MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

Transkriptio

1 MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{3,4} Mtemtiikn(ELEC*) j systeeminlyysin Differentili- litos) j integrlilskent 1 Luento : Integroimismenet 1 / 19

2 Integroimismenetelmiä Helpoimmt integrlit voi lske suorn peruskvoj käyttämällä. Os hnklmmist tpuksist plutuu näihin, jos integrlist onnistuu tunnistmn sisäfunktion derivtn. Systemttisempi menetelmiä ovt osittisintegointi, sijoitusmenetelmä, j osmurtohjotelmt. Osittisintegrointi j sijoitusmenetelmä (eli muuttujnvihtomenetelmä) ovt tulon derivoimissäännön j ketjusäännön soveltmist tkperin. Lopuksi vilkistn numeerist integrointi. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{3,4} Mtemtiikn(ELEC*) j systeeminlyysin Differentili- litos) j integrlilskent 1 Luento : Integroimismenet 2 / 19

3 Osittisintegrointi I Luse Olkoot f j g jtkuvsti derivoituvi funktioit välillä [, b] (eli käytännössä hiemn suuremmll voimell välillä). Tällöin b f (x)g(x) dx = / b b f (x)g(x) f (x)g (x) dx. Vstvsti integrlifunktioille pätee f (x)g(x) dx = f (x)g(x) f (x)g (x) dx. Perustelu: Tulon derivoimissääntö, integrointi j termien ryhmittely. Ide: Toimii silloin, kun funktion f (x)g (x) integrointi on helpomp kuin lkuperäisen funktion f (x)g(x). Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{3,4} Mtemtiikn(ELEC*) j systeeminlyysin Differentili- litos) j integrlilskent 1 Luento : Integroimismenet 3 / 19

4 Osittisintegrointi II Lske integrli π 0 x sin x dx. Rtkisu: Kokeilln osittisintegrointi j vlitn f (x) = sin x j g(x) = x, jolloin f (x) = cos x j g (x) = 1. Näin sdn π 0 x sin x dx = / π ( cos x) x 0 π 0 ( cos x) 1 dx = π cos π / π sin x = π. 0 Huom: Jos f j g vlitn esimerkissä toisin päin, niin osittisintegrointi joht entistä hnklmpn integrliin. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{3,4} Mtemtiikn(ELEC*) j systeeminlyysin Differentili- litos) j integrlilskent 1 Luento : Integroimismenet 4 / 19

5 Osittisintegrointi III Lske integrlifunktio e x sin x dx. Rtkisu: Vlitse f (x) = e x j g(x) = sin x. Tulull. Lske integrli xe x dx. Rtkisu: Vlitse f (x) = e x j g(x) = x. Tulull. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{3,4} Mtemtiikn(ELEC*) j systeeminlyysin Differentili- litos) j integrlilskent 1 Luento : Integroimismenet 5 / 19

6 Osittisintegrointi IV Lske integrlifunktio x ln x dx. Rtkisu: Vlitse f (x) = x j g(x) = ln x. Tulull. Osittisintegroinniss on strtegisen iden vlit funktioksi g sellinen os integrndiss, että muodostettess g mhdollisimmn pljon phuutt poistuu integrlimerkin lt. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{3,4} Mtemtiikn(ELEC*) j systeeminlyysin Differentili- litos) j integrlilskent 1 Luento : Integroimismenet 6 / 19

7 Sijoitusmenetelmä I Luse Jos f on jtkuv j g jtkuvsti derivoituv suljetull välillä [, b], niin b kun A = g(), B = g(b). f (g(x))g (x) dx = Käytännössä: Sijoitus u = g(x), jolloin B A f (u) du, du dx = g (x) du = g (x) dx Rjojen muutos: x = u = g() = A, x = b u = g(b) = B. Huom, että sijoituksen jälkeen ei trvitse enää plt lkuperäiseen muuttujn x (pitsi integrlifunktiot lskettess; kts. ll). Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{3,4} Mtemtiikn(ELEC*) j systeeminlyysin Differentili- litos) j integrlilskent 1 Luento : Integroimismenet 7 / 19

8 Sijoitusmenetelmä II Muunnos u = g(x) voidn (usein) kirjoitt myös käänteisfunktion vull: x = g 1 (u) dx = (g 1 ) (u) du = joten tulos on sm kuin ikisemmin. 1 g ( g 1 (u) ) du = 1 g (x) du, Integroimisrjojen vihtminen on helpomp lkuperäistä muunnost x u käyttämällä. Sen sijn differentilin muuttuminen dx du on joskus helpompi lske yllä nnetun käänteisen muodon vull. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{3,4} Mtemtiikn(ELEC*) j systeeminlyysin Differentili- litos) j integrlilskent 1 Luento : Integroimismenet 8 / 19

9 Sijoitusmenetelmä III Lske integrli π 2 0 sin x dx. Rtkisu: Neliöjuuren hävittämiseksi sijoitetn x = t 2, kun t 0. Tällöin dx = 2t dt j käänteisestä muodost t = x sdn: Kun x = 0, niin t = 0 = 0; kun x = π 2, niin t = π 2 = π. Näin ollen π 2 0 sin x dx = π 0 π 2t sin t dt = 2 t sin t dt = 2π. 0 (Viimeinen integrli lskettiin ikisemmss esimerkissä osittisintegroimll) Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{3,4} Mtemtiikn(ELEC*) j systeeminlyysin Differentili- litos) j integrlilskent 1 Luento : Integroimismenet 9 / 19

10 Sijoitusmenetelmä IV Myös integrlifunktio voidn usein lske sijoitusmenetelmän vull. Tällöin säästytään integroimisrjojen muuttmiselt, mutt joudutn plmn uudest muuttujst t tkisin lkuperäiseen muuttujn x. Määritä integrlifunktio dx x(1 + x). Rtkisu: Sijoitetn x = t 2, t > 0, eli t = x, jolloin sdn dx 2t dt = x(1 + x) t(1 + t 2 ) = 2 rctn t + C = 2 rctn x + C. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{3,4} Mtemtiikn(ELEC*) j systeeminlyysin Differentili- litos) j integrlilskent 1 Luento : Integroimismenet 10 / 19

11 Osmurtohjotelm I Kikki relikertoimiset rtionlifunktiot R(x) = P(x)/Q(x) voidn integroid osmurtohjotelmien vull. Ensimmäinen vihe: Jkokulmss jkmll (ti muuten) plutetn tilnne siihen, että deg P(x) < deg Q(x). x x + 1 x 2 x 2 1 x 3 x 2 1 = (x + 1) 1 x + 1 = (x 2 1) + 1 x 2 1 = x 3 x x = x + 1 x x + 1 = 1 1 x + 1 = x 2 1 x x 2 1 = x 2 1 x x 2 1 = x(x 2 1) x x x 2 1 = x + x x 2 1 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{3,4} Mtemtiikn(ELEC*) j systeeminlyysin Differentili- litos) j integrlilskent 1 Luento : Integroimismenet 11 / 19

12 Osmurtohjotelm II Osmurtohjotelm voidn käyttää integroinniss seurvll tvll. ( x x + 1 dx = 1 1 ) dx = x ln x C. x + 1 Toinen vihe: Jetn nimittäjässä olev polynomi Q(x) joko 1. ti 2. steen relikertoimisiin tekijöihin. Relijuurisess tpuksess trvitn vin helpoint tulost x + b (x x 1 )(x x 2 ) = A + B, x x 1 x x 2 kun kertoimet A, B vlitn sopivll tvll. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{3,4} Mtemtiikn(ELEC*) j systeeminlyysin Differentili- litos) j integrlilskent 1 Luento : Integroimismenet 12 / 19

13 Osmurtohjotelm III Muodost lusekkeen 2x + 3 (x 4)(x + 5) osmurtohjotelm. Rtkisu: Hjotelm on muoto 2x + 3 (x 4)(x + 5) = A x 4 + B x + 5. Kerrotn yhtälö puolittin lusekkeell (x 4)(x + 5), jolloin sdn 2x + 3 = A(x + 5) + B(x 4). Kertoimet A j B sdn tästä khdell eri tvll: Tp 1: Sijoitetn vuorotellen x = 4 ti x = 5. Tp 2: Verrtn x:n potenssien kertoimi yhtälön eri puolill. Molempien tpojen tuloksen sdn A = 11/9 j B = 7/9. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{3,4} Mtemtiikn(ELEC*) j systeeminlyysin Differentili- litos) j integrlilskent 1 Luento : Integroimismenet 13 / 19

14 Osmurtohjotelm IV Integroi rtionliluseke 2x + 1 x 2 + 2x + 2. Rtkisu: Nyt nimittäjän nollkohdt eivät ole relisi, joten ei yritetä pilkko sitä ensimmäisen steen tekijöihin (vikk se olisi mhdollist kompleksiluvuill). Sen sijn täydennetään neliöksi. Tulull. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{3,4} Mtemtiikn(ELEC*) j systeeminlyysin Differentili- litos) j integrlilskent 1 Luento : Integroimismenet 14 / 19

15 Numeerinen integrointi I Hnklien integrlien likirvoj voidn joskus lske kehittämällä integrndi Tylor-polynomiksi. Tämä edellyttää kuitenkin sitä, että integroitv funktio on nnettu jonkin lusekkeen vull, jot ostn derivoid. Mittusdtss funktiost tunnetn vin sen rvot tietyissä pisteissä y k = f (k x), j derivtoist ei oikein ole tieto. Toivotn, että funktio f ei kerrssn vlln villiydy smpluspisteiden k x, k N, välissä, ti kikki toivo on mennyttä. Ruhllisesti käyttäytyvissä tpuksiss integrli (reliluku) voidn lske likimääräisesti numeerisill menetelmillä, kvdrtuureill. Eri kvdrtuurit poikkevt toisistn trkkuuden j lskenttyömäärän knnlt, sekä sen knnlt, mitä ne edellyttävät funktiolt f. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{3,4} Mtemtiikn(ELEC*) j systeeminlyysin Differentili- litos) j integrlilskent 1 Luento : Integroimismenet 15 / 19

16 Numeerinen integrointi II Yksinkertisin tp on puolisuunnikssääntö eli trpetsikv, joss funktion kuvj pproksimoidn murtoviivll: b ( 1 f (x) dx T n = h 2 y 0 + y 1 + y y n ) 2 y n, joss h = (b )/n on skelpituus, n N jkovälien lukumäärä, x k = + kh, 0 k n, ovt jkopisteet j y k = f (x k ). y y = f (x) b x Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{3,4} Mtemtiikn(ELEC*) j systeeminlyysin Differentili- litos) j integrlilskent 1 Luento : Integroimismenet 16 / 19

17 Numeerinen integrointi III Keskipistesääntö ( pylväsdigrmmipproksimtio ) b f (x) dx M n = h(f (m 1 ) + f (m 2 ) + + f (m n )), m k = (x k 1 + x k )/2, y y = f (x) b x Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{3,4} Mtemtiikn(ELEC*) j systeeminlyysin Differentili- litos) j integrlilskent 1 Luento : Integroimismenet 17 / 19

18 Numeerinen integrointi IV Sileämmille funktioille f Simpsonin sääntö b f (x) dx S n = h 3 (y 0 + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 2y y n 1 + y n ) tuott trkemmn lopputuloksen smll jkovälien lukumääräällä n. Simpsonin säännössä funktiot ensin interpoloidn 2. steen polynomill khdell peräkkäisellä jkovälillä. Tämän tki jkovälien lukumäärän n täytyy oll prillinen. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{3,4} Mtemtiikn(ELEC*) j systeeminlyysin Differentili- litos) j integrlilskent 1 Luento : Integroimismenet 18 / 19

19 Numeerinen integrointi V y y = f (x) Hienommiss kvdrtuureiss (Gussin kvdrtuuri, Guss-Lobtto, jne.) jkovälitkään eivät enää ole yhtä pitkiä, vn jko tihennetään kohdiss, joss funktion heilhtelu on suurt j/ti olln lähellä välin päätepistettä. Ken joutuu numeerisesti integrlin tietokoneell lskemn, tutustukoon sin trkemmin wikipedin j kirjllisuuden vull. b x Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{3,4} Mtemtiikn(ELEC*) j systeeminlyysin Differentili- litos) j integrlilskent 1 Luento : Integroimismenet 19 / 19