Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Transkriptio

1 Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot Anlyyttiset funktiot tsoll Monogeeniset funktiot vruudess R n Aik-vruuden vektoriderivtt Integrointiteori Viivintegrli Pintintegrlit vruudess Kertust Kerrtn hiemn käsitteitä. Vektoriderivtt määriteltiin settmll := e k x. k k Olkoon J : R n R n vektorikenttä. Vektoriderivtt J voitiin hjott khteen osn siten, että J = J + J. Hjotelmss sklritelmiä J kutsutn divergenssiksi j merkitään div(j := J. Bivektoritermiä J kutsutn ulkoderivtksi. Ulkoderivtn vull määritellään roottorin yleistys korkempiin ulottuvuuksiin settmll curl(j := I J. 1

2 2 Anlyyttiset funktiot Vektoriderivtt tuo geometristen lgebrojen lgebrlliset minisuudet vektorinlyysiin yksinkertisell j luonnollisell tvll. Yleistetään seurvksi nlyyttiset funktiot korkempiin dimensioihin. 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll Olkoon {e 1, e 2 } vruuden R 2 ortonormli knt. Pisteen (x 1, x 2 pikk ilmistn pikkvektorin r = x 1 e 1 + x 2 e 2. Avruudess R 2 vektoriderivtt on muoto 1 = e 1 + e 2 x 1 x 2 j pseudosklri muoto I = e 1 e 2. Pseudosklri käyttäytyy imginriyksikön tvoin, eli I 2 = 1. Pikkvektori r sdn muutetto vstvksi kompleksiluvuksi kertomll sitä vsemmlt vektorill e 1, eli z = e 1 r = x 1 + Ix 2. Olkoon ψ = u+iv kompleksirvoinen funktio, missä u j v ovt relirvoisi funktioit. Kun operoidn vektoriderivtll funktioon ψ, sdn ( ψ = = e 1 + e 2 (u + Iv x 1 x 2 ( u v e 1 + x 1 x 2 ( v x 1 + u x 2 e 2. Kun komponenttifunktiot u j v toteuttvt Cuchy-Riemnnin yhtälöt yllä olevn yhtälön oike puoli kto. Trkstelln funktioit φ : R 2 G 2, jotk toteuttvt ehdon φ = 0. Näin määritelty funktioluokk on suurempi kuin pelkät nlyyttiset funktiot. Funktioluokk φ : R 2 G 2, joille φ = 0 kutsutn monogeenisiksi funktioksi. 1 Ortonormliss knnsshn knt j käänteisknt ovt yksi j sm si, eli indeksöinti helpottuu. 2

3 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n Kun nlyysin teori yleistetään geometristen lgebrojen vull korkempiin dimensioihin tulee ongelmksi miten määritellä derivtt jollkin käyvällä tvll. Jos määritellään derivtt erotusosmääränä kuten kompleksinlyysissä, eli muodoss lim (f(x + h h 0 f(xh 1, sdn derivoituviksi funktioiksi funktioit f(x = + bx. uonnollisesti olisi hedelmällisempää sisällyttää teorin myös muunlisikin kuin inej funktioit. Määritelläänkin derivtt vin kunkin muuttujn suhteen erikseen j eletään sin knss. Määritellään vstvn tpn kuin tsoll, monogeeniset funktiot funktioiksi φ : R n G n, jotk toteuttvt ehdon φ = 0. Jos monogeenisess funktioss on sekä prillist että pritont stett olev komponenti, ovt komponentit erikseen monigeenisi. Esimerkki Avruudess R 3 on pikkvektori x = x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3. Tällöin 2 ( x = e 1 + e 2 + e 3 (x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 = 3. x 1 x 2 x 3 Olkoon = 1 e e e 3 vkiovektori. Tällöin Toislt (x = ((x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 = (x 1 e 1 + (x 2 e 2 + (x 3 e 3 = e 1 e 1 + e 2 e 2 + e 3 e 3 =. (x = ( x = 3. Tällöin funktio ψ = x + 3x on monogeeninen, sillä ψ = (x + (3x = 3 3 = Aik-vruuden vektoriderivtt Olkoon {γ µ } ortonormli knt, missä koordintein x µ. Määritellään vektoriderivtt settmll = γ 0 t + γi. x i 2 Tämä todist smll sen, että korkemmiss dimensioiss eivät potenssifunktiot x m ole monogeenisi. 3

4 Tämä operttori on vinrooliss kun sovelletn teori sähkomgnetismiin j Dircin teorin. Operttori kutsutn usein Dircin operttoriksi. Operttorin neliöksi sdn operttori 2 = 2 t 2 n Operttori 2 on eräs d'mbertin operttori j yhtälöä 2 f = g kutsutn ltoyhtälöksi. i=1 2 x 2 i. 3 Integrointiteori Geometrisen nlyysin todellinen voim tulee esiin juuri integrointiteoriss. Trkstelln tässä esityksessä inostn pint- j viivintegrlej. Pintintegrlej rjoitutn käsittelemään inostn kksiulotteisten pintojen yli. 3.1 Viivintegrli Olkoon F : R n G n multivektorikenttä määriteltynä viivll = {x(t C 1 (R, R n t [, b]}. Jetn viiv n:ään osn siten, että x( = x 0, x 1,... x n = x(b. Merkitään i:nnen välin päätepisteiden erotust x i = x i x i 1 j keskimääräistä multivektorikentän rvo F i = 1 2 (F (x i + F (x i 1. Tällöin summ I n = n i=1 F i x i pproksimoi viivintegrli, sitä premmin, mitä suurempi n on. Määritellään multivektorlinen viivintegrli settemll I := lim n I n. Jos I on riippumton osvälien jost j pisteiden x i vlinnst, niin b I = F (x dx = F (x(t dx(t. Multivektorlinen viivintegrli on riippumton viivn prmetrisoinnist. Integrlin määritelmä on niin tvnominen, että tärkein ominisuus jää 4

5 helposti huommtt. Integrliss dx vektorirvoinen mitt j F (xdx on multivektorien geometrinen tulo. Tämä yleistys perinteiseen sklri-integrointiin tuo uusi ominisuuksi, joit käsittelemme jäljenpänä. Yhtymäkoht klssiseen vektorinlyysiin löytyy helposti. Olkoon v(x vektorikenttä määriteltynä käyrällä. Tällöin v(x dx = v(x dx + v(x dx, missä oiken puolen ensimmäinen integrli on tuttu vektorlinen viivintegrli. Esimerkki Olkoon v(x = x vektorikenttä ruuviviivll = {x(t = R cos(te 1 + R sin(te 2 + hte 3 t [0, π 2 ]}. sketn viivintegrli kyseisen viivn yli integroiden kyseistä kenttää. Ensinnäkin v(x(t = R cos(te 1 + R sin(te 2 + hte 3 j dx(t Integrndiksi tulee = R sin(te 1 + R cos(te 2 + he 3. v(x(t dx(t = h 2 t+r 2 e 1 e 2 +Rh(cos(t+t sin(te 1 e 3 +Rh(sin(t t cos(te 2 e 3. opult voimme lske integrlimme x dx = = = b b b v(x(t dx(t ( h 2 t + R 2 e 1 e 2 + Rh(cos(t + t sin(te 1 e 3 + Rh(sin(t t cos(te 2 e 3 b + h 2 t + = h2 π 2 }{{ 8 } x dx b R 2 e 1 e 2 + b Rh(sin(t t cos(t e 2 e 3 ( R 2 π + Rh(cos(t + t sin(t e 1 e 3 2 e 1e 2 + 2Rhe 1 e 3 + Rh(h π/2e 2 e 3. }{{} x dx 5

6 Edellä konstruoimmme viivintegrli ei ole kuitenkn kikkein yleisin viivintegrli. Astett yleisempi viivintegrli sdn khdelle viivll määritellylle multivektorikentällä F j G settmll F (xdxg(x = b F (x(t dx(t G(x(t. Yleisin mhdollinen viivintegrli sdn linerikuvsuten vull. Olkoon linerikuvus. Tällöin linerikuvuksen indusoim viivintegrli on b (dx = ( dx ; xdx eurv esimerkki selvittänee mitä integrlill trkoitetn. Esimerkki inerikuvuksen indusoimi viivintegrlej. Olkoon käyrä. inerikuvus (dx = F (xdx indusoi viivintegrlin jok määriteltiin ensimmäisenä b (dx = F (x dx = F (x(t dx(t b = ( dx ; xdx. b inerikuvus (dx = F (xdxg(x indusoi viivintegrlin (dx = F (xdxg(x = b F (x(t dx(t G(x(t = b ( dx ; xdx. c inerikuvus (dx = f(x dx, missä f(x on vektorikenttä indusoi vektorlisen viivintegrlin (dx = f(x dx = b f(x(t dx(t 3.2 Pintintegrlit vruudess = b ( dx ; xdx. Olkoon F : R n G n multivektorikenttä määriteltynä kksiulotteisell pinnll = {g(u 1, u 2 C 1 (A, R n A prmetrilue}. Määritellään pinnll pint-lkion mitt dx = g u g 1 u 2 du1 du 2. Jos prmetrilue on muoto A = {u = u 1 e 1 + u 2 e 2 u 1 [ 1, b 1 ], u 2 [ 2, b 2 ]}, (1 6

7 niin pintmitt tulee muotoon dx = e 1 e 2 du 1 du 2. Pintmitt dx on riippumton pinnn prmetrisoinnist. Pintintegrli määritellään tällöin F (x dx = F (g(u 1, u 2 g u g 1 u 2 du1 du 2 j tpuksess (1 pintintegrli tulee muotoon F (x dx = A b2 b1 2 1 F (g(u 1, u 2 e 1 e 2 du 1 du 2. Jälleen muodostmme geometrisen tulon integrndin j mitn välillä. Vstvll tvll kuin viivintegrlien tpuksess yleisin mhdollinen pintintegrli sdn linerikuvuksen indusoimn (dx = A ( g u g 1 u ; g. 2 Esimerkki Olkoon R 3 suljettu pint, pinnn yksikköulkonormli n j (dx = φi 1 ndx linerikuvus, missä φ on sklrifunktio. Tällöin (dx = φi 1 ndx = φ(g(u 1, u 2 I 1 n g A u g 1 u 2 du1 du 2 }{{} sklrinen pintmitt = φ dσ. Mitst tulee todell sklrinen, sillä ( g I 1 n u 1 g u 2 } {{ } αi, missä α R = α R. Esimerkki Olkoon suljettu pint j (dx = dx. Tällöin (dx = dx = 0. Tulos osoitetn myöhemmin todeksi. 7