu seuruksen 4.5 nojll. Huomutus 4.. Geometrinen srj on lähtökoht monelle muulle suppenevlle srjlle: () x k = x x k = k=0 x, kun x <, x (2) ( ) k x 2k = k=0 ( x 2 ) k = k=0 ( x 2 ) =, kun x <, + x2 48

51 (3) 3 k x k = k=0 k=0 (3x) k = 3x, kun x < 3. Seurvn srjn suppenemist koskev tulos on tärkeässä rooliss myöhemmin suppenemistestien yhteydessä. Luse 4.2. Olkoon p R. Srj suppenee, jos j vin jos p >. k p Todistus. : Tp (Hiemn epätrkk, ennen kuin integrlit on käsitelty trksti): Olkoon p >. Ossumm s n voidn rvioid ylöspäin määrätyn integrlin vull seurvsti: s n = n k + p = + p n ( n p x dx = + p p ) < + p = / n p p x p = + ( n p ) p (p > ). Siten jono (s n ) on ksvv (s n+ s n ) j rjoitettu, joten se suppenee monotonisen konvergenssin luseen nojll j k p = lim s n p p <, kun p >. Siis srj suppenee, kun p >. (Tällä menetelmällä sdn myös rvio virheen S s n suuruudelle.) Tp 2 (Trkk perustelu): Olkoon p >. Kosk jono (s n ) on ksvv, niin monotonisen konvergenssin luseen nojll se suppenee, jos se on rjoitettu. Riittää siis osoitt, että jono (s n ) on rjoitettu. 49

52 Kun n Z +, vlitn sellinen t Z +, että n < 2 t. Tällöin Tässä 2 p s n s 2 t = = + 2 t k p ( 2 + ) ( + p 3 p 4 + p 5 + p 6 + ) + p 7 ( p ) + (2 t ) + + p (2 t ) p 2t p p p (2 t ) p = p (2 p ) + 2 (2 p ) (2 p ) t (2 p ) k = <. 2 p k=0 on vkio, jok ei riipu luvust n, joten jono (s n ) on rjoitettu. : Olkoon sitten p. Tällöin kikill k =, 2,... pätee rvio k p k, jost sdn. Siten ossummille sdn rvio k k p n k n, n =, 2,... () kp Ossummien jono n, n =, 2,..., ei ole ylhäältä rjoitettu, Epäyhtälön k () nojll myöskään srjn ossummien jono ei ole ylhäältä rjoitettu, joten se k p hjntuu. Sen, että srj hjntuu, voi nähdä myös seurvsti (tässä on sm k epätrkkuus kuin tpuksen p > yhteydessä): s n = n k = n > n+ dx = ln (n + ). x Kosk lim ln(n + ) =, niin myös lim s n =, joten (s n ) hjntuu. Tpus p 0 voidn perustell myös seurvsti. Kosk p 0, niin k p = k p kikill k =, 2,... Siten jono ( ) k ei suppene luku 0 kohti, kun k, j srj p hjntuu seuruksen 4.5 nojll. 50 k p

53 Suppenevt srjt toteuttvt yleisesti seurvn linerisuusominisuuden. Luse 4.3. Olkoot, b R. Jos x k = S j y k = T ovt suppenevi srjoj, niin myös srj (x k + by k ) suppenee j sen summ on S + bt. Todistus. Kosk lim n x k = S j lim n y k = T, niin lukujonon rjrvon lskusääntöjen (huomutus 2.7) nojll lim n (x k + by k ) = lim n x k + b lim n y k = S + bt. Huomutus 4.4. Srjn (x k + y k ) suppenemisest ei seur, että x k ti y k suppenisi. Esimerkiksi (( ) k + ( ) k+ ) = 0 = 0 suppenee, mutt ( ) k j ( ) k+ hjntuvt. 4.2 Suppenemistestejä positiivitermisille srjoille Jonojen tpuksess osoitettiin, että relilukujono suppenee, jos j vin jos se on Cuchyn jono. Tällöin sen suppeneminen pääteltiin rj-rvo lskemtt. Vstvsti srjojen tpuksess on tärkeää pystyä päättelemään srjn suppeneminen lskemtt sen summ summn lskeminen on usein hyvin vike, jop mhdotont j myös turh, jos srj osoittutuukin hjntuvn. Srjn suppenemisen trkstelu summ lskemtt on usein mhdollist niin snottujen suppenemistestien vull. Määritelmä 4.5. Srj x k snotn positiivitermiseksi, jos x k 0 in, kun k =, 2,... Seurv luse nt monotonisen konvergenssin lusett vstvn tuloksen srjoille. 5

54 Luse 4.6. Positiiviterminen srj suppenee, jos j vin jos sen ossummien jono (s n ) on ylhäältä rjoitettu. Tällöin x k = lim s n = sup{s n n =, 2,...}. Todistus. : Oletetn, että srj x k suppenee j x k 0, k =, 2,... Tällöin ossummien jono (s n ) suppenee, joten jono (s n ) on rjoitettu. : Oletetn, että (s n ) on ylhäältä rjoitettu. Jono s n on lisäksi ksvv, sillä n+ n s n+ s n = x k x k = x n+ 0, n =, 2,... Siis (s n ) on ksvv j ylhäältä rjoitettu, joten monotonisen konvergenssin luseen (luse 2.2) nojll (s n ) suppenee. Siten srj suppenee. Lisäksi monotonisen konvergenssin luseen nojll x k = sup{s n n =, 2,...}. Huomutus 4.7. Luse ei päde, jos termit vihtvt merkkiä. Esimerkiksi ( ) k hjntuu, vikk sen ossummien jono on rjoitettu. Seurv luse on yksinkertinen, mutt äärimmäisen tärkeä. Luse 4.8 (mjorntti- j minornttiperite). Oletetn, että jonoille (x k ) j (y k ) on voimss 0 x k y k kikill k =, 2,... (i) Jos (ii) Jos y k suppenee, niin x k suppenee. (mjornttiperite) x k hjntuu, niin y k hjntuu. (minornttiperite) 52

55 Todistus. Osoitetn ensin koht (i). Merkitään s n = n x k j s n = n =, 2,... Kosk srj y k suppenee, niin jono (s n) suppenee j se on rjoitettu. Täten on olemss sellinen M R, että s n M kikill n =, 2,... Edelleen 0 s n M kikill n =, 2,..., sillä y k 0 kikill k Z +. Kosk kikill k pätee 0 x k y k, niin 0 s n s n M, n =, 2,... Srj x k on positiiviterminen j sen ossummien jono (s n ) on rjoitettu. Luseen 4.6 nojll jono (s n ) j siten myös srj x k suppenee. Koht (ii) seur vstoletuksell kohdst (i). Huomutus 4.9. () Yleensä tehtävänä on tutki, suppeneeko nnettu srj. Tällöin on pääteltävä, kump peritett tehtävässä knntt käyttää; hjntuv mjornttisrj ti suppenev minornttisrj ei ut tehtävän rtkisuss. (2) Edellä srjn on oltv positiiviterminen. Esimerkiksi ( ) k hjntuu, vikk 0 kikill k =, 2,... j 0 = 0 suppenee. k Esimerkki Tutki, suppeneeko srj k + 5 k 3 + k 2 + k +. Rtkisu: Hnkitn ensin rvus suppenemisest. Suurill indeksin k rvoill k + 5 k 3 + k 2 + k + k k = 3 k. Kosk srj suppenee, yritetään osoitt 2 k 2 myös nnettu srj suppenevksi. Käytetään mjornttiperitett. Nyt 0 k + 5 k 3 + k 2 + k + = + 5/k k 2 ( + /k + /k 2 + /k 3 ) 6 k 2 kikill k =, 2,..., j 6 k = 6 suppenee. Siten lkuperäinen srj 2 k2 suppenee mjornttiperitteen nojll. 53 n y k,

56 Esimerkki 4.2. Tutki, suppeneeko srj k + 5 k 2 + k +. Rtkisu: Hnkitn ensin rvus suppenemisest. Suurill indeksin k rvoill k k. Kosk srj hjntuu, yritetään osoitt k+5 k 2 +k+ k 2 = myös nnettu srj hjntuvksi. Käytetään minornttiperitett. Alspäin rvioimll sdn Lisäksi srj k k + 5 k 2 + k + = + 5/k k( + /k + /k 2 ) 4k 4k = 2 k 0, k =, 2,... hjntuu, joten minornttiperitteen nojll nnettu srj hjntuu. Huomutus Mjorntti- j minornttiperitteess srj knntt yrittää verrt srjn k p ti geometriseen srjn, joiden suppeneminen hllitn täysin. Luse 4.23 (suhdetesti). Oletetn, että x k > 0 kikill k =, 2,... (i) Jos on olemss selliset k 0 Z + j 0 M <, että niin x k suppenee. x k+ x k M kikill k k 0, (ii) Jos on olemss sellinen k 0 Z +, että x k+ x k kikill k k 0, niin x k hjntuu. 54

57 Todistus. (i) Oletusten nojll joten x k0 + Mx k0, x k0 +2 Mx k0 + M 2 x k0,. x k0 +(k k 0 ) Mx k M 2 x k 2 M k k 0 x k0, x k x k0 M k k 0 kikill k k 0 (trkk perustelu induktioll). Lisäksi k=k 0 x k0 M k k0 = x k0 M k0 k=k 0 M k, missä k=k 0 M k on suppenev geometrinen srj, sillä 0 M <. Siten lkuperäinen srj suppenee mjornttiperitteen nojll. (ii) Oletusten mukn x k x k0 > 0 kikill k k 0. Tästä seur, että jono (x k ) ei suppene luku 0 kohti. Siten x k hjntuu seuruksen 4.5 nojll. Seurus Oletetn, että x k > 0 kikill k =, 2,... (i) Jos lim k x k+ x k (ii) Jos lim k x k+ x k <, niin srj >, niin srj x k suppenee. x k hjntuu. x k+ Todistus. (i) Olkoon lim = c, missä 0 c <. Tällöin on olemss k x k sellinen k 0 Z +, että x k+ c x k < c kikill k k

58 Tästä seur, että x k+ x k < c 2 + c = c + 2 joten srj suppenee luseen 4.23 nojll. < kikill k k 0, x k+ (ii) Olkoon lim = c, missä c >. Tällöin on olemss sellinen k 0 k x k Z +, että x k+ c x k < c kikill k k 0. 2 Tästä seur, että x k+ > c c x k 2 = c + 2 joten srj hjntuu luseen 4.23 nojll. > kikill k k 0, x k+ Huomutus Jos lim k x k Esimerkiksi srj =, niin srj voi supet ti hjntu. suppenee, kun p >, j hjntuu, kun 0 < p. Tässä tpuksess ( ) x k+ /(k + ) p p k lim = lim = lim = k x k k /k p k k + kikill 0 < p <. Huom, että tässä x k+ x k < kikill k =, 2,... Luse 4.26 (juuritesti). Oletetn, että x k 0 kikill k =, 2,... k p (i) Jos on olemss selliset k 0 Z + j 0 M <, että niin x k suppenee. k xk M kikill k k 0, (ii) Jos on olemss sellinen k 0 Z +, että k xk kikill k k 0, niin x k hjntuu. 56

59 Todistus. (i) Oletusten nojll on olemss sellinen k 0 Z +, että k xk M kikill k k 0, joten x k M k kikill k k 0. Tässä M k on geometrinen srj, jok suppenee, sillä 0 M <, k=k 0 joten lkuperäinen srj suppenee mjornttiperitteen nojll. (ii) Oletusten nojll on olemss sellinen k 0 Z +, että k xk kikill k k 0, joten x k k = kikill k k 0. Täten jono (x k ) ei suppene luku 0 kohti, joten srj x k hjntuu seuruksen 4.5 nojll. Seurus Oletetn, että x k > 0 kikill k =, 2,... (i) Jos lim k k x k <, niin srj (ii) Jos lim k k x k >, niin srj x k suppenee. x k hjntuu. Todistus. Vstvsti kuin seuruksen 4.24 todistus (hrjoitustehtävä). Huomutus () Juuritestiä käyttäessä knntt muist rj-rvo n n =. lim Todistus. Huom, että n n, kikill n =, 2,... Johdetn seurvksi luvulle n n ylärj, jonk rj-rvo on. Kun n 2, niin binomikvst ( + b) n = n ( n k=0 k) n k b k sdn rvio ( ( ) ( ) 2 n n 2 n ( 2 ) 2 ( + = + n) n + 2 ) n n n ( ) n ( 2 ) 2 n(n ) 2 + = + 2 n 2 n = n. 57

60 Siis ( + 2 n ) n n, mistä sdn + 2 n n n. Siten suppiloperitteen mukn lim n n =. (2) Jos lim k k x k =, niin srj voi supet ti hjntu. Esimerkiksi srj k p, suppenee, kun p >, j hjntuu, kun 0 < p. Tässä tpuksess kohdn () mukn kikill 0 < p <. lim k k k = lim p k ( k k) p = (3) Srjn suppenemist trksteltess voidn in jättää pois äärellisen mont termiä srjn lust. Ne eivät vikut srjn suppenemiseen, mutt vikuttvt kyllä srjn summn. Tällä tulkinnll positiivitermisten srjojen suppenemistestejä voidn sovelt myös srjoihin, joiden termit ovt positiivisi jostkin indeksin rvost lähtien. Luse 4.29 (vertiluperite). Oletetn, että x k > 0 j y k > 0 kikill k =, 2,... j että x k K = lim k y k on olemss. (i) Jos 0 < K <, niin x k suppenee, jos j vin jos y k suppenee. (ii) Jos K = 0 j y k suppenee, niin x k suppenee. (iii) Jos K = j y k hjntuu, niin x k hjntuu. Todistus. (i) Oletetn, että 0 < K <. Tällöin on olemss sellinen k 0 Z +, että x k K < K kikill k k 0, y k 2 58

61 jost sdn epäyhtälö 2 Ky k < x k < 3 2 Ky k kikill k k 0. Jos 3 y k suppenee, niin myös Ky 2 k suppenee. Mjornttiperitteen nojll k=k 0 x k suppenee j siten myös x k suppenee. k=k 0 Jos x k suppenee, niin myös nojll k=k 0 2 Ky k suppenee j siten myös (ii) Oletetn, että K = 0 j k=k 0 x k suppenee. Mjornttiperitteen y k suppenee. y k suppenee. Jono ( x k y k ) on suppenevn jonon rjoitettu, joten on olemss sellinen M > 0, että x k M kikill k =, 2,... y k Siten 0 < x k My k kikill k =, 2,... Nyt y k suppenee, joten My k suppenee j mjornttiperitteen nojll myös x k suppenee. (iii) Oletetn, että K = j että y k hjntuu. Tällöin on olemss sellinen k Z +, että Siten x k y k kikill k k. x k y k kikill k k. Kosk y k hjntuu, niin minornttiperitteen nojll myös hjntuu. x k 59

62 Huomutus Edellinen luse snoo myös sen, että hjntuu, jos j vin jos y k käyttämällä minornttiperitett. x k hjntuu. Tämän s todistettu suornkin Jos K = 0 luseess 4.29, niin srjn x k suppenemisest ei välttämättä seur srjn y k suppeneminen. Jos esimerkiksi x k = k j y 2 k = k, niin x k lim = lim k y k k k = 0 j x k suppenee, mutt y k hjntuu. Esimerkki 4.3. Tutki, suppeneeko srj Rtkisu: Suurill indeksin k rvoill pätee Kosk srj suppenee, yritetään osoitt lkuperäinen srj suppenevksi. k 3 k 2 2k + 7 k 5 + 5k 4 3k 2 + 2k k2 k 5 = k 3. k 2 2k + 7 k 5 + 5k 4 3k 2 + 2k. k 2 2k + 7 Vlitn x k = k 5 + 5k 4 3k 2 + 2k j y k = k luseess 4.29 (nyt x 3 k > 0 j y k > 0, k =, 2,... ). Tällöin x k y k = = = k 2 2k + 7 k 5 + 5k 4 3k 2 + 2k k3 k 5 2k 4 + 7k 3 k 5 + 5k 4 3k 2 + 2k k ( ) 7 k k 2 k ( ), kun k k k 3 k 4 k 5 Srj k 3 suppenee, joten luseen 4.29 nojll srj x k suppenee. 60

63 4.3 Itseisesti suppenevt srjt Määritelmä Srjn x k snotn suppenevn itseisesti, jos x k suppenee. Jos srj suppenee, mutt ei suppene itseisesti, niin snotn, että se suppenee ehdollisesti. Esimerkki Alternoiv hrmoninen srj ( ) k+ suppenee ehdol- k lisesti, sillä hjntuu, mutt ( )k+ = k ( ) k+ k suppenee. Tämä osoitettiin jo esimerkissä 2.29, mutt sen näkee myös seurvll tvll: Kosk ( s 2n = ) ( ) ( n ) 2n k j s 2n = ( 2 ) 3 ( 4 ) ( 5 2n 2 ), 2n niin 2 s 2n = s 2n 2n < s 2n. Jono (s 2n ) on ksvv j rjoitettu j jono (s 2n ) on vähenevä j rjoitettu, joten monotonisen konvergenssin luseen nojll ne suppenevt eli rj-rvot lim s 2n j lim s 2n ovt olemss. Yllä olevn nojll s 2n s 2n =, joten 2n ( lim (s 2n s 2n ) = lim ) = 0. 2n Täten jonot (s 2n ) j (s 2n ) suppenevt kohti sm luku S R. Hrjoituksen 4 tehtävän nojll myös lim s n = S. 6

64 Luse Itseisesti suppenev srj suppenee j x k x k. Todistus. Olkoon y k = x k + x k, k =, 2,... Kosk x k x k x k, niin 0 y k 2 x k, k =, 2,... Kosk x k suppenee, niin mjornttiperitteen nojll y k suppenee. Edelleen x k = lim n (y k x k ) = lim n y k lim joten x k suppenee. Lisäksi kolmioepäyhtälön nojll x k = lim n n x k = lim x k lim n x k, n x k = x k. Huomutus () Edellinen luse nt keinon tutki sellisten srjojen suppenemist, joiden termit vihtvt merkkiään. Ottmll itseisrvot sdn positiiviterminen srj, jonk suppenemist voidn tutki edellä olleiden suppenemistestien vull. Huom kuitenkin, että itseisrvojen muodostmn srjn srjn x k suppenemisest (hjntumisest). (2) Yleensä x k hjntuminen ei kerro mitään x k x k. Esimerkiksi jos (x k ) =,, 0, 0,..., niin x k = 0, j x k = 2. 62

65 Määritelmä Olkoon x k srj. Jos ϕ: Z + Z + on bijektio j y k = x ϕ(k) kikill k =, 2,..., niin srj snotn lkuperäisen srjn uudelleenjärjestelyksi. Esimerkki Olkoon x k = j kuvus ϕ: Z + Z + bijektio { k +, ϕ(k) = k, Tällöin srj y k k = kun k on priton, kun k on prillinen. x ϕ(k) = , on hrmonisen srjn uudelleenjärjestely. Luse Jos srj x k suppenee itseisesti, niin jokinen uudelleenjär- jestely y k suppenee j y k = x k. Todistus. Luseen 4.34 nojll srj x k suppenee. Merkitään S = j s n = n x k. Olkoon ε > 0. Silloin on olemss sellinen N, että x k s n S < ε 2 kikill n N j N x k N+p x k = N+p k=n+ 63 x k < ε 2 kikill p Z +.

66 Jälkimmäinen väite sdn Cuchyn kriteeristä (luse 2.27), sillä srjn x k ossummien jono on Cuchyn jono. Merkitään t n = n x ϕ(k) = n y k. Vlitn M niin, että termit x,..., x N esiintyvät ossummss t M. Jos m M, niin t m s N on äärellinen summ termeistä x k, k > N. Tällöin yllä olevn nojll on olemss sellinen p Z +, että Siten t m s N N+p k=n+ x k < ε 2. t m S t m s N + s N S < ε 2 + ε 2 = ε, kun m M, joten y k = lim m t m = S. Huomutus () Erityisesti suppenevt positiivitermiset srjt voidn järjestellä uudelleen ilmn, että summ muuttuu. (2) Ellei srj suppene itseisesti, niin uudelleenjärjestely voi vikutt suppenemiseen j summn. Olkoon S = ( ) k+ k = Aikisemmin todistettiin, että S. Järjestelemällä srj uudelleen 2 sdn ( ) ( ) ( ) = = ( ) 6 + = 2 S. 64

67 Luse Jos srjn jokinen uudelleenjärjestely suppenee, niin srj suppenee itseisesti. Todistus. Tehdään vstoletus: x k hjntuu. Olkoot x +, x + 2,... srjn x k ei-negtiivisten termien jono (x + i 0) j x, x 2,... negtiivisten termien jono (x i < 0). Kosk srj x k suppenee ehdollisesti, niin sekä x + k että x k hjntuvt (hrjoitustehtävä). Siten erityisesti x + k hjntuu eli Srj x + k x + k = (x+ k 0). hjntuu, mutt se ei ole srjn x k uudelleenjärjestely (termit x k puuttuvt) eikä siten vielä nn ristiriit. Korjtn tilnne settmll termit x k riittävän hrvsti termien x+ k väleihin. Termin x settmiseksi vlitn sellinen luku k Z +, että jolloin x x + k + x. x + + x x + k x + = x +, Seurvksi termin x 2 settmiseksi vlitn sellinen k 2 > k, että x x + k + x + x + k x+ k 2 x 2 + 2, jolloin x x + k + x + x + k x+ k 2 + x 2 2. Jtketn näin sijoittmll x n termin x + k n jälkeen siten, että ossumm termiin x n sti on suurempi ti yhtäsuuri kuin n. Näin sdn hluttu hjntuv srj, jok on lkuperäisen srjn uudelleenjärjestely. Huomutus 4.4. Siis itseisesti suppenevt srjt ovt sellisi srjoj, joiden kikki uudelleenjärjestelyt suppenevt. Tämän tki itseisesti suppenevt srjt ovt tärkeitä. Luse 4.42 (Riemnnin uudelleenjärjestelyluse). Jos srj suppenee ehdollisesti, niin se sdn suppenemn kohti mitä thns luku järjestelemällä sen termit uudelleen. 65

68 Todistus. Oletetn, että x k suppenee ehdollisesti. Olkoot x +, x + 2,... srjn ei-negtiivisten termien jono j x, x 2,... negtiivisten termien jono. Kosk srj x k suppenee ehdollisesti, niin täytyy oll voimss x + k = j x k = (hrjoitustehtävä). Jos molemmt olisivt äärellisiä, niin srj suppenisi itseisesti j jos vin toinen olisi äärellinen, niin srj itse hjntuisi. Lisäksi srjn x k suppenemisest seur, että lim k x k = 0. Siten myös lim k x + k = 0 j lim k x k = 0. Olkoon S R. Osoitetn, että srjn summksi sdn S järjestelemällä se uudelleen. Olkoon k pienin luku, jolle x + + x x + k > S. Olkoon seurvksi k 2 pienin luku, jolle (x x + k ) + (x + + x k 2 ) < S. Edelleen olkoon k 3 > k pienin luku, jolle (x x + k ) + (x + + x k 2 ) + (x + k x+ k 3 ) > S. Näin jtkmll sdn srj, jonk ossummt heilhtelevt luvun S molemmill puolill. Tätä prosessi voidn jtk, sillä x + k = j =. Näin stu srj on lkuperäisen uudelleenjärjestely. Kosk lim k x+ k x k = 0 j lim k x k = 0, niin sdun srjn summ on S. ( ) k+ Esimerkki Srj sdn suppenemn kohti mitä thns luku S järjestelemällä sen termit k uudelleen. Olkoon esimerkiksi S = Menetellään kuten luseen 4.42 todistuksess: 66

69 . Vlitn pienin luku k, jolle k > Seurvksi vlitn pienin luku k 2, jolle k 2 4 2k 2 < Sitten vlitn pienin luku k 3 > k siten,että k k 2 2k + 2k 3 > Jtkmll tähän tpn sdn srjn uudelleenjärjestely, jok suppenee j jonk summ on ( ) k+ k 4.4 Vuorottelevt srjt Määritelmä Srj snotn vuorottelevksi, jos se on muoto ( ) k+ x k = x x 2 + x 3 x , missä x k 0 kikill k =, 2,... Huomutus Kosk ( ) k x k = ( ) k+ x k, niin riittää trkstell vin toist. Seurvksi esitetään j todistetn tärkeä vuorottelevien srjojen suppenemist koskev tulos. 67

70 Luse 4.46 (Leibnizin luse). Oletetn, että (x k ) on vähenevä jono, x k 0 kikill k =, 2,... j lim k x k = 0. Silloin srj ( ) k+ x k suppenee. Jos S on ylläolevn srjn summ j s n sen n:s ossumm, niin seurv virhervio pätee: S s n = k=n+ ( ) k+ x k xn+ kikill n =, 2,... Todistus. Jonon (s 2n ) peräkkäisille lkioille pätee s 2(n+) s 2n = s 2n+ s 2n = ( ) 2n+2 x 2n+ + ( ) 2n+ x 2n = x 2n+ x 2n 0, sillä jono (x n ) on vähenevä. Siten myös jono (s 2n ) on vähenevä. Vstvsti jonon (s 2n ) lkioille on voimss s 2(n+) s 2n = s 2n+2 s 2n = ( ) 2n+3 x 2n+2 + ( ) 2n+2 x 2n+ = x 2n+ x 2n+2 0, sillä jono (x n ) on vähenevä. Täten jono (s 2n ) on ksvv. Toislt kikill n =, 2,... on voimss s 2n = s 2n + ( ) 2n+ x 2n = s 2n x 2n s 2n, sillä x 2n 0. Tästä sdn (kikill n Z + ) rviot s 2 s 4 s 2n s 2n s 2n 3 s. Siis s on ksvvn jonon (s 2n ) ylärj j s 2 on vähenevän jonon (s 2n ) lrj. Monotonisen konvergenssin luseen nojll jonot (s 2n ) j (s 2n ) suppenevt. Merkitään Nyt S = lim s 2n j S 2 = lim s 2n. S S 2 = lim s 2n lim s 2n = lim (s 2n s 2n ) = lim x 2n = 0, 68

71 joten S = S 2. Hrjoituksen 4 tehtävän mukn myös S = lim s n = S. Todistus tälle ei ole pitkä, joten se on esitetty ll. Olkoon ε > 0 mielivltinen. Tällöin on olemss selliset n ε j n ε Z +, että s 2n S < ε kikill 2n n ε, j s 2n S < ε kikill 2n n ε. Vlitsemll n ε = mx{n ε, n ε} nähdään, että s k S < ε kikill k n ε. Todistetn lopuksi virherviot S s n koskev tulos. Yllä esitetyn nojll s 2n S s 2n kikill n =, 2,... Näin ollen j Täten rvio pätee kikill n =, 2,... S s 2n = S s 2n s 2n+ s 2n = x 2n+ S s 2n = s 2n S s 2n s 2n = x 2n. S s n s n+ s n = x n+ Huomutus Leibnizin luseen tilnteess srj suppenee, jos j vin jos lim x k = 0: Jos ( ) k+ x k suppenee, niin lim ( ) k+ x k = 0, joten k k myös lim x k = 0. Toislt ehto lim x k = 0 sisältyy luseen oletuksiin. k k 69

72 Yhteenveto srjojen suppenemistrkstelust Tutkittess srjn suppenemist knntt noudtt seurv strtegi: x k () Onko Ellei, niin srj hjntuu. lim x k = 0? k (2) Onko x k 0 kikill k =, 2,... (ti jostin indeksin rvost lähtien)? Jos on, niin mjorntti- j minornttiperite vertilusrjoin geometrinen srj ti k. p Mhdollisesti suhdetesti, juuritesti ti vertiluperite. (3) Jos termit vihtvt merkkiään, niin suppeneeko srj itseisesti? (4) Onko srj vuorottelev j voidnko Leibnizin lusett sovelt? (5) Miten srjn positiivisten j negtiivisten termien muodostmt srjt käyttäytyvät? Onko toinen suppenev j toinen hjntuv? (6) Muut menetelmät j kikkkolmoset. 70

73 5 Riemnnin integrli Määritelmä 5.. Olkoot, b R j < b. Välin [, b] joksi kutsutn äärellistä joukko D = {x 0, x,..., x n }, missä = x 0 < x < x 2 <... < x n = b. Pistettä x k snotn jkopisteeksi j väliä I k = [x k, x k ], k =, 2,..., n, snotn jkoväliksi. Lisäksi luku l(i k ) = x k x k, snotn jkovälin I k pituudeksi. Edelleen jko D snotn jon D tihennykseksi, jos D D. Huomutus 5.2. () D 0 = {, b} D jokisell välin [, b] joll D. (2) Jos D j D 2 ovt välin [, b] jkoj, niin D D D 2 j D 2 D D 2. Määritelmä 5.3. Olkoon f : [, b] R rjoitettu funktio j D = {x 0, x,..., x n } välin [, b] jko. Funktion f yläsummksi jon D suhteen snotn summ n S D = S D (f) = l([x k, x k ]) sup f(x) j lsummksi summ x [x k,x k ] s D = s D (f) = n l([x k, x k ]) inf f(x). x [x k,x k ] Huomutus 5.4. () Täydellisyysksioomn nojll ylläolevt supremum j infimum ovt olemss, sillä f on rjoitettu. (2) Al- j yläsummille pätee järjestys s D S D, sillä inf f(x) sup f(x). x [x k,x k ] x [x k,x k ] Lemm 5.5. Jos D D, niin S D S D j s D s D. 7

74 Todistus. Oletetn luksi, että D = D {x } j x k < x < x k, missä x k j x k ovt jon D pisteitä. Nyt joten sup f(x) x [x k,x ] l([x k, x ]) sup f(x) j sup f(x) x [x k,x k ] x [x,x k ] sup x [x k,x ] l([x k, x ]) f(x) + l([x, x k ]) sup x [x k,x k ] sup x [x,x k ] f(x) f(x) + l([x, x k ]) = (x x k + x k x ) sup f(x) x [x k,x k ] = l([x k, x k ]) sup f(x). x [x k,x k ] sup f(x), x [x k,x k ] sup x [x k,x k ] f(x) Tästä seur, että S D S D. Yleinen tpus sdn induktioll. Alsummi koskev väite s D s D todistetn smll tvll. Lemm 5.6. Jos D j D 2 ovt välin [, b] jkoj, niin s D S D2. Todistus. Olkoon D = D D 2 (jkopisteet suuruusjärjestyksessä). Tällöin D D j D 2 D. Lemmn 5.5 j huomutuksen 5.4(2) nojll sdn s D s D S D S D2. Olkoon D välin [, b] jko j D 0 = {, b}. Lemmn 5.6 nojll j Siten yläsummien joukko S D s D0 = (b ) inf x [,b] f(x) s D S D0 = (b ) sup f(x). x [,b] {S D D välin [, b] jko} on lhlt rjoitettu j lsummien joukko {s D D välin [, b] jko} 72

75 on ylhäältä rjoitettu. Täydellisyysksioomn nojll I = inf S D R j I = sup s D R D ovt olemss, missä infimum j supremum on lskettu välin [, b] kikkien jkojen yli. Määritelmä 5.7. Olkoon f : [, b] R rjoitettu funktio sekä S D j s D jko D vstv ylä- j lsummt. Yllä esiteltyä luku I = inf D S D snotn funktion f yläintegrliksi j luku I = sup D s D funktion f lintegrliksi. Lemm 5.8. Jokiselle välin [, b] jolle D pätee s D I I S D. D Todistus. Olkoot D j D välin [, b] jkoj. Lemmn 5.6 nojll s D S D. Ottmll oikell puolell infimum jkojen D yli (j pitämällä jko D kiinnitettynä) sdn s D inf D S D = I. Vstvsti ottmll vsemmll puolell supremum jkojen D yli sdn I = sup s D I. D Määritelmä 5.9. Rjoitettu funktiot f : [, b] R snotn Riemnnintegroituvksi, jos I = I. Tällöin luku f(x) dx = I = I snotn funktion f Riemnnin integrliksi välin [, b] yli. Luse 5.0 (Riemnnin ehto). Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnnintegroituv, jos j vin jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen välin [, b] jko D, että S D s D < ε. 73

76 Todistus. : Oletetn, että f on Riemnn-integroituv. Olkoon ε > 0 j I = f(x) dx. Kosk I = I = inf D S D, niin luseen.2 nojll on olemss sellinen D, että S D < I + ε 2 = I + ε 2. Edelleen I = I = sup s D, joten luseen. nojll on olemss sellinen D 2, että D s D2 > I ε 2 = I ε 2. Olkoon D = D D 2. Lemmn 5.5 nojll S D S D j s D s D2, joten S D s D S D s D2 < I + ε 2 I + ε 2 = ε. : Olkoon ε > 0. Tällöin on olemss sellinen jko D, että S D s D < ε. Lemmn 5.8 nojll s D I I S D, joten Tällöin I I = 0 eli I = I. 0 I I S D s D < ε kikill ε > 0. Huomutus 5.. Riemnnin ehto on hyödyllinen, kosk ylä- j lintegrlej ei trvitse ost lske. Hyvät rviot ylä- j lsummille riittävät. Määritelmä 5.2. Funktiot f : [, b] R snotn (i) ksvvksi, jos kikill x, y [, b] ehdost x y seur f(x) f(y), (ii) väheneväksi, jos kikill x, y [, b] ehdost x y seur f(x) f(y), (iii) monotoniseksi, jos se on ksvv ti vähenevä. Esimerkki 5.3. Funktio f : [0, ] R, f(x) = { k kun < x, k =, 2,..., k+ k 0, kun x = 0, on monotoninen j epäjtkuv joukoss {,,... }. Monotoninen funktio ei 2 3 siis välttämättä ole jtkuv. 74

77 Luse 5.4. Monotoninen funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv. Todistus. Oletetn, että funktio f on ksvv. Silloin f() f(x) f(b) kikill x [, b], joten f on rjoitettu. Olkoon ε > 0 j D = {x 0, x,..., x n } välin [, b] tsvälinen jko, jolloin x k x k = b n. Kosk f on ksvv, niin j Tällöin Siten sup f(x) = mx f(x) = f(x k ) x [x k,x k ] x [x k,x k ] inf f(x) = min f(x) = f(x k ). x [x k,x k ] x [x k,x k ] S D s D = n (x k x k )(f(x k ) f(x k )) = b n n (f(x k ) f(x k )) = b (f(b) f()). n S D s D < ε, kun (b )(f(b) f()) n >. ε Riemnnin ehdon nojll f on integroituv. Jos funktio f on vähenevä, väite todistetn smn tpn. Vähenevän tpuksen voi käsitellä myös käyttämällä lusett 5.6(i) funktioon f = ( )f, jok on ksvv. Luse 5.5. Suljetull j rjoitetull välillä [, b] määritelty jtkuv funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv. 75

78 Todistus. Luseen 3.8 nojll f on rjoitettu. Olkoon ε > 0. Luseen 3.28 nojll f on tsisesti jtkuv välillä [, b], joten on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(y) < ε b kikill x, y [, b], x y < δ. Olkoon D välin [, b] jko, jolle x k x k < δ kikill k =, 2,..., n. Weierstrssin luseen (luse 3.20) nojll funktio f svutt suurimmn j pienimmän rvons, joten on olemss selliset y k, z k [x k, x k ], että j f(y k ) = f(z k ) = mx f(x) = sup f(x) x [x k,x k ] x [x k,x k ] min f(x) = inf f(x). x [x k,x k ] x [x k,x k ] Nyt sillä Nyt sup f(x) x [x k,x k ] inf f(x) = f(y k) f(z k ) < x [x k,x k ] y k z k x k x k < δ. ε b, n ( ) S D s D = (x k x k ) sup f(x) inf f(x) x [x k,x k ] x [x k,x k ] < ε n (x k x k ) = ε (b ) = ε. b b Väite seur nyt Riemnnin ehdost (luse 5.0). 5. Integrlin perusominisuuksi Luse 5.6. Olkoot f, g : [, b] R Riemnn-integroituvi funktioit. Tällöin 76

79 (i) jos α R, niin αf on Riemnn-integroituv j (ii) f + g on Riemnn-integroituv αf(x) dx = α (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx, f(x) dx + g(x) dx, (iii) jos < c < b, niin f on Riemnn-integroituv väleillä [, c] j [c, b], sekä f(x) dx = c f(x) dx + (iv) jos f(x) g(x) kikill x [, b], niin (v) f on Riemnn-integroituv j f(x) dx f(x) dx c g(x) dx, f(x) dx. f(x) dx, Todistus. (i) Trkstelln funktiot (αf): [, b] R, (αf)(x) = αf(x), missä α 0 (tpus α = 0 on selvä). Olkoon D välin [, b] jko. Silloin S D (αf) = = = = α n n n (x k x k ) sup (αf)(x) x [x k,x k ] (x k x k ) sup αf(x) x [x k,x k ] (x k x k )α sup x [x k,x k ] f(x) n (x k x k ) sup f(x) x [x k,x k ] = αs D (f). Vstvsti s D (αf) = αs D (f). 77

80 Olkoon ε > 0 mielivltinen. Kosk f on integroituv, niin Riemnnin ehdon (luse 5.0) nojll löytyy sellinen välin [, b] jko D, että Nyt S D (f) s D (f) < ε α. S D (αf) s D (αf) = αs D (f) αs D (f) = α(s D (f) s D (f)) < α ε α = ε. Riemnnin ehdon nojll αf on integroituv. Edelleen kikill ε > 0 pätee Täten Toislt Siten α ( αf(x) dx S D (αf) = αs D (f) α s D (f) + ε ) α α f(x) dx + ε. αf(x) dx α f(x) dx. ( f(x) dx αs D (f) α s D (f) + ε ) = s D (αf) + ε α α joten yhtäsuuruus pätee. αf(x) dx + ε. f(x) dx αf(x) dx, (ii) Väitteen todistmisess trvitn seurvi putuloksi: Olkoon A [, b], A. Tällöin sup x A inf x A (f(x) + g(x)) sup x A (f(x) + g(x)) inf x A f(x) + sup g(x) x A f(x) + inf g(x). x A Näistä ylemmän epäyhtälön todistus oli hrjoituksen tehtävässä 5 j lempi todistetn vstvsti. 78

81 Olkoon D välin [, b] jko, jolloin S D (f + g) = n (x k x k ) sup (f + g)(x) x [x k,x k ] ( n (x k x k ) = (x k x k ) + Vstvsti sdn n sup x [x k,x k ] f(x) + n sup f(x) x [x k,x k ] (x k x k ) sup g(x) x [x k,x k ] = S D (f) + S D (g). s D (f + g) s D (f) + s D (g). ) sup g(x) x [x k,x k ] Olkoon ε > 0. Kosk f j g ovt integroituvi, niin Riemnnin ehdon (luse 5.0) nojll on olemss selliset jot D j D 2, että S D (f) s D (f) < ε 2 j S D2 (g) s D2 (g) < ε 2. Olkoon D = D D 2. Silloin lemmn 5.5 nojll S D (f + g) s D (f + g) S D (f) + S D (g) s D (f) s D (g) S D (f) s D (f) + S D2 (g) s D2 (g) < ε 2 + ε 2 = ε, joten Riemnnin ehdon nojll funktio f + g on integroituv. Lisäksi lemmn 5.5 nojll (f(x) + g(x)) dx S D (f + g) S D (f) + S D (g) S D (f) + S D2 (g) s D (f) + ε 2 + s D 2 (g) + ε 2 f(x) dx + 79 g(x) dx + ε

82 j (f(x) + g(x)) dx s D (f + g) s D (f) + s D (g) s D (f) + s D2 (g) S D (f) ε 2 + S D 2 (g) ε 2 Tästä seur, että f(x) dx + g(x) dx ε. (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx. Loput kohdt todistuksest jätetään hrjoitustehtäviksi. Määritelmä 5.7. (täydennys integrlin määritelmään) Jos f : [, b] R, < b, on Riemnn-integroituv, niin setetn j b c c f(x) dx = f(x) dx f(x) dx = 0, c b. Huomutus 5.8. Seurvt kksi si ovt mukn lähinnä sist kiinnostuneille ylimääräiseksi luettvksi. Riemnnin lkuperäinen määritelmä poikke hiemn esittämästämme määritelmästä 5.9: Olkoon f : [, b] R rjoitettu j D = {x 0, x,..., x n } välin [, b] jko. Merkitään I k = [x k, x k ] j D = mx{l(i k ) = x k x k k =, 2,..., n} Luku D on siis suurimmn jkovälin pituus. Vlitn mielivltisesti λ k I k j merkitään S D (f, λ) = S D (f, λ, λ 2,..., λ n ) = n l(i k )f(λ k ) j kutsutn tätä funktioon f, jkoon D j vektoriin λ = (λ, λ 2,..., λ n ) liittyväksi Riemnnin summksi. Silloin s D S D (f, λ) S D. 80

83 Määritellään uudentyyppinen rj-rvo, kun jko tihennetään: Luku I R on funktion f Riemnnin summien rj-rvo I = lim S D (f, λ), D 0 jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että S D (f, λ) I < ε kikill joill D, joill D < δ vlittiinp pisteet λ k miten hyvänsä. Voidn todist, että f on Riemnn-integroituv jos j vin jos rj-rvo on olemss. Tällöin lim S D(f, λ) D 0 f(x) dx = lim D 0 S D(f, λ). Tässä siis integrli määritellään summien rj-rvon eikä määritelmässä trvit supremumi ti infimumi, mutt vikeudet lkistn mton lle. Toisen minittkoon, että Riemnn-integroituvt funktiot voidn krkterisoid ns. Lebesguen ehdon vull: Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv, jos j vin jos sen epäjtkuvuuspisteiden joukko on nollmitllinen. Tätä ei todistet tällä kurssill. Joukon A R nollmitllisuus trkoitt sitä, että jokist ε > 0 kohti on olemss selliset voimet välit ] n, b n [, n =, 2,..., että A n= ] n, b n [ j (b n n ) < ε. n= Nollmitllinen joukko voidn siis peittää yhteispituudeltn mielivltisen lyhyillä voimill väleillä. Esimerkiksi Q on nollmitllinen. Tämä hvitn trkstelemll jono, jok sisältää kikki rtionliluvut täsmälleen kerrn. Aikisemmin osoitettiin, että tällinen jono, eli bijektio Z + Q, on olemss. Merkitään tätä jono (q n ), jolloin Q = {q n }. n= 8

84 Esimerkiksi jono 0,,, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 2 3, 2 3, 3 2, 3 2, 4, 4, 5, 5, 5, 5,... käy. Olkoon ε > 0. Nyt Q n= ] q n ε 2, q n+2 n + ε [ 2 n+2 j n= ( q n + ε ( 2 q n+2 n ε )) = ε 2 n+2 n= 2 2 = ε < ε. n+2 2n+ n= Huom, että vikk rtionlipisteet ovtkin tiheässä, ne voidn peittää väleillä, joiden yhteenlskettu pituus on mielivltisen pieni. 5.2 Anlyysin perusluse Perehdytään seurvksi Riemnnin integrlin j derivtn yhteyteen. Määritelmä 5.9. Avoimell välillä määriteltyä funktiot f : ], b[ R snotn derivoituvksi pisteessä x 0 ], b[, jos rj-rvo f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h 0 h = f (x 0 ) on olemss. Jos f on derivoituv jokisess pisteessä x ], b[, niin funktiot f snotn derivoituvksi välillä ], b[. Tällöin derivtt määrittelee derivttfunktion f : ], b[ R. Jos f on jtkuv välillä ], b[, niin funktiot f snotn jtkuvsti derivoituvksi välillä ], b[. Huomutus () Derivtn määritelmässä on sisältää funktion rjrvo (määritelmä 3.7). Sitä ei voi lske sijottmll h = 0, sillä silloin joudutn 0 0 -tilnteeseen. (2) Derivtn määritelmä voidn myös kirjoitt muodoss: f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0. 82

85 (3) Jos f on derivoituv pisteessä x 0, niin f on jtkuv pisteessä x 0 : Siis ( lim f(x) f(x0 ) ) f(x) f(x 0 ) = lim (x x 0 ) x x 0 x x0 x x 0 f(x) f(x 0 ) = lim lim (x x 0 ) = f (x 0 ) 0 = 0. x x0 x x 0 x x0 lim f(x) = f(x 0 ), x x 0 joten huomutuksen 3.4 mukn f on jtkuv pisteessä x 0. (4) Vikk f olisikin derivoituv jokisess pisteessä x R, niin derivttfunktion f ei trvitse oll jtkuv. Luse 5.2 (nlyysin perusluse, os I). Oletetn, että funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv j setetn F : [, b] R, F (x) = Tällöin seurvt ominisuudet pätevät. x f(t) dt. (i) Funktio F on tsisesti jtkuv välillä [, b], erityisesti F on jtkuv. (ii) Jos f on jtkuv pisteessä x ], b[, niin F on derivoituv pisteessä x j F (x) = f(x). Todistus. (i) Olkoot x, y [, b], ε > 0 j M = sup u [,b] f(u). Oletetn ensin, että x < y. Luseen 5.6 kohtien (iii) j (v) vull sdn F (x) F (y) = kun x y < x y x f(t) dt y f(t) dt = y x f(t) dt f(t) dt M(y x) = M y x < ε, ε. Tpuksess x > y sdn vstvsti M + F (x) F (y) M y x < ε, 83

86 kun x y < ε M +. Vlitsemll δ = ε M + sdn F (x) F (y) < ε kikill x y < δ. Täten F on tsisesti jtkuv välillä [, b] (määritelmä 3.26) j myös jtkuv välillä [, b] (huomutus 3.27 (2)). (ii) Jos F on derivoituv pisteessä x, niin F (x) = lim h 0 x+h f(t) dt x f(t) dt h = lim h 0 h x+h x f(t) dt. Osoitetn, että lim h 0 h h x+h x x+h x f(t) dt f(x) = h f(t) dt = f(x). Nyt h x+h x x+h x (f(t) f(x)) dt f(x) f(t) dt. Kosk f on jtkuv pisteessä x, niin jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(t) < ε, kun x t < δ. 2 Jos 0 < h < δ, niin myös 0 x t h < δ j siten h x+h x f(x) f(t) dt h ε h < ε. 2 Siten F (x) = lim h 0 h x+h x f(t) dt = f(x). Huomutus Muist, että funktion f : [, b] R integrlifuktio on sellinen jtkuv F : [, b] R, että F (x) = f(x) kikill x ], b[. Väite (ii) edellisessä luseess trkoitt, että jos f on jtkuv koko välillä [, b], niin F (x) = x f(t) dt on funktion f yksi integrlifunktio. Luse nt siis keinon määrittää nnetun funktion integrlifunktio. 84

87 Huomutus Vikk luse 5.2 nt funktion F olemssolon, niin in tätä ei pysty esittämään helposti. Esimerkiksi, jos f : [, ] R, f(x) = e x2, niin luseen 5.2 mukn on olemss sellinen funktio F : [, ] R, että F (x) = f(x) kikill x [, ]. Kuitenkn tämä funktio F (x) = x ei ole esitettävissä lkeisfunktioiden vull. e t2 dt Luse 5.24 (nlyysin perusluse, os II). Jos F : [, b] R on sellinen derivoituv funktio, että F (x) = f(x) kikill x ], b[ j f on Riemnn-integroituv välillä [, b] (välin päätepisteissä f voidn määritellä miten hlutn), niin f(x) dx = F (b) F (). Todistus. Olkoon ε > 0. Riemnnin ehdon nojll on olemss sellinen välin [, b] jko D = {x 0, x,..., x n }, että S D (f) s D (f) < ε. Välirvoluseen nojll on olemss sellinen λ k ]x k, x k [, että Nyt F (x k ) F (x k ) = F (λ k )(x k x k ) = f(λ k )(x k x k ), k =, 2,..., n. F (b) F () = = n (F (x k ) F (x k )) n f(λ k )(x k x k ). Tästä seur, että s D (f) F (b) F () S D (f). 85

88 Toislt Nyt j toislt Siten s D (f) f(x) dx S D (f). f(x) dx S D (f) < s D (f) + ε F (b) F () + ε f(x) dx s D (f) > S D (f) ε F (b) F () ε. f(x) dx (F (b) F ()) < ε. Kosk tämä pätee kikill ε > 0, sdn väite. Huomutus Luse 5.24 nt keinon lske tiettyjen funktioiden integrlej. Luse 5.24 esitetään usein seurvss muodoss: jos f : [, b] R on jtkuvsti derivoituv, niin f(x) = f() + x f (t) dt. (2) Välin päätepisteissä derivtn rvoksi tulevt toispuoleiset derivtt. Todistetn tämän luvun lopuksi vielä osittisintegrointikv. Sitä vrten trvitn seurv lemm. Lemm Olkoot f, g : [, b] R Riemnn-integroituvi funktioit. Tällöin funktiot f 2 j fg ovt Riemnn-integroituvi. Todistus. Osoitetn ensin, että f 2 on Riemnn-integroituv. Kosk f on integroituv, se on rjoitettu j on olemss sellinen M > 0, että f(x) M kikill x [, b]. Olkoon ε > 0, jolloin Riemnnin ehdon nojll on olemss sellinen välin [, b] jko D = {x 0,..., x n }, että S D (f) s D (f) < ε 2M. Jos x, y [x k, x k ], niin f 2 (x) f 2 (y) f 2 (x) f 2 (y) = f(x) f(y) f(x) + f(y) f(x) f(y) 2M 2M ( = 2M sup x [x k,x k ] f(x) sup f(x) f(y) x, y [x k,x k ] ) inf f(y). y [x k,x k ] 86

89 Käytetään tässä esiintyvälle sulkulusekkeelle merkintää c k, jolloin Täten f 2 (x) 2Mc k + f 2 (y) kikill x, y [x k, x k ] = sup f 2 (x) 2Mc k + f 2 (y) kikill y [x k, x k ] x [x k,x k ] = sup f 2 (x) 2Mc k + inf f 2 (y). x [x k,x k ] y [x k,x k ] sup f 2 (x) inf f 2 (y) 2Mc k j sdn x [x k,x k ] y [x k,x k ] S D (f 2 ) s D (f 2 ) = n ( ) l([x k, x k ]) sup f 2 (x) inf f 2 (y) x [x k,x k ] y [x k,x k ] n n l([x k, x k ])2Mc k = 2M l([x k, x k ])c k n ( ) = 2M l([x k, x k ]) sup f(x) inf f(y) x [x k,x k ] y [x k,x k ] = 2M ( S D (f) s D (f) ) 2M ε 2M = ε. Riemnnin ehdon mukn funktio f 2 on integroituv välillä [, b]. Funktiot f g koskev väite seur siitä, että ( f(x)g(x) = 4 (f(x) + g(x)) 2 (f(x) g(x)) 2) kikill x [, b]. Käyttämällä funktioiden (f + g) 2 j (f g) 2 integroituvuutt sekä luseen 5.6 kohti (ii) j (i) sdn jälkimmäinen väite. Luse 5.27 (osittisintegrointikv). Oletetn, että u, v : [, b] R ovt jtkuvi j välillä ], b[ derivoituvi funktioit j että u j v ovt Riemnnintegroituvi välillä [, b] (välin päätepisteissä u j v voidn määritellä miten hlutn). Silloin u(x)v (x) dx = u(b)v(b) u()v() u (x)v(x) dx. Todistus. Määritellään f : [, b] R, f(x) = u(x)v(x). Tällöin f (x) = u(x)v (x) + u (x)v(x) kikill x ], b[. 87

90 Lemmn 5.26 nojll f on Riemnn-integroituv välillä [, b]. Luseiden 5.24 j 5.6 (ii) nojll f(b) f() = mistä väite seur. f (x) dx = u(x)v (x) dx + u (x)v(x) dx, 88

91 6 Epäoleelliset integrlit Luvuss 5 määritelty Riemnnin integrli toimii vin rjoitetuille funktioille, jotk on määritelty suljetull j rjoitetull välillä. Esimerkki 6.. Olkoon f : ]0, ] R, f(x) = x. Nyt f ei ole rjoitettu, eikä määrittelyväli ole suljettu. Olkoon 0 < c <. Kosk f on integroituv välillä [c, ], niin voidn tutki rj-rvo / lim dx = lim 2 x = lim 2( c) = 2. c 0+ c x c 0+ c 0+ c Huom, että kuvjn rjoittm pint-l on luonnollist tulkit Riemnnintegrlien rjn. Olkoon f : [, [ R, f(x) = x. Nyt f on rjoitettu, mutt määrittelyväli ei ole rjoitettu. Olkoon c >. Kosk f on integroituv välillä [, c], niin voidn tutki rj-rvo lim c c x dx = lim c / c 2 x = lim c 2( c ) =. Määritelmä 6.2. Olkoot R { }, b R, < b. Jos funktio f : ], b] R on integroituv välin ], b] jokisell suljetull j rjoitetull osvälillä j jos rj-rvo lim c + c f(x) dx on olemss, niin snotn, että epäoleellinen integrli f(x) dx suppenee j määritellään f(x) dx = lim c + c f(x) dx. Jos rj-rvo ei ole olemss, niin snotn, että epäoleellinen integrli b f(x) dx hjntuu. Jos =, niin merkinällä c + trkoitetn, että c. Tällöin merkitään f(x) dx = lim c c f(x) dx. Jos R, b R { }, < b, niin epäoleellinen integrli f(x) dx määritellään smn tpn. 89

92 Esimerkki 6.3. () Suorn sdn 0 e x dx = lim c c 0 e x dx = lim c / c 0 e x dx = lim c ( e c ) =. (2) Luseen 5.27 nojll c xe x dx = lim xe x dx = lim ( ce + e c + c c c = lim ( ce + e + e e ) = 2 c c c e. ) e x dx Luse 6.4. Integrli suppenee, jos j vin jos s <. 0 x s dx Todistus. Olkoon 0 < c <. Jos s, niin x s dx = / x s = c s c s ( c s ). Jos s <, niin s ( c s ), kun c 0+, s j integrli suppenee. Jos s >, niin s ( c s ), kun c 0+, j integrli hjntuu. Jos s =, niin / c x dx = ln x = ln c, kun c 0+, c joten integrli hjntuu. Siis 0 Luse 6.5. Integrli suppenee, jos j vin jos s >. dx suppenee, jos j vin jos s <. x s x s dx 90

93 Todistus. Olkoon c >. Jos s, niin c x s dx = s / c x s = s (c s ). Jos s <, niin s (c s ), kun c, j integrli hjntuu. Toislt, jos s >, niin s (c s ), kun c, s j integrli suppenee. Jos s =, niin c x s dx = / c joten integrli hjntuu. Siis ln x = ln c, kun c, dx suppenee, jos j vin jos s >. x s Määritelmä 6.6. Olkoon R { } j b R { }, < b, sekä d ], b[ kiinteä. Olkoon f : ], b[ R integroituv välin ], b[ jokisell suljetull j rjoitetull osvälillä. Jos molemmt epäoleelliset integrlit d f(x) dx j d f(x) dx suppenevt, niin snotn, että epäoleellinen integrli j sen rvoksi setetn f(x) dx = d f(x) dx + d f(x) dx. f(x) dx suppenee Huom, että pisteen d vlint ei vikut suppenemiseen eikä integrlin rvoon. Näin on, sillä jos jkopisteinä käytetään lukuj d j d 2, missä d < d 2, niin d 2 f(x) dx = d f(x) dx + d 2 d f(x) dx. Tässä jälkimmäinen integrli on tvllinen Riemnnin integrli eikä se vikut suppenemiseen. Määritelmässä esiintyvän jälkimmäisen integrlin tpuksess käy vstvsti. Esimerkki 6.7. () Millä rvoill s R integrli 9 0 dx suppenee? xs

94 Rtkisu: Epäoleellisuus on sekä l- että ylärjll. Kirjoitetn Luseen 6.4 nojll 6.5 nojll x dx = s 0 x dx + s x s dx. dx suppenee, jos j vin jos s < j luseen xs dx suppenee, jos j vin jos s >. Siten integrli xs dx hjntuu kikill s R. xs (2) Trkstelln integrli x 2 dx. Epäoleellisuus on sekä l- että ylärjll. Olkoon < b < 0 < c <. Tällöin c 0 / c dx = rcsin x = rcsin c rcsin = π x 2 2, kun c, j vstvsti 0 b 0 / 0 dx = rcsin x = rcsin b rcsin( ) = π x 2 2, kun b +. Siten 0 dx = x 2 b (3) Trkstelln integrli Kosk rj-rvo lim c c 0 c dx + x 2 0 sin x dx = ei ole olemss, niin integrli 0 0 sin x dx. Nyt / c 0 x 2 dx = π 2 + π 2 = π. cos x = cos c. sin x dx = lim c ( cos c) = lim c cos c 0 92 sin x dx hjntuu.

95 (4) Trkstelln integrli e x dx. Esimerkin 6.3 nojll integrli joten 0 hjntuu. 0 e x dx = lim c 0 0 e x dx hjntuu. Siten Huomutus 6.8. Yleisesti Esimerkiksi c = lim c (e c ) =, e x dx = sin x dx = 0 e x dx suppenee. Toislt / 0 e x dx = lim e x c c e x dx + c f(x) dx lim f(x) dx. c c 0 sin x dx + hjntuu (ks. ylläolev esimerkki), mutt c lim c c sin x dx = lim c / c c 0 0 e x dx. sin x dx ( cos x) = 0. Luse 6.9 (mjorntti- j minornttiperite). Olkoon R, b R { }, < b j olkoot funktiot f, g : [, b[ R integroituvi jokisell välin [, b[ suljetull j rjoitetull osvälillä. Oletetn, että 0 f(x) g(x) kikill x [, b[. (i) Jos mjorntti g(x) dx suppenee, niin f(x) dx suppenee. (ii) Jos minorntti f(x) dx hjntuu, niin g(x) dx hjntuu. Huomutus 6.0. Muunlisille epäoleellisille integrleille mjorntti- j minornttiperite muotoilln j todistetn smn tpn. 93

96 Todistus. (i) Määritellään kuvus F : [, b[ R settmll F (c) = c f(x) dx kikill c [, b[. Kosk f(x) 0 kikill x [, b[, niin F on ksvv muuttujn c funktio (hrjoitustehtävä). Silloin f(x) dx suppenee on olemss lim c b F (c) = f(x) dx R F on ylhäältä rjoitettu (vert luseeseen 2.2). Nyt 0 f(x) g(x) kikill x [, b[ j integrli g(x) dx suppenee. On siis olemss sellinen M R, että c f(x) dx c g(x) dx M kikill c [, b[, joten f(x) dx on rjoitettu j ylläolevn nojll se suppenee. (ii) Jos integrli g(x) dx suppenisi, niin kohdn (i) nojll myös integrli f(x) dx suppenee, mikä on ristiriit. Esimerkki 6.. Trkstelln integrli 0 e x x dx. Epäoleellisuus on sekä l- että ylärjoill, joten kirjoitetn e x e x e x dx = dx + dx 0 x 0 x x e x e x j tutkitn erikseen integrlej dx j dx. 0 x x 94

97 Olkoon ensin 0 < x. Tällöin e x e 0 =, joten 0 < e x. x x Luseen 6.4 nojll integrli x dx suppenee, joten mjornttiperitteen nojll myös integrli 0 0 e x x dx suppenee. Olkoon sitten x. Tällöin x, joten 0 < e x x e x. Olkoon lisäksi c >, jolloin Siten e x x dx suppenee. c Edelläolevn nojll / c e x dx = e x = e e c, kun c, e e x dx suppenee. Mjornttiperitteen nojll 0 e x x dx suppenee. Esimerkki 6.2. Trkstelln integrli 0 x2 + x + dx. Epäoleellisuus on integroimisvälin ylärjll. Pisteen 0 ympäristössä funktiolle x ei sd riittävän hyviä rvioit, joten kirjoitetn 2 +x+ 0 x2 + x + dx = 0 x2 + x + dx + x2 + x + dx. Tässä ensimmäinen osintegrleist on tvllinen integrli, jok suppenee. Tutkitn jälkimmäisen integrlin suppenemist. Olkoon x. Tällöin x2 + x + 3x 2 = x 3, joten Luseen 6.5 nojll x dx = dx hjntuu, joten minornt- 3 x dx hjntuu. Siten myös integrli x2 + x + tiperitteen nojll x x2 + x +. 3 dx hjntuu. x2 + x + 95

98 Määritelmä 6.3. Olkoot R, b R { }, < b, j olkoon funktio f : [, b[ R integroituv välin [, b[ jokisell suljetuill osvälillä. Jos f(x) dx suppenee, niin snotn, että epäoleellinen integrli f(x) dx suppenee itseisesti. Huomutus 6.4. Luseen 5.6 (v)-kohdn nojll f on integroituv välin [, b[ suljetuill osväleillä. Itseinen suppeneminen määritellään muille epäoleellisuuden tyypeille (eli R { }, b R j R { }, b R { }) vstvsti, vert iempiin määritelmiin. Luse 6.5. Jos f(x) dx suppenee itseisesti, niin se suppenee j f(x) dx f(x) dx. Todistus. Kosk kikill x [, b[, niin f(x) f(x) f(x) kikill x [, b[. Integrli 2 f(x) dx suppenee, joten mjornttiperitteen nojll suppenee. Lisäksi f(x) dx = lim 0 f(x) + f(x) 2 f(x) c b c c = lim c b = lim c b c (f(x) + f(x) ) dx f(x) dx ( (f(x) + f(x) ) f(x) ) dx (f(x) + f(x) ) dx lim c b c f(x) dx, 96

99 joten f(x) dx suppenee. Tällöin c f(x) dx = lim f(x) dx c b c = lim f(x) dx c b c c b lim = f(x) dx f(x) dx (rj-rvo on olemss) (rj-rvo on olemss) (luse 5.6 (v)) (integrli suppenee itseisesti). Huomutus 6.6. Muunlisille epäoleellisille integrleille itseinen suppeminen määritellään vstvll tvll. Lisäksi lusett 6.5 vstv tulos pätee myös muille epäoleellisille integrleille. Esimerkki 6.7. Osoitetn, että integrli ei suppene itseisesti. sin x x dx = cos x x c sin x x Olkoon c >. Osittisintegroinnill sdn c / c c ( cos x) ( x ) dx 2 = cos cos c c cos x x 2 dx. dx suppenee, mutt Kosk 0 cos x, kun x, niin mjornttiperitteen nojll x 2 x2 cos x dx suppenee, joten luseen 6.5 nojll suppenee. Tästä seur, että c lim c sin x x dx = lim c = cos x 2 cos x x 2 dx ( cos c cos c cos x x 2 97 ) c cos x lim dx c x 2 dx,

100 sin x joten dx suppenee. x Itseinen suppeneminen: Toislt nπ sin x n kπ dx = π x k=2 (k )π n kπ = k=2 n k=2 (k )π 2 kπ = 2 π sin x x dx sin x kπ dx = n n k=2 k, k=2 kun n, sillä hrmoninen srj hjntuu. Rj-rvo nπ lim sin x dx x ei siis ole olemss, joten integrli π sin x x Esimerkki 6.8. Trkstelln integrli Kirjoitetn sin x x dx = kπ sin x dx kπ (k )π dx ei suppene itseisesti. sin x x dx. sin x 0 x dx + sin x x dx + sin x 0 x dx + sin x x dx j tutkitn erikseen osintegrlien suppenemist. Edellisen esimerkin nojll dx suppenee. Vstvsti integrli dx suppenee, sin x sin x x x sillä kun c >, niin sin x c c x dx = sin x c x dx = sin( x) c sin t ( dx) = dt. x t Kun 0 < x, niin sin x x (PM I), joten 0 sin x x. Mjornttiperitteen nojll integrlit 0 sin x x dx j suppenevt, joten luseen 6.5 nojll integrlit 0 sin x x dx j sin x x sin x x dx dx

101 suppenevt. Kosk kikki osintegrlit suppenevt, niin myös integrli sin x dx suppenee. x Yhteenveto epäoleellisten integrlien suppenemistrkstelust Tutkittess epäoleellisen integrlin suppenemist knntt noudtt seurv strtegi: () Tutki, missä epäoleellisuudet ovt j määrittele epäoleellinen integrli rjprosessin vull. (2) Voidnko rjprosessiss olevt tvlliset Riemnnin integrlit lske uki? (3) Onko integroitv funktio positiivinen? Kokeile mjorntti- j minornttiperitett vertiluintegrlein 0 x s dx j x s dx. (4) Jos integroitv funktio viht merkkiään, niin suppeneeko integrli itseisesti? (5) Suppeneeko integrli jostin muust syystä? 99

102 7 Funktiojonot j -srjt 7. Pisteittäinen j tsinen suppeneminen Määritelmä 7.. Olkoon D R j olkoon f n : D R, n =, 2,..., jono funktioit. Jos rj-rvo lim f n(x) on olemss jokisess pisteessä x D, niin funktiojonon (f n ) snotn suppenevn pisteittäin joukoss D. Funktiot f : D R, f(x) = lim f n (x) snotn jonon (f n ) pisteittäiseksi rj-rvoksi eli rjfunktioksi joukoss D. Funktiojonon pisteittäinen suppeneminen on liin heikko jtkuvuuden, derivoimisen j integroimisen knnlt. Tähän trvitn vhvempi suppenemisen käsite. Määritelmä 7.2. Olkoot D A R j f n : A R, n =, 2,..., jono funktioit. Jos sup f n (x) f(x) 0, kun n, x D niin jonon (f n ) snotn suppenevn joukoss D tsisesti kohti funktiot f : A R. Huomutus 7.3. Ellei joukko D erikseen minit, niin D = A. Yleensä näin on. Ylläolev määritelmä voidn kirjoitt myös seurvss muodoss: Jono (f n ) suppenee joukoss D tsisesti kohti funktiot f, jos jokist ε > 0 kohti on olemss sellinen n ε, että f n (x) f(x) < ε kikill x D j n n ε. Tämä esitysmuoto poikke pisteittäisen suppenemisen määritelmästä siinä suhteess, että smn luvun n ε täytyy kelvt jokiselle x D. Esimerkki 7.4. Olkoon f n : [0, 2π] R, f n (x) = sin(nx), n =, 2,... n Osoitetn, että (f n ) suppenee tsisesti kohti funktiot f(x) = 0 joukoss [0, 2π]. 00

103 Olkoon ε > 0. Silloin kun n > ε. Siten on tsist. sup f n (x) 0 = sup x [0,2π] x [0,2π] sin(nx) n = n < ε, sup f n (x) f(x) 0, kun n, j suppeneminen x [0,2π] Osoitetn seurvksi, että jtkuvuus säilyy tsisess suppenemisess. Luse 7.5. Jos funktiot f n : D R ovt jtkuvi kikill n =, 2,... j jono (f n ) suppenee tsisesti kohti funktiot f joukoss D, niin rjfunktio f on jtkuv joukoss D. Todistus. Olkoot x 0 D j ε > 0. Osoitetn, että olemss sellinen δ > 0, että f(x) f(x 0 ) < ε kikill x D j x x 0 < δ. Jokisell x D j n Z + on voimss f n (x) f(x) sup f n (y) f(y). y D Kolmioepäyhtälön nojll f(x) f(x 0 ) f(x) f n (x) + f n (x) f n (x 0 ) + f n (x 0 ) f(x 0 ) 2 sup f n (y) f(y) + f n (x) f n (x 0 ). y D Kosk suppeneminen on tsist, voidn vlit sellinen n ε Z +, että sup f n (y) f(y) < ε y D 3 kikill n n ε. Tällöin erityisesti Kosk f nε f(x) f(x 0 ) 2 ε 3 + f n ε (x) f nε (x 0 ). on jtkuv, niin on olemss sellinen δ > 0, että f nε (x) f nε (x 0 ) < ε 3 kikill x D j x x 0 < δ. Siten f(x) f(x 0 ) < 2ε 3 + ε 3 = ε kikill x D j x x 0 < δ. 0

104 Huomutus 7.6. Funktio f on jtkuv pisteessä x 0, jos j vin jos f(x 0 ) = lim x x 0 f(x). Edellä osoitettiin siis, että lim lim f n (x) = lim f(x) = f(x 0 ) = lim f n (x 0 ) = lim lim f n (x). x x0 x x0 x x 0 Funktiosrjt, kuten lukusrjtkin, määritellään ossummien jonojen vull. Määritelmä 7.7. Olkoon f k : D R, k =, 2,..., jono funktioit j olkoon S n (x) = n f k(x), n =, 2,... Jos rj-rvo lim S n (x) on olemss jokisell x D, niin funktiosrjn f k(x) snotn suppenevn pisteittäin joukoss D. Funktiot S : D R, S(x) = lim S n (x) snotn srjn summfunktioksi joukoss D. Jos ossummien jono (S n ) suppenee tsisesti joukoss D, niin srjn f k(x) snotn suppenevn tsisesti joukoss D. Esityksessä S(x) = f k(x) = S n (x) + R n (x) olev summ R n (x) = k=n+ f k(x) snotn srjn S(x) jäännöstermiksi. Huomutus 7.8. Kosk S(x) S n (x) = R n (x) kikill x D, niin sup x D S(x) S n (x) = sup R n (x). x D Siten jono (S n ) suppenee tsisesti kohti summfunktiot S joukoss D, jos j vin jos jäännöstermien jono (R n ) suppenee tsisesti kohti nollfunktiot joukoss D. Luse 7.9. Olkoot funktiot f k : D R jtkuvi joukoss D kikill k Z +. Jos f k(x) suppenee tsisesti joukoss D, niin summfunktio S(x) on jtkuv joukoss D. Todistus. Funktiot S n (x) = n f k(x) ovt jtkuvi kikill n =, 2,..., j jono (S n ) suppenee tsisesti kohti summfunktiot S joukoss D. Luseen 7.5 nojll summfunktio S on jtkuv joukoss D. Luse 7.0 (Weierstrssin M-testi). Oletetn, että funktioit f k : D R, k =, 2,..., kohti on olemss selliset reliluvut k 0, että f k (x) k kikill x D. Jos lukusrj k suppenee, niin funktiosrj f k (x) suppenee tsisesti joukoss D. 02

105 Todistus. Kosk f k (x) k kikill x D, niin mjornttiperitteen nojll srj f k (x) suppenee kikill x D. Siten srj f k (x) suppenee, kosk se suppenee itseisesti. Toislt, kosk R n (x) = kikill x D, niin k=n+ sup R n (x) x D f k (x) k=n+ k=n+ f k (x) k=n+ k 0, kun n, sillä k=n+ k on suppenevn srjn jäännöstermi. Siten (R n ) suppenee tsisesti kohti nollfunktiot, joten srj f k(x) suppenee tsisesti joukoss D. k 7.2 Jonon j srjn derivoiminen j integroiminen Tämän luvun luss olleiden esimerkkien nojll funktiojonon derivoinnin j integroinnin järjestystä ei yleisesti s viht rjnkäynnin knss. Tässä kppleess trkstelln niitä lisäehtoj, joiden vllitess tämä järjestyksen vihtminen on mhdollist. Luse 7.. Jos f n : [, b] R, n =, 2,..., ovt jtkuvi funktioit j jono (f n ) suppenee tsisesti välillä [, b] kohti rjfunktiot f, niin ( ) lim f n(x) dx = lim f n (x) dx. Todistus. Luseen 7.5 nojll rjfunktio f on jtkuv välillä [, b]. Luseen 5.5 nojll jokisell n Z + funktiot f, f n j f n f ovt Riemnnintegroituvi välillä [, b]. Olkoon ε > 0. Kosk jono (f n ) suppenee tsisesti välillä [, b], niin on olemss sellinen n ε, että sup f n (x) f(x) < ε x [,b] b kikill n n ε. Siten jokisell x [, b] on voimss f n (x) f(x) < ε b kikill n n ε. 03

106 Nyt f n (x) dx f(x) dx = (f n (x) f(x)) dx f n (x) f(x) dx < = ε (b ) = ε, b ε b dx kun n n ε. Siten lim f n (x) dx = f(x) dx. Lusett 7. vstv tulos pätee myös srjoille. Luse 7.2. Jos f n : [, b] R, n =, 2,..., ovt jtkuvi funktioit j srj f k(x) suppenee tsisesti kohti summfunktiot S(x) välillä [, b], niin S on integroituv välillä [, b] j f k (x) dx = f k (x) dx. Todistus. Olkoon S n (x) = n f k(x). Kosk jono (S n ) suppenee tsisesti kohti summfunktiot S(x) = f k(x) välillä [, b], niin luseen 7.9 nojll S on jtkuv välillä [, b]. Lisäksi luseen 5.5 nojll S, S n j f k ovt Riemnn-integroituvi välillä [, b]. Siten luseen 7. nojll lim S n(x) dx = lim S n (x) dx = lim n f k (x) dx. Esimerkki 7.3. Lske summ k2 k. Rtkisu: Olkoon h(x) = x = x k, kun x <. Olkoon lisäksi < c < 2 k=0. Kun x [ c, c], niin x k c k kikill k Z +. Srj k=0 ck suppenee, joten Weierstrssin M-testin nojll srj k=0 xk suppenee tsisesti välillä 04

107 [ c, c]; erityisesti välillä [0, ] [ c, c]. Luseen 7.2 nojll x dx = = Suorn lskemll sdn Siten 2 0 = ln 2. k2k x dx = k=0 k=0 2 0 x k dx = k=0 / 2 k + 2 = k+ k2. k / 2 0 ln( x) = ln 2 0 k + xk+ = ln 2. Luse 7.4. Oletetn, että jono (f n ) jtkuvsti derivoituvi funktioit f n : [, b] R suppenee pisteittäin kohti rjfunktiot f : [, b] R. Jos derivttjono (f n) suppenee tsisesti välillä [, b], niin f on derivoituv j f (x) = lim f n(x) kikill x [, b]. Todistus. Luseen 7.5 nojll rjfunktio g(x) = lim f n(x) on jtkuv j siten integroituv. Luseest 7. seur, että x g(t) dt = x lim f n(t) dt = lim x f n(t) dt kikill x [, b]. Anlyysin perusluseen osn II (luse 5.24) nojll x f n(t) dt = f n (x) f n () kikill x [, b] j n Z +. Tästä seur, että x g(t) dt = lim x f n(t) dt = lim (f n (x) f n ()) = f(x) f(). Anlyysin perusluseen osn I (luse 5.2) nojll f (x) = g(x) kikill x [, b], toisin snoen d dx lim f d k(x) = lim k k dx f k(x). 05

108 Vstvsti funktiosrjn derivoinnille on voimss seurv luse. Luse 7.5. Oletetn, että funktiot f k : [, b] R ovt jtkuvsti derivoituvi kikill k Z + j että srj f k(x) suppenee pisteittäin kohti summfunktiot S välillä [, b]. Jos srj f k (x) suppenee tsisesti välillä [, b], niin summfunktio S on derivoituv j d dx f k (x) = d dx f k(x) kikill x [, b]. Todistus. Olkoon S n (x) = n f k(x), jolloin S n(x) = n f k (x). Oletusten nojll funktiot S n ovt jtkuvsti derivoituvi välillä [, b] j jono (S n ) suppenee kohti summfunktiot S välillä [, b]. Lisäksi jono (S n) suppenee tsisesti välillä [, b], joten luseen 7.4 nojll S on derivoituv j d dx lim S d n(x) = lim dx S n(x) = lim n d dx f k(x). Esimerkki 7.6. Osoit, että kx k =, kun x <. (x ) 2 Rtkisu: Olkoot f k : ], [ R, f k (x) = x k, k =, 2,... Tällöin f k (x) = x x k = k=0 x x kikill x <. Vlitn sellinen 0 < c <, että x [ c, c]. Nyt f k (x) = kxk j f k (x) (k + )ck kck. Kosk c <, kun k, niin srj kc k kc k suppenee suhdetestin (seurus 4.24) nojll. Weierstrssin M-testin nojll srj f k (x) = kx k suppenee tsisesti välillä [ c, c]. Luseen 7.5 perusteell kx k = d dx f k(x) = d dx ( x ) = x = d dx 06 ( x) 2 f k (x) = d dx x k

109 kikill x [ c, c]. Kun x < on nnettu (kiinteä) luku, voidn vlit sellinen c, että x < c <, joten yllä olev kv kx k = ( x) 2 pätee kikill x <. 07

110 8 Potenssisrjt 8. Potenssisrjn suppeneminen Määritelmä 8.. Funktiosrj k (x x 0 ) k, x R, k=0 missä kertoimet k R j x 0 R, kutsutn potenssisrjksi. Luku x 0 R snotn kyseisen srjn keskukseksi. Tässä setetn (x x 0 ) 0 = myös, kun x = x 0. Huomutus 8.2. () Kosk potenssisrjn ossummt ovt polynomej, potenssisrj voidnkin intuitiivisesti jtell ääretönsteisen polynomin. (2) Jos x 0 = 0, niin potenssisrj on k x k = 0 + x + 2 x 2 + k=0 Usein tutkitn vin tätä tpust, sillä yleinen tpus voidn plutt tähän. (3) Potenssisrjn suppeneminen riippuu pisteestä x. Kun x = x 0, niin potenssisrj on , joten jokinen potenssisrj suppenee inkin yhdessä pisteessä. Luse 8.3 (Abelin luse). Jos potenssisrj k (x x 0 ) k k=0 suppenee pisteessä x = x x 0, niin se suppenee itseisesti jokisess pisteessä x R, jolle x x 0 < x x 0. Erityisesti srj suppenee näissä pisteissä x. 08

111 Todistus. Kosk k (x x 0 ) k suppenee, niin lemmn 4.3 nojll k=0 lim k(x x 0 ) k = 0. k Lemmn 2.5 nojll on olemss sellinen M R, että kikill k = 0,, 2,... k (x x 0 ) k M k M x x 0 k Olkoon x R sellinen piste, että x x 0 < x x 0. Silloin k (x x 0 ) k kikill k = 0,, 2,... Kosk x x 0 x x 0 M ( x x x 0 x x 0 k x0 ) k = M k x x 0 k=0 ( x x0 x x 0 <, niin geometrinen srj suppenee j mjornttiperitteen (luse 4.8) nojll k (x x 0 ) k suppenee. Seurus 8.4. Jos potenssisrj ) k k (x x 0 ) k k=0 ei suppene itseisesti pisteessä x = x, niin se hjntuu jokisess pisteessä x R, jolle x x 0 > x x 0. Todistus. Tehdään vstoletus: k=0 k(x x 0 ) k suppenee pisteessä x, missä x x 0 > x x 0. Silloin Abelin luseen nojll k=0 k(x x 0 ) k suppenee itseisesti, mikä on ristiriit. Määritelmä 8.5. Potenssisrjn k (x x 0 ) k k=0 09 k=0

112 suppenemissäteeksi snotn luku { } R = sup x x 0 k (x x 0 ) k suppenee. k=0 Tässä käytetään tulkint, että supremum on, jos joukko ei ole ylhäältä rjoitettu. Jos R > 0, niin väliä ]x 0 R, x 0 + R[ snotn srjn suppenemisväliksi. Seurv luse osoitt, että suppenemissäteen määritelmä on järkevä. Luse 8.6. Olkoon R srjn suppenemissäde. k (x x 0 ) k k=0 (i) Jos R = 0, niin srj suppenee vin, kun x = x 0. (ii) Jos R =, niin srj suppenee itseisesti kikill x R. (iii) Jos 0 < R <, niin srj suppenee itseisesti, kun x x 0 < R j hjntuu, kun x x 0 > R. Todistus. (i) Tehdään vstoletus: srj suppenee pisteessä x x 0. Silloin { } R = sup x x 0 k (x x 0 ) k suppenee x x 0 > 0, mikä on ristiriit. k=0 (ii) Olkoon x R. Kosk R =, niin joukko { } A = y R k (y x 0 ) k suppenee k=0 ei ole rjoitettu. Täten on olemss sellinen x A, että x x 0 < x x 0. Kosk x A, niin k (x x 0 ) k suppenee, joten Abelin luseen nojll suppenee itseisesti. k=0 k (x x 0 ) k k=0 0

113 (iii) Jos x x 0 < R, niin luvun R määritelmän nojll on olemss sellinen x R, että x x 0 < x x 0 < R j k (x x 0 ) k suppenee. Abelin luseen nojll suppenee itseisesti. k (x x 0 ) k k=0 Jos x x 0 > R, niin luvun R määritelmän nojll k (x x 0 ) k hjntuu. k=0 k=0 Huomutus 8.7. Kun x x 0 = R, niin srj voi supet ti hjntu. Tämä vtii in tpuskohtisen trkstelun, minkä nojll potenssisrjn suppenemislue on jokin väleistä [ R, R], ] R, R[, [ R, R[ ti ] R, R]. Suppenemissäde voidn usein lske helposti suhdetestin (luse 4.23 j seurus 4.24) ti juuritestin (luse 4.26 j seurus 4.27) vull, kuten seurv luse osoitt. Luse 8.8. Oletetn, että k 0 kikill k = 0,, 2,... Jos jompikumpi rj-rvoist k k = R R { }, lim k = R R { } lim k k k+ on olemss, niin tämä rj-rvo on potenssisrjn suppenemissäde. k (x x 0 ) k k=0 Todistus. Trkstelln ensin juuren rj-rvo. Oletusten nojll x x 0 k x x lim k (x x 0 ) k 0, 0 < R <, R = lim k k = 0, R =, k k, R = 0, x x 0.

114 Jos 0 < R <, niin juuritestin (seurus 4.27) nojll srj k (x x 0 ) k k=0 suppenee, kun R x x 0 <, j hjntuu, kun R x x 0 >. Täten srj suppenee itseisesti, kun x x 0 < R. Jos x x 0 > R, niin R < x x 0 < x x 0 jollkin x R. Ylläolevn mukn srj ei suppene itseisesti pisteessä x, joten seuruksen 8.4 nojll se hjntuu pisteessä x. Srj siis hjntuu kikill x x 0 > R. Suppenemissäde on näin ollen R. Olkoon R = j x R. Tällöin on olemss sellinen k 0, että k k (x x 0 ) k < 2 kikill k k 0, joten srj suppenee itseisesti juuritestin (luse 4.26) nojll, j suppenemissäde on. Olkoon R = 0 j x x 0. Tällöin on olemss sellinen k 0, että k k (x x 0 ) k kikill k k 0. Luseen 4.26 nojll srj k (x x 0 ) k k=0 ei suppene itseisesti, j seuruksen 8.4 nojll suppenemissäde on 0. Osmäärälle pätee vstvsti x x 0 lim k+(x x 0 ) k+ x x 0, 0 < R <, R = lim k k (x x 0 ) k k k = 0, R =, k+, R = 0, x x 0. Todistuksen loppuos menee vstvsti kuin juuren tpuksess, nyt vin sovelletn suhdetestiä (luse 4.23 j seurus 4.24). Huomutus 8.9. Luseen 8.8 rj-rvot eivät in ole olemss, mutt yleisesti suppenemissäde voidn määritellä settmll R = lim sup k Tämä on in olemss! k k [0, ] (Cuchy Hdmrd). 2

115 8.2 Potenssisrjn summfunktion ominisuuksi Olkoon R > 0 potenssisrjn k (x x 0 ) k k=0 suppenemissäde. Tässä luvuss trkstelln potenssisrjn summfunktion ominisuuksi. f : ]x 0 R, x 0 + R[ R, f(x) = k (x x 0 ) k Luse 8.0. Potenssisrj k=0 k(x x 0 ) k suppenee tsisesti jokisell välillä [x 0 r, x 0 + r], missä 0 < r < R. Srjn määrittelemä funktio f on jtkuv välillä ]x 0 R, x 0 + R[. k=0 Todistus. Jos x [x 0 r, x 0 + r], niin k (x x 0 ) k = k x x 0 k k r k. Kosk x 0 +r ]x 0 R, x 0 + R[, niin srj suppenee itseisesti, kun x = x 0 +r. Tällöin k (x x 0 ) k = k r k, joten k r k k=0 suppenee. Weierstrssin M-testin (luse 7.0) nojll srj k (x x 0 ) k suppenee tsisesti välillä [x 0 r, x 0 + r]. Funktion f jtkuvuus seur luseest 7.9. k=0 Kun potenssisrj derivoidn termeittäin, sdn potenssisrj k k (x x 0 ) k. Tutkitn seurvksi tämän srjn ominisuuksi. Luse 8.. Termeittäin derivoidun srjn suppenemissäde on sm kuin lkuperäisen srjn. 3

116 Todistus. Olkoon R lkuperäisen srjn suppenemissäde j R termeittäin derivoidun srjn suppenemissäde. Osoitetn ensin, että R R. Jos R = 0, niin väite on selvä. Oletetn, että R > 0. Jos x ]x 0 R, x 0 + R [, niin k k (x x 0 ) k suppenee. Kosk k (x x 0 ) k k k (x x 0 ) k = x x 0 k k (x x 0 ) k kikill k =, 2,..., niin mjornttiperitteen nojll myös k (x x 0 ) k k=0 suppenee. Siten srj suppenee itseisesti kikill x ]x 0 R, x 0 + R [, joten R R. Osoitetn vielä, että R R. Jos R = 0, niin väite on selvä. Oletetn siis, että R > 0. Jos x ]x 0 R, x 0 + R[, niin vlitn sellinen r, että x x 0 < r < R. Srj suppenee, pisteessä x = x 0 + r, joten k r k k=0 suppenee. Siten on olemss sellinen M, että Tällöin Srj k r k M kikill k = 0,, 2,... k k (x x 0 ) k M ( r k x x 0 ) k kikill k =, 2,... r ( x x 0 k r ) k suppenee, sillä srjn kxk suppenemissäde on (ks. luse 8.8 ti esimerkki 7.6) j x x 0 <. Mjornttiperitteen nojll myös r k k (x x 0 ) k suppenee kikill x ]x 0 R, x 0 + R[, joten R R. 4

117 Jos potenssisrj integroidn termeittäin, niin sdn potenssisrj sillä k=0 k k + (x x 0) k+ = k k (x x 0) k, x x 0 k (t x 0 ) k dt = k / x x 0 (t x 0 )k+ k + = k k + (x x 0) k+. Kun integroitu srj derivoidn termeittäin, niin sdn lkuperäinen srj, joten luseen 8. nojll integroidun srjn suppenemissäde on sm kuin lkuperäisen. Luse 8.2. Jos f : ]x 0 R, x 0 + R[ R, f(x) = k (x x 0 ) k, k=0 missä R > 0 on potenssisrjn suppenemissäde, niin funktio f on derivoituv välillä ]x 0 R, x 0 + R[ j se voidn derivoid termeittäin eli f (x) = k k (x x 0 ) k. Lisäksi se voidn integroid termeittäin eli x x 0 f(t) dt = k=0 k k + (x x 0) k+. Kikill näillä potenssisrjoill on sm suppenemissäde R. Todistus. Suppenemissäteitä koskevt väitteet seurvt luseest 8. j väitettä edeltävästä huomiost. Olkoon summi koskevi väitteitä vrten x ]x 0 R, x 0 + R[. Vlitn sellinen r, että x x 0 < r < R. Luseen 8.0 nojll srjt suppenevt tsisesti välillä [x 0 r, x 0 + r]. Ensimmäinen väite seur luseest 7.5 j toinen luseest 7.2. Huomutus 8.3. Edellisen luseen nojll potenssisrjoj voidn siis derivoid j integroid kuten polynomej. 5

118 Seurus 8.4. Luseen 8.2 tilnteess funktio f on mielivltisen mont kert jtkuvsti derivoituv välillä ]x 0 R, x 0 + R[ j f (k) (x 0 ) = k! k, k =, 2,... Todistus. Luseen 8.2 nojll f (x) = f (x) = k k (x x 0 ) k kikill x x 0 < R, k(k ) k (x x 0 ) k 2 kikill x x 0 < R. k=2 Induktioll sdn, että kikill n Z + pätee f (n) (x) = k(k ) (k n + ) k (x x 0 ) k n, k=n kun x x 0 < R. Sijoittmll x = x 0 sdn f (n) (x 0 ) = n(n ) n = n! n. Seurus 8.5. Jos potenssisrjt f(x) = k (x x 0 ) k j g(x) = k=0 b k (x x 0 ) k k=0 suppenevt j esittävät sm funktiot jossin pisteen x 0 ympäristössä, niin k = b k kikill k = 0,, 2,... Todistus. Oletusten mukn on olemss sellinen r > 0, että f(x) = g(x), kun x ]x 0 r, x 0 + r[. Tällöin f (x) = g (x) kikill x ]x 0 r, x 0 + r[ j erityisesti f (x 0 ) = g (x 0 ). Vstvsti nähdään, että f (x) = g (x) kikill x ]x 0 r, x 0 + r[ j erityisesti f (x 0 ) = g (x 0 ). Induktioll nähdään, että f (k) (x 0 ) = g (k) (x 0 ) kikill k = 0,, 2,... j siten k = f (k) (x 0 ) k! = g(k) (x 0 ) k! = b k kikill k = 0,, 2,... 6

119 Edellisen luseen nojll potenssisrj f(x) = k (x x 0 ) k voidn (suppemisvälillään) esittää muodoss f(x) = k=0 k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. k! Tätä esitystä kutsutn funktion f Tylorin srjksi pisteessä x 0. Esimerkki 8.6. Olkoon f(x) = + x 2, kun x ], [. Lske f (00) (0). Rtkisu: Geometrisen srjn summkvn nojll (suhdelukun x 2 ) f(x) = ( x 2 ) k = k=0 ( ) k x 2k k=0 = x 2 + x 4 + ( ) k x 2k +... Funktion f 00. derivtt pisteessä 0 on f (00) (0) = 00! 00 = 00!( ) 50 = 00!. Huom: Funktio f on määritelty koko relikselill, mutt srjesitys pätee vin välillä ], [. Funktioll f ei voi oll potenssisrjesitystä koko relikselill, sillä sen pitäisi oll sm srj välillä ], [ j seuruksen 8.5 j ylläolevn nojll srjn pitäisi oll k=0 ( x2 ) k koko relikselill. Tämä on mhdotont, sillä srj hjntuu, kun x. Esimerkki 8.7. Olkoon f : ], [ R, f(x) =. Geometrisen srjn x summkvn nojll (suhdelukun x) f(x) = x k, k=0 joten luseen 8.2 mukn kikill x < pätee k=3 k=2 kx k = f (x) = d ( ) = dx x k(k )x k 2 = f (x) = d dx k(k )(k 2)x k 3 = f (x) = d dx 7 ( ( ) ( x) 2 2 ) ( x) 3 ( x) 2, = = 2 ( x) 3, 6 ( x) 4.

120 Induktioll nähdään, että yleisesti k=0 (k + n)! x k = k! k(k ) (k n + )x k n = k=n n! ( x) n+. Jos nnettu funktio f on äärettömän mont kert derivoituv josskin pisteen x 0 ympäristössä, niin voidn muodost srj k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k (3) k! j tutki, milloin srj (3) suppenee j, jos srj (3) suppenee, niin onko f(x) = f (k) (x 0 ) (x x k! 0 ) k. k=0 Tylorin luseen todistuksess trvitn seurv putulost. Sitä ei todistet tällä kurssill. Lemm 8.8 (Integrlilskennn välirvoluse). Jos funktio f : [, b] R on jtkuv j funktio g : [, b] R on Riemnn-integroituv sekä g(x) 0 kikill x [, b] (ti g(x) 0 kikill x [, b]), niin on olemss sellinen ζ ], b[, että f(x)g(x) dx = f(ζ) g(x) dx. Luse 8.9 (Tylorin luse). Jos f on (vähintään) n + kert jtkuvsti derivoituv välillä ]x 0 R, x 0 + R[, R > 0, niin f(x) = n k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R n (x), k! missä j ζ ]x 0, x[ (ti ζ ]x, x 0 [). R n (x) = f (n+) (ζ) (n + )! (x x 0) n+ Todistus. Osoitetn ensin induktioll luvun n suhteen, että funktion f esitys pätee jäännöstermillä R n (x) = n! x f (n+) (t)(x t) n dt. (4) x 0 8

121 Kun n = 0, niin nlyysin perusluseen osn II (luse 5.24) nojll f(x) = f(x 0 ) + x x 0 f (t) dt. Oletetn sitten, että (4) pätee jollkin n Z +. Osittisintegroimll (luse 5.27) sdn x R n (x) = f (n+) (t)(x t) n dt n! x 0 = ( / x f (n+) (x t)n+ (t) + x ) f (n+2) (t)(x t) n+ dt n! x 0 n + n + x 0 = (n + )! f (n+) (x 0 )(x x 0 ) n+ + R n+ (x). Täten (4) pätee kikill n Z +. Oletetn, että x > x 0. Silloin integrlilskennn välirvoluseen nojll on olemss sellinen ζ ]x 0, x[, että x x f (n+) (t)(x t) n dt = f (n+) (ζ) (x t) n dt x 0 x 0 Tpus x < x 0 sdn vstvsti. = f (n+) (ζ) (x x 0) n+. n + Esimerkki Olkoon f : ], [ R, f(x) =. Geometrisen srjn x summkvn nojll (suhdelukun x) missä f(x) = n k=0 x k + xn+ x = S n(x) + R n (x), S n (x) = + x + x x n j R n (x) = xn+ x. Jos x <, niin R n (x) 0, kun n. Jos x, niin R n (x) ei suppene kohti luku noll, kun n. Seurus 8.2. Jos funktio f on äärettömän mont kert derivoituv välillä ]x 0 R, x 0 + R[, niin sillä on potenssisrjesitys tällä välillä, jos j vin jos lim R n(x) = 0 kikill x ]x 0 R, x 0 + R[. 9

122 Todistus. : Jos lim R n (x) = 0, niin luseen 8.9 nojll f(x) = k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. k! : Jos niin seuruksen 8.4 nojll f(x) = k (x x 0 ) k, k=0 k = f (k) (x 0 ). k! Kosk srj suppenee, niin luseen 8.9 nojll ( lim R n(x) = lim f(x) n k=0 f (k) (x 0 ) ) (x x 0 ) k = 0. k! Esimerkki Kikki mielivltisen mont kert derivoituvi funktioit ei kuitenkn void esittää potenssisrjn. Osoitetn, että funktiot f : R R, f(x) = { e x, x > 0, 0, x 0. ei void esittää potenssisrjn keskuksen x 0 = 0 ympäristössä. Jos x < 0, niin f (x) = 0. Jos x > 0, niin x f (x) = e x x = e 2 x. 2 Pisteessä x = 0 toispuoleisille derivtoille pätee j f(x) f(0) lim x 0 x 0 f(x) f(0) lim x 0+ x 0 = lim x 0+ 0 = lim x 0 x = 0 x e x t = lim t e = 0, t 20

123 joten Vstvsti f (x) sillä lim x 0 x f (0) = lim x 0 f(x) f(0) x 0 f (0) = lim x 0 f (x) f (0) x 0 = 0 j = lim x 0 f(x) x = 0. = lim x 0 f (x) x = 0, f (x) lim x 0+ x e x = lim x 0+ x 3 t 3 = lim t e = 0. t Induktioll voidn osoitt, että f (n) (0) = 0 kikill n =, 2,... Jos nyt olisi f(x) = k=0 kx k, niin k = k! f (k) (0) = 0 kikill k = 0,,... Tällöin olisi f(x) = 0 josskin pisteen 0 ympäristössä, mikä on ristiriit. Funktiot, jok voidn esittää potenssisrjn jokisen pisteen ympäristössä, snotn nlyyttiseksi. Edellisen esimerkin funktio ei ole nlyyttinen, mutt esimerkiksi funktiot e x, sin x j cos x ovt nlyyttisiä. LOPPU 2